Quando rappresentiamo graficamente una funzione, è importante identificare gli intervalli di convessità e i punti di flesso. Ci servono, insieme agli intervalli di decremento e aumento, per rappresentare chiaramente la funzione in forma grafica.

La comprensione di questo argomento richiede la conoscenza di cos'è la derivata di una funzione e di come valutarla in un certo ordine, nonché la capacità di risolvere tipi diversi disuguaglianze

All'inizio dell'articolo vengono definiti i concetti di base. Successivamente mostreremo quale relazione esiste tra la direzione della convessità e il valore della derivata seconda in un certo intervallo. Successivamente indicheremo le condizioni in cui è possibile determinare i punti di flesso del grafico. Tutti gli argomenti saranno illustrati con esempi di soluzioni di problemi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definizione 1

Nella direzione verso il basso per un certo intervallo nel caso in cui il suo grafico si trovi non al di sotto della tangente ad esso in qualsiasi punto di questo intervallo.

Definizione 2

La funzione da differenziare è convessa verso l'alto in un certo intervallo se il grafico di una data funzione non si trova più in alto della tangente ad essa in qualsiasi punto di questo intervallo.

Una funzione convessa verso il basso può anche essere chiamata funzione concava. Entrambe le definizioni sono chiaramente mostrate nel grafico seguente:

Definizione 3

Punto di flesso di una funzione– questo è un punto M (x 0 ; f (x 0)), in cui esiste una tangente al grafico della funzione, soggetta all'esistenza di una derivata in prossimità del punto x 0, dove da sinistra E lato destro il grafico della funzione assume diverse direzioni di convessità.

In poche parole, un punto di flesso è un punto su un grafico in cui è presente una tangente e la direzione della convessità del grafico quando passa attraverso questo punto cambierà la direzione della convessità. Se non ricordi in quali condizioni è possibile l'esistenza di una tangente verticale e non verticale, ti consigliamo di ripetere la sezione sulla tangente del grafico di una funzione in un punto.

Di seguito è riportato un grafico di una funzione che ha diversi punti di flesso, evidenziati in rosso. Chiariamo che la presenza di punti di flesso non è obbligatoria. Sul grafico di una funzione possono essercene uno, due, più, infiniti o nessuno.

In questa sezione parleremo di un teorema con il quale è possibile determinare gli intervalli di convessità sul grafico di una particolare funzione.

Definizione 4

Il grafico di una funzione sarà convesso verso il basso o verso l'alto se la corrispondente funzione y = f (x) ha una derivata seconda finita sull'intervallo specificato x, a condizione che la disuguaglianza f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) sarà vero.

Usando questo teorema, puoi trovare gli intervalli di concavità e convessità su qualsiasi grafico di una funzione. Per fare ciò è sufficiente risolvere le disuguaglianze f "" (x) ≥ 0 e f "" (x) ≤ 0 sul dominio di definizione della funzione corrispondente.

Chiariamo che quei punti in cui non esiste la derivata seconda, ma è definita la funzione y = f (x), saranno compresi negli intervalli di convessità e concavità.

Diamo un'occhiata ad un esempio di un problema specifico per vedere come applicare correttamente questo teorema.

Esempio 1

Condizione: data la funzione y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Determina a quali intervalli il suo grafico avrà convessità e concavità.

Soluzione

Il dominio di definizione di questa funzione è l'intero insieme dei numeri reali. Cominciamo calcolando la derivata seconda.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vediamo che il dominio di definizione della derivata seconda coincide con il dominio della funzione stessa. Ciò significa che per individuare gli intervalli di convessità occorre risolvere le disuguaglianze f "" (x) ≥ 0 e f "" (x). ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Abbiamo quel programma data funzione avrà una concavità sul segmento [2; + ∞) e convessità sul segmento (- ∞; 2 ] .

Per chiarezza, disegniamo un grafico della funzione e segniamo su di esso la parte convessa in blu e la parte concava in rosso.

Risposta: il grafico della funzione data avrà una concavità sul segmento [2; + ∞) e convessità sul segmento (- ∞; 2 ] .

Ma cosa fare se il dominio di definizione della derivata seconda non coincide con il dominio di definizione della funzione? Qui ci sarà utile l'osservazione fatta sopra: includeremo anche quei punti in cui la derivata seconda finita non esiste nei segmenti concavità e convessi.

Esempio 2

Condizione: data la funzione y = 8 x x - 1 . Determina in quali intervalli il suo grafico sarà concavo e in quali sarà convesso.

Soluzione

Innanzitutto, scopriamo il dominio di definizione della funzione.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Ora calcoliamo la derivata seconda:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Il dominio di definizione della derivata seconda è l'insieme x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vediamo che x uguale a zero apparterrà al dominio della funzione originaria, ma non al dominio della derivata seconda. Questo punto deve essere compreso nel segmento concavo o convesso.

Successivamente, dobbiamo risolvere le disuguaglianze f "" (x) ≥ 0 ef "" (x) ≤ 0 sul dominio di definizione della funzione data. Usiamo a questo scopo il metodo degli intervalli: con x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 oppure x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 numeratore 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 diventa 0 e il denominatore è 0 quando x è zero o uno.

Tracciamo i punti risultanti sul grafico e determiniamo il segno dell'espressione su tutti gli intervalli che saranno inclusi nel dominio di definizione della funzione originale. Quest'area è indicata da un'ombreggiatura sul grafico. Se il valore è positivo, contrassegniamo l'intervallo con un più, se negativo, con un meno.

Quindi,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , e f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Includiamo il punto x = 0 precedentemente contrassegnato e otteniamo la risposta desiderata. Il grafico della funzione originale sarà convesso verso il basso in corrispondenza dello 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , e verso l'alto – per x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1).

Disegniamo un grafico, evidenziando in blu la parte convessa e in rosso la parte concava. L'asintoto verticale è contrassegnato da una linea tratteggiata nera.

Risposta: Il grafico della funzione originale sarà convesso verso il basso in corrispondenza dello 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , e verso l'alto – per x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1).

Condizioni per la flessione di un grafico di funzione

Cominciamo formulando la condizione necessaria per la flessione del grafico di una determinata funzione.

Definizione 5

Diciamo che abbiamo una funzione y = f (x), il cui grafico ha un punto di flesso. In x = x 0 ha una derivata seconda continua, quindi vale l'uguaglianza f "" (x 0) = 0.

Considerando questa condizione, dovremmo cercare punti di flesso tra quelli in cui la derivata seconda volge a 0. Questa condizione non sarà sufficiente: non tutti questi punti sono adatti a noi.

Si noti inoltre che, secondo definizione generale, avremo bisogno di una linea tangente, verticale o non verticale. In pratica, ciò significa che per trovare i punti di flesso si dovrebbero prendere quelli in cui la derivata seconda di una data funzione diventa 0. Pertanto, per trovare l'ascissa dei punti di flesso, dobbiamo prendere tutti gli x 0 dal dominio di definizione della funzione, dove lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ e lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞. Molto spesso si tratta di punti in cui il denominatore della derivata prima diventa 0.

La prima condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di flesso nel grafico di una funzione

Abbiamo trovato tutti i valori di x 0 che possono essere presi come ascisse dei punti di flesso. Successivamente dobbiamo applicare la prima condizione di flessione sufficiente.

Definizione 6

Diciamo che abbiamo una funzione y = f (x) continua nel punto M (x 0 ; f (x 0)). Inoltre, in questo punto ha una tangente, e la funzione stessa ha una derivata seconda in prossimità di questo punto x 0. In questo caso, se sui lati sinistro e destro la derivata seconda acquisisce segni opposti, allora questo punto può essere considerato un punto di flesso.

Vediamo che questa condizione non richiede che esista necessariamente una derivata seconda in questo punto è sufficiente la sua presenza in prossimità del punto x 0;

È conveniente presentare tutto quanto sopra sotto forma di una sequenza di azioni.

1. Per prima cosa bisogna trovare tutte le ascisse x 0 dei possibili punti di flesso, dove f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Scopriamo in quali punti la derivata cambierà segno. Questi valori sono le ascisse dei punti di flesso, e i punti M (x 0 ; f (x 0)) ad essi corrispondenti sono i punti di flesso stessi.

Per chiarezza, analizzeremo due problemi.

Esempio 3

Condizione: data la funzione y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Determina dove il grafico di questa funzione avrà punti di flesso e punti di convessità.

Soluzione

La funzione specificata è definita sull'intero insieme di numeri reali. Calcoliamo la derivata prima:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x+2

Troviamo ora il dominio di definizione della derivata prima. È anche l'insieme di tutti i numeri reali. Ciò significa che le uguaglianze lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ e lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ non ​​possono essere soddisfatte per nessun valore di x 0 .

Calcoliamo la derivata seconda:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Abbiamo trovato l'ascissa di due possibili punti di flesso: 2 e 3. Non ci resta che verificare in quale punto la derivata cambia segno. Disegniamo una linea numerica e tracciamo questi punti su di essa, dopodiché posizioneremo i segni della derivata seconda sugli intervalli risultanti.

Gli archi mostrano la direzione della convessità del grafico in ciascun intervallo.

La derivata seconda cambia segno all'opposto (da più a meno) nel punto con ascissa 3, percorrendola da sinistra a destra, e fa lo stesso (da meno a più) anche nel punto con ascissa 3. Ciò significa che possiamo concludere che x = - 2 e x = 3 sono le ascisse dei punti di flesso del grafico della funzione. Corrisponderanno ai punti del grafico - 2; - 4 3 e 3; - 15 8 .

Diamo ancora uno sguardo all'immagine dell'asse dei numeri e ai segni risultanti negli intervalli per trarre conclusioni sui luoghi di concavità e convessità. Risulta che la convessità si troverà sul segmento - 2; 3, e la concavità sui segmenti (- ∞; - 2 ] e [ 3; + ∞).

La soluzione al problema è chiaramente rappresentata nel grafico: Colore blu– convessità, rosso – concavità, il colore nero indica punti di flesso.

Risposta: la convessità si troverà sul segmento - 2; 3, e la concavità sui segmenti (- ∞; - 2 ] e [ 3; + ∞).

Esempio 4

Condizione: calcola l'ascissa di tutti i punti di flesso del grafico della funzione y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Soluzione

Il dominio di definizione di una data funzione è l'insieme di tutti i numeri reali. Calcoliamo la derivata:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

A differenza di una funzione, la sua derivata prima non sarà definita al valore di x pari a 3, ma:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Ciò significa che per questo punto passerà una tangente verticale al grafico. Pertanto, 3 può essere l'ascissa del punto di flesso.

Calcoliamo la derivata seconda. Troviamo anche il dominio della sua definizione e i punti in cui diventa 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Ora abbiamo altri due possibili punti di flesso. Tracciamoli tutti sulla linea numerica e contrassegniamo gli intervalli risultanti con segni:

Il segno cambierà passando per ciascun punto indicato, il che significa che sono tutti punti di flesso.

Risposta: Disegniamo un grafico della funzione, evidenziando le concavità in rosso, le convessità in blu e i punti di flesso in nero:

Conoscendo la prima condizione sufficiente per la flessione, possiamo determinare i punti necessari in cui non è necessaria la presenza della derivata seconda. Sulla base di ciò, la prima condizione può essere considerata la più universale e adatta alla risoluzione tipi diversi compiti.

Si noti che esistono altre due condizioni di flesso, ma possono essere applicate solo quando esiste una derivata finita nel punto specificato.

Se abbiamo f "" (x 0) = 0 e f """ (x 0) ≠ 0, allora x 0 sarà l'ascissa del punto di flesso del grafico y = f (x).

Esempio 5

Condizione:è data la funzione y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Determina se il grafico della funzione avrà un punto di flesso nel punto 3; 4 5 .

Soluzione

La prima cosa da fare è assicurarsi che questo punto appartenga generalmente al grafico di questa funzione.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

La funzione data è definita per tutti gli argomenti che sono numeri reali. Calcoliamo la derivata prima e la seconda:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Abbiamo scoperto che la derivata seconda va a 0 se x è uguale a 0. Ciò significa che la condizione di flessione necessaria per questo punto sarà soddisfatta. Ora usiamo la seconda condizione: troviamo la derivata terza e scopriamo se diventerà 0 in 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

La derivata terza non svanirà per qualsiasi valore di x. Pertanto, possiamo concludere che questo punto sarà il punto di flesso del grafico della funzione.

Risposta: Mostriamo la soluzione nell'illustrazione:

Supponiamo che f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 e f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . In questo caso, anche per n, otteniamo che x 0 è l'ascissa del punto di flesso del grafico y = f (x).

Esempio 6

Condizione: data la funzione y = (x - 3) 5 + 1. Calcolare i punti di flesso del suo grafico.

Soluzione

Questa funzione è definita sull'intero insieme dei numeri reali. Calcoliamo la derivata: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Poiché sarà definito anche per tutti i valori reali dell'argomento, in qualsiasi punto del suo grafico esisterà una tangente non verticale.

Ora calcoliamo a quali valori la derivata seconda diventerà 0:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Abbiamo scoperto che in x = 3 il grafico della funzione può avere un punto di flesso. Usiamo la terza condizione per confermarlo:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Abbiamo n = 4 per la terza condizione sufficiente. Questo è un numero pari, il che significa che x = 3 sarà l'ascissa del punto di flesso e ad esso corrisponderà il punto grafico della funzione (3; 1).

Risposta: Ecco un grafico di questa funzione con le convessità, le concavità e il punto di flesso contrassegnati:

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Istruzioni

Punti inflessione funzioni deve appartenere al dominio della sua definizione, che deve essere trovata per prima. Programma funzioniè una linea che può essere continua o avere interruzioni, diminuire o aumentare monotonicamente, avere un minimo o un massimo punti(asintoti), essere convesso o concavo. Cambio improvviso di due ultimi stati e si chiama flessione.

Prerequisito esistenza inflessione funzioni consiste nell'uguaglianza del secondo a zero. Pertanto, differenziando due volte la funzione e uguagliando a zero l'espressione risultante, possiamo trovare l'ascissa dei possibili punti inflessione.

Questa condizione deriva dalla definizione delle proprietà di convessità e concavità del grafico funzioni, cioè. valori negativi e positivi della derivata seconda. Al punto inflessione un brusco cambiamento in queste proprietà significa che il derivato supera la soglia dello zero. Tuttavia, uguale a zero non è ancora sufficiente per indicare una flessione.

Ci sono due condizioni sufficienti affinché l'ascissa trovata nella fase precedente appartenga al punto inflessione:Attraverso questo punto puoi tracciare una tangente a funzioni. La derivata seconda ha segni diversi a destra e a sinistra del previsto punti inflessione. Quindi la sua esistenza nel punto stesso non è necessaria; è sufficiente determinare che in esso cambia segno funzioniè uguale a zero e il terzo no.

Soluzione: Trova. In questo caso non ci sono restrizioni, quindi si tratta dell'intero spazio dei numeri reali. Calcola la derivata prima: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Presta attenzione a . Ne consegue che l'ambito di definizione del derivato è limitato. Il punto x = 5 è forato, il che significa che una tangente può attraversarlo, il che corrisponde in parte al primo segno di sufficienza inflessione.

Determina l'espressione risultante per x → 5 – 0 e x → 5 + 0. Sono uguali a -∞ e +∞. Hai dimostrato che per il punto x=5 passa una tangente verticale. Questo punto potrebbe rivelarsi un punto inflessione, ma prima calcola la derivata seconda: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Ometti il ​​denominatore poiché hai già preso in considerazione il punto x = 5. Risolvi l'equazione 2 x – 22 = 0. Ha una radice singola x = 11. L'ultimo passaggio è confermarlo punti x=5 e x=11 sono punti inflessione. Analizzare il comportamento della derivata seconda nelle loro vicinanze. Ovviamente nel punto x = 5 cambia segno da “+” a “-”, e nel punto x = 11 viceversa. Conclusione: entrambi punti sono punti inflessione. La prima condizione sufficiente è soddisfatta.

Grafico di una funzione sì=f(x) chiamato convesso sull'intervallo (a;b), se si trova al di sotto di una qualsiasi delle sue tangenti su questo intervallo.

Grafico di una funzione sì=f(x) chiamato concavo sull'intervallo (a;b), se si trova sopra una qualsiasi delle sue tangenti su questo intervallo.

La figura mostra una curva convessa (a;b) e concavo (avanti Cristo).

Esempi.

Consideriamo un criterio sufficiente che ci permetta di determinare se il grafico di una funzione in un dato intervallo sarà convesso o concavo.

Teorema. Permettere sì=f(x) differenziabile su (a;b). Se in tutti i punti dell'intervallo (a;b) derivata seconda della funzione sì = f(x) negativo, cioè F ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 – concavo.

Prova. Assumiamo per certezza che F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Prendiamo le funzioni sul grafico y = f(x) punto arbitrario M0 con ascissa x0 Î ( UN; B) e tracciare il punto M0 tangente. La sua equazione. Dobbiamo mostrare che il grafico della funzione on (a;b) si trova al di sotto di questa tangente, cioè allo stesso valore X ordinata della curva y = f(x) sarà minore dell'ordinata della tangente.

Quindi, l'equazione della curva è y = f(x). Indichiamo l'ordinata della tangente corrispondente all'ascissa X. Poi . Pertanto, la differenza tra le ordinate della curva e la tangente ha lo stesso valore X Volere .

Differenza f(x) – f(x 0) trasformare secondo il teorema di Lagrange, dove C fra X E x0.

Così,

Applichiamo nuovamente il teorema di Lagrange all’espressione tra parentesi quadre: , dove c1 fra c0 E x0. Secondo le condizioni del teorema F ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Pertanto, qualsiasi punto sulla curva si trova al di sotto della tangente alla curva per tutti i valori X E x0 Î ( UN; B), il che significa che la curva è convessa. La seconda parte del teorema si dimostra in modo analogo.

Esempi.

Punto del grafico funzione continua, separando la sua parte convessa da quella concava, si chiama punto di flesso.

Ovviamente, nel punto di flesso, la tangente, se esiste, interseca la curva, perché da un lato di questo punto la curva si trova sotto la tangente e dall'altro lato sopra di essa.

Determiniamo condizioni sufficienti affinché un dato punto della curva sia un punto di flesso.

Teorema. Lascia che la curva sia definita dall'equazione y = f(x). Se F ""(X 0) = 0 o F ""(X 0) non esiste anche quando si passa attraverso il valore X = x0 derivato F ""(X) cambia segno, quindi il punto nel grafico della funzione con l'ascissa X = x0 c'è un punto di flesso.

Prova. Permettere F ""(X) < 0 при X < x0 E F ""(X) > 0 a X > x0. Poi a X < x0 la curva è convessa e quando X > x0– concavo. Pertanto, il punto UN, adagiato sulla curva, con ascissa x0 c'è un punto di flesso. Allo stesso modo può essere considerato il secondo caso, quando F ""(X) > 0 a X < x0 E F ""(X) < 0 при X > x0.

Pertanto, i punti di flesso dovrebbero essere cercati solo tra quei punti in cui la derivata seconda svanisce o non esiste.

Esempi. Trova i punti di flesso e determina gli intervalli di convessità e concavità delle curve.

ASINTOTI DEL GRAFICO DELLA FUNZIONE

Quando si studia una funzione, è importante stabilire la forma del suo grafico a una distanza illimitata del punto del grafico dall'origine.

Di particolare interesse è il caso in cui il grafico di una funzione, quando il suo punto variabile viene spostato all'infinito, si avvicina indefinitamente a una certa linea retta.

Si chiama la retta asintoto grafica delle funzioni sì = f(x), se la distanza dal punto variabile M grafica su questa linea quando si rimuove un punto M all'infinito tende a zero, cioè un punto sul grafico di una funzione, tendendo all'infinito, deve avvicinarsi indefinitamente all'asintoto.

Una curva può avvicinarsi al suo asintoto, rimanendo su un lato o su lati diversi, attraversando l'asintoto un numero infinito di volte e spostandosi da un lato all'altro.

Se indichiamo con d la distanza dal punto M curva all'asintoto, allora è chiaro che d tende a zero man mano che il punto si allontana M all'infinito.

Distingueremo ulteriormente tra asintoti verticali e obliqui.

ASINTOTI VERTICALI

Lascia stare X→ x0 da qualsiasi funzione laterale sì = f(x) aumenta illimitatamente in valore assoluto, cioè o o . Quindi dalla definizione di asintoto segue che la retta X = x0è un asintoto. È ovvio anche il contrario, se la linea X = x0è un asintoto, cioè .

Pertanto, l'asintoto verticale del grafico della funzione y = f(x) si chiama retta se f(x)→ ∞ in almeno una delle condizioni X→ x0– 0 o X → x0 + 0, X = x0

Pertanto, trovare gli asintoti verticali del grafico della funzione sì = f(x)è necessario trovare quei valori X = x0, in cui la funzione va all'infinito (subisce una discontinuità infinita). Poi asintoto verticale ha l'equazione X = x0.

Esempi.

ASINTOTI INCLINATI

Poiché l'asintoto è una linea retta, allora se la curva sì = f(x) ha un asintoto obliquo, allora la sua equazione sarà sì = kx + B. Il nostro compito è trovare i coefficienti K E B.

Teorema. Dritto sì = kx + B funge da asintoto obliquo in X→ +∞ per il grafico della funzione sì = f(x) allora e solo quando . Un'affermazione simile vale per X → –∞.

Prova. Permettere deputato– lunghezza di un segmento pari alla distanza dal punto M asintotico. Per condizione. Indichiamo con φ l'angolo di inclinazione dell'asintoto rispetto all'asse Bue. Poi da ΔMNP segue quello. Poiché φ è un angolo costante (φ ≠ π/2), allora , ma

Resta da considerare convessità, concavità e pieghe del grafico. Cominciamo con i siti che i visitatori amano così tanto esercizio fisico. Per favore alzati e piegati in avanti o all'indietro. Questo è un rigonfiamento. Ora allunga le braccia davanti a te, con i palmi rivolti verso l'alto, e immagina di tenere un grosso tronco sul petto... ...beh, se non ti piace il tronco, lascia che lo faccia qualcosa/qualcun altro = ) Questa è concavità. Numerose fonti contengono termini sinonimi gonfiarsi E rigonfiamento, ma sono un fan dei titoli brevi.

! Attenzione : alcuni autori determinare convessità e concavità esattamente opposte. Ciò è anche matematicamente e logicamente corretto, ma spesso completamente errato da un punto di vista sostanziale, anche a livello di comprensione dei termini da parte dei non addetti ai lavori. Quindi, ad esempio, una lente con tubercoli è chiamata lente biconvessa, ma non con depressioni (biconcave).
E, diciamo, un letto “concavo” - chiaramente non “si alza” =) (tuttavia, se ci sali sotto, parleremo già di convessità; =)) Aderisco a un approccio che corrisponde a quello naturale associazioni umane.

La definizione formale di convessità e concavità di un grafico è piuttosto difficile per una teiera, ci limiteremo quindi ad un'interpretazione geometrica del concetto su esempi specifici. Consideriamo il grafico di una funzione che continuo sull'intera linea numerica:

È facile da costruire trasformazioni geometriche, e, probabilmente, molti lettori sanno come si ottiene da una parabola cubica.

Chiamiamo accordo linea di collegamento due punti diversi arti grafiche.

Il grafico di una funzione è convesso su qualche intervallo, se si trova non meno qualsiasi accordo di un dato intervallo. La linea sperimentale è convessa e, ovviamente, qui qualsiasi parte del grafico si trova SOPRA di essa accordo. Per illustrare la definizione, ho disegnato tre linee nere.

Le funzioni grafiche sono concavo sull'intervallo, se si trova non più alto qualsiasi accordo di questo intervallo. Nell'esempio in esame il paziente è concavo nell'intervallo. Una coppia di segmenti marroni dimostra in modo convincente che qui qualsiasi pezzo del grafico si trova SOTTO il suo accordo.

Il punto del grafico in cui cambia da convesso a concavo O si chiama concavità a convessità punto di flesso. Lo abbiamo in un'unica copia (il primo caso), e in pratica per punto di flesso possiamo intendere sia il punto verde appartenente alla linea stessa, sia il valore “X”.

IMPORTANTE! I nodi del grafico dovrebbero essere disegnati con attenzione e molto liscio. Tutti i tipi di “irregolarità” e “rugosità” sono inaccettabili. Ci vuole solo un po' di allenamento.

Il secondo approccio per determinare la convessità/concavità in teoria è dato attraverso le tangenti:

Convesso sull'intervallo si trova il grafico non più alto tangente tracciata ad esso in un punto arbitrario di un dato intervallo. Concavo sul grafico dell’intervallo – non meno qualsiasi tangente su questo intervallo.

L'iperbole è concava sull'intervallo e convessa su:

Passando per l'origine delle coordinate, la concavità si trasforma in convessità, ma il punto NON CONTA punto di flesso, poiché la funzione non determinato dentro.

Affermazioni e teoremi più rigorosi sull'argomento si trovano nel libro di testo, e si passa alla parte pratica intensa:

Come trovare intervalli di convessità, intervalli di concavità
e i punti di flesso del grafico?

Il materiale è semplice, stampato e si ripete strutturalmente studio di una funzione per un estremo.

La convessità/concavità del grafico caratterizza derivata seconda funzioni.

Sia la funzione due volte differenziabile su un certo intervallo. Poi:

– se la derivata seconda è su un intervallo, allora il grafico della funzione è convesso su tale intervallo;

– se la derivata seconda è su un intervallo, allora il grafico della funzione è concavo su tale intervallo.

Per quanto riguarda i segni della derivata seconda, un'associazione preistorica gira per le istituzioni educative: “–” mostra che “non si può versare acqua nel grafico di una funzione” (convessità),
e “+” – “dà tale opportunità” (concavità).

Condizione necessaria di flessione

Se in un punto c'è un punto di flesso nel grafico della funzione, Quello:
oppure il valore non esiste(risolviamo la questione, leggi!).

Questa frase implica che la funzione continuo in un punto e nel caso – è due volte differenziabile in qualche suo intorno.

La necessità della condizione suggerisce che non è sempre vero il contrario. Cioè dall’uguaglianza (o inesistenza di valore) non dovrebbe ancora l'esistenza di un'inflessione nel grafico della funzione nel punto . Ma in entrambe le situazioni chiamano punto critico della derivata seconda.

Condizione sufficiente per la flessione

Se la derivata seconda cambia segno quando passa per un punto, allora in questo punto c'è un'inflessione nel grafico della funzione.

Potrebbero non esserci punti di flesso (un esempio è già stato raggiunto), e in questo senso alcuni esempi elementari sono indicativi. Analizziamo la derivata seconda della funzione:

Si ottiene quindi una funzione costante positiva per qualsiasi valore di "x". Fatti superficiali: la parabola è interamente concava dominio di definizione, non ci sono punti di flesso. È facile notare che il coefficiente negativo a “inverte” la parabola e la rende convessa (come ci dirà la derivata seconda, una funzione costante negativa).

Funzione esponenziale anche concavo in:

per qualsiasi valore di "x".

Naturalmente il grafico non ha punti di flesso.

Esaminiamo il grafico della funzione logaritmica per convessità/concavità:

Pertanto, il ramo del logaritmo è convesso nell'intervallo. Anche la derivata seconda è definita sull'intervallo, ma considerala È VIETATO, poiché questo intervallo non è incluso in dominio funzioni Il requisito è ovvio: poiché non esiste un grafico logaritmico, ovviamente non si parla di convessità/concavità/flessioni.

Come puoi vedere, tutto ricorda davvero molto la storia crescente, decrescente ed estremi della funzione. Simile a me stesso algoritmo per lo studio del grafico di una funzioneper convessità, concavità e presenza di attorcigliamenti:

2) Cerchiamo valori critici. Per fare ciò, prendi la derivata seconda e risolvi l'equazione. Sono considerati critici anche i punti in cui non esiste la derivata 2a, ma che sono compresi nel dominio di definizione della funzione stessa!

3) Segnare sulla linea numerica tutti i punti di discontinuità riscontrati e punti critici (potrebbe non esserci né l'uno né l'altro - allora non c'è bisogno di disegnare nulla (come nel caso troppo semplice), basta limitarsi a un commento scritto). Metodo dell'intervallo determinare i segni sugli intervalli risultanti. Come appena spiegato, bisognerebbe considerare solo quelli intervalli compresi nel dominio di definizione della funzione. Traiamo conclusioni sulla convessità/concavità e sui punti di flesso del grafico della funzione. Diamo la risposta.

Prova ad applicare verbalmente l'algoritmo alle funzioni . Nel secondo caso, tra l'altro, c'è un esempio in cui non è presente alcun punto di flesso nel grafico nel punto critico. Tuttavia, iniziamo con compiti leggermente più difficili:

Esempio 1

Soluzione:
1) La funzione è definita e continua su tutta la linea numerica. Molto bene.

2) Troviamo la derivata seconda. Puoi prima eseguire la costruzione del cubo, ma è molto più redditizio da usare regola per la differenziazione di funzioni complesse:

Tienilo presente , il che significa che la funzione è non decrescente. Sebbene ciò non sia rilevante per il compito, è sempre consigliabile prestare attenzione a tali fatti.

Troviamo i punti critici della derivata seconda:

- punto critico

3) Controlliamo se la condizione di flessione sufficiente è soddisfatta. Determiniamo i segni della derivata seconda sugli intervalli risultanti.

Attenzione! Ora stiamo lavorando con la derivata seconda (e non con una funzione!)

Di conseguenza, è stato ottenuto un punto critico: .

3) Segnare due punti di discontinuità sulla retta numerica, un punto critico, e determinare i segni della derivata seconda sugli intervalli risultanti:

Ti ricordo una tecnica importante metodo dell'intervallo, consentendo di velocizzare notevolmente la soluzione. Derivata seconda si è rivelato molto macchinoso, per cui non è necessario calcolarne i valori, è sufficiente fare una “stima” ad ogni intervallo. Scegliamo, ad esempio, un punto appartenente all'intervallo sinistro,
ed esegui la sostituzione:

Analizziamo ora i moltiplicatori:

Due “meno” e “più” danno quindi “più”, il che significa che la derivata seconda è positiva su tutto l'intervallo.

Le azioni commentate sono facili da eseguire verbalmente. Inoltre, è vantaggioso ignorare del tutto il fattore: è positivo per qualsiasi “x” e non influenza i segni della nostra derivata seconda.

Allora, quali informazioni ci hai fornito?

Risposta: Il grafico della funzione è concavo e convesso . All'origine (è chiaro che) c'è un punto di flesso nel grafico.

Passando per punti, anche la derivata seconda cambia segno, ma non sono considerati punti di flesso, poiché in essi la funzione soffre pause infinite.

Nell'esempio analizzato, la derivata prima ci informa sulla crescita della funzione in tutto dominio di definizione. Ci sarebbe sempre un omaggio del genere =) Inoltre, è ovvio che ce ne sono tre asintoto. Sono stati ottenuti molti dati, il che consente alto grado affidabilità attuale aspetto arti grafiche. Nel complesso, anche la funzione è strana. Sulla base dei fatti accertati, prova a fare uno schizzo approssimativo. Immagine alla fine della lezione.

Incarico per soluzione indipendente:

Esempio 6

Esaminare il grafico di una funzione per convessità, concavità e trovare i punti di flesso del grafico, se esistono.

Nel campione non c'è il disegno, ma non è vietato avanzare un'ipotesi ;)

Maciniamo il materiale senza numerare i punti dell'algoritmo:

Esempio 7

Esamina il grafico di una funzione per convessità, concavità e trova i punti di flesso, se esistono.

Soluzione: la funzione tollera divario infinito al punto .

Come al solito, per noi va tutto bene:

I derivati ​​non sono i più difficili, l'importante è stare attenti alla loro “acconciatura”.
Nella maratona indotta si evidenziano due punti critici della derivata seconda:

Determiniamo i segni sugli intervalli risultanti:

C'è un punto di flesso nel grafico in un punto troviamo l'ordinata del punto:

Passando per un punto, la derivata seconda non cambia segno, quindi NON c'è flessione nel grafico.

Risposta: intervalli di convessità: ; intervallo di concavità: ; punto di flesso: .

Consideriamo esempi finali con campanelli e fischietti aggiuntivi:

Esempio 8

Trova gli intervalli di convessità, concavità e punti di flesso del grafico

Soluzione: con la scoperta dominio di definizione Non ci sono problemi particolari:
, mentre la funzione presenta discontinuità in alcuni punti.

Andiamo per i sentieri battuti:

- punto critico.

Definiamo i segni e consideriamo gli intervalli solo dal dominio delle funzioni:

C'è un punto di flesso nel grafico in un punto; calcoliamo l'ordinata: