Online kalkulator omogućuje vam brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dva i bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i LOC

Pronađen GCD i LOC: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• U slučaju unosa pogrešnih znakova, polje za unos bit će označeno crvenom bojom
• kliknite gumb "Pronađi GCD i LOC".

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmakom, točkom ili zarezom
• Duljina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško

Što su GCD i NOC?

Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj označava se skraćenicom GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj, koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik označava se skraćenicom NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete se poslužiti nekim svojstvima djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Test djeljivosti broja s 2
Da bi se utvrdilo je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku tog broja: ako je jednaka 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Riješenje: Gledamo posljednju znamenku: 8 - to znači da je broj djeljiv s dva.

2. Test djeljivosti broja s 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s tri. Dakle, da biste utvrdili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako je zbroj znamenki vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 3.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.

3. Test djeljivosti broja s 5
Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 5.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.

4. Test djeljivosti broja s 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Najviše na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva je pronalaženje svih mogućih djelitelja tih brojeva i odabir najvećeg od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Rastavljamo oba broja na faktore: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Nalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo umnožak ovih faktora: 1 2 2 = 4 - to je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dva broja. Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima odabrati broj koji će biti zajednički za oba broja, a ujedno i najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Nađi umnožak brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se pronaći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju se na proste faktore, a zatim se pronalazi produkt zajedničkih prostih faktora tih brojeva. Također možete upotrijebiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo rastavimo brojeve na faktore: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov umnožak će dati GCD: 1·2·2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo pronađimo LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Definicija. Najveći prirodni broj, kojim se brojevi a i b dijele bez ostatka, naziva se najveći zajednički djelitelj (GCD) ove brojke.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Djelitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji broja 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj – broj 1. Takvi se brojevi nazivaju međusobno prosti.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju međusobno prosti, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (NOD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) mogu se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja zadanih brojeva.

Rastavljajući brojeve 48 i 36 na faktore, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora koji su uključeni u proširenje prvog od ovih brojeva, križamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Pronaći najveći zajednički djelitelj

2) od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižite one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi s jednim od njih, onda je ovaj broj djeljiv najveći zajednički djelitelj zadani brojevi.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su njime djeljivi svi ostali brojevi: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) Prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni brojevi koji su višekratnici i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavljamo 75 i 60 na jednostavne faktore: 75 \u003d 3 * 5 * 5 i 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i pribrojimo im faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja drugog broja (tj. kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Također pronađite najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

Do pronaći najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) rastavite ih na proste faktore;
2) zapišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, tada je taj broj najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI. st. pr. Kr.) i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj, jednak zbroju Sve njegove djelitelje (bez samog broja) nazivali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali znanstvenici još uvijek ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Zanimanje drevnih matematičara za proste brojeve proizlazi iz činjenice da je svaki broj ili prost ili se može prikazati kao umnožak primarni brojevi, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva pojavljuju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima - manje. Ali što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi manje uobičajeni. Postavlja se pitanje postoji li posljednji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi “Elementi”, koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja stoji još veći prost broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složeni broj, zatim precrtao kroz jedan sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojevi koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze nakon 3 (brojevi koji su bili višekratnici 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su prekriženi. na kraju su samo prosti brojevi ostali neprekrižani.

Tema „Multipli” se obrađuje u 5. razredu Srednja škola. Cilj mu je unaprijediti pismene i usmene vještine matematičkog računanja. U ovoj lekciji uvode se novi pojmovi - “višebrojevi” i “djelitelji”, uvježbava se tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja te sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je vrlo važna. Znanje o njemu može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv s A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Sam se smatra najmanjim. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Morate dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, morate prvi broj podijeliti s drugim. Ako je 125 djeljivo s 5 bez ostatka, tada je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Postoje posebni slučajevi kada se izračunava LOC.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) djeljiv s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ovih dva broja.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM produkt ta dva broja.

LCM(6, 7) = 42.

Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Dijele višekratnik broja bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni faktori. Njihov umnožak jednak je najvećem višestrukom broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili s 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se nazivaju kompozitni.

Drugi primjer uključuje određivanje je li 9 djelitelj od 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Djeljenik se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a sam višekratnik je djeljiv tim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnožen njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.

Naime: nd (a, b) x nd (a, b) = a x b.

Zajednički višekratnici za više kompleksni brojevi pronađeno na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Rastavljamo te brojeve na jednostavne faktore i pišemo ih kao produkt potencija:

168=2³x3¹x7¹

2⁴h3³h5¹h7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv s oba dana bez ostatka.

Metoda 1. LCM možete pronaći redom za svaki od zadanih brojeva, ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve koji se dobiju njihovim množenjem s 1, 2, 3, 4 itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Množimo broj 6, redom, sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9 množimo redom sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 bit će 18.

Ova metoda je prikladna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje trenuci kada trebate pronaći LCM za dvoznamenkasti ili troznamenkasti brojevi, a također i kada postoje tri ili više početnih brojeva.

Metoda 2. LCM možete pronaći rastavljanjem izvornih brojeva na proste faktore.
Nakon rastavljanja potrebno je iz dobivenog niza prostih faktora prekrižiti iste brojeve. Preostali brojevi prvog broja bit će množitelj za drugi, a preostali brojevi drugog bit će množitelj za prvi.

Primjer za brojeve 75 i 60.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavljamo 75 i 60 na proste faktore:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 pojavljuju se u oba retka. Mentalno ih "precrtavamo".
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Kod rastavljanja broja 75 ostaje nam broj 5, a kod rastavljanja broja 60 ostaje nam 2 * 2.
To znači da da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo preostale brojeve iz proširenja 75 (ovo je 5) pomnožiti sa 60, a brojeve preostale iz proširenja 60 (ovo je 2) * 2) sa 75. Odnosno, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "naprijed".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer. Odredite LCM za brojeve 12, 16, 24
U ovom će slučaju naše radnje biti nešto složenije. Ali prvo, kao i uvijek, faktorizirajmo sve brojeve
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (to je broj 12) i redom prolazimo kroz njegove faktore, križajući ih ako u barem jednom od ostalih redova brojeva naiđemo na isti faktor koji još nije prekriženo.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim nizovima brojeva. Prekrižimo ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim činiteljima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali postoji u prostim činiteljima broja 24. Broj 3 precrtavamo iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuju nikakve radnje. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom rastavljanja broja 12 sve smo brojeve “precrtali”. To znači da je nalaz LOC-a završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzmite preostale faktore broja 16 (sljedeći u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC

Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ovu metodu omogućuje vam da to učinite brže. Međutim, obje metode pronalaženja LCM su točne.

Razmotrite rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm.Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj oboje naprave cijeli broj koraka.

Riješenje. Cijeli put koji će djeca proći mora biti djeljiv sa 60 i 70, budući da svako mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo napisati sve višekratnike broja 75. Dobit ćemo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti višekratnici broja 60. Dobivamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada pronalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva bili bi 300, 600 itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju, on će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Vraćajući se na uvjet zadatka, najmanja udaljenost na kojoj će dečki napraviti cijeli broj koraka bit će 300 cm.Dječak će tu stazu prijeći u 4 koraka, a djevojka će trebati napraviti 5 koraka.

Određivanje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva, nije potrebno zapisati sve višekratnike tih brojeva u nizu.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Najprije te brojeve trebate rastaviti na proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve faktore koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodamo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobivamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak tih brojeva bit će najmanji zajednički faktor za te brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Podijelite brojeve na proste faktore.
• 2. Napiši proste faktore koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim faktorima dodajte sve one koji su u ekspanziji ostalih, ali ne i u odabranom.
• 4. Nađi umnožak svih napisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.