Esistono tre regole fondamentali per trovare le funzioni antiderivative. Sono molto simili alle corrispondenti regole di differenziazione.

Regola 1

Se F è un'antiderivativa per qualche funzione f, e G è un'antiderivativa per qualche funzione g, allora F + G sarà un'antiderivativa per f + g.

Per definizione di antiderivativa, F’ = f. G' = g. E poiché queste condizioni sono soddisfatte, secondo la regola per il calcolo della derivata per la somma delle funzioni avremo:

(Fa + Sol)’ = Fa’ + Sol’ = fa + sol.

Regola 2

Se F è una primitiva per qualche funzione f e k è una costante. Allora k*F è l'antiderivativa della funzione k*f. Questa regola deriva dalla regola per il calcolo della derivata di una funzione complessa.

Abbiamo: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Regola 3

Se F(x) è una qualche primitiva della funzione f(x), e k e b sono delle costanti, e k non è uguale a zero, allora (1/k)*F*(k*x+b) sarà un'antiderivativa per la funzione f (k*x+b).

Questa regola segue dalla regola per il calcolo della derivata di una funzione complessa:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di come si applicano queste regole:

Esempio 1. Trovare forma generale antiderivative per la funzione f(x) = x^3 +1/x^2. Per la funzione x^3 una delle antiderivative sarà la funzione (x^4)/4, e per la funzione 1/x^2 una delle antiderivative sarà la funzione -1/x. Usando la prima regola abbiamo:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Esempio 2. Troviamo la forma generale delle antiderivative per la funzione f(x) = 5*cos(x). Per la funzione cos(x), una delle antiderivative sarà la funzione sin(x). Se ora utilizziamo la seconda regola, avremo:

F(x) = 5*peccato(x).

Esempio 3. Trova una delle antiderivative per la funzione y = sin(3*x-2). Per la funzione sin(x) una delle antiderivative sarà la funzione -cos(x). Se ora usiamo la terza regola, otteniamo un'espressione per l'antiderivativa:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Esempio 4. Trova l'antiderivativa per la funzione f(x) = 1/(7-3*x)^5

L'antiderivativa per la funzione 1/x^5 sarà la funzione (-1/(4*x^4)). Ora, utilizzando la terza regola, otteniamo.

Abbiamo visto che la derivata ha numerosi usi: la derivata è la velocità del movimento (o, più in generale, la velocità di un qualunque processo); il derivato è pendenza tangente al grafico di una funzione; utilizzando la derivata si può esaminare una funzione per la monotonicità e gli estremi; la derivata aiuta a risolvere problemi di ottimizzazione.

Ma in vita reale Si devono risolvere anche problemi inversi: ad esempio, oltre al problema di trovare la velocità secondo una legge del moto nota, si pone anche il problema di ripristinare la legge del moto secondo una velocità nota. Consideriamo uno di questi problemi.

Esempio 1. Si muove in linea retta punto materiale, la velocità del suo movimento al tempo t è data dalla formula u = tg. Trova la legge del moto.

Soluzione. Sia s = s(t) la legge del moto desiderata. È noto che s"(t) = u"(t). Ciò significa che per risolvere il problema è necessario scegliere funzione s = s(t), la cui derivata è uguale a tg. Non è difficile indovinarlo

Notiamo subito che l'esempio è risolto correttamente, ma in modo incompleto. Abbiamo scoperto che, in effetti, il problema ha infinite soluzioni: qualsiasi funzione della forma una costante arbitraria può servire come legge del movimento, poiché

Per rendere il compito più specifico, dovevamo fissare la situazione iniziale: indicare le coordinate di un punto in movimento in un determinato momento, ad esempio t=0. Se, ad esempio, s(0) = s 0, allora dall'uguaglianza otteniamo s(0) = 0 + C, cioè S 0 = C. Ora la legge del moto è definita univocamente:
In matematica, alle operazioni reciprocamente inverse vengono dati nomi diversi e vengono inventate notazioni speciali: ad esempio, quadratura (x 2) ed estrazione radice quadrata seno(sinх) e arcoseno(arcoseno x), ecc. Il processo per trovare la derivata rispetto a data funzione si chiama differenziazione e l'operazione inversa, cioè il processo per trovare una funzione da una data derivata - integrazione.
Il termine stesso “derivato” può essere giustificato “nella vita di tutti i giorni”: la funzione y - f(x) “partorisce” una nuova funzione y"= f"(x). La funzione y = f(x) agisce come un “genitore”, ma i matematici, naturalmente, non lo chiamano “genitore” o “produttore”; dicono che questo, in relazione alla funzione y"=f"(x), è l'immagine primaria, o, in insomma, l'antiderivativa.

Definizione 1. La funzione y = F(x) si dice antiderivativa della funzione y = f(x) su un dato intervallo X se per tutti gli x da X vale l'uguaglianza F"(x)=f(x).

In pratica, l'intervallo X solitamente non è specificato, ma è implicito (come dominio naturale di definizione della funzione).

Ecco alcuni esempi:

1) La funzione y = x 2 è antiderivativa per la funzione y = 2x, poiché per ogni x è vera l'uguaglianza (x 2)" = 2x.
2) la funzione y - x 3 è antiderivativa per la funzione y-3x 2, poiché per ogni x è vera l'uguaglianza (x 3)" = 3x 2.
3) La funzione y-sinх è antiderivativa per la funzione y = cosx, poiché per ogni x vale l'uguaglianza (sinx)" = cosx.
4) La funzione è antiderivativa per una funzione sull'intervallo poiché per ogni x > 0 l'uguaglianza è vera
In generale, conoscendo le formule per trovare i derivati, non è difficile compilare una tabella di formule per trovare gli antiderivativi.

Speriamo che tu capisca come è compilata questa tabella: la derivata della funzione, che è scritta nella seconda colonna, è uguale alla funzione che è scritta nella riga corrispondente della prima colonna (controllala, non essere pigro, è molto utile). Ad esempio, per la funzione y = x 5 l'antiderivativa, come stabilirete, è la funzione (vedi la quarta riga della tabella).

Appunti: 1. Di seguito dimostreremo il teorema che se y = F(x) è un'antiderivativa per la funzione y = f(x), allora la funzione y = f(x) ha infinite antiderivative e tutte hanno la forma y = F(x ) + C. Sarebbe quindi più corretto aggiungere il termine C ovunque nella seconda colonna della tabella, dove C è un numero reale arbitrario.
2. Per brevità, a volte invece della frase “la funzione y = F(x) è un'antiderivativa della funzione y = f(x)”, si dice che F(x) è un'antiderivativa di f(x) .”

2. Regole per la ricerca degli antiderivativi

Quando si trovano gli antiderivativi, così come quando si trovano i derivati, non vengono utilizzate solo le formule (sono elencate nella tabella a pagina 196), ma anche alcune regole. Sono direttamente correlati alle corrispondenti regole per il calcolo dei derivati.

Sappiamo che la derivata di una somma è uguale alla somma delle sue derivate. Questa regola genera la regola corrispondente per la ricerca degli antiderivativi.

Regola 1. L'antiderivativa di una somma è uguale alla somma delle antiderivative.

Attiriamo la vostra attenzione sulla “leggerezza” di questa formulazione. Bisognerebbe infatti formulare il teorema: se le funzioni y = f(x) e y = g(x) hanno antiderivative sull'intervallo X, rispettivamente y-F(x) e y-G(x), allora la somma delle funzioni y = f(x)+g(x) ha un'antiderivativa sull'intervallo X, e questa antiderivativa è la funzione y = F(x)+G(x). Ma di solito, quando si formulano regole (non teoremi), vengono lasciate solo le parole chiave: questo è più conveniente per applicare le regole nella pratica

Esempio 2. Trova l'antiderivativa per la funzione y = 2x + cos x.

Soluzione. L'antiderivativa di 2x è x"; l'antiderivativa di cox è sin x. Ciò significa che l'antiderivativa della funzione y = 2x + cos x sarà la funzione y = x 2 + sin x (e in generale qualsiasi funzione della forma Y = x 1 + sinx + C) .
Sappiamo che il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata. Questa regola genera la regola corrispondente per la ricerca degli antiderivativi.

Regola 2. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'antiderivativa.

Esempio 3.

Soluzione. a) La primitiva di sin x è -soz x; Ciò significa che per la funzione y = 5 sin x la funzione antiderivativa sarà la funzione y = -5 cos x.

b) La primitiva di cos x è sin x; Ciò significa che l'antiderivativa di una funzione è la funzione
c) L'antiderivativa per x 3 è l'antiderivativa per x, l'antiderivativa per la funzione y = 1 è la funzione y = x. Utilizzando la prima e la seconda regola per trovare le antiderivative, troviamo che l'antiderivativa per la funzione y = 12x 3 + 8x-1 è la funzione
Commento. Come è noto, la derivata di un prodotto non è uguale al prodotto dei derivati ​​(la regola per differenziare un prodotto è più complessa) e la derivata di un quoziente non è uguale al quoziente dei derivati. Pertanto non esistono regole per trovare l'antiderivativa del prodotto o l'antiderivativa del quoziente di due funzioni. Stai attento!
Otteniamo un'altra regola per trovare le antiderivative. Sappiamo che la derivata della funzione y = f(kx+m) si calcola con la formula

Questa regola genera la regola corrispondente per la ricerca degli antiderivativi.
Regola 3. Se y = F(x) è un'antiderivativa per la funzione y = f(x), allora l'antiderivativa per la funzione y=f(kx+m) è la funzione

Infatti,

Ciò significa che è un'antiderivativa per la funzione y = f(kx+m).
Il significato della terza regola è il seguente. Se sai che l'antiderivativa della funzione y = f(x) è la funzione y = F(x), e devi trovare l'antiderivativa della funzione y = f(kx+m), procedi in questo modo: prendi la stessa funzione F, ma al posto dell'argomento x, sostituisci l'espressione kx+m; inoltre, non dimenticare di scrivere “fattore di correzione” prima del segno della funzione
Esempio 4. Trova le antiderivative per determinate funzioni:

Soluzione, a) L'antiderivativo per sin x è -soz x; Ciò significa che per la funzione y = sin2x l'antiderivativa sarà la funzione
b) La primitiva di cos x è sin x; Ciò significa che l'antiderivativa di una funzione è la funzione

c) L'antiderivativa per x 7 significa che per la funzione y = (4-5x) 7 l'antiderivativa sarà la funzione

3. Integrale indefinito

Abbiamo già notato sopra che il problema di trovare una primitiva per una data funzione y = f(x) ha più di una soluzione. Discutiamo questo problema in modo più dettagliato.

Prova. 1. Sia y = F(x) la primitiva della funzione y = f(x) sull'intervallo X. Ciò significa che per ogni x da X vale l'uguaglianza x"(x) = f(x). trova la derivata di qualsiasi funzione della forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Quindi, (F(x)+C) = f(x). Ciò significa che y = F(x) + C è una antiderivativa per la funzione y = f(x).
Pertanto, abbiamo dimostrato che se la funzione y = f(x) ha un'antiderivativa y=F(x), allora la funzione (f = f(x) ha infinite antiderivative, ad esempio, qualsiasi funzione della forma y = F(x) +C è un antiderivativo.
2. Dimostriamo ora che il tipo di funzioni indicato esaurisce l'intero insieme delle antiderivative.

Siano y=F 1 (x) e y=F(x) due antiderivative della funzione Y = f(x) sull'intervallo X. Ciò significa che per tutti gli x dell'intervallo X valgono le seguenti relazioni: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).

Consideriamo la funzione y = F 1 (x) -.F(x) e troviamo la sua derivata: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
È noto che se la derivata di una funzione su un intervallo X è identicamente uguale a zero, allora la funzione è costante sull'intervallo X (vedi Teorema 3 del § 35). Ciò significa che F 1 (x) - F (x) = C, cioè Fx) = F(x)+C.

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 5. La legge della variazione della velocità nel tempo è data: v = -5sin2t. Trovare la legge del moto s = s(t), se è noto che al tempo t=0 la coordinata del punto era pari al numero 1,5 (cioè s(t) = 1,5).

Soluzione. Poiché la velocità è una derivata della coordinata in funzione del tempo, dobbiamo prima trovare l'antiderivativa della velocità, cioè antiderivativa per la funzione v = -5sin2t. Uno di questi antiderivativi è la funzione , e l'insieme di tutti gli antiderivativi ha la forma:

Per trovare il valore specifico della costante C, utilizziamo le condizioni iniziali, secondo le quali s(0) = 1,5. Sostituendo i valori t=0, S=1,5 nella formula (1), otteniamo:

Sostituendo il valore trovato di C nella formula (1), otteniamo la legge del moto che ci interessa:

Definizione 2. Se una funzione y = f(x) ha un'antiderivativa y = F(x) su un intervallo X, allora l'insieme di tutte le antiderivative, cioè l'insieme delle funzioni della forma y = F(x) + C è detto integrale indefinito della funzione y = f(x) ed è denotato da:

(Leggere: " integrale indefinito ef da x de x").
Nel prossimo paragrafo scopriremo qual è il significato nascosto di questa designazione.
Sulla base della tabella delle derivate disponibile in questa sezione, compileremo una tabella dei principali integrali indefiniti:

Sulla base delle tre regole precedenti per trovare gli antiderivativi, possiamo formulare le corrispondenti regole di integrazione.

Regola 1. Integrale della somma di funzioni pari alla somma integrali di queste funzioni:

Regola 2. Il fattore costante può essere tolto dal segno integrale:

Regola 3. Se

Esempio 6. Trova gli integrali indefiniti:

Soluzione, a) Utilizzando la prima e la seconda regola di integrazione, otteniamo:

Usiamo ora la 3a e la 4a formula di integrazione:

Di conseguenza otteniamo:

b) Utilizzando la terza regola di integrazione e la formula 8, otteniamo:

c) Per trovare direttamente un dato integrale, non abbiamo né la formula corrispondente né la regola corrispondente. In questi casi, a volte aiutano le trasformazioni identiche eseguite in precedenza dell'espressione contenuta sotto il segno integrale.

Approfittiamo formula trigonometrica Riduzione di laurea:

Quindi troviamo in sequenza:

A.G. Mordkovich Algebra 10a elementare

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Qualche intervallo X. Se Per qualsiasi xХ F"(x) = f(x), allora funzione F chiamatoantiderivativoPerfunzioni f sull'intervallo X. AntiderivativoPerfunzioni puoi provare a trovare...

Antiderivativa per funzione

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... . Funzione F(x) chiamatoantiderivativoPerfunzioni f(x) sull'intervallo (a;b), se Per per ogni x(a;b) vale l’uguaglianza F(x) = f(x). Per esempio, Perfunzioni x2 antiderivativo Volere funzione x3...

Guida allo studio sui fondamenti del calcolo integrale

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...; 5. Trova l'integrale. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funzionechiamatoantiderivativo A funzioni su un set se: Per tutti; ad un certo punto; Per tutti; ad un certo... intervallo. Definizione 1. FunzionechiamatoantiderivativoPerfunzioni su molti...

Antiderivativa Integrale indefinito

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Integrazione. Antiderivativo. Continuo funzione F(x) chiamatoantiderivativoPerfunzioni f (x) sull'intervallo X se Per ogni F’ (x) = f (x). ESEMPIO Funzione F(x) = x 3 è antiderivativoPerfunzioni f(x) = 3x...

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Linee guida

Domande Per autotest Definire antiderivativofunzioni. Specificare significato geometrico totalità primitivofunzioni. Che cosa chiamato incerto...

Integrale indefinito

Il compito principale del calcolo differenziale era calcolare la derivata o il differenziale di una data funzione. Il calcolo integrale, allo studio del quale stiamo procedendo, risolve il problema inverso, cioè trovare la funzione stessa dalla sua derivata o differenziale. Cioè, avere dF(x)= f(x)d (7.1) o F′(x)= f(x),

Dove f(x)- funzione nota, è necessario trovare la funzione F(x).

Definizione:Viene chiamata la funzione F(x). antiderivativo funzione f(x) sul segmento se l'uguaglianza vale in tutti i punti di questo segmento: F′(x) = f(x) O dF(x)= f(x)d.

Per esempio, una delle funzioni antiderivative per la funzione f(x)=3x2 Volere F(x)= x 3, Perché ( x3)′=3x2. Ma un prototipo per la funzione f(x)=3x2 ci saranno anche le funzioni e , poiché .

Quindi questa funzione f(x)=3x2 ha un numero infinito di primitive, ciascuna delle quali differisce solo per un termine costante. Mostriamo che questo risultato vale anche nel caso generale.

Teorema Due diverse antiderivative della stessa funzione definita in un certo intervallo differiscono tra loro su questo intervallo per un termine costante.

Prova

Lasciamo la funzione f(x) definito nell'intervallo (a¸b) E F1 (x) E F2(x) - antiderivativi, cioè F 1 ′(x)= f(x) e F 2 ′(x)= f(x).

Poi F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ FA 1 (x) - FA 2 (x) = DO

Da qui, F2(x) = F1(x) + C

Dove CON - costante (qui viene utilizzato un corollario del teorema di Lagrange).

Il teorema è quindi dimostrato.

Illustrazione geometrica. Se A = F1 (x) E A = F2(x) – antiderivative della stessa funzione f(x), quindi la tangente ai loro grafici nei punti con un'ascissa comune X paralleli tra loro (Fig. 7.1).

In questo caso, la distanza tra queste curve lungo l'asse UO rimane costante Fa 2 (x) - Fa 1 (x) = C , cioè, queste curve dentro una certa comprensione"paralleli" tra loro.

Conseguenza .

Aggiunta di qualche antiderivativo F(x) per questa funzione f(x), definito sull'intervallo X, tutte le possibili costanti CON, otteniamo tutte le possibili antiderivative per la funzione f(x).

Quindi l'espressione F(x)+C , dove e F(x) – qualche antiderivativa di una funzione f(x) include tutti i possibili antiderivativi per f(x).

Esempio 1. Controlla se le funzioni lo sono antiderivative della funzione

Soluzione:

Risposta: antiderivative per una funzione ci saranno delle funzioni E

Definizione: Se la funzione F(x) è una qualche antiderivativa della funzione f(x), allora l'insieme di tutte le antiderivative F(x)+ C è chiamato integrale indefinito di f(x) e denotiamo:

∫f(х)dх.

A priori:

f(x) - funzione integranda,

f(х)dх - espressione integrando

Ne consegue che l'integrale indefinito è una funzione di forma generale, il cui differenziale è uguale all'integrando, e la cui derivata rispetto alla variabile Xè uguale all'integrando in tutti i punti.

Dal punto di vista geometrico un integrale indefinito è una famiglia di curve, ciascuna delle quali si ottiene spostando verso l'alto o verso il basso, cioè lungo l'asse, una delle curve parallele a sé stesse UO(Fig. 7.2).

Viene chiamata l'operazione di calcolo dell'integrale indefinito di una determinata funzione integrazione questa funzione.

Si noti che se la derivata di funzione elementareè sempre una funzione elementare, allora l'antiderivativa di una funzione elementare non può essere rappresentata da un numero finito di funzioni elementari.

Consideriamo ora proprietà dell'integrale indefinito.

Dalla Definizione 2 segue:

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando, cioè se F′(x) = f(x) , Quello

2. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando

. (7.4)

Dalla definizione di differenziale e proprietà (7.3)

3. L'integrale indefinito del differenziale di qualche funzione è uguale a questa funzione fino a un termine costante, cioè (7.5)

Consideriamo il movimento di un punto lungo una linea retta. Lascia che ci voglia tempo T dall'inizio del movimento il punto ha percorso una distanza s(t). Poi la velocità istantanea v(t) uguale alla derivata della funzione s(t), questo è v(t) = s"(t).

In pratica avviene problema inverso: ad una data velocità di movimento del punto v(t) trovare la strada che ha preso s(t), cioè, trova una tale funzione s(t), la cui derivata è uguale a v(t). Funzione s(t), tale che s"(t) = v(t), è detta antiderivativa della funzione v(t).

Ad esempio, se v(t) = at, Dove UNè un dato numero, quindi la funzione
s(t) = (àt 2) / 2v(t), Perché
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Funzione F(x) chiamata antiderivativa della funzione f(x) in qualche intervallo, se non altro X da questo divario F"(x) = f(x).

Ad esempio, la funzione F(x) = peccato xè l'antiderivativa della funzione f(x) = cosx, Perché (peccato x)" = cos x; funzione F(x) = x4/4è l'antiderivativa della funzione f(x) = x3, Perché (x4/4)" = x3.

Consideriamo il problema.

Compito.

Dimostrare che le funzioni x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 sono antiderivative della stessa funzione f(x) = x 2.

Soluzione.

1) Indichiamo F 1 (x) = x 3 /3, quindi F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) FA 2 (x) = x 3 /3 + 1, FA" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) FA 3 (x) = x 3 /3 – 4, FA" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

In generale, qualsiasi funzione x 3 /3 + C, dove C è una costante, è una antiderivativa della funzione x 2. Ciò deriva dal fatto che la derivata della costante è zero. Questo esempio mostra che per una data funzione la sua antiderivativa è determinata in modo ambiguo.

Siano F 1 (x) e F 2 (x) due antiderivative della stessa funzione f(x).

Allora F 1 "(x) = f(x) e F" 2 (x) = f(x).

La derivata della loro differenza g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) è uguale a zero, poiché g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f(x) = 0.

Se g"(x) = 0 su un certo intervallo, allora la tangente al grafico della funzione y = g(x) in ogni punto di questo intervallo è parallela all'asse Ox. Pertanto, il grafico della funzione y = g(x) è una retta parallela all'asse del bue, cioè g(x) = C, dove C è una costante. Dalle uguaglianze g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ne consegue che F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Quindi, se la funzione F(x) è un'antiderivativa della funzione f(x) su un certo intervallo, allora tutte le antiderivative della funzione f(x) sono scritte nella forma F(x) + C, dove C è un costante arbitraria.

Consideriamo i grafici di tutte le antiderivative di una data funzione f(x). Se F(x) è una delle antiderivative della funzione f(x), allora qualsiasi antiderivativa di questa funzione si ottiene aggiungendo a F(x) una costante: F(x) + C. Grafici di funzioni y = F( x) + C si ottengono dal grafico y = F(x) per spostamento lungo l'asse Oy. Scegliendo C, puoi assicurarti che il grafico dell'antiderivativa passi per un dato punto.

Prestiamo attenzione alle regole per trovare gli antiderivativi.

Ricordiamo che viene chiamata l'operazione di ricerca della derivata per una determinata funzione differenziazione. Si chiama l'operazione inversa per trovare l'antiderivativa per una data funzione integrazione(dalla parola latina "ristabilire").

Tabella degli antiderivativi per alcune funzioni può essere compilato utilizzando una tabella delle derivate. Ad esempio, sapendolo (cos x)" = -sen x, noi abbiamo (-cos x)" = peccato x, da cui segue che tutte le funzioni antiderivative peccato x sono scritti nel modulo -cosx + C, Dove CON- costante.

Diamo un'occhiata ad alcuni dei significati degli antiderivativi.

1) Funzione: x p, p ≠ -1. Antiderivativo: (xp+1) / (p+1) + C.

2) Funzione: 1/x, x > 0. Antiderivativo: ln x + C.

3) Funzione: x p, p ≠ -1. Antiderivativo: (xp+1) / (p+1) + C.

4) Funzione: es. Antiderivativo: e x + C.

5) Funzione: peccato x. Antiderivativo: -cosx + C.

6) Funzione: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivativo: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funzione: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivativo: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funzione: ekx + b, k ≠ 0. Antiderivativo: (1/k) ekx + b + C.

9) Funzione: peccato (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativo: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funzione: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativo: (1/k) peccato (kx + b).

Regole di integrazione può essere ottenuto utilizzando regole di differenziazione. Diamo un'occhiata ad alcune regole.

Permettere F(x) E G(x)– antiderivative delle funzioni corrispondenti f(x) E g(x) ad un certo intervallo. Poi:

1) funzione F(x) ± G(x)è l'antiderivativa della funzione f(x)±g(x);

2) funzione F(x)è l'antiderivativa della funzione af(x).

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