Dom

Načini dokazivanja Pitagorinog teorema.

G. Glaser,
Akademik Ruske akademije obrazovanja u Moskvi

O Pitagorinom teoremu i kako ga dokazati

Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim katetama...

Ovo je jedan od najpoznatijih geometrijskih teorema antike, nazvan Pitagorin teorem. Još uvijek je poznata gotovo svima koji su ikada proučavali planimetriju. Čini mi se da ako vam želimo dati do znanja vanzemaljske civilizacije o postojanju inteligentnog života na Zemlji, onda bi sliku Pitagorinog lika trebalo poslati u svemir. Mislim da ako misleća bića mogu prihvatiti ovu informaciju, shvatit će bez složenog dekodiranja signala da na Zemlji postoji prilično razvijena civilizacija.

Poznati grčki filozof i matematičar Pitagora sa Samosa, po kojem je teorem dobio ime, živio je prije otprilike 2,5 tisuće godina. Biografski podaci o Pitagori koji su došli do nas fragmentarni su i daleko od pouzdanih. Uz njegovo ime vežu se mnoge legende. Vjerodostojno je poznato da je Pitagora mnogo putovao po zemljama Istoka, posjetio Egipat i Babilon. U jednoj od grčkih kolonija Južna Italija utemeljio je poznatu "Pitagorejsku školu" koja je odigrala važnu ulogu u znanstvenom i politički život drevna grčka. Upravo je Pitagora zaslužan za dokaz poznatog geometrijskog teorema. Na temelju legendi koje su širili poznati matematičari (Proklo, Plutarh itd.), Dugo vrijeme Vjerovalo se da prije Pitagore ovaj teorem nije bio poznat, pa otuda i naziv - Pitagorin teorem.

Međutim, nema sumnje da je ovaj teorem bio poznat mnogo godina prije Pitagore. Dakle, 1500 godina prije Pitagore, stari Egipćani su znali da je trokut sa stranicama 3, 4 i 5 pravokutan i koristili su to svojstvo (tj. teorem, obrnuti teorem Pitagora) za konstruiranje pravih kutova pri planiranju zemljišne parcele i građevinskih konstrukcija. I danas seoski graditelji i stolari, postavljajući temelje kolibe, izrađujući njezine detalje, crtaju ovaj trokut kako bi dobili pravi kut. Ista stvar je učinjena prije nekoliko tisuća godina u izgradnji veličanstvenih hramova u Egiptu, Babilonu, Kini i vjerojatno u Meksiku. U najstarijem kineskom matematičko-astronomskom djelu koje je došlo do nas, Zhou-bi, napisanom oko 600 godina prije Pitagore, među ostalim rečenicama vezanim uz pravokutni trokut, sadržan je i Pitagorin teorem. I ranije je ovaj teorem bio poznat Hindusima. Dakle, Pitagora nije otkrio ovo svojstvo pravokutnog trokuta, on ga je vjerojatno prvi generalizirao i dokazao, prenijevši ga s područja prakse na područje znanosti. Ne znamo kako je to uspio. Neki povjesničari matematike pretpostavljaju da, ipak, Pitagorin dokaz nije bio temeljan, već samo potvrda, provjera ovog svojstva na nizu posebnih vrsta trokuta, počevši od jednakokračnog pravokutnog trokuta, za koji očito proizlazi iz sl. 1.

S Od davnina su matematičari nalazili sve više i više dokaza Pitagorinog teorema, sve više i više ideja za njegove dokaze. Poznato je više od stotinu i pol takvih dokaza - više ili manje rigoroznih, više ili manje vizualnih - ali je želja da se njihov broj poveća ostala sačuvana. Mislim da će samostalno "otkrivanje" dokaza Pitagorinog teorema biti korisno za moderne školarce.

Razmotrimo neke primjere dokaza koji bi mogli sugerirati smjer takvih potraga.

Dokaz Pitagore

"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim katetama." Najjednostavniji dokaz teorema dobiva se u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Vjerojatno je teorem započeo s njim. Doista, dovoljno je samo pogledati popločavanje jednakokračnih pravokutnih trokuta da bismo vidjeli da je teorem točan. Na primjer, za DABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AU, sadrži 4 početna trokuta i kvadrate izgrađene na katetama po dva. Teorem je dokazan.

Dokazi temeljeni na korištenju koncepta jednake površine likova.

U isto vrijeme, možemo razmotriti dokaze u kojima je kvadrat izgrađen na hipotenuzi danog pravokutnog trokuta "sastavljen" od istih likova kao i kvadrati izgrađeni na katetama. Također možemo razmotriti takve dokaze u kojima se koristi permutacija članova slika i uzimaju u obzir brojne nove ideje.

Na sl. 2 prikazuje dva jednaka kvadrata. Duljine stranica svakog kvadrata su a + b. Svaki od kvadrata podijeljen je na dijelove koji se sastoje od kvadrata i pravokutnog trokuta. Jasno je da ako četverostruku površinu pravokutnog trokuta s katetama a, b oduzmemo od površine kvadrata, tada jednake površine, tj. c 2 \u003d a 2 + b 2. Međutim, stari Hindusi, kojima pripada ovo razmišljanje, obično ga nisu zapisivali, već su crtež pratili samo jednom riječju: "pogledaj!" Vrlo je moguće da je Pitagora ponudio isti dokaz.

dodatni dokaz.

Ti se dokazi temelje na rastavljanju kvadrata izgrađenih na katetama na figure, kojima je moguće dodati kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

Ovdje: ABC je pravokutni trokut s pravim kutom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Dokažite sami parnu jednakost trokuta dobivenih rastavljanjem kvadrata izgrađenih na katetama i hipotenuzi.

Dokažite teorem pomoću ove particije.

 Na temelju al-Nairiziyinog dokaza napravljena je još jedna dekompozicija kvadrata na po par jednakih likova (sl. 5, ovdje je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C).

 Još jedan dokaz metodom rastavljanja kvadrata na jednake dijelove, nazvan "točak s lopaticama", prikazan je na sl. 6. Ovdje: ABC je pravokutni trokut s pravim kutom C; O - središte kvadrata izgrađenog na velikoj nozi; isprekidane linije koje prolaze kroz točku O okomite su ili paralelne s hipotenuzom.

 Ova dekompozicija kvadrata je zanimljiva po tome što se njegovi po parovima jednaki četverokuti mogu preslikati jedan na drugi paralelnim prevođenjem. Mnogi drugi dokazi Pitagorinog teorema mogu se ponuditi rastavljanjem kvadrata na brojke.

Dokazi metodom proširenja.

Suština ove metode je da se kvadratima izgrađenim na katetama i kvadratima izgrađenim na hipotenuzi pridruže jednaki likovi na način da se dobiju jednaki likovi.

Valjanost Pitagorinog poučka proizlazi iz jednakih veličina šesterokuta AEDFPB i ACBNMQ. Ovdje CEP, linija EP dijeli šesterokut AEDFPB na dva četverokuta jednake površine, linija CM dijeli šesterokut ACBNMQ na dva četverokuta jednake površine; rotacija ravnine za 90° oko središta A preslikava četverokut AEPB u četverokut ACMQ.

Na sl. 8 Pitagorina figura dovršena je u pravokutnik čije su stranice paralelne s odgovarajućim stranicama kvadrata izgrađenih na krakovima. Rastavimo ovaj pravokutnik na trokute i pravokutnike. Najprije oduzimamo sve poligone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 od dobivenog pravokutnika, ostavljajući kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Zatim od istog pravokutnika oduzimamo pravokutnike 5, 6, 7 i osjenčane pravokutnike dobivamo kvadrate izgrađene na kracima.

Sada dokažimo da su brojke oduzete u prvom slučaju jednake veličine figurama oduzetim u drugom slučaju.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

dakle c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebarska metoda dokazivanja.

	Riža. 12 ilustrira dokaz velikog indijskog matematičara Bhaskarija (poznatog autora Lilavatija, X 2. stoljeća). Crtež je pratila samo jedna riječ: GLEDAJ! Među dokazima Pitagorinog teorema algebarska metoda prvo mjesto (možda najstarije) zauzima dokaz pomoću sličnosti.
	Predstavimo u modernoj prezentaciji jedan od takvih dokaza, koji pripada Pitagori.

H i fig. 13 ABC - pravokutnik, C - pravi kut, CMAB, b 1 - projekcija kraka b na hipotenuzu, a 1 - projekcija kraka a na hipotenuzu, h - visina trokuta povučena na hipotenuzu.

Iz činjenice da je ABC sličan ACM slijedi

b 2 \u003d cb 1; (1)

iz činjenice da je ABC sličan BCM slijedi

a 2 = ca 1 . (2)

Zbrajajući jednakosti (1) i (2) član po član, dobivamo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ako je Pitagora doista ponudio takav dokaz, onda je također bio upoznat s nizom važnih geometrijskih teorema koje moderni povjesničari matematike obično pripisuju Euklidu.

Möllmannov dokaz (slika 14). Površina ovog pravokutnog trokuta, s jedne strane, jednaka je s druge strane, gdje je p poluperimetar trokuta, r je polumjer kruga upisanog u njega Imamo:

odakle slijedi c 2 =a 2 +b 2 .

u drugom

Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo Pitagorin teorem.

Kombinirana metoda

Jednakost trokuta

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Usporedbom relacija (3) i (4) dobivamo da

c 1 2 = c 2 , ili c 1 = c.

Dakle, trokuti - zadani i izgrađeni - su jednaki, jer imaju tri, redom jednake strane. Kut C 1 je prav, pa je i kut C ovog trokuta prav.

Drevni indijski dokazi.

Matematičari drevne Indije primijetili su da je za dokaz Pitagorinog teorema dovoljno koristiti unutarnji dio drevni kineski crtež. U traktatu “Siddhanta Shiromani” (“Kruna znanja”) ispisanom na palminom lišću najvećeg indijskog matematičara 20.st. Bha-skara je postavio crtež (Sl. 4)

karakterističan za indijske dokaze l riječ "gledaj!". Kao što vidite, pravokutni trokuti su ovdje naslagani sa svojom hipotenuzom prema van i kvadratom S 2 prebačen na "bride-lo stolac" S 2 -b 2 . Imajte na umu da posebni slučajevi Pitagorinog poučka (na primjer, konstrukcija kvadrata čija je površina dvostruko veća sl.4 područje ovog trga) nalaze se u staroindijskom traktatu "Sulva"

Rješavali su pravokutni trokut i kvadrate sagrađene na njegovim katetama, odnosno likove sastavljene od 16 identičnih jednakokračnih pravokutnih trokuta te se stoga uklapaju u kvadrat. To je ljiljan. mali djelić bogatstva skrivenog u biseru drevne matematike – Pitagorinom poučku.

Drevni kineski dokazi.

Matematičke rasprave Drevna Kina došle su do nas u izdanju 1. stoljeća. PRIJE KRISTA. Činjenica je da je 213. pr. Kineski car Shi Huang-di, nastojeći eliminirati stare tradicije, naredio je spaljivanje svih starih knjiga. U P c. PRIJE KRISTA. u Kini je izumljen papir i u isto vrijeme počela je rekonstrukcija starih knjiga. Ključ za ovaj dokaz nije teško pronaći. Doista, na drevnom kineskom crtežu postoje četiri jednaka pravokutna trokuta s kateterima a, b i hipotenuzom S naslagane G) tako da njihova vanjska kontura tvori Slika 2 kvadrat sa stranicama a + b, a unutarnji je kvadrat sa stranom c, izgrađen na hipotenuzi (slika 2, b). Ako se kvadrat sa stranicom c izreže i preostala 4 osjenčana trokuta smjeste u dva pravokutnika (sl. 2, V), jasno je da je nastala praznina, s jedne strane, jednaka S 2 , a s druge - S 2 +b 2 , oni. c 2 \u003d  2 + b 2. Teorem je dokazan. Imajte na umu da se s takvim dokazom ne koriste konstrukcije unutar kvadrata na hipotenuzi, koje vidimo na drevnom kineskom crtežu (slika 2, a). Očigledno su drevni kineski matematičari imali drugačiji dokaz. Upravo ako je u kvadratu sa stranom S dva osjenčana trokuta (sl. 2, b) odrežite i pričvrstite hipotenuze na druge dvije hipotenuze (sl. 2, G), to je lako pronaći

Dobivena figura, koja se ponekad naziva i "mladenkin stolac", sastoji se od dva kvadrata sa stranama A I b, oni. c 2 == a 2 +b 2 .

H Slika 3 reproducira crtež iz rasprave "Zhou-bi ...". Ovdje se razmatra Pitagorin teorem za egipatski trokut s katetama 3, 4 i hipotenuzom 5 jedinica. Kvadrat na hipotenuzi ima 25 ćelija, a kvadrat koji mu je upisan na većoj kateti ima 16. Jasno je da preostali dio sadrži 9 ćelija. Ovo će biti kvadrat na manjoj nozi.

Obično se pripisuje potencijal za kreativnost humanističke znanosti, prirodno znanstveno napuštajući analizu, praktični pristup i suhoparni jezik formula i brojki. Matematika do humanitarni predmeti uopće ne možeš uzeti. Ali bez kreativnosti u "kraljici svih znanosti" nećete daleko stići - za to se zna već dugo. Još od vremena Pitagore, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da u matematici nije važno samo natrpati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegova temeljna načela. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um klišeja i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima rađaju se sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju i ono koje danas poznajemo kao Pitagorin teorem. Uz njegovu pomoć pokušat ćemo pokazati da matematika ne samo da može, nego i treba biti zabavna. I da je ova avantura prikladna ne samo za štrebere s debelim naočalama, već za sve koji su jakog uma i snažnog duha.

Iz povijesti pitanja

Strogo govoreći, iako se teorem naziva "Pitagorin teorem", sam Pitagora ga nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su puno prije njega. Postoje dva polarna gledišta o ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je prvi pronašao potpuni dokaz teorema. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti tko je u pravu, a tko u krivu. Zna se samo da Pitagorin dokaz, ako je i postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da bi poznati dokaz iz Euklidovih Elemenata mogao pripadati Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi o pravokutnom trokutu nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemheta I., na babilonskim glinenim pločicama iz vremena vladavine kralja Hammurabija, u staroindijskoj raspravi Sulva Sutra i starokineskom djelu Zhou -bi suan jin.

Kao što možete vidjeti, Pitagorin teorem zaokuplja umove matematičara od davnina. Kao potvrda tome služi oko 367 raznih dokaza koji danas postoje. Nijedan drugi teorem ne može mu se natjecati u tom pogledu. Značajni autori dokaza uključuju Leonarda da Vincija i 20. predsjednika Sjedinjenih Država, Jamesa Garfielda. Sve to govori o iznimnoj važnosti ovog teorema za matematiku: većina geometrijskih teorema je izvedena iz njega ili je na ovaj ili onaj način povezana s njim.

Dokazi Pitagorinog teorema

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali bit teoreme je u geometriji, pa razmotrimo prije svega one dokaze poznatog teoreme koji se temelje na ovoj znanosti.

Dokaz 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorinog poučka za pravokutni trokut potrebno je postaviti idealni uvjeti: neka trokut nije samo pravokutan, već i jednakokračan. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari izvorno razmatrali takav trokut.

Izjava "kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrirati sljedećim crtežom:

Pogledajte jednakokračni pravokutnik trokut ABC: Na hipotenuzi AC možete sastaviti kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka izvornom ABC. A na nogama AB i BC izgrađenim na kvadratu, od kojih svaka sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj je crtež bio temelj brojnih anegdota i karikatura posvećenih Pitagorinom teoremu. Možda je najpoznatiji "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima":

Dokaz 2

Ova metoda kombinira algebru i geometriju i može se promatrati kao varijanta staroindijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruirajte pravokutni trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim izgradite dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju duljina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri ista trokuta kao na slici 1. Kao rezultat, dobivena su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu četiri konstruirana analogna trokuta tvore kvadrat sa stranicama jednaka hipotenuzi c.

Zbroj površina konstruiranih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruirali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površina kvadrata na sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimajući površine četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranicom (a+b).

Stavljajući sve ovo dolje, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Proširite zagrade, napravite sve potrebne algebarske izračune i dobijte to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. U isto vrijeme, područje upisanog na sl.3. kvadrat se također može izračunati pomoću tradicionalne formule S=c2. Oni. a2+b2=c2 Dokazali ste Pitagorin teorem.

Dokaz 3

Isti taj staroindijski dokaz opisan je u 12. stoljeću u raspravi “Kruna znanja” (“Siddhanta Shiromani”), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkom talentu i moći zapažanja učenika i učenika. sljedbenici: “Vidi!”.

No ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata izgradite četiri pravokutna trokuta kao što je prikazano na crtežu. Označena je stranica velikog kvadrata, koja je ujedno i hipotenuza S. Nazovimo noge trokuta A I b. Prema crtežu stranica unutarnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu kvadratne površine S=c2 izračunati površinu vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost zbrajanjem površine unutarnjeg kvadrata i površine sva četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I to vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja dobit ćete formulu Pitagorinog poučka c2=a2+b2. Teorem je dokazan.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestinska stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. I unutarnji kvadrat sa stranicom c konstruiran je na isti način kao u staroindijskim dokazima danim gore.

Ako mentalno odsiječete dva zelena pravokutna trokuta s crteža na sl. 1, prenesite ih na suprotne strane spojite kvadrat sa stranom c i hipotenuzama na hipotenuze lila trokuta, dobit ćete figuru koja se zove “mladenkin stolac” (slika 2). Radi jasnoće, možete učiniti isto s papirnatim kvadratima i trokutima. Vidjet ćete da se "mladenkin stolac" sastoji od dva kvadrata: malih sa stranicom b a velika sa strane a.

Ove su konstrukcije omogućile drevnim kineskim matematičarima i nama koji smo ih slijedili da dođemo do zaključka da c2=a2+b2.

Dokaz 5

Ovo je još jedan način da se na temelju geometrije pronađe rješenje Pitagorinog teorema. Zove se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokutni trokut ABC. Moramo to dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i izgraditi segment CD, koji je jednak kraku AB. Donja okomica OGLAS segment linije ED. Segmenti ED I AC su jednaki. spoji točke E I U, i E I S i dobiti crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovno pribjegavamo metodi koju smo već testirali: nalazimo površinu dobivene figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedan s drugim.

Pronađite površinu poligona KREVET može se učiniti zbrajanjem površina triju trokuta koji ga čine. I jedan od njih ERU, nije samo pravokutan, već i jednakokračan. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED I prije Krista=CE- to će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopteretimo ga. Tako, S KREVET \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Pritom je očito da KREVET je trapez. Stoga njegovu površinu izračunavamo pomoću formule: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše izračune prikladnije je i jasnije prikazati segment OGLAS kao zbroj segmenata AC I CD.

Zapišimo oba načina za izračunavanje površine figure stavljanjem znaka jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koja nam je već poznata i gore opisana radi pojednostavljenja desna strana zapisi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. A sada otvaramo zagrade i transformiramo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobivamo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Teorem smo dokazali.

Naravno, ovaj popis dokaza je daleko od potpunog. Pitagorin teorem također se može dokazati pomoću vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se npr. tekućina ulije u kvadratne i trokutaste volumene slične onima prikazanim na crtežima. Ulijevanjem tekućine moguće je dokazati jednakost površina i sam teorem kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili nikako ne proučava u školskom kurikulumu. U međuvremenu, vrlo je zanimljivo i ima veliki značaj u geometriji. Pitagorine trojke koriste se za rješavanje mnogih matematičkih problema. Ideja o njima može vam koristiti u daljnjem obrazovanju.

Dakle, što su Pitagorine trojke? Tako oni zovu cijeli brojevi, sakupljene u troje, od kojih je zbroj kvadrata dva jednak trećem broju u kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

• primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
• neprimitivnu (ako se svaki broj trojke pomnoži istim brojem, dobiva se nova trojka koja nije primitivna).

Još prije naše ere stari Egipćani bili su fascinirani manijom za brojevima Pitagorinih trojki: u zadacima su razmatrali pravokutni trokut sa stranicama 3,4 i 5 jedinica. Inače, svaki trokut čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke standardno je pravokutan.

Primjeri Pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teorema

Pitagorin teorem nalazi primjenu ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorin teorem se u njemu široko koristi u problemima različitih razina složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus velikog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Polumjer manjih polukružnica također se može izraziti u smislu b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima polumjer unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorin teorem samo dobro dođe za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen točkastom linijom. Hipotenuza trokuta sastoji se od dva radijusa: b/4+str. Jedan krak je radijus b/4, drugi b/2-str. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Pretvorimo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. A onda sve pojmove dijelimo na b, dajemo slične dobiti 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je i trebalo.

Pomoću teorema možete izračunati duljinu rogova za zabatni krov. Odredite visinu tornja mobilne komunikacije potreban da bi signal dosegao određenu mjesto. Pa čak i stabilno instalirati božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ovaj teorem ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često koristan u stvarnom životu.

Što se književnosti tiče, Pitagorin je teorem nadahnjivao pisce od antike, a to čini i danas. Na primjer, njemački pisac iz devetnaestog stoljeća Adelbert von Chamisso bio je inspiriran njome da napiše sonet:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zasjao, malo je vjerojatno da će se raspršiti
I, kao prije tisuća godina,
Neće izazvati sumnje i sporove.

Najmudrije kad dirne u oko
Svjetlo istine, hvala bogovima;
I stotinu bikova, izbodeni, lažu -
Povratni dar sretnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek probudio pleme bikova
događaj spomenut ovdje.

Misle da je krajnje vrijeme
I opet će biti žrtvovani
Neki veliki teorem.

(preveo Viktor Toporov)

A u dvadesetom stoljeću, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov u svojoj knjizi "Avanture elektronike" posvetio je cijelo poglavlje dokazima Pitagorinog teorema. I pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorin teorem postao temeljni zakon pa čak i religija za jedan svijet. U njemu bi bilo mnogo lakše živjeti, ali i mnogo dosadnije: tamo, primjerice, nitko ne razumije značenje riječi "okruglo" i "pahuljasto".

A u knjizi “Avanture elektronike” autor kroz usta učiteljice matematike Taratare kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, nove ideje.” Upravo taj kreativni let misli generira Pitagorin teorem - nije uzalud toliko raznolikih dokaza. Pomaže otići dalje od uobičajenog i pogledati poznate stvari na nov način.

Zaključak

Ovaj je članak stvoren kako biste mogli pogledati dalje školski plan i program u matematici i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7-11" (A.V. Pogorelov), već i druge znatiželjne načine dokazivanja poznati teorem. Također pogledajte primjere kako se Pitagorin teorem može primijeniti u svakodnevnom životu.

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da dobijete više rezultate u nastavi matematike - informacije o toj temi iz dodatnih izvora uvijek su visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo vam pomoći da steknete osjećaj kako je matematika zanimljiva znanost. Provjerite uključeno konkretni primjeri da uvijek ima mjesta za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorin teorem i ovaj članak potaknuti na vlastita istraživanja i uzbudljiva otkrića u matematici i drugim znanostima.

Recite nam u komentarima jesu li vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Jesu li vam ove informacije bile korisne u vašem studiranju? Recite nam što mislite o Pitagorinom teoremu i ovom članku - rado ćemo s vama razgovarati o svemu tome.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

Pitagorin teorem najvažnija je izjava geometrije. Teorem je formuliran na sljedeći način: površina kvadrata izgrađena na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim nogama.

Obično se otkriće ove izjave pripisuje starogrčki filozof i matematičar Pitagora (VI st. pr. Kr.). Ali proučavanje babilonskih klinastih ploča i drevnih kineskih rukopisa (kopija još starijih rukopisa) pokazalo je da je ova izjava bila poznata davno prije Pitagore, možda tisućljeće prije njega. Pitagorina je zasluga što je otkrio dokaz ovog teorema.

Vjerojatno je činjenica navedena u Pitagorinom teoremu prvi put utvrđena za jednakokračne pravokutne trokute. Dovoljno je pogledati mozaik crnih i svijetlih trokuta prikazan na sl. 1 za provjeru valjanosti teorema o trokutu: kvadrat izgrađen na hipotenuzi sadrži 4 trokuta, a kvadrat koji sadrži 2 trokuta izgrađen je na svakoj kateti. Da bi dokazali opći slučaj u staroj Indiji, imali su dvije metode: u kvadratu sa stranom prikazana su četiri pravokutna trokuta s kracima duljina i (sl. 2, a i 2, b), nakon čega su napisali jedan riječ "Pogledaj!". I doista, gledajući ove figure, vidimo da je s lijeve strane lik bez trokuta, koji se sastoji od dva kvadrata sa stranama i čija je površina jednaka, a s desne strane - kvadrat sa stranom - njegova površina je jednak. Dakle, , što je izjava Pitagorinog teorema.

Međutim, dva tisućljeća se nije koristio ovaj vizualni dokaz, već složeniji dokaz koji je izmislio Euklid, a koji se nalazi u njegovoj poznatoj knjizi "Počeci" (vidi Euklid i njegovi "Počeci"), Euklid je spustio visinu od vrh pravi kut na hipotenuzi i dokazao da njezin nastavak dijeli kvadrat izgrađen na hipotenuzi na dva pravokutnika, čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama (sl. 3). Crtež korišten u dokazu ovog teorema u šali se naziva "Pitagorine hlače". Dugo je smatran jednim od simbola matematičke znanosti.

Danas je poznato nekoliko desetaka različitih dokaza Pitagorinog teorema. Neki od njih temelje se na podjeli kvadrata, u kojoj se kvadrat izgrađen na hipotenuzi sastoji od dijelova uključenih u pregrade kvadrata izgrađenih na katetama; drugi - na komplementu na jednake figure; treći - na činjenicu da visina, spuštena s vrha pravog kuta na hipotenuzu, dijeli pravi trokut na dva slična trokuta.

Pitagorin poučak je temelj većine geometrijskih izračuna. Čak se iu starom Babilonu koristila za izračunavanje duljine visine jednakokračnog trokuta prema duljinama baze i stranice, strelice odsječka prema promjeru kružnice i duljini tetive, te utvrđivanju odnosa između elemenata nekih pravilnih poligona. Uz pomoć Pitagorinog poučka dokazuje se njegova generalizacija, koja omogućuje izračunavanje duljine stranice koja leži nasuprot oštrog ili tupog kuta:

Iz ove generalizacije slijedi da prisutnost pravog kuta u nije samo dovoljan, već i nužan uvjet za ispunjenje jednakosti . Formula (1) implicira relaciju između duljina dijagonala i stranica paralelograma, pomoću kojih je lako pronaći duljinu središnje trokuta iz duljina njegovih stranica.

Na temelju Pitagorine teoreme također je izvedena formula koja izražava površinu bilo kojeg trokuta u smislu duljina njegovih stranica (vidi Heronovu formulu). Naravno, Pitagorin poučak korišten je i za rješavanje raznih praktičnih problema.

Umjesto kvadrata na stranicama pravokutnog trokuta, možete graditi bilo koje slične oblike (jednakostranični trokuti, polukrugovi itd.). U ovom slučaju, površina figure izgrađene na hipotenuzi jednaka je zbroju površina figura izgrađenih na nogama. Još jedna generalizacija povezana je s prijelazom iz ravnine u prostor. Formulira se na sljedeći način: kvadrat duljine dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrate njegovih mjera (duljine, širine i visine). Sličan teorem je također istinit u višedimenzionalnim, pa čak i beskonačnodimenzionalnim slučajevima.

Pitagorin teorem postoji samo u euklidskoj geometriji. To se ne događa ni u geometriji Lobačevskog ni u drugim neeuklidskim geometrijama. Ne postoji ni analogija Pitagorinog teorema na sferi. Dva meridijana koji tvore kut od 90° i ekvator omeđuju na sferi jednakostranični sferni trokut, a sva tri su pravi kutovi. Za njega, ne kao u avionu.

Pomoću Pitagorinog poučka udaljenost između točaka i koordinatne ravnine izračunava se formulom

.

Nakon što je otkriven Pitagorin poučak, postavilo se pitanje kako pronaći sve trojke prirodnih brojeva koji mogu biti stranice pravokutnog trokuta (vidi veliki Fermatov poučak). Otkrili su ih Pitagorejci, ali neke opće metode za pronalaženje takvih trostrukih brojeva bile su poznate čak i Babiloncima. Jedna klinasta ploča sadrži 15 trojki. Među njima postoje trojke koje se sastoje od tzv velike brojke da ne može biti govora o njihovom pronalaženju selekcijom.

HIPOKRATOVI PAKLI

Hipokratovi mjeseci su likovi omeđeni lukovima dviju kružnica, štoviše, takvi da pomoću radijusa i duljine zajedničke tetive tih kružnica, koristeći šestar i ravnalo, možete graditi kvadrate jednake veličine.

Iz generalizacije Pitagorine teoreme na polukrugove, slijedi da je zbroj površina ružičastih rupa prikazanih na slici lijevo jednak površini plavog trokuta. Stoga, ako uzmemo jednakokračan pravokutni trokut, tada ćemo dobiti dvije rupe, od kojih će površina svake biti jednaka polovici površine trokuta. Pokušavajući riješiti problem kvadrature kruga (vidi Klasični problemi antike), starogrčki matematičar Hipokrat (5. st. pr. Kr.) pronašao je još nekoliko rupa, čije su površine izražene preko površina pravocrtnih likova.

Potpuni popis hipomarginalnih rupa dobiven je tek u 19.-20. stoljeću. korištenjem metoda Galoisove teorije.

Provjerite je li trokut koji vam je dan pravokutan jer se Pitagorin poučak odnosi samo na pravokutne trokute. U pravokutnom trokutu jedan od tri kuta uvijek iznosi 90 stupnjeva.

• Pravi kut u pravokutnom trokutu označen je kvadratom umjesto krivuljom, koja predstavlja neprave kutove.

Označite stranice trokuta. Označite katete kao "a" i "b" (katete su stranice koje se sijeku pod pravim kutom), a hipotenuzu kao "c" (hipotenuza je najveća stranica pravokutnog trokuta koja leži nasuprot pravog kuta).

Odredite koju stranu trokuta želite pronaći. Pitagorin teorem omogućuje vam da pronađete bilo koju stranu pravokutnog trokuta (ako su poznate druge dvije strane). Odredite koju stranu (a, b, c) treba pronaći.

• Na primjer, zadana je hipotenuza jednaka 5, a dana kateta jednaka 3. U ovom slučaju, morate pronaći drugu nogu. Kasnije ćemo se vratiti na ovaj primjer.
• Ako su druge dvije stranice nepoznate, potrebno je pronaći duljinu jedne od nepoznatih stranica kako bi se mogla primijeniti Pitagorina teorema. Da biste to učinili, upotrijebite osnovni trigonometrijske funkcije(ako vam je dana vrijednost jednog od nepravih kutova).

Zamijenite u formuli a 2 + b 2 \u003d c 2 vrijednosti koje ste dali (ili vrijednosti koje ste pronašli). Zapamtite da su a i b katete, a c hipotenuza.

• U našem primjeru napišite: 3² + b² = 5².

Kvadrirajte svaku poznatu stranu. Ili ostavite stupnjeve - brojeve možete kvadrirati kasnije.

• U našem primjeru napišite: 9 + b² = 25.

Izolirajte nepoznatu stranu na jednoj strani jednadžbe. Da biste to učinili, pomaknite se poznate vrijednosti na drugu stranu jednadžbe. Ako pronađete hipotenuzu, onda je u Pitagorinom teoremu ona već izolirana na jednoj strani jednadžbe (tako da ne treba ništa učiniti).

• U našem primjeru, pomaknite 9 na desna strana jednadžbe za izdvajanje nepoznate b². Dobit ćete b² = 16.

Ekstrakt Korijen s obje strane jednadžbe nakon što je nepoznanica (na kvadrat) prisutna na jednoj strani jednadžbe, a slobodni član (broj) je prisutan na drugoj strani.

• U našem primjeru, b² = 16. Izvadite kvadratni korijen iz obje strane jednadžbe i dobijete b = 4. Dakle, drugi krak je 4.

Koristite Pitagorin teorem u Svakidašnjica, jer se može koristiti u veliki brojevi praktične situacije. Da biste to učinili, naučite prepoznavati pravokutne trokute u svakodnevnom životu - u bilo kojoj situaciji u kojoj se dva predmeta (ili linije) sijeku pod pravim kutom, a treći objekt (ili linija) povezuje (dijagonalno) vrhove prva dva predmeta (ili linije), možete upotrijebiti Pitagorin teorem za pronalaženje nepoznate strane (ako su druge dvije strane poznate).

• Primjer: Date su ljestve naslonjene na zgradu. Dno stepenica je 5 metara od podnožja zida. Gornji dio stepenice se nalazi 20 metara od tla (uz zid). Kolika je duljina ljestava?
  • "5 metara od podnožja zida" znači da je a = 5; "je 20 metara od tla" znači da je b = 20 (odnosno, date su vam dvije noge pravokutnog trokuta, budući da se zid zgrade i površina Zemlje sijeku pod pravim kutom). Duljina ljestvice je duljina hipotenuze, koja je nepoznata.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Dakle, približna duljina stepenica je 20,6 metara.

MJERENJE POVRŠINE GEOMETRIJSKIH LIKOVA.

§ 58. PITAGORIN TEOREM 1 .

__________
1 Pitagora je grčki znanstvenik koji je živio prije otprilike 2500 godina (564.-473. pr. Kr.).
_________

Neka je dan pravokutni trokut čije su stranice A, b I S(dev. 267).

Sagradimo kvadrate na njegovim stranama. Površine tih kvadrata su redom A 2 , b 2 i S 2. Dokažimo to S 2 = a 2 +b 2 .

Sastavimo dva kvadrata MKOR i M"K"O"R" (sl. 268, 269), uzimajući za stranicu svakog od njih segment jednak zbroju krakova pravokutnog trokuta ABC.

Nakon što smo dovršili konstrukcije prikazane na crtežima 268 i 269 u ovim kvadratima, vidjet ćemo da je kvadrat MKOR podijeljen na dva kvadrata s površinama A 2 i b 2 i četiri jednaka pravokutna trokuta od kojih je svaki jednak pravokutnom trokutu ABC. Kvadrat M"K"O"R" podijeljen je na četverokut (osjenčan je na crtežu 269) i četiri pravokutna trokuta od kojih je svaki također jednak trokutu ABC. Osjenčani četverokut je kvadrat jer su mu stranice jednake (svaka je jednaka hipotenuzi trokuta ABC, tj. S) a kutovi su pravi / 1 + / 2 = 90°, odakle / 3 = 90°).

Dakle, zbroj površina kvadrata izgrađenih na katetama (na crtežu 268 ti su kvadrati osjenčani) jednak je površini MKOR kvadrata bez zbroja površina četiri jednaka trokuta, te površini ​​kvadrat izgrađen na hipotenuzi (na crtežu 269 ovaj kvadrat je također osjenčan) jednak je površini kvadrata M "K" O "R", jednak kvadratu MKOR-a, bez zbroja površina četiri ista trokuta. Stoga je površina kvadrata izgrađena na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Dobili smo formulu S 2 = a 2 +b 2, gdje S- hipotenuza, A I b- noge pravokutnog trokuta.

Pitagorina teorema može se sažeti na sljedeći način:

Kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta.

Iz formule S 2 = a 2 +b 2 možete dobiti sljedeće formule:

A 2 = S 2 - b 2 ;
b 2 = S 2 - A 2 .

Ove se formule mogu koristiti za pronalaženje nepoznate stranice pravokutnog trokuta s obzirom na dvije njegove stranice.
Na primjer:

a) ako su zadane noge A= 4 cm, b\u003d 3 cm, tada možete pronaći hipotenuzu ( S):
S 2 = a 2 +b 2, tj. S 2 = 4 2 + 3 2 ; s 2 = 25, odakle S= √25 =5 (cm);

b) ako je zadana hipotenuza S= 17 cm i krak A= 8 cm, tada možete pronaći drugu nogu ( b):

b 2 = S 2 - A 2, tj. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, odakle b= √225 = 15 (cm).

Posljedica: Ako je u dva pravokutna trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 hipotenuza S I S 1 su jednaki, a kat b trokut ABC je veći od kraka b 1 trokut A 1 B 1 C 1,
zatim nogu A trokut ABC manji od kraka A 1 trokut A 1 B 1 C 1 . (Napravite crtež koji ilustrira ovu posljedicu.)

Doista, na temelju Pitagorine teoreme dobivamo:

A 2 = S 2 - b 2 ,
A 1 2 = S 1 2 - b 1 2

U napisanim formulama umanjenici su jednaki, a oduzetak u prvoj formuli je veći od oduzetika u drugoj formuli, dakle, prva razlika je manja od druge,
tj. A 2 < A 12 . Gdje A< A 1 .

Vježbe.

1. Pomoću crteža 270 dokažite Pitagorin poučak za jednakokračni pravokutni trokut.

2. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 12 cm, druga 5 cm.Izračunaj duljinu hipotenuze tog trokuta.

3. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 10 cm, jedna kateta je 8 cm.Izračunaj duljinu druge katete tog trokuta.

4. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 37 cm, jedna mu je kateta 35 cm.Izračunaj duljinu druge katete tog trokuta.

5. Konstruiraj kvadrat duplo veće površine od zadanog.

6. Konstruiraj kvadrat dvostruko veće površine od zadanog. Uputa. Nacrtajte dijagonale u ovom kvadratu. Kvadrati izgrađeni na polovicama ovih dijagonala bit će željeni.

7. Katete pravokutnog trokuta jednake su 12 cm odnosno 15 cm.Izračunaj duljinu hipotenuze tog trokuta s točnošću od 0,1 cm.

8. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 20 cm, jedna njegova kateta je 15 cm.Izračunaj duljinu druge katete s točnošću od 0,1 cm.

9. Koliko trebaju biti dugačke ljestve da se mogu pričvrstiti na prozor koji se nalazi na visini od 6 m, ako donji kraj ljestava treba biti 2,5 m od zgrade? (Prokletstvo. 271.)