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Espressioni logaritmiche, esempi di risoluzione. In questo articolo esamineremo i problemi relativi alla risoluzione dei logaritmi. I compiti pongono la questione di trovare il significato di un'espressione. Va notato che il concetto di logaritmo viene utilizzato in molti compiti e comprenderne il significato è estremamente importante. Per quanto riguarda l'Esame di Stato Unificato, il logaritmo viene utilizzato quando si risolvono equazioni, in problemi applicati e anche in compiti relativi allo studio delle funzioni.

Facciamo degli esempi per comprendere il significato stesso del logaritmo:

Nozioni di base identità logaritmica:

Proprietà dei logaritmi che vanno sempre ricordate:

*Logaritmo del prodotto pari alla somma logaritmi dei fattori.

* * *

*Logaritmo del quoziente (frazione) uguale alla differenza logaritmi dei fattori.

* * *

*Il logaritmo di un esponente è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base.

* * *

*Transizione ad una nuova fondazione

* * *

Altre proprietà:

* * *

Il calcolo dei logaritmi è strettamente correlato all'uso delle proprietà degli esponenti.

Ne elenchiamo alcuni:

L'essenza di questa proprietà è che quando il numeratore viene trasferito al denominatore e viceversa, il segno dell'esponente cambia al contrario. Per esempio:

Un corollario da questa proprietà:

* * *

Quando si eleva una potenza a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti si moltiplicano.

* * *

Come hai visto, il concetto stesso di logaritmo è semplice. La cosa principale è che hai bisogno di una buona pratica, che ti dia una certa abilità. Naturalmente è richiesta la conoscenza delle formule. Se l'abilità nella conversione dei logaritmi elementari non è stata sviluppata, quando si risolvono compiti semplici si può facilmente commettere un errore.

Esercitati, risolvi prima gli esempi più semplici del corso di matematica, poi passa a quelli più complessi. In futuro mostrerò sicuramente come si risolvono i logaritmi “brutti”; questi non appariranno all’Esame di Stato Unificato, ma interessano, non perdeteli!

È tutto! Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Il logaritmo di un numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Nota che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo che non sia uguale a 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 è uguale a 2.

Identità logaritmica di base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

È importante che l'ambito di definizione dei lati destro e sinistro di questa formula sia diverso. Lato sinistro definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Parte destraè definito per qualsiasi b, ma non dipende affatto da a. Pertanto, l’applicazione dell’“identità” logaritmica di base durante la risoluzione di equazioni e disequazioni può portare a un cambiamento nella OD.

Due ovvie conseguenze della definizione di logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Infatti, elevando il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero, e quando lo eleviamo alla potenza zero, otteniamo uno.

Logaritmo del prodotto e logaritmo del quoziente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'applicare sconsideratamente queste formule durante la risoluzione equazioni logaritmiche e disuguaglianze. Quando li si utilizza "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.

Infatti, l'espressione log a (f (x) g (x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive o quando f(x) e g(x) sono entrambe minori di zero.

Trasformando questa espressione nella somma log a f (x) + log a g (x), siamo costretti a limitarci solo al caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. C'è un restringimento dell'area valori accettabili, e questo è categoricamente inaccettabile, perché può portare alla perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).

Il grado può essere estratto dal segno del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E ancora una volta vorrei chiedere precisione. Considera il seguente esempio:

Logaritmo a (f (x) 2 = 2 logaritmo a f (x)

Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo il grado dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. La procedura inversa porta ad un ampliamento dell'intervallo di valori accettabili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.

Formula per trasferirsi in una nuova fondazione

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Quello caso raro, quando l'ODZ non cambia durante la trasformazione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e diversa da 1), la formula per passare a una nuova base è completamente sicura.

Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un importante caso speciale formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alcuni semplici esempi con i logaritmi

Esempio 1. Calcola: log2 + log50.
Soluzione. log2 + log50 = log100 = 2. Abbiamo utilizzato la formula della somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.

Esempio 2. Calcolare: lg125/lg5.
Soluzione. log125/log5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la formula per spostarci in una nuova base (8).

Tabella delle formule relative ai logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritmo di un numero N basato su UN chiamato esponente X , a cui devi costruire UN per ottenere il numero N

Purché
,
,

Dalla definizione di logaritmo segue che
, cioè.
- questa uguaglianza è l'identità logaritmica di base.

I logaritmi in base 10 sono detti logaritmi decimali. Invece di
scrivere
.

Logaritmi alla base e sono detti naturali e sono designati
.

Proprietà fondamentali dei logaritmi.

Il logaritmo di uno è uguale a zero per qualsiasi base.

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

3) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi

Fattore
chiamato modulo di transizione dai logaritmi alla base UN ai logaritmi alla base B .

Usando le proprietà 2-5, è spesso possibile ridurre il logaritmo di un'espressione complessa al risultato di semplici operazioni aritmetiche sui logaritmi.

Per esempio,

Tali trasformazioni di un logaritmo sono chiamate logaritmi. Le trasformazioni inverse ai logaritmi sono chiamate potenziamento.

Capitolo 2. Elementi di matematica superiore.

1. Limiti

Limite della funzione
è un numero finito A se, as xx 0 per ciascuno predeterminato
, esiste un tale numero
quello non appena
, Quello
.

Una funzione che ha un limite differisce da esso di una quantità infinitesimale:
, dove- b.m.v., i.e.
.

Esempio. Considera la funzione
.

Quando ti sforzi
, funzione sì tende a zero:

1.1. Teoremi fondamentali sui limiti.

Il limite di un valore costante è uguale a questo valore costante

.

Il limite della somma (differenza) di un numero finito di funzioni è uguale alla somma (differenza) dei limiti di queste funzioni.

Il limite del prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni.

Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore non è zero.

Limiti meravigliosi

,
, Dove

1.2. Esempi di calcolo dei limiti

Tuttavia, non tutti i limiti vengono calcolati così facilmente. Più spesso, il calcolo del limite si riduce a rivelare un’incertezza del tipo: O .

.

2. Derivato di una funzione

Diamo una funzione
, continuo sul segmento
.

Discussione ottenuto qualche aumento
. Quindi la funzione riceverà un incremento
.

Valore dell'argomento corrisponde al valore della funzione
.

Valore dell'argomento
corrisponde al valore della funzione.

Quindi, .

Troviamo il limite di questo rapporto a
. Se questo limite esiste, allora viene chiamato derivata della funzione data.

Definizione 3 Derivata di una data funzione
per argomento è chiamato limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'incremento dell'argomento tende arbitrariamente a zero.

Derivata di una funzione
possono essere designati come segue:

; ; ; .

Definizione 4Si chiama l'operazione di trovare la derivata di una funzione differenziazione.

2.1. Significato meccanico della derivata.

Consideriamo il moto rettilineo di un corpo rigido o di un punto materiale.

Lasciamo che ad un certo punto nel tempo punto in movimento
era a distanza dalla posizione di partenza
.

Dopo un certo periodo di tempo
si è allontanata
. Atteggiamento =- velocità media punto materiale
. Troviamo il limite di questo rapporto, tenendo conto di ciò
.

Di conseguenza, determinare la velocità istantanea di movimento di un punto materiale si riduce a trovare la derivata del percorso rispetto al tempo.

2.2. Valore geometrico della derivata

Consideriamo una funzione definita graficamente
.

Riso. 1. Significato geometrico della derivata

Se
, quindi puntare
, si sposterà lungo la curva, avvicinandosi al punto
.

Quindi
, cioè. il valore della derivata per un dato valore dell'argomento numericamente uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente in un dato punto con la direzione positiva dell'asse
.

2.3. Tabella delle formule di differenziazione di base.

Funzione di potenza

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

Funzione trigonometrica

Funzione trigonometrica inversa

2.4. Regole di differenziazione.

Derivato di

Derivato della somma (differenza) di funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del quoziente di due funzioni

2.5. Derivato di funzione complessa.

Sia data la funzione
tale da poter essere rappresentato nella forma

E
, dove la variabile è un argomento intermedio, quindi

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto a x.

Esempio 1.

Esempio 2.

3. Funzione differenziale.

Lascia che ci sia
, differenziabile su qualche intervallo
lasciarlo andare A questa funzione ha una derivata

,

allora possiamo scrivere

(1),

Dove - una quantità infinitesima,

da quando

Moltiplicando tutti i termini di uguaglianza (1) per
abbiamo:

Dove
- b.m.v. ordine superiore.

Grandezza
chiamato differenziale della funzione
ed è designato

.

3.1. Valore geometrico del differenziale.

Sia data la funzione
.

Fig.2. Significato geometrico del differenziale.

.

Ovviamente, il differenziale della funzione
è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente in un dato punto.

3.2. Derivati ​​e differenziali di vario ordine.

Se ci
, Poi
è detta derivata prima.

La derivata della derivata prima si chiama derivata del secondo ordine e si scrive
.

Derivato dell'ennesimo ordine della funzione
è detta derivata dell'ordine (n-1) e si scrive:

.

Il differenziale del differenziale di una funzione è chiamato differenziale del secondo o differenziale del secondo ordine.

.

.

3.3 Risoluzione di problemi biologici mediante la differenziazione.

Compito 1. Gli studi hanno dimostrato che la crescita di una colonia di microrganismi obbedisce alla legge
, Dove N – numero di microrganismi (in migliaia), T – tempo (giorni).

b) La popolazione della colonia aumenterà o diminuirà durante questo periodo?

Risposta. La dimensione della colonia aumenterà.

Attività 2. L'acqua nel lago viene periodicamente analizzata per monitorare il contenuto di batteri patogeni. Attraverso T giorni dopo il test, la concentrazione di batteri è determinata dal rapporto

.

Quando il lago avrà una concentrazione minima di batteri e sarà possibile farci il bagno?

Soluzione: una funzione raggiunge il massimo o il minimo quando la sua derivata è zero.

,

Determiniamo il massimo o il minimo tra 6 giorni. Per fare ciò, prendiamo la derivata seconda.

Risposta: Dopo 6 giorni ci sarà una concentrazione minima di batteri.

principali proprietà.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

motivi identici

Log64 + log69.

Ora complichiamo un po' il compito.

Esempi di risoluzione dei logaritmi

Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l’ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Transizione ad una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo logax. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà fondamentali del logaritmo

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10.
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14.
15.

L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è pari a 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Nikolaevich Tolstoy.

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Conoscendo questa regola, lo saprai e valore esatto espositori e la data di nascita di Leone Tolstoj.

Esempi di logaritmi

Espressioni logaritmiche

Esempio 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Utilizzando le proprietà 3.5 calcoliamo

2.

3.

4. Dove .

Esempio 2. Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi iniziamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: momento chiave Qui - motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono contate (vedi la lezione “Che cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti si basano su questo fatto documenti di prova. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa , cioè. Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Si noti che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore.

Formule logaritmiche. Soluzioni di esempi di logaritmi.

Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente in quelle convenzionali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è semplicemente un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: .

Infatti, cosa succede se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dà il numero a? Esatto: il risultato è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Considerando le regole per moltiplicare i poteri con la stessa base, noi abbiamo:

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

1. logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a di quella base stessa è uguale a uno.
2. loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché a0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo di b in base a denota l'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una potenza x() in cui l'uguaglianza è soddisfatta

Proprietà fondamentali del logaritmo

È necessario conoscere le proprietà di cui sopra, poiché quasi tutti i problemi e gli esempi relativi ai logaritmi vengono risolti sulla base. Il resto delle proprietà esotiche può essere derivato attraverso manipolazioni matematiche con queste formule

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Quando si calcola la formula per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4), ci si imbatte abbastanza spesso. Gli altri sono piuttosto complessi, ma in una serie di compiti sono indispensabili per semplificare espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è anche dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo decimale ed è semplicemente indicato con lg(x).

È chiaro dalla registrazione che le basi non sono scritte nella registrazione. Per esempio

Un logaritmo naturale è un logaritmo la cui base è un esponente (indicato con ln(x)).

L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è pari a 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Nikolaevich Tolstoy. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

E un altro importante logaritmo in base due è indicato con

La derivata del logaritmo di una funzione è uguale a uno diviso per la variabile

Il logaritmo integrale o antiderivativo è determinato dalla relazione

Il materiale fornito è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi ai logaritmi e ai logaritmi. Per aiutarti a comprendere il materiale, fornirò solo alcuni esempi comuni tratti da curriculum scolastico e università.

Esempi di logaritmi

Espressioni logaritmiche

Esempio 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Utilizzando le proprietà 3.5 calcoliamo

2.
Per la proprietà della differenza dei logaritmi abbiamo

3.
Usando le proprietà 3.5 troviamo

4. Dove .

Dall'aspetto espressione complessa utilizzando una serie di regole è semplificato per formare

Trovare i valori dei logaritmi

Esempio 2. Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo all'ultimo termine le proprietà 5 e 13

Lo mettiamo agli atti e piangiamo

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Soluzione: prendiamo un logaritmo della variabile e scriviamo il logaritmo attraverso la somma dei suoi termini

Questo è solo l'inizio della nostra conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati nei calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno delle conoscenze acquisite per risolvere equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, espanderemo le tue conoscenze su un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche...

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi iniziamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa , cioè. Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Si noti che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è semplicemente un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: .

Infatti, cosa succede se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dà il numero a? Esatto: il risultato è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

1. logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a di quella base stessa è uguale a uno.
2. loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché a0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.