1. Numero più piccolo Il tetraedro ha 6 spigoli.

2. Un prisma ha n facce. Quale poligono si trova alla sua base?

(n - 2) - quadrato.

3. Un prisma è diritto se le sue due facce laterali adiacenti sono perpendicolari al piano della base?

Sì.

4. In quale prisma i bordi laterali sono paralleli alla sua altezza?

In un prisma dritto.

5. Un prisma è regolare se tutti i suoi bordi sono uguali tra loro?

No, potrebbe non essere diretto.

6. L'altezza di una delle facce laterali di un prisma inclinato può essere anche l'altezza del prisma?

Sì, se questa faccia è perpendicolare alla base.

7. Esiste un prisma in cui: a) il bordo laterale è perpendicolare a un solo bordo della base; b) solo una faccia laterale è perpendicolare alla base?

a) sì. b) no.

8. Un prisma triangolare regolare è diviso in due prismi da un piano passante per le linee mediane delle basi. Qual è il rapporto tra le superfici laterali di questi prismi?

Per il teorema 27 troviamo che le superfici laterali sono nel rapporto 5: 3

9. La piramide sarà regolare se le sue facce laterali sono triangoli regolari?

10. Quante facce perpendicolari al piano di base può avere una piramide?

11. Esiste una piramide quadrangolare le cui facce laterali opposte sono perpendicolari alla base?

No, altrimenti ci sarebbero almeno due rette passanti per la sommità della piramide, perpendicolari alle basi.

12. Tutte le facce di una piramide triangolare possono essere triangoli rettangoli?

Sì (Figura 183).

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Informazioni generali sul prisma diritto

Viene chiamata la superficie laterale di un prisma (più precisamente, la superficie laterale). somma aree delle facce laterali. La superficie totale del prisma è uguale alla somma della superficie laterale e delle aree delle basi.

Teorema 19.1. La superficie laterale di un prisma diritto è uguale al prodotto del perimetro della base per l'altezza del prisma, cioè alla lunghezza dello spigolo laterale.

Prova. Le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli. Le basi di questi rettangoli sono i lati del poligono giacente alla base del prisma, e le altezze sono pari alla lunghezza dei bordi laterali. Ne consegue che la superficie laterale del prisma è uguale a

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

dove a 1 e n sono le lunghezze dei bordi della base, p è il perimetro della base del prisma e I è la lunghezza dei bordi laterali. Il teorema è stato dimostrato.

Compito pratico

Problema (22) . In un prisma inclinato viene eseguito sezione, perpendicolare alle nervature laterali e intersecante tutte le nervature laterali. Trova la superficie laterale del prisma se il perimetro della sezione è uguale a p e gli spigoli laterali sono uguali a l.

Soluzione. Il piano della sezione disegnata divide il prisma in due parti (Fig. 411). Sottoponiamone uno a traslazione parallela, unendo le basi del prisma. In questo caso, otteniamo un prisma dritto, la cui base è la sezione trasversale del prisma originale, e i bordi laterali sono uguali a l. Questo prisma ha la stessa superficie laterale di quello originale. Pertanto, la superficie laterale del prisma originale è uguale a pl.

Generalizzazione dell'argomento trattato

Ora proviamo a riassumere l’argomento che abbiamo trattato sui prismi e ricordiamo quali proprietà ha un prisma.

Proprietà del prisma

Innanzitutto un prisma ha tutte le sue basi come poligoni uguali;
In secondo luogo, il prisma ha tutto suo facce laterali sono parallelogrammi;
In terzo luogo, in una figura così sfaccettata come un prisma, tutti i bordi laterali sono uguali;

Inoltre, va ricordato che i poliedri come i prismi possono essere diritti o inclinati.

Quale prisma è chiamato prisma diritto?

Se il bordo laterale di un prisma si trova perpendicolare al piano della sua base, tale prisma è chiamato dritto.

Non sarebbe superfluo ricordare che le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli.

Che tipo di prisma si chiama obliquo?

Ma se il bordo laterale del prisma non è perpendicolare al piano della sua base, allora possiamo tranquillamente dire che è un prisma inclinato.

Quale prisma è detto corretto?

Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora tale prisma è regolare.

Ora ricordiamo le proprietà di un prisma regolare.

Proprietà di un prisma regolare

In primo luogo, i poligoni regolari servono sempre come basi di un prisma regolare;
In secondo luogo, se consideriamo le facce laterali di un prisma regolare, lo saranno sempre rettangoli uguali;
In terzo luogo, se confrontiamo le dimensioni delle nervature laterali, in un prisma regolare sono sempre uguali.
In quarto luogo, un prisma corretto è sempre diritto;
In quinto luogo, se in un prisma regolare le facce laterali hanno la forma di quadrati, allora tale figura viene solitamente chiamata poligono semiregolare.

Sezione trasversale del prisma

Ora diamo un'occhiata alla sezione trasversale del prisma:

Compiti a casa

Ora proviamo a consolidare l'argomento che abbiamo imparato risolvendo i problemi.

Disegniamo un prisma triangolare inclinato, la distanza tra i suoi bordi sarà pari a: 3 cm, 4 cm e 5 cm, e la superficie laterale di questo prisma sarà pari a 60 cm2. Avendo questi parametri, trova il bordo laterale di questo prisma.

Sapete che le figure geometriche ci circondano costantemente non solo durante le lezioni di geometria, ma anche durante le lezioni Vita di ogni giorno Ci sono oggetti che assomigliano all'una o all'altra figura geometrica.

Tutti a casa, a scuola o al lavoro hanno un computer la cui unità di sistema ha la forma di un prisma diritto.

Se prendi una matita semplice, vedrai che la parte principale della matita è un prisma.

Camminando lungo la via centrale della città, vediamo che sotto i nostri piedi giace una piastrella che ha la forma di un prisma esagonale.

A. V. Pogorelov, Geometria per le classi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative

Poliedri

L'oggetto principale di studio della stereometria sono i corpi spaziali. Corpo rappresenta una parte di spazio limitata da una certa superficie.

Poliedroè un corpo la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni piatti. Un poliedro si dice convesso se si trova su un lato del piano di ogni poligono piano sulla sua superficie. Viene chiamata la parte comune di un tale piano e la superficie di un poliedro bordo. Le facce di un poliedro convesso sono poligoni convessi piatti. Si chiamano i lati delle facce bordi del poliedro, e i vertici sono vertici del poliedro.

Ad esempio, un cubo è composto da sei quadrati, che sono le sue facce. Contiene 12 bordi (i lati dei quadrati) e 8 vertici (le parti superiori dei quadrati).

I poliedri più semplici sono prismi e piramidi, che studieremo ulteriormente.

Prisma

Definizione e proprietà di un prisma

Prismaè un poliedro costituito da due poligoni piatti giacenti in piani paralleli combinati mediante traslazione parallela e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi poligoni. Si chiamano poligoni basi prismatiche, e i segmenti che collegano i vertici corrispondenti dei poligoni sono bordi laterali del prisma.

Altezza del prismaè chiamata la distanza tra i piani delle sue basi (). Si chiama segmento che collega due vertici di un prisma che non appartengono alla stessa faccia diagonale del prisma(). Il prisma si chiama n-carbonio, se la sua base contiene un n-gon.

Qualsiasi prisma ha le seguenti proprietà, risultanti dal fatto che le basi del prisma sono combinate mediante traslazione parallela:

1. Le basi del prisma sono uguali.

2. I bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali.

La superficie del prisma è costituita da basi e superficie laterale. La superficie laterale del prisma è costituita da parallelogrammi (questo deriva dalle proprietà del prisma). L'area della superficie laterale di un prisma è la somma delle aree delle facce laterali.

Prisma dritto

Il prisma si chiama Dritto, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alle basi. Altrimenti si chiama prisma inclinato.

Le facce di un prisma retto sono rettangoli. L'altezza di un prisma rettilineo è uguale alle sue facce laterali.

Superficie prismatica completa si chiama somma della superficie laterale e delle aree delle basi.

Con il prisma giusto chiamato prisma retto avente alla base un poligono regolare.

Teorema 13.1. L'area della superficie laterale di un prisma diritto è uguale al prodotto del perimetro e dell'altezza del prisma (o, che è lo stesso, del bordo laterale).

Prova. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli, le cui basi sono i lati dei poligoni alle basi del prisma, e le altezze sono gli spigoli laterali del prisma. Quindi, per definizione, la superficie laterale è:

,

dove è il perimetro della base di un prisma rettilineo.

Parallelepipedo

Se i parallelogrammi si trovano alle basi di un prisma, allora si chiama parallelepipedo. Tutte le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi. In questo caso le facce opposte del parallelepipedo sono parallele e uguali.

Teorema 13.2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e sono divise a metà dal punto di intersezione.

Prova. Consideriamo ad esempio due diagonali arbitrarie e . Perché le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi, quindi e , che significa secondo A che ci sono due rette parallele alla terza. Inoltre, ciò significa che le linee rette giacciono sullo stesso piano (piano). Questo piano interseca piani paralleli e lungo linee parallele e . Pertanto, un quadrilatero è un parallelogramma e, per la proprietà del parallelogramma, le sue diagonali si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione, che era ciò che doveva essere dimostrato.

Un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo si chiama parallelepipedo rettangolare. Tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli. Le lunghezze dei bordi non paralleli di un parallelepipedo rettangolare sono chiamate dimensioni lineari (dimensioni). Esistono tre dimensioni di questo tipo (larghezza, altezza, lunghezza).

Teorema 13.3. In un parallelepipedo rettangolare, il quadrato di una qualsiasi diagonale pari alla somma quadrati delle sue tre dimensioni (dimostrato applicando due volte la T pitagorica).

Si chiama parallelepipedo rettangolare con tutti gli spigoli uguali cubo.

Compiti

13.1 Quante diagonali ha? N-prisma di carbonio

13.2 In un prisma triangolare inclinato, le distanze tra i bordi laterali sono 37, 13 e 40. Trova la distanza tra il bordo laterale più grande e il bordo laterale opposto.

13.3 Un piano viene tracciato attraverso il lato della base inferiore di un prisma triangolare regolare, intersecando le facce laterali lungo segmenti con un angolo tra loro. Trova l'angolo di inclinazione di questo piano rispetto alla base del prisma.

Definizione. Prismaè un poliedro, i cui vertici si trovano tutti su due piani paralleli, e in questi stessi due piani giacciono due facce del prisma, che sono poligoni uguali con lati corrispondentemente paralleli, e tutti i bordi che non giacciono in questi piani sono paralleli.

Si chiamano due facce uguali basi prismatiche(ABCDE, LA 1 B 1 C 1 RE 1 MI 1).

Vengono chiamate tutte le altre facce del prisma facce laterali(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Si formano tutte le facce laterali superficie laterale del prisma .

Tutte le facce laterali del prisma sono parallelogrammi .

Gli spigoli che non giacciono alle basi si chiamano spigoli laterali del prisma ( AA1, BB1, CC1, DD 1, EE1).

Diagonale del prisma è un segmento le cui estremità sono due vertici di un prisma che non giacciono sulla stessa faccia (AD 1).

Viene chiamata la lunghezza del segmento che collega le basi del prisma e perpendicolare a entrambe le basi contemporaneamente altezza del prisma .

Designazione:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prima, in ordine trasversale, sono indicati i vertici di una base, poi, nello stesso ordine, i vertici di un'altra; le estremità di ciascun bordo laterale sono designate con le stesse lettere, solo i vertici che giacciono in una base sono designati da lettere senza indice e nell'altro - con un indice)

Il nome del prisma è associato al numero di angoli nella figura che giace alla sua base, ad esempio, nella Figura 1 c'è un pentagono alla base, quindi il prisma si chiama prisma pentagonale. Ma perché un prisma del genere ha 7 facce, quindi esso eptedro(2 facce - le basi del prisma, 5 facce - parallelogrammi, - le sue facce laterali)

Tra i prismi diritti spicca una tipologia particolare: i prismi regolari.

Si chiama prisma diritto corretto, se le sue basi sono poligoni regolari.

Un prisma regolare ha tutte le facce laterali uguali a rettangoli. Un caso particolare di prisma è il parallelepipedo.

Parallelepipedo

Parallelepipedoè un prisma quadrangolare, alla cui base si trova un parallelogramma (un parallelepipedo inclinato). Parallelepipedo destro- un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani della base.

Parallelepipedo rettangolare- un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo.

Proprietà e teoremi:

Alcune proprietà di un parallelepipedo sono simili alle proprietà conosciute di un parallelogramma Si chiama parallelepipedo rettangolare di uguali dimensioni cubo .Tutte le facce di un cubo sono quadrati uguali Il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni

,

dove d è la diagonale del quadrato;
a è il lato del quadrato.

Un’idea di prisma è data da:

• vari strutture architettoniche;
• Giocattoli per bambini;
• scatole per imballaggio;
• oggetti di design, ecc.

L'area della superficie totale e laterale del prisma

Superficie totale del prismaè la somma delle aree di tutte le sue facce Superficie lateraleè detta somma delle aree delle sue facce laterali. Le basi del prisma sono poligoni uguali, quindi le loro aree sono uguali. Ecco perché

S completo = lato S + 2S principale,

Dove S pieno- superficie totale, Lato S-superficie laterale, Fondo S-area di base

La superficie laterale di un prisma diritto è pari al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.

Lato S= P base * h,

Dove Lato S-area della superficie laterale di un prisma diritto,

P principale - perimetro della base di un prisma dritto,

h è l'altezza del prisma dritto, pari a nervatura laterale.

Volume del prisma

Il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza.