Domanda 1. Quali angoli si dicono adiacenti?
Risposta. Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune, e gli altri lati di questi angoli sono semirette complementari.
Nella Figura 31, gli angoli (a 1 b) e (a 2 b) sono adiacenti. Hanno il lato b in comune e i lati a 1 e a 2 sono semirette aggiuntive.

Domanda 2. Dimostrare che la somma degli angoli adiacenti è 180°.
Risposta. Teorema 2.1. La somma degli angoli adiacenti è 180°.
Prova. Siano dati l'angolo (a 1 b) e l'angolo (a 2 b) come angoli adiacenti (vedi Fig. 31). Il raggio b passa tra i lati a 1 e a 2 di un angolo piatto. Pertanto la somma degli angoli (a 1 b) e (a 2 b) è uguale all'angolo spiegato, cioè 180°. Q.E.D.

Domanda 3. Dimostrare che se due angoli sono uguali allora anche i loro angoli adiacenti sono uguali.
Risposta.

Dal teorema 2.1 Ne consegue che se due angoli sono uguali, anche i loro angoli adiacenti sono uguali.
Diciamo che gli angoli (a 1 b) e (c 1 d) sono uguali. Dobbiamo dimostrare che anche gli angoli (a 2 b) e (c 2 d) sono uguali.
La somma degli angoli adiacenti è 180°. Ne consegue che a 1 b + a 2 b = 180° e c 1 d + c 2 d = 180°. Quindi a 2 b = 180° - a 1 b e c 2 d = 180° - c 1 d. Poiché gli angoli (a 1 b) e (c 1 d) sono uguali, otteniamo che a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Per la proprietà di transitività del segno uguale segue che a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Domanda 4. Quale angolo è chiamato retto (acuto, ottuso)?
Risposta. Un angolo pari a 90° si chiama angolo retto.
Un angolo inferiore a 90° è detto angolo acuto.
Un angolo maggiore di 90° e minore di 180° si dice ottuso.

Domanda 5. Dimostrare che un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto.
Risposta. Dal teorema sulla somma degli angoli adiacenti segue che un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Domanda 6. Quali angoli sono detti verticali?
Risposta. Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono semirette complementari dei lati dell'altro.

Domanda 7. Prova che angoli verticali sono uguali.
Risposta. Teorema 2.2. Gli angoli verticali sono uguali.
Prova. Siano (a 1 b 1) e (a 2 b 2) gli angoli verticali dati (Fig. 34). L'angolo (a 1 b 2) è adiacente all'angolo (a 1 b 1) e all'angolo (a 2 b 2). Da qui, utilizzando il teorema sulla somma degli angoli adiacenti, concludiamo che ciascuno degli angoli (a 1 b 1) e (a 2 b 2) completa l'angolo (a 1 b 2) a 180°, cioè gli angoli (a 1 b 1) e (a 2 b 2) sono uguali. Q.E.D.

Domanda 8. Dimostrare che se, quando due rette si intersecano, uno degli angoli è retto, allora anche gli altri tre angoli sono retti.
Risposta. Supponiamo che le linee AB e CD si intersechino nel punto O. Supponiamo che l'angolo AOD sia 90°. Poiché la somma degli angoli adiacenti è 180°, otteniamo che AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. L'angolo COB è verticale rispetto all'angolo AOD, quindi sono uguali. Cioè, angolo COB = 90°. L'angolo COA è verticale rispetto all'angolo BOD, quindi sono uguali. Cioè, l'angolo BOD = 90°. Pertanto tutti gli angoli sono uguali a 90°, cioè sono tutti retti. Q.E.D.

Domanda 9. Quali rette si chiamano perpendicolari? Quale segno viene utilizzato per indicare la perpendicolarità delle linee?
Risposta. Due rette si dicono perpendicolari se si intersecano ad angolo retto.
La perpendicolarità delle linee è indicata dal segno \(\perp\). La voce \(a\perp b\) recita: "La linea a è perpendicolare alla linea b."

Domanda 10. Dimostrare che attraverso qualsiasi punto di una retta si può tracciare una retta perpendicolare ad essa, e solo una.
Risposta. Teorema 2.3. Attraverso ogni linea puoi tracciare una linea perpendicolare ad essa, e solo una.
Prova. Sia a la linea data e A sia dato punto su di lei. Indichiamo con a 1 una delle semirette della retta a con punto iniziale A (Fig. 38). Sottraiamo un angolo (a 1 b 1) pari a 90° dalla semiretta a 1. Allora la retta contenente il raggio b 1 sarà perpendicolare alla retta a.

Supponiamo che esista un'altra retta, anch'essa passante per il punto A e perpendicolare alla retta a. Indichiamo con c 1 la semiretta di questa linea giacente nello stesso semipiano del raggio b 1 .
Gli angoli (a 1 b 1) e (a 1 c 1), ciascuno pari a 90°, sono disposti in un semipiano dalla semiretta a 1. Ma dalla semiretta a 1 in un dato semipiano si può mettere un solo angolo pari a 90°. Pertanto non può esistere un'altra retta passante per il punto A e perpendicolare alla retta a. Il teorema è stato dimostrato.

Domanda 11. Cos'è la perpendicolare ad una retta?
Risposta. Una perpendicolare ad una data linea è un segmento di una linea perpendicolare ad una data linea, che ha una delle sue estremità nel punto di intersezione. Questa estremità del segmento viene chiamata base perpendicolare.

Domanda 12. Spiegare in cosa consiste la prova per assurdo.
Risposta. Il metodo di dimostrazione utilizzato nel Teorema 2.3 è detto dimostrazione per contraddizione. Questo metodo di dimostrazione consiste nel fare innanzitutto un'ipotesi opposta a quanto afferma il teorema. Quindi, ragionando, basandosi su assiomi e teoremi dimostrati, arriviamo a una conclusione che contraddice le condizioni del teorema, o uno degli assiomi, o un teorema precedentemente dimostrato. Su questa base concludiamo che la nostra ipotesi era errata e quindi l'enunciato del teorema è vero.

Domanda 13. Qual è la bisettrice di un angolo?
Risposta. La bisettrice di un angolo è un raggio che parte dal vertice dell'angolo, passa tra i suoi lati e divide l'angolo a metà.

Angoli in cui un lato è comune e gli altri lati giacciono sulla stessa retta (nella figura gli angoli 1 e 2 sono adiacenti). Riso. all'art. Angoli adiacenti... Grande Enciclopedia Sovietica

ANGOLI ADIACENTI- angoli che hanno un vertice comune e uno lato comune, e gli altri due lati giacciono sulla stessa linea retta... Grande Enciclopedia del Politecnico

Vedi Angolo... Grande dizionario enciclopedico

ANGOLI ADIACENTI, due angoli la cui somma è 180°. Ciascuno di questi angoli è complementare all'altro fino all'angolo completo... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

Vedi Angolo. * * * ANGOLI ADIACENTI ANGOLI ADIACENTI, vedi Angolo (vedi ANGOLO) ... Dizionario enciclopedico

- (Angoli adiacenti) quelli che hanno un vertice e un lato in comune. Per lo più questo nome si riferisce a tali angoli C., i cui altri due lati si trovano in direzioni opposte di una linea retta tracciata attraverso il vertice ... Dizionario Enciclopedico F.A. Brockhaus e I.A. Efron

Vedi Angolo... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Due linee rette si intersecano per creare una coppia di angoli verticali. Una coppia è composta dagli angoli A e B, l'altra da C e D. In geometria, due angoli sono detti verticali se sono creati dall'intersezione di due ... Wikipedia

Una coppia di angoli complementari che si completano a vicenda fino a 90 gradi. Gli angoli complementari sono una coppia di angoli che si completano a vicenda fino a 90 gradi. Se due angoli complementari sono adiacenti (cioè hanno un vertice comune e sono separati solo... ... Wikipedia

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Libri

• A proposito della dimostrazione in geometria, A.I. Fetisov. Questo libro sarà prodotto in conformità con il tuo ordine utilizzando la tecnologia Print-on-Demand. Un giorno, proprio all'inizio dell'anno scolastico, ho sentito per caso una conversazione tra due ragazze. Il maggiore di loro...
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Il valore noto dell'angolo principale α₁ = α₂ = 180°-α.

Da questo ci sono . Se due angoli sono adiacenti e uguali allora sono retti. Se uno degli angoli adiacenti è retto, cioè 90 gradi, anche l'altro angolo è retto. Se uno degli angoli adiacenti è acuto, l'altro sarà ottuso. Allo stesso modo, se uno degli angoli è ottuso, il secondo sarà rispettivamente acuto.

Un angolo acuto è quello la cui misura in gradi è inferiore a 90 gradi, ma maggiore di 0. Un angolo ottuso ha una misura in gradi maggiore di 90 gradi, ma inferiore a 180.

Un'altra proprietà degli angoli adiacenti è formulata come segue: se due angoli sono uguali, anche gli angoli ad essi adiacenti sono uguali. Ciò significa che se ci sono due angoli per i quali la misura dei gradi è la stessa (ad esempio è 50 gradi) e contemporaneamente uno di essi ha un angolo adiacente, allora anche i valori di questi angoli adiacenti coincidono ( nell'esempio la loro misura di gradi sarà pari a 130 gradi).

Fonti:

• Grande dizionario enciclopedico - Angoli adiacenti
• angolo di 180 gradi

La parola "" ha interpretazioni diverse. In geometria, un angolo è una parte di un piano delimitato da due raggi provenienti da un punto: il vertice. Quando stiamo parlando per quanto riguarda gli angoli retti, acuti e spiegati, allora si intendono gli angoli geometrici.

Come ogni figura geometrica, gli angoli possono essere confrontati. L'uguaglianza degli angoli viene determinata utilizzando il movimento. È facile dividere l'angolo in due parti uguali. Dividere in tre parti è un po’ più difficile, ma si può comunque fare utilizzando riga e compasso. A proposito, questo compito sembrava piuttosto difficile. Descrivere che un angolo è maggiore o minore di un altro è geometricamente semplice.

L'unità di misura degli angoli è 1/180 di un angolo sviluppato. L'ampiezza dell'angolo è un numero che indica quanto l'angolo scelto come unità di misura rientra nella figura in questione.

Ogni angolo ha una misura di grado maggiore di zero. Un angolo piatto è 180 gradi. La misura in gradi di un angolo si considera uguale alla somma delle misure in gradi degli angoli in cui è diviso da un raggio qualsiasi del piano delimitato dai suoi lati.

Da qualsiasi raggio in entrata dato pianoÈ possibile tracciare un angolo con una certa misura di gradi non superiore a 180. Inoltre, ci sarà solo uno di questi angoli. La misura di un angolo piano, che fa parte di un semipiano, è la misura in gradi di un angolo con lati simili. La misura del piano di un angolo contenente un semipiano è il valore 360 ​​– α, dove α è la misura in gradi dell’angolo del piano complementare.

La misura in gradi di un angolo permette di passare da una descrizione geometrica a una numerica. Quindi, un angolo retto è un angolo pari a 90 gradi, un angolo ottuso è un angolo inferiore a 180 gradi, ma superiore a 90, angolo acuto non supera i 90 gradi.

Oltre ai gradi, esiste una misura dell'angolo in radianti. In planimetria la lunghezza è L, il raggio è r e il corrispondente angolo centrale– α. Inoltre questi parametri sono legati dalla relazione α = L/r. Questa è la base della misura degli angoli in radianti. Se L=r, allora l'angolo α sarà uguale a un radiante. Quindi, la misura in radianti di un angolo è il rapporto tra la lunghezza di un arco disegnato con un raggio arbitrario e racchiuso tra i lati di questo angolo e il raggio dell'arco. Una rotazione completa in gradi (360 gradi) corrisponde a 2π in radianti. Uno è 57,2958 gradi.

Video sull'argomento

Fonti:

• formula della misura degli angoli in gradi

La geometria è una scienza dalle molteplici sfaccettature. Sviluppa la logica, l'immaginazione e l'intelligenza. Naturalmente, a causa della sua complessità e dell'enorme numero di teoremi e assiomi, agli scolari non sempre piace. Inoltre, è necessario dimostrare costantemente le proprie conclusioni utilizzando standard e regole generalmente accettati.

Gli angoli adiacenti e verticali sono parte integrante della geometria. Sicuramente molti scolari li adorano semplicemente perché le loro proprietà sono chiare e facili da dimostrare.

Formazione degli angoli

Qualsiasi angolo si forma intersecando due rette o tracciando due raggi da un punto. Possono essere chiamati una lettera o tre, che designano in sequenza i punti in cui è costruito l'angolo.

Gli angoli sono misurati in gradi e possono (a seconda del loro valore) essere chiamati diversamente. Quindi c'è un angolo retto, acuto, ottuso e spiegato. Ciascuno dei nomi corrisponde ad una certa misura di grado o al suo intervallo.

Un angolo acuto è un angolo la cui misura non supera i 90 gradi.

Un angolo ottuso è un angolo maggiore di 90 gradi.

Un angolo si dice retto quando la sua misura in gradi è 90.

Nel caso in cui sia formata da una retta continua e la sua misura di gradi sia 180, si dice espansa.

Gli angoli che hanno un lato in comune, il cui secondo lato si continua tra loro, si dicono adiacenti. Possono essere taglienti o smussati. L'intersezione della linea forma angoli adiacenti. Le loro proprietà sono le seguenti:

1. La somma di tali angoli sarà pari a 180 gradi (esiste un teorema che lo dimostra). Pertanto, se si conosce l'altro, è possibile calcolarne facilmente uno.
2. Dal primo punto segue che angoli adiacenti non possono essere formati da due angoli ottusi o da due angoli acuti.

Grazie a queste proprietà è sempre possibile calcolare la misura in gradi di un angolo, dato il valore di un altro angolo oppure, tramite almeno, il rapporto tra loro.

Angoli verticali

Gli angoli i cui lati sono l'uno la continuazione dell'altro si dicono verticali. Qualsiasi delle loro varietà può agire come tale coppia. Gli angoli verticali sono sempre uguali tra loro.

Si formano quando le linee rette si intersecano. Insieme a loro sono sempre presenti angoli adiacenti. Un angolo può essere contemporaneamente adiacente per uno e verticale per un altro.

Quando si attraversa una linea arbitraria, vengono considerati anche molti altri tipi di angoli. Tale linea è chiamata linea secante e forma angoli corrispondenti, unilaterali e trasversali. Sono uguali tra loro. Possono essere visualizzati alla luce delle proprietà che hanno gli angoli verticali e adiacenti.

Pertanto, l'argomento degli angoli sembra abbastanza semplice e comprensibile. Tutte le loro proprietà sono facili da ricordare e dimostrare. Risolvere i problemi non è difficile purché gli angoli abbiano un valore numerico. Più tardi, quando inizierà lo studio del peccato e del cos, dovrai memorizzare molto formule complesse, le loro conclusioni e conseguenze. Fino ad allora, puoi semplicemente divertirti con semplici puzzle in cui devi trovare angoli adiacenti.

Durante lo studio di un corso di geometria, i concetti di "angolo", "angoli verticali", "angoli adiacenti" emergono abbastanza spesso. Comprendere ciascuno dei termini ti aiuterà a comprendere il problema e a risolverlo correttamente. Cosa sono gli angoli adiacenti e come determinarli?

Angoli adiacenti: definizione del concetto

Il termine “angoli adiacenti” caratterizza due angoli formati da un raggio comune e da due semirette aggiuntive giacenti sulla stessa retta. Tutti e tre i raggi escono dallo stesso punto. Una semiretta comune è contemporaneamente lato sia dell'uno che dell'altro angolo.

Angoli adiacenti - proprietà fondamentali

1. Dalla formulazione degli angoli adiacenti è facile notare che la somma di tali angoli forma sempre un angolo inverso, la cui misura in gradi è 180°:

• Se μ e η sono angoli adiacenti, allora μ + η = 180°.
• Conoscendo l'ampiezza di uno degli angoli adiacenti (ad esempio μ), puoi facilmente calcolare la misura in gradi del secondo angolo (η) utilizzando l'espressione η = 180° – μ.

2. Questa proprietà degli angoli ci permette di trarre la seguente conclusione: un angolo è adiacente angolo retto, sarà anche diretto.

3. Considerando funzioni trigonometriche(sin, cos, tg, ctg), in base alle formule di riduzione per gli angoli adiacenti μ e η, risulta vero quanto segue:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angoli adiacenti - esempi

Esempio 1

Dato un triangolo con vertici M, P, Q – ΔMPQ. Trova gli angoli adiacenti agli angoli ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Allunghiamo ciascun lato del triangolo con una linea retta.
• Sapendo che angoli adiacenti si completano a vicenda fino ad un angolo inverso, si trova che:

adiacente all'angolo ∠QMP è ∠LMP,

adiacente all'angolo ∠MPQ è ∠SPQ,

adiacente all'angolo ∠PQM è ∠HQP.

Esempio 2

Il valore di un angolo adiacente è 35°. Quanto misura in gradi il secondo angolo adiacente?

• La somma di due angoli adiacenti dà come risultato 180°.
• Se ∠μ = 35°, allora adiacente ad esso ∠η = 180° – 35° = 145°.

Esempio 3

Determinare i valori degli angoli adiacenti se è noto che la misura in gradi di uno di essi è tre volte maggiore della misura in gradi dell'altro angolo.

• Indichiamo l'ampiezza di un angolo (più piccolo) con – ∠μ = λ.
• Allora, a seconda delle condizioni del problema, il valore del secondo angolo sarà pari a ∠η = 3λ.
• In base alla proprietà fondamentale degli angoli adiacenti risulta μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Ciò significa che il primo angolo è ∠μ = λ = 45° e il secondo angolo è ∠η = 3λ = 135°.

La capacità di utilizzare la terminologia, così come la conoscenza delle proprietà di base degli angoli adiacenti, ti aiuterà a risolvere molti problemi geometrici.