Najveća i najmanja vrijednost funkcije

Najveća vrijednost funkcije je najveća, najmanja vrijednost je najmanja od svih njezinih vrijednosti.

Funkcija može imati samo jednu najveću i samo jednu najmanju vrijednost ili može imati nijednu. Pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti kontinuiranih funkcija temelji se na sljedećim svojstvima ovih funkcija:

1) Ako je u nekom intervalu (konačnom ili beskonačnom) funkcija y=f(x) kontinuirana i ima samo jedan ekstrem i ako je to maksimum (minimum), tada će to biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije u ovom intervalu.

2) Ako je funkcija f(x) neprekidna na nekom intervalu, tada ona nužno ima najveći i najmanja vrijednost. Ove vrijednosti se postižu ili na ekstremnim točkama koje leže unutar segmenta ili na granicama ovog segmenta.

Da biste pronašli najveće i najmanje vrijednosti na segmentu, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1. Nađi izvod.

2. Pronađite kritične točke funkcije u kojima =0 ili ne postoji.

3. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta i odaberite među njima najveći f max i najmanji f max.

Pri rješavanju primijenjenih problema, posebice optimizacijskih, važni su problemi nalaženja najveće i najmanje vrijednosti (globalni maksimum i globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rješavanje takvih problema treba na temelju uvjeta , odaberite nezavisnu varijablu i izrazite vrijednost koja se proučava kroz tu varijablu. Zatim pronađite željenu najveću ili najmanju vrijednost dobivene funkcije. I u ovom slučaju iz uvjeta zadatka određuje se interval promjene nezavisne varijable koji može biti konačan ili beskonačan.

Primjer. Spremnik, koji ima oblik pravokutnog paralelopipeda s otvorenim vrhom i kvadratnim dnom, mora biti iznutra pokalajen kositrom. Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika ako je njegov obujam 108 litara? vode tako da trošak konzerviranja bude minimalan?

Riješenje. Trošak oblaganja spremnika kositrom bit će minimalan ako je za određeni kapacitet njegova površina minimalna. Označimo s a dm stranicu baze, b dm visinu spremnika. Tada je površina S njegove površine jednaka

I

Rezultirajući odnos uspostavlja odnos između površine spremnika S (funkcija) i stranice baze a (argument). Ispitajmo funkciju S za ekstrem. Nađimo prvu derivaciju, izjednačimo je s nulom i riješimo dobivenu jednadžbu:

Stoga je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu.

Riješenje: Zadana je funkcija neprekinuta duž cijelog brojevnog pravca. Derivacija funkcije

Derivacija za i za . Izračunajmo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

.

Vrijednosti funkcije na krajevima zadanog intervala su jednake. Dakle, najveća vrijednost funkcije jednaka je at , najmanja vrijednost funkcije jednaka je at .

Pitanja za samotestiranje

1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti forme. Navedite različite vrste nesigurnosti za čije rješavanje se može koristiti L'Hopitalovo pravilo.

2. Formulirajte predznake rastućih i padajućih funkcija.

3. Definirajte maksimum i minimum funkcije.

4. Formulirajte nužan uvjet za postojanje ekstrema.

5. Koje se vrijednosti argumenta (koje točke) nazivaju kritičnim? Kako pronaći te točke?

6. Koji su dovoljni znakovi postojanja ekstrema funkcije? Ocrtajte shemu za proučavanje funkcije na ekstremumu pomoću prve derivacije.

7. Ocrtajte shemu za proučavanje funkcije na ekstremumu pomoću druge derivacije.

8. Definirati konveksnost i konkavnost krivulje.

9. Što se naziva infleksijom grafa funkcije? Navedite metodu za pronalaženje tih točaka.

10. Formulirajte potrebne i dovoljne znake konveksnosti i konkavnosti krivulje na zadanom segmentu.

11. Definirajte asimptotu krivulje. Kako pronaći okomitu, vodoravnu i kosu asimptotu grafa funkcije?

12. Nacrt opća shema istraživanje funkcije i konstruiranje njezina grafa.

13. Formulirajte pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na zadanom intervalu.

S praktičnog gledišta, najveći interes je korištenje derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. s čime je ovo povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života moramo rješavati probleme optimizacije nekih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na određenom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene definicije. Sam interval X može biti segment, otvoreni interval , beskonačan interval.

U ovom ćemo članku govoriti o eksplicitnom pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti dana funkcija jedna varijabla y=f(x) .

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Pogledajmo ukratko glavne definicije.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koga nejednakost je istinita.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koga nejednakost je istinita.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na intervalu koji se razmatra na apscisi.

Stacionarne točke– to su vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije postaje nula.

Zašto su nam potrebne stacionarne točke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatov teorem. Iz ovog teorema slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj točki, tada je ta točka stacionarna. Stoga funkcija često poprima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih točaka iz tog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti najveću i najmanju vrijednost u točkama u kojima prva derivacija te funkcije ne postoji, a sama je funkcija definirana.

Odmah odgovorimo na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Je li uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne, ne uvijek. Ponekad se granice intervala X podudaraju s granicama područja definicije funkcije ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U tim se slučajevima ne može ništa reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće, dat ćemo grafički prikaz. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasnije.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama unutar segmenta [-6;6].

Razmotrimo slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenimo segment u . U ovom primjeru najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj točki, a najveća u točki kojoj apscisa odgovara desna granica interval.

Na slici 3. granične točke segmenta [-3;2] su apscise točaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskraju

U primjeru prikazanom na sedmoj slici funkcija najveću vrijednost (max y) poprima u stacionarnoj točki s apscisom x=1, a najmanju vrijednost (min y) postiže na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Tijekom intervala funkcija ne postiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako se x=2 približava s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (ravna linija x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3. Grafički prikaz ovog primjera prikazan je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućuje pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

1. Pronalazimo domenu definicije funkcije i provjeravamo sadrži li cijeli segment.
2. Pronalazimo sve točke u kojima prva derivacija ne postoji i koje se nalaze u segmentu (obično se takve točke nalaze u funkcijama s argumentom pod znakom modula i u funkcije snage s razlomačko-racionalnim eksponentom). Ako nema takvih točaka, prijeđite na sljedeću točku.
3. Određujemo sve stacionarne točke unutar segmenta. Da bismo to učinili, izjednačimo ga s nulom, riješimo dobivenu jednadžbu i odaberemo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih točaka ili nijedna od njih ne spada u segment, prijeđite na sljedeću točku.
4. Vrijednosti funkcije izračunavamo u odabranim stacionarnim točkama (ako postoje), u točkama u kojima prva derivacija ne postoji (ako postoji), kao i u x=a i x=b.
5. Od dobivenih vrijednosti funkcije odabiremo najveću i najmanju - to će biti tražena najveća, odnosno najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam za rješavanje primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

Riješenje.

Područje definiranja funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim nule, tj. Oba segmenta spadaju u domenu definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očito je da derivacija funkcije postoji u svim točkama odsječaka i [-4;-1].

Stacionarne točke određujemo iz jednadžbe. Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna točka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnoj točki, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Stoga je najveća vrijednost funkcije postiže se pri x=1, a najmanja vrijednost – pri x=2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (budući da ne sadrži niti jednu stacionarnu točku):

Ponekad u zadacima B15 postoje “loše” funkcije za koje je teško pronaći izvod. Prije se to događalo samo tijekom oglednih testova, ali sada su ti zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti prilikom pripreme za pravi Jedinstveni državni ispit.

U ovom slučaju rade druge tehnike, od kojih je jedna monotonija.

Kaže se da je funkcija f (x) monotono rastuća na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 tog segmenta vrijedi sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Kaže se da je funkcija f (x) monotono opadajuća na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 tog segmenta vrijedi sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, to je manje f(x).

Na primjer, logaritam monotono raste ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0< a < 1. Не забывайте про область prihvatljive vrijednosti logaritam: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono raste preko cijele domene definicije:

Eksponencijalna funkcija se ponaša slično kao logaritam: raste za a > 1 i opada za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponencijalna funkcija definirano za sve brojeve, ne samo za x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Na kraju, stupnjevi s negativnim eksponentom. Možete ih napisati kao razlomak. Imaju točku prekida gdje se razbija monotonija.

Sve ove funkcije nikad se ne nalaze u čisti oblik. Zbrajaju polinome, razlomke i ostale gluposti, što otežava izračunavanje izvoda. Pogledajmo što se događa u ovom slučaju.

Koordinate vrha parabole

Najčešće se argument funkcije zamjenjuje s kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola za koju nas zanima:

1. Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dolje (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrh parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije u kojoj ova funkcija ima minimum (za a > 0) ili maksimum (a< 0) значение.

Od najvećeg interesa je vrh parabole, čija se apscisa izračunava po formuli:

Dakle, našli smo točku ekstrema kvadratne funkcije. Ali ako je izvorna funkcija monotona, za nju će točka x 0 također biti točka ekstrema. Dakle, formulirajmo ključno pravilo:

Točke ekstrema kvadratnog trinoma i složena funkcija, u koje je uključen, podudaraju se. Stoga možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i zaboraviti na funkciju.

Iz gornjeg razmišljanja ostaje nejasno koju točku dobivamo: maksimalnu ili minimalnu. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije važno. Prosudite sami:

1. Nema segmenta u iskazu problema. Stoga nema potrebe izračunavati f(a) i f(b). Ostaje razmotriti samo ekstremne točke;
2. Ali postoji samo jedna takva točka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvedenica.

Time je rješavanje problema uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka:

1. Napišite jednadžbu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njezin vrh pomoću formule: x 0 = −b /2a ;
2. Pronađite vrijednost izvorne funkcije u ovoj točki: f (x 0). Ako nema dodatnih uvjeta, ovo će biti odgovor.

Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo obrazloženje mogu izgledati komplicirano. Namjerno ne objavljujem "goli" dijagram rješenja, budući da je nepromišljena primjena takvih pravila puna pogrešaka.

Pogledajmo stvarne probleme iz probni jedinstveni državni ispit u matematici - tu se ova tehnika najčešće nalazi. Istodobno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi problemi s B15 postanu gotovo oralni.

Ispod korijena stoji kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore jer je koeficijent a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Budući da su grane parabole usmjerene prema gore, u točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 poprima minimalnu vrijednost.

Korijen monotono raste, što znači da je x 0 točka minimuma cijele funkcije. Imamo:

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom se opet nalazi kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s granama prema gore, jer a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Dakle, u točki x 0 = −1 kvadratna funkcija poprima svoju minimalnu vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, pa je:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent sadrži kvadratnu funkciju y = 1 − 4x − x 2 . Zapišimo to u normalnom obliku: y = −x 2 − 4x + 1.

Očito, graf ove funkcije je parabola, grana prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Izvorna funkcija je eksponencijalna, monotona je, pa će najveća vrijednost biti u pronađenoj točki x 0 = −2:

Pažljivi čitatelj vjerojatno će primijetiti da nismo napisali raspon dopuštenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra postoje funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.

Korolari iz domene funkcije

Ponekad jednostavno pronalaženje vrha parabole nije dovoljno za rješavanje zadatka B15. Vrijednost koju tražite može lagati na kraju segmenta, a nikako u točki ekstrema. Ako problem uopće ne ukazuje na segment, pogledajte raspon prihvatljivih vrijednosti izvorna funkcija. Naime:

Napominjemo još jednom: nula može biti ispod korijena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:

Pod korijenom je opet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje jer je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Korijen negativnog broja ne postoji.

Zapisujemo raspon dopuštenih vrijednosti (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Nađimo sada vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - i to je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u točki x 0, kao i na krajevima ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Unutar logaritma nalazi se kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. Ovo je parabola s granama prema dolje, ali u logaritmu ne može biti negativni brojevi, pa ispisujemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Ovo razlikuje logaritam od korijena, gdje nam krajevi segmenta sasvim dobro odgovaraju.

Tražimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrh parabole se uklapa prema ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ali budući da nas ne zanimaju krajevi segmenta, izračunavamo vrijednost funkcije samo u točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Sitna i lijepa jednostavan zadatak iz kategorije onih koje plutajućem studentu služe kao pojas za spašavanje. U prirodi je sredina srpnja pa je vrijeme da se skrasite s laptopom na plaži. Rano ujutro zaigrala je sunčeva zraka teorije, da bi se ubrzo usmjerila na praksu koja, unatoč deklariranoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Za rješavanje praktičnih problema morate biti u stanju pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta u intervalu. Egzemplarno ponašanje funkcije na segmentu formulira se na sličan način. Funkcija je kontinuirana na intervalu ako:

1) kontinuirana je na intervalu ;
2) kontinuirano u točki desno i u točki lijevo.

U drugom odlomku govorili smo o tzv jednostrani kontinuitet funkcije u točki. Postoji nekoliko pristupa definiranju, ali ja ću se držati linije koju sam započeo ranije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njena desna granica se podudara s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirana lijevo, ako je definiran u danoj točki i njegovu lijevu granicu jednaka vrijednosti u ovom trenutku:

Zamislite da su zelene točkice nokti na koje je pričvršćena čarobna elastična traka:

Mentalno uzmite crvenu liniju u ruke. Očito, bez obzira koliko razvukli graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno– ograda na vrhu, ograda na dnu, a naš proizvod pase u oboru. Tako, na njemu je ograničena funkcija kontinuirana na intervalu. Tijekom matematičke analize ova se naizgled jednostavna činjenica konstatuje i strogo dokazuje. Weierstrassov prvi teorem....Mnogima smeta što se elementarne tvrdnje dosadno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije izuma teleskopa ograničena funkcija u svemiru nije bila nimalo očita! Stvarno, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija traži dokaz =)

Prema Drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija dostiže svoje točna gornja granica i tvoje točan donji rub .

Broj se također zove maksimalnu vrijednost funkcije na segmentu i označeni su s , a broj je minimalna vrijednost funkcije na segmentu označeno .

U našem slučaju:

Bilješka : u teoriji su snimanja uobičajena .

Grubo rečeno, najveća vrijednost je tamo gdje je najviše visoka točka grafike, a najmanja je tamo gdje je najniža točka.

Važno! Kao što je već naglašeno u članku o ekstremi funkcije, najveću vrijednost funkcije I najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, Što maksimalna funkcija I minimalna funkcija. Dakle, u primjeru koji razmatramo, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak ni poplava, u kontekstu problema koji razmatramo, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je stoga čisto analitičko nema potrebe za izradom crteža!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jedan bonus: ovdje nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, jer, kao što je upravo prikazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još ne jamči, koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Funkcija demonstracije doseže maksimum i voljom sudbine isti broj je najveća vrijednost funkcije na segmentu. Ali, naravno, takva slučajnost se ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku je brže i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne zamarajući se postoje li u njima ekstremi ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. odlomku, odaberite najmanju i najveću veliki broj, zapišite odgovor.

Sjedamo na obalu plavo more i udarimo petama u plitku vodu:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Riješenje:
1) Izračunajmo vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj točki:

2) Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su “podebljani” rezultati s eksponentima i logaritmima, što znatno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga, naoružajmo se kalkulatorom ili Excelom i izračunajmo približne vrijednosti, ne zaboravljajući da:

Sada je sve jasno.

Odgovor:

Frakcijsko-racionalna instanca za neovisno rješenje:

Primjer 6

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Preduvjet Maksimum i minimum (ekstremum) funkcije su sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može ići do nule, beskonačnosti ili ne postoji bez da funkcija ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = a prva derivacija f?(x) nestane; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstrem. Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi diskontinuitete.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Riješite jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Funkcija ima ovu vrijednost argumenta ekstremno. Njemu pronaći, zamijenite pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije pri prolasku kroz kritičnu točku x0 promijeni iz “plus” u “minus”, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne mijenja, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzmite proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritična točka: x = -1

Pri x = -1, vrijednost derivacije bit će y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je "minus").

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Pri x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je "plus").

Kao što vidite, derivacija je promijenila predznak iz minusa u plus kada je prolazila kroz kritičnu točku. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nije uključeno u interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 jednaka je y = 5,398.

Pronađite vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost -

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti konveksnu i konkavnu stranicu?

Da biste pronašli sve točke infleksije pravca y = f(x), trebate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula, beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema zavoja.

Korijeni jednadžbe f? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje definicije funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost na svakom od njihovih intervala određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki na intervalu koji se proučava pozitivna, tada je linija y = f(x) konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x,y), diferencijabilne u domeni njezine specifikacije, trebate:

1) pronaći kritične točke, a za to - riješiti sustav jednadžbi

fh? (x,y) = 0, fu? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x;y) dovoljno blizu P0. Ako razlika ostane pozitivna, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativna, tada imamo maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki P0 nema ekstrema.

Ekstremumi funkcije određuju se slično za više argumenti.