Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0.
Primijenimo na kvadratni trinom ax 2 + bx + c iste transformacije koje smo izveli u § 13, kad smo dokazali teorem da je graf funkcije y = ax 2 + bx + c parabola.
Imamo

Obično se izraz b 2 - 4ac označava slovom D i naziva se diskriminanta kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0 (ili diskriminant kvadratnog trinoma ax + bx + c).

Tako

To znači da se kvadratna jednadžba ax 2 + them + c = O može prepisati u obliku

Bilo koja kvadratna jednadžba može se transformirati u oblik (1), što je zgodno, kao što ćemo sada vidjeti, za određivanje broja korijena kvadratne jednadžbe i pronalaženje tih korijena.

Dokaz. Ako D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Primjer 1. Riješite jednadžbu 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Riješenje. Ovdje je a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Budući da je D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dokaz. Ako je D = 0, tada jednadžba (1) ima oblik

je jedini korijen jednadžbe.

Napomena 1. Sjećate li se da je x = - apscisa vrha parabole koja služi kao graf funkcije y = ax 2 + them + c? Zašto ovo
ispostavilo se da je vrijednost jedini korijen kvadratne jednadžbe ax 2 + njih + c - 0? “Lijes” se jednostavno otvara: ako je D 0, tada, kao što smo ranije utvrdili,

Grafik iste funkcije je parabola s vrhom u točki (vidi, na primjer, sliku 98). To znači da su apscisa vrha parabole i jedini korijen kvadratne jednadžbe za D = 0 isti broj.

Primjer 2. Riješite jednadžbu 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Riješenje. Ovdje je a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Kako je D = 0, onda prema teoremu 2 ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Ovaj se korijen nalazi pomoću formule

Odgovor: 2.5.

Napomena 2. Imajte na umu da je 4x 2 - 20x +25 potpuni kvadrat: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Da smo to odmah primijetili, jednadžbu bismo riješili ovako: (2x - 5) 2 = 0, što znači 2x - 5 = 0, odakle dobivamo x = 2,5. Općenito, ako je D = 0, tada

ax 2 + bx + c = - ovo smo primijetili ranije u primjedbi 1.
Ako je D > 0, tada kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima dva korijena, koji se nalaze po formulama

Dokaz. Prepišimo kvadratnu jednadžbu ax 2 + b x + c = 0 u obliku (1)

Stavimo
Prema uvjetu, D > 0, što znači da je desna strana jednadžbe pozitivan broj. Tada iz jednadžbe (2) dobivamo da

Dakle, data kvadratna jednadžba ima dva korijena:

Napomena 3. U matematici se rijetko događa da uvedeni pojam nema, slikovito rečeno, svakodnevnu pozadinu. Uzmimo nešto novo
koncept – diskriminant. Zapamtite riječ "diskriminacija". Što to znači? To znači poniženje jednih, a uzdizanje drugih, tj. drugačiji stav
cija raznim ljudima. Obje riječi (diskriminator i diskriminacija) potječu od latinske riječi discriminans - “razlučivanje”. Diskriminanta razlikuje kvadratne jednadžbe po broju korijena.

Primjer 3. Riješite jednadžbu 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Riješenje. Ovdje je a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Kako je D > 0, onda prema teoremu 3 ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ti se korijeni nalaze prema formulama (3)

Zapravo, razvili smo sljedeće pravilo:

Pravilo za rješavanje jednadžbe
ax 2 + bx + c = 0

Ovo je pravilo univerzalno; primjenjuje se i na potpune i na nepotpune kvadratne jednadžbe. Međutim, nepotpune kvadratne jednadžbe obično se ne rješavaju pomoću ovog pravila; praktičnije ih je riješiti kao što smo učinili u prethodnom odlomku.

Primjer 4. Riješite jednadžbe:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rješenje. a) Ovdje je a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Budući da je D > 0, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ove korijene nalazimo koristeći formule (3)

B) Kao što iskustvo pokazuje, prikladnije je raditi s kvadratnim jednadžbama u kojima je vodeći koeficijent pozitivan. Stoga, prvo pomnožimo obje strane jednadžbe s -1, dobivamo

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Ovdje je a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Kako je D = 0, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Taj se korijen nalazi po formuli x = -. Sredstva,

Ova se jednadžba mogla riješiti i drugačije: budući da
9x 2 - 6x + 1 = (Zh - IJ, tada dobivamo jednadžbu (Zh - I) 2 = 0, odakle nalazimo Zh - 1 = 0, tj. x = .

c) Ovdje je a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Budući da je D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematičari su praktični, ekonomični ljudi. Zašto, kažu, koristiti tako dugo pravilo za rješavanje kvadratne jednadžbe, bolje je odmah napisati opću formulu:

Ako se pokaže da je diskriminant D = b 2 - 4ac negativan broj, tada napisana formula nema smisla (pod znakom korijen je negativan broj), što znači da nema korijena. Ako se pokaže da je diskriminant jednak nuli, tada dobivamo

To jest, jedan korijen (također kažu da kvadratna jednadžba u ovom slučaju ima dva identična korijena:

Konačno, ako se pokaže da je b 2 - 4ac > 0, tada dobivamo dva korijena x 1 i x 2, koji se izračunavaju pomoću istih formula (3) kao što je gore navedeno.

Sam broj je u ovom slučaju pozitivan (kao svaki kvadratni korijen pozitivnog broja), a dvostruki znak ispred njega znači da se u jednom slučaju (pri pronalaženju x 1) ovaj pozitivan broj zbraja s brojem - b, i u drugom slučaju (pri pronalaženju x 2) ovo je pozitivan broj
čitati s broja - b.

Imate slobodu izbora. Želite li detaljno riješiti kvadratnu jednadžbu pomoću gore formuliranog pravila; Ako želite, odmah zapišite formulu (4) i pomoću nje izvucite potrebne zaključke.

Primjer 5. Riješite jednadžbe:

Rješenje, a) Naravno, možete koristiti formule (4) ili (3), uzimajući u obzir da u ovom slučaju Ali zašto raditi stvari s razlomcima kada je lakše i, što je najvažnije, ugodnije raditi s cijelim brojevima? Oslobodimo se nazivnika. Za to je potrebno obje strane jednadžbe pomnožiti s 12, odnosno s najmanjim zajedničkim nazivnikom razlomaka koji služe kao koeficijenti jednadžbe. Dobivamo

odakle je 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Sada upotrijebimo formulu (4)

B) Ponovno imamo jednadžbu s razlomačkim koeficijentima: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Pomnožimo obje strane jednadžbe sa 100, tada ćemo dobiti jednadžbu s cijelim koeficijentima:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Zatim koristimo formulu (4):

Jednostavan izračun pokazuje da je diskriminant (radikalni izraz) negativan broj. To znači da jednadžba nema korijena.

Primjer 6. Riješite jednadžbu
Riješenje. Ovdje je, za razliku od prethodnog primjera, bolje postupati prema pravilu nego prema skraćenoj formuli (4).

Imamo a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Kako je D > 0, kvadratna jednadžba ima dva korijena koje ćemo tražiti pomoću formula (3)

Primjer 7 Riješite jednadžbu
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Riješenje. Ova kvadratna jednadžba razlikuje se od svih do sada razmatranih kvadratnih jednadžbi po tome što koeficijenti nisu specifični brojevi, već doslovni izrazi. Takve se jednadžbe nazivaju jednadžbe sa slovnim koeficijentima ili jednadžbe s parametrima. U ovom slučaju, parametar (slovo) p uključen je u drugi koeficijent i slobodni član jednadžbe.
Nađimo diskriminantu:

Primjer 8. Riješite jednadžbu px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Riješenje. Ovo je također jednadžba s parametrom p, ali se, za razliku od prethodnog primjera, ne može odmah riješiti pomoću formula (4) ili (3). Činjenica je da su navedene formule primjenjive na kvadratne jednadžbe, ali to još ne možemo reći za danu jednadžbu. Doista, što ako je p = 0? Zatim
jednadžba će imati oblik 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, tj. x - 1 = 0, iz čega dobivamo x = 1. Sada, ako sigurno znate da , tada možete primijeniti formule za korijene kvadrata jednadžba:

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U izrazu "kvadratna jednadžba", ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednadžba nužno mora sadržavati varijablu (taj isti x) na kvadrat i ne smije biti x-ova na treću (ili veću) potenciju.

Rješavanje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednadžba, a ne neka druga jednadžba.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednadžbe s

Premjestimo sve na lijeva strana i rasporedite članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožimo lijevo i desna strana na:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se – i sada je jednostavan Linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Oni su nepotpuni jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! Inače, to više neće biti kvadratna jednadžba, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela određena je metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo kako izvući kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje samo izvaditi korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate se kako vaditi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijene matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo odustati od primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

Zapamtiti, Bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom vrlo je jednostavno, glavno je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen. Posebna pažnja nacrtati korak. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da nećemo moći izdvojiti korijen diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako pravilno zapisati takve odgovore.

Odgovor: bez korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se naziva reducirana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer .

Zbroj korijena jednadžbe je jednak, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• I. Zbroj je;
• I. Zbroj je;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Dana je jednadžba, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznata, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - slobodan član.

Zašto? Jer ako jednadžba odmah postane linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj stolici jednadžba se naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Razlikujemo sljedeće vrste jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada pogledajmo rješenje za svaku od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Rastavimo lijevu stranu jednadžbe i pronađimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen iz diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali zapravo jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto postoji različit broj korijena? Obratimo se geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi apscisa (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Vrlo je jednostavno koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je umnožak jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo u reducirane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Odaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• I. Zbroj je;
• I. Zbroj je;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Za dobivanje je dovoljno jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbroj korijena jednak razlike njihovih modula.

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: razlika im je jednaka – ne pristaje;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Sve što ostaje je zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, korijen s manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da, prema barem, jedan od korijena je negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Biramo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naš omiljeni Vieta teorem: zbroj mora biti jednak, a umnožak mora biti jednak.

Ali budući da mora biti ne, ali, mijenjamo predznake korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Sve pojmove trebate premjestiti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

U redu, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Sjajno. Tada je zbroj korijena jednak, a umnožak.

Ovdje je odabir jednostavan kao guljenje krušaka: ipak je to prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodan član je negativan. Što je posebno u vezi ovoga? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku u njihovim modulima: ta je razlika jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što trebate učiniti prvo? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u danim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vietinog teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cijelih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira cijelog kvadrata

Ako su svi članovi koji sadrže nepoznanicu prikazani u obliku članova iz skraćenih formula množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon zamjene varijabli može prikazati u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

U opći pogled transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća te ni na što? Ovo je diskriminirajuća stvar! Upravo tako smo dobili formulu diskriminacije.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba- ovo je jednadžba oblika, gdje su - nepoznanica, - koeficijenti kvadratne jednadžbe, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika gdje) je jednak, a umnožak korijena je jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

Ako kvadratna jednadžba oblika ima korijene, tada se može napisati u obliku: .

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položivši ispit, za upis na budžet na budžet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog brojnih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge zapise, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno se dobivaju tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje predlažemo njihovo eksplicitno bilježenje, kada se prvo upisuje najveći stupanj, a zatim u silaznom redoslijedu. Česte su situacije kada su termini nedosljedni. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedimo neke oznake. Oni su prikazani u tablici ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.

Kada je zadana jednadžba, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• otopina će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• jednadžba uopće neće imati korijena.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

U zadacima mogu postojati različiti unosi. Neće uvijek izgledati kao formula opće kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugo. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, samo članovi s koeficijentima "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga - tri.

Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti

Morate znati ovaj broj kako biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različite znakove. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Ako je broj negativan, neće biti korijena kvadratne jednadžbe. Ako je jednak nuli, bit će samo jedan odgovor.

Kako riješiti kompletnu kvadratnu jednadžbu?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Zato što prvo treba pronaći diskriminant. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti sljedeću formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati drugačije.

Formula broj pet. Iz istog zapisa jasno je da ako je diskriminant jednak nuli, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješavanje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Nema čak ni potrebe dodatne formule. A oni koji su već zapisani za diskriminant i nepoznato neće biti potrebni.

Prvo razmotrimo nepotpuna jednadžba na broju dva. U ovoj jednakosti potrebno je nepoznatu veličinu izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji množitelj koji se sastoji od same varijable. Drugi će se dobiti rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim trebate podijeliti s koeficijentom okrenutim prema nepoznatom. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.

Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.

• Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.

• Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s “-1”. To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.

• Preporuča se na isti način riješiti razlomaka. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon što ga izvadimo iz zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 \u003d 0. Lako je vidjeti da je x 2 \u003d 7.

Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi započet će njihovim prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugu koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati pomoću pete formule. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Nešto slično ovome već je bilo riječi malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Razmotrimo sve detaljno: bit i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo popratne uvjete, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpune jednadžbe, upoznat ćemo se s formulom korijena i diskriminantom, uspostavit ćemo veze između korijena i koeficijenata, te naravno dati vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, budući da je zapravo kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada koristite kratki oblik zapisi poput 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u snimanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima snimanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na temelju vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Navedimo primjere: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 u kojima je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.

Obzir studija slučaja omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6. Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da je na a = 0 u biti pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.

U slučaju kada koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbe – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, ova jednadžba odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pri c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 =0

Kao što je gore spomenuto, ova jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x 2 = 0, koju dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može objasniti svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednadžbe a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu premještanjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotni i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• prijenos c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, završavamo s x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne; prema tome, rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a ovisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 = - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 = - c a. Nije teško razumjeti da je broj - - c a također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a.

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati metodom kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za gore navedene korijene kao x 1 I − x 1. Uzmimo da i jednadžba x 2 = - c a ima korijen x 2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , a za x 2- x 2 2 = - c a . Na temelju svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan točan član po član jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizlazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema korijena osim x = - c a i x = - - c a.

Sažmimo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Riješenje

Pomaknimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane dobivene jednadžbe s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Jednadžbu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega možemo zaključiti da x = 36 ili x = - 36 .
Izvucimo korijen i zapišimo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = − 6.

Odgovor: x=6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristit ćemo se metodom faktorizacije. Faktorizirajmo polinom koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x = 0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riješenje

Izvadit ćemo ga x izvan zagrada dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– tzv. diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u biti znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različit od nule, dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tako smo došli do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

O rješavanju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednadžbe i definira se slovo D kao njezina oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - po njegovoj vrijednosti i znaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koliko korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminantni zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulirajmo ponovno naše zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. I, kada otvorimo module i dovedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobijemo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju određivanje oba stvarna korijena kada je diskriminant veći od nule. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo upotrijebiti formulu za korijen kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom izvlačenja kvadratnog korijena od negativan broj, što će nas odvesti dalje od stvarnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah pomoću formule za korijen, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne složenih, već stvarnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe najprije odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračun vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminirajuću vrijednost;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, pronađite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - b 2 · a ;
• za D > 0, odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Dajmo rješenje primjera za različita značenja diskriminirajući.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobivamo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x = - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo dobiveni izraz izuzimanjem faktora iz znaka korijena i zatim smanjenjem razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Treba riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednadžbu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminanta je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći akcije s kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školski plan i program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tijekom rješavanja utvrdi da je diskriminant negativan, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili s koeficijentom oblika 2 · n, npr. 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra s drugim koeficijentom 2 · n imati oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, odnosno D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a · c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odredite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - n a;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe možemo prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni zapis jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobiven dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno povezani primarni brojevi. Zatim obje strane jednadžbe obično podijelimo s najvećim zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se riješite frakcijskih koeficijenata. U tom se slučaju množe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti napisana u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek rješavamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane s −1. Na primjer, od kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, nama već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na temelju ove formule imamo priliku specificirati druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći brojne druge veze između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

S ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednadžbu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces rješavanja na dva načina:
- pomoću diskriminatora
- koristeći Vietin teorem (ako je moguće).

Štoviše, odgovor se prikazuje kao točan, a ne približan.
Na primjer, za jednadžbu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor se prikazuje u sljedećem obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a ne ovako: \(x_1 = 0,247; \kvad x_2 = -0,05\)

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce Srednja škola u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontroliraju rješenje mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete voditi vlastitu obuku i/ili svoju obuku. mlađa braća ili sestara, dok se povećava stupanj obrazovanja u području problema koji se rješavaju.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Brojeve je moguće unijeti kao cijele ili razlomke.
Štoviše, razlomački brojevi može se unijeti ne samo kao decimalni, već i kao obični razlomak.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak može biti odvojen od cijelog dijela točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Prilikom ulaska brojčani razlomak Brojnik je od nazivnika odvojen znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersand: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U tom se slučaju kod rješavanja kvadratne jednadžbe uvedeni izraz prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odlučiti

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njezini korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednadžbi
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve se jednadžbe nazivaju kvadratne jednadžbe.

Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c neki brojevi i \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a nazivamo prvim koeficijentom, broj b drugim koeficijentom, a broj c slobodnim članom.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća potencija varijable x je kvadrat. Otuda naziv: kvadratna jednadžba.

Imajte na umu da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stupnja, jer je njena lijeva strana polinom drugog stupnja.

Naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 jednak 1 dana kvadratna jednadžba. Na primjer, dane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednadžba naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednadžbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje \(b \neq 0 \);
3) sjekira 2 =0.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi svake od ovih vrsta.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednadžbe s a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Budući da je \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednadžba ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +bx=0 s \(b \neq 0 \) faktoriziramo njezinu lijevu stranu i dobijemo jednadžbu
\(x(ax+b)=0 \desna strelica \lijevo\( \begin(niz)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \desna strelica \lijevo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 \u003d 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su oba koeficijenta nepoznanica i slobodnog člana različiti od nule.

Riješimo kvadratnu jednadžbu u općem obliku i kao rezultat ćemo dobiti formulu za korijene. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c=0

Podijelimo li oba njezina dijela s a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformirajmo ovu jednadžbu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna strelica \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2 = \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\lijevo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \desna strelica \lijevo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \desna strelica \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći zapis diskriminante, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje \(D= b^2-4ac \)

Očito je da:
1) Ako je D>0, onda kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminante, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D. Kada se kvadratna jednadžba rješava pomoću ovog formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminant i usporediti ga s nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu za korijen; ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadana kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a umnožak 10. Vidimo da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Svaka reducirana kvadratna jednadžba koja ima korijene ima ovo svojstvo.

Zbroj korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Oni. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\lijevo\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)