trokuta

trokut Figurom se naziva lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji i tri segmenta koji spajaju te točke u parovima. Bodovi se zovu vrhovi trokut, a segmenti - njegovi stranke.

Vrste trokuta

Trokut se zove jednakokračan ako su mu dvije strane jednake. Te jednake strane nazivaju se strane, a treća strana se zove osnova trokut.

Trokut u kojem su sve stranice jednake naziva se jednakostraničan ili ispraviti.

Trokut se zove pravokutan, ako ima pravi kut, onda postoji kut od 90°. Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza zovu se druge dvije strane noge.

Trokut se zove oštrokutni ako su mu sva tri kuta oštra, odnosno manja od 90 °.

Trokut se zove tup, ako je jedan od njegovih kutova tup, tj. veći od 90°.

Glavne linije trokuta

Medijan

Medijan trokut je isječak koji spaja vrh trokuta sa središtem suprotne stranice tog trokuta.

Svojstva medijane trokuta

Medijan dijeli trokut na dva trokuta iste površine.

Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova točka se zove centar gravitacije trokut.

Cijeli je trokut podijeljen svojim medijanama na šest jednakih trokuta.

Simetrala

Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz njegova vrha, prolazi između njegovih stranica i raspolavlja zadani kut. Simetrala trokuta Segment simetrale kuta trokuta koji povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani trokuta naziva se.

Svojstva simetrale trokuta

Visina

Visina trokutom se naziva okomica povučena iz vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu tog trokuta.

Svojstva visine trokuta

U pravokutni trokut visina povučena iz vrha pravog kuta dijeli ga na dva trokuta, sličan izvornik.

U oštrokutni trokut njegove dvije visine odsječene od njega sličan trokuta.

Srednja okomica

Pravac koji prolazi središtem segmenta okomito na njega naziva se okomita simetrala na segment .

Svojstva simetrala okomitih trokuta

Svaka točka simetrale okomice na segment jednako je udaljena od krajeva tog segmenta. Vrijedi i obrnuta tvrdnja: svaka točka jednako udaljena od krajeva odsječka leži na okomitoj simetrali na nju.

Točka presjeka simetrala povučenih na stranice trokuta, središte je oko tog trokuta opisana kružnica.

središnja linija

Srednja linija trokuta Odsječak koji spaja središnje dviju njegovih stranica naziva se.

Svojstvo srednje crte trokuta

Sredina trokuta paralelna je s jednom od njegovih stranica i jednaka je polovici te stranice.

Formule i omjeri

Znakovi jednakosti trokuta

Dva su trokuta sukladna ako su međusobno sukladna:

dvije stranice i kut između njih;

dva kuta i strana uz njih;

tri strane.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

Dva pravokutni trokut jednaki ako su redom jednaki:

hipotenuza i oštri kut

noga i suprotni kut;

noga i susjedni kut;

dva noga;

hipotenuza I noga.

sličnost trokuta

Dva trokuta su slični ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta, tzv znakovi sličnosti:

dva kuta jednog trokuta jednaka su dvama kutovima drugog trokuta;

dvije stranice jednog trokuta proporcionalne su dvjema stranicama drugog trokuta, a kutovi koje te stranice tvore jednaki su;

tri stranice jednog trokuta proporcionalne su trima stranicama drugog trokuta.

U sličnim trokutima, odgovarajući pravci ( visine, medijani, simetrale itd.) su proporcionalni.

Sinusni teorem

Stranice trokuta proporcionalne su sinusima nasuprotnih kutova, a koeficijent proporcionalnosti je promjer krug opisan oko trokuta:

Kosinusni teorem

Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica i kosinus kuta između njih:

a 2 = b 2 + c 2 - 2prije Krista cos

Formule površine trokuta

Proizvoljni trokut

a, b, c - strane; - kut između stranica a I b; - polu-perimetar; R- polumjer opisane kružnice; r- polumjer upisane kružnice; S- kvadrat; h a - visina na stranu a.

Zadaci:

1. Upoznati učenike sa različiti tipovi trokuta ovisno o vrsti kuta (pravokutni, šiljasti, tupi). Naučiti pronaći trokute i njihove vrste na crtežima. Utvrditi osnovne geometrijske pojmove i njihova svojstva: pravac, dužina, poluprava, kut.

2. Razvoj mišljenja, mašte, matematičkog govora.

3. Obrazovanje pažnje, aktivnosti.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

Koliko nam trebaju momci?
Za naše vješte ruke?
Nacrtaj dva kvadrata
I imaju veliki krug.
A onda još nekoliko krugova
Trokutasta kapa.
Tako da je ispalo jako, jako
Veselo Čudno.

II. Najava teme lekcije.

Danas ćemo u lekciji obići grad geometrije i posjetiti mikrodistrikt Trokuta (to jest, upoznat ćemo se s različitim vrstama trokuta ovisno o njihovim kutovima, naučit ćemo pronaći te trokute na crtežima.) Provest ćemo lekciju u obliku „natjecateljske igre” po timovima.

1 tim - "Segment".

2 tim - "Ray".

Tim 3 - "Kutak".

A gosti će predstavljati žiri.

Žiri će nas voditi putem

I neće ostaviti bez pažnje. (Ocjeniti po točkama 5,4,3,...).

A na čemu ćemo putovati po gradu geometrije? Sjetite se koje vrste prijevoza putnika postoje u gradu? Toliko nas je, koga da izaberemo? (Autobus).

Autobus. Jasno, kratko. Počinje ukrcaj.

Udobno se smjestimo i krenimo na naše putovanje. Kapetani ekipa dobivaju ulaznice.

Ali ove karte nisu lake, a karte su “zadaci”.

III. Ponavljanje pređenog gradiva.

Prva stanica"Ponoviti."

Pitanje za sve ekipe.

Pronađite ravnu liniju na crtežu i imenujte njezina svojstva.

Bez kraja i ruba, linija je ravna!
Najmanje stotinu godina traje,
Nećeš naći kraj puta!

• Prava linija nema ni početka ni kraja – beskonačna je, pa se ne može mjeriti.

Započnimo naše natjecanje.

Zaštita imena vašeg tima.

(Svi timovi čitaju prva pitanja i raspravljaju. Zauzvrat, kapetani timova čitaju pitanja, 1 tim čita 1 pitanje).

1. Prikaži segment na crtežu. Ono što se zove rez. Imenuj njegova svojstva.

• Dio pravca omeđen dvjema točkama naziva se odsječak. Isječak ima početak i kraj, pa se može mjeriti ravnalom.

(Tim 2 čita 1 pitanje).

1. Prikažite gredu na crtežu. Ono što se zove greda. Imenuj njegova svojstva.

• Ako označite točku i iz nje povučete dio ravne linije, dobit ćete sliku grede. Točka iz koje je povučen dio pravca naziva se početak zrake.

Greda nema kraja, pa se ne može mjeriti.

(Tim 3 čita 1 pitanje).

1. Pokažite kut na crtežu. Ono što se zove kut. Imenuj njegova svojstva.

• Povlačenjem dvije zrake iz jedne točke dobiva se geometrijski lik koji se naziva kut. Kut ima vrh, a same zrake nazivamo stranicama kuta. Kutovi se mjere u stupnjevima pomoću kutomjera.

Fizkultminutka (na glazbu).

IV. Priprema za proučavanje novog gradiva.

Druga stanica"Nevjerojatan".

U šetnji je Olovka upoznala različite kutove. Htio sam ih pozdraviti, ali sam svakom od njih zaboravio ime. Olovka će morati pomoći.

(Kutovi studije provjeravaju se pomoću modela pravog kuta).

Dodjela timovima. Pročitajte pitanje #2 i raspravite.

Tim 1 čita pitanje 2.

2. Nađi pravi kut, daj definiciju.

• Kut od 90° naziva se pravim kutom.

Tim 2 čita pitanje 2.

2. Nađi oštar kut, daj definiciju.

• Kut manji od pravog kuta naziva se šiljasti kut.

Tim 3 čita pitanje 2.

2. Nađi tupi kut, daj definiciju.

Kut veći od pravog kuta nazivamo tupim.

U kvartu gdje je Pencil volio šetati, svi su se uglovi razlikovali od ostalih stanovnika po tome što smo nas troje uvijek šetali, pili čaj zajedno, išli zajedno u kino. A Olovka nije mogla shvatiti kakvu to geometrijsku figuru čine tri kuta zajedno?

Pjesma će vam dati nagovještaj.

Ti na mene, ti na njega
Pogledajte sve nas.
Imamo sve, imamo sve
Imamo samo tri!

Na koji oblik se misli?

• O trokutu.

Koji se oblik naziva trokut?

• Trokut je geometrijski lik koji ima tri vrha, tri kuta i tri stranice.

(Učenici pokazuju trokut na crtežu, imenuju vrhove, kutove i stranice).

Vrhovi: A, B, C (točke)

Kutovi: BAC, ABC, BCA.

Stranice: AB, BC, CA (segmenti).

V. Tjelesni odgoj:

lupni nogom 8 puta,
Pljesnite rukama 9 puta
čučnut ćemo 10 puta,
i savijte se 6 puta
skočit ćemo ravno
toliko (trokutasti prikaz)
Hej, da, računajte! Igra i više!

VI. Učenje novog gradiva.

Ubrzo su se kutovi sprijateljili i postali nerazdvojni.

A sada ćemo mikročetvrt nazvati: mikročetvrt Trokuta.

Treća stanica je "Znayka".

Kako se zovu ovi trokuti?

Dajmo im imena. I pokušajmo sami formulirati definiciju.

2. Pronađite trokute različitih vrsta

1 tim će pronaći i pokazati tupokutne trokute.

2 naredba će pronaći i prikazati pravokutne trokute.

3 naredba će pronaći i prikazati oštrokutne trokute.

VIII. Sljedeća stanica je Razmišljanje.

Dodjela svim timovima.

Nakon što prebacite 6 štapića, napravite 4 jednaka trokuta od lampiona.

Kakvi su kutovi trokuta? (Oštrokutni).

IX. Sažetak lekcije.

Koje smo naselje posjetili?

Koje vrste trokuta poznajete?

Najjednostavniji poligon koji se proučava u školi je trokut. Učenicima je razumljiviji i nailazi na manje poteškoća. Unatoč tome što ih ima različite vrste trokuta koji imaju posebna svojstva.

Koji se oblik naziva trokut?

Formiran od tri točke i odsječaka. Prvi se nazivaju vrhovi, a drugi strane. Štoviše, sva tri segmenta moraju biti povezana tako da se između njih formiraju kutovi. Otuda i naziv figure "trokut".

Razlike u imenima u kutovima

Budući da mogu biti oštri, tupi i ravni, vrste trokuta određuju se ovim nazivima. Sukladno tome, postoje tri skupine takvih figura.

• Prvi. Ako su svi kutovi trokuta šiljasti, tada ćemo ga zvati oštrokutni trokut. Sve je logično.

• Drugi. Jedan od kutova je tup, pa je trokut tup. Lakše nigdje.

• Treći. Postoji kut jednak 90 stupnjeva, koji se naziva pravim kutom. Trokut postaje pravokutan.

Razlike u imenima na stranama

Ovisno o karakteristikama strana, razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

opći slučaj je svestran, u kojem sve strane imaju proizvoljnu duljinu;

jednakokračan, čije dvije stranice imaju jednake brojčane vrijednosti;

jednakostraničan, duljine svih njegovih stranica su iste.

Ako zadatak nije naveden specifičan pogled trokut, tada trebate nacrtati proizvoljan. U kojem su svi kutovi oštri, a stranice imaju različite duljine.

Svojstva zajednička svim trokutima

1. Ako zbrojite sve kutove trokuta, dobit ćete broj jednak 180º. I nije bitno koje je vrste. Ovo pravilo uvijek vrijedi.
2. Brojčana vrijednost bilo koje stranice trokuta manja je od druge dvije zbrojene. Štoviše, veća je od njihove razlike.
3. Svaki vanjski kut ima vrijednost koja se dobiva zbrajanjem dvaju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni. Štoviše, uvijek je veći od susjednog unutarnjeg.
4. Najmanja stranica trokuta uvijek je nasuprot najmanjem kutu. Nasuprot tome, ako je stranica velika, tada će kut biti najveći.

Ova svojstva uvijek vrijede, bez obzira koje se vrste trokuta razmatraju u problemima. Sve ostalo proizlazi iz specifičnih obilježja.

Svojstva jednakokračnog trokuta

• Kutovi uz bazu su jednaki.
• Visina koja je povučena na osnovicu je ujedno i središnja i simetrala.
• Visine, središnje i simetrale, koje su izgrađene na stranicama trokuta, međusobno su jednake.

Svojstva jednakostraničnog trokuta

Ako postoji takva brojka, tada će sva svojstva opisana malo iznad biti istinita. Jer jednakostraničan će uvijek biti jednakokračan. Ali ne i obrnuto, jednakokračni trokut neće nužno biti i jednakostraničan.

• Svi njegovi kutovi su međusobno jednaki i imaju vrijednost od 60º.
• Svaki medijan jednakostraničnog trokuta njegova je visina i simetrala. I svi su međusobno jednaki. Za određivanje njihovih vrijednosti postoji formula koja se sastoji od umnoška stranice i kvadratnog korijena od 3 podijeljenog s 2.

Svojstva pravokutnog trokuta

• Zbroj dva oštra kuta daje 90º.
• Duljina hipotenuze uvijek je veća od duljine bilo koje katete.
• Brojčana vrijednost medijana povučena na hipotenuzu jednaka je njezinoj polovici.
• Krak je jednak istoj vrijednosti ako leži nasuprot kutu od 30º.
• Visina, koja se izvlači s vrha s vrijednošću od 90º, ima određenu matematičku ovisnost o nogama: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. Ovdje: a, c - noge, n - visina.

Zadaci s različitim vrstama trokuta

broj 1. Zadan je jednakokračni trokut. Njegov opseg je poznat i iznosi 90 cm, a potrebno je znati njegove stranice. Kao dodatni uvjet: bočna stranica je 1,2 puta manja od baze.

Vrijednost perimetra izravno ovisi o količinama koje je potrebno pronaći. Zbroj sve tri strane dat će 90 cm Sada se morate sjetiti znaka trokuta, prema kojem je jednakokračan. Odnosno, dvije strane su jednake. Možete napraviti jednadžbu s dvije nepoznanice: 2a + b \u003d 90. Ovdje je a stranica, b je baza.

Vrijeme je za dodatni uvjet. Nakon toga dobiva se druga jednadžba: b \u003d 1.2a. Ovaj izraz možete zamijeniti prvim. Ispada: 2a + 1,2a \u003d 90. Nakon transformacija: 3,2a \u003d 90. Dakle \u003d 28,125 (cm). Sada je lako otkriti razlog. Najbolje je to učiniti iz drugog uvjeta: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Za provjeru možete zbrojiti tri vrijednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). U redu.

Odgovor: stranice trokuta su 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

broj 2. Stranica jednakostraničnog trokuta je 12 cm.Treba izračunati njegovu visinu.

Riješenje. Za traženje odgovora dovoljno je vratiti se na trenutak u kojem su opisana svojstva trokuta. Ovo je formula za pronalaženje visine, medijana i simetrale jednakostraničnog trokuta.

n \u003d a * √3 / 2, gdje je n visina, a je strana.

Zamjena i izračun daju sljedeći rezultat: n = 6 √3 (cm).

Ovu formulu nije potrebno pamtiti. Dovoljno je podsjetiti da visina dijeli trokut na dva pravokutna. Štoviše, ispada da je to noga, a hipotenuza u njoj je strana izvorne, druga noga je polovica poznate strane. Sada trebate napisati Pitagorin poučak i izvesti formulu za visinu.

Odgovor: visina je 6 √3 cm.

broj 3. Zadan je MKR - trokut od 90 stupnjeva u kojemu je kut K. Stranice MP i KR su poznate, jednake su 30, odnosno 15 cm. Potrebno je saznati vrijednost kuta P.

Riješenje. Ako nacrtate, postaje jasno da je MP hipotenuza. Štoviše, dvostruko je veći od noge CD-a. Opet se morate okrenuti svojstvima. Jedan od njih je upravo vezan uz kutove. Iz toga je jasno da je kut KMR 30º. Tako će željeni kut P biti jednak 60º. To slijedi iz drugog svojstva koje kaže da je zbroj dva oštri kutovi treba biti 90º.

Odgovor: kut R je 60º.

broj 4. Trebate pronaći sve kutove jednakokračnog trokuta. O njemu je poznato da je vanjski kut od kuta na bazi 110º.

Riješenje. Budući da je dan samo vanjski kut, treba ga koristiti. Formira se s razvijenim unutarnjim kutom. Dakle, oni zbroje do 180º. Odnosno, kut na bazi trokuta bit će jednak 70º. Budući da je jednakokračan, drugi kut ima istu vrijednost. Ostaje izračunati treći kut. Po svojstvu zajedničkom svim trokutima, zbroj kutova je 180º. Dakle, treći je definiran kao 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: kutovi su 70º, 70º, 40º.

broj 5. Poznato je da je u jednakokračnom trokutu kut nasuprot osnovici 90º. Na bazi je označena točka. Segment koji ga povezuje s pravim kutom dijeli ga u omjeru 1 prema 4. Morate znati sve kutove manjeg trokuta.

Riješenje. Jedan od uglova može se odmah odrediti. Budući da je trokut pravokutan i jednakokračan, oni koji leže na njegovoj osnovi bit će 45º, odnosno 90º / 2.

Drugi od njih pomoći će pronaći odnos poznat u stanju. Budući da je jednak 1 do 4, tada je dijelova na koje je podijeljen samo 5. Dakle, da biste saznali manji kut trokuta, trebate 90º / 5 = 18º. Ostaje doznati treći. Da biste to učinili, od 180º (zbroj svih kutova trokuta) trebate oduzeti 45º i 18º. Izračuni su jednostavni i ispada: 117º.

U pravilu se dva trokuta smatraju sličnima ako imaju isti oblik, čak i ako su različite veličine, zakrenuti ili čak okrenuti naopako.

Matematički prikaz dvaju sličnih trokuta A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2 prikazanih na slici zapisan je na sljedeći način:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva su trokuta slična ako:

1. Svaki kut jednog trokuta jednak je odgovarajućem kutu drugog trokuta:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 I ∠C1 = ∠C2

2. Omjeri stranica jednog trokuta prema odgovarajućim stranicama drugog trokuta međusobno su jednaki:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Odnosi dvije strane jednog trokuta na odgovarajuće stranice drugog trokuta međusobno su jednake i istovremeno
kutovi između ovih stranica su jednaki:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ i $\kut A_1 = \kut A_2$
ili
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ i $\kut B_1 = \kut B_2$
ili
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ i $\kut C_1 = \kut C_2$

Slične trokute ne treba brkati s jednakim trokutima. Sukladni trokuti imaju odgovarajuće duljine stranica. Dakle, za jednake trokute:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iz ovoga proizlazi da sve jednaki trokuti su slični. Međutim, nisu svi slični trokuti jednaki.

Iako gornji zapis pokazuje da da bismo saznali jesu li dva trokuta slična ili ne, moramo znati vrijednosti triju kutova ili duljine triju stranica svakog trokuta, za rješavanje problema sa sličnim trokutima dovoljno je znati bilo koje tri vrijednosti od navedenog za svaki trokut. Ove vrijednosti mogu biti u različitim kombinacijama:

1) tri kuta svakog trokuta (duljine stranica trokuta ne moraju biti poznate).

Ili barem 2 kuta jednog trokuta moraju biti jednaka 2 kuta drugog trokuta.
Budući da ako su 2 kuta jednaka, onda će i treći kut biti jednak (vrijednost trećeg kuta je 180 - kut1 - kut2)

2) duljine stranica svakog trokuta (ne treba znati kutove);

3) duljine dviju stranica i kut između njih.

Zatim razmatramo rješenja nekih problema sa sličnim trokutima. Prvo ćemo pogledati probleme koji se mogu riješiti izravnom uporabom gornjih pravila, a zatim ćemo raspraviti neke praktičnih zadataka, koji se rješavaju metodom sličnih trokuta.

Praktični zadaci sa sličnim trokutima

Primjer #1: Pokažite da su dva trokuta na donjoj slici slična.

Riješenje:
Budući da su poznate duljine stranica obaju trokuta, ovdje se može primijeniti drugo pravilo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC)=\frac(15)(5)=3$

Primjer #2: Pokažite da su dva zadana trokuta slična i odredite duljine stranica PQ I PR.

Riješenje:
∠A = ∠P I ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(jer ∠C = 180 - ∠A - ∠B i ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Iz ovoga slijedi da su trokuti ∆ABC i ∆PQR slični. Stoga:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ i
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Primjer #3: Odredite duljinu AB u ovom trokutu.

Riješenje:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED I ∠A uobičajeni => trokuti ΔABC I ΔADE su slični.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \desna strelica 2\puta AB = AB + 4 \desna strelica AB = 4$

Primjer #4: Odredite duljinu AD(x) geometrijski lik u slici.

Trokuti ∆ABC i ∆CDE su slični jer je AB || DE i imaju zajednički gornji kut C.
Vidimo da je jedan trokut smanjena verzija drugog. Međutim, to moramo matematički dokazati.

AB || DE, CD || AC i BC || EU
∠BAC = ∠EDC i ∠ABC = ∠DEC

Na temelju prethodno navedenog i uzimajući u obzir prisutnost zajedničkog kuta C, možemo ustvrditi da su trokuti ∆ABC i ∆CDE slični.

Stoga:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7) = 23,57$
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktični primjeri

Primjer #5: Tvornica koristi nagnutu pokretnu traku za transport proizvoda od razine 1 do razine 2, koja je 3 metra iznad razine 1, kao što je prikazano na slici. Kosi transporter opslužuje se s jednog kraja do razine 1, a s drugog kraja do radne stanice koja se nalazi na udaljenosti od 8 metara od radne točke razine 1.

Tvornica želi nadograditi pokretnu traku za pristup novoj razini, koja je 9 metara iznad razine 1, uz zadržavanje kuta pokretne trake.

Odredite udaljenost na kojoj trebate postaviti novu radnu stanicu kako biste omogućili pokretnoj traci da radi na novom kraju na razini 2. Također izračunajte dodatnu udaljenost koju će proizvod prijeći kada se pomakne na novu razinu.

Riješenje:

Prvo, označimo svaku točku sjecišta određenim slovom, kao što je prikazano na slici.

Na temelju obrazloženja danog u prethodnim primjerima, možemo zaključiti da su trokuti ∆ABC i ∆ADE slični. Stoga,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Dakle, nova točka mora biti postavljena na udaljenosti od 16 metara od postojeće točke.

Budući da je struktura sastavljena od pravokutnih trokuta, možemo izračunati put proizvoda na sljedeći način:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Slično, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
što je udaljenost koju proizvod prijeđe u trenutku kada dosegne postojeću razinu.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
To je dodatna udaljenost koju proizvod mora prijeći da bi dosegao novu razinu.

Primjer #6: Steve želi posjetiti svog prijatelja koji se nedavno preselio u nova kuća. Na slici je prikazana karta puta do kuće Stevea i njegovog prijatelja, zajedno s udaljenostima koje su Steveu poznate. Pomozite Steveu da najkraćim putem dođe do prijateljeve kuće.

Riješenje:

Putokaz se može geometrijski prikazati u sljedećem obliku, kao što je prikazano na slici.

Vidimo da su trokuti ∆ABC i ∆CDE slični, dakle:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Izjava o zadatku navodi sljedeće:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km i DE = 5 km

Koristeći ove informacije, možemo izračunati sljedeće udaljenosti:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \puta CD)(BC) = \frac(13,13 \puta 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve može doći do kuće svog prijatelja sljedećim rutama:

A -> B -> C -> E -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Stoga je put #3 najkraći i može se ponuditi Steveu.

Primjer 7:
Trisha želi izmjeriti visinu kuće, ali nema pravi alat. Primijetila je da ispred kuće raste stablo i odlučila svojom snalažljivošću i znanjem geometrije stečenim u školi odrediti visinu zgrade. Izmjerila je udaljenost od stabla do kuće, rezultat je bio 30 m. Zatim je stala ispred stabla i počela se povlačiti dok gornji rub zgrade su postale vidljive iznad vrha stabla. Trisha je označila mjesto i izmjerila udaljenost od njega do stabla. Ta je udaljenost bila 5 m.

Visina stabla je 2,8 m, a visina Trishinih očiju je 1,6 m. Pomozi Trishi odrediti visinu zgrade.

Riješenje:

Geometrijski prikaz problema prikazan je na slici.

Prvo koristimo sličnost trokuta ∆ABC i ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Tada možemo koristiti sličnost trokuta ∆ACB i ∆AFG ili ∆ADE i ∆AFG. Izaberimo prvu opciju.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \desna strelica H = \frac(1,6)(0,16) = 10 m$