Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0.
Applichiamo al trinomio quadratico ax 2 + bx + c le stesse trasformazioni che abbiamo eseguito nel § 13, quando abbiamo dimostrato il teorema che il grafico della funzione y = ax 2 + bx + c è una parabola.
Abbiamo

Di solito l'espressione b 2 - 4ac è denotata dalla lettera D ed è chiamata discriminante equazione quadrata ax 2 + bx + c = 0 (o il discriminante del trinomio quadratico ax + bx + c).

Così

Ciò significa che l'equazione quadratica ax 2 + them + c = O può essere riscritta nella forma

Qualsiasi equazione quadratica può essere trasformata nella forma (1), il che è conveniente, come vedremo ora, per determinare il numero di radici di un'equazione quadratica e trovare queste radici.

Prova. Se d< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Esempio 1. Risolvi l'equazione 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Soluzione. Qui a = 2, b = 4, c = 7,
D = b2 -4ac = 42 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Dal momento che il d< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Prova. Se D = 0, l'equazione (1) assume la forma

è l'unica radice dell'equazione.

Nota 1. Ti ricordi che x = - è l'ascissa del vertice della parabola, che funge da grafico della funzione y = ax 2 + them + c? Perchè questo
valore si è rivelato essere l'unica radice dell'equazione quadratica ax 2 + them + c - 0? Lo “scrigno” si apre semplicemente: se D è 0, allora, come abbiamo stabilito prima,

Grafico della stessa funzione è una parabola con un vertice in un punto (vedi, ad esempio, Fig. 98). Ciò significa che l'ascissa del vertice della parabola e l'unica radice dell'equazione quadratica per D = 0 sono lo stesso numero.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Soluzione. Qui a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Poiché D = 0, per il Teorema 2 questa equazione quadratica ha una radice. Questa radice si trova dalla formula

Risposta: 2.5.

Nota 2. Nota che 4x 2 - 20x +25 è un quadrato perfetto: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Se lo avessimo notato subito, avremmo risolto l'equazione in questo modo: (2x - 5) 2 = 0, che significa 2x - 5 = 0, da cui otteniamo x = 2,5. In generale, se D = 0, allora

ax 2 + bx + c = - lo abbiamo notato in precedenza nell'Osservazione 1.
Se D > 0, allora l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 ha due radici, che si trovano dalle formule

Prova. Riscriviamo l'equazione quadratica ax 2 + b x + c = 0 nella forma (1)

Mettiamo
Per condizione, D > 0, il che significa che il lato destro dell'equazione è un numero positivo. Quindi dall'equazione (2) otteniamo questo

Quindi, l'equazione quadratica data ha due radici:

Nota 3. In matematica accade raramente che il termine introdotto non abbia, in senso figurato, uno sfondo quotidiano. Prendiamo qualcosa di nuovo
concetto - discriminante. Ricordatevi la parola “discriminazione”. Cosa significa? Significa l'umiliazione di alcuni e l'elevazione di altri, ad es. atteggiamento diverso
zione a varie persone. Entrambe le parole (discriminante e discriminazione) derivano dal latino discriminans - "discriminante". Il discriminante distingue le equazioni quadratiche in base al numero di radici.

Esempio 3. Risolvi l'equazione 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Soluzione. Qui a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Poiché D > 0, allora per il Teorema 3 questa equazione quadratica ha due radici. Queste radici si trovano secondo le formule (3)

Infatti abbiamo sviluppato la seguente regola:

Regola per risolvere l'equazione
ax2 + bx + c = 0

Questa regola è universale; si applica sia alle equazioni quadratiche complete che a quelle incomplete. Tuttavia, le equazioni quadratiche incomplete solitamente non vengono risolte utilizzando questa regola; è più conveniente risolverle come abbiamo fatto nel paragrafo precedente.

Esempio 4. Risolvi le equazioni:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Soluzione a) Qui a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b2 - 4ac = Z2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Poiché D > 0, questa equazione quadratica ha due radici. Troviamo queste radici usando le formule (3)

B) Come dimostra l'esperienza, è più conveniente trattare equazioni quadratiche in cui il coefficiente principale è positivo. Pertanto, prima moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per -1, otteniamo

9x2 - 6x + 1 = 0.
Qui a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Poiché D = 0, questa equazione quadratica ha una radice. Questa radice si trova con la formula x = -. Significa,

Questa equazione potrebbe essere risolta diversamente: da allora
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, quindi otteniamo l'equazione (Зх - I) 2 = 0, da cui troviamo Зх - 1 = 0, cioè x = .

c) Qui a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Poiché D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

I matematici sono persone pratiche ed economiche. Perché, dicono, usa una regola così lunga per risolvere un'equazione quadratica, è meglio scrivere immediatamente una formula generale:

Se risulta che il discriminante D = b 2 - 4ac è un numero negativo, allora la formula scritta non ha senso (sotto il segno radice quadrataè un numero negativo), il che significa che non ci sono radici. Se risulta che il discriminante è uguale a zero, allora otteniamo

Cioè, una radice (dicono anche che l'equazione quadratica in questo caso ha due radici identiche:

Infine, se risulta che b 2 - 4ac > 0, allora otteniamo due radici x 1 e x 2, che si calcolano utilizzando le stesse formule (3) indicate sopra.

Il numero stesso in questo caso è positivo (come qualsiasi radice quadrata di un numero positivo) e il doppio segno davanti ad esso significa che in un caso (quando si trova x 1) questo numero positivo viene aggiunto al numero - b, e in un altro caso (quando si trova x 2) questo è un numero positivo
leggi dal numero - b.

Hai libertà di scelta. Vuoi risolvere in dettaglio l'equazione quadratica utilizzando la regola formulata sopra; Se vuoi, trascrivi subito la formula (4) e usala per trarre le dovute conclusioni.

Esempio 5. Risolvi le equazioni:

Soluzione, a) Naturalmente è possibile utilizzare le formule (4) o (3), tenendo conto di ciò in questo caso Ma perché fare cose con le frazioni quando è più facile e, soprattutto, più divertente avere a che fare con i numeri interi? Eliminiamo i denominatori. Per fare ciò, devi moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per 12, cioè per il minimo comune denominatore delle frazioni che fungono da coefficienti dell'equazione. Noi abbiamo

da cui 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Ora usiamo la formula (4)

B) Abbiamo ancora una equazione a coefficienti frazionari: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per 100, quindi otteniamo un'equazione con coefficienti interi:
300x2 - 20x + 277 = 0.
Successivamente, utilizziamo la formula (4):

Un semplice calcolo mostra che il discriminante (espressione radicale) è un numero negativo. Ciò significa che l'equazione non ha radici.

Esempio 6. Risolvi l'equazione
Soluzione. Qui, a differenza dell'esempio precedente, è preferibile agire secondo la regola piuttosto che secondo la formula abbreviata (4).

Abbiamo a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Poiché D > 0, l'equazione quadratica ha due radici, che cercheremo utilizzando le formule (3)

Esempio 7. Risolvi l'equazione
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Soluzione. Questa equazione quadratica differisce da tutte le equazioni quadratiche considerate finora in quanto i coefficienti non sono numeri specifici, ma espressioni letterali. Tali equazioni sono chiamate equazioni con coefficienti letterali o equazioni con parametri. In questo caso, il parametro (lettera) p è incluso nel secondo coefficiente e nel termine libero dell'equazione.
Troviamo il discriminante:

Esempio 8. Risolvi l'equazione px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Soluzione. Anche questa è un'equazione con parametro p, ma, a differenza dell'esempio precedente, non può essere risolta immediatamente utilizzando le formule (4) o (3). Il fatto è che le formule indicate sono applicabili alle equazioni quadratiche, ma non possiamo ancora dirlo di una determinata equazione. Infatti, cosa succederebbe se p = 0? Poi
l'equazione assumerà la forma 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, cioè x - 1 = 0, da cui otteniamo x = 1. Ora, se lo sai con certezza , puoi applicare le formule per le radici della quadratica equazione:

Primo livello

Equazioni quadratiche. Guida completa (2019)

Nel termine “equazione quadratica”, la parola chiave è “quadratica”. Ciò significa che l'equazione deve necessariamente contenere una variabile (quella stessa x) al quadrato e non devono esserci x elevate alla terza (o maggiore) potenza.

La soluzione di molte equazioni si riduce alla risoluzione di equazioni quadratiche.

Impariamo a determinare che questa è un'equazione quadratica e non qualche altra equazione.

Esempio 1.

Eliminiamo il denominatore e moltiplichiamo ciascun termine dell'equazione per

Spostiamo tutto in lato sinistro e disporre i termini in ordine decrescente di potenze di x

Ora possiamo dire con sicurezza che questa equazione è quadratica!

Esempio 2.

Moltiplichiamo la sinistra e lato destro sul:

Questa equazione, sebbene fosse originariamente presente, non è quadratica!

Esempio 3.

Moltiplichiamo il tutto per:

Allarmante? Il quarto e il secondo grado... Tuttavia, se facciamo una sostituzione, vedremo che abbiamo una semplice equazione quadratica:

Esempio 4.

Sembra che sia lì, ma diamo un'occhiata più da vicino. Spostiamo tutto sul lato sinistro:

Vedi, si è ristretto e ora è semplice equazione lineare!

Ora prova a determinare tu stesso quali delle seguenti equazioni sono quadratiche e quali no:

Esempi:

Risposte:

1. piazza;
2. piazza;
3. non quadrato;
4. non quadrato;
5. non quadrato;
6. piazza;
7. non quadrato;
8. piazza.

I matematici dividono convenzionalmente tutte le equazioni quadratiche nei seguenti tipi:

• Equazioni quadratiche complete- equazioni in cui i coefficienti e, così come il termine libero c, non sono uguali a zero (come nell'esempio). Inoltre, tra le equazioni quadratiche complete ci sono dato- queste sono equazioni in cui il coefficiente (l'equazione dell'esempio uno non è solo completa, ma anche ridotta!)

• Equazioni quadratiche incomplete- equazioni in cui il coefficiente e/o il termine libero c sono pari a zero:

  Sono incompleti perché manca qualche elemento. Ma l'equazione deve sempre contenere x al quadrato!!! Altrimenti non sarà più un'equazione quadratica, ma qualche altra equazione.

Perché hanno inventato una tale divisione? Sembrerebbe che ci sia una X al quadrato, e va bene. Questa divisione è determinata dai metodi di soluzione. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi in modo più dettagliato.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Innanzitutto, concentriamoci sulla risoluzione delle equazioni quadratiche incomplete: sono molto più semplici!

Esistono tipi di equazioni quadratiche incomplete:

1. , in questa equazione il coefficiente è uguale.
2. , in questa equazione il termine libero è uguale a.
3. , in questa equazione il coefficiente e il termine libero sono uguali.

1. io. Dato che sappiamo come calcolare la radice quadrata, esprimiamo da questa equazione

L'espressione può essere negativa o positiva. Un numero quadrato non può essere negativo, perché moltiplicando due numeri negativi o due numeri positivi, il risultato sarà sempre un numero positivo, quindi: se, allora l'equazione non ha soluzioni.

E se, allora otteniamo due radici. Non è necessario memorizzare queste formule. La cosa principale è che devi sapere e ricordare sempre che non può essere inferiore.

Proviamo a risolvere alcuni esempi.

Esempio 5:

Risolvi l'equazione

Ora non resta che estrarre la radice dai lati sinistro e destro. Dopotutto, ti ricordi come estrarre le radici?

Risposta:

Non dimenticare mai le radici con segno negativo!!!

Esempio 6:

Risolvi l'equazione

Risposta:

Esempio 7:

Risolvi l'equazione

OH! Il quadrato di un numero non può essere negativo, il che significa che l'equazione

senza radici!

Per tali equazioni che non hanno radici, i matematici hanno inventato un'icona speciale: (insieme vuoto). E la risposta può essere scritta così:

Risposta:

Pertanto, questa equazione quadratica ha due radici. Non ci sono restrizioni qui, poiché non abbiamo estratto la radice.
Esempio 8:

Risolvi l'equazione

Togliamo il fattore comune tra parentesi:

Così,

Questa equazione ha due radici.

Risposta:

Il tipo più semplice di equazioni quadratiche incomplete (anche se sono tutte semplici, giusto?). Ovviamente questa equazione ha sempre una sola radice:

Faremo a meno di esempi qui.

Risoluzione di equazioni quadratiche complete

Ti ricordiamo che un'equazione quadratica completa è un'equazione della forma equazione dove

Risolvere equazioni quadratiche complete è un po' più difficile (solo un po') di queste.

Ricordare, Qualsiasi equazione quadratica può essere risolta utilizzando un discriminante! Anche incompleto.

Gli altri metodi ti aiuteranno a farlo più velocemente, ma se hai problemi con le equazioni quadratiche, prima padroneggia la soluzione utilizzando il discriminante.

1. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando un discriminante.

Risolvere equazioni quadratiche usando questo metodo è molto semplice; la cosa principale è ricordare la sequenza di azioni e un paio di formule.

Se, allora l'equazione ha una radice. Attenzione speciale fare un passo. Discriminante () ci dice il numero di radici dell'equazione.

• Se, la formula nel passaggio verrà ridotta a. Pertanto, l'equazione avrà solo una radice.
• Se, allora non saremo in grado di estrarre la radice del discriminante nel passaggio. Ciò indica che l'equazione non ha radici.

Torniamo alle nostre equazioni e guardiamo alcuni esempi.

Esempio 9:

Risolvi l'equazione

Passo 1 saltiamo.

Passo 2.

Troviamo il discriminante:

Ciò significa che l'equazione ha due radici.

Passaggio 3.

Risposta:

Esempio 10:

Risolvi l'equazione

L'equazione è presentata in forma standard, quindi Passo 1 saltiamo.

Passo 2.

Troviamo il discriminante:

Ciò significa che l'equazione ha una radice.

Risposta:

Esempio 11:

Risolvi l'equazione

L'equazione è presentata in forma standard, quindi Passo 1 saltiamo.

Passo 2.

Troviamo il discriminante:

Ciò significa che non saremo in grado di estrarre la radice del discriminante. Non ci sono radici dell'equazione.

Ora sappiamo come scrivere correttamente tali risposte.

Risposta: senza radici

2. Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta.

Se ricordi, esiste un tipo di equazione che si chiama ridotta (quando il coefficiente a è uguale a):

Tali equazioni sono molto facili da risolvere utilizzando il teorema di Vieta:

Somma di radici dato l'equazione quadratica è uguale e il prodotto delle radici è uguale.

Esempio 12:

Risolvi l'equazione

Questa equazione può essere risolta utilizzando il teorema di Vieta perché .

La somma delle radici dell'equazione è uguale, cioè otteniamo la prima equazione:

E il prodotto è uguale a:

Componiamo e risolviamo il sistema:

• E. L'importo è pari a;
• E. L'importo è pari a;
• E. L'importo è uguale.

e sono la soluzione del sistema:

Risposta: ; .

Esempio 13:

Risolvi l'equazione

Risposta:

Esempio 14:

Risolvi l'equazione

L'equazione è data, il che significa:

Risposta:

EQUAZIONI QUADRATICHE. LIVELLO MEDIO

Cos'è un'equazione quadratica?

In altre parole, un'equazione quadratica è un'equazione nella forma in cui - l'incognita - alcuni numeri e.

Il numero è chiamato il più alto o primo coefficiente equazione quadrata, - secondo coefficiente, UN - membro gratuito.

Perché? Perché se l'equazione diventa immediatamente lineare, perché scomparirà.

In questo caso, e può essere uguale a zero. In questa sedia l'equazione è detta incompleta. Se tutti i termini sono a posto, l’equazione è completa.

Soluzioni a vari tipi di equazioni quadratiche

Metodi per risolvere equazioni quadratiche incomplete:

Per prima cosa, diamo un'occhiata ai metodi per risolvere equazioni quadratiche incomplete: sono più semplici.

Possiamo distinguere i seguenti tipi di equazioni:

I., in questa equazione il coefficiente e il termine libero sono uguali.

II. , in questa equazione il coefficiente è uguale.

III. , in questa equazione il termine libero è uguale a.

Ora diamo un'occhiata alla soluzione per ciascuno di questi sottotipi.

Ovviamente questa equazione ha sempre una sola radice:

Un numero quadrato non può essere negativo, perché quando moltiplichi due numeri negativi o due numeri positivi, il risultato sarà sempre un numero positivo. Ecco perché:

se, allora l'equazione non ha soluzioni;

se abbiamo due radici

Non è necessario memorizzare queste formule. La cosa principale da ricordare è che non può essere inferiore.

Esempi:

Soluzioni:

Risposta:

Non dimenticare mai le radici con un segno negativo!

Il quadrato di un numero non può essere negativo, il che significa che l'equazione

senza radici.

Per scrivere brevemente che un problema non ha soluzioni, utilizziamo l'icona del set vuoto.

Risposta:

Quindi, questa equazione ha due radici: e.

Risposta:

Togliamo il fattore comune tra parentesi:

Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ciò significa che l’equazione ha una soluzione quando:

Quindi, questa equazione quadratica ha due radici: e.

Esempio:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Fattorizziamo il lato sinistro dell'equazione e troviamo le radici:

Risposta:

Metodi per risolvere equazioni quadratiche complete:

1. Discriminante

Risolvere le equazioni quadratiche in questo modo è facile, l'importante è ricordare la sequenza di azioni e un paio di formule. Ricorda, qualsiasi equazione quadratica può essere risolta utilizzando un discriminante! Anche incompleto.

Hai notato la radice del discriminante nella formula per le radici? Ma il discriminante può essere negativo. Cosa fare? Dobbiamo prestare particolare attenzione al passaggio 2. Il discriminante ci dice il numero di radici dell'equazione.

• Se, allora l'equazione ha radici:
• Se, allora l'equazione ha le stesse radici e, in effetti, una radice:

  Tali radici sono chiamate radici doppie.

• Se, allora la radice del discriminante non viene estratta. Ciò indica che l'equazione non ha radici.

Perché sono possibili numeri diversi di radici? Passiamo a senso geometrico equazione quadrata. Il grafico della funzione è una parabola:

In un caso speciale, che è un'equazione quadratica, . Ciò significa che le radici di un'equazione quadratica sono i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse). Una parabola può non intersecare affatto l'asse, oppure può intersecarlo in uno (quando il vertice della parabola giace sull'asse) o in due punti.

Inoltre, il coefficiente è responsabile della direzione dei rami della parabola. Se, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto e se, quindi verso il basso.

Esempi:

Soluzioni:

Risposta:

Risposta: .

Risposta:

Ciò significa che non ci sono soluzioni.

Risposta: .

2. Teorema di Vieta

Usare il teorema di Vieta è molto semplice: basta scegliere una coppia di numeri il cui prodotto è uguale al termine libero dell'equazione, e la somma è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto.

È importante ricordare che il teorema di Vieta può essere applicato solo in equazioni quadratiche ridotte ().

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Esempio 1:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Questa equazione può essere risolta utilizzando il teorema di Vieta perché . Altri coefficienti: ; .

La somma delle radici dell'equazione è:

E il prodotto è uguale a:

Selezioniamo coppie di numeri il cui prodotto è uguale e controlliamo se la loro somma è uguale:

• E. L'importo è pari a;
• E. L'importo è pari a;
• E. L'importo è uguale.

e sono la soluzione del sistema:

Quindi, e sono le radici della nostra equazione.

Risposta: ; .

Esempio n.2:

Soluzione:

Selezioniamo le coppie di numeri che danno il prodotto e poi controlliamo se la loro somma è uguale:

e: danno in totale.

e: danno in totale. Per ottenerlo basta cambiare semplicemente i segni delle presunte radici: e, in fondo, il prodotto.

Risposta:

Esempio n.3:

Soluzione:

Il termine libero dell'equazione è negativo e quindi il prodotto delle radici è un numero negativo. Ciò è possibile solo se una delle radici è negativa e l'altra è positiva. Pertanto la somma delle radici è uguale a differenze dei loro moduli.

Selezioniamo coppie di numeri che danno il prodotto e la cui differenza è uguale a:

e: la loro differenza è uguale - non si adatta;

e: - non idoneo;

e: - non idoneo;

e: - idoneo. Non resta che ricordare che una delle radici è negativa. Poiché la loro somma deve essere uguale, la radice con modulo minore deve essere negativa: . Controlliamo:

Risposta:

Esempio n.4:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

L'equazione è data, il che significa:

Il termine libero è negativo e quindi il prodotto delle radici è negativo. E questo è possibile solo quando una radice dell'equazione è negativa e l'altra è positiva.

Selezioniamo coppie di numeri il cui prodotto è uguale e quindi determiniamo quali radici dovrebbero avere un segno negativo:

Ovviamente solo le radici e sono adatte alla prima condizione:

Risposta:

Esempio n.5:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

L'equazione è data, il che significa:

La somma delle radici è negativa, il che significa che, secondo almeno, una delle radici è negativa. Ma poiché il loro prodotto è positivo, significa che entrambe le radici hanno un segno meno.

Selezioniamo coppie di numeri il cui prodotto è uguale a:

Ovviamente, le radici sono i numeri e.

Risposta:

D'accordo, è molto conveniente inventare le radici oralmente, invece di contare questo brutto discriminante. Prova a usare il teorema di Vieta il più spesso possibile.

Ma il teorema di Vieta serve per facilitare e accelerare la ricerca delle radici. Per poter trarre vantaggio dal suo utilizzo, è necessario portare le azioni all'automaticità. E per questo, risolvi altri cinque esempi. Ma non imbrogliare: non puoi usare un discriminante! Solo il teorema di Vieta:

Soluzioni ai compiti per il lavoro indipendente:

Attività 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Secondo il teorema di Vieta:

Come di consueto iniziamo la selezione con il brano:

Non adatto a causa dell'importo;

: l'importo è proprio quello di cui hai bisogno.

Risposta: ; .

Compito 2.

E ancora il nostro teorema di Vieta preferito: la somma deve essere uguale e il prodotto deve essere uguale.

Ma poiché non deve essere, ma, cambiamo i segni delle radici: e (in totale).

Risposta: ; .

Compito 3.

Hmm... Dov'è quello?

È necessario spostare tutti i termini in un'unica parte:

La somma delle radici è uguale al prodotto.

Ok, fermati! L'equazione non è data. Ma il teorema di Vieta è applicabile solo nelle equazioni date. Quindi prima devi dare un'equazione. Se non puoi guidare, abbandona questa idea e risolvila in un altro modo (ad esempio, attraverso un discriminante). Permettimi di ricordarti che dare un'equazione quadratica significa rendere uguale il coefficiente principale:

Grande. Allora la somma delle radici è uguale a e il prodotto.

Qui scegliere è facile come sgusciare le pere: dopotutto è un numero primo (scusate la tautologia).

Risposta: ; .

Compito 4.

Il membro gratuito è negativo. Cosa c'è di speciale in questo? E il fatto è che le radici avranno segni diversi. E ora, durante la selezione, controlliamo non la somma delle radici, ma la differenza nei loro moduli: questa differenza è uguale, ma un prodotto.

Quindi, le radici sono uguali a e, ma una di esse è meno. Il teorema di Vieta ci dice che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente con segno opposto, cioè. Ciò significa che la radice più piccola avrà un segno meno: e, poiché.

Risposta: ; .

Compito 5.

Cosa dovresti fare prima? Esatto, fornisci l'equazione:

Ancora: selezioniamo i fattori del numero e la loro differenza dovrebbe essere uguale a:

Le radici sono uguali a e, ma una di esse è meno. Quale? La loro somma dovrebbe essere uguale, il che significa che il meno avrà una radice più grande.

Risposta: ; .

Vorrei riassumere:

1. Il teorema di Vieta è utilizzato solo nelle equazioni quadratiche fornite.
2. Usando il teorema di Vieta, puoi trovare le radici mediante selezione, oralmente.
3. Se l'equazione non è data o non viene trovata una coppia adatta di fattori del termine libero, allora non ci sono radici intere ed è necessario risolverla in un altro modo (ad esempio tramite un discriminante).

3. Metodo per selezionare un quadrato completo

Se tutti i termini contenenti l'incognita sono rappresentati sotto forma di termini di formule di moltiplicazione abbreviate - il quadrato della somma o della differenza - quindi dopo aver sostituito le variabili, l'equazione può essere presentata sotto forma di un'equazione quadratica incompleta del tipo.

Per esempio:

Esempio 1:

Risolvi l'equazione: .

Soluzione:

Risposta:

Esempio 2:

Risolvi l'equazione: .

Soluzione:

Risposta:

IN vista generale la trasformazione sarà simile a questa:

Ciò implica: .

Non ti ricorda niente? Questa è una cosa discriminatoria! È esattamente così che abbiamo ottenuto la formula discriminante.

EQUAZIONI QUADRATICHE. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Equazione quadrata- questa è un'equazione della forma, dove - l'incognita, - i coefficienti dell'equazione quadratica, - il termine libero.

Equazione quadratica completa- un'equazione in cui i coefficienti non sono uguali a zero.

Equazione quadratica ridotta- un'equazione in cui il coefficiente, cioè: .

Equazione quadratica incompleta- un'equazione in cui il coefficiente e/o il termine libero c sono pari a zero:

• se il coefficiente, l'equazione sarà: ,
• se esiste un termine libero, l'equazione ha la forma: ,
• se e, l'equazione è simile a: .

1. Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

1.1. Un'equazione quadratica incompleta della forma, dove:

1) Esprimiamo l'ignoto: ,

2) Controlla il segno dell'espressione:

• se, allora l'equazione non ha soluzioni,
• se, allora l'equazione ha due radici.

1.2. Un'equazione quadratica incompleta della forma, dove:

1) Togliamo il fattore comune tra parentesi: ,

2) Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Pertanto l’equazione ha due radici:

1.3. Un'equazione quadratica incompleta della forma, dove:

Questa equazione ha sempre una sola radice: .

2. Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche complete della forma dove

2.1. Soluzione mediante discriminante

1) Portiamo l'equazione nella forma standard: ,

2) Calcoliamo il discriminante utilizzando la formula: , che indica il numero di radici dell'equazione:

3) Trova le radici dell'equazione:

• se, allora l'equazione ha radici, che si trovano dalla formula:
• se, allora l'equazione ha una radice, che si trova dalla formula:
• se, allora l'equazione non ha radici.

2.2. Soluzione utilizzando il teorema di Vieta

La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta (equazione della forma dove) è uguale e il prodotto delle radici è uguale, ad es. , UN.

2.3. Soluzione mediante il metodo di selezione di un quadrato completo

Se un'equazione quadratica della forma ha radici, può essere scritta nella forma: .

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Questo argomento può sembrare complicato a prima vista a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno notazioni lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. In totale si ottengono tre nuove formule. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo aver risolto frequentemente tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale di un'equazione quadratica

Qui ne proponiamo la registrazione esplicita, scrivendo prima il grado più grande, e poi in ordine decrescente. Ci sono spesso situazioni in cui i termini non sono coerenti. Allora è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente rispetto al grado della variabile.

Introduciamo qualche notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche si riducono alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia designata come numero uno.

Quando viene data un'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché è sempre possibile una delle tre opzioni:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• l'equazione non avrà alcuna radice.

E finché la decisione non sarà definitiva, è difficile capire quale opzione apparirà in un caso particolare.

Tipi di registrazioni di equazioni quadratiche

Potrebbero esserci voci diverse nelle attività. Non assomiglieranno sempre alla formula generale dell'equazione quadratica. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcos'altro. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, solo i termini con coefficienti “b” e “c” possono scomparire. Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi; oltre a quelle complete, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia la numero due e la seconda tre.

Discriminante e dipendenza del numero di radici dal suo valore

È necessario conoscere questo numero per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per poter calcolare il discriminante è necessario utilizzare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere i numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà costituita da due radici diverse. Se il numero è negativo, non ci saranno radici dell'equazione quadratica. Se è uguale a zero, la risposta sarà una sola.

Come risolvere un'equazione quadratica completa?

In effetti, l'esame di questo problema è già iniziato. Perché prima bisogna trovare una discriminante. Dopo aver determinato che esistono radici dell'equazione quadratica e che il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare la seguente formula.

Poiché contiene un segno “±”, ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto la formula può essere riscritta diversamente.

Formula numero cinque. Dalla stessa registrazione risulta chiaro che se il discriminante è uguale a zero allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la risoluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora risolta, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all’inizio c’è confusione.

Come risolvere un'equazione quadratica incompleta?

Qui è tutto molto più semplice. Non ce n'è nemmeno bisogno formule aggiuntive. E quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto non saranno necessari.

Consideriamo prima equazione incompleta al numero due. In questa uguaglianza è necessario togliere l'incognita tra parentesi e risolvere l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un moltiplicatore costituito dalla variabile stessa. La seconda sarà ottenuta risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta numero tre viene risolta spostando il numero dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra. Quindi è necessario dividere per il coefficiente rivolto all'ignoto. Non resta che estrarre la radice quadrata e ricordarsi di scriverla due volte con segni opposti.

Di seguito sono riportati alcuni passaggi che ti aiuteranno a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti a disattenzione. Queste carenze possono causare voti bassi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadratiche (ottavo grado)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché apparirà un'abilità stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, quindi - senza grado e infine - solo un numero.

• Se prima del coefficiente "a" appare un segno meno, ciò può complicare il lavoro per un principiante che studia le equazioni quadratiche. È meglio liberarsene. A questo scopo, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per “-1”. Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno in senso opposto.

• Si consiglia di eliminare le frazioni allo stesso modo. Moltiplica semplicemente l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x2-7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 − 7x = 0. È incompleta, quindi si risolve come descritto per la formula numero due.

Dopo averlo tolto tra parentesi, risulta: x (x - 7) = 0.

La prima radice assume il valore: x 1 = 0. La seconda si troverà dall'equazione lineare: x - 7 = 0. È facile vedere che x 2 = 7.

Seconda equazione: 5x 2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che viene risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver spostato 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno i numeri: x 1 = √6, x 2 = - √6.

La terza equazione: 15 − 2x − x 2 = 0. Qui e oltre, la risoluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole nella forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Ora è il momento di utilizzare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 = 0. Usando la quarta formula, devi calcolare il discriminante: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati utilizzando la quinta formula. Risulta che x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 = 3, x 2 = - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x = 0 si trasforma in questa: x 2 + 3x + 8 = 0. Il suo discriminante è pari a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questo compito sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, vale a dire: x = -12/ (2 * 1) = -6.

La sesta equazione (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) richiede delle trasformazioni, che consistono nel fatto che è necessario riportare termini simili, aprendo prima le parentesi. Al posto della prima ci sarà la seguente espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato i termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x = 0. È diventato incompleto. Qualcosa di simile è già stato discusso un po' più in alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Continuando l'argomento "Risoluzione delle equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Diamo un'occhiata a tutto in dettaglio: l'essenza e la registrazione dell'equazione quadratica, definiamo i termini associati, analizziamo lo schema per risolvere incompleto e equazioni complete, conosciamo la formula delle radici e del discriminante, stabiliamo connessioni tra radici e coefficienti e ovviamente daremo una soluzione visiva ad esempi pratici.

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Equazione quadratica, suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataè un'equazione scritta come ax2 + bx + c = 0, Dove X– variabile, a , b e C– alcuni numeri, mentre UN non è zero.

Spesso le equazioni quadratiche sono anche chiamate equazioni di secondo grado, poiché in sostanza lo è un'equazione quadratica equazione algebrica secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. Queste sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a, b e C sono i coefficienti dell'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, mentre il coefficiente UNè chiamato il primo, o senior, o coefficiente in x 2, b - il secondo coefficiente, o coefficiente in X, UN C chiamato membro gratuito.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 il coefficiente principale è 6, il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti B e/o c sono negativi, quindi utilizzare forma breve record come 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ma no 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti UN e/o B pari 1 O − 1 , quindi potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, il che è spiegato dalle peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y2 − y+7 = 0 il coefficiente principale è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche si dividono in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1. Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Facciamo degli esempi: si riducono le equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, in ciascuna delle quali il coefficiente principale è 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambi i membri per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data o non avrà alcuna radice.

Considerazione esempio concreto ci permetterà di dimostrare chiaramente la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambi i membri dell'equazione originale per il coefficiente principale 6. Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Da qui: x2 + 3x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x2 + 3x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso lo abbiamo specificato un ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione ax2 + bx + c = 0 era esattamente quadrato, poiché at un = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare bx+c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti B E C sono uguali a zero (cosa possibile, sia singolarmente che congiuntamente), l'equazione quadratica si dice incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompleta- una tale equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove almeno uno dei coefficienti B E C(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completa– un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Parliamo del motivo per cui ai tipi di equazioni quadratiche vengono dati esattamente questi nomi.

Quando b = 0, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 + 0 x + c = 0, che è lo stesso di ax2 + c = 0. A c = 0 l'equazione quadratica è scritta come ax2 + bx + 0 = 0, che è equivalente ax2 + bx = 0. A b = 0 E c = 0 l'equazione assumerà la forma ax2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazione – incompleta.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x2 = 0, -5 x2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• ax2 = 0, questa equazione corrisponde ai coefficienti b = 0 ec = 0;
• a · x 2 + c = 0 in b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 in c = 0.

Consideriamo in sequenza la soluzione di ciascun tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 =0

Come accennato in precedenza, questa equazione corrisponde ai coefficienti B E C, uguale a zero. L'equazione ax2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero UN, non uguale a zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0 questo è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che può essere spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero P, diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Pertanto, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0 esiste un'unica radice x = 0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta − 3×2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x = 0, allora l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

In breve, la soluzione è scritta come segue:

− 3x2 = 0, x2 = 0, x = 0.

Risolvere l'equazione a x 2 + c = 0

La prossima in linea è la soluzione delle equazioni quadratiche incomplete, dove b = 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma ax2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione spostando un termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno in quello opposto e dividendo entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero:

• trasferimento C a destra, che dà l'equazione unx2 = − c;
• dividi entrambi i membri dell'equazione per UN, alla fine avremo x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono equivalenti; di conseguenza, l'equazione risultante è equivalente anche a quella originale, e questo fatto permette di trarre conclusioni sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori UN E C il valore dell'espressione - c a dipende: può avere un segno meno (ad esempio if un = 1 E c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if un = −2 E c = 6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P l'uguaglianza p 2 = - c a non può essere vera.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata, e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 = - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 = - c a. Non è difficile comprendere che il numero - - c a è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a.

L’equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo utilizzando il metodo della contraddizione. Per cominciare, definiamo le notazioni per le radici trovate sopra come x1 E −x1. Supponiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x1 E −x1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione X sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x1 E −x1 scriviamo: x 1 2 = - c a , e for x2- x 2 2 = - c un . Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo un termine di uguaglianza corretto da un altro termine, il che ci darà: x12 − x22 = 0. Usiamo le proprietà delle operazioni con i numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto sopra ne consegue che x1 − x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x2 = −x1. Ne è nata un'ovvia contraddizione, perché inizialmente si è convenuto che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x1 E −x1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha radici diverse da x = - c a e x = - - c a.

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta ax2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a, che:

• non avrà radici in - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a per - c a > 0.

Diamo esempi di risoluzione delle equazioni ax2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0.È necessario trovare una soluzione.

Soluzione

Spostiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9×2 = −7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con un segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

L'equazione deve essere risolta −x2+36 = 0.

Soluzione

Spostiamo 36 sul lato destro: −x2 = −36.
Dividiamo entrambe le parti per − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Sul lato destro c'è un numero positivo, da cui possiamo concludere x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: equazione quadratica incompleta −x2+36 = 0 ha due radici x=6 O x = −6.

Risposta: x=6 O x = −6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Trovare la soluzione di un'equazione quadratica incompleta ax2 + bx = 0, utilizzeremo il metodo della fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo il fattore comune tra parentesi X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, equivale a un insieme di equazioni x = 0 E ax+b = 0. L'equazione ax+b = 0 lineare e la sua radice: x = − b un.

Definizione 7

Pertanto, l'equazione quadratica incompleta ax2 + bx = 0 avrà due radici x = 0 E x = − b un.

Rafforziamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare una soluzione all'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluzione

Lo tireremo fuori X fuori dalle parentesi otteniamo l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrivi brevemente la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure x = 3 3 7

Risposta: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, formula per le radici di un'equazione quadratica

Per trovare soluzioni alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 · a, dove D = b 2 − 4 a c– il cosiddetto discriminante di un’equazione quadratica.

Scrivere x = - b ± D 2 · a significa essenzialmente che x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sarebbe utile capire come è stata ricavata questa formula e come applicarla.

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Affrontiamo il compito di risolvere un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0. Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

• dividere entrambi i membri dell'equazione per un numero UN, diversa da zero, si ottiene la seguente equazione quadratica: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Selezioniamo il quadrato completo sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + circa
  Successivamente l'equazione assumerà la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Ora è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra, cambiando il segno nel contrario, dopodiché otteniamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Infine trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Arriviamo così all'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente all'equazione originale ax2 + bx + c = 0.

Abbiamo esaminato la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (risoluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita permette di trarre una conclusione riguardo alle radici dell'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• con b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• quando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'equazione è x + b 2 · a 2 = 0, allora x + b 2 · a = 0.

Da qui risulta evidente l'unica radice x = - b 2 · a;

• per b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, sarà vero quanto segue: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 oppure x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , che è uguale a x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 oppure x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , cioè. l'equazione ha due radici.

È possibile concludere che la presenza o assenza di radici dell'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (e quindi dell'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (denominatore 4 a 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b2-4ac. Questa espressione b2-4ac viene dato il nome: il discriminante dell'equazione quadratica e la lettera D è definita come sua designazione. Qui puoi scrivere l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, puoi concludere se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, qual è il numero di radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Riscrivilo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formuliamo nuovamente le nostre conclusioni:

Definizione 9

• A D< 0 l'equazione non ha radici reali;
• A D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
• A D > 0 l'equazione ha due radici: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 oppure x = - b 2 · a - D 4 · a 2. In base alle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte nella forma: x = - b 2 · a + D 2 · a oppure - b 2 · a - D 2 · a. E, quando apriamo i moduli e portiamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 − 4 a c.

Queste formule permettono di determinare entrambe le radici reali quando il discriminante è maggiore di zero. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice come unica soluzione dell'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, se proviamo ad utilizzare la formula per la radice di un'equazione quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di estrarre la radice quadrata di numero negativo, che ci porterà oltre i numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in genere ciò viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, di solito significa cercare non le radici complesse, ma quelle reali di un'equazione quadratica. Allora è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici di un'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), e poi procedere a calcolare il valore delle radici.

Il ragionamento di cui sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Risolvere un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 − 4 a c trovare il valore discriminante;
• a D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0, trova l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula x = - b 2 · a ;
• per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica utilizzando la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a, darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Diamo una soluzione agli esempi per significati diversi discriminante.

Esempio 6

Dobbiamo trovare le radici dell'equazione x2 + 2x-6 = 0.

Soluzione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a = 1, b = 2 e c = −6. Successivamente procediamo secondo l'algoritmo, cioè Cominciamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiremo i coefficienti a, b E C nella formula discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi otteniamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli usiamo la formula radice x = - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori corrispondenti, otteniamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante togliendo il fattore dal segno della radice e quindi riducendo la frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Esempio 7

Necessità di risolvere un'equazione quadratica − 4×2 + 28×−49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante l'equazione originale avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Risposta: x = 3,5.

Esempio 8

L'equazione deve essere risolta 5 e 2 + 6 e + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5, b = 6 e c = 2. Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice, eseguendo azioni con numeri complessi:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 oppure x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i oppure x = - 3 5 - 1 5 · i.

Risposta: non ci sono vere radici; le radici complesse sono le seguenti: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN curriculum scolastico Non esiste un requisito standard per la ricerca di radici complesse, quindi, se durante la soluzione il discriminante viene determinato come negativo, si scrive immediatamente la risposta che non esistono radici reali.

Formula di radice per coefficienti secondi pari

La formula radice x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permette di ottenere un'altra formula, più compatta, che permette di trovare soluzioni ad equazioni quadratiche con coefficiente pari per x ( o con un coefficiente della forma 2 · n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Affrontiamo il compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procediamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), e quindi utilizziamo la formula della radice:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Lascia che l'espressione n 2 − a · c sia indicata come D 1 (a volte è indicata D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica in esame con il secondo coefficiente 2 · n assumerà la forma:

x = - n ± D 1 a, dove D 1 = n 2 − a · c.

È facile vedere che D = 4 · D 1, ovvero D 1 = D 4. In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è uguale al segno di D, il che significa che il segno di D 1 può anche servire come indicatore della presenza o dell'assenza di radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare la soluzione di un'equazione quadratica con secondo coefficiente pari a 2 n, è necessario:

• trovare D 1 = n 2 − a · c ;
• in D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• quando D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula x = - n a;
• per D 1 > 0, determinare due radici reali utilizzando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluzione

Possiamo rappresentare il secondo coefficiente dell'equazione data come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, dove a = 5, n = − 3 e c = − 32.

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Determiniamoli utilizzando la formula radice corrispondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire i calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più complicata.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, il che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l’equazione quadratica 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 è chiaramente più conveniente da risolvere rispetto a 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene effettuata moltiplicando o dividendo entrambi i lati per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, ottenuta dividendo entrambi i membri per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono reciproci numeri primi. Quindi di solito dividiamo entrambi i membri dell'equazione per il più grande divisore comune valori assoluti dei suoi coefficienti.

Ad esempio, utilizziamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Determiniamo il MCD dei valori assoluti dei suoi coefficienti: MCD (12, 42, 48) = MCD(MCD (12, 42), 48) = MCD (6, 48) = 6. Dividiamo entrambi i lati dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Moltiplicando entrambi i lati di un'equazione quadratica, di solito si eliminano i coefficienti frazionari. In questo caso si moltiplicano per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ciascuna parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 viene moltiplicata per MCM (6, 3, 1) = 6, verrà scritta nella forma più semplice x 2 + 4 x −18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre eliminiamo il meno nel primo coefficiente di un'equazione quadratica cambiando i segni di ciascun termine dell'equazione, cosa che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puoi passare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La formula per le radici delle equazioni quadratiche, a noi già nota, x = - b ± D 2 · a, esprime le radici dell'equazione attraverso i suoi coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di specificare altre dipendenze tra radici e coefficienti.

Le formule più famose e applicabili sono il teorema di Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, osservando la forma dell'equazione quadratica 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre connessioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Con questo programma di matematica puoi risolvere l'equazione quadratica.

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo di soluzione in due modi:
- utilizzando un discriminante
- utilizzando il teorema di Vieta (se possibile).

Inoltre, la risposta viene visualizzata come esatta e non approssimativa.
Ad esempio, per l'equazione \(81x^2-16x-1=0\) la risposta viene visualizzata nel seguente formato:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ e non così: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Questo programma può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuola secondaria in preparazione per test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato, per consentire ai genitori di controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente finire i compiti di matematica o algebra il più velocemente possibile? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate.

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Se non hai familiarità con le regole per inserire un polinomio quadratico, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per inserire un polinomio quadratico

Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.
Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ecc.

I numeri possono essere inseriti come numeri interi o frazionari.
Inoltre, numeri frazionari può essere inserito non solo come decimale, ma anche come frazione ordinaria.

Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Nelle frazioni decimali la parte frazionaria può essere separata dalla parte intera tramite un punto o una virgola.
Ad esempio, puoi inserire decimali in questo modo: 2,5x - 3,5x^2

Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando entri frazione numerica Il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale: &
Ingresso: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Risultato: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Quando si inserisce un'espressione puoi usare le parentesi. In questo caso, quando si risolve un'equazione quadratica, l'espressione introdotta viene prima semplificata.
Ad esempio: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Equazione quadratica e sue radici. Equazioni quadratiche incomplete

Ciascuna delle equazioni
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
sembra
\(ax^2+bx+c=0, \)
dove x è una variabile, a, b e c sono numeri.
Nella prima equazione a = -1, b = 6 e c = 1,4, nella seconda a = 8, b = -7 e c = 0, nella terza a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche.

Definizione.
Equazione quadrataè chiamata un'equazione della forma ax 2 +bx+c=0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 \).

I numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. Il numero a è chiamato primo coefficiente, il numero b è il secondo coefficiente e il numero c è il termine libero.

In ciascuna delle equazioni della forma ax 2 +bx+c=0, dove \(a\neq 0\), la potenza più grande della variabile x è un quadrato. Da qui il nome: equazione quadratica.

Si noti che un'equazione quadratica è anche chiamata equazione di secondo grado, poiché il suo lato sinistro è un polinomio di secondo grado.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente di x 2 è uguale a 1 data equazione quadratica. Ad esempio, le equazioni quadratiche fornite sono le equazioni
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se in un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 almeno uno dei coefficienti bo c è uguale a zero, allora tale equazione si chiama Equazione quadratica incompleta. Pertanto, le equazioni -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sono equazioni quadratiche incomplete. Nel primo b=0, nel secondo c=0, nel terzo b=0 e c=0.

Esistono tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:
1) ax 2 +c=0, dove \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dove \(b \neq 0 \);
3) asse 2 =0.

Consideriamo la risoluzione di equazioni di ciascuno di questi tipi.

Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0 per \(c \neq 0 \), sposta il suo termine libero sul lato destro e dividi entrambi i lati dell'equazione per a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Poiché \(c \neq 0 \), allora \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0\), allora l'equazione ha due radici.

Se \(-\frac(c)(a) Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 con \(b \neq 0 \) fattorizzarne il lato sinistro e ottenere l'equazione
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Ciò significa che un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 per \(b \neq 0 \) ha sempre due radici.

Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 = 0 è equivalente all'equazione x 2 = 0 e quindi ha un'unica radice 0.

Formula per le radici di un'equazione quadratica

Consideriamo ora come risolvere equazioni quadratiche in cui sia i coefficienti delle incognite che il termine libero sono diversi da zero.

Risolviamo l'equazione quadratica in forma generale e di conseguenza otteniamo la formula per le radici. Questa formula può quindi essere utilizzata per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Risolvi l'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0

Dividendo entrambi i membri per a, otteniamo l'equazione quadratica ridotta equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Trasformiamo questa equazione selezionando il quadrato del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

L'espressione radicale si chiama discriminante di un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” in latino - discriminatore). È designato con la lettera D, cioè
\(D = b^2-4ac\)

Ora, utilizzando la notazione discriminante, riscriviamo la formula per le radici dell'equazione quadratica:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), dove \(D= b^2-4ac \)

È ovvio che:
1) Se D>0, allora l'equazione quadratica ha due radici.
2) Se D=0, allora l'equazione quadratica ha una radice \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Pertanto, a seconda del valore del discriminante, un'equazione quadratica può avere due radici (per D > 0), una radice (per D = 0) o nessuna radice (per D Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questo formula, è consigliabile procedere nel seguente modo:
1) calcolare il discriminante e confrontarlo con zero;
2) se il discriminante è positivo o uguale a zero, allora usa la formula della radice; se il discriminante è negativo, allora scrivi che non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

La data equazione quadratica ax 2 -7x+10=0 ha radici 2 e 5. La somma delle radici è 7 e il prodotto è 10. Vediamo che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente preso con l'opposto segno e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Qualsiasi equazione quadratica ridotta che abbia radici ha questa proprietà.

La somma delle radici dell'equazione quadratica sopra è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.

Quelli. Il teorema di Vieta afferma che le radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ridotta x 2 +px+q=0 hanno la proprietà:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)