sitna i lijepa jednostavan zadatak iz kategorije onih koje plutajućem studentu služe kao spas. U prirodi je uspavano carstvo sredine srpnja, pa je vrijeme da se skrasite s laptopom na plaži. Rano ujutro zaigrala je sunčeva zraka teorije da bi se ubrzo usmjerila na praksu, koja unatoč deklariranoj lakoći sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Za rješavanje praktičnih zadataka potrebno je znati pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta na intervalu. Egzemplarno ponašanje funkcije na segmentu formulira se na sličan način. Funkcija je neprekidna na segmentu ako:

1) kontinuirana je na intervalu ;
2) kontinuirano u točki desno i u točki lijevo.

Drugi odlomak bavi se tzv jednostrani kontinuitet funkcije u točki. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati ranije započete linije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njena desna granica se podudara s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirana lijevo, ako je definirana u danoj točki i njenoj lijevoj granici jednaka je vrijednosti u ovom trenutku:

Zamislite da su zelene točkice nokti na koje je pričvršćena čarobna gumica:

Mentalno uzmite crvenu liniju u ruke. Očito, bez obzira koliko razvukli graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živica gore, živica dolje, a naš proizvod pase u oboru. Tako, funkcija kontinuirana na segmentu je na njemu omeđena. Tijekom matematičke analize ova se naizgled jednostavna činjenica izriče i rigorozno dokazuje Weierstrassov prvi teorem.… Mnogima smeta što se elementarne tvrdnje dosadno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije izuma teleskopa ograničena funkcija u svemiru nije bila nimalo očita! Doista, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija traži dokaz =)

Prema drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija dosegne svoje točan gornji rub i njegov točan donji rub .

Broj se također zove maksimalnu vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , a broj - minimalna vrijednost funkcije na intervalu označeno .

U našem slučaju:

Bilješka : u teoriji, zapisi su uobičajeni .

Grubo rečeno, najveća vrijednost nalazi se gdje je visoka točka grafika, a najmanji - gdje je najniža točka.

Važno! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveću vrijednost funkcije I najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, Što maksimalna funkcija I minimum funkcije. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak ni poplava, u kontekstu razmatranog problema, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, nema potrebe za crtanjem!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jednu stvar: nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, jer, kao što je upravo pokazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još nije zajamčeno koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum i voljom sudbine isti broj je najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva slučajnost se ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku je brže i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne zamarajući se imaju li one ekstreme ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. odlomku odabiremo najmanju i najveću veliki broj, zapišite odgovor.

Sjedamo na obalu plavo more i udari petama u plitkoj vodi:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Riješenje:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj točki:

2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su "podebljani" rezultati s eksponencijalima i logaritmima, što znatno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da:

Sada je sve jasno.

Odgovor:

Frakcijsko-racionalna instanca za neovisno rješenje:

Primjer 6

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ definirana i kontinuirana u nekom ograničenju zatvoreno područje$D$. Neka data funkcija ima konačne parcijalne derivacije prvog reda u tom području (uz moguću iznimku konačnog broja točaka). Za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije dviju varijabli u danom zatvorenom području potrebna su tri koraka jednostavnog algoritma.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije $z=f(x,y)$ u zatvorenoj domeni $D$.

1. Pronađite kritične točke funkcije $z=f(x,y)$ koje pripadaju području $D$. Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama.
2. Istražite ponašanje funkcije $z=f(x,y)$ na granici područja $D$ pronalaženjem točaka mogućih maksimalnih i minimalnih vrijednosti. Izračunajte vrijednosti funkcije u dobivenim točkama.
3. Od vrijednosti funkcije dobivenih u prethodna dva odlomka odaberite najveću i najmanju.

Što su kritične točke? Pokaži sakrij

Pod, ispod kritične točke impliciraju točke u kojima su obje parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ili barem jedna parcijalna derivacija ne postoji.

Često se nazivaju točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli stacionarne točke. Dakle, stacionarne točke su podskup kritičnih točaka.

Primjer #1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ u zatvorenom području, omeđen linijama$x=3$, $y=0$ i $y=x+1$.

Slijediti ćemo navedeno, ali ćemo se prvo pozabaviti crtanjem zadane površine koju ćemo označiti slovom $D$. Dato nam je jednadžbe tri ravne linije, koje ograničavaju ovo područje. Pravac $x=3$ prolazi točkom $(3;0)$ paralelno s osi y (osi Oy). Pravac $y=0$ je jednadžba apscisne osi (Ox os). Pa, da bismo konstruirali ravnu liniju $y=x+1$ nađimo dvije točke kroz koje povlačimo tu ravnu liniju. Možete, naravno, zamijeniti nekoliko proizvoljnih vrijednosti umjesto $x$. Na primjer, zamjenom $x=10$, dobivamo: $y=x+1=10+1=11$. Pronašli smo točku $(10;11)$ koja leži na pravcu $y=x+1$. Međutim, bolje je pronaći one točke u kojima se pravac $y=x+1$ siječe s pravcima $x=3$ i $y=0$. Zašto je bolje? Zato što ćemo jednim udarcem spustiti nekoliko muha: dobit ćemo dvije točke za konstrukciju pravca $y=x+1$ i ujedno saznati u kojim točkama ovaj pravac siječe druge pravce koji ograničavaju zadanu područje. Pravac $y=x+1$ siječe pravac $x=3$ u točki $(3;4)$, a pravac $y=0$ - u točki $(-1;0)$. Kako ne bih zatrpavao tijek rješenja pomoćnim objašnjenjima, pitanje dobivanja ove dvije točke stavit ću u napomenu.

Kako su dobivene točke $(3;4)$ i $(-1;0)$? Pokaži sakrij

Krenimo od točke sjecišta pravaca $y=x+1$ i $x=3$. Koordinate tražene točke pripadaju i prvom i drugom retku, pa je za pronalaženje nepoznatih koordinata potrebno riješiti sustav jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rješenje takvog sustava je trivijalno: zamjenom $x=3$ u prvu jednadžbu imat ćemo: $y=3+1=4$. Točka $(3;4)$ je željena sjecišna točka pravaca $y=x+1$ i $x=3$.

Nađimo sada točku sjecišta pravaca $y=x+1$ i $y=0$. Opet sastavljamo i rješavamo sustav jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \kraj(poravnano) \desno. $$

Zamjenom $y=0$ u prvu jednadžbu dobivamo: $0=x+1$, $x=-1$. Točka $(-1;0)$ je željena sjecišna točka pravaca $y=x+1$ i $y=0$ (apscisna os).

Sve je spremno za izradu crteža koji će izgledati ovako:

Pitanje bilješke čini se očiglednim, jer se iz slike sve vidi. Međutim, vrijedi zapamtiti da crtež ne može poslužiti kao dokaz. Slika je samo ilustracija radi jasnoće.

Naše područje postavljeno je pomoću jednadžbi linija koje ga ograničavaju. Očito je da ove linije definiraju trokut, zar ne? Ili nije sasvim očito? Ili nam je možda dano drugo područje, omeđeno istim linijama:

Naravno, uvjet kaže da je područje zatvoreno, pa je prikazana slika pogrešna. Ali kako bi se izbjegle takve dvosmislenosti, bolje je regije definirati nejednakostima. Zanima nas dio ravnine koji se nalazi ispod pravca $y=x+1$? U redu, dakle $y ≤ x+1$. Naše područje treba biti smješteno iznad linije $y=0$? Odlično, dakle $y ≥ 0$. Usput, posljednje dvije nejednakosti lako se spajaju u jednu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \kraj(poravnano) \desno. $$

Ove nejednakosti definiraju domenu $D$, i definiraju je jedinstveno, bez ikakvih dvosmislenosti. Ali kako nam to pomaže u pitanju na početku bilješke? Također će pomoći :) Moramo provjeriti pripada li točka $M_1(1;1)$ regiji $D$. Zamijenimo $x=1$ i $y=1$ u sustav nejednakosti koje definiraju ovo područje. Ako su obje nejednakosti zadovoljene, tada se točka nalazi unutar regije. Ako barem jedna od nejednakosti nije zadovoljena, tada točka ne pripada regiji. Tako:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno. \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obje nejednakosti su istinite. Točka $M_1(1;1)$ pripada području $D$.

Sada je red da istražimo ponašanje funkcije na granici domene, tj. ići. Počnimo s ravnom linijom $y=0$.

Pravac $y=0$ (os apscisa) ograničava područje $D$ pod uvjetom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamijenite $y=0$ u zadanu funkciju $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Rezultirajuća supstitucijska funkcija jedne varijable $x$ bit će označena kao $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sada za funkciju $f_1(x)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite izvod ove funkcije i izjednačite ga s nulom:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrijednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, pa na listu točaka dodajemo i $M_2(2;0)$. Osim toga, izračunavamo vrijednosti funkcije $z$ na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. u točkama $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Usput, ako točka $M_2$ ne pripada segmentu koji se razmatra, tada, naravno, ne bi bilo potrebno izračunati vrijednost funkcije $z$ u njoj.

Dakle, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ u točkama $M_2$, $M_3$, $M_4$. Možete, naravno, zamijeniti koordinate ovih točaka u izvornom izrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primjer, za točku $M_2$ dobivamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Međutim, izračuni se mogu malo pojednostaviti. Da bismo to učinili, vrijedi zapamtiti da na segmentu $M_3M_4$ imamo $z(x,y)=f_1(x)$. Ja ću to detaljno opisati:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \kraj(poravnano)

Naravno, obično nema potrebe za tako detaljnim unosima, au budućnosti ćemo sve izračune početi zapisivati ​​u skraćenom obliku:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sada se okrenimo ravnoj liniji $x=3$. Ova linija omeđuje $D$ pod uvjetom $0 ≤ y ≤ 4$. Zamijenite $x=3$ u zadanu funkciju $z$. Kao rezultat takve zamjene dobivamo funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkciju $f_2(y)$ trebate pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Pronađite izvod ove funkcije i izjednačite ga s nulom:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrijednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, pa dodajemo $M_5(3;3)$ prethodno pronađenim točkama. Osim toga, potrebno je izračunati vrijednost funkcije $z$ u točkama na krajevima segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. u točkama $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. U točki $M_4(3;0)$ već smo izračunali vrijednost $z$. Izračunajmo vrijednost funkcije $z$ u točkama $M_5$ i $M_6$. Da vas podsjetim da na segmentu $M_4M_6$ imamo $z(x,y)=f_2(y)$, dakle:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \kraj(poravnano)

I, konačno, razmotrite posljednju granicu $D$, tj. linija $y=x+1$. Ova linija omeđuje područje $D$ pod uvjetom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamjenom $y=x+1$ u funkciju $z$ imat ćemo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Opet imamo funkciju jedne varijable $x$. I opet, trebate pronaći najveću i najmanju vrijednost ove funkcije na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite derivaciju funkcije $f_(3)(x)$ i izjednačite je s nulom:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrijednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ako je $x=1$, onda je $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ listi točaka i saznajmo koja je vrijednost funkcije $z$ u ovoj točki. Točke na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. točke $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ razmatrane ranije, već smo pronašli vrijednost funkcije u njima.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rješenja je završen. Imamo sedam vrijednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Obratimo se. Odabirom najveće i najmanje vrijednosti od onih brojeva koji su dobiveni u trećem odlomku, imat ćemo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Zadatak je riješen, ostaje samo da zapišemo odgovor.

Odgovor: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primjer #2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ u području $x^2+y^2 ≤ 25$.

Prvo napravimo crtež. Jednadžba $x^2+y^2=25$ (ovo je granična linija zadanog područja) definira krug sa središtem u ishodištu (tj. u točki $(0;0)$) i polumjerom od 5. Nejednadžba $x^2 +y^2 ≤ 25$ zadovoljava sve točke unutar i na navedenoj kružnici.

Djelovat ćemo dalje. Pronađimo parcijalne derivacije i saznajmo kritične točke.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Ne postoje točke u kojima ne postoje pronađene parcijalne derivacije. Otkrijmo u kojim točkama su obje parcijalne derivacije istovremeno jednake nuli, tj. pronaći stacionarne točke.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno. \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano) \desno.$$

Dobili smo stacionarnu točku $(6;-8)$. Međutim, pronađena točka ne pripada području $D$. To je lako pokazati čak i bez pribjegavanja crtežu. Provjerimo vrijedi li nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ koja definira našu domenu $D$. Ako je $x=6$, $y=-8$, onda je $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ nije zadovoljena. Zaključak: točka $(6;-8)$ ne pripada području $D$.

Dakle, unutar $D$ nema kritičnih točaka. Idemo dalje, na. Moramo istražiti ponašanje funkcije na granici zadanog područja, tj. na kružnici $x^2+y^2=25$. Možete, naravno, izraziti $y$ u smislu $x$, a zatim zamijeniti rezultirajući izraz u našu funkciju $z$. Iz jednadžbe kruga dobivamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ili $y=-\sqrt(25-x^2)$. Zamjenom, na primjer, $y=\sqrt(25-x^2)$ u zadanu funkciju, imat ćemo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Daljnje rješenje bit će potpuno identično proučavanju ponašanja funkcije na granici područja u prethodnom primjeru br. 1. Međutim, čini mi se da je u ovoj situaciji razumnije primijeniti Lagrangeovu metodu. Zanima nas samo prvi dio ove metode. Nakon primjene prvog dijela Lagrangeove metode dobit ćemo točke u kojima ćemo ispitati funkciju $z$ za minimalne i maksimalne vrijednosti.

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Nalazimo parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije i sastavljamo odgovarajući sustav jednadžbi:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\kraj (poravnano) \ desno. \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnato)\desno.$$

Da bismo riješili ovaj sustav, odmah naznačimo da je $\lambda\neq -1$. Zašto $\lambda\neq -1$? Pokušajmo zamijeniti $\lambda=-1$ u prvu jednadžbu:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultirajuća kontradikcija $0=6$ kaže da je vrijednost $\lambda=-1$ nevažeća. Izlaz: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ i $y$ kroz $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \kraj(poravnano)

Vjerujem da ovdje postaje očito zašto smo posebno odredili uvjet $\lambda\neq -1$. To je učinjeno kako bi se izraz $1+\lambda$ smjestio u nazivnike bez smetnji. Odnosno, da budemo sigurni da je nazivnik $1+\lambda\neq 0$.

Zamijenimo dobivene izraze za $x$ i $y$ u treću jednadžbu sustava, tj. u $x^2+y^2=25$:

$$ \lijevo(\frac(6)(1+\lambda) \desno)^2+\lijevo(\frac(-8)(1+\lambda) \desno)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz dobivene jednakosti slijedi $1+\lambda=2$ ili $1+\lambda=-2$. Dakle, imamo dvije vrijednosti parametra $\lambda$, naime: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Prema tome, dobivamo dva para vrijednosti $x$ i $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \kraj(poravnano)

Dakle, dobili smo dvije točke mogućeg uvjetnog ekstremuma, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Pronađite vrijednosti funkcije $z$ u točkama $M_1$ i $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \kraj(poravnano)

Treba odabrati najveću i najmanju vrijednost od onih koje smo dobili u prvom i drugom koraku. Ali u ovom slučaju izbor je mali :) Imamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovor: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

S praktičnog gledišta najzanimljivija je uporaba derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. s čime je to povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života potrebno je riješiti problem optimizacije nekih parametara. A to je problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na nekom intervalu X , koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene. Sam interval X može biti segment linije, otvoreni interval , beskonačan interval .

U ovom članku ćemo eksplicitno govoriti o pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti. dana funkcija jedna varijabla y=f(x) .

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Ukratko se zadržimo na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije , koji za bilo koji nejednakost je istinita.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost , koji za bilo koji nejednakost je istinita.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) vrijednost prihvaćena na intervalu koji se razmatra s apscisom.

Stacionarne točke su vrijednosti argumenta kod kojih derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne točke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatov teorem. Iz ovog teorema slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj točki, tada je ta točka stacionarna. Dakle, funkcija često poprima najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u nekoj od stacionarnih točaka iz tog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti najveću i najmanju vrijednost u točkama u kojima prva derivacija te funkcije ne postoji, a sama je funkcija definirana.

Odmah odgovorimo na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Je li uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne, ne uvijek. Ponekad se granice intervala X podudaraju s granicama domene funkcije ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U tim se slučajevima ne može ništa reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće, dajemo grafički prikaz. Pogledajte slike - i mnogo će vam postati jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveće (max y ) i najmanje (min y ) vrijednosti u stacionarnim točkama unutar segmenta [-6;6] .

Razmotrimo slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj točki, a najveća - u točki s apscisom koja odgovara desna granica interval.

Na slici br. 3 granične točke segmenta [-3; 2] su apscise točaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

U otvorenom rasponu

Na četvrtoj slici funkcija poprima najveću (max y ) i najmanju (min y ) vrijednost u stacionarnim točkama unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskraju

U primjeru prikazanom na sedmoj slici funkcija najveću vrijednost (max y ) poprima u stacionarnoj točki s x=1 apscisom, a najmanju vrijednost (min y ) postiže na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Na intervalu funkcija ne postiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako x=2 teži udesno, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (ravna linija x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3 . Grafički prikaz ovog primjera prikazan je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišemo algoritam koji nam omogućuje pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

1. Pronalazimo domenu funkcije i provjeravamo sadrži li cijeli segment.
2. Pronalazimo sve točke u kojima ne postoji prva derivacija i koje se nalaze u segmentu (obično se takve točke pojavljuju u funkcijama s argumentom ispod znaka modula i u funkcije snage s razlomačkim racionalnim eksponentom). Ako nema takvih točaka, prijeđite na sljedeću točku.
3. Određujemo sve stacionarne točke koje ulaze u segment. Da bismo to učinili, izjednačimo ga s nulom, riješimo dobivenu jednadžbu i izaberemo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih točaka ili nijedna od njih ne spada u segment, prijeđite na sljedeći korak.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim točkama (ako postoje), u točkama u kojima prva derivacija ne postoji (ako postoji), te također na x=a i x=b.
5. Od dobivenih vrijednosti funkcije odabiremo najveću i najmanju - to će biti željena najveća, odnosno najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam pri rješavanju primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

• na segmentu;
• na intervalu [-4;-1] .

Riješenje.

Domena funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim nule, tj. Oba segmenta spadaju u domenu definicije.

Derivaciju funkcije nalazimo u odnosu na:

Očito je da derivacija funkcije postoji u svim točkama odsječaka i [-4;-1] .

Stacionarne točke određuju se iz jednadžbe . Jedini pravi korijen je x=2 . Ova stacionarna točka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnoj točki, odnosno za x=1 , x=2 i x=4 :

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže pri x=1 , a najmanja vrijednost – pri x=2 .

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (budući da ne sadrži niti jednu stacionarnu točku):

Pogledajmo kako istražiti funkciju pomoću grafikona. Ispostavilo se da gledajući grafikon možete saznati sve što nas zanima, naime:

• opseg funkcije
• raspon funkcija
• funkcijske nule
• razdoblja porasta i smanjenja
• visoke i niske točke
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu.

Razjasnimo terminologiju:

Apscisa je horizontalna koordinata točke.
Ordinata- vertikalna koordinata.
apscisa- horizontalna os, najčešće se naziva os.
Y-os- okomita os, ili os.

Argument je nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće naznačeno.
Drugim riječima, sami izaberemo , zamijenimo u formulu funkcije i dobijemo .

Domena funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenta za koje funkcija postoji.
Označava se: ili .

Na našoj slici domena funkcije je segment. Na tom segmentu je nacrtan graf funkcije. Samo ovdje ova funkcija postoji.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici to je segment - od najniže do najviše vrijednosti.

Funkcijske nule- točke u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli, tj. Na našoj slici to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Taj interval (ili interval) imamo od do.

Najvažniji pojmovi - rastuće i opadajuće funkcije na nekom setu. Kao skup možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijeli brojevni pravac.

Funkcija povećava se

Drugim riječima, što je više , to je više , odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija smanjuje se na skupu ako za bilo koji i koji pripada skupu nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju veću vrijednost odgovara nižoj vrijednosti. Graf ide desno i dolje.

Na našoj slici funkcija raste na intervalu, a pada na intervalima i .

Definirajmo što je maksimalne i minimalne točke funkcije.

Maksimalna točka- ovo je unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, najveća točka je takva točka, vrijednost funkcije u kojoj više nego u susjednim. Ovo je lokalno "brdo" na karti.

Na našoj slici - maksimalna točka.

Niska točka- unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Odnosno, minimalna točka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u susjednim. Na grafikonu, ovo je lokalna "rupa".

Na našoj slici - minimalna točka.

Točka je granica. To nije unutarnja točka domene definicije i stoga ne odgovara definiciji maksimalne točke. Uostalom, ona nema susjeda s lijeve strane. Na isti način, ne može postojati minimalna točka na našem grafikonu.

Maksimalne i minimalne točke zajednički se nazivaju ekstremne točke funkcije. U našem slučaju to je i .

Ali što ako trebate pronaći npr. minimum funkcije na rezu? U ovom slučaju, odgovor je: Jer minimum funkcije je njegova vrijednost u minimalnoj točki.

Slično, maksimum naše funkcije je . Do njega se dolazi u točki .

Možemo reći da su ekstremumi funkcije jednaki i .

Ponekad u zadacima trebate pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu. Ne moraju se nužno poklapati s krajnostima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na intervalu jednaka je i podudara se s minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu jednaka je . Do njega se dolazi na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju najveća i najmanja vrijednost kontinuirana funkcija na segmentu se postižu ili u točkama ekstrema ili na krajevima segmenta.

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Neophodan uvjet maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f (x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstremum . Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi lomove.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus” pri prolasku kroz kritičnu točku x0, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne promijeni, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritična točka: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve točke infleksije linije y \u003d f (x), morate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula , beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema infleksije.

Korijeni jednadžbe f ? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost u svakom njihovom intervalu određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki proučavanog intervala pozitivna, tada je pravac y = f(x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x; y) dovoljno blizu P0. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativan, onda maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki R0 nema ekstrema.

Slično se određuju ekstremumi funkcije za više argumenti.

O čemu je Shrek Forever After?
Crtić: Shrek Forever After Godina izlaska: 2010. Premijera (Rusija): 20. svibnja 2010. Država: SAD Redatelj: Michael Pitchel Scenarij: Josh Klausner, Darren Lemke Žanr: obiteljska komedija, fantazija, avantura Službena stranica: www.shrekforeverafter.com radnja mazga

Mogu li donirati krv tijekom menstruacije?
Liječnici ne preporučuju davanje krvi tijekom menstruacije, jer. gubitak krvi, iako ne u značajnoj količini, ispunjen je smanjenjem razine hemoglobina i pogoršanjem dobrobiti žene. Tijekom postupka darivanja krvi, situacija s dobrobiti može se pogoršati sve do otkrivanja krvarenja. Stoga se žene trebaju suzdržati od davanja krvi tijekom menstruacije. I to već 5. dan nakon što su završili

Koliko kcal / sat se troši prilikom pranja podova
Vrste tjelesna aktivnost Potrošnja energije, kcal/h Kuhanje 80 Oblačenje 30 Vožnja 50 Brisanje prašine 80 Jelo 30 Vrtlarstvo 135 Peglanje 45 Pospremanje kreveta 130 Kupovina 80 Sjedeći posao 75 Cjepanje drva 300 Pranje podova 130 Seks 100-150 Aerobni ples niskog intenziteta

Što znači riječ "skitnica"?
Lopov je lopov koji se bavi sitnom krađom ili lupež sklon prijevarnim trikovima. Potvrda ove definicije sadržana je u Krylovljevom etimološkom rječniku, prema kojem je riječ "prevarant" nastala od riječi "prevarant" (lopov, prevarant), srodne glagolu &la

Kako se zove zadnja objavljena priča braće Strugatski
Kratka priča Arkadija i Borisa Strugatskog "O pitanju ciklusa" prvi put je objavljena u travnju 2008. u znanstveno-fantastičnom almanahu "Podne. XXI stoljeće" (prilog časopisu "Vokrug sveta", objavljen pod uredništvom Borisa Strugatskog) . Publikacija je bila posvećena 75. obljetnici Borisa Strugatskog.

Gdje mogu pročitati priče sudionika Work And Travel USA programa
Work and Travel USA (rad i putovanje u SAD) popularan je program razmjene studenata u kojem možete provesti ljeto u Americi, legalno radeći u uslužnom sektoru i putujući. Povijest programa Work & Travel dio je programa međuvladine razmjene Cultural Exchange Pro

Uho. Kulinarska i povijesna referenca Više od dva i pol stoljeća riječ "ukha" koristi se za označavanje juha ili uvarka od svježe ribe. Ali bilo je vremena kada se ova riječ tumačila šire. Označavali su juhu - ne samo ribu, već i meso, grašak, pa čak i slatko. Dakle, u povijesnom dokumentu - "

Portali za informacije i zapošljavanje Superjob.ru - Portal za zapošljavanje Superjob.ru djeluje na ruskom online tržištu zapošljavanja od 2000. godine i vodeći je među resursima koji nude posao i traženje osoblja. Više od 80.000 životopisa stručnjaka i više od 10.000 slobodnih radnih mjesta dodaju se dnevno u bazu podataka stranice.

Što je motivacija
Definicija motivacije Motivacija (od lat. moveo - krećem se) - poticaj za djelovanje; dinamički proces fiziološkog i psihološkog plana koji kontrolira ljudsko ponašanje, određuje njegov smjer, organizaciju, aktivnost i stabilnost; čovjekova sposobnost da radom zadovolji svoje potrebe. Motivac

Tko je Bob Dylan
Bob Dylan (engl. Bob Dylan, pravo ime - Robert Allen Zimmerman engl. Robert Allen Zimmerman; rođen 24. svibnja 1941.) američki je tekstopisac koji je - prema anketi časopisa Rolling Stone - drugi (

Kako transportirati sobne biljke
Nakon kupnje sobnih biljaka, vrtlar se suočava sa zadatkom kako isporučiti kupljeno egzotično cvijeće neozlijeđeno. Poznavanje osnovnih pravila za pakiranje i transport sobnih biljaka pomoći će u rješavanju ovog problema. Biljke moraju biti pakirane za transport ili transport. Koliko god se biljke prenosile, mogu se oštetiti, osušiti, a zimi &m