Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 \u003d E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Dodjela usluge. Koristeći ovu uslugu na mreži, možete pronaći algebarske adicije, transponiranu matricu A T, unijsku matricu i inverznu matricu. Rješenje se provodi izravno na stranici (online) i besplatno je. Rezultati izračuna se prikazuju u izvješću u Word formatu iu Excel formatu (odnosno moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
Uputa. Da biste dobili rješenje, morate odrediti dimenziju matrice. Zatim u novom dijaloškom okviru ispunite matricu A .
Vidi također Inverzna matrica po Jordan-Gauss metodi
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Nalaženje transponirane matrice A T .
- Definicija algebarskih adicija. Svaki element matrice zamijenite njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih dodavanja: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
- Odredite je li matrica kvadratna. Ako nije, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A . Ako nije jednaka nuli, nastavljamo rješavanje, u suprotnom, inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih adicija.
- Popunjavanje unijske (međusobne, adjungirane) matrice C .
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element adjungirane matrice C podijeli se s determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
- Napravite provjeru: pomnožite izvornu i dobivenu matricu. Rezultat bi trebala biti matrica identiteta.
Primjer #1. Matricu pišemo u obliku:
Algebarski dodaci.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Zatim inverzna matrica može se napisati kao:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Predstavljamo drugu shemu za pronalaženje inverzne matrice.- Odredite determinantu zadane kvadratne matrice A .
- Svim elementima matrice A nalazimo algebarske dodatke.
- Algebarske komplemente elemenata redaka upisujemo u stupce (transpozicija).
- Svaki element dobivene matrice podijelimo s determinantom matrice A .
Poseban slučaj: Inverz, u odnosu na matricu identiteta E, je matrica identiteta E .
U pravilu se inverzne operacije koriste za pojednostavljenje složenih algebarski izrazi. Na primjer, ako problem sadrži operaciju dijeljenja razlomkom, možete je zamijeniti operacijom množenja recipročnom vrijednošću, što je inverzna operacija. Štoviše, matrice se ne mogu dijeliti, pa morate množiti s inverznom matricom. Izračunavanje inverzne matrice 3x3 prilično je zamorno, ali to morate moći učiniti ručno. Također recipročan može se pronaći uz dobar grafički kalkulator.
Koraci
Pomoću priložene matrice
Transponirajte izvornu matricu. Transpozicija je zamjena redaka stupcima u odnosu na glavnu dijagonalu matrice, odnosno potrebno je zamijeniti elemente (i, j) i (j, i). U tom se slučaju elementi glavne dijagonale (počinje u gornjem lijevom kutu i završava u donjem desnom kutu) ne mijenjaju.
- Da biste zamijenili retke stupcima, napišite elemente prvog retka u prvi stupac, elemente drugog retka u drugi stupac, a elemente trećeg retka u treći stupac. Redoslijed mijenjanja položaja elemenata prikazan je na slici na kojoj su odgovarajući elementi zaokruženi kružićima u boji.
Pronađite definiciju svake 2x2 matrice. Svaki element bilo koje matrice, uključujući transponiranu, pridružen je odgovarajućoj matrici 2x2. Da biste pronašli matricu 2x2 koja odgovara određenom elementu, prekrižite redak i stupac u kojem se taj element nalazi, odnosno trebate prekrižiti pet elemenata izvorne matrice 3x3. Četiri elementa koji su elementi odgovarajuće matrice 2x2 ostat će neprecrtana.
- Na primjer, da biste pronašli matricu 2x2 za element koji se nalazi na sjecištu drugog retka i prvog stupca, prekrižite pet elemenata koji se nalaze u drugom retku i prvom stupcu. Preostala četiri elementa su elementi odgovarajuće matrice 2x2.
- Nađite determinantu svake 2x2 matrice. Da biste to učinili, oduzmite umnožak elemenata sekundarne dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale (vidi sliku).
- Detaljne informacije o 2x2 matricama koje odgovaraju određenim elementima 3x3 matrice mogu se pronaći na Internetu.
Napravite matricu kofaktora. Zabilježite prethodno dobivene rezultate u obliku nove matrice kofaktora. Da biste to učinili, napišite pronađenu determinantu svake matrice 2x2 gdje se nalazio odgovarajući element matrice 3x3. Na primjer, ako razmatrate matricu 2x2 za element (1,1), zapišite njegovu determinantu na poziciji (1,1). Zatim promijenite znakove odgovarajućih elemenata prema određenom uzorku, koji je prikazan na slici.
- Shema promjene predznaka: predznak prvog elementa prvog retka se ne mijenja; predznak drugog elementa prvog retka je obrnut; predznak trećeg elementa prvog retka se ne mijenja, i tako red po red. Imajte na umu da znakovi "+" i "-", koji su prikazani na dijagramu (vidi sliku), ne pokazuju da će odgovarajući element biti pozitivan ili negativan. U tom slučaju znak “+” označava da se predznak elementa ne mijenja, a znak “-” da se predznak elementa promijenio.
- Detaljne informacije o matricama kofaktora mogu se pronaći na internetu.
- Ovako ćete pronaći pridruženu matricu izvorne matrice. Ponekad se naziva kompleksna konjugirana matrica. Takva matrica se označava kao adj(M).
Svaki element adjungirane matrice podijelite s determinantom. Determinanta matrice M izračunata je na samom početku da se to provjeri inverzna matrica postoji. Sada podijelite svaki element adjungirane matrice ovom determinantom. Zabilježite rezultat svake operacije dijeljenja gdje se nalazi odgovarajući element. Tako ćete pronaći matricu, inverziju originala.
- Determinanta matrice prikazane na slici je 1. Dakle, ovdje pridružena matrica je inverzna matrica (jer dijeljenje bilo kojeg broja s 1 to ne mijenja).
- U nekim je izvorima operacija dijeljenja zamijenjena operacijom množenja s 1/det(M). U tom se slučaju krajnji rezultat ne mijenja.
Zapišite inverznu matricu. Zapišite elemente koji se nalaze na desnoj polovici velike matrice kao zasebnu matricu, koja je inverzna matrici.
Unesite izvornu matricu u memoriju kalkulatora. Da biste to učinili, kliknite gumb Matrica, ako je dostupan. Za kalkulator Texas Instruments, možda ćete morati pritisnuti tipke 2nd i Matrix.
Odaberite izbornik Uredi. Učinite to pomoću gumba sa strelicama ili odgovarajućeg funkcijskog gumba koji se nalazi na vrhu tipkovnice kalkulatora (mjesto gumba ovisi o modelu kalkulatora).
Unesite oznaku matrice. Većina grafičkih kalkulatora može raditi s 3-10 matrica, koje se mogu označiti slova A-J. Kao opće pravilo, samo odaberite [A] za označavanje izvorne matrice. Zatim pritisnite tipku Enter.
Unesite veličinu matrice. Ovaj članak govori o matricama 3x3. Ali grafički kalkulatori mogu raditi s matricama velike veličine. Unesite broj redaka, pritisnite tipku Enter, zatim unesite broj stupaca i ponovno pritisnite tipku Enter.
Unesite svaki element matrice. Matrica će se prikazati na ekranu kalkulatora. Ako je matrica već unesena u kalkulator, ona će se pojaviti na ekranu. Kursor će istaknuti prvi element matrice. Unesite vrijednost prvog elementa i pritisnite Enter. Kursor će se automatski pomaknuti na sljedeći element matrice.
Definicija 1: Matrica se naziva degeneriranom ako je njena determinanta nula.
Definicija 2: Matrica se naziva nesingularnom ako njena determinanta nije jednaka nuli.
Matrica "A" se zove inverzna matrica, ako je zadovoljen uvjet A*A-1 = A-1 *A = E (matrica identiteta).
Kvadratna matrica je invertibilna samo ako je nesingularna.
Shema za izračunavanje inverzne matrice:
1) Izračunajte determinantu matrice "A" ako ∆ A = 0, tada inverzna matrica ne postoji.
2) Nađite sve algebarske komplemente matrice "A".
3) Sastavite matricu algebarskih sabiranja (Aij )
4) Transponirati matricu algebarskih komplemenata (Aij )T
5) Pomnožite transponiranu matricu recipročnom vrijednošću determinante te matrice.
6) Pokrenite provjeru:
Na prvi pogled može se činiti da je teško, ali zapravo je sve vrlo jednostavno. Sva rješenja temelje se na jednostavnim aritmetičkim operacijama, glavna stvar pri rješavanju je ne zbuniti se sa znakovima "-" i "+" i ne izgubiti ih.
A sada riješimo zajedno s vama praktični zadatak računajući inverznu matricu.
Zadatak: pronađite inverznu matricu "A", prikazanu na slici ispod:
1. Prvo što treba učiniti je pronaći determinantu matrice "A":
Obrazloženje:
Pojednostavili smo našu determinantu korištenjem njenih glavnih funkcija. Prvo smo u 2. i 3. red dodali elemente prvog reda, pomnožene s jednim brojem.
Drugo, promijenili smo 2. i 3. stupac determinante, a prema njezinim svojstvima promijenili smo i znak ispred nje.
Treće, izbacili smo zajednički faktor (-1) drugog reda, čime smo ponovno promijenili predznak i on je postao pozitivan. Također smo pojednostavili liniju 3 na isti način kao na samom početku primjera.
Imamo trokutastu determinantu u kojoj su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a po svojstvu 7 ona je jednaka umnošku elemenata dijagonale. Kao rezultat toga, dobili smo ∆ A = 26, dakle inverzna matrica postoji.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Sljedeći korak je sastavljanje matrice iz rezultirajućih dodavanja:
5. Ovu matricu pomnožimo s recipročnom vrijednošću determinante, odnosno s 1/26:
6. Pa, sada samo trebamo provjeriti:
Tijekom provjere dobili smo matricu identiteta, dakle, odluka je donesena apsolutno ispravno.
2 način za izračunavanje inverzne matrice.
1. Elementarna transformacija matrica
2. Inverzna matrica kroz elementarni pretvarač.
Elementarna matrična transformacija uključuje:
1. Množenje niza brojem koji nije nula.
2. Dodavanje bilo kojem retku drugog retka, pomnoženog brojem.
3. Zamjena redaka matrice.
4. Primjenom lanca elementarnih transformacija dobivamo drugu matricu.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. A -1*A=E
Uzmite u obzir praktični primjer s realnim brojevima.
Vježba: Nađi inverznu matricu.
Riješenje:
Provjerimo:
Malo pojašnjenje rješenja:
Prvo smo zamijenili retke 1 i 2 matrice, a zatim smo prvi red pomnožili s (-1).
Nakon toga je prvi redak pomnožen s (-2) i dodan u drugi redak matrice. Zatim smo drugi red pomnožili s 1/4.
Završna faza transformacije bila je množenje drugog reda s 2 i zbrajanje iz prvog. Kao rezultat, imamo matricu identiteta s lijeve strane, dakle, inverzna matrica je matrica s desne strane.
Nakon provjere uvjerili smo se u ispravnost rješenja.
Kao što vidite, izračunavanje inverzne matrice je vrlo jednostavno.
U zaključku ovog predavanja želio bih posvetiti nešto vremena i svojstvima takve matrice.
Inverzna matrica za zadanu je takva matrica, množenje izvorne kojom se daje matrica identiteta: Obavezan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice je nejednakost determinante izvorne (koja zauzvrat implicira da matrica mora biti kvadratna). Ako je determinanta matrice jednaka nuli, onda se ona naziva degeneriranom i takva matrica nema inverza. U viša matematika inverzne matrice su važne i koriste se za rješavanje brojnih problema. Na primjer, na pronalaženje inverzne matrice konstruirana je matrična metoda za rješavanje sustava jednadžbi. Naša servisna stranica dopušta izračunajte inverznu matricu online dvije metode: Gauss-Jordanova metoda i korištenje matrice algebarskih sabiranja. Prvi podrazumijeva veliki broj elementarne transformacije unutar matrice, drugi - izračun determinante i algebarski dodaci svim elementima. Za izračunavanje determinante matrice online, možete koristiti našu drugu uslugu - Izračunavanje determinante matrice online
.Pronađite inverznu matricu na web mjestu
web stranica omogućuje vam da pronađete inverzna matrica online brzo i besplatno. Na stranici izračune radi naš servis i prikazuje rezultat s detaljnim rješenjem za pronalaženje inverzna matrica. Server uvijek daje samo točan i točan odgovor. U zadacima po definiciji inverzna matrica online, potrebno je da odrednica matrice drugačije od nule web stranica izvijestit će o nemogućnosti pronalaženja inverzne matrice zbog činjenice da je determinanta izvorne matrice jednaka nuli. Zadatak pronalaženja inverzna matrica nalazi se u mnogim granama matematike, kao jedan od najosnovnijih pojmova algebre i matematički alat u primijenjenim problemima. Neovisna definicija inverzne matrice zahtijeva znatan trud, puno vremena, kalkulacije i veliku pažnju kako se ne bi napravio lapsus ili mala pogreška u izračunima. Stoga, naša usluga pronalaženje inverzne matrice online uvelike će vam olakšati zadatak i postat će nezaobilazan alat za rješavanje matematičkih problema. Čak i ako ti pronaći inverznu matricu sami, preporučujemo da provjerite svoje rješenje na našem poslužitelju. Unesite svoju originalnu matricu na našu internetsku stranicu Izračunaj inverznu matricu i provjerite svoj odgovor. Naš sustav nikada ne griješi i pronalazi inverzna matrica dana dimenzija u modusu na liniji odmah! Na stranici web stranica dopušteni su unosi znakova u elemente matrice, u ovom slučaju inverzna matrica online bit će predstavljen u općem simboličkom obliku.
Slično inverzima u mnogim svojstvima.
Enciklopedijski YouTube
1 / 5
✪ Kako pronaći inverznu matricu - bezbotvy
✪ Inverzna matrica (2 načina pronalaženja)
✪ Inverzna matrica #1
✪ 2015-01-28. Inverzna matrica 3x3
✪ 2015-01-27. Inverzna matrica 2x2
titlovi
Svojstva inverzne matrice
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Gdje det (\displaystyle \ \det ) označava odrednicu.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) za dvije kvadratne invertibilne matrice A (\displaystyle A) I B (\displaystyle B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Gdje (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) označava transponiranu matricu.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) za bilo koji koeficijent k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
- Ako je potrebno riješiti sustav linearnih jednadžbi , (b je vektor različit od nule) gdje je x (\displaystyle x) je željeni vektor, a ako A − 1 (\displaystyle A^(-1)) postoji, dakle x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). U suprotnom, ili je dimenzija prostora rješenja veća od nule ili ih uopće nema.
Načini pronalaženja inverzne matrice
Ako je matrica invertibilna, tada da biste pronašli inverz matrice, možete koristiti jednu od sljedećih metoda:
Egzaktne (izravne) metode
Gauss-Jordanova metoda
Uzmimo dvije matrice: sebe A i samac E. Donesimo matricu A na matricu identiteta Gauss-Jordan metodom primjenom transformacija u redovima (također možete primijeniti transformacije u stupcima, ali ne u kombinaciji). Nakon primjene svake operacije na prvu matricu, primijenite istu operaciju na drugu. Kada se završi redukcija prve matrice na oblik identiteta, druga matrica će biti jednaka A -1.
Kada se koristi Gaussova metoda, prva matrica će se pomnožiti slijeva jednom od elementarnih matrica Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcijska ili dijagonalna matrica s onima na glavnoj dijagonali, osim jedne pozicije):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Desna strelica \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\točke &&&\\0&\točke &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\točke &0\\0&\točke &0&1/a_(mm)&0&\točke &0\\0&\točke &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\točke &0\\&&&\točke &&&\\0&\točke &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\točke &1\end(bmatrica))).Druga matrica nakon primjene svih operacija bit će jednaka Λ (\displaystyle \Lambda ), odnosno bit će željeni. Složenost algoritma - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Korištenje matrice algebarskih sabiranja
Matrica Inverzna matrica A (\displaystyle A), predstaviti u obliku
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \preko (\det(A))))
Gdje adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- priložena matrica ;
Složenost algoritma ovisi o složenosti algoritma za izračunavanje determinante O det i jednaka je O(n²) O det .
Korištenje LU/LUP dekompozicije
Matrična jednadžba A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) za inverznu matricu X (\displaystyle X) može se promatrati kao zbirka n (\displaystyle n) sustavi oblika A x = b (\displaystyle Ax=b). Označiti ja (\displaystyle i)-ti stupac matrice X (\displaystyle X) kroz X i (\displaystyle X_(i)); Zatim A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),jer ja (\displaystyle i)-ti stupac matrice Ja n (\displaystyle I_(n)) je jedinični vektor e i (\displaystyle e_(i)). drugim riječima, pronalaženje inverzne matrice svodi se na rješavanje n jednadžbi s istom matricom i različitim desnim stranama. Nakon izvođenja LUP ekspanzije (vrijeme O(n³)) za rješavanje svake od n jednadžbi potrebno je O(n²) vremena, tako da ovaj dio posla također traje O(n³) vremena.
Ako je matrica A nesingularna, tada možemo izračunati LUP dekompoziciju za nju PA = L U (\displaystyle PA=LU). Neka P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Zatim, iz svojstava inverzne matrice, možemo napisati: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ako ovu jednakost pomnožimo s U i L, tada možemo dobiti dvije jednakosti oblika U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) I D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prva od ovih jednakosti je sustav od n² linearne jednadžbe Za n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) kojima su poznate desne strane (iz svojstava trokutastih matrica). Drugi je također sustav n² linearnih jednadžbi za n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) od kojih su poznate desne strane (također iz svojstava trokutastih matrica). Zajedno tvore sustav od n² jednakosti. Pomoću ovih jednakosti možemo rekurzivno odrediti svih n² elemenata matrice D. Tada iz jednakosti (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. dobivamo jednakost A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
U slučaju korištenja LU dekompozicije, nije potrebna permutacija stupaca matrice D, ali rješenje može divergirati čak i ako je matrica A nesingularna.
Složenost algoritma je O(n³).
Iterativne metode
Schultzove metode
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\zbroj _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\kraj(slučajevi)))
Procjena pogreške
Izbor početne aproksimacije
Problem odabira početne aproksimacije u procesima iterativne inverzije matrica koji se ovdje razmatraju ne dopušta nam da ih tretiramo kao neovisne univerzalne metode koje se natječu s metodama izravne inverzije koje se temelje, na primjer, na LU dekompoziciji matrica. Postoje neke preporuke za odabir U 0 (\displaystyle U_(0)), osiguranje ispunjenja uvjeta ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (spektralni radijus matrice je manji od jedinice), što je neophodno i dovoljno za konvergenciju procesa. Međutim, u ovom slučaju, prvo je potrebno znati odozgo procjenu za spektar invertibilne matrice A ili matrice A A T (\displaystyle AA^(T))(naime, ako je A simetrična pozitivno određena matrica i ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), onda možete uzeti U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Gdje ; ako je A proizvoljna nesingularna matrica i ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), onda pretpostavimo U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), gdje također α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \lijevo(0,(\frac (2)(\beta ))\desno)); Naravno, situacija se može pojednostaviti i, koristeći činjenicu da ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), staviti U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Drugo, uz takvu specifikaciju početne matrice, nema jamstva da ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bit će mali (možda čak ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), a visoka stopa konvergencije neće biti odmah vidljiva.
Primjeri
Matrica 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\početak(bmatrica)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\kraj(bmatrica)).)Inverzija matrice 2x2 moguća je samo pod uvjetom da a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
