In matematica le funzioni sono infinite. E ognuno ha il suo carattere.) Per lavorare con un'ampia varietà di funzioni di cui hai bisogno separare un approccio. Altrimenti, che razza di matematica è questa?!) Ed esiste un simile approccio!

Quando lavoriamo con qualsiasi funzione, la presentiamo con insieme standard domande. E il primo, il più domanda importante- Questo dominio di definizione della funzione. A volte quest'area è chiamata l'insieme dei valori degli argomenti validi, l'area in cui viene specificata una funzione, ecc.

Qual è il dominio di una funzione? Come trovarlo? Queste domande spesso sembrano complesse e incomprensibili... Anche se, in realtà, tutto è estremamente semplice. Puoi verificarlo tu stesso leggendo questa pagina. Andare?)

Ebbene, che dire... Solo rispetto.) Sì! Il dominio naturale di una funzione (che è discusso qui) partite con ODZ delle espressioni incluse nella funzione. Di conseguenza, vengono cercati secondo le stesse regole.

Consideriamo ora un dominio di definizione non del tutto naturale.)

Ulteriori restrizioni sull'ambito di una funzione.

Qui parleremo delle restrizioni imposte dall'attività. Quelli. L'attività contiene alcune condizioni aggiuntive fornite dal compilatore. Oppure le restrizioni emergono dal modo stesso di definire la funzione.

Per quanto riguarda le restrizioni nell'attività, tutto è semplice. Di solito non c'è bisogno di cercare nulla, è già tutto detto nel compito. Lascia che ti ricordi che le restrizioni scritte dall'autore dell'attività non vengono annullate limiti fondamentali della matematica. Devi solo ricordarti di tenere conto delle condizioni dell'attività.

Ad esempio, questo compito:

Trova il dominio di una funzione:

sull'insieme dei numeri positivi.

Abbiamo trovato il dominio naturale di definizione di questa funzione sopra. Quest'area:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Nel metodo verbale per specificare una funzione, è necessario leggere attentamente la condizione e trovare lì le restrizioni sulle X. A volte gli occhi cercano formule, ma le parole fischiano oltre la coscienza sì...) Esempio dalla lezione precedente:

La funzione è specificata dalla condizione: ogni valore dell'argomento naturale x è associato alla somma delle cifre che compongono il valore di x.

Va notato qui che stiamo parlando soltanto sui valori naturali di X. Poi D(f) registrato istantaneamente:

D(f): x ∈ N

Come puoi vedere, l'ambito di una funzione non è così concetto complesso. Trovare questa regione significa esaminare la funzione, scrivere un sistema di disuguaglianze e risolvere questo sistema. Naturalmente esistono tutti i tipi di sistemi, semplici e complessi. Ma...

Lo aprirò piccolo segreto. A volte una funzione per la quale è necessario trovare il dominio di definizione sembra semplicemente intimidatoria. Vorrei impallidire e piangere.) Ma appena scrivo il sistema delle disuguaglianze... E all'improvviso il sistema risulta elementare! Inoltre, spesso, quanto più pessima è la funzione, tanto più semplice è il sistema...

Morale: gli occhi temono, la testa decide!)

Abbiamo scoperto che esiste X- un insieme su cui ha senso la formula che definisce la funzione. Nell'analisi matematica questo insieme è spesso indicato come D (dominio di una funzione ). A loro volta, molti Y indicato come E (gamma di funzioni ) e in cui D E E chiamati sottoinsiemi R(insieme di numeri reali).

Se una funzione è definita da una formula, allora, in assenza di riserve speciali, il dominio della sua definizione è considerato l'insieme più grande su cui questa formula ha senso, cioè l'insieme più grande di valori di argomento che porta ai valori reali della funzione . In altre parole, l’insieme dei valori degli argomenti su cui opera la “funzione”.

Per una comprensione generale, l'esempio non ha ancora una formula. La funzione è specificata come coppie di relazioni:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Trova il dominio di definizione di queste funzioni.

Risposta. Il primo elemento della coppia è una variabile X. Poiché la specifica della funzione contiene anche i secondi elementi delle coppie: i valori della variabile sì, allora la funzione ha senso solo per quei valori di X che corrispondono ad un certo valore di Y. Prendiamo cioè tutte le X di queste coppie in ordine crescente e otteniamo da esse il dominio di definizione della funzione:

{2, 4, 5, 6, 7} .

La stessa logica funziona se la funzione è data da una formula. Solo i secondi elementi in coppia (cioè i valori della i) si ottengono sostituendo determinati valori x nella formula. Tuttavia, per trovare il dominio di una funzione, non è necessario esaminare tutte le coppie di X e Y.

Esempio 0. Come trovare il dominio di definizione della funzione i è uguale alla radice quadrata di x meno cinque (espressione radicale x meno cinque) ()? Devi solo risolvere la disuguaglianza

X - 5 ≥ 0 ,

poiché per ottenere il valore reale del gioco, l'espressione radicale deve essere maggiore o uguale a zero. Otteniamo la soluzione: il dominio di definizione della funzione sono tutti i valori di x maggiori o uguali a cinque (o x appartiene all'intervallo da cinque compreso a più infinito).

Nel disegno sopra c'è un frammento dell'asse dei numeri. Su di esso è ombreggiata la regione di definizione della funzione considerata, mentre nella direzione “più” il tratteggio prosegue indefinitamente insieme all'asse stesso.

Se usi programmi per computer, che producono una sorta di risposta in base ai dati inseriti, potresti notare che per alcuni valori dei dati inseriti il ​​programma visualizza un messaggio di errore, cioè che con tali dati non è possibile calcolare la risposta. Tale messaggio viene fornito dagli autori del programma se l'espressione per il calcolo della risposta è piuttosto complessa o riguarda un argomento ristretto, oppure viene fornito dagli autori del linguaggio di programmazione se riguarda norme generalmente accettate, ad esempio, che non si può dividere per zero.

Ma in entrambi i casi, la risposta (il valore di qualche espressione) non può essere calcolata perché l'espressione non ha senso per alcuni valori di dati.

Un esempio (non ancora del tutto matematico): se il programma visualizza il nome del mese in base al numero del mese nell'anno, inserendo "15" riceverai un messaggio di errore.

Molto spesso, l'espressione da calcolare è solo una funzione. Pertanto, tali valori di dati non validi non sono inclusi dominio di una funzione . E nei calcoli manuali è altrettanto importante rappresentare il dominio di una funzione. Ad esempio, calcoli un determinato parametro di un determinato prodotto utilizzando una formula che è una funzione. Per alcuni valori dell'argomento di input, non otterrai nulla in output.

Dominio di definizione di una costante

Costante (costante) definita per qualsiasi valore reale X R numeri reali. Ciò si può scrivere anche così: il dominio di definizione di questa funzione è l'intera retta numerica ]- ∞; + ∞[ .

Esempio 1. Trova il dominio di una funzione sì = 2 .

Soluzione. Non è indicato il dominio di definizione della funzione, il che significa che in virtù della definizione di cui sopra si intende il dominio di definizione naturale. Espressione F(X) = 2 definito per qualsiasi valore reale X, quindi, questa funzione è definita sull'intero set R numeri reali.

Pertanto, nel disegno qui sopra, la linea numerica è ombreggiata da meno infinito a più infinito.

Area di definizione della radice N IV grado

Nel caso in cui la funzione è data dalla formula e N- numero naturale:

Esempio 2. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Come segue dalla definizione, una radice di grado pari ha senso se l'espressione radicale è non negativa, cioè se - 1 ≤ X≤ 1. Pertanto, il dominio di definizione di questa funzione è [- 1; 1] .

L'area ombreggiata della linea numerica nel disegno sopra è il dominio di definizione di questa funzione.

Dominio della funzione potenza

Dominio di una funzione di potenza con esponente intero

Se UN- positivo, allora il dominio di definizione della funzione è l'insieme di tutti i numeri reali, cioè ]- ∞; + ∞[ ;

Se UN- negativo, allora il dominio di definizione della funzione è l'insieme ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , cioè l'intera linea numerica tranne lo zero.

Nel disegno corrispondente sopra, l'intera linea numerica è ombreggiata e il punto corrispondente allo zero è fustellato (non è incluso nel dominio di definizione della funzione).

Esempio 3. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Il primo termine è una potenza intera di x uguale a 3, e la potenza di x nel secondo termine può essere rappresentata come uno, anch'esso un numero intero. Di conseguenza, il dominio di definizione di questa funzione è l'intera retta numerica, cioè ]- ∞; + ∞[ .

Dominio di una funzione di potenza con esponente frazionario

Nel caso in cui la funzione sia data dalla formula:

se è positivo, allora il dominio di definizione della funzione è l'insieme 0; + ∞[ .

Esempio 4. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Entrambi i termini nell'espressione della funzione lo sono funzioni di potere con esponenti frazionari positivi. Di conseguenza, il dominio di definizione di questa funzione è l'insieme - ∞; + ∞[ .

Dominio delle funzioni esponenziali e logaritmiche

Dominio della funzione esponenziale

Nel caso in cui una funzione sia data da una formula, il dominio di definizione della funzione è l'intera retta numerica, cioè ] - ∞; + ∞[ .

Dominio della funzione logaritmica

La funzione logaritmica è definita purché il suo argomento sia positivo, cioè il suo dominio di definizione sia l'insieme ]0; + ∞[ .

Trova tu stesso il dominio della funzione e poi guarda la soluzione

Dominio delle funzioni trigonometriche

Dominio delle funzioni sì= cos( X) - anche molti R numeri reali.

Dominio delle funzioni sì= tg( X) - un mucchio di R numeri reali diversi dai numeri .

Dominio delle funzioni sì= ctg( X) - un mucchio di R numeri reali, esclusi i numeri.

Esempio 8. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Funzione esterna - logaritmo decimale e il dominio della sua definizione è soggetto alle condizioni del dominio di definizione della funzione logaritmica in generale. Cioè, la sua argomentazione deve essere positiva. L'argomento qui è il seno di "x". Girando una bussola immaginaria attorno a un cerchio, vediamo che la condizione è il peccato X> 0 viene violato quando “x” è uguale a zero, “pi”, due, moltiplicato per “pi” e generalmente uguale al prodotto di “pi” e qualsiasi numero intero pari o dispari.

Pertanto, il dominio di definizione di questa funzione è dato dall'espressione

,

Dove K- un numero intero.

Dominio di definizione delle funzioni trigonometriche inverse

Dominio delle funzioni sì= arcoseno( X) - imposta [-1; 1] .

Dominio delle funzioni sì= arco( X) - anche l'insieme [-1; 1] .

Dominio delle funzioni sì= arcotan( X) - un mucchio di R numeri reali.

Dominio delle funzioni sì= arcctg( X) - anche molti R numeri reali.

Esempio 9. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Risolviamo la disuguaglianza:

Pertanto, otteniamo il dominio di definizione di questa funzione: il segmento [- 4; 4] .

Esempio 10. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Risolviamo due disuguaglianze:

Soluzione della prima disuguaglianza:

Soluzione della seconda disuguaglianza:

Pertanto, otteniamo il dominio di definizione di questa funzione: il segmento.

Ambito della frazione

Se una funzione è data da un'espressione frazionaria in cui la variabile è al denominatore della frazione, allora il dominio di definizione della funzione è l'insieme R numeri reali, tranne questi X, in cui il denominatore della frazione diventa zero.

Esempio 11. Trova il dominio di una funzione .

Soluzione. Risolvendo l'uguaglianza del denominatore della frazione a zero, troviamo il dominio di definizione di questa funzione - l'insieme ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Come trovare il dominio di una funzione? Gli studenti delle scuole medie spesso devono affrontare questo compito.

I genitori dovrebbero aiutare i loro figli a comprendere questo problema.

Specificare una funzione.

Ricordiamo i termini fondamentali dell'algebra. In matematica, una funzione è la dipendenza di una variabile da un'altra. Possiamo dire che questa è una rigida legge matematica che collega due numeri in un certo modo.

In matematica, quando si analizzano le formule, le variabili numeriche vengono sostituite da simboli alfabetici. I più comunemente usati sono x (“x”) e y (“y”). La variabile x è chiamata argomento e la variabile y è chiamata variabile dipendente o funzione di x.

Esistere vari modi impostazione delle dipendenze variabili.

Li elenchiamo:

1. Tipo analitico.
2. Vista tabellare.
3. Visualizzazione grafica.

Il metodo analitico è rappresentato dalla formula. Diamo un'occhiata agli esempi: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). La formula y=2x+3 è tipica per funzione lineare. Sostituendo il valore numerico dell'argomento nella formula data, otteniamo il valore di y.

Il metodo tabellare è una tabella composta da due colonne. La prima colonna è riservata ai valori X e nella colonna successiva vengono registrati i dati del giocatore.

Il metodo grafico è considerato il più visivo. Un grafico è una visualizzazione dell'insieme di tutti i punti su un piano.

Per costruire un grafico viene utilizzato il sistema di coordinate cartesiane. Il sistema è costituito da due linee perpendicolari. Sugli assi vengono disposti segmenti unitari identici. Il conto alla rovescia è composto da punto centrale intersezione di rette.

La variabile indipendente è indicata su una linea orizzontale. Si chiama asse delle ascisse. La linea verticale (asse y) mostra il valore numerico della variabile dipendente. I punti sono contrassegnati all'intersezione delle perpendicolari a questi assi. Collegando i punti tra loro, otteniamo una linea continua. È la base del programma.

Tipi di dipendenze variabili

Definizione.

IN vista generale la dipendenza è presentata come un'equazione: y=f(x). Dalla formula ne consegue che per ogni valore del numero x c'è un certo numero tu. Il valore del gioco, che corrisponde al numero x, è chiamato valore della funzione.

Tutti i possibili valori che acquisisce la variabile indipendente formano il dominio di definizione della funzione. Di conseguenza, l'intero insieme di numeri della variabile dipendente determina l'intervallo di valori della funzione. Il dominio di definizione sono tutti i valori dell'argomento per i quali f(x) ha senso.

Il compito iniziale nello studio delle leggi matematiche è trovare il dominio di definizione. Questo termine deve essere definito correttamente. Altrimenti tutti i calcoli successivi saranno inutili. Dopotutto, il volume dei valori si forma sulla base degli elementi del primo insieme.

L'ambito di una funzione dipende direttamente dai vincoli. Le limitazioni sono causate dall'impossibilità di eseguire determinate operazioni. Esistono anche limiti all'uso di valori numerici.

In assenza di restrizioni, il dominio di definizione è l'intero spazio numerico. Il segno dell'infinito ha un simbolo a forma di otto orizzontale. L'intero insieme di numeri è scritto in questo modo: (-∞; ∞).

In alcuni casi, il set di dati è costituito da diversi sottoinsiemi. La portata degli intervalli o spazi numerici dipende dal tipo di legge di modifica dei parametri.

Ecco un elenco dei fattori che influenzano le restrizioni:

• proporzionalità inversa;
• radice aritmetica;
• esponenziazione;
• dipendenza logaritmica;
• forme trigonometriche.

Se esistono diversi elementi di questo tipo, la ricerca delle restrizioni viene divisa per ciascuno di essi. Il problema più grande è l'identificazione punti critici e intervalli. La soluzione al problema sarà unire tutti i sottoinsiemi numerici.

Insieme e sottoinsieme di numeri

A proposito di set.

Il dominio di definizione è espresso come D(f), e il segno di unione è rappresentato dal simbolo ∪. Tutti gli intervalli numerici sono racchiusi tra parentesi. Se il confine del sito non è incluso nel set, viene posizionata una staffa semicircolare. Altrimenti, quando un numero è incluso in un sottoinsieme, vengono utilizzate le parentesi quadre.

La proporzionalità inversa è espressa dalla formula y=k/x. Il grafico della funzione è una linea curva composta da due rami. Viene comunemente chiamata iperbole.

Poiché la funzione è espressa come frazione, trovare il dominio di definizione si riduce all'analisi del denominatore. È noto che in matematica la divisione per zero è vietata. Per risolvere il problema bisogna uguagliare il denominatore a zero e trovare le radici.

Ecco un esempio:

Dato: y=1/(x+4). Trova il dominio di definizione.

1. Uguagliamo il denominatore a zero.
   x+4=0
2. Trovare la radice dell'equazione.
   x=-4
3. Definiamo l'insieme di tutti i possibili valori dell'argomento.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Risposta: Il dominio della funzione è costituito da tutti i numeri reali tranne -4.

Il significato del numero sotto il segno radice quadrata non può essere negativo. In questo caso, definire una funzione con una radice si riduce a risolvere una disuguaglianza. L'espressione radicale deve essere maggiore di zero.

L'area di determinazione della radice è correlata alla parità dell'indicatore della radice. Se l'indicatore è divisibile per 2, l'espressione ha senso solo se è positiva. Un numero dispari dell'indicatore indica l'ammissibilità di qualsiasi valore dell'espressione radicale: sia positivo che negativo.

Le disuguaglianze si risolvono allo stesso modo delle equazioni. C'è solo una differenza. Dopo aver moltiplicato entrambi i membri della disuguaglianza per un numero negativo il segno dovrebbe essere invertito.

Se la radice quadrata è al denominatore, è necessario imporre una condizione aggiuntiva. Il valore numerico non deve essere zero. La disuguaglianza entra nella categoria delle disuguaglianze rigorose.

Funzioni logaritmiche e trigonometriche

La forma logaritmica ha senso per i numeri positivi. Pertanto, il dominio della funzione logaritmica è simile alla funzione radice quadrata, ad eccezione dello zero.

Consideriamo un esempio di dipendenza logaritmica: y=log(2x-6). Trova il dominio di definizione.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Risposta: (3; +∞).

Il dominio di definizione di y=sen x e y=cos x è l'insieme di tutti i numeri reali. Esistono restrizioni per tangente e cotangente. Sono associati alla divisione per il coseno o il seno di un angolo.

La tangente di un angolo è determinata dal rapporto tra seno e coseno. Indichiamo i valori dell'angolo in cui il valore della tangente non esiste. La funzione y=tg x ha senso per tutti i valori dell'argomento tranne x=π/2+πn, n∈Z.

Il dominio di definizione della funzione y=ctg x è l'intero insieme dei numeri reali, escluso x=πn, n∈Z. Se l'argomento è uguale al numero π o ad un multiplo di π, il seno dell'angolo è zero. In questi punti (asintoti) la cotangente non può esistere.

I primi compiti per identificare l'ambito di definizione iniziano nelle lezioni del 7° anno. Quando viene introdotto per la prima volta a questa sezione di algebra, lo studente dovrebbe comprendere chiaramente l'argomento.

Va notato che questo termine accompagnerà lo scolaro, e poi lo studente, durante l'intero periodo di studio.

\(\frac(x)(x-1)\) il valore della variabile sarà uguale a 1, la regola è violata: Non puoi dividere per zero. Pertanto qui \(x\) non può essere un'unità e l'ODZ si scrive come segue: \(x\neq1\);

Se nell'espressione \(\sqrt(x-2)\) il valore della variabile è \(0\), la regola è violata: l'espressione radicale non deve essere negativa. Ciò significa che qui \(x\) non può essere \(0\), così come \(1, -3, -52.7\), ecc. Cioè, x deve essere maggiore o uguale a 2 e l'ODZ sarà: \(x\geq2\);

Ma nell'espressione \(4x+1\) possiamo sostituire qualsiasi numero invece di X, e nessuna regola verrà infranta. Pertanto, l'intervallo di valori accettabili qui è l'intero asse numerico. In questi casi, la DZ non viene registrata, perché non contiene informazioni utili.

Puoi trovare tutte le regole da seguire.

ODZ nelle equazioni

È importante ricordare l'intervallo di valori accettabili al momento della decisione e, perché Lì stiamo solo cercando i valori delle variabili e possiamo trovare accidentalmente quelli che violano le regole della matematica.

Per comprendere l'importanza dell'ODZ confrontiamo due soluzioni dell'equazione: con ODZ e senza ODZ.

Esempio: Risolvi l'equazione
Soluzione :

Senza ODZ:		Con ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - non si qualifica per ODZ
Risposta : \(4; -3\)		Risposta : \(4\)

Vedi la differenza? Nella prima soluzione, nella nostra risposta c'era un extra ! errato! Perché sbagliato? Proviamo a sostituirlo nell'equazione originale.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Vedi, abbiamo ottenuto espressioni incalcolabili e prive di significato sia a sinistra che a destra (dopo tutto, non puoi dividere per zero). E il fatto che siano la stessa cosa non gioca più alcun ruolo, poiché questi valori non esistono. Pertanto, "\(-3\)" è una radice inappropriata ed estranea e l'intervallo di valori accettabili ci protegge da errori così gravi.

Ecco perché otterrai una D per la prima soluzione e una A per la seconda. E queste non sono cavilli noiosi dell'insegnante, perché la mancata presa in considerazione dell'ODS non è una sciocchezza, ma un errore ben preciso, come la perdita del segno o l'applicazione sbagliata della formula. Dopotutto, la risposta finale è sbagliata!

Trovare l'intervallo di valori accettabili spesso porta alla necessità di risolvere o equazioni, quindi devi essere in grado di farlo bene.

Esempio : Trova il dominio dell'espressione \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Soluzione : Ci sono due radici nell'espressione, una delle quali è al denominatore. Chi non ricorda le restrizioni imposte in questo caso è... Chiunque ricordi, scrive che l'espressione sotto la prima radice è maggiore o uguale a zero e sotto la seconda radice è maggiore di zero. Capisci perché le restrizioni sono così come sono?

Risposta : \((-2;2,5]\)