È possibile tracciare la dinamica dello sviluppo di un oggetto, l'essenza interna delle relazioni dei suoi elementi e i vari stati nel processo di progettazione solo con l'aiuto di modelli che utilizzano il principio dell'analogia dinamica, cioè con l'aiuto modelli matematici.

Modello matematicoè un sistema di relazioni matematiche che descrivono il processo o il fenomeno studiato. Per compilare un modello matematico, puoi utilizzare qualsiasi mezzo matematico: teoria degli insiemi, logica matematica, linguaggio delle equazioni differenziali o integrali. Viene chiamato il processo di compilazione di un modello matematico modellazione matematica. Come altri tipi di modelli, un modello matematico rappresenta un problema in forma semplificata e descrive solo le proprietà e i modelli più importanti per un determinato oggetto o processo. Il modello matematico consente l’analisi quantitativa multilaterale. Modificando i dati iniziali, i criteri e le restrizioni, ogni volta è possibile ottenere la soluzione ottimale per le condizioni date e determinare l'ulteriore direzione della ricerca.

La creazione di modelli matematici richiede da parte dei loro sviluppatori, oltre alla conoscenza dei metodi logici formali, un'analisi approfondita dell'oggetto studiato al fine di formulare rigorosamente le idee e le regole principali, nonché di identificare una quantità sufficiente di fatti affidabili, dati statistici e normativi.

Va notato che tutti i modelli matematici attualmente utilizzati si riferiscono a prescrittivo. Lo scopo dello sviluppo di modelli prescrittivi è quello di indicare la direzione per trovare una soluzione, mentre lo scopo dello sviluppo descrivendo i modelli riflettono i reali processi di pensiero umano.

Esiste un punto di vista abbastanza diffuso secondo cui con l'aiuto della matematica è possibile ottenere solo alcuni dati numerici sull'oggetto o sul processo studiato. “Naturalmente molte discipline matematiche mirano a ottenere un risultato numerico finale. Ma ridurre i metodi matematici al solo problema di ottenere un numero significa impoverire all’infinito la matematica, impoverire la possibilità di quell’arma potente che oggi è nelle mani dei ricercatori…

Un modello matematico scritto in uno o in un altro linguaggio privato (ad esempio, equazioni differenziali) riflette alcune proprietà dei processi fisici reali. Come risultato dell'analisi dei modelli matematici, otteniamo, prima di tutto, idee qualitative sulle caratteristiche dei processi in studio, stabiliamo modelli che determinano la serie dinamica di stati successivi e otteniamo l'opportunità di prevedere il corso del processo e determinarne le caratteristiche quantitative”.

I modelli matematici sono utilizzati in molti metodi di modellazione ben noti. Tra questi ci sono lo sviluppo di modelli che descrivono lo stato statico e dinamico di un oggetto, modelli di ottimizzazione.

Un esempio di modelli matematici che descrivono lo stato statico e dinamico di un oggetto possono essere vari metodi di calcoli strutturali tradizionali. Il processo di calcolo, presentato sotto forma di una sequenza di operazioni matematiche (algoritmo), ci consente di dire che è stato compilato un modello matematico per il calcolo di una determinata struttura.

IN ottimizzazione i modelli contengono tre elementi:

Funzione obiettivo che riflette il criterio di qualità accettato;

Parametri regolabili;

Restrizioni imposte.

Tutti questi elementi devono essere descritti matematicamente sotto forma di equazioni, condizioni logiche, ecc. Risolvere un problema di ottimizzazione è il processo per trovare il valore minimo (massimo) della funzione obiettivo rispettando le restrizioni specificate. Il risultato della soluzione è considerato ottimale se la funzione obiettivo raggiunge il suo valore estremo.

Un esempio di modello di ottimizzazione è una descrizione matematica del criterio della “lunghezza della connessione” nel metodo di progettazione alternativa degli edifici industriali.

La funzione obiettivo riflette la lunghezza totale ponderata di tutte le connessioni funzionali, che dovrebbe tendere al minimo:

dove è il valore del peso della connessione dell'elemento con ;

– lunghezza del collegamento tra gli elementi e;

– il numero totale di elementi posizionati.

Poiché le aree degli elementi posizionati dei locali sono uguali in tutte le varianti della soluzione progettuale, le varianti differiscono l'una dall'altra solo per le diverse distanze tra gli elementi e la loro posizione relativa l'una rispetto all'altra. Di conseguenza, i parametri modificabili in questo caso sono le coordinate degli elementi posizionati sulle planimetrie.

Restrizioni imposte sulla posizione degli elementi (in un punto prefissato sulla pianta, sul perimetro esterno, uno sopra l'altro, ecc.) e sulla lunghezza dei collegamenti (le lunghezze dei collegamenti tra gli elementi sono rigidamente specificate, minimo o vengono specificati i limiti massimi dei valori, i limiti del cambiamento sono valori specificati) sono scritti formalmente.

Un'opzione è considerata ottimale (secondo questo criterio) se il valore della funzione obiettivo calcolata per tale opzione è minimo.

Una varietà di modelli matematici – modello economico-matematico– è un modello del rapporto tra caratteristiche economiche e parametri del sistema.

Un esempio di modelli economico-matematici è la descrizione matematica dei criteri di costo nel suddetto metodo di progettazione alternativa degli edifici industriali. I modelli matematici ottenuti sulla base dell'uso di metodi statistici matematici riflettono la dipendenza del costo del telaio, delle fondazioni, dei lavori in terra degli edifici industriali a un piano e multipiano e della loro altezza, campata e inclinazione delle strutture portanti.

Basandosi sul metodo di tenere conto dell'influenza dei fattori casuali sul processo decisionale, i modelli matematici sono suddivisi in deterministici e probabilistici. Deterministico il modello non tiene conto dell'influenza di fattori casuali nel processo di funzionamento del sistema e si basa su una rappresentazione analitica dei modelli di funzionamento. Probabilistico (stocastico) il modello tiene conto dell'influenza di fattori casuali durante il funzionamento del sistema e si basa su dati statistici, vale a dire valutazione quantitativa dei fenomeni di massa, consentendo di tener conto della loro non linearità, dinamica, disturbi casuali descritti da diverse leggi di distribuzione.

Utilizzando gli esempi sopra riportati, possiamo dire che il modello matematico che descrive il criterio “lunghezza delle connessioni” si riferisce a modelli deterministici, e i modelli matematici che descrivono il gruppo di criteri “costi” si riferiscono a modelli probabilistici.

Modelli linguistici, semantici e informativi

I modelli matematici presentano evidenti vantaggi perché la quantificazione degli aspetti di un problema fornisce un quadro chiaro delle priorità degli obiettivi. È importante che uno specialista possa sempre giustificare l'adozione di una particolare decisione presentando i dati numerici rilevanti. Tuttavia, una descrizione matematica completa dell’attività di progettazione è impossibile, pertanto la maggior parte dei problemi risolti nella fase iniziale della progettazione architettonica e costruttiva riguardano poco strutturato.

Una delle caratteristiche dei problemi semistrutturati è la descrizione verbale dei criteri utilizzati in essi. Introduzione di criteri descritti in linguaggio naturale (tali criteri sono chiamati linguistico), consente di utilizzare metodi meno complessi per trovare soluzioni progettuali ottimali. In presenza di tali criteri, il progettista prende una decisione in base al solito, no discutibile espressioni di obiettivi.

Una descrizione significativa di tutti gli aspetti del problema introduce la sistematizzazione nel processo di risoluzione, da un lato, e dall'altro facilita notevolmente il lavoro degli specialisti che, senza studiare i rami rilevanti della matematica, possono risolvere di più i loro problemi professionali razionalmente. Nella fig. 5.2 è dato modello linguistico, descrivendo le possibilità di creare condizioni per la ventilazione naturale in varie opzioni di layout per una panetteria.

Altri vantaggi derivanti dalle descrizioni significative dei problemi includono:

La capacità di descrivere tutti i criteri che determinano l'efficacia di una soluzione progettuale. Allo stesso tempo, è importante che nella descrizione possano essere introdotti concetti complessi e che il campo visivo dello specialista includa, oltre ai fattori quantitativi e misurabili, anche quelli qualitativi, non misurabili. Pertanto, al momento del processo decisionale, verranno utilizzate tutte le informazioni soggettive e oggettive;

Riso. 5.2 Descrizione del contenuto del criterio “ventilazione” sotto forma di modello linguistico

La capacità di valutare in modo inequivocabile il grado di raggiungimento dell'obiettivo nelle opzioni per questo criterio sulla base delle formulazioni accettate dagli specialisti, che garantisce l'affidabilità delle informazioni ricevute;

La capacità di tenere conto dell'incertezza associata alla conoscenza incompleta di tutte le conseguenze delle decisioni prese, nonché delle informazioni predittive.

I modelli che utilizzano il linguaggio naturale per descrivere l'oggetto di studio includono anche modelli semantici.

Modello semantico- esiste una tale rappresentazione di un oggetto che riflette il grado di interconnessione (vicinanza) tra i vari componenti, aspetti, proprietà dell'oggetto. Interconnessione non significa una disposizione spaziale relativa, ma una connessione di significato.

Pertanto, in senso semantico, il rapporto tra il coefficiente di illuminazione naturale e l'area luminosa delle recinzioni trasparenti sarà presentato come più stretto del rapporto tra le aperture delle finestre e le sezioni cieche adiacenti del muro.

L'insieme delle relazioni di connettività mostra ciò che rappresenta ciascun elemento selezionato in un oggetto e l'oggetto nel suo insieme. Allo stesso tempo, il modello semantico riflette, oltre al grado di connessione dei vari aspetti dell'oggetto, anche il contenuto dei concetti. I modelli elementari sono concetti espressi in linguaggio naturale.

La costruzione dei modelli semantici si basa sui principi secondo cui concetti e connessioni non cambiano durante tutto il tempo di utilizzo del modello; il contenuto di un concetto non si trasferisce a un altro; le connessioni tra due concetti hanno un'interazione uguale e non orientata rispetto ad essi.

Ogni analisi del modello mira a selezionare gli elementi del modello che hanno una certa qualità in comune. Ciò dà motivo di costruire un algoritmo che tenga conto solo delle connessioni dirette. Quando si converte un modello in un grafico non orientato, tra due elementi viene trovato un percorso che traccia il movimento da un elemento all'altro, utilizzando ciascun elemento una sola volta. L'ordine in cui appaiono gli elementi è chiamato sequenza dei due elementi. Le sequenze possono avere lunghezze diverse. Le più brevi sono chiamate relazioni tra elementi. Una sequenza di due elementi esiste anche se esiste una connessione diretta tra loro, ma in questo caso non esiste alcuna relazione.

Come esempio di modello semantico, forniamo una descrizione della disposizione di un appartamento insieme alle connessioni di comunicazione. Il concetto è la premessa di un appartamento. Per collegamento diretto si intende il collegamento funzionale di due locali, ad esempio tramite una porta (vedere Tabella 5.1).

Trasformare il modello nella forma di un grafo non orientato ci permette di ottenere una sequenza di elementi (Fig. 5.3).

In tabella sono riportati esempi della sequenza formata tra l'elemento 2 (bagno) e l'elemento 6 (dispensa). 5.2. Come si può vedere dalla tabella, la sequenza 3 rappresenta la relazione tra questi due elementi.

Tabella 5.1

Descrizione della disposizione dell'appartamento

Riso. 5.3 Descrizione della soluzione progettuale sotto forma di grafico non orientato

Modelli matematici

Modello matematico - opi approssimativoil significato dell'oggetto di modellazione, espresso utilizzandodel simbolismo matematico.

I modelli matematici sono apparsi insieme alla matematica molti secoli fa. L’avvento dei computer ha dato un enorme impulso allo sviluppo della modellistica matematica. L'uso dei computer ha permesso di analizzare e applicare nella pratica molti modelli matematici che prima non erano suscettibili di ricerca analitica. Implementato matematicamente su un computermodello del cielo chiamato modello matematico computerizzato, UN esecuzione di calcoli mirati utilizzando un modello computerizzato chiamato esperimento computazionale.

Fasi dell'informatica matematicadivisione sono mostrati nella figura. Primopalcoscenico - definizione degli obiettivi di modellazione. Questi obiettivi possono essere diversi:

è necessario un modello per capire come funziona un oggetto specifico, qual è la sua struttura, le sue proprietà di base, le leggi di sviluppo e interazione
con il mondo esterno (comprensione);
è necessario un modello per imparare a gestire un oggetto (o processo) e determinare i migliori metodi di gestione per determinati obiettivi e criteri (gestione);
il modello è necessario per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione metodi dati e forme di influenza sull'oggetto (previsione).

Spieghiamo con degli esempi. Lascia che l'oggetto di studio sia l'interazione di un flusso di liquido o gas con un corpo che costituisce un ostacolo a questo flusso. L'esperienza dimostra che la forza di resistenza al flusso da parte del corpo aumenta con l'aumentare della velocità del flusso, ma a velocità sufficientemente elevate questa forza diminuisce bruscamente per aumentare nuovamente con un ulteriore aumento della velocità. Cosa ha causato la diminuzione della forza di resistenza? La modellazione matematica ci consente di ottenere una risposta chiara: al momento di una brusca diminuzione della resistenza, i vortici formati nel flusso di liquido o gas dietro il corpo aerodinamico iniziano a staccarsi da esso e vengono portati via dal flusso.

Un esempio da un'area completamente diversa: popolazioni di due specie di individui che convivevano pacificamente con numeri stabili e avevano una fornitura di cibo comune, "improvvisamente" iniziano a cambiare drasticamente il loro numero. E qui la modellazione matematica consente (con un certo grado di affidabilità) di stabilire la causa (o almeno smentire una certa ipotesi).

Sviluppare un concetto per la gestione di un oggetto è un altro possibile obiettivo della modellazione. Quale modalità di volo dell'aereo dovrei scegliere per assicurarmi che il volo sia sicuro ed economicamente più vantaggioso? Come programmare centinaia di tipologie di lavoro per la costruzione di un grande impianto in modo che venga completato il più rapidamente possibile a breve termine? Molti di questi problemi si presentano sistematicamente davanti agli economisti, ai progettisti e agli scienziati.

Infine, prevedere le conseguenze di determinati impatti su un oggetto può essere sia una questione relativamente semplice nei sistemi fisici semplici, sia estremamente complessa - al limite della fattibilità - nei sistemi biologici, economici e sociali. Se è relativamente facile rispondere alla domanda sui cambiamenti nella modalità di distribuzione del calore in un'asta sottile dovuti a cambiamenti nella sua lega costituente, allora è relativamente facile tracciare (prevedere) le conseguenze ambientali e climatiche della costruzione di un grande centrale idroelettrica o conseguenze sociali i cambiamenti nella legislazione fiscale sono incomparabilmente più difficili. Forse anche in questo caso i metodi di modellazione matematica forniranno un aiuto più significativo in futuro.

Seconda fase: determinazione dei parametri di input e output del modello; divisione dei parametri di input in base al grado di importanza dell'influenza delle loro modifiche sull'output. Questo processo è chiamato classificazione, o separazione per rango (vedi. "Formalizzazionezione e modellazione").

Terza fase: costruzione di un modello matematico. In questa fase si passa da una formulazione astratta del modello ad una formulazione che ha una rappresentazione matematica specifica. Un modello matematico è costituito da equazioni, sistemi di equazioni, sistemi di disequazioni, equazioni differenziali o sistemi di tali equazioni, ecc.

Quarta fase: scelta di un metodo per studiare un modello matematico. Molto spesso qui vengono utilizzati metodi numerici, che si prestano bene alla programmazione. Di norma, diversi metodi sono adatti per risolvere lo stesso problema, differendo per precisione, stabilità, ecc. Il successo dell'intero processo di modellazione dipende spesso dalla corretta scelta del metodo.

Quinta fase: sviluppare un algoritmo, compilare ed eseguire il debug di un programma per computer è un processo difficile da formalizzare. Tra i linguaggi di programmazione, molti professionisti preferiscono FORTRAN per la modellazione matematica: sia per tradizione che per l'efficienza insuperabile dei compilatori (per il lavoro di calcolo) e la disponibilità di enormi librerie, attentamente debuggate e ottimizzate, di programmi standard per i metodi matematici scritti in esso . Vengono utilizzati anche linguaggi come PASCAL, BASIC, C, a seconda della natura del compito e delle inclinazioni del programmatore.

Sesta fase: test del programma. Il funzionamento del programma viene testato su un problema di prova con una risposta precedentemente nota. Questo è solo l’inizio di un percorso di testing difficile da descrivere in maniera formalmente esaustiva. Il test solitamente termina quando l'utente, a suo modo, caratteristiche professionali trova il programma corretto.

Settima fase: l'esperimento computazionale vero e proprio, durante il quale si determina se il modello corrisponde a un oggetto (processo) reale. Il modello è sufficientemente adeguato al processo reale se alcune caratteristiche del processo ottenute su un computer coincidono con le caratteristiche ottenute sperimentalmente con un dato grado di accuratezza. Se il modello non corrisponde al processo reale, torniamo a una delle fasi precedenti.

Classificazione dei modelli matematici

La classificazione dei modelli matematici può basarsi su vari principi. È possibile classificare i modelli per branca della scienza (modelli matematici in fisica, biologia, sociologia, ecc.). Possono essere classificati in base all'apparato matematico utilizzato (modelli basati sull'uso di equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali, metodi stocastici, trasformazioni algebriche discrete, ecc.). Infine, in base a compiti comuni modellistica nelle diverse scienze, indipendentemente dall'apparato matematico, la classificazione più naturale è:

modelli descrittivi (descrittivi);
modelli di ottimizzazione;
modelli multicriterio;
modelli di gioco.

Spieghiamolo con degli esempi.

Modelli descrittivi (descrittivi).. Ad esempio, modellando il movimento di una cometa invasiva sistema solare, è realizzato allo scopo di prevedere la sua traiettoria di volo, la distanza alla quale passerà dalla Terra, ecc. In questo caso, gli obiettivi della modellazione sono di natura descrittiva, poiché non c'è modo di influenzare il movimento della cometa o di cambiare nulla in essa.

Modelli di ottimizzazione sono usati per descrivere processi che possono essere influenzati nel tentativo di raggiungere un determinato obiettivo. In questo caso, il modello include uno o più parametri che possono essere influenzati. Ad esempio, quando si modifica il regime termico in un granaio, è possibile fissare l'obiettivo di scegliere un regime che garantisca la massima sicurezza del grano, ad es. ottimizzare il processo di archiviazione.

Modelli multicriterio. Spesso è necessario ottimizzare un processo rispetto a diversi parametri contemporaneamente e gli obiettivi possono essere piuttosto contraddittori. Ad esempio, conoscendo i prezzi dei prodotti alimentari e il bisogno di cibo di una persona, è necessario organizzare i pasti grandi gruppi persone (nell'esercito, nel campo estivo per bambini, ecc.) è fisiologicamente corretto e, allo stesso tempo, il più economico possibile. È chiaro che questi obiettivi non coincidono affatto, ad es. Durante la modellazione verranno utilizzati diversi criteri, tra i quali è necessario cercare un equilibrio.

Modelli di gioco può riguardare non solo i giochi per computer, ma anche cose molto serie. Ad esempio, prima della battaglia, il comandante, se ci sono informazioni incomplete sull'esercito avversario, deve sviluppare un piano: in quale ordine introdurre determinate unità in battaglia, ecc., Tenendo conto della possibile reazione del nemico. Esiste una branca speciale della matematica moderna, la teoria dei giochi, che studia i metodi decisionali in condizioni di informazione incompleta.

Nel corso di informatica della scuola, gli studenti ricevono una conoscenza iniziale della modellazione matematica del computer come parte del corso base. Nella scuola superiore, la modellazione matematica può essere approfondita in un corso di istruzione generale per le lezioni di fisica e matematica, nonché come parte di un corso specialistico facoltativo.

Le principali forme di insegnamento della modellazione matematica informatica nelle scuole superiori sono lezioni frontali, lezioni di laboratorio e lezioni di prova. In genere, il lavoro di creazione e preparazione allo studio di ogni nuovo modello richiede 3-4 lezioni. Durante la presentazione del materiale vengono stabiliti i compiti che gli studenti dovranno risolvere autonomamente in futuro. schema generale vengono delineati i modi per risolverli. Vengono formulate domande, le cui risposte devono essere ottenute durante il completamento delle attività. Indicato letteratura aggiuntiva, che consente di ottenere informazioni ausiliarie per il completamento con maggiore successo delle attività.

La forma di organizzazione delle lezioni quando si studia nuovo materiale è solitamente una lezione. Dopo aver completato la discussione del modello successivo studenti avere a disposizione le informazioni teoriche necessarie e una serie di compiti per ulteriori lavori. In preparazione al completamento di un'attività, gli studenti scelgono un metodo di soluzione appropriato e testano il programma sviluppato utilizzando una soluzione privata ben nota. In caso di difficoltà del tutto possibili durante il completamento dei compiti, viene fornita la consultazione e viene proposta lo studio più dettagliato di queste sezioni nelle fonti letterarie.

Il metodo più appropriato per la parte pratica dell'insegnamento della modellazione computerizzata è il metodo del progetto. Il compito è formulato per lo studente sotto forma di progetto didattico e si svolge in più lezioni, e la forma organizzativa principale è quella informatica lavori di laboratorio. La modellazione didattica utilizzando il metodo del progetto educativo può essere implementata a diversi livelli. Il primo è una presentazione problematica del processo di completamento del progetto, guidato dall'insegnante. Il secondo è l'implementazione del progetto da parte degli studenti sotto la guida di un insegnante. Il terzo prevede che gli studenti completino in modo indipendente un progetto di ricerca educativa.

I risultati del lavoro devono essere presentati in forma numerica, sotto forma di grafici e diagrammi. Se possibile, il processo viene presentato sullo schermo del computer in dinamica. Al termine dei calcoli e alla ricezione dei risultati, questi vengono analizzati, confrontati con i fatti noti dalla teoria, viene confermata l'affidabilità e viene effettuata un'interpretazione significativa, che successivamente si riflette in una relazione scritta.

Se i risultati soddisfano lo studente e l'insegnante, allora il lavoro conta completato e la sua fase finale è la preparazione di una relazione. Il rapporto include brevi informazioni teoriche sull'argomento in studio, una formulazione matematica del problema, un algoritmo di soluzione e la sua giustificazione, un programma per computer, i risultati del programma, l'analisi dei risultati e delle conclusioni e un elenco di bibliografia.

Una volta compilate tutte le relazioni, gli studenti presentano le proprie messaggi brevi sul lavoro svolto, difendere il proprio progetto. Si tratta di una forma efficace di relazione del gruppo che realizza il progetto alla classe, inclusa l'impostazione del problema, la costruzione di un modello formale, la scelta dei metodi per lavorare con il modello, l'implementazione del modello su un computer, il lavoro con il modello finito, l'interpretazione i risultati e fare previsioni. Di conseguenza, gli studenti possono ricevere due voti: il primo - per l'elaborazione del progetto e il successo della sua difesa, il secondo - per il programma, l'ottimalità del suo algoritmo, dell'interfaccia, ecc. Gli studenti ricevono voti anche durante i quiz teorici.

Domanda essenziale- quali strumenti dovrebbero essere utilizzati in un corso di informatica scolastica per la modellazione matematica? L'implementazione informatica dei modelli può essere effettuata:

utilizzando un elaboratore di fogli di calcolo (solitamente MS Excel);
creando programmi nei linguaggi di programmazione tradizionali (Pascal, BASIC, ecc.), così come nelle loro versioni moderne (Delphi, Visual
Base per l'Applicazione, ecc.);
utilizzo di pacchetti applicativi speciali per la risoluzione di problemi matematici (MathCAD, ecc.).

A livello scolastico di base, il primo metodo sembra essere preferibile. Tuttavia, alle scuole superiori, quando la programmazione è, insieme alla modellazione, un argomento chiave dell'informatica, è consigliabile utilizzarla come strumento di modellazione. Durante il processo di programmazione, i dettagli delle procedure matematiche diventano disponibili agli studenti; Inoltre, sono semplicemente costretti a padroneggiarli, e questo contribuisce anche all'educazione matematica. Per quanto riguarda l'utilizzo di pacchetti software speciali, questo è appropriato in un corso specializzato di informatica come integrazione ad altri strumenti.

Esercizio :

Realizza uno schema dei concetti chiave.

Per costruire un modello matematico è necessario:

analizzare attentamente un oggetto o processo reale;
evidenziarne le caratteristiche e le proprietà più significative;
definire le variabili, ad es. parametri i cui valori influenzano le principali caratteristiche e proprietà dell'oggetto;
descrivere la dipendenza delle proprietà di base di un oggetto, processo o sistema dai valori delle variabili utilizzando relazioni logico-matematiche (equazioni, uguaglianze, disuguaglianze, costruzioni logico-matematiche);
evidenziare le connessioni interne di un oggetto, processo o sistema utilizzando restrizioni, equazioni, uguaglianze, disuguaglianze, costruzioni logiche e matematiche;
definire relazioni esterne e descriverli utilizzando restrizioni, equazioni, uguaglianze, disuguaglianze, costruzioni logiche e matematiche.

La modellazione matematica, oltre allo studio di un oggetto, processo o sistema e alla stesura di una sua descrizione matematica, comprende anche:

costruire un algoritmo che modelli il comportamento di un oggetto, processo o sistema;
verificare l'adeguatezza del modello e dell'oggetto, processo o sistema sulla base di esperimenti computazionali e su scala reale;
adeguamento del modello;
utilizzando il modello.

La descrizione matematica dei processi e dei sistemi oggetto di studio dipende da:

la natura di un processo o sistema reale ed è compilato sulla base delle leggi della fisica, della chimica, della meccanica, della termodinamica, dell'idrodinamica, dell'ingegneria elettrica, della teoria della plasticità, della teoria dell'elasticità, ecc.
l'affidabilità e l'accuratezza richieste nello studio e nella ricerca di processi e sistemi reali.

La costruzione di un modello matematico inizia solitamente con la costruzione e l'analisi del modello matematico più semplice e grezzo dell'oggetto, processo o sistema in esame. In futuro, se necessario, il modello verrà affinato e la sua corrispondenza all'oggetto resa più completa.

Facciamo un semplice esempio. È necessario determinare la superficie della scrivania. In genere, questo viene fatto misurandone la lunghezza e la larghezza, quindi moltiplicando i numeri risultanti. Questa procedura elementare in realtà significa quanto segue: un oggetto reale (la superficie del tavolo) viene sostituito da un modello matematico astratto: un rettangolo. Le dimensioni ottenute misurando la lunghezza e la larghezza della superficie del tavolo vengono assegnate al rettangolo e l'area di tale rettangolo viene approssimativamente considerata l'area richiesta del tavolo. Tuttavia, il modello rettangolare per una scrivania è il modello più semplice e grezzo. Se si adotta un approccio più serio al problema, prima di utilizzare un modello rettangolare per determinare l'area del tavolo, è necessario verificare questo modello. I controlli possono essere effettuati come segue: misurare le lunghezze dei lati opposti del tavolo, nonché le lunghezze delle sue diagonali e confrontarle tra loro. Se, con il grado di precisione richiesto, le lunghezze dei lati opposti e le lunghezze delle diagonali sono uguali a coppie, allora la superficie del tavolo può effettivamente essere considerata come un rettangolo. Altrimenti il modello rettangolare dovrà essere scartato e sostituito con un modello quadrilatero vista generale. Se i requisiti di precisione sono più elevati, potrebbe essere necessario perfezionare ulteriormente il modello, ad esempio per tenere conto dell'arrotondamento degli angoli del tavolo.

Con l'aiuto di questo semplice esempioè stato dimostrato che il modello matematico non è determinato univocamente dall'oggetto, dal processo o sistema.

OPPURE (da chiarire domani)

Modi per risolvere la matematica. Modelli:

1, Costruzione di un modello basato sulle leggi della natura (metodo analitico)

2. Il modo formale utilizzando metodi statistici. Risultati dell'elaborazione e della misurazione (approccio statistico)

3. Costruzione di un modello basato su un modello di elementi (sistemi complessi)

1, Analitico: utilizzare con uno studio sufficiente. Lo schema generale è noto. Modelli.

2. esperimento. In assenza di informazioni.

3. Imitazione M. - esplora le proprietà dell'oggetto. Generalmente.

Un esempio di costruzione di un modello matematico.

Modello matematicoè una rappresentazione matematica della realtà.

Modellazione matematicaè il processo di costruzione e studio di modelli matematici.

Tutte le scienze naturali e sociali che utilizzano la matematica si occupano essenzialmente di modellizzazione matematica: sostituiscono un oggetto con il suo modello matematico e poi studiano quest'ultimo. La connessione tra un modello matematico e la realtà viene effettuata utilizzando una catena di ipotesi, idealizzazioni e semplificazioni. Utilizzando metodi matematici, di regola, viene descritto un oggetto ideale costruito nella fase di modellazione significativa.

Perché sono necessari i modelli?

Molto spesso, quando si studia qualsiasi oggetto, sorgono difficoltà. Talvolta l'originale stesso non è disponibile, oppure il suo utilizzo non è consigliabile, oppure attirare l'originale è costoso. Tutti questi problemi possono essere risolti utilizzando la simulazione. In un certo senso, un modello può sostituire l'oggetto studiato.

Gli esempi più semplici di modelli

§ Una fotografia può essere definita un modello di una persona. Per riconoscere una persona è sufficiente vedere la sua fotografia.

§ L'architetto ha realizzato un modello di una nuova zona residenziale. Può spostare un grattacielo da una parte all'altra con un movimento della mano. In realtà questo non sarebbe possibile.

Tipi di modelli

I modelli possono essere suddivisi in Materiale" E perfetto. gli esempi sopra riportati sono modelli materiali. I modelli ideali hanno spesso forme iconiche. I concetti reali vengono sostituiti da alcuni segni, che possono essere facilmente registrati su carta, nella memoria del computer, ecc.

Modellazione matematica

La modellazione matematica appartiene alla classe della modellazione simbolica. Inoltre, i modelli possono essere creati da qualsiasi oggetto matematico: numeri, funzioni, equazioni, ecc.

Costruire un modello matematico

§ Si possono notare diverse fasi della costruzione di un modello matematico:

1. Comprendere il problema, individuando qualità, proprietà, quantità e parametri per noi più importanti.

2. Introduzione alla notazione.

3. Elaborazione di un sistema di restrizioni che i valori inseriti devono soddisfare.

4. Formulazione e registrazione delle condizioni che devono essere soddisfatte dalla soluzione ottimale desiderata.

Il processo di modellazione non termina con la creazione di un modello, ma inizia solo con esso. Dopo aver compilato un modello, scelgono un metodo per trovare la risposta e risolvere il problema. una volta trovata la risposta, viene confrontata con la realtà. Ed è possibile che la risposta non sia soddisfacente, nel qual caso si modifica il modello o si sceglie addirittura un modello completamente diverso.

Esempio di modello matematico

Compito

L'associazione di produzione, che comprende due fabbriche di mobili, deve aggiornare il proprio parco macchine. Inoltre, la prima fabbrica di mobili deve sostituire tre macchine e la seconda sette. Gli ordini possono essere effettuati presso due fabbriche di macchine utensili. Il primo impianto non può produrre più di 6 macchine e il secondo impianto accetterà un ordine se ce ne sono almeno tre. È necessario determinare come effettuare gli ordini.

Secondo il libro di testo di Sovetov e Yakovlev: "un modello (modulo latino - misura) è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, che garantisce lo studio di alcune proprietà dell'originale". (p. 6) "La sostituzione di un oggetto con un altro per ottenere informazioni sulle proprietà più importanti dell'oggetto originale utilizzando un oggetto modello si chiama modellazione." (p. 6) “Per modellazione matematica intendiamo il processo di stabilire una corrispondenza di un dato oggetto reale con un certo oggetto matematico, chiamato modello matematico, e lo studio di questo modello, che ci permette di ottenere le caratteristiche del reale oggetto in esame. Il tipo di modello matematico dipende sia dalla natura dell’oggetto reale, sia dai compiti di studio dell’oggetto, sia dall’affidabilità e dall’accuratezza richieste per risolvere questo problema”.

Infine, la definizione più concisa di modello matematico: "Un'equazione che esprime un'idea».

Classificazione dei modelli

Classificazione formale dei modelli

La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruiti sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno dei popolari insiemi di dicotomie:

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico,... Naturalmente, tipi misti: da un lato concentrato (in termini di parametri), dall'altro - modelli distribuiti, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato

Oltre alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano un oggetto:

Modelli strutturali o funzionali

Modelli strutturali rappresentare un oggetto come un sistema con una propria struttura e meccanismo di funzionamento. Modelli funzionali non utilizzare tali rappresentazioni e riflettono solo il comportamento (funzionamento) percepito esternamente dell'oggetto. Nella loro espressione estrema vengono anche definiti modelli “black box”. Sono possibili anche tipi combinati di modelli, talvolta chiamati “ scatola grigia».

Contenuti e modelli formali

Quasi tutti gli autori che descrivono il processo di modellazione matematica indicano che prima viene costruita una struttura ideale speciale, modello di contenuto. Non esiste una terminologia stabilita qui e altri autori chiamano questo oggetto ideale modello concettuale , modello speculativo O premodello. In questo caso, viene chiamata la costruzione matematica finale modello formale o semplicemente un modello matematico ottenuto come risultato della formalizzazione di un dato modello significativo (pre-modello). La costruzione di un modello significativo può essere fatta utilizzando una serie di idealizzazioni già pronte, come in meccanica, dove l'ideale scaturisce solidi, pendoli ideali, mezzi elastici, ecc. forniscono elementi strutturali già pronti per una modellazione significativa. Tuttavia, nelle aree della conoscenza in cui non esistono teorie formalizzate completamente complete (l’avanguardia della fisica, della biologia, dell’economia, della sociologia, della psicologia e della maggior parte degli altri campi), la creazione di modelli significativi diventa drammaticamente più difficile.

Classificazione del contenuto dei modelli

Nessuna ipotesi scientifica può essere dimostrata una volta per tutte. Richard Feynman lo ha formulato molto chiaramente:

“Abbiamo sempre l’opportunità di confutare una teoria, ma tieni presente che non potremo mai dimostrare che sia corretta. Supponiamo che tu abbia avanzato un'ipotesi vincente, calcolato dove porta e scoperto che tutte le sue conseguenze sono confermate sperimentalmente. Questo significa che la tua teoria è corretta? No, significa semplicemente che non sei riuscito a confutarlo.

Se si costruisce un modello del primo tipo, ciò significa che esso viene temporaneamente accettato come verità e ci si può concentrare su altri problemi. Questo però non può essere un punto di ricerca, ma solo una pausa temporanea: lo status di un modello del primo tipo non può che essere temporaneo.

Tipo 2: Modello fenomenologico (ci comportiamo come se…)

Un modello fenomenologico contiene un meccanismo per descrivere un fenomeno. Tuttavia, questo meccanismo non è abbastanza convincente, non può essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non si adatta bene alle teorie esistenti e alle conoscenze accumulate sull’oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta e che la ricerca dei “veri meccanismi” debba continuare. Peierls include, ad esempio, il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari come secondo tipo.

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo e può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo status di ipotesi. Allo stesso modo, le nuove conoscenze possono progressivamente entrare in conflitto con modelli-ipotesi del primo tipo, e possono essere tradotti nel secondo. Pertanto, il modello a quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; L'atomismo in fisica è nato come soluzione temporanea, ma con il corso della storia è diventato il primo tipo. Ma i modelli eterei si sono fatti strada dal tipo 1 al tipo 2 e ora sono fuori dalla scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione arriva in forme diverse. Peierls identifica tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Tipo 3: Approssimazione (consideriamo qualcosa di molto grande o molto piccolo)

Se è possibile costruire equazioni che descrivono il sistema studiato, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'aiuto di un computer. Una tecnica comune in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. Un esempio standard è la legge di Ohm.

Ecco il Tipo 8, molto diffuso nei modelli matematici dei sistemi biologici.

Tipo 8: Dimostrazione delle funzionalità (l'importante è mostrare la coerenza interna della possibilità)

Anche questi sono esperimenti mentali con entità immaginarie che lo dimostrano presunto fenomeno coerente con i principi fondamentali e internamente coerente. Questa è la principale differenza rispetto ai modelli di tipo 7, che rivelano contraddizioni nascoste.

Uno dei più famosi di questi esperimenti è la geometria di Lobachevskij (Lobachevskij la chiamava “geometria immaginaria”). Un altro esempio è la produzione di massa di modelli formalmente cinetici di vibrazioni chimiche e biologiche, autoonde, ecc. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen è stato concepito come un modello di tipo 7 per dimostrare l'incoerenza della meccanica quantistica. In modo del tutto non pianificato, alla fine si trasformò in un modello di tipo 8, una dimostrazione della possibilità del teletrasporto quantistico delle informazioni.

Esempio

Consideriamo un sistema meccanico costituito da una molla, fissata ad un'estremità, e una massa , fissata all'estremità libera della molla. Assumeremo che il carico possa muoversi solo nella direzione dell'asse della molla (ad esempio, il movimento avviene lungo l'asta). Costruiamo un modello matematico di questo sistema. Descriveremo lo stato del sistema in base alla distanza dal centro del carico alla sua posizione di equilibrio. Descriviamo l'interazione tra la molla e il carico utilizzando La legge di Hooke() e quindi utilizzare la seconda legge di Newton per esprimerla sotto forma di un'equazione differenziale:

dove significa la derivata seconda di rispetto al tempo: .

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza di forze esterne, sull'assenza di attrito, sulla piccolezza delle deviazioni, ecc.), che in realtà potrebbero non essere soddisfatte.

In relazione alla realtà, questo è molto spesso un modello di tipo 4 semplificazione(“ometteremo alcuni dettagli per chiarezza”), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio, la dissipazione) vengono omesse. Con una certa approssimazione (ad esempio, mentre la deviazione del carico dall'equilibrio è piccola, con basso attrito, per un tempo non eccessivo e soggetta a determinate altre condizioni), un modello di questo tipo descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale, poiché i fattori scartati hanno un effetto trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con un ambito di applicabilità più ampio (anche se ancora limitato).

Tuttavia, quando si perfeziona il modello, la complessità della ricerca matematica può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso un modello più semplice consente un’esplorazione migliore e più approfondita di un sistema reale rispetto a uno più complesso (e, formalmente, “più corretto”).

Se applichiamo il modello dell’oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo status sostanziale potrebbe essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere classificato come tipo 6 analogia(“prendiamo in considerazione solo alcune caratteristiche”).

Modelli duri e morbidi

L’oscillatore armonico è un esempio del cosiddetto modello “hard”. Si ottiene come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Per risolvere il problema della sua applicabilità è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. In altre parole è necessario studiare il modello “soft”, che si ottiene con una piccola perturbazione di quello “hard”. Può essere data, ad esempio, dalla seguente equazione:

Ecco una funzione che può tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidità della molla dal grado del suo allungamento - qualche piccolo parametro. Al momento non siamo interessati alla forma esplicita della funzione. Se dimostriamo che il comportamento del modello soft non è fondamentalmente diverso dal comportamento di quello hard (indipendentemente dal tipo esplicito dei fattori perturbanti, se sono sufficientemente piccoli), il problema si ridurrà allo studio del modello hard. Altrimenti, l'applicazione dei risultati ottenuti dallo studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche. Ad esempio, la soluzione dell'equazione di un oscillatore armonico sono funzioni della forma , cioè oscillazioni con ampiezza costante. Ne consegue che un oscillatore reale oscillerà indefinitamente con un'ampiezza costante? No, perché considerando un sistema con attrito arbitrariamente piccolo (sempre presente in un sistema reale), si ottengono oscillazioni smorzate. Il comportamento del sistema è cambiato qualitativamente.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo anche in presenza di piccoli disturbi, si dice che sia strutturalmente stabile. Un oscillatore armonico è un esempio di sistema strutturalmente instabile (non ruvido). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare processi su periodi di tempo limitati.

Versatilità dei modelli

I modelli matematici più importanti di solito lo hanno proprietà importante versatilità: Fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni del pendolo, fluttuazioni del livello di un liquido in un recipiente a forma di A o un cambiamento nell'intensità della corrente in un circuito oscillatorio. Pertanto, studiando un modello matematico, studiamo immediatamente un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresso dai modelli matematici in vari segmenti conoscenza scientifica, l'ispirazione per Ludwig von Bertalanffy per creare la "Teoria generale dei sistemi".

Problemi diretti e inversi di modellizzazione matematica

Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. Per prima cosa devi elaborare uno schema di base dell'oggetto modellato, riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Pertanto, un vagone ferroviario si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi di materiali diversi, ogni materiale viene specificato come la sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopo di che vengono redatte le equazioni e lungo il percorso si scartano alcuni dettagli perché non importanti, si fanno calcoli, si confrontano con misurazioni, si affina il modello, e così via. Tuttavia, per sviluppare tecnologie di modellazione matematica, è utile scomporre questo processo nelle sue componenti principali.

Tradizionalmente, esistono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Compito diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è condurre uno studio del modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico potrà sopportare il ponte? Come reagirà a un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno a velocità diverse), come l'aereo supererà la barriera del suono, se cadrà a pezzi per sbattimento - questi sono esempi tipici di un problema diretto. Impostare il giusto problema diretto (porre la domanda giusta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, un ponte potrebbe crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, in Gran Bretagna crollò un ponte di metallo sul fiume Tay, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, calcolarono che avesse un fattore di sicurezza 20 volte superiore per l'azione del carico utile, ma dimenticarono i venti soffia costantemente in quei luoghi. E dopo un anno e mezzo è crollato.

Nel caso più semplice (ad esempio un'equazione dell'oscillatore), il problema diretto è molto semplice e si riduce ad una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: sono noti molti modelli possibili, è necessario selezionare un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Nella maggior parte dei casi, la struttura del modello è nota e occorre determinare alcuni parametri sconosciuti. Ulteriori informazioni possono consistere in dati empirici aggiuntivi o requisiti per l'oggetto ( problema di progettazione). Ulteriori dati possono arrivare indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato durante la soluzione ( sorveglianza attiva).

Uno dei primi esempi di soluzione magistrale al problema inverso con il massimo utilizzo dei dati disponibili fu il metodo ideato da I. Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.

Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è quello di sviluppare metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Quelli. l'insieme dei modelli possibili è limitato ai modelli probabilistici. In compiti specifici, l'insieme di modelli è più limitato.

Sistemi di simulazione al computer

Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi di matematica informatica, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante modellazione. Modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi (molto spesso grafici), il cui insieme e connessione sono specificati dal diagramma del modello.

Ulteriori esempi

Il modello di Malthus

Il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione. È descritto dall'equazione differenziale

dove è un certo parametro determinato dalla differenza tra il tasso di natalità e il tasso di mortalità. La soluzione di questa equazione è una funzione esponenziale. Se il tasso di natalità supera il tasso di mortalità (), la dimensione della popolazione aumenta indefinitamente e molto rapidamente. È chiaro che in realtà ciò non può avvenire a causa delle risorse limitate. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere un modello logistico, descritto dall'equazione differenziale di Verhulst

dove è la dimensione “di equilibrio” della popolazione, alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in tale modello tende ad un valore di equilibrio e questo comportamento è strutturalmente stabile.

Sistema predatore-preda

Diciamo che in una certa zona vivono due tipi di animali: i conigli (che mangiano piante) e le volpi (che mangiano conigli). Lasciamo il numero dei conigli, il numero delle volpi. Utilizzando il modello di Malthus con le modifiche necessarie per tenere conto del consumo di conigli da parte delle volpi, arriviamo al seguente sistema, denominato modelli Vassoi - Volterra:

Questo sistema ha uno stato di equilibrio quando il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato provoca fluttuazioni nel numero di conigli e volpi, simili alle fluttuazioni di un oscillatore armonico. Come nel caso dell'oscillatore armonico, questo comportamento non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nel modello (tenendo conto, ad esempio, delle risorse limitate richieste dai conigli) può portare a un cambiamento qualitativo nel comportamento. Ad esempio, lo stato di equilibrio potrebbe diventare stabile e le fluttuazioni nei numeri si estingueranno. È possibile anche la situazione opposta, quando ogni piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Il modello Volterra-Lotka non risponde alla domanda su quale di questi scenari si stia realizzando: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Appunti

“Una rappresentazione matematica della realtà” (Enciclopedia Britanica)
Novik I.B., Su questioni filosofiche della modellazione cibernetica. M., La conoscenza, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modellazione matematica. Idee. Metodi. Esempi. - 2a ed., riv. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostjanov, A.G. Modellazione dei processi tecnologici: libro di testo / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Industria leggera e alimentare, 1984. - 344 p.
Wikizionario: modello matematico
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Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlino-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
“Una teoria è considerata lineare o non lineare a seconda del tipo di apparato matematico – lineare o non lineare – e del tipo di modelli matematici lineari o non lineari che utilizza. ...senza negare quest'ultima. Un fisico moderno, se dovesse ricreare la definizione di un’entità così importante come la nonlinearità, molto probabilmente si comporterebbe diversamente e, privilegiando la nonlinearità come il più importante e diffuso dei due opposti, definirebbe la linearità come “non non linearità." Danilov Yu.A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Collana “Sinergetica: dal passato al futuro”. Edizione 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
« Sistemi dinamici, modellati da un numero finito di equazioni differenziali ordinarie, sono detti sistemi concentrati o puntuali. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Lo stesso sistema in condizioni diverse può essere considerato concentrato o distribuito. I modelli matematici dei sistemi distribuiti sono equazioni alle derivate parziali, equazioni integrali o equazioni di ritardo ordinarie. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e per determinarne lo stato è necessario un numero infinito di dati. Anishchenko V.S., Sistemi dinamici, rivista educativa Soros, 1997, n. 11, p. 77-84.
“A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continui. La modellazione deterministica riflette processi deterministici, cioè processi in cui si presuppone l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica descrive processi ed eventi probabilistici. ... La modellazione statica serve a descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento e la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta viene utilizzata per descrivere processi che si presuppone siano discreti, rispettivamente, la modellazione continua ci consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione discreto-continua viene utilizzata nei casi in cui si vuole evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Tipicamente, un modello matematico riflette la struttura (dispositivo) dell'oggetto modellato, le proprietà e le relazioni dei componenti di questo oggetto che sono essenziali ai fini della ricerca; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo il modo in cui funziona l'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, allora viene chiamato funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“La fase iniziale ovvia, ma più importante, della costruzione o della selezione di un modello matematico è ottenere un quadro quanto più chiaro possibile dell’oggetto da modellare e perfezionare il suo modello significativo, sulla base di discussioni informali. Non dovresti risparmiare tempo e fatica in questa fase, il successo dell'intero studio dipende in gran parte da questo. È successo più di una volta che un lavoro significativo speso per risolvere un problema matematico si è rivelato inefficace o addirittura sprecato a causa dell’insufficiente attenzione a questo aspetto della questione”. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Descrizione del modello concettuale del sistema. In questa sottofase della costruzione di un modello di sistema: a) il modello concettuale M è descritto in termini e concetti astratti; b) viene fornita una descrizione del modello utilizzando schemi matematici standard; c) le ipotesi e le ipotesi vengono finalmente accettate; d) la scelta della procedura per approssimare i processi reali nella costruzione di un modello è giustificata.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pag. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Matematica applicata: soggetto, logica, caratteristiche degli approcci. Con esempi tratti dalla meccanica: Esercitazione. - 3a ed., riv. e aggiuntivi - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Capitolo 2.

Tipi di modelli matematici

A seconda di quali mezzi, in quali condizioni e in relazione a quali oggetti di cognizione si realizza la capacità dei modelli di riflettere la realtà, emerge la loro grande diversità e con essa le classificazioni. Generalizzando le classificazioni esistenti, identificheremo modelli di base basati sull'apparato matematico utilizzato, sulla base del quale vengono sviluppati modelli speciali (Figura 8.1).

Figura 8.1 - Classificazione formale dei modelli

I modelli matematici mostrano gli oggetti studiati (processi, sistemi) sotto forma di relazioni funzionali esplicite: uguaglianze e disuguaglianze algebriche, integrali e differenziali, differenze finite e altri espressioni matematiche(legge della distribuzione di una variabile casuale, modelli di regressione, ecc.), nonché relazioni di logica matematica.

A seconda di due caratteristiche fondamentali costruendo un modello matematico - un tipo di descrizione delle relazioni di causa-effetto e dei loro cambiamenti nel tempo - distinguere tra modelli deterministici e stocastici, statici e dinamici (Figura 8.2).

Lo scopo del diagramma presentato in figura è quello di visualizzare le seguenti funzionalità:

1) i modelli matematici possono essere sia deterministici che stocastici;

2) i modelli deterministici e stocastici possono essere sia statici che dinamici.

Il modello matematico si chiama deterministico (deterministico), se tutti i suoi parametri e variabili sono quantità univocamente determinate, ed è soddisfatta anche la condizione di completa certezza dell'informazione. Diversamente, in condizioni di incertezza informativa, quando i parametri e le variabili del modello sono variabili casuali, il modello viene chiamato stocastico (probabilistico).

Figura 8.2 – Classi di modelli matematici

Il modello si chiama dinamico, se almeno una variabile cambia nel corso dei periodi di tempo, e statico, se si accetta l'ipotesi che le variabili non cambino nel tempo.

Nel caso più semplice modelli di equilibrio agire sotto forma di equazione di bilancio, dove a sinistra c'è l'importo delle eventuali entrate, e a destra c'è la parte delle spese, anch'essa sotto forma di somma. Ad esempio, ecco come viene presentato il budget annuale di un'organizzazione.

Sulla base dei dati statistici è possibile costruire non solo modelli di bilancio, ma anche modelli di correlazione e di regressione.

Se la funzione Y dipende non solo dalle variabili x 1, x 2, ... x n, ma anche da altri fattori, la connessione tra Y e x 1, x 2, ... x n è imprecisa o correlazionale, a differenza di il collegamento esatto o funzionale. Le correlazioni, ad esempio, nella maggior parte dei casi sono le connessioni osservate tra i parametri di output dell'OPS e i fattori del suo interno e ambiente esterno(vedi argomento 5).

Modelli di correlazione-regressione si ottengono studiando l'influenza di un complesso di fattori sul valore di una particolare caratteristica attraverso l'uso di apparati statistici. In questo caso, il compito non è solo stabilire una relazione di correlazione, ma anche esprimere questa relazione analiticamente, cioè selezionare equazioni che descrivano questa dipendenza di correlazione (equazione di regressione).

Trovare valore numerico Per i parametri dell'equazione di regressione viene utilizzato il metodo dei minimi quadrati. L'essenza di questo metodo è scegliere una linea tale che la somma delle deviazioni al quadrato delle ordinate Y dei singoli punti da essa sia la più piccola.

I modelli di correlazione-regressione vengono spesso utilizzati nello studio dei fenomeni quando è necessario stabilire una relazione tra caratteristiche rilevanti in due o più serie. In questo caso viene utilizzata principalmente la regressione lineare accoppiata e multipla del modulo

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

Come risultato dell'applicazione del metodo dei minimi quadrati, vengono stabiliti i valori dei parametri a o a 1 , a 2 , ..., a n e b, quindi l'accuratezza dell'approssimazione e il significato dell'equazione di regressione risultante vengono valutati.

Viene assegnato un gruppo speciale modelli grafico-analitici . Ne usano diversi immagini grafiche e quindi avere una buona visibilità.

La teoria dei grafi è una delle teorie della matematica discreta che studia i grafi, intesi come un insieme di punti e linee che li collegano. Un grafico è un oggetto matematico indipendente (introdotto per la prima volta da D. Koenig). I modelli ad albero e a rete sono spesso costruiti sulla base della teoria dei grafi.

Un modello ad albero (albero) è un grafo connesso non orientato che non contiene anelli o cicli. Un esempio di tale modello è un albero degli obiettivi.

I modelli di rete hanno trovato ampia applicazione nella gestione del lavoro. I modelli di rete (grafici) riflettono la sequenza del lavoro e la durata di ciascun lavoro (Figura 8.3).

Figura 8.3 - Modello reticolare di produzione del lavoro

Ogni linea del diagramma di rete rappresenta un lavoro. Il numero accanto indica la durata della sua esecuzione.

I modelli di rete consentono di individuare il cosiddetto percorso critico e di ottimizzare il programma di lavoro nel tempo con restrizioni su altre risorse.

I modelli di rete possono essere deterministici o stocastici. In quest'ultimo caso, la durata del lavoro è specificata dalle leggi di distribuzione delle variabili casuali.

Modelli di ottimizzazione servono a determinare la traiettoria ottimale affinché il sistema raggiunga il suo obiettivo imponendo al contempo alcune restrizioni sul controllo del suo comportamento e movimento. In questo caso, i modelli di ottimizzazione descrivono vari tipi il problema di trovare l'estremo di una qualche funzione obiettivo (criterio di ottimizzazione).

Per identificare il modo migliore Per raggiungere gli obiettivi di gestione in condizioni di risorse limitate - tecniche, materiali, lavorative e finanziarie - vengono utilizzati metodi di ricerca operativa. Questi includono metodi di programmazione matematica (programmazione lineare e non lineare, intera, dinamica e stocastica), metodi analitici e probabilistico-statistici, metodi di rete, metodi di teoria delle code, teoria dei giochi (teoria delle situazioni di conflitto), ecc.

I modelli di ottimizzazione vengono utilizzati per la pianificazione del volume e della programmazione, la gestione delle scorte, la distribuzione delle risorse e del lavoro, la sostituzione, la parametrizzazione e la standardizzazione delle attrezzature, la distribuzione dei flussi di approvvigionamento di materie prime sulla rete di trasporto e altri compiti di gestione.

Uno dei principali risultati della teoria della ricerca operativa è la tipizzazione di modelli di gestione e metodi per la risoluzione dei problemi. Ad esempio, per risolvere un problema di trasporto, a seconda della sua dimensione, sono stati sviluppati metodi standard: il metodo Vogel, il metodo potenziale, il metodo del simplesso. Inoltre, quando si risolve il problema della gestione delle scorte, a seconda della sua formulazione, è possibile utilizzare metodi analitici e probabilistico-statistici, metodi di programmazione dinamica e stocastica.

Nella gestione, particolare importanza è attribuita ai metodi di pianificazione della rete. Questi metodi hanno permesso di trovare un nuovo e molto linguaggio conveniente per descrivere, modellare e analizzare opere e progetti complessi in più fasi. Nella ricerca operativa, un posto significativo è dato al miglioramento del controllo di sistemi complessi utilizzando metodi della teoria delle code (vedi Sezione 8.3) e l'apparato dei processi di Markov.

Modelli di processi casuali di Markov- un sistema di equazioni differenziali che descrivono il funzionamento di un sistema o dei suoi processi sotto forma di un insieme di stati ordinati lungo una determinata traiettoria del comportamento del sistema. Questa classe di modelli è ampiamente utilizzata nella modellizzazione matematica del funzionamento di sistemi complessi.

Modelli di teoria dei giochi servono a selezionare la strategia ottimale in condizioni di informazione casuale limitata o di completa incertezza.

Un gioco è un modello matematico di una situazione di conflitto reale, la cui risoluzione viene effettuata secondo determinate regole e algoritmi che descrivono una determinata strategia di comportamento di un decisore in condizioni di incertezza.

Ci sono “giochi con la natura” e “giochi con il nemico”. In base alla situazione vengono determinati metodi e criteri per valutare il processo decisionale. Pertanto, quando si “gioca con la natura”, vengono utilizzati i seguenti criteri: Laplace, maximin (criterio di Wald) e minimax, Hurwitz e Savage e una serie di altre regole algoritmiche. Nei "giochi con un avversario", per prendere decisioni vengono utilizzate matrici di pagamento, criteri maximin e minimax, nonché speciali trasformazioni matematiche, poiché il decisore si trova di fronte a un avversario ostile.

I tipi di modelli matematici considerati non coprono l'intera possibile diversità, ma caratterizzano solo i singoli tipi in base all'aspetto accettato della classificazione. VA Kardash ha tentato di creare un sistema per classificare i modelli in base a quattro aspetti di dettaglio (Figura 8.4).

A - modelli senza differenziazione spaziale dei parametri;

B - modelli con differenziazione spaziale dei parametri

Figura 8.4 - Classificazione dei modelli secondo quattro aspetti di dettaglio

Con lo sviluppo degli strumenti informatici, uno dei metodi decisionali più comuni è il business game, ovvero un esperimento numerico con la partecipazione attiva di una persona. Esistono centinaia di giochi aziendali. Sono utilizzati per studiare una serie di problemi di gestione, economia, teoria organizzativa, psicologia, finanza e commercio.

Cos'è un modello matematico? Tipi di modelli matematici