Prosječna razina

Simetrala trokuta. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Simetrala trokuta i njezina svojstva

Znate li što je središte linije? Naravno da jesi. A središte kruga? Isti. Što je središte kuta? Možete reći da se to ne događa. Ali zašto, segment se može podijeliti na pola, ali kut ne može? Sasvim je moguće - samo ne točka, ali .... crta.

Sjetite se šale: simetrala je štakor koji trči oko kutova i dijeli kut na pola. Dakle, prava definicija simetrale je vrlo slična ovoj šali:

Simetrala trokuta je segment simetrale kuta trokuta koji spaja vrh tog kuta s točkom na suprotnoj strani.

Jednom davno, drevni astronomi i matematičari otkrili su mnogo zanimljivih svojstava simetrale. Ovo znanje je uvelike pojednostavilo živote ljudi. Postalo je lakše graditi, izračunati udaljenosti, čak i ispraviti pucanje topova ... Ali poznavanje ovih svojstava pomoći će nam riješiti neke zadatke GIA-e i Jedinstvenog državnog ispita!

Prvo znanje koje će pomoći u tome - simetrala jednakokračnog trokuta.

Usput, sjećate li se svih ovih pojmova? Sjećate li se kako se međusobno razlikuju? Ne? Nije strašno. Sada ćemo to shvatiti.

Tako, osnovica jednakokračnog trokuta- ovo je strana koja nije ravna nijednoj drugoj. Pogledajte sliku, što mislite s koje je strane? Tako je - to je strana.

Medijan je crta povučena iz vrha trokuta i prepolovljuje suprotnu stranicu (opet ovo).

Primijetite da ne kažemo: "Medijan jednakokračnog trokuta." Znaš li zašto? Jer središnja povučena iz vrha trokuta raspolavlja suprotnu stranicu u BILO KOJEM trokutu.

Pa, visina je crta povučena od vrha i okomita na bazu. Jeste li primijetili? Opet govorimo o bilo kojem trokutu, a ne samo o jednakokračnom. Visina u BILO KOJEM trokutu uvijek je okomita na osnovicu.

Dakle, jeste li shvatili? Skoro. Da bismo bolje razumjeli i zauvijek zapamtili što su simetrala, medijana i visina, potrebno ih je međusobno usporediti i shvatiti po čemu su slični, a po čemu se međusobno razlikuju. U isto vrijeme, radi boljeg pamćenja, bolje je sve opisati "ljudskim jezikom". Tada ćete lako operirati jezikom matematike, ali u početku ne razumijete taj jezik i trebate sve shvatiti na svom jeziku.

Pa kako su slični? Simetrala, središnja i visina - sve one "izlaze" iz vrha trokuta i naslanjaju se u suprotnom smjeru i "rade nešto" ili s kutom iz kojeg izlaze, ili sa suprotnom stranom. Mislim da je jednostavno, zar ne?

A kako se razlikuju?

• Simetrala raspolavlja kut iz kojeg izlazi.
• Medijan raspolavlja suprotnu stranu.
• Visina je uvijek okomita na suprotnu stranu.

To je to. Lako je razumjeti. Kad jednom shvatite, možete se sjetiti.

Sada sljedeće pitanje. Zašto onda kod jednakokračnog trokuta simetrala ispada istovremeno i središnja i visina?

Možete samo pogledati sliku i uvjeriti se da se medijan dijeli na dva potpuno jednaka trokuta. To je sve! Ali matematičari ne vole vjerovati svojim očima. Trebaju sve dokazati. Strašna riječ? Ništa slično - sve je jednostavno! Pogledajte: i imaju jednake stranice i, imaju zajedničku stranicu i. (- simetrala!) I tako, pokazalo se da dva trokuta imaju dva jednake strane i kut između njih. Prisjećamo se prvog znaka jednakosti trokuta (ne sjećate se, pogledajte temu) i zaključujemo da, što znači = i.

Ovo je već dobro - znači da se pokazalo da je medijan.

Ali što je to?

Pogledajmo sliku -. I dobili smo to. Dakle, također! Napokon, hura! I.

Je li vam teško pao ovaj dokaz? Pogledajte sliku - dva identična trokuta govore sama za sebe.

U svakom slučaju, zapamtite:

Sada je teže: brojat ćemo kut između simetrala u bilo kojem trokutu! Ne bojte se, nije sve tako škakljivo. Pogledaj sliku:

Prebrojimo. Sjećaš li se toga zbroj kutova trokuta je?

Primijenimo ovu nevjerojatnu činjenicu.

S jedne strane, od:

To je.

Sada pogledajmo:

Ali simetrale, simetrale!

Prisjetimo se o:

Sada kroz slova

\kut AOC=90()^\circ +\frac(\kut B)(2)

Nije li iznenađujuće? Pokazalo se da kut između simetrala dvaju kutova ovisi samo o trećem kutu!

Pa, gledali smo dvije simetrale. Što ako su tri??!! Hoće li se svi presjeći u istoj točki?

Ili će biti?

Kako misliš? Ovdje su matematičari mislili i mislili i dokazali:

Stvarno super?

Želite li znati zašto se to događa?

Dakle ... dva pravokutna trokuta: i. Oni imaju:

• zajednička hipotenuza.
• (jer - simetrala!)

Dakle - po kutu i hipotenuzi. Dakle, odgovarajuće katete tih trokuta su jednake! To je.

Dokazali smo da je točka jednako (ili jednako) udaljena od stranica kuta. Točka 1 je obrađena. Sada prijeđimo na točku 2.

Zašto je 2 točno?

I spojite točkice.

Dakle, to jest, leži na simetrali!

To je sve!

Kako se sve ovo može primijeniti na rješavanje problema? Na primjer, u zadacima često postoji takva fraza: "Krug dodiruje strane kuta ...". Pa, moraš nešto pronaći.

To brzo shvatiš

I možete koristiti jednakost.

3. Tri simetrale u trokutu sijeku se u jednoj točki

Iz svojstva simetrale da je geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta, slijedi sljedeća tvrdnja:

Kako točno teče? Ali pogledajte: dvije simetrale će se sigurno presijecati, zar ne?

A treća bi simetrala mogla ići ovako:

Ali zapravo je sve puno bolje!

Promotrimo sjecište dviju simetrala. Nazovimo je.

Što smo ovdje upotrijebili oba puta? Da stavak 1, naravno! Ako točka leži na simetrali, tada je jednako udaljena od stranica kuta.

Tako se i dogodilo.

Ali pažljivo pogledajte ove dvije jednakosti! Uostalom, iz njih proizlazi da i, dakle, .

I sad će uspjeti točka 2: ako su udaljenosti stranica kuta jednake, tada točka leži na simetrali ... kojeg kuta? Pogledaj ponovo sliku:

i su udaljenosti do stranica kuta, a jednake su, što znači da točka leži na simetrali kuta. Kroz istu točku prolazila je i treća simetrala! Sve tri simetrale sijeku se u jednoj točki! I kao dodatni poklon -

Radijusi upisana krugovi.

(Za vjernost pogledajte drugu temu).

Pa, sada nikada nećete zaboraviti:

Sjecište simetrala trokuta je središte u njega upisane kružnice.

Prijeđimo na sljedeće svojstvo ... Wow, a simetrala ima mnogo svojstava, zar ne? I to je super, jer što je više svojstava, to je više alata za rješavanje problema o simetrali.

4. Simetrala i paralelnost, simetrale susjednih kutova

Činjenica da simetrala raspolavlja kut u nekim slučajevima dovodi do potpuno neočekivanih rezultata. Na primjer,

Slučaj 1

Super je, zar ne? Shvatimo zašto.

S jedne strane crtamo simetralu!

Ali, s druge strane, - kao unakrsno ležeći uglovi (sjetite se teme).

I sad se pokazalo da; izbaci sredinu: ! - jednakokračan!

Slučaj 2

Zamislite trokut (ili pogledajte sliku)

Nastavimo jednu po točku. Sada postoje dva ugla:

• - unutarnji kut
• - vanjski kut - vani je, zar ne?

Dakle, i sad je netko htio nacrtati ne jednu, nego dvije simetrale odjednom: i za i za. Što će se dogoditi?

I to će se pokazati pravokutan!

Začudo, to je upravo to.

Razumijemo.

Što mislite koji je iznos?

Naravno, jer svi zajedno čine takav kut da ispadne ravna linija.

I sada se prisjetimo da su simetrale i vidjet ćemo da je unutar kuta točno pola iz zbroja sva četiri kuta: i - - tj. točno. Može se napisati i kao jednadžba:

Dakle, nevjerojatno ali istinito:

Kut između simetrala unutarnjeg i vanjskog kuta trokuta je jednak.

Slučaj 3

Vidite da je ovdje sve isto kao i za unutarnje i vanjske kutove?

Ili opet razmišljamo zašto je to tako?

Opet, što se tiče susjedni uglovi,

(kao što odgovara paralelnim bazama).

I opet, pomirite se točno pola od zbroja

Zaključak: Ako u zadatku postoje simetrale srodni kutova ili simetrala dotični kutovi paralelograma ili trapeza, zatim u ovom zadatku sigurno pravokutni trokut, a možda čak i cijeli pravokutnik.

5. Simetrala i suprotna stranica

Ispada da simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu ne nekako, već na poseban i vrlo zanimljiv način:

To je:

Nevjerojatna činjenica, zar ne?

Sada ćemo dokazati tu činjenicu, ali pripremite se: bit će malo teže nego prije.

Opet - izlaz u "prostor" - dodatna zgrada!

Idemo ravno.

Za što? Sad ćemo vidjeti.

Simetralu nastavljamo do sjecišta s pravcem.

Poznata slika? Da, da, da, potpuno isto kao u stavku 4, slučaj 1 - ispada da (- simetrala)

Kao da leži poprijeko

Dakle, ovo je također.

Sada pogledajmo trokute i.

Što se može reći o njima?

Slični su. Pa da, kutovi su im jednaki kao okomiti. Dakle, dva kuta.

Sada imamo pravo pisati odnose odgovarajućih strana.

A sada u kratkim crtama:

Oh! Podsjeća me na nešto, zar ne? Nije li to ono što smo htjeli dokazati? Da, da, to je to!

Vidite kako se "svemirska šetnja" pokazala odličnom - izgradnja dodatne ravne linije - bez toga se ništa ne bi dogodilo! I tako smo to dokazali

Sada ga možete sigurno koristiti! Analizirajmo još jedno svojstvo simetrala kutova trokuta - ne bojte se, sada je najteže gotovo - bit će lakše.

Shvaćamo to

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Među brojnim predmetima u srednjoj školi postoji i "geometrija". Tradicionalno se smatra da su utemeljitelji ove sustavne znanosti Grci. Danas se grčka geometrija naziva elementarnom, jer je ona započela proučavanje najjednostavnijih oblika: ravnina, linija i trokuta. Usredotočit ćemo se na potonje, odnosno na simetralu ove figure. Za one koji su već zaboravili, simetrala trokuta je segment simetrale jednog od kutova trokuta, koji ga dijeli na pola i povezuje vrh s točkom koja se nalazi na suprotnoj strani.

Simetrala trokuta ima niz svojstava koja morate znati pri rješavanju određenih problema:

• Simetrala kuta je geometrijsko mjesto točaka koje su jednako udaljene od stranica koje graniče s kutom.
• Simetrala u trokutu dijeli suprotnu stranu kuta na segmente koji su proporcionalni susjednim stranicama. Na primjer, dan je trokut MKB, gdje simetrala izlazi iz kuta K, spajajući vrh tog kuta s točkom A na suprotnoj strani od MB. Nakon analize ovog svojstva i našeg trokuta, imamo MA/AB=MK/KB.
• Točka u kojoj se sijeku simetrale sva tri kuta trokuta je središte kružnice koja je upisana u isti trokut.
• Osnovice simetrala jednog vanjskog i dvaju unutarnjih kutova nalaze se na istom pravcu, s tim da simetrala vanjskog kuta nije paralelna sa suprotnom stranicom trokuta.
• Ako su dvije simetrale jednog onda ovo

Treba napomenuti da ako su dane tri simetrale, onda je nemoguće izgraditi trokut pomoću njih, čak i uz pomoć šestara.

Vrlo često kod rješavanja zadataka nepoznata je simetrala trokuta, ali je potrebno odrediti njezinu duljinu. Da bi se riješio takav problem, potrebno je znati kut koji je simetrala podijeljen na pola, te strane koje su uz ovaj kut. U ovom slučaju, željena duljina definirana je kao omjer dvostrukog umnoška stranica koje graniče s kutom i kosinusa kuta podijeljenog na pola prema zbroju stranica koje graniče s kutom. Na primjer, dan je isti trokut MKB. Simetrala napušta kut K i siječe suprotnu stranicu od MB u točki A. Kut iz kojeg izlazi simetrala označen je s y. Sada zapišimo sve što je riječima rečeno u obliku formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Ako je vrijednost kuta iz kojeg izlazi simetrala trokuta nepoznata, ali su poznate sve njegove stranice, tada ćemo za izračunavanje duljine simetrale koristiti dodatnu varijablu koju ćemo nazvati poluopseg i označiti slovom P: P=1/2*(MK+KB+MB). Nakon toga ćemo unijeti neke izmjene u prethodnu formulu, prema kojoj je određena duljina simetrale, naime, u brojniku razlomka stavit ćemo dvostruki umnožak duljina stranica koje graniče s kutom i poluperimetrom i kvocijent, gdje se duljina treće stranice oduzima od poluperimetra. Nazivnik ostavljamo nepromijenjen. U obliku formule to će izgledati ovako: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Simetrala jednakokračnog trokuta, uz opća svojstva, ima nekoliko svojih. Prisjetimo se što je trokut. U takvom trokutu dvije strane su jednake, a kutovi uz bazu su jednaki. Slijedi da su simetrale koje se spuštaju na stranice jednakokračnog trokuta međusobno jednake. Osim toga, simetrala spuštena na podnožje je istovremeno i visina i središnja.

Danas će biti vrlo laka lekcija. Razmotrit ćemo samo jedan objekt - simetralu kuta - i dokazati njegovo najvažnije svojstvo, koje će nam u budućnosti biti od velike koristi.

Samo se nemojte opustiti: ponekad učenici koji žele dobiti visoku ocjenu na istom OGE ili USE, u prvoj lekciji, ne mogu ni formulirati točnu definiciju simetrale.

I umjesto da radimo stvarno zanimljive zadatke, trošimo vrijeme na tako jednostavne stvari. Zato čitajte, gledajte - i usvajajte. :)

Za početak malo čudno pitanje: što je kut? Tako je: kut su samo dvije zrake koje izlaze iz iste točke. Na primjer:

Primjeri kutova: oštri, tupi i pravi

Kao što možete vidjeti na slici, kutovi mogu biti oštri, tupi, ravni - to sada nije važno. Često se radi praktičnosti na svakoj zraci označava dodatna točka i kažu, kažu, imamo kut $AOB$ (napisan kao $\kut AOB$).

Kapetan kao da daje naslutiti da se osim zraka $OA$ i $OB$ uvijek može povući još hrpa zraka iz točke $O$. Ali među njima će biti jedan poseban - zove se simetrala.

Definicija. Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz vrha tog kuta i raspolavlja kut.

Za gornje kutove simetrale će izgledati ovako:

Primjeri simetrala za šiljasti, tupi i pravi kut

Budući da u stvarnim crtežima nije uvijek vidljivo da određena zraka (u našem slučaju to je $OM$ zraka) dijeli početni kut na dva jednaka, u geometriji je uobičajeno označavati jednake kutove s istim brojem lukovi (na našem crtežu ovo je 1 luk za oštar kut, dva za tupi, tri za ravni).

U redu, shvatili smo definiciju. Sada morate razumjeti koja svojstva ima simetrala.

Osnovno svojstvo simetrale kuta

Zapravo, simetrala ima mnogo svojstava. I svakako ćemo ih razmotriti u sljedećoj lekciji. Ali postoji jedan trik koji morate razumjeti odmah:

Teorema. Simetrala kuta je geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica zadanog kuta.

Prevedeno s matematičkog na ruski, to znači dvije činjenice odjednom:

1. Svaka točka koja leži na simetrali kuta jednako je udaljena od stranica tog kuta.
2. I obrnuto: ako točka leži na istoj udaljenosti od stranica danog kuta, tada je zajamčeno da leži na simetrali tog kuta.

Prije nego dokažemo ove tvrdnje, razjasnimo jednu točku: što se, zapravo, naziva udaljenost od točke do stranice kuta? Ovdje će nam pomoći dobra stara definicija udaljenosti od točke do pravca:

Definicija. Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice povučene iz te točke na taj pravac.

Na primjer, razmotrimo pravac $l$ i točku $A$ koje ne leže na tom pravcu. Nacrtajte okomicu $AH$, gdje je $H\in l$. Tada će duljina te okomice biti udaljenost od točke $A$ do pravca $l$.

Grafički prikaz udaljenosti od točke do pravca

Budući da su kut samo dvije zrake, a svaka zraka je dio linije, lako je odrediti udaljenost od točke do stranica kuta. To su samo dvije okomice:

Odredite udaljenost od točke do stranica kuta

To je sve! Sada znamo što je udaljenost, a što simetrala. Stoga možemo dokazati glavno svojstvo.

Kao što smo obećali, dokaz dijelimo na dva dijela:

1. Udaljenosti od točke na simetrali do stranica kuta su jednake

Promotrimo proizvoljni kut s vrhom $O$ i simetralom $OM$:

Dokažimo da je ta ista točka $M$ na istoj udaljenosti od stranica kuta.

Dokaz. Povucimo okomice iz točke $M$ na stranice kuta. Nazovimo ih $M((H)_(1))$ i $M((H)_(2))$:

Nacrtajte okomice na strane ugla

Dobili smo dva pravokutna trokuta: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Imaju zajedničku hipotenuzu $OM$ i jednake kutove:

1. $\kut MO((H)_(1))=\kut MO((H)_(2))$ prema pretpostavci (jer je $OM$ simetrala);
2. $\kut M((H)_(1))O=\kut M((H)_(2))O=90()^\circ $ konstrukcijom;
3. $\kut OM((H)_(1))=\kut OM((H)_(2))=90()^\circ -\kut MO((H)_(1))$ jer zbroj Oštri kutovi pravokutnog trokuta uvijek su jednaki 90 stupnjeva.

Dakle, trokuti su jednaki po stranicama i dvama susjednim kutovima (vidi znakove jednakosti trokuta). Stoga je posebno $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. udaljenosti od točke $O$ do stranica kuta doista su jednake. Q.E.D. :)

2. Ako su udaljenosti jednake, tada točka leži na simetrali

Sada je situacija obrnuta. Neka su zadani kut $O$ i točka $M$ jednako udaljena od stranica tog kuta:

Dokažimo da je poluprava $OM$ simetrala, tj. $\kut MO((H)_(1))=\kut MO((H)_(2))$.

Dokaz. Za početak, nacrtajmo upravo ovu zraku $OM$, inače se neće imati što dokazivati:

Potrošio gredu $OM$ unutar kuta

Ponovno smo dobili dva pravokutna trokuta: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Očito su jednaki jer:

1. Hipotenuza $OM$ je uobičajena;
2. Krakovi $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ prema uvjetu (jer je točka $M$ jednako udaljena od stranica kuta);
3. Preostale noge su također jednake, jer po Pitagorinom teoremu $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Dakle, trokuti $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$ na tri stranice. Konkretno, njihovi kutovi su jednaki: $\kut MO((H)_(1))=\kut MO((H)_(2))$. A ovo samo znači da je $OM$ simetrala.

Na kraju dokaza crvenim lukovima označimo nastale jednake kutove:

Simetrala je kut $\kut ((H)_(1))O((H)_(2))$ podijelila na dva jednaka

Kao što vidite, ništa komplicirano. Dokazali smo da je simetrala kuta geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica tog kuta. :)

Sada kada smo više-manje odredili terminologiju, vrijeme je da prijeđemo na novu razinu. U sljedećoj lekciji analizirat ćemo složenija svojstva simetrale i naučiti ih primijeniti za rješavanje stvarnih problema.

Uputa

Ako je dati trokut jednakokračan ili pravilan, tj. ima
dvije ili tri strane, zatim njezinu simetralu, prema svojstvu trokut, također će biti medijan. I, prema tome, suprotnost će podijeliti simetralu na pola.

Izmjerite suprotnu stranu ravnalom trokut kamo će težiti simetrala. Podijelite ovu stranu na pola i stavite točku na sredinu strane.

Kroz konstruiranu točku i suprotni vrh nacrtaj ravnu liniju. Ovo će biti simetrala trokut.

Izvori:

• Srednje, simetrale i visine trokuta

Dijeljenje kuta na pola i izračunavanje duljine linije povučene od njegovog vrha do suprotne strane potrebno je rezačima, geodetima, monterima i ljudima nekih drugih zanimanja.

Trebat će vam

• Alati Olovka Ravnalo Kutomjer Tablice sinusa i kosinusa Matematičke formule i koncepti: Definicija simetrale Sinusni i kosinusni teorem Simetralni teorem

Uputa

Izgradite trokut potrebne i veličine, ovisno o tome što vam je dano? dfe stranice i kut između njih, tri stranice ili dva kuta i stranica koja se nalazi između njih.

Označite vrhove kutova i stranica s tradicionalnim latiničnim A, B i C. Vrhovi kutova su označeni, suprotne strane su malim slovima. Označite kutove grčkim slovima?,? I?

Koristeći sinusni i kosinusni teorem izračunajte kutove i stranice trokut.

Zapamti simetrale. Simetrala - dijeljenje kuta na pola. Simetrala kuta trokut dijeli suprotnost na dva segmenta, što je jednako omjeru dviju susjednih stranica trokut.

Nacrtaj simetrale kutova. Dobivene odsječke označite napisanim nazivima kutova mala slova, s indeksom l. Stranica c podijeljena je na segmente a i b s indeksom l.

Izračunajte duljine dobivenih odsječaka koristeći sinusni teorem.

Povezani Videi

Bilješka

Duljina segmenta, koja je istovremeno stranica trokuta koju čine jedna od stranica izvornog trokuta, simetrala i sam segment, izračunava se pomoću sinusnog teorema. Kako biste izračunali duljinu drugog segmenta iste stranice, upotrijebite omjer dobivenih segmenata i susjednih stranica izvornog trokuta.

Koristan savjet

Da se ne biste zabunili, nacrtajte simetrale različiti kutovi različite boje.

simetrala kut zove se zraka koja počinje u vrhu kut i dijeli ga na dva jednaka dijela. Oni. potrošiti simetrala, morate pronaći sredinu kut. Najlakši način da to učinite je pomoću kompasa. U ovom slučaju ne morate raditi nikakve izračune, a rezultat neće ovisiti o tome je li vrijednost kut cijeli broj.

Trebat će vam

• šestar, olovka, ravnalo.

Uputa

Ostavljajući širinu otvora šestara istom, postavite iglu na kraj segmenta s jedne od strana i nacrtajte dio kruga tako da se nalazi unutra kut. Učinite isto s drugom. Dobit ćete dva dijela krugova koji će se unutra presijecati kut- otprilike u sredini. Dijelovi kružnica mogu se sijeći u jednoj ili dvije točke.

Povezani Videi

Koristan savjet

Za konstruiranje simetrale kuta možete koristiti kutomjer, ali ova metoda zahtijeva veću preciznost. U tom slučaju, ako vrijednost kuta nije cijeli broj, povećava se vjerojatnost pogreške u konstrukciji simetrale.

Prilikom izgradnje ili razvoja projekata dizajna doma često je potrebno graditi kutak jednak onom koji je već prisutan. U pomoć dolaze predlošci i školsko znanje geometrije.

Uputa

Kut čine dvije ravne crte koje izlaze iz iste točke. Ova točka će se zvati vrh ugla, a linije će biti stranice ugla.

Koristite tri za označavanje kutova: jedan na vrhu, dva sa strane. se zovu kutak, počevši od slova koje stoji s jedne strane, zatim nazivaju slovo na vrhu, a zatim slovo s druge strane. Koristite druge za označavanje kutova ako vam je draže drugačije. Ponekad se zove samo jedno slovo, koje je na vrhu. A kutove možete označiti grčkim slovima, na primjer, α, β, γ.

Postoje situacije u kojima je to neophodno kutak tako da je već dan kut. Ako pri građenju nije moguće koristiti kutomjer, možete se snaći samo s ravnalom i šestarom. Pretpostavimo, na liniji označenoj slovima MN, trebate graditi kutak u točki K, tako da je jednaka kutu B. Odnosno, iz točke K potrebno je povući ravnu liniju, s linijom MN kutak, koji će biti jednak kutu B.

Prvo označite točku sa svake strane ovog kuta, na primjer, točke A i C, zatim spojite točke C i A ravnom linijom. Dobiti tre kutak nik ABC.

Sada izgradite na liniji MN iste tri kutak vrh B je na pravcu u točki K. Poslužite se pravilom za konstruiranje trokuta kutak tri sata. Odvojite segment KL od točke K. Mora biti jednak segmentu BC. Dobiti točku L.

Iz točke K nacrtajte kružnicu polumjera jednakog segmentu BA. Iz L nacrtaj kružnicu polumjera CA. Spojite dobivenu točku (P) sjecišta dviju kružnica s K. Dobijte tri kutak nick KPL, što će biti jednako tri kutak niku ABC. Pa dobiješ kutak K. Bit će jednak kutu B. Da biste ga učinili praktičnijim i bržim, odvojite jednake segmente od vrha B, koristeći jedno rješenje kompasa, bez pomicanja nogu, opišite krug s istim polumjerom iz točke K.

Povezani Videi

Savjet 5: Kako nacrtati trokut s dvije stranice i medijanom

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji ima tri vrha povezana u parovima segmentima koji tvore stranice ovog mnogokuta. Isječak koji spaja vrh sa središtem suprotne stranice naziva se središnja. Znajući duljine dviju stranica i središnju stranu koja spaja jedan od vrhova, možete sastaviti trokut bez poznavanja duljine treće stranice ili kutova.

Uputa

Iz točke A nacrtajte segment čija je duljina jedna od poznatih stranica trokuta (a). Označite krajnju točku ovog segmenta slovom B. Nakon toga, jedna od strana (AB) željenog trokuta već se može smatrati izgrađenom.

Upotrijebite šestar da nacrtate krug polumjera jednakog dvostrukoj duljini medijane (2∗m) sa središtem u točki A.

Koristite šestar da nacrtate drugu kružnicu polumjera jednakog duljini poznate stranice (b) sa središtem u točki B. Odložite šestar na neko vrijeme, ali ostavite izmjereni na njemu - trebat će vam ponovno malo kasnije.

Konstruirajte dužinu koja spaja točku A sa sjecištem dviju crta koje ste nacrtali. Polovica ovog segmenta bit će ona koju gradite - izmjerite ovu polovicu i stavite točku M. U ovoj točki imate jednu stranicu željenog trokuta (AB) i njegovu središnju (AM).

Šestarom nacrtajte kružnicu polumjera jednaku duljini druge poznate stranice (b) sa središtem u točki A.

Nacrtajte segment koji bi trebao započeti u točki B, proći kroz točku M i završiti u točki sjecišta crte s krugom koji ste nacrtali u prethodnom koraku. Točku sjecišta označimo slovom C. Sada se u traženu stranicu ugrađuje i stranica BC nepoznata uvjetima zadatka.

Sposobnost dijeljenja bilo kojeg kuta s simetralom neophodna je ne samo da biste dobili peticu iz matematike. Ovo će znanje biti vrlo korisno graditelju, dizajneru, geodetu i krojaču. Mnogo je stvari u životu koje treba podijeliti.

Svi su u školi učili vic o štakoru koji trči po uglovima i dijeli ugao na pola. Ovaj okretni i inteligentni glodavac zvao se Simetrala. Nije poznato kako je štakor podijelio kut, a matematičari u školskom udžbeniku "Geometrija" mogu ponuditi sljedeće metode.

Uz pomoć kutomjera

Simetralu ćete najlakše nacrtati pomoću uređaja za. Potrebno je pričvrstiti kutomjer na jednu stranu kuta, poravnavajući referentnu točku s vrhom O. Zatim izmjerite kut u stupnjevima ili radijanima i podijelite ga s dva. Uz pomoć istog kutomjera odložite stupnjeve dobivene s jedne od stranica i povucite ravnu liniju, koja će postati simetrala, do točke gdje počinje kut O.

Uz pomoć kruga

Morate uzeti šestar i razviti ga na proizvoljnu veličinu (unutar crteža). Nakon što postavite vrh na točku početka kuta O, nacrtajte luk koji siječe zrake, označavajući dvije točke na njima. Označite ih A1 i A2. Zatim, naizmjenično postavljajući šestar na te točke, treba nacrtati dva kruga istog proizvoljnog promjera (u mjerilu crteža). Točke njihovog sjecišta označene su C i B. Zatim morate povući ravnu liniju kroz točke O, C i B, koja će biti željena simetrala.

S ravnalom

Da biste ravnalom nacrtali simetralu kuta, potrebno je na zrakama (stranicama) odvojiti odsječke iste duljine od točke O i označiti ih točkama A i B. Zatim ih spojite ravnom linijom i ravnalom podijelite dobiveni segment na pola, označite točku C. Simetrala se dobije povlačenjem pravca kroz točke C i O.

Bez alata

Ako nema mjernih alata, možete se poslužiti domišljatošću. Dovoljno je samo nacrtati kut na paus papiru ili običnom tankom papiru i pažljivo presavinuti list tako da su zrake kuta poravnate. Linija presavijanja na crtežu bit će željena simetrala.

Prošireni kut

Na isti način simetralom se može podijeliti kut veći od 180 stupnjeva. Samo ga neće biti potrebno podijeliti, već oštar kut uz njega, koji ostaje iz kruga. Nastavak pronađene simetrale postat će željena ravna linija, dijeleći prošireni kut na pola.

Kutovi u trokutu

Treba imati na umu da je kod jednakostraničnog trokuta simetrala također središnja i visina. Stoga se simetrala u njoj može pronaći jednostavnim spuštanjem okomice na stranu suprotnu od kuta (visina) ili dijeljenjem ove stranice na pola i povezivanjem središta sa suprotnim kutom (medijan).

Povezani Videi

Mnemoničko pravilo "simetrala je štakor koji trči oko uglova i dijeli ih na pola" opisuje bit koncepta, ali ne daje preporuke za konstruiranje simetrale. Da biste ga nacrtali, osim ravnala, trebat će vam šestar i ravnalo.

Uputa

Recimo da trebate graditi simetrala kut A. Uzmite šestar, zaoštrite ga u točku A (kut) i nacrtajte bilo koji krug. Tamo gdje siječe strane ugla, postavite točke B i C.

Izmjerite polumjer prve kružnice. Nacrtajte još jedan s istim radijusom, postavljajući šestar u točku B.

Nacrtajte sljedeći krug (jednake veličine prethodnima) sa središtem u točki C.

Sve tri kružnice moraju se sijeći u jednoj točki – nazovimo je F. Pomoću ravnala nacrtajte zraku koja prolazi kroz točke A i F. To će biti željena simetrala kuta A.

Postoji nekoliko pravila koja će vam pomoći pronaći. Na primjer, suprotno je u , jednako omjeru dviju susjednih strana. u jednakokračan

Trokut je mnogokut s tri strane, ili zatvorena izlomljena crta s tri karike, ili lik sastavljen od tri segmenta koji povezuju tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji (vidi sliku 1).

Bitni elementi trokut abc

Vrhovi – točke A, B i C;

Stranke – odsječke a = BC, b = AC i c = AB koji spajaju vrhove;

kutovi – α , β, γ tvore tri para stranica. Uglovi su često označeni na isti način kao i vrhovi, slovima A, B i C.

Kut koji tvore stranice trokuta i leži u njegovoj unutrašnjosti zove se unutarnji kut, a njemu susjedni kut je susjedni kut trokuta (2, str. 534).

Visine, središnje, simetrale i središnje crte trokuta

Osim glavnih elemenata u trokutu, razmatraju se i drugi segmenti koji imaju zanimljiva svojstva: visine, medijani, simetrale i srednje crte.

Visina

Visine trokuta su okomice spuštene s vrhova trokuta na suprotne stranice.

Da biste izgradili visinu, učinite sljedeće:

1) nacrtajte ravnu liniju koja sadrži jednu od stranica trokuta (ako je visina povučena iz vrha oštrog kuta u tupokutnom trokutu);

2) iz vrha koji leži nasuprot nacrtane linije, nacrtajte segment od točke do ove linije, čineći s njom kut od 90 stupnjeva.

Točka presjeka visine sa stranicom trokuta naziva se visinska baza (vidi sliku 2).

Svojstva visine trokuta

U pravokutnom trokutu visina povučena iz vrha pravog kuta dijeli ga na dva trokuta slična izvornom trokutu.

U oštrokutnom trokutu njegove dvije visine odsijecaju od njega slične trokute.

Ako je trokut oštrokut, tada sve osnovice visina pripadaju stranicama trokuta, a kod tupokutnog trokuta dvije visine padaju na produžetak stranica.

Tri visine u oštrokutnom trokutu sijeku se u jednoj točki i ta se točka naziva ortocentar trokut.

Medijan

medijani(od latinskog mediana - "sredina") - to su segmenti koji povezuju vrhove trokuta sa središtima suprotnih strana (vidi sliku 3).

Da biste izgradili medijan, učinite sljedeće:

1) pronađite sredinu strane;

2) segmentom spojite točku, koja je sredina stranice trokuta, sa suprotnim vrhom.

Svojstva medijane trokuta

Medijan dijeli trokut na dva trokuta iste površine.

Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova točka se zove centar gravitacije trokut.

Cijeli je trokut podijeljen svojim medijanama na šest jednakih trokuta.

Simetrala

simetrale(od lat. bis - dvaput "i seko - režem) nazovite segmente ravnih linija zatvorene unutar trokuta koji raspolavljaju njegove kutove (vidi sliku 4).

Da biste konstruirali simetralu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) konstruirajte zraku koja izlazi iz vrha kuta i dijeli ga na dva jednaka dijela (simetrala kuta);

2) pronaći točku sjecišta simetrale kuta trokuta sa suprotnom stranicom;

3) odaberite segment koji povezuje vrh trokuta sa sjecištem na suprotnoj strani.

Svojstva simetrale trokuta

Simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu u omjeru jednakom omjeru dviju susjednih stranica.

Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta se točka naziva središtem upisane kružnice.

Simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta su okomite.

Ako simetrala vanjskog kuta trokuta siječe nastavak suprotne stranice, tada je ADBD=ACBC.

Simetrale jednog unutarnjeg i dva vanjska kuta trokuta sijeku se u jednoj točki. Ova točka je središte jedne od tri izvan krugova ovaj trokut.

Osnovice simetrala dvaju unutarnjih i jednog vanjskog kuta trokuta leže na istom pravcu ako simetrala vanjskog kuta nije usporedna sa suprotnom stranom trokuta.

Ako simetrale vanjskih kutova trokuta nisu paralelne suprotne strane, tada njihove baze leže na istoj pravoj liniji.