Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim razmotrimo slučajeve kako njihova složenost raste. Na kraju dajemo izraz koji sadrži slovne oznake, zagrade, korijeni, posebni matematički znakovi, stupnjevi, funkcije itd. Prema tradiciji, cjelokupnu teoriju opskrbit ćemo obilnim i detaljnim primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kako pronaći vrijednost numeričkog izraza?

Numerički izrazi, između ostalog, pomažu da se stanje problema opiše matematičkim jezikom. Uopće matematički izrazi može biti ili vrlo jednostavan, sadržavati par brojeva i aritmetičkih simbola, ili vrlo složen, sadržavati funkcije, potencije, korijene, zagrade itd. Kao dio zadatka često je potrebno pronaći značenje određenog izraza. Kako to učiniti, raspravljat ćemo u nastavku.

Najjednostavniji slučajevi

To su slučajevi u kojima izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetičkih operacija. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam znanje o redoslijedu izvođenja aritmetičkih operacija bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.

Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tada se radnje izvode slijeva na desno sljedećim redom: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. Navedimo primjere.

Primjer 1: Vrijednost numeričkog izraza

Neka trebate pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Prvo napravimo množenje i dijeljenje. Dobivamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Sada provodimo oduzimanje i dobivamo konačni rezultat:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Primjer 2: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Prvo izvodimo pretvorbu razlomaka, dijeljenje i množenje:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Sada napravimo malo zbrajanja i oduzimanja. Grupirajmo razlomke i dovedimo ih na zajednički nazivnik:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Tražena vrijednost je pronađena.

Izrazi sa zagradama

Ako izraz sadrži zagrade, one definiraju redoslijed operacija u tom izrazu. Prvo se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to primjerom.

Primjer 3: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza 0,5 · (0,76 - 0,06).

Izraz sadrži zagrade, pa prvo izvodimo operaciju oduzimanja u zagradama, a tek onda množenje.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Značenje izraza koji sadrže zagrade unutar zagrada nalazi se prema istom principu.

Primjer 4: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Izvodit ćemo radnje počevši od najnutarnjih zagrada, prelazeći na one vanjske.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Prilikom pronalaženja značenja izraza sa zagradama, glavna stvar je slijediti slijed radnji.

Izrazi s korijenima

Matematički izrazi čije vrijednosti trebamo pronaći mogu sadržavati predznake korijena. Štoviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Što učiniti u ovom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izvući korijen iz broja dobivenog kao rezultat. Ako je moguće, bolje je riješiti se korijena u numeričkim izrazima, zamjenjujući ih numeričkim vrijednostima.

Primjer 5: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Prvo izračunavamo radikalne izraze.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Sada možete izračunati vrijednost cijelog izraza.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Često pronalaženje značenja izraza s korijenima često zahtijeva prvo pretvaranje izvornog izraza. Objasnimo to još jednim primjerom.

Primjer 6: Vrijednost numeričkog izraza

Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1

Kao što vidite, nemamo priliku zamijeniti korijen točnom vrijednošću, što komplicira proces brojanja. Međutim, u ovom slučaju možete primijeniti formulu skraćenog množenja.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tako:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Izrazi s potencijama

Ako izraz sadrži ovlasti, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nastavka sa svim ostalim radnjama. Događa se da su eksponent ili baza samog stupnja izrazi. U ovom slučaju prvo se izračuna vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stupnja.

Primjer 7: Vrijednost numeričkog izraza

Odredimo vrijednost izraza 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Krenimo redom računati.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Ostaje samo izvršiti operaciju zbrajanja i saznati značenje izraza:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Također je često preporučljivo pojednostaviti izraz koristeći svojstva stupnja.

Primjer 8: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponenti su opet takvi da se njihove točne numeričke vrijednosti ne mogu dobiti. Pojednostavimo izvorni izraz kako bismo pronašli njegovu vrijednost.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Izrazi s razlomcima

Ako izraz sadrži razlomke, tada prilikom izračunavanja takvog izraza svi razlomci u njemu moraju biti predstavljeni u obliku obični razlomci i izračunati njihove vrijednosti.

Ako brojnik i nazivnik razlomka sadrže izraze, tada se prvo izračunaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka se zapiše. Aritmetičke operacije izvode se standardnim redoslijedom. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer 9: Vrijednost numeričkog izraza

Odredimo vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kao što vidite, postoje tri razlomka u originalnom izrazu. Prvo izračunajmo njihove vrijednosti.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Često je prilikom pronalaženja značenja izraza zgodno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije pronalaženja njegove vrijednosti, najbolje je pojednostaviti bilo koji izraz do maksimuma, smanjujući sve izračune na najjednostavnije slučajeve.

Primjer 10: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Ne možemo potpuno izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostaviti izvorni izraz transformacijama.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Izvorni izraz ima oblik:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Izračunajmo vrijednost ovog izraza:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Izrazi s logaritmima

Kada su logaritmi prisutni u izrazu, njihova vrijednost se računa od početka, ako je moguće. Na primjer, u izrazu log 2 4 + 2 · 4 možete odmah zapisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobivamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Brojčani izrazi se također mogu naći ispod samog znaka logaritma i u njegovoj osnovi. U ovom slučaju, prvo što treba učiniti je pronaći njihova značenja. Uzmimo izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ako je nemoguće izračunati točnu vrijednost logaritma, pojednostavljenje izraza pomaže pronaći njegovu vrijednost.

Primjer 11: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Po svojstvu logaritama:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Ponovno koristeći svojstva logaritama, za posljednji razlomak u izrazu dobivamo:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Sada možete nastaviti s izračunavanjem vrijednosti izvornog izraza.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Izrazi s trigonometrijskim funkcijama

Događa se da izraz sadrži trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i njihove inverzne funkcije. Vrijednost se izračunava prije izvođenja svih drugih aritmetičkih operacija. U suprotnom, izraz je pojednostavljen.

Primjer 12: Vrijednost numeričkog izraza

Odredite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijske funkcije uključeni u izraz.

grijeh - 5 π 2 = - 1

Zamjenjujemo vrijednosti u izraz i izračunavamo njegovu vrijednost:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Vrijednost izraza je pronađena.

Često, da bi se našla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, mora se prvo pretvoriti. Objasnimo na primjeru.

Primjer 13: Vrijednost numeričkog izraza

Trebamo pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Za pretvorbu ćemo koristiti trigonometrijske formule kosinus dvostrukog kuta i kosinus zbroja.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Opći slučaj numeričkog izraza

Općenito, trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore opisane elemente: zagrade, potencije, korijene, logaritme, funkcije. Idemo formulirati opće pravilo pronalaženje značenja takvih izraza.

Kako pronaći vrijednost izraza

1. Korijeni, potencije, logaritmi itd. zamjenjuju njihove vrijednosti.
2. Radnje u zagradama se izvode.
3. Preostale radnje izvode se redom s lijeva na desno. Prvo - množenje i dijeljenje, zatim - zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjer.

Primjer 14: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Izraz je prilično složen i glomazan. Nismo slučajno odabrali upravo takav primjer, pokušavši u njega uklopiti sve gore opisane slučajeve. Kako pronaći značenje takvog izraza?

Poznato je da se pri izračunavanju vrijednosti složenog frakcijskog oblika vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka prvo nalaze zasebno. Sekvencijalno ćemo transformirati i pojednostaviti ovaj izraz.

Najprije izračunajmo vrijednost radikalnog izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Sada možete saznati vrijednost sinusa:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

S nazivnikom razlomka sve je jednostavnije:

Sada možemo napisati vrijednost cijelog razlomka:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Uzimajući ovo u obzir, pišemo cijeli izraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konačni rezultat:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

U ovom slučaju uspjeli smo izračunati točne vrijednosti korijena, logaritma, sinusa itd. Ako to nije moguće, možete ih se pokušati riješiti matematičkim transformacijama.

Izračunavanje vrijednosti izraza pomoću racionalnih metoda

Numeričke vrijednosti moraju se izračunati dosljedno i točno. Taj se proces može racionalizirati i ubrzati korištenjem različitih svojstava operacija s brojevima. Na primjer, poznato je da je umnožak jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Uzimajući u obzir ovo svojstvo, odmah možemo reći da je izraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 jednak nuli. Istodobno, uopće nije potrebno izvršiti radnje redoslijedom opisanim u gornjem članku.

Također je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednaki brojevi. Bez izvođenja bilo kakvih radnji, možete narediti da vrijednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 također bude nula.

Druga tehnika za ubrzavanje procesa je korištenje transformacija identiteta kao što je grupiranje pojmova i faktora i stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza s razlomcima je svođenje istih izraza u brojnik i nazivnik.

Na primjer, uzmite izraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Bez izvođenja operacija u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3 .

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Značenje doslovni izraz a izrazi s varijablama se nalaze za specifične zadane vrijednosti slova i varijabli.

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate zamijeniti zadane vrijednosti slova i varijabli u izvorni izraz, a zatim izračunati vrijednost dobivenog numeričkog izraza.

Primjer 15: Vrijednost izraza s varijablama

Izračunajte vrijednost izraza 0, 5 x - y za x = 2, 4 i y = 5.

Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Ponekad možete transformirati izraz tako da dobijete njegovu vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, morate se riješiti slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći identične transformacije, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.

Na primjer, izraz x + 3 - x očito ima vrijednost 3, a za izračunavanje te vrijednosti nije potrebno znati vrijednost varijable x. Vrijednost ovog izraza jednaka je tri za sve vrijednosti varijable x iz njenog raspona dopuštenih vrijednosti.

Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedan za sve pozitivne x-ove.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Odredi tijek radnje. Izvedite prvu radnju u unutarnjim zagradama 489–296=193. Zatim pomnožite 193∙8=1544 i 34∙10=340. Sljedeća akcija: 340+1544=1884. Zatim podijelite 1884:4=461 i zatim oduzmite 461–410=60. Pronašli ste značenje ovog izraza.

Primjer. Pronađite vrijednost izraza 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Pojednostavite ovaj izraz. Da biste to učinili, upotrijebite formulu tg α∙ctg α=1. Dobijte: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Poznato je da je sin 30º=1/2 i cos 30º=√3/2. Prema tome, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Pronašli ste značenje ovog izraza.

Vrijednost algebarskog izraza iz . Da biste pronašli vrijednost algebarskog izraza za dane varijable, pojednostavite izraz. Zamjena za varijable određene vrijednosti. Izvršiti potrebne radnje. Kao rezultat, dobit ćete broj, koji će biti vrijednost algebarskog izraza za dane varijable.

Primjer. Pronađite vrijednost izraza 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 i y=10. Pojednostavite ovaj izraz i dobijete: a–2y. Zamijenite odgovarajuće vrijednosti varijabli i izračunajte: a–2y=21–2∙10=1. Ovo je vrijednost izraza 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 i y=10.

Bilješka

Postoje algebarski izrazi koji nemaju smisla za neke vrijednosti varijabli. Na primjer, izraz x/(7–a) nema smisla ako je a=7, jer u ovom slučaju, nazivnik razlomka postaje nula.

Izvori:

• pronaći najmanja vrijednost izrazi
• Pronađite značenje izraza za c 14

Naučiti pojednostaviti matematičke izraze jednostavno je potrebno kako bi se ispravno i brzo riješili problemi i razne jednadžbe. Pojednostavljivanje izraza uključuje smanjenje broja koraka, što olakšava izračune i štedi vrijeme.

upute

Naučite izračunati potencije od c. Pri množenju potencija c dobiva se broj čija je baza ista, a eksponenti se zbrajaju b^m+b^n=b^(m+n). Kod dijeljenja stupnjeva sa po istim osnovama dobiju potenciju broja, čija baza ostaje ista, a eksponenti se oduzimaju, a eksponent djelitelja b^m oduzima se od eksponenta dividende: b^n=b^(m-n). Pri dizanju potencije na potenciju dobiva se potencija broja čija baza ostaje ista, a eksponenti se množe (b^m)^n=b^(mn) Pri dizanju na potenciju svaki faktor diže se na ovu potenciju (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktor polinoma, tj. zamisliti ih kao produkt više faktora – i monoma. Zajednički faktor izbacite iz zagrada. Naučiti osnovne formule za skraćeno množenje: razlika kvadrata, kvadrat razlike, zbroj, razlika kubova, kub zbroja i razlike. Na primjer, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Ove formule su glavne u pojednostavljenju. Upotrijebite metodu izdvajanja savršenog kvadrata u trinomu oblika ax^2+bx+c.

Skraćujte razlomke što je češće moguće. Na primjer, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ali zapamtite da množitelje možete samo smanjiti. Ako brojnik i nazivnik algebarski razlomak pomnožen s istim brojem osim nule, vrijednost razlomka se neće promijeniti. Izraze možete pretvoriti na dva načina: lančano i radnjama. Druga metoda je poželjnija, jer lakše je provjeriti rezultate međuradnji.

Često je potrebno izvući korijene u izrazima. Parni korijeni se izvlače samo iz nenegativnih izraza ili brojeva. Neparni korijeni mogu se izvući iz bilo kojeg izraza.

Izvori:

• pojednostavljenje izraza s potencijama

Trigonometrijske funkcije su se prvo pojavile kao alati za apstraktne matematičke izračune ovisnosti veličina oštri kutovi V pravokutni trokut od duljina njegovih stranica. Sada se vrlo široko koriste u znanstvenim i tehničkim područjima ljudske djelatnosti. Za praktične izračune trigonometrijskih funkcija zadanih argumenata, možete koristiti različite alate - nekoliko najpristupačnijih je opisano u nastavku.

upute

Upotrijebite, na primjer, onaj koji je standardno instaliran s operacijski sustav program kalkulator. Otvara se odabirom stavke "Kalkulator" u mapi "Utilities" iz pododjeljka "Standard", smještenog u odjeljku "Svi programi". Ovaj odjeljak možete otvoriti klikom na gumb "Start" u glavnom radnom izborniku. Ako koristite verziju sustava Windows 7, možete jednostavno utipkati “Kalkulator” u polje “Traži programe i datoteke” u glavnom izborniku, a zatim kliknuti na odgovarajuću poveznicu u rezultatima pretraživanja.

Izbrojite broj potrebnih koraka i razmislite o redoslijedu kojim ih treba izvršiti. Ako vam je ovo pitanje teško, imajte na umu da se prvo izvode operacije u zagradama, a zatim dijeljenje i množenje; i oduzimanje se rade zadnji. Da biste lakše zapamtili algoritam izvršenih radnji, u izraz iznad svakog znaka operatora radnje (+,-,*,:) tankom olovkom upišite brojeve koji odgovaraju izvršenju radnji.

Nastavite s prvim korakom, pridržavajući se uspostavljeni red. Brojite u glavi jesu li radnje lako verbalno izvesti. Ako su potrebni izračuni (u stupcu), napišite ih ispod izraza, naznačujući serijski broj akcije.

Jasno pratite slijed izvršenih radnji, procijenite što od čega treba oduzeti, podijeliti na što itd. Vrlo često je odgovor u izrazu netočan zbog pogrešaka učinjenih u ovoj fazi.

Posebnost izraz je prisutnost matematičke operacije. Označava se određenim znakovima (množenje, dijeljenje, oduzimanje ili zbrajanje). Redoslijed izvođenja matematičkih operacija po potrebi se korigira zagradama. Izvoditi matematičke operacije znači pronaći .

Što nije izraz

Ne može se svaki matematički zapis klasificirati kao izraz.

Jednakosti nisu izrazi. Nije važno jesu li matematičke operacije prisutne u jednakosti ili ne. Na primjer, a=5 je jednakost, a ne izraz, ali 8+6*2=20 se također ne može smatrati izrazom, iako sadrži množenje. I ovaj primjer spada u kategoriju jednakosti.

Koncepti izražavanja i jednakosti se međusobno ne isključuju; Znak jednakosti povezuje dva izraza:
5+7=24:2

Ova se jednadžba može pojednostaviti:
5+7=12

Izraz uvijek pretpostavlja da se matematičke operacije koje predstavlja mogu izvesti. 9+:-7 nije izraz, iako ovdje ima znakova matematičkih operacija, jer je te radnje nemoguće izvesti.

Postoje i matematički koji su formalno izrazi, ali nemaju nikakvo značenje. Primjer takvog izraza:
46:(5-2-3)

Broj 46 treba podijeliti s rezultatom radnji u zagradama, a on je jednak nuli. Ne možete dijeliti s nulom; radnja se smatra zabranjenom.

Numerički i algebarski izrazi

Postoje dvije vrste matematičkih izraza.

Ako izraz sadrži samo brojeve i simbole matematičkih operacija, takav se izraz naziva numeričkim. Ako u izrazu, uz brojeve, postoje varijable označene slovima, ili uopće nema brojeva, izraz se sastoji samo od varijabli i simbola matematičkih operacija, naziva se algebarskim.

Temeljna razlika između numeričke vrijednosti i algebarske vrijednosti je u tome što numerički izraz ima samo jednu vrijednost. Na primjer, vrijednost numeričkog izraza 56–2*3 uvijek će biti jednaka 50; Algebarski izraz može imati mnogo vrijednosti jer se bilo koji broj može zamijeniti. Dakle, ako u izrazu b–7 zamijenimo b s 9, vrijednost izraza bit će 2, a ako je 200, bit će 193.

Izvori:

• Numerički i algebarski izrazi

Numerički izraz– ovo je svaki zapis brojeva, aritmetičkih simbola i zagrada. Numerički izraz može se jednostavno sastojati od jednog broja. Podsjetimo se da su osnovne aritmetičke operacije “zbrajanje”, “oduzimanje”, “množenje” i “dijeljenje”. Ove radnje odgovaraju znakovima "+", "-", "∙", ":".

Naravno, da bismo dobili brojčani izraz, zapis brojeva i aritmetičkih simbola mora biti smislen. Tako se, na primjer, takav unos 5: + ∙ ne može nazvati numeričkim izrazom, budući da se radi o slučajnom skupu simbola koji nema nikakvo značenje. Naprotiv, 5 + 8 ∙ 9 je već pravi numerički izraz.

Vrijednost numeričkog izraza.

Recimo odmah da ako izvršimo radnje navedene u numeričkom izrazu, tada ćemo kao rezultat dobiti broj. Ovaj broj se zove vrijednost numeričkog izraza.

Pokušajmo izračunati što ćemo dobiti kao rezultat izvođenja radnji našeg primjera. Prema redoslijedu izvođenja računskih operacija najprije izvodimo operaciju množenja. Pomnožimo 8 sa 9. Dobijemo 72. Sada zbrojimo 72 i 5. Dobijemo 77.
Dakle, 77 - značenje brojevni izraz 5 + 8 ∙ 9.

Numerička jednakost.

Možete to napisati na sljedeći način: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Ovdje smo prvi put upotrijebili znak “=” (“Jednako”). Takav zapis u kojem su dva numerička izraza odvojena znakom “=” naziva se numerička jednakost. Štoviše, ako se vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti podudaraju, tada se jednakost naziva vjeran. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – točna jednakost.
Ako napišemo 5 + 8 ∙ 9 = 100, onda će to već biti lažna jednakost, budući da se vrijednosti lijeve i desne strane ove jednakosti više ne podudaraju.

Treba napomenuti da u numeričkom izražavanju možemo koristiti i zagrade. Zagrade utječu na redoslijed izvođenja radnji. Tako, na primjer, modificirajmo naš primjer dodavanjem zagrada: (5 + 8) ∙ 9. Sada prvo trebate zbrojiti 5 i 8. Dobit ćemo 13. Zatim pomnožiti 13 s 9. Dobit ćemo 117. Dakle, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – značenje brojčani izraz (5 + 8) ∙ 9.

Da biste ispravno pročitali izraz, morate odrediti koja se radnja izvodi zadnja za izračunavanje vrijednosti zadanog numeričkog izraza. Dakle, ako je zadnja radnja oduzimanje, tada se izraz naziva "razlika". Prema tome, ako je posljednja radnja zbroj - "zbroj", dijeljenje - "kvocijent", množenje - "proizvod", stepenovanje - "potencija".

Na primjer, brojčani izraz (1+5)(10-3) glasi ovako: “proizvod zbroja brojeva 1 i 5 i razlike brojeva 10 i 3.”

Primjeri numeričkih izraza.

Evo primjera složenijeg numeričkog izraza:

\[\lijevo(\frac(1)(4)+3,75 \desno):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Ovaj numerički izraz koristi primarni brojevi, obični i decimalni razlomci. Također se koriste znakovi za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Crta razlomka također zamjenjuje znak dijeljenja. Unatoč prividnoj složenosti, pronalaženje vrijednosti ovog numeričkog izraza prilično je jednostavno. Glavna stvar je biti u mogućnosti izvoditi operacije s razlomcima, kao i pažljivo i točno izračunavati, promatrajući redoslijed izvođenja radnji.

U zagradama imamo izraz $\frac(1)(4)+3,75$ . Preobrazimo se decimal 3,75 u običnom.

3,75 $=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Tako, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Zatim, u brojniku razlomka \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] imamo izraz 1,25+3,47+4,75-1,47. Da bismo pojednostavili ovaj izraz, primijenit ćemo komutativni zakon zbrajanja, koji kaže: "Zbroj se ne mijenja promjenom mjesta članova." To jest, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

U nazivniku razlomka izraz $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dobivamo $\lijevo(\frac(1)(4)+3,75 \desno):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kada numerički izrazi nemaju smisla?

Pogledajmo još jedan primjer. U nazivniku razlomka $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ vrijednost izraza $3\centerdot 3-9$ je 0. A, kao što znamo, dijeljenje s nulom je nemoguće. Stoga razlomak $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nema nikakvo značenje. Za numeričke izraze koji nemaju značenje kaže se da "nemaju značenja".

Ako u numeričkom izrazu uz brojeve koristimo i slova, tada ćemo imati

ja Izrazi u kojima se uz slova mogu koristiti brojevi, aritmetički simboli i zagrade nazivaju se algebarski izrazi.

Primjeri algebarskih izraza:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Budući da se slovo u algebarskom izrazu može zamijeniti nekim različitim brojevima, slovo se naziva varijabla, a samo slovo algebarski izraz- izraz s varijablom.

II. Ako se u algebarskom izrazu slova (varijable) zamijene njihovim vrijednostima i izvrše navedene radnje, tada se rezultirajući broj naziva vrijednost algebarskog izraza.

Primjeri. Pronađite značenje izraza:

1) a + 2b -c s a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| kod x = -8; y = -5; z = 6.

Riješenje.

1) a + 2b -c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Umjesto varijabli, zamijenimo njihove vrijednosti. Dobivamo:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| kod x = -8; y = -5; z = 6. Zamijenite navedene vrijednosti. Zapamtite da modul negativan broj jednak je svom suprotnom broju, a modul pozitivnog broja jednak je samom tom broju. Dobivamo:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Vrijednosti slova (varijable) za koje algebarski izraz ima smisla nazivaju se dopuštene vrijednosti slova (varijable).

Primjeri. Za koje vrijednosti varijable izraz nema smisla?

Riješenje. Znamo da ne možete dijeliti s nulom, stoga svaki od ovih izraza neće imati smisla s obzirom na vrijednost slova (varijable) koja pretvara nazivnik razlomka u nulu!

U primjeru 1) ova vrijednost je a = 0. Doista, ako zamijenite 0 umjesto a, tada ćete morati podijeliti broj 6 s 0, ali to se ne može učiniti. Odgovor: izraz 1) nema smisla kada je a = 0.

U primjeru 2) nazivnik x je 4 = 0 na x = 4, stoga se ova vrijednost x = 4 ne može uzeti. Odgovor: izraz 2) nema smisla kada je x = 4.

U primjeru 3) nazivnik je x + 2 = 0 kada je x = -2. Odgovor: izraz 3) nema smisla kada je x = -2.

U primjeru 4) nazivnik je 5 -|x| = 0 za |x| = 5. A budući da je |5| = 5 i |-5| = 5, onda ne možete uzeti x = 5 i x = -5. Odgovor: izraz 4) nema smisla pri x = -5 i pri x = 5.
IV. Kaže se da su dva izraza identično jednaka ako za bilo koji prihvatljive vrijednosti varijable, odgovarajuće vrijednosti ovih izraza su jednake.

Primjer: 5 (a – b) i 5a – 5b su također jednaki, budući da će jednakost 5 (a – b) = 5a – 5b biti istinita za sve vrijednosti a i b. Jednakost 5 (a – b) = 5a – 5b je identitet.

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve dopuštene vrijednosti varijabli koje su u njoj uključene. Primjeri vama već poznatih identiteta su, na primjer, svojstva zbrajanja i množenja te svojstvo distributivnosti.

Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim izrazom naziva se transformacija identiteta ili jednostavno transformacija izraza. Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.

Primjeri.

a) pretvorite izraz u identično jednak koristeći svojstvo distribucije množenja:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Riješenje. Prisjetimo se distributivnog svojstva (zakona) množenja:

(a+b)c=ac+bc(distribucijski zakon množenja u odnosu na zbrajanje: da biste pomnožili zbroj dvaju brojeva s trećim brojem, možete pomnožiti svaki član s tim brojem i zbrojiti dobivene rezultate).
(a-b) c=a c-b c(distribucijski zakon množenja u odnosu na oduzimanje: da biste pomnožili razliku dvaju brojeva s trećim brojem, možete pomnožiti umanjenik i oduzeti s tim brojem zasebno i oduzeti drugi od prvog rezultata).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformirati izraz u identično jednak, koristeći komutativna i asocijativna svojstva (zakone) zbrajanja:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Riješenje. Primijenimo zakone (svojstva) sabiranja:

a+b=b+a(komutativno: preslagivanje članova ne mijenja zbroj).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativno: da biste zbroju dva člana dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Pretvorite izraz u identično jednak koristeći komutativna i asocijativna svojstva (zakone) množenja:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riješenje. Primijenimo zakone (svojstva) množenja:

a·b=b·a(komutativno: preslagivanje faktora ne mijenja umnožak).
(a b) c=a (b c)(kombinativno: da biste pomnožili umnožak dva broja s trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj s umnoškom drugog i trećeg).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Ako je algebarski izraz zadan u obliku reduciranog razlomka, tada se pomoću pravila za reduciranje razlomka može pojednostaviti, tj. zamijenite ga identično jednakim jednostavnijim izrazom.

Primjeri. Pojednostavite pomoću redukcije razlomaka.

Riješenje. Skratiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik istim brojem (izrazom), osim nule. Razlomak 10) smanjit će se za 3b; razlomak 11) smanjit će se za A a razlomak 12) smanjit će se za 7n. Dobivamo:

Algebarski izrazi koriste se za stvaranje formula.

Formula je algebarski izraz napisan kao jednakost i izražava odnos između dvije ili više varijabli. Primjer: poznata formula puta s=v t(s - prijeđeni put, v - brzina, t - vrijeme). Prisjetite se koje još formule znate.

Stranica 1 od 1 1

Formulacija problema: Pronađite značenje izraza (operacije s razlomcima).

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz osnovne razine matematike za 11. razred pod brojem 1 (Akcije s razlomcima).

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju pomoću primjera.

Primjer zadatka 1:

Odredite vrijednost izraza 5/4 + 7/6: 2/3.

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 3

Primjer zadatka 2:

Odredi vrijednost izraza (3,9 – 2,4) ∙ 8,2

Odgovor: 12.3

Primjer zadatka 3:

Odredi vrijednost izraza 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: –8

Primjer zadatka 4:

Pronađite vrijednost izraza 2,7 / (1,4 + 0,1)

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 1.8

Primjer problema 5:

Odredite vrijednost izraza 1 / (1/9 – 1/12).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 36

Primjer problema 6:

Pronađite vrijednost izraza (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 40

Primjer problema 7:

Odredite vrijednost izraza (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 10

Primjer problema 8:

Pronađite vrijednost izraza (728^2 – 26^2) : 754.

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršit ćemo potrebne radnje pravilnim redoslijedom. I u ovom slučaju trebate primijeniti formulu razlike kvadrata.