Nella prima parte abbiamo esaminato materiale teorico, il metodo di sostituzione e il metodo di addizione termine per termine delle equazioni del sistema. Consiglio a tutti coloro che accedono al sito tramite questa pagina di leggere la prima parte. Forse alcuni visitatori troveranno il materiale troppo semplice, ma come risolveremo i sistemi equazioni lineari Ho fatto una serie di commenti e conclusioni molto importanti riguardo alla soluzione dei problemi matematici in generale.

Ora analizzeremo la regola di Cramer e risolveremo un sistema di equazioni lineari utilizzando matrice inversa(metodo della matrice). Tutti i materiali sono presentati in modo semplice, dettagliato e chiaro. Quasi tutti i lettori saranno in grado di imparare a risolvere i sistemi utilizzando i metodi sopra indicati;

Per prima cosa esamineremo più da vicino la regola di Cramer per un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Per quello? - Dopotutto il sistema più semplice può essere risolto utilizzando il metodo scolastico, il metodo dell’addizione termine per termine!

Il fatto è che, anche se a volte, si verifica un compito del genere: risolvere un sistema di due equazioni lineari con due incognite utilizzando le formule di Cramer. In secondo luogo, un esempio più semplice ti aiuterà a capire come utilizzare la regola di Cramer per un caso più complesso: un sistema di tre equazioni con tre incognite.

Inoltre, esistono sistemi di equazioni lineari a due variabili, che è consigliabile risolvere utilizzando la regola di Cramer!

Consideriamo il sistema di equazioni

Nel primo passaggio calcoliamo il determinante, si chiama determinante principale del sistema.

Metodo di Gauss.

Se , allora il sistema ha un'unica soluzione, e per trovare le radici dobbiamo calcolare altri due determinanti:
E

In pratica, i qualificatori di cui sopra possono anche essere denotati Lettera latina.

Troviamo le radici dell'equazione usando le formule:
,

Esempio 7

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Soluzione: Vediamo che i coefficienti dell'equazione sono piuttosto grandi, sul lato destro ci sono decimali con una virgola. La virgola è un ospite piuttosto raro nei compiti pratici di matematica; ho preso questo sistema da un problema econometrico.

Come risolvere un sistema del genere? Puoi provare a esprimere una variabile in termini di un'altra, ma in questo caso probabilmente ti ritroverai con frazioni terribili e fantasiose con cui è estremamente scomodo lavorare, e il design della soluzione sembrerà semplicemente terribile. Puoi moltiplicare la seconda equazione per 6 e sottrarre termine per termine, ma anche qui si presenteranno le stesse frazioni.

Cosa fare? In questi casi, le formule di Cramer vengono in soccorso.

;

;

Risposta: ,

Entrambe le radici hanno code infinite e si trovano approssimativamente, il che è abbastanza accettabile (e perfino banale) per i problemi di econometria.

I commenti non sono necessari qui, poiché il compito viene risolto utilizzando formule già pronte, tuttavia, c'è un avvertimento. Quando usare questo metodo, obbligatorio Un frammento della progettazione dell'attività è il seguente frammento: “Ciò significa che il sistema ha una soluzione unica”. Altrimenti, il revisore potrebbe punirti per aver mancato di rispetto al teorema di Cramer.

Non sarebbe superfluo verificare, cosa che conviene effettuare su una calcolatrice: sostituiamo i valori approssimativi in lato sinistro ciascuna equazione del sistema. Di conseguenza, con un piccolo errore, dovresti ottenere i numeri che si trovano sul lato destro.

Esempio 8

Presenta la risposta in frazioni improprie ordinarie. Fai un controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (un esempio del progetto finale e la risposta alla fine della lezione).

Passiamo ora a considerare la regola di Cramer per un sistema di tre equazioni in tre incognite:

Troviamo il principale determinante del sistema:

Se , allora il sistema ha infinite soluzioni oppure è incoerente (non ha soluzioni). In questo caso la regola di Cramer non aiuta; è necessario utilizzare il metodo di Gauss.

Se , allora il sistema ha un'unica soluzione e per trovare le radici dobbiamo calcolare altri tre determinanti:
, ,

E infine, la risposta viene calcolata utilizzando le formule:

Come puoi vedere, il caso "tre per tre" non è sostanzialmente diverso dal caso "due per due"; la colonna dei termini liberi "cammina" in sequenza da sinistra a destra lungo le colonne del determinante principale;

Esempio 9

Risolvi il sistema utilizzando le formule di Cramer.

Soluzione: Risolviamo il sistema utilizzando le formule di Cramer.

, il che significa che il sistema ha una soluzione unica.

Risposta: .

In realtà anche qui non c'è niente di speciale da commentare, dato che la soluzione segue formule già pronte. Ma ci sono un paio di commenti.

Succede che come risultato dei calcoli si ottengono frazioni irriducibili “cattive”, ad esempio: .
Raccomando il seguente algoritmo di “trattamento”. Se non hai un computer a portata di mano, fai questo:

1) Potrebbe esserci un errore nei calcoli. Non appena incontri una frazione “cattiva”, devi immediatamente controllare La condizione è stata riscritta correttamente?. Se la condizione viene riscritta senza errori, è necessario ricalcolare i determinanti utilizzando l'espansione in un'altra riga (colonna).

2) Se a seguito del controllo non vengono identificati errori, molto probabilmente si è verificato un errore di battitura nelle condizioni dell'attività. In questo caso, affronta il compito con calma e ATTENZIONE fino alla fine, e poi assicurati di controllare e lo riportiamo sulla carta inviolata dopo la decisione. Naturalmente, controllare una risposta frazionaria è un compito spiacevole, ma sarà un argomento disarmante per l'insegnante, a cui piace davvero dare un segno negativo per qualsiasi stronzata come . Come gestire le frazioni è descritto in dettaglio nella risposta all'Esempio 8.

Se hai un computer a portata di mano, utilizza un programma automatizzato per il controllo, che può essere scaricato gratuitamente all'inizio della lezione. A proposito, è più vantaggioso utilizzare subito il programma (anche prima di iniziare la soluzione), vedrai immediatamente il passaggio intermedio in cui hai commesso un errore! Lo stesso calcolatore calcola automaticamente la soluzione del sistema utilizzando il metodo matriciale.

Seconda osservazione. Di tanto in tanto ci sono sistemi nelle equazioni in cui mancano alcune variabili, ad esempio:

Qui nella prima equazione non c'è alcuna variabile, nella seconda non c'è nessuna variabile. In questi casi, è molto importante annotare correttamente e ATTENTAMENTE il determinante principale:
– Gli zeri vengono posti al posto delle variabili mancanti.
A proposito, è razionale aprire i determinanti con zeri in base alla riga (colonna) in cui si trova lo zero, poiché vengono eseguiti notevolmente meno calcoli.

Esempio 10

Risolvi il sistema utilizzando le formule di Cramer.

Questo è un esempio di soluzione indipendente (un esempio del progetto finale e la risposta alla fine della lezione).

Per il caso di un sistema di 4 equazioni con 4 formule sconosciute I documenti di Kramer sono scritti secondo principi simili. Puoi vedere un esempio dal vivo nella lezione Proprietà dei determinanti. Riducendo l'ordine del determinante: cinque determinanti del 4° ordine sono abbastanza risolvibili. Anche se il compito ricorda già molto la scarpa di un professore sul petto di uno studente fortunato.

Risolvere il sistema utilizzando una matrice inversa

Il metodo della matrice inversa è essenzialmente caso speciale equazione di matrice(Vedi Esempio n. 3 della lezione specificata).

Per studiare questa sezione, devi essere in grado di espandere i determinanti, trovare l'inverso di una matrice ed eseguire la moltiplicazione di matrici. I collegamenti pertinenti verranno forniti man mano che le spiegazioni procedono.

Esempio 11

Risolvi il sistema utilizzando il metodo delle matrici

Soluzione: Scriviamo il sistema in forma matriciale:
, Dove

Si prega di guardare il sistema di equazioni e matrici. Penso che tutti comprendano il principio con cui scriviamo gli elementi nelle matrici. L'unico commento: se nelle equazioni mancassero alcune variabili, allora gli zeri dovrebbero essere posizionati nei punti corrispondenti della matrice.

Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula:
, dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

Per prima cosa, diamo un'occhiata al determinante:

Qui il determinante viene espanso sulla prima riga.

Attenzione! Se , allora la matrice inversa non esiste ed è impossibile risolvere il sistema utilizzando il metodo delle matrici. In questo caso, il sistema viene risolto con il metodo dell'eliminazione delle incognite (metodo di Gauss).

Ora dobbiamo calcolare 9 minori e scriverli nella matrice dei minori

Riferimento:È utile conoscere il significato dei doppi pedici in algebra lineare. La prima cifra è il numero della riga in cui si trova l'elemento. La seconda cifra è il numero della colonna in cui si trova l'elemento:

Cioè, un doppio pedice indica che l'elemento è nella prima riga, terza colonna e, ad esempio, l'elemento è nella 3a riga, 2a colonna

Con lo stesso numero di equazioni del numero di incognite con il determinante principale della matrice, che non è uguale a zero, i coefficienti del sistema (per tali equazioni esiste una soluzione e ce n'è solo una).

Il teorema di Cramer.

Quando il determinante della matrice di un sistema quadrato è diverso da zero, significa che il sistema è coerente e ha una soluzione e può essere trovato da Le formule di Cramer:

dove Δ - determinante della matrice del sistema,

Δ ioè il determinante della matrice del sistema, in cui invece di io La esima colonna contiene la colonna dei lati destri.

Quando il determinante di un sistema è zero, significa che il sistema può diventare cooperativo o incompatibile.

Questo metodo viene solitamente utilizzato per piccoli sistemi con calcoli estesi e se è necessario determinare una delle incognite. La complessità del metodo è che è necessario calcolare molti determinanti.

Descrizione del metodo Cramer.

Esiste un sistema di equazioni:

Un sistema di 3 equazioni può essere risolto utilizzando il metodo Cramer, discusso sopra per un sistema di 2 equazioni.

Componiamo un determinante dai coefficienti delle incognite:

Sarà determinante del sistema. Quando D≠0, il che significa che il sistema è coerente. Ora creiamo 3 determinanti aggiuntivi:

,,

Risolviamo il sistema tramite Le formule di Cramer:

Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo di Cramer.

Esempio 1.

Sistema dato:

Risolviamolo utilizzando il metodo di Cramer.

Per prima cosa devi calcolare il determinante della matrice del sistema:

Perché Δ≠0, il che significa che per il teorema di Cramer il sistema è consistente e ha una soluzione. Calcoliamo determinanti aggiuntivi. Il determinante Δ 1 si ottiene dal determinante Δ sostituendo la sua prima colonna con una colonna di coefficienti liberi. Noi abbiamo:

Allo stesso modo, otteniamo il determinante di Δ 2 dal determinante della matrice del sistema sostituendo la seconda colonna con una colonna di coefficienti liberi:

Il metodo di Cramer si basa sull'uso dei determinanti nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Ciò accelera notevolmente il processo di soluzione.

Il metodo di Cramer può essere utilizzato per risolvere un sistema di tante equazioni lineari quante sono le incognite in ciascuna equazione. Se il determinante del sistema non è uguale a zero, nella soluzione è possibile utilizzare il metodo di Cramer, ma se è uguale a zero, non è possibile. Inoltre, il metodo di Cramer può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari che hanno un'unica soluzione.

Definizione. Un determinante costituito da coefficienti per incognite è chiamato determinante del sistema e si denota (delta).

Determinanti

si ottengono sostituendo i coefficienti delle incognite corrispondenti con termini liberi:

;

.

Il teorema di Cramer. Se il determinante del sistema è diverso da zero, allora il sistema di equazioni lineari ha un'unica soluzione e l'incognita è uguale al rapporto tra i determinanti. Il denominatore contiene il determinante del sistema e il numeratore contiene il determinante ottenuto dal determinante del sistema sostituendo i coefficienti di questa incognita con termini liberi. Questo teorema vale per un sistema di equazioni lineari di qualsiasi ordine.

Esempio 1. Risolvere un sistema di equazioni lineari:

Secondo Il teorema di Cramer abbiamo:

Quindi, la soluzione del sistema (2):

calcolatore online, metodo decisivo Kramer.

Tre casi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Come risulta chiaro da Il teorema di Cramer, quando si risolve un sistema di equazioni lineari, possono verificarsi tre casi:

Primo caso: un sistema di equazioni lineari ha un'unica soluzione

(il sistema è coerente e definito)

Secondo caso: un sistema di equazioni lineari ha un numero infinito di soluzioni

(il sistema è coerente e incerto)

** ,

quelli. i coefficienti delle incognite e dei termini liberi sono proporzionali.

Terzo caso: il sistema di equazioni lineari non ha soluzioni

(il sistema è incoerente)

Quindi il sistema M equazioni lineari con N chiamate variabili non congiunto, se non ha un'unica soluzione, e giunto, se ha almeno una soluzione. Viene chiamato un sistema simultaneo di equazioni che ha una sola soluzione certo, e più di uno – incerto.

Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer

Lasciamo che il sistema sia dato

.

Basato sul teorema di Cramer

………….
,

Dove
-

determinante del sistema. Otteniamo i restanti determinanti sostituendo la colonna con i coefficienti della corrispondente variabile (sconosciuta) con termini liberi:

Esempio 2.

.

Pertanto il sistema è definito. Per trovare la sua soluzione, calcoliamo i determinanti

Utilizzando le formule di Cramer troviamo:

Quindi (1; 0; -1) è l'unica soluzione del sistema.

Per verificare le soluzioni dei sistemi di equazioni 3 X 3 e 4 X 4, puoi utilizzare un calcolatore online utilizzando il metodo di risoluzione di Cramer.

Se in un sistema di equazioni lineari non ci sono variabili in una o più equazioni, allora nel determinante gli elementi corrispondenti sono uguali a zero! Questo è il prossimo esempio.

Esempio 3. Risolvi un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer:

.

Soluzione. Troviamo il determinante del sistema:

Osserva attentamente il sistema di equazioni e il determinante del sistema e ripeti la risposta alla domanda in quali casi uno o più elementi del determinante sono uguali a zero. Quindi il determinante non è uguale a zero, quindi il sistema è definito. Per trovare la sua soluzione, calcoliamo i determinanti per le incognite

Utilizzando le formule di Cramer troviamo:

Quindi la soluzione del sistema è (2; -1; 1).

Per verificare le soluzioni dei sistemi di equazioni 3 X 3 e 4 X 4, puoi utilizzare un calcolatore online utilizzando il metodo di risoluzione di Cramer.

Inizio pagina

Continuiamo a risolvere insieme i sistemi utilizzando il metodo di Cramer

Come già accennato, se il determinante del sistema è uguale a zero, e i determinanti delle incognite non sono uguali a zero, il sistema è incoerente, cioè non ha soluzioni. Illustriamolo con il seguente esempio.

Esempio 6. Risolvi un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer:

Soluzione. Troviamo il determinante del sistema:

Il determinante del sistema è uguale a zero, quindi il sistema di equazioni lineari è o incoerente e definito, oppure incoerente, cioè non ha soluzioni. Per chiarire, calcoliamo i determinanti per le incognite

Le determinanti delle incognite non sono uguali a zero, quindi il sistema è incoerente, cioè non ha soluzioni.

Per verificare le soluzioni dei sistemi di equazioni 3 X 3 e 4 X 4, puoi utilizzare un calcolatore online utilizzando il metodo di risoluzione di Cramer.

Nei problemi che coinvolgono sistemi di equazioni lineari, ci sono anche quelli in cui, oltre alle lettere che indicano le variabili, ci sono anche altre lettere. Queste lettere rappresentano un numero, molto spesso reale. In pratica, tali equazioni e sistemi di equazioni nascono da problemi di ricerca delle proprietà generali di qualsiasi fenomeno o oggetto. Cioè, ne hai inventato qualcuno nuovo materiale o un dispositivo, e per descriverne le proprietà, che sono comuni indipendentemente dalla dimensione o dal numero di un'istanza, è necessario risolvere un sistema di equazioni lineari, dove al posto di alcuni coefficienti per le variabili ci sono lettere. Non è necessario cercare lontano gli esempi.

L'esempio seguente riguarda un problema simile, aumenta solo il numero di equazioni, variabili e lettere che denotano un certo numero reale.

Esempio 8. Risolvi un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer:

Soluzione. Troviamo il determinante del sistema:

Trovare determinanti per le incognite

Per padroneggiare questo paragrafo, devi essere in grado di rivelare i determinanti “due a due” e “tre a tre”. Se non sei bravo con le qualificazioni, studia la lezione Come calcolare il determinante?

Per prima cosa esamineremo più da vicino la regola di Cramer per un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Per quello? – Dopotutto, il sistema più semplice può essere risolto utilizzando il metodo scolastico, il metodo dell’addizione termine per trimestre!

Il fatto è che, anche se a volte, si verifica un compito del genere: risolvere un sistema di due equazioni lineari con due incognite utilizzando le formule di Cramer. In secondo luogo, un esempio più semplice ti aiuterà a capire come utilizzare la regola di Cramer per un caso più complesso: un sistema di tre equazioni con tre incognite.

Inoltre, esistono sistemi di equazioni lineari a due variabili, che è consigliabile risolvere utilizzando la regola di Cramer!

Consideriamo il sistema di equazioni

Nel primo passaggio calcoliamo il determinante, si chiama determinante principale del sistema.

Metodo di Gauss.

Se , allora il sistema ha un'unica soluzione, e per trovare le radici dobbiamo calcolare altri due determinanti:
E

In pratica, le qualificazioni di cui sopra possono anche essere denotate da una lettera latina.

Troviamo le radici dell'equazione usando le formule:
,

Esempio 7

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Soluzione: Vediamo che i coefficienti dell'equazione sono piuttosto grandi; sul lato destro ci sono le frazioni decimali con una virgola. La virgola è un ospite piuttosto raro nei compiti pratici di matematica; ho preso questo sistema da un problema econometrico.

Come risolvere un sistema del genere? Puoi provare a esprimere una variabile in termini di un'altra, ma in questo caso probabilmente ti ritroverai con frazioni terribili e fantasiose con cui è estremamente scomodo lavorare, e il design della soluzione sembrerà semplicemente terribile. Puoi moltiplicare la seconda equazione per 6 e sottrarre termine per termine, ma anche qui si presenteranno le stesse frazioni.

Cosa fare? In questi casi, le formule di Cramer vengono in soccorso.

;

;

Risposta: ,

Entrambe le radici hanno code infinite e si trovano approssimativamente, il che è abbastanza accettabile (e perfino banale) per i problemi di econometria.

I commenti non sono necessari qui, poiché il compito viene risolto utilizzando formule già pronte, tuttavia, c'è un avvertimento. Quando si utilizza questo metodo, obbligatorio Un frammento della progettazione dell'attività è il seguente frammento: “Ciò significa che il sistema ha una soluzione unica”. Altrimenti, il revisore potrebbe punirti per aver mancato di rispetto al teorema di Cramer.

Non sarebbe superfluo il controllo, che può essere comodamente effettuato su una calcolatrice: sostituiamo valori approssimati nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema. Di conseguenza, con un piccolo errore, dovresti ottenere i numeri che si trovano sul lato destro.

Esempio 8

Presenta la risposta in frazioni improprie ordinarie. Fai un controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (un esempio del progetto finale e la risposta alla fine della lezione).

Passiamo ora a considerare la regola di Cramer per un sistema di tre equazioni in tre incognite:

Troviamo il principale determinante del sistema:

Se , allora il sistema ha infinite soluzioni oppure è incoerente (non ha soluzioni). In questo caso la regola di Cramer non aiuta; è necessario utilizzare il metodo di Gauss.

Se , allora il sistema ha un'unica soluzione e per trovare le radici dobbiamo calcolare altri tre determinanti:
, ,

E infine, la risposta viene calcolata utilizzando le formule:

Come puoi vedere, il caso "tre per tre" non è sostanzialmente diverso dal caso "due per due"; la colonna dei termini liberi "cammina" in sequenza da sinistra a destra lungo le colonne del determinante principale;

Esempio 9

Risolvi il sistema utilizzando le formule di Cramer.

Soluzione: Risolviamo il sistema utilizzando le formule di Cramer.

, il che significa che il sistema ha una soluzione unica.

Risposta: .

In realtà anche qui non c'è niente di speciale da commentare, dato che la soluzione segue formule già pronte. Ma ci sono un paio di commenti.

Succede che come risultato dei calcoli si ottengono frazioni irriducibili “cattive”, ad esempio: .
Raccomando il seguente algoritmo di “trattamento”. Se non hai un computer a portata di mano, fai questo:

1) Potrebbe esserci un errore nei calcoli. Non appena incontri una frazione “cattiva”, devi immediatamente controllare La condizione è stata riscritta correttamente?. Se la condizione viene riscritta senza errori, è necessario ricalcolare i determinanti utilizzando l'espansione in un'altra riga (colonna).

2) Se a seguito del controllo non vengono identificati errori, molto probabilmente si è verificato un errore di battitura nelle condizioni dell'attività. In questo caso, affronta il compito con calma e ATTENZIONE fino alla fine, e poi assicurati di controllare e lo riportiamo sulla carta inviolata dopo la decisione. Naturalmente, controllare una risposta frazionaria è un compito spiacevole, ma sarà un argomento disarmante per l'insegnante, a cui piace davvero dare un segno negativo per qualsiasi stronzata come . Come gestire le frazioni è descritto in dettaglio nella risposta all'Esempio 8.

Se hai un computer a portata di mano, utilizza un programma automatizzato per il controllo, che può essere scaricato gratuitamente all'inizio della lezione. A proposito, è più vantaggioso utilizzare subito il programma (anche prima di iniziare la soluzione), vedrai immediatamente il passaggio intermedio in cui hai commesso un errore! Lo stesso calcolatore calcola automaticamente la soluzione del sistema utilizzando il metodo matriciale.

Seconda osservazione. Di tanto in tanto ci sono sistemi nelle equazioni in cui mancano alcune variabili, ad esempio:

Qui nella prima equazione non c'è alcuna variabile, nella seconda non c'è nessuna variabile. In questi casi, è molto importante annotare correttamente e ATTENTAMENTE il determinante principale:
– Gli zeri vengono posti al posto delle variabili mancanti.
A proposito, è razionale aprire i determinanti con zeri in base alla riga (colonna) in cui si trova lo zero, poiché vengono eseguiti notevolmente meno calcoli.

Esempio 10

Risolvi il sistema utilizzando le formule di Cramer.

Questo è un esempio di soluzione indipendente (un esempio del progetto finale e la risposta alla fine della lezione).

Nel caso di un sistema di 4 equazioni in 4 incognite, le formule di Cramer sono scritte secondo principi simili. Puoi vedere un esempio dal vivo nella lezione Proprietà dei determinanti. Riducendo l'ordine del determinante: cinque determinanti del 4° ordine sono abbastanza risolvibili. Anche se il compito ricorda già molto la scarpa di un professore sul petto di uno studente fortunato.

Risolvere il sistema utilizzando una matrice inversa

Il metodo della matrice inversa è essenzialmente un caso speciale equazione di matrice(Vedi Esempio n. 3 della lezione specificata).

Per studiare questa sezione, devi essere in grado di espandere i determinanti, trovare l'inverso di una matrice ed eseguire la moltiplicazione di matrici. I collegamenti pertinenti verranno forniti man mano che le spiegazioni procedono.

Esempio 11

Risolvi il sistema utilizzando il metodo delle matrici

Soluzione: Scriviamo il sistema in forma matriciale:
, Dove

Si prega di guardare il sistema di equazioni e matrici. Penso che tutti comprendano il principio con cui scriviamo gli elementi nelle matrici. L'unico commento: se nelle equazioni mancassero alcune variabili, allora gli zeri dovrebbero essere posizionati nei punti corrispondenti della matrice.

Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula:
, dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

Per prima cosa, diamo un'occhiata al determinante:

Qui il determinante viene espanso sulla prima riga.

Attenzione! Se , allora la matrice inversa non esiste ed è impossibile risolvere il sistema utilizzando il metodo delle matrici. In questo caso, il sistema viene risolto con il metodo dell'eliminazione delle incognite (metodo di Gauss).

Ora dobbiamo calcolare 9 minori e scriverli nella matrice dei minori

Riferimento:È utile conoscere il significato dei doppi pedici in algebra lineare. La prima cifra è il numero della riga in cui si trova l'elemento. La seconda cifra è il numero della colonna in cui si trova l'elemento:

Cioè, un doppio pedice indica che l'elemento è nella prima riga, terza colonna e, ad esempio, l'elemento è nella 3a riga, 2a colonna

Durante la soluzione è meglio descrivere in dettaglio il calcolo dei minori, anche se con una certa esperienza ci si può abituare a calcolarli con errori oralmente.