Vengono presentati i principali tipi di disuguaglianze, comprese le disuguaglianze di Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Vengono considerate le proprietà delle disuguaglianze e le azioni su di esse. Vengono forniti i metodi di base per risolvere le disuguaglianze.

Formule per le disuguaglianze fondamentali

Formule per le disuguaglianze universali

Le disuguaglianze universali sono soddisfatte per qualsiasi valore delle quantità in esse incluse. I principali tipi di disuguaglianze universali sono elencati di seguito.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
L'uguaglianza si verifica solo quando a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky

L'uguaglianza vale se e solo se α a k = β b k per tutti i k = 1, 2, ..., ne alcuni α, β, |α| + |β| >0.

5) Disuguaglianza di Minkowski, per p ≥ 1

Formule di disuguaglianze soddisfacibili

Le disuguaglianze soddisfacibili sono soddisfatte per determinati valori delle quantità in esse incluse.

1) Disuguaglianza di Bernoulli:
.
In più vista generale:
,
dove , numeri dello stesso segno e maggiori di -1 : .
Lemma di Bernoulli:
.
Vedi "Dimostrazioni delle disuguaglianze e lemma di Bernoulli".

2)
per a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) La disuguaglianza di Chebyshev
A 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n E 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
A 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n E b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Disuguaglianze generalizzate di Chebyshev
A 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n E 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ek naturale
.
A 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n E b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Proprietà delle disuguaglianze

Le proprietà delle disuguaglianze sono un insieme di regole che vengono soddisfatte quando le trasformano. Di seguito sono riportate le proprietà delle disuguaglianze. Resta inteso che le disuguaglianze originarie sono soddisfatte per valori di x i (i = 1, 2, 3, 4) appartenenti a un qualche intervallo predeterminato.

1) Quando cambia l'ordine dei lati, il segno di disuguaglianza cambia al contrario.
Se x1< x 2 , то x 2 >x1.
Se x 1 ≤ x 2, allora x 2 ≥ x 1.
Se x 1 ≥ x 2, allora x 2 ≤ x 1.
Se x 1 > x 2 allora x 2< x 1 .

2) Una uguaglianza equivale a due disuguaglianze deboli segno diverso.
Se x 1 = x 2, allora x 1 ≤ x 2 e x 1 ≥ x 2.
Se x 1 ≤ x 2 e x 1 ≥ x 2, allora x 1 = x 2.

3) Proprietà di transitività
Se x1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Se x1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Se x 1 ≤ x 2 e x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Se x 1 ≤ x 2 e x 2 ≤ x 3, allora x 1 ≤ x 3.

4) Lo stesso numero può essere aggiunto (sottratto) a entrambi i membri della disuguaglianza.
Se x1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Se x 1 ≤ x 2, allora x 1 + A ≤ x 2 + A.
Se x 1 ≥ x 2, allora x 1 + A ≥ x 2 + A.
Se x 1 > x 2, allora x 1 + A > x 2 + A.

5) Se ci sono due o più disuguaglianze con il segno della stessa direzione, è possibile sommare i loro lati sinistro e destro.
Se x1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Se x1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Se x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Se x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, allora x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Espressioni simili si applicano ai segni ≥, >.
Se le disuguaglianze originali contengono segni di disuguaglianze non strette e almeno una disuguaglianza stretta (ma tutti i segni hanno la stessa direzione), allora l'addizione risulta in una disuguaglianza stretta.

6) Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per un numero positivo.
Se x1< x 2 и A >0, quindi A x 1< A · x 2 .
Se x 1 ≤ x 2 e A > 0, allora A x 1 ≤ A x 2.
Se x 1 ≥ x 2 e A > 0, allora A x 1 ≥ A x 2.
Se x 1 > x 2 e A > 0, allora A · x 1 > A · x 2.

7) Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per un numero negativo. In questo caso, il segno della disuguaglianza cambierà al contrario.
Se x1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Se x 1 ≤ x 2 e A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Se x 1 ≥ x 2 e A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Se x 1 > x 2 e A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Se ci sono due o più disuguaglianze con termini positivi, con il segno della stessa direzione, allora i loro lati sinistro e destro possono essere moltiplicati l'uno per l'altro.
Se x1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 quindi x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Se x1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 quindi x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Se x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 quindi x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Se x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 allora x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Espressioni simili si applicano ai segni ≥, >.
Se le disuguaglianze originali contengono segni di disuguaglianze non strette e almeno una disuguaglianza stretta (ma tutti i segni hanno la stessa direzione), allora la moltiplicazione risulta in una disuguaglianza stretta.

9) Sia f(x) una funzione monotonicamente crescente. Cioè, per ogni x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Quindi questa funzione può essere applicata a entrambi i membri della disuguaglianza, il che non cambierà il segno della disuguaglianza.
Se x1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Se x 1 ≤ x 2 allora f(x 1) ≤ f(x 2) .
Se x 1 ≥ x 2 allora f(x 1) ≥ f(x 2) .
Se x 1 > x 2, allora f(x 1) > f(x 2).

10) Sia f(x) una funzione monotonicamente decrescente, ovvero per ogni x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Se x1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Se x 1 ≤ x 2 allora f(x 1) ≥ f(x 2) .
Se x 1 ≥ x 2 allora f(x 1) ≤ f(x 2) .
Se x 1 > x 2 allora f(x 1)< f(x 2) .

Metodi per risolvere le disuguaglianze

Risolvere le disuguaglianze utilizzando il metodo degli intervalli

Il metodo dell'intervallo è applicabile se la disuguaglianza include una variabile, che denotiamo come x, e ha la forma:
f(x) > 0
dove f(x) - funzione continua, avente un numero finito di punti di discontinuità. Il segno di disuguaglianza può essere qualsiasi cosa: >, ≥,<, ≤ .

Il metodo dell'intervallo è il seguente.

1) Trova il dominio di definizione della funzione f(x) e contrassegnalo con intervalli sull'asse dei numeri.

2) Trovare i punti di discontinuità della funzione f(x). Ad esempio, se questa è una frazione, troviamo i punti in cui il denominatore diventa zero. Contrassegniamo questi punti sull'asse dei numeri.

3) Risolvi l'equazione
f(x) = 0 .
Contrassegniamo le radici di questa equazione sull'asse dei numeri.

4) Di conseguenza, l'asse dei numeri verrà diviso in intervalli (segmenti) per punti. All'interno di ogni intervallo compreso nel dominio di definizione selezioniamo un punto qualsiasi e a questo punto calcoliamo il valore della funzione. Se questo valore è maggiore di zero, posizioniamo un segno “+” sopra il segmento (intervallo). Se questo valore è inferiore a zero, inseriamo un segno "-" sopra il segmento (intervallo).

5) Se la disuguaglianza ha la forma: f(x) > 0, selezionare gli intervalli con il segno “+”. La soluzione alla disuguaglianza è combinare questi intervalli, che non includono i loro confini.
Se la disuguaglianza ha la forma: f(x) ≥ 0, allora alla soluzione aggiungiamo punti in cui f(x) = 0. Cioè, alcuni intervalli potrebbero avere confini chiusi (il confine appartiene all'intervallo). l'altra parte può avere confini aperti (il confine non appartiene all'intervallo).
Allo stesso modo, se la disuguaglianza ha la forma: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Se la disuguaglianza ha la forma: f(x) ≤ 0, allora alla soluzione aggiungiamo punti in cui f(x) = 0.

Risolvere le disuguaglianze utilizzando le loro proprietà

Questo metodo è applicabile a disuguaglianze di qualsiasi complessità. Consiste nell'applicare le proprietà (presentate sopra) per ridurre le disuguaglianze a una forma più semplice e ottenere una soluzione. È del tutto possibile che ciò si tradurrà non solo in uno, ma in un sistema di disuguaglianze. Questo è un metodo universale. Si applica a qualsiasi disuguaglianza.

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

Uno degli argomenti che richiede la massima attenzione e perseveranza da parte degli studenti è la risoluzione delle disuguaglianze. Così simili alle equazioni e allo stesso tempo molto diverse da esse. Perché risolverli richiede un approccio speciale.

Proprietà che saranno necessarie per trovare la risposta

Tutti vengono utilizzati per sostituire una voce esistente con una equivalente. La maggior parte di essi sono simili a quelli contenuti nelle equazioni. Ma ci sono anche delle differenze.

• Una funzione definita nell'ODZ, o qualsiasi numero, può essere aggiunta a entrambi i membri della disuguaglianza originale.
• Allo stesso modo, la moltiplicazione è possibile, ma solo per una funzione o un numero positivo.
• Se questa azione viene eseguita con una funzione o un numero negativo, il segno di disuguaglianza deve essere sostituito con quello opposto.
• Le funzioni non negative possono essere elevate a una potenza positiva.

A volte la risoluzione delle disuguaglianze è accompagnata da azioni che forniscono risposte estranee. Devono essere esclusi mediante confronto Zona ODZ e tante soluzioni.

Utilizzando il metodo dell'intervallo

La sua essenza è ridurre la disuguaglianza a un'equazione in cui c'è uno zero a destra.

1. Determinare l'area in cui si trovano i valori consentiti delle variabili, ovvero l'ODZ.
2. Trasforma la disuguaglianza utilizzando operazioni matematiche in modo che il lato destro abbia uno zero.
3. Sostituisci il segno di disuguaglianza con “=" e risolvi l'equazione corrispondente.
4. Sull'asse numerico, segna tutte le risposte ottenute durante la soluzione, nonché gli intervalli OD. In caso di disuguaglianza rigorosa, i punti devono essere tracciati come forati. Se c'è un segno uguale, dovrebbero essere verniciati.
5. Determina il segno della funzione originale su ciascun intervallo ottenuto dai punti dell'ODZ e dalle risposte che lo dividono. Se il segno della funzione non cambia passando per un punto, viene incluso nella risposta. Altrimenti è escluso.
6. I punti di confine per ODZ devono essere ulteriormente controllati e solo successivamente inclusi o meno nella risposta.
7. La risposta risultante deve essere scritta sotto forma di insiemi combinati.

Un po’ di doppie disuguaglianze

Usano due segni di disuguaglianza contemporaneamente. Cioè, alcune funzioni sono limitate da condizioni due volte contemporaneamente. Tali disuguaglianze vengono risolte come un sistema a due, quando l'originale è diviso in parti. E nel metodo dell'intervallo vengono indicate le risposte derivanti dalla risoluzione di entrambe le equazioni.

Per risolverli è consentito anche utilizzare le proprietà sopra indicate. Con il loro aiuto è conveniente ridurre a zero la disuguaglianza.

Che dire delle disuguaglianze che hanno un modulo?

In questo caso, la soluzione alle disuguaglianze utilizza le seguenti proprietà, e sono valide per un valore positivo di “a”.

Se "x" prende espressione algebrica, allora sono valide le seguenti sostituzioni:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > dalla a alla x< -a или х >UN.

Se le disuguaglianze non sono rigorose, anche le formule sono corrette, solo in esse, oltre al segno maggiore o minore, appare “=".

Come si risolve un sistema di disuguaglianze?

Questa conoscenza sarà richiesta nei casi in cui tale compito viene assegnato o vi è una registrazione di doppia disuguaglianza o nel record appare un modulo. In una situazione del genere, la soluzione saranno i valori delle variabili che soddisferebbero tutte le disuguaglianze nel record. Se non esistono tali numeri, il sistema non ha soluzioni.

Il piano secondo il quale viene effettuata la soluzione del sistema di disuguaglianze:

• risolverli ciascuno separatamente;
• rappresentare tutti gli intervalli sull'asse dei numeri e determinare le loro intersezioni;
• annotare la risposta del sistema, che sarà una combinazione di quanto accaduto nel secondo paragrafo.

Cosa fare con le disuguaglianze frazionarie?

Poiché per risolverli potrebbe essere necessario cambiare il segno della disuguaglianza, è necessario seguire con molta attenzione e attenzione tutti i punti del piano. Altrimenti potresti ottenere la risposta opposta.

Anche la risoluzione delle disuguaglianze frazionarie utilizza il metodo dell'intervallo. E il piano d'azione sarà così:

• Usando le proprietà descritte, dai alla frazione una forma tale che a destra del segno rimanga solo lo zero.
• Sostituisci la disuguaglianza con "=" e determina i punti in cui la funzione sarà uguale a zero.
• Segnateli sull'asse delle coordinate. In questo caso, i numeri ottenuti come risultato dei calcoli al denominatore verranno sempre perforati. Tutti gli altri si basano sulla condizione di disuguaglianza.
• Determinare gli intervalli di costanza del segno.
• In risposta, scrivi l'unione di quegli intervalli il cui segno corrisponde a quello della disuguaglianza originale.

Situazioni in cui l'irrazionalità appare nella disuguaglianza

In altre parole, c'è una radice matematica nella notazione. Dal corso di algebra scolastica la maggior parte le assegnazioni riguardano la radice quadrata, questo è ciò che verrà considerato.

La soluzione alle disuguaglianze irrazionali si riduce all’ottenimento di un sistema a due o tre che sia equivalente a quello originario.

Disuguaglianza originaria	condizione	sistema equivalente
√n(x)< m(х)	m(x) minore o uguale a 0	nessuna soluzione
	m(x) maggiore di 0	n(x) è maggiore o uguale a 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) maggiore o uguale a 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) è maggiore o uguale a 0 m(x) inferiore a 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) inferiore a 0	nessuna soluzione
	m(x) maggiore o uguale a 0	n(x) è maggiore o uguale a 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) maggiore o uguale a 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) è maggiore o uguale a 0 m(x) inferiore a 0
√n(x)< √ m(х)		n(x) è maggiore o uguale a 0 n(x) inferiore a m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) maggiore di 0 m(x) inferiore a 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) maggiore di 0 m(x) maggiore di 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) maggiore di 0
		n(x) è uguale a 0 m(x) - qualsiasi
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) maggiore di 0
		n(x) è uguale a 0 m(x) - qualsiasi

Esempi di risoluzione di diversi tipi di diseguaglianze

Per aggiungere chiarezza alla teoria sulla risoluzione delle disuguaglianze, di seguito vengono forniti degli esempi.

Primo esempio. 2x - 4 > 1 + x

Soluzione: per determinare l’ADI basta osservare da vicino la disuguaglianza. È formato da funzioni lineari, quindi definita per tutti i valori della variabile.

Ora devi sottrarre (1 + x) da entrambi i lati della disuguaglianza. Risulta: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Dopo aver aperto le parentesi e fornito termini simili, la disuguaglianza assumerà la seguente forma: x - 5 > 0.

Uguagliandolo a zero, è facile trovare la sua soluzione: x = 5.

Ora questo punto con il numero 5 deve essere segnato sul raggio delle coordinate. Quindi controllare i segni della funzione originale. Nel primo intervallo da meno infinito a 5 puoi prendere il numero 0 e sostituirlo nella disuguaglianza ottenuta dopo le trasformazioni. Dopo i calcoli risulta -7 >0. sotto l'arco dell'intervallo è necessario firmare un segno meno.

Nell'intervallo successivo da 5 a infinito, puoi scegliere il numero 6. Quindi risulta che 1 > 0. C'è un segno "+" sotto l'arco. Questo secondo intervallo sarà la risposta alla disuguaglianza.

Risposta: x sta nell'intervallo (5; ∞).

Secondo esempio. È necessario risolvere un sistema di due equazioni: 3x + 3 ≤ 2x + 1 e 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Soluzione. Anche il VA di queste disuguaglianze si trova nell'area di qualsiasi numero, poiché sono date funzioni lineari.

La seconda disuguaglianza assumerà la forma della seguente equazione: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Dopo la trasformazione: -x - 4 =0. Ciò produce un valore per la variabile pari a -4.

Questi due numeri devono essere contrassegnati sull'asse, raffigurando gli intervalli. Poiché la disuguaglianza non è stretta, tutti i punti devono essere ombreggiati. Il primo intervallo va da meno infinito a -4. Sia scelto il numero -5. La prima disuguaglianza darà il valore -3 e la seconda 1. Ciò significa che questo intervallo non è incluso nella risposta.

Il secondo intervallo va da -4 a -2. Puoi scegliere il numero -3 e sostituirlo in entrambe le disuguaglianze. Nel primo e nel secondo il valore è -1. Ciò significa che sotto l'arco “-”.

Nell'ultimo intervallo da -2 a infinito, il numero migliore è zero. Devi sostituirlo e trovare i valori delle disuguaglianze. Il primo produce un numero positivo, il secondo uno zero. Anche questa lacuna deve essere esclusa dalla risposta.

Dei tre intervalli, solo uno è una soluzione alla disuguaglianza.

Risposta: x appartiene a [-4; -2].

Terzo esempio. |1 -x| > 2 |x - 1|.

Soluzione. Il primo passo è determinare i punti in cui le funzioni svaniscono. Per quello di sinistra questo numero sarà 2, per quello di destra - 1. È necessario segnarli sulla trave e determinare gli intervalli di costanza del segno.

Nel primo intervallo, da meno infinito a 1, la funzione a sinistra della disuguaglianza assume valori positivi, mentre la funzione a destra assume valori negativi. Sotto l'arco devi scrivere due segni “+” e “-” uno accanto all'altro.

L'intervallo successivo va da 1 a 2. Su di esso entrambe le funzioni assumono valori positivi. Ciò significa che ci sono due vantaggi sotto l'arco.

Il terzo intervallo da 2 a infinito darà il seguente risultato: funzione sinistra- negativo, giusto - positivo.

Tenendo conto dei segni risultanti, è necessario calcolare i valori di disuguaglianza per tutti gli intervalli.

La prima produce la seguente disuguaglianza: 2 - x > - 2 (x - 1). Il meno prima dei due nella seconda disuguaglianza è dovuto al fatto che questa funzione è negativa.

Dopo la trasformazione, la disuguaglianza appare così: x > 0. Fornisce immediatamente i valori della variabile. Cioè da questo intervallo verrà data risposta solo all'intervallo da 0 a 1.

Sul secondo: 2 - x > 2 (x - 1). Le trasformazioni daranno la seguente disuguaglianza: -3x + 4 è maggiore di zero. Il suo zero sarà x = 4/3. Tenendo conto del segno di disuguaglianza, risulta che x deve essere inferiore a questo numero. Ciò significa che questo intervallo è ridotto ad un intervallo da 1 a 4/3.

Quest'ultimo dà la seguente disuguaglianza: - (2 - x) > 2 (x - 1). La sua trasformazione porta a quanto segue: -x > 0. Cioè, l'equazione è vera quando x è minore di zero. Ciò significa che sull'intervallo richiesto la disuguaglianza non fornisce soluzioni.

Nei primi due intervalli il numero limite è risultato essere 1. Deve essere controllato separatamente. Cioè, sostituiscilo nella disuguaglianza originale. Risulta: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Contando si vede che 1 è maggiore di 0. Questa è un'affermazione vera, quindi nella risposta è incluso uno.

Risposta: x sta nell'intervallo (0; 4/3).

Sin dai tempi antichi è stato necessario confrontare quantità e quantità quando si risolvevano problemi pratici. Allo stesso tempo, sono apparse parole come più e meno, più alto e più basso, più leggero e più pesante, più silenzioso e più forte, più economico e più costoso, ecc., Che denotano i risultati del confronto di quantità omogenee.

I concetti di più e di meno sono nati in relazione al conteggio di oggetti, alla misurazione e al confronto di quantità. Ad esempio, i matematici dell'antica Grecia sapevano che il lato di qualsiasi triangolo è minore della somma degli altri due lati e che in un triangolo il lato maggiore è opposto all'angolo maggiore. Archimede, calcolando la circonferenza, stabilì che il perimetro di qualsiasi cerchio è pari a tre volte il diametro con un eccesso che è inferiore a un settimo del diametro, ma superiore a diecisettanta volte il diametro.

Scrivi simbolicamente le relazioni tra numeri e quantità utilizzando i segni > e b. Record in cui due numeri sono collegati da uno dei segni: > (maggiore di), hai riscontrato disuguaglianze numeriche anche in classi giovanili. Sai che le disuguaglianze possono essere vere o false. Ad esempio, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) è una disuguaglianza numerica corretta, 0,23 > 0,235 è una disuguaglianza numerica errata.

Le disuguaglianze che comportano incognite possono essere vere per alcuni valori delle incognite e false per altri. Ad esempio, la disuguaglianza 2x+1>5 è vera per x = 3, ma falsa per x = -3. Per una disuguaglianza con un'incognita, puoi impostare il compito: risolvere la disuguaglianza. I problemi di risoluzione delle disuguaglianze nella pratica vengono posti e risolti non meno spesso dei problemi di risoluzione delle equazioni. Ad esempio, molti problemi economici si riducono allo studio e alla soluzione dei sistemi disuguaglianze lineari. In molti rami della matematica, le disuguaglianze sono più comuni delle equazioni.

Alcune disuguaglianze servono come uniche ausiliario, permettendoti di dimostrare o confutare l'esistenza di un determinato oggetto, ad esempio la radice di un'equazione.

Disuguaglianze numeriche

Puoi confrontare numeri interi? decimali. Conosci le regole del confronto? frazioni ordinarie con gli stessi denominatori ma numeratori diversi; con gli stessi numeratori, ma denominatori diversi. Qui imparerai come confrontare due numeri qualsiasi trovando il segno della loro differenza.

Il confronto dei numeri è ampiamente utilizzato nella pratica. Ad esempio, un economista confronta gli indicatori pianificati con quelli effettivi, un medico confronta la temperatura di un paziente con quella normale, un tornitore confronta le dimensioni di un pezzo lavorato con uno standard. In tutti questi casi, vengono confrontati alcuni numeri. Come risultato del confronto dei numeri, sorgono disuguaglianze numeriche.

Definizione. Numero a più numero b, se differenza a-b positivo. Numero a meno numero b, se la differenza a-b è negativa.

Se a è maggiore di b, allora scrivono: a > b; se a è minore di b, allora scrivono: a Quindi, la disuguaglianza a > b significa che la differenza a - b è positiva, cioè a - b > 0. Disuguaglianza a Per due numeri qualsiasi a e b, dalle seguenti tre relazioni a > b, a = b, a Confrontare i numeri a e b significa scoprire quale dei segni >, = o Teorema. Se a > b e b > c, allora a > c.

Teorema. Se aggiungi lo stesso numero a entrambi i membri della disuguaglianza, il segno della disuguaglianza non cambierà.
Conseguenza. Qualsiasi termine può essere spostato da una parte all'altra della disuguaglianza cambiando il segno di questo termine nel contrario.

Teorema. Se entrambi i membri della disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso numero positivo, il segno della disuguaglianza non cambia. Se entrambi i lati della disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso numero negativo, il segno della disuguaglianza cambierà al contrario.
Conseguenza. Se entrambi i membri della disuguaglianza sono divisi per lo stesso numero positivo, il segno della disuguaglianza non cambierà. Se entrambi i membri della disuguaglianza sono divisi per lo stesso numero negativo, il segno della disuguaglianza cambierà nel segno opposto.

Sai che le uguaglianze numeriche possono essere aggiunte e moltiplicate termine per termine. Successivamente, imparerai come eseguire azioni simili con disuguaglianze. La capacità di sommare e moltiplicare le disuguaglianze termine per termine viene spesso utilizzata nella pratica. Queste azioni aiutano a risolvere i problemi di valutazione e confronto dei significati delle espressioni.

Quando si risolvono vari problemi, è spesso necessario aggiungere o moltiplicare i lati sinistro e destro delle disuguaglianze termine per termine. Allo stesso tempo, a volte si dice che le disuguaglianze si sommano o si moltiplicano. Ad esempio, se un turista ha percorso più di 20 km il primo giorno e più di 25 km il secondo, allora possiamo dire che in due giorni ha percorso più di 45 km. Allo stesso modo, se la lunghezza di un rettangolo è inferiore a 13 cm e la larghezza è inferiore a 5 cm, allora possiamo dire che l'area di questo rettangolo è inferiore a 65 cm2.

Nel considerare questi esempi, sono stati utilizzati i seguenti: teoremi sull'addizione e sulla moltiplicazione delle disuguaglianze:

Teorema. Sommando disuguaglianze dello stesso segno si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno: se a > b e c > d, allora a + c > b + d.

Teorema. Moltiplicando disuguaglianze dello stesso segno, i cui lati sinistro e destro sono positivi, si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno: se a > b, c > d e a, b, c, d sono numeri positivi, allora ac > bd.

Disuguaglianze con il segno > (maggiore di) e 1/2, 3/4 b, c Insieme ai segni di disuguaglianze strette > e Allo stesso modo, la disuguaglianza \(a \geq b \) significa che il numero a è maggiore o uguale a b, cioè .e non inferiore a b.

Le disuguaglianze contenenti il ​​segno \(\geq \) o il segno \(\leq \) sono dette non strette. Ad esempio, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) non sono disuguaglianze strette.

Tutte le proprietà delle disuguaglianze strette valgono anche per le disuguaglianze non strette. Inoltre, se per disuguaglianze strette i segni > fossero considerati opposti e si sapesse che per risolvere una serie di problemi applicati è necessario creare un modello matematico sotto forma di equazione o sistema di equazioni. Successivamente lo scoprirai modelli matematici Per risolvere molti problemi ci sono disuguaglianze con incognite. Verrà introdotto il concetto di risoluzione di una disuguaglianza e verrà mostrato come verificare se un dato numero è una soluzione ad una particolare disuguaglianza.

Disuguaglianze della forma
\(ax > b, \quad ax in cui a e b sono numeri e x è un'incognita, sono chiamati disuguaglianze lineari con una incognita.

Definizione. La soluzione ad una disuguaglianza con un'incognita è il valore dell'incognita al quale questa disuguaglianza diventa una vera disuguaglianza numerica. Risolvere una disuguaglianza significa trovare tutte le sue soluzioni o constatare che non ne esiste alcuna.

Hai risolto le equazioni riducendole alle equazioni più semplici. Allo stesso modo, quando si risolvono le disuguaglianze, si cerca di ridurle, utilizzando le proprietà, alla forma di disuguaglianze semplici.

Risolvere disuguaglianze di secondo grado con una variabile

Disuguaglianze della forma
\(ax^2+bx+c >0 \) e \(ax^2+bx+c dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 \), chiamato disuguaglianze di secondo grado con una variabile.

Soluzione alla disuguaglianza
\(ax^2+bx+c >0 \) o \(ax^2+bx+c possono essere considerati come la ricerca di intervalli in cui la funzione \(y= ax^2+bx+c \) assume valore positivo o negativo valori Per fare ciò, è sufficiente analizzare come si trova il grafico della funzione \(y= ax^2+bx+c\) nel piano delle coordinate: dove sono diretti i rami della parabola - verso l'alto o verso il basso, a prescindere la parabola interseca l'asse x e, se lo fa, in quali punti.

Algoritmo per risolvere le disuguaglianze di secondo grado con una variabile:
1) trovare il discriminante del trinomio quadrato \(ax^2+bx+c\) e scoprire se il trinomio ha radici;
2) se il trinomio ha radici, segnatele sull'asse x e attraverso i punti segnati tracciate una parabola schematica, i cui rami sono diretti verso l'alto per a > 0 o verso il basso per a 0 o in basso per a 3) trova gli intervalli sull'asse x per i quali i punti parabole si trovano sopra l'asse x (se risolvono la disuguaglianza \(ax^2+bx+c >0\)) o sotto l'asse x (se risolvono la disuguaglianza \(ax^2+bx+c >0\)) disuguaglianza
\(ax^2+bx+c Risolvere le disuguaglianze utilizzando il metodo degli intervalli

Considera la funzione
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Il dominio di questa funzione è l'insieme di tutti i numeri. Gli zeri della funzione sono i numeri -2, 3, 5. Dividono il dominio di definizione della funzione negli intervalli \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) e \( (5; +\infty)\)

Scopriamo quali sono i segni di questa funzione in ciascuno degli intervalli indicati.

L'espressione (x + 2)(x - 3)(x - 5) è il prodotto di tre fattori. Il segno di ciascuno di questi fattori negli intervalli considerati è indicato nella tabella:

In generale, lasciamo che la funzione sia data dalla formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dove x è una variabile e x 1, x 2, ..., x n sono numeri che non sono uguali tra loro. I numeri x 1 , x 2 , ..., x n sono gli zeri della funzione. In ciascuno degli intervalli in cui il dominio di definizione è diviso per gli zeri della funzione, il segno della funzione viene conservato e quando passa per lo zero cambia segno.

Questa proprietà viene utilizzata per risolvere le disuguaglianze della forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dove x 1, x 2, ..., x n sono numeri non uguali tra loro

Metodo considerato la risoluzione delle disuguaglianze è chiamata metodo degli intervalli.

Forniamo esempi di risoluzione delle disuguaglianze utilizzando il metodo degli intervalli.

Risolvere la disuguaglianza:

\(x(0.5-x)(x+4) Ovviamente gli zeri della funzione f(x) = x(0.5-x)(x+4) sono i punti \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Tracciamo gli zeri della funzione sull'asse dei numeri e calcoliamo il segno su ciascun intervallo:

Selezioniamo gli intervalli in cui la funzione è inferiore o uguale a zero e annotiamo la risposta.

Risposta:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Cosa devi sapere sulle icone della disuguaglianza? Disuguaglianze con icona Di più (> ), O meno (< ) sono chiamati rigoroso. Con icone più o uguale (≥ ), inferiore o uguale (≤ ) sono chiamati non severo. Icona non uguale (≠ ) si distingue, ma devi anche risolvere sempre esempi con questa icona. E decideremo.)

L'icona stessa non ha molta influenza sul processo di soluzione. Ma alla fine della decisione, quando si sceglie la risposta finale, il significato dell'icona appare in tutta la sua forza! Questo è ciò che vedremo di seguito negli esempi. Ci sono alcune battute lì...

Le disuguaglianze, come le uguaglianze, esistono fedele e infedele. Qui tutto è semplice, senza trucchi. Diciamo 5 > 2 è una vera disuguaglianza. 5 < 2 - errato.

Questa preparazione funziona per le disuguaglianze qualsiasi tipo e semplice fino all'orrore.) Devi solo eseguire correttamente due (solo due!) azioni elementari. Queste azioni sono familiari a tutti. Ma, tipicamente, gli errori in queste azioni sono l'errore principale nella risoluzione delle disuguaglianze, sì... Pertanto, queste azioni devono essere ripetute. Queste azioni sono chiamate come segue:

Trasformazioni identiche di disuguaglianze.

Le trasformazioni identiche delle disuguaglianze sono molto simili alle trasformazioni identiche delle equazioni. In realtà, questo è il problema principale. Le differenze ti superano e... eccoti qui.) Pertanto, metterò in evidenza soprattutto queste differenze. Quindi, la prima trasformazione identica delle disuguaglianze:

1. Lo stesso numero o espressione può essere aggiunto (sottratto) a entrambi i membri della disuguaglianza. Qualunque. Ciò non cambierà il segno di disuguaglianza.

In pratica, questa regola viene utilizzata come trasferimento di termini dal lato sinistro della disuguaglianza a quello destro (e viceversa) con un cambio di segno. Con il cambio di segno del termine, non la disuguaglianza! La regola uno-a-uno è la stessa della regola per le equazioni. Ma le seguenti trasformazioni identiche nelle disuguaglianze differiscono significativamente da quelle nelle equazioni. Quindi li evidenzio in rosso:

2. Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosapositivonumero. Per ognipositivo Non cambierà.

3. Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosanegativo numero. Per ogninegativonumero. Il segno di disuguaglianza da questocambierà al contrario.

Ricorda (spero...) che l'equazione può essere moltiplicata/divisa per qualsiasi cosa. E per qualsiasi numero e per un'espressione con una X. Se solo non fosse zero. Questo rende lui, l'equazione, né caldo né freddo.) Non cambia. Ma le disuguaglianze sono più sensibili alla moltiplicazione/divisione.

Un chiaro esempio di memoria lunga. Scriviamo la disuguaglianza discutibile:

5 > 2

Moltiplica entrambi i lati per +3, noi abbiamo:

15 > 6

Qualche obiezione? Non ci sono obiezioni.) E se moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza originale per -3, noi abbiamo:

15 > -6

E questa è una bugia assoluta.) Una bugia completa! Inganno del popolo! Ma non appena si cambia il segno di disuguaglianza in quello opposto, tutto va a posto:

15 < -6

Non sto solo giurando su bugie e inganni.) "Ho dimenticato di cambiare il segno di uguale..."- Questo casa errore nel risolvere le disuguaglianze. Questa banale e semplice regola ha fatto male a tantissime persone! Che si sono dimenticati...) Quindi lo giuro. Forse mi ricorderò...)

Le persone particolarmente attente noteranno che la disuguaglianza non può essere moltiplicata per un'espressione con una X. Rispetto a chi è attento!) Perché no? La risposta è semplice. Non conosciamo il segno di questa espressione con una X. Può essere positivo, negativo... Pertanto, non sappiamo quale segno di disuguaglianza mettere dopo la moltiplicazione. Dovrei cambiarlo o no? Sconosciuto. Naturalmente questa restrizione (il divieto di moltiplicare/dividere una disuguaglianza per un'espressione con una x) può essere aggirata. Se ne hai davvero bisogno. Ma questo è un argomento per altre lezioni.

Queste sono tutte le identiche trasformazioni delle disuguaglianze. Lascia che ti ricordi ancora una volta per cui lavorano Qualunque disuguaglianze Ora puoi passare a tipi specifici.

Disuguaglianze lineari. Soluzione, esempi.

Le disuguaglianze lineari sono disuguaglianze in cui x è alla prima potenza e non esiste divisione per x. Tipo:

x+3 > 5x-5

Come si risolvono tali disuguaglianze? Sono molto facili da risolvere! Vale a dire: con l'aiuto di riduciamo la disuguaglianza lineare più confusa direttamente alla risposta. Questa è la soluzione. Evidenzierò i punti principali della decisione. Per evitare errori stupidi.)

Risolviamo questa disuguaglianza:

x+3 > 5x-5

La risolviamo esattamente allo stesso modo di un'equazione lineare. Con l'unica differenza:

Monitoriamo attentamente il segno di disuguaglianza!

Il primo passo è quello più comune. Con X - a sinistra, senza X - a destra... Questa è la prima trasformazione identica, semplice e senza problemi.) Basta non dimenticare di cambiare i segni dei termini trasferiti.

Il segno di disuguaglianza rimane:

x-5x > -5-3

Eccone di simili.

Il segno di disuguaglianza rimane:

4x > -8

Resta da applicare l'ultima identica trasformazione: dividere entrambi i lati per -4.

Dividi per negativo numero.

Il segno di disuguaglianza cambierà nel contrario:

X < 2

Questa è la risposta.

Ecco come vengono risolte tutte le disuguaglianze lineari.

Attenzione! Il punto 2 è disegnato in bianco, cioè non verniciato. Vuoto dentro. Ciò significa che non è inclusa nella risposta! L'ho disegnata così sana apposta. Un punto del genere (vuoto, non sano!)) in matematica si chiama punto forato.

I restanti numeri sull'asse possono essere contrassegnati, ma non sono necessari. I numeri estranei che non sono legati alla nostra disuguaglianza possono creare confusione, sì... Devi solo ricordare che i numeri aumentano nella direzione della freccia, cioè numeri 3, 4, 5, ecc. Sono A destra sono due e i numeri sono 1, 0, -1, ecc. - A sinistra.

Disuguaglianza x < 2 - rigoroso. X è strettamente minore di due. In caso di dubbio, controllare è semplice. Sostituiamo il numero dubbio nella disuguaglianza e pensiamo: "Due è meno di due? No, certo!" Esattamente. Disuguaglianza 2 < 2 errato. Un due in cambio non è appropriato.

Uno va bene? Certamente. Meno... E zero va bene, e -17 e 0,34... Sì, tutti i numeri inferiori a due vanno bene! E anche 1.9999.... Almeno un po', ma meno!

Quindi segniamo tutti questi numeri sull'asse dei numeri. Come? Ci sono opzioni qui. L'opzione uno è l'ombreggiatura. Spostiamo il mouse sull'immagine (o tocchiamo l'immagine sul tablet) e vediamo che l'area di tutti gli x che soddisfano la condizione x è ombreggiata < 2 . È tutto.

Diamo un'occhiata alla seconda opzione utilizzando il secondo esempio:

X ≥ -0,5

Disegna un asse e segna il numero -0,5. Come questo:

Noti la differenza?) Ebbene sì, è difficile non notarlo... Questo punto è nero! Verniciato. Ciò significa -0,5 è incluso nella risposta. Qui, a proposito, la verifica potrebbe confondere qualcuno. Sostituiamo:

-0,5 ≥ -0,5

Come mai? -0,5 non è più di -0,5! E c'è più icona...

Va bene. In una disuguaglianza debole, tutto ciò che si adatta all'icona è adatto. E equivale bene e Di più Bene. Pertanto, nella risposta è incluso -0,5.

Quindi, abbiamo segnato -0,5 sull'asse; resta da segnare tutti i numeri maggiori di -0,5. Questa volta contrassegno l'area dei valori x adatti arco(dalla parola arco), anziché l'ombreggiatura. Passiamo il cursore sul disegno e vediamo questo arco.

Non vi è alcuna differenza particolare tra l'ombreggiatura e i braccioli. Fai come dice l'insegnante. Se non c'è l'insegnante, disegna gli archi. Nelle attività più complesse, l'ombreggiatura è meno evidente. Puoi confonderti.

Ecco come vengono disegnate le disuguaglianze lineari su un asse. Passiamo alla caratteristica successiva delle disuguaglianze.

Scrivere la risposta alle disuguaglianze.

Le equazioni erano buone.) Abbiamo trovato x e abbiamo scritto la risposta, ad esempio: x=3. Esistono due forme di scrittura delle risposte alle disuguaglianze. Uno è sotto forma di disuguaglianza finale. Buono per casi semplici. Per esempio:

X< 2.

Questa è una risposta completa.

A volte è necessario scrivere la stessa cosa, ma in una forma diversa, a intervalli numerici. Quindi la registrazione inizia a sembrare molto scientifica):

x∈ (-∞; 2)

Sotto l'icona ∈ la parola è nascosta "appartiene".

La voce recita così: x appartiene all'intervallo da meno infinito a due non incluso. Abbastanza logico. X può essere qualsiasi numero tra tutti i numeri possibili da meno infinito a due. Non può esserci una doppia X, questo è ciò che ci dice la parola "non incluso".

E dove nella risposta è chiaro che "non incluso"? Questo fatto è notato nella risposta girare parentesi immediatamente dopo i due. Se i due fossero inclusi, la parentesi lo sarebbe piazza. Come questo: ]. L'esempio seguente utilizza tale parentesi.

Scriviamo la risposta: x ≥ -0,5 ad intervalli:

x∈ [-0,5; +∞)

Si legge: x appartiene all'intervallo da meno 0,5, Compreso, a più infinito.

L'infinito non può mai essere acceso. Non è un numero, è un simbolo. Pertanto, in tali notazioni, l'infinito è sempre adiacente a una parentesi.

Questa forma di registrazione è conveniente per risposte complesse composte da più spazi. Ma - solo per le risposte finali. Nei risultati intermedi, dove si prevede un'ulteriore soluzione, è meglio utilizzare la forma consueta, nella scheda disuguaglianza semplice. Di questo parleremo negli argomenti pertinenti.

Compiti popolari con disuguaglianze.

Le stesse disuguaglianze lineari sono semplici. Pertanto, i compiti spesso diventano più difficili. Quindi era necessario pensare. Questo, se non sei abituato, non è molto piacevole.) Ma è utile. Mostrerò esempi di tali compiti. Non spetta a te impararli, non è necessario. E per non aver paura di incontrare tali esempi. Basta pensarci un po’ ed è semplice!)

1. Trova due soluzioni qualsiasi della disuguaglianza 3x - 3< 0

Se non è molto chiaro cosa fare, ricorda la regola principale della matematica:

Se non sai di cosa hai bisogno, fai quello che puoi!)

X < 1

E cosa? Niente di speciale. Cosa ci chiedono? Ci viene chiesto di trovare due numeri specifici che siano la soluzione a una disuguaglianza. Quelli. adatta alla risposta. Due Qualunque numeri. In realtà, questo crea confusione.) Sono adatti un paio di 0 e 0,5. Un paio -3 e -8. Esistono un numero infinito di queste coppie! Quale risposta è corretta?!

Rispondo: tutto! Qualsiasi coppia di numeri, ciascuno dei quali è minore di uno, sarà la risposta corretta. Scrivi quale vuoi. Andiamo avanti.

2. Risolvi la disuguaglianza:

4x-3 ≠ 0

I compiti in questa forma sono rari. Ma, come disuguaglianze ausiliarie, quando si trova ODZ, ad esempio, o quando si trova il dominio di definizione di una funzione, si verificano continuamente. Tale disuguaglianza lineare può essere risolta come un'equazione lineare ordinaria. Solo ovunque tranne il segno "=" ( equivale) mettere un cartello " ≠ " (non uguale). Ecco come ti avvicini alla risposta, con un segno di disuguaglianza:

X ≠ 0,75

In più esempi complessi, è meglio fare le cose diversamente. Fare della disuguaglianza l’uguaglianza. Come questo:

4x-3 = 0

Risolvilo con calma come insegnato e ottieni la risposta:

x = 0,75

La cosa principale è, alla fine, quando scrivi la risposta finale, non dimenticare che abbiamo trovato x, che dà uguaglianza. E abbiamo bisogno - disuguaglianza. Pertanto, non abbiamo davvero bisogno di questa X.) E dobbiamo scriverla con il simbolo corretto:

X ≠ 0,75

Questo approccio comporta meno errori. Coloro che risolvono le equazioni automaticamente. E per coloro che non risolvono equazioni, le disuguaglianze sono, in effetti, inutili...) Un altro esempio di un compito popolare:

3. Trova la più piccola soluzione intera della disuguaglianza:

3(x-1) < 5x + 9

Per prima cosa risolviamo semplicemente la disuguaglianza. Apriamo le parentesi, le spostiamo, ne portiamo di simili... Otteniamo:

X > - 6

Non è andata così!? Hai seguito le indicazioni!? E dietro i segni dei membri, e dietro il segno della disuguaglianza...

Ripensiamoci. Dobbiamo trovare un numero specifico che corrisponda sia alla risposta che alla condizione "numero intero più piccolo". Se non te ne rendi conto subito, puoi semplicemente prendere qualsiasi numero e capirlo. Due su meno sei? Certamente! Esiste un numero più piccolo adatto? Ovviamente. Ad esempio, zero è maggiore di -6. E anche meno? Abbiamo bisogno della più piccola cosa possibile! Meno tre è più di meno sei! Puoi già cogliere lo schema e smettere stupidamente di scorrere i numeri, giusto?)

Prendiamo un numero più vicino a -6. Ad esempio, -5. La risposta è soddisfatta, -5 > - 6. È possibile trovare un altro numero inferiore a -5 ma maggiore di -6? Puoi, ad esempio, -5,5... Stop! Ci viene detto Totale soluzione! Non ottiene -5,5! Che ne dici di meno sei? Uh-uh! La disuguaglianza è rigorosa, meno 6 non è in alcun modo inferiore a meno 6!

Pertanto la risposta corretta è -5.

Si spera con una selezione di valori da soluzione generale tutto chiaro. Un altro esempio:

4. Risolvere la disuguaglianza:

7 < 3x+1 < 13

Oh! Questa espressione si chiama tripla disuguaglianza. A rigor di termini, questa è una forma abbreviata di un sistema di disuguaglianze. Ma queste triple disuguaglianze devono ancora essere risolte in alcuni compiti... Può essere risolto senza alcun sistema. Secondo le stesse identiche trasformazioni.

Dobbiamo semplificare, portare questa disuguaglianza alla X pura. Ma... Cosa andrebbe spostato e dove?! È qui che è il momento di ricordare che significa muoversi a destra e a sinistra forma breve prima trasformazione dell’identità.

UN modulo completo suona così: Qualsiasi numero o espressione può essere aggiunto/sottratto a entrambi i lati dell'equazione (disuguaglianza).

Ci sono tre parti qui. Quindi applicheremo trasformazioni identiche a tutte e tre le parti!

Quindi, eliminiamo quello nella parte centrale della disuguaglianza. Sottraiamo uno dall'intera parte centrale. Affinché la disuguaglianza non cambi, sottraiamo uno dalle restanti due parti. Come questo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Così va meglio, vero?) Non resta che dividere tutte e tre le parti in tre:

2 < X < 4

È tutto. Questa è la risposta. X può essere qualsiasi numero compreso tra due (escluso) e quattro (escluso). Anche questa risposta è scritta a intervalli; tali voci saranno in disuguaglianze quadratiche. Là sono la cosa più comune.

Alla fine della lezione ripeterò la cosa più importante. Il successo nella risoluzione delle disuguaglianze lineari dipende dalla capacità di trasformare e semplificare le equazioni lineari. Se allo stesso tempo attenzione al segno di disuguaglianza, non ci saranno problemi. Questo è quello che ti auguro. Nessun problema.)

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Il concetto di disuguaglianza matematica è nato in tempi antichi. Ciò accadde quando l'uomo primitivo iniziò ad avere bisogno di confrontare la loro quantità e dimensione quando contava e maneggiava vari oggetti. Sin dai tempi antichi, Archimede, Euclide e altri famosi scienziati: matematici, astronomi, designer e filosofi hanno utilizzato le disuguaglianze nei loro ragionamenti.

Ma, di regola, usavano la terminologia verbale nelle loro opere. Per la prima volta in Inghilterra sono stati inventati e messi in pratica segni moderni per denotare i concetti di “più” e “meno” nella forma in cui ogni scolaro li conosce oggi. Il matematico Thomas Harriot fornì tale servizio ai suoi discendenti. E questo avvenne circa quattro secoli fa.

Sono noti molti tipi di disuguaglianze. Tra questi ci sono quelli semplici, contenenti una, due o più variabili, rapporti quadratici, frazionari, complessi e persino quelli rappresentati da un sistema di espressioni. Il modo migliore per capire come risolvere le disuguaglianze è utilizzare vari esempi.

Non perdere il treno

Per cominciare, immaginiamo che un residente di una zona rurale si precipiti alla stazione ferroviaria, che si trova a 20 km dal suo villaggio. Per non perdere il treno in partenza alle 11, deve uscire di casa in orario. A che ora dovrebbe essere fatto se la sua velocità è di 5 km/h? La soluzione a questo problema pratico si riduce a soddisfare le condizioni dell'espressione: 5 (11 - X) ≥ 20, dove X è l'orario di partenza.

Ciò è comprensibile, perché la distanza che un abitante del villaggio deve percorrere fino alla stazione è pari alla velocità di movimento moltiplicata per il numero di ore di viaggio. Una persona può arrivare presto, ma non può arrivare in ritardo. Sapendo come risolvere le disuguaglianze e applicando le tue abilità nella pratica, ti ritroverai con X ≤ 7, che è la risposta. Ciò significa che l'abitante del villaggio dovrebbe recarsi alla stazione ferroviaria alle sette del mattino o poco prima.

Intervalli numerici su una linea di coordinate

Scopriamo ora come mappare le relazioni descritte sulla La disuguaglianza ottenuta sopra non è stretta. Vuol dire che la variabile può assumere valori inferiori a 7, oppure può essere uguale a questo numero. Facciamo altri esempi. Per fare ciò, considera attentamente le quattro figure presentate di seguito.

Sul primo puoi vedere immagine grafica divario [-7; 7]. È costituito da un insieme di numeri posti su una linea di coordinate e situati tra -7 e 7, compresi i confini. In questo caso, i punti sul grafico vengono rappresentati come cerchi pieni e l'intervallo viene registrato utilizzando

La seconda figura è una rappresentazione grafica della disuguaglianza rigorosa. In questo caso, i numeri limite -7 e 7, indicati da punti punteggiati (non riempiti), non sono inclusi nell'insieme specificato. E l'intervallo stesso è scritto tra parentesi come segue: (-7; 7).

Cioè, avendo capito come risolvere disuguaglianze di questo tipo e ricevuto una risposta simile, possiamo concludere che è composta da numeri che si trovano tra i confini in questione, tranne -7 e 7. I due casi successivi devono essere valutati in un modo simile. La terza figura mostra le immagini degli intervalli (-∞; -7] U)