Dopo aver ottenuto le prime informazioni sulle disuguaglianze con variabili, passiamo alla questione della loro risoluzione. Analizzeremo la soluzione delle disuguaglianze lineari con una variabile e tutti i metodi per risolverle con algoritmi ed esempi. Verranno prese in considerazione solo equazioni lineari con una variabile.

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Cos'è la disuguaglianza lineare?

Innanzitutto, devi definire un'equazione lineare e scoprire la sua forma standard e in che modo differirà dalle altre. Dal corso scolastico sappiamo che non esiste alcuna differenza fondamentale tra le disuguaglianze, quindi è necessario utilizzare diverse definizioni.

Definizione 1

Disuguaglianza lineare con una variabile x è una disuguaglianza della forma a · x + b > 0, quando viene utilizzato qualsiasi segno di disuguaglianza invece di >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definizione 2

Disuguaglianze a x< c или a · x >c, dove x è una variabile e a e c sono alcuni numeri, viene chiamato disuguaglianze lineari con una variabile.

Poiché non è detto se il coefficiente possa essere uguale a 0, allora esiste una disuguaglianza rigorosa della forma 0 x > c e 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Le loro differenze sono:

• forma di notazione a · x + b > 0 nella prima, e a · x > c – nella seconda;
• ammissibilità del coefficiente a pari a zero, a ≠ 0 - nel primo e a = 0 - nel secondo.

Si ritiene che le disuguaglianze a · x + b > 0 e a · x > c siano equivalenti, perché si ottengono trasferendo un termine da una parte all'altra. Risolvere la disuguaglianza 0 x + 5 > 0 porterà al fatto che dovrà essere risolta e il caso a = 0 non funzionerà.

Definizione 3

Si ritiene che le disuguaglianze lineari in una variabile x siano disuguaglianze della forma unx+b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 E a x + b ≥ 0, dove a e b sono numeri reali. Al posto di x può esserci un numero regolare.

In base alla regola abbiamo che 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 si dicono riducibili a lineari.

Come risolvere la disuguaglianza lineare

Il modo principale per risolvere tali disuguaglianze è utilizzare trasformazioni equivalenti per trovare le disuguaglianze elementari x< p (≤ , >, ≥) , p che è un certo numero, per a ≠ 0, e della forma a< p (≤ , >, ≥) per a = 0.

Per risolvere le disuguaglianze in una variabile, puoi utilizzare il metodo dell'intervallo o rappresentarlo graficamente. Ognuno di essi può essere utilizzato separatamente.

Utilizzando trasformazioni equivalenti

Per risolvere una disuguaglianza lineare della forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥), è necessario applicare trasformazioni di disuguaglianza equivalenti. Il coefficiente può essere zero o meno. Consideriamo entrambi i casi. Per scoprirlo è necessario aderire a uno schema composto da 3 punti: l'essenza del processo, l'algoritmo e la soluzione stessa.

Definizione 4

Algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze lineari unx+b< 0 (≤ , >, ≥) per a ≠ 0

• il numero b verrà spostato lato destro disuguaglianze di segno opposto, che permetteranno di arrivare all'equivalente a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Entrambi i membri della disuguaglianza verranno divisi per un numero diverso da 0. Inoltre, quando a è positivo, il segno rimane; quando a è negativo, cambia al contrario.

Consideriamo l'applicazione di questo algoritmo sulla risoluzione di esempi.

Esempio 1

Risolvi la disuguaglianza della forma 3 x + 12 ≤ 0.

Soluzione

Questa disuguaglianza lineare ha a = 3 e b = 12. Ciò significa che il coefficiente a di x non è uguale a zero. Applichiamo gli algoritmi di cui sopra e risolviamolo.

È necessario spostare il termine 12 in un'altra parte della disuguaglianza e cambiare il segno davanti ad esso. Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 3 x ≤ − 12. È necessario dividere entrambe le parti per 3. Il segno non cambierà poiché 3 è un numero positivo. Otteniamo che (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, che dà il risultato x ≤ − 4.

Una disuguaglianza della forma x ≤ − 4 è equivalente. Cioè, la soluzione per 3 x + 12 ≤ 0 è qualsiasi numero reale minore o uguale a 4. La risposta si scrive come una disuguaglianza x ≤ − 4, o un intervallo numerico della forma (− ∞, − 4].

L'intero algoritmo sopra descritto è scritto in questo modo:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Risposta: x ≤ - 4 o (- ∞ , - 4] .

Esempio 2

Indicare tutte le soluzioni disponibili della disuguaglianza − 2, 7 · z > 0.

Soluzione

Dalla condizione vediamo che il coefficiente a per z è uguale a - 2,7 e b è esplicitamente assente o uguale a zero. Non puoi utilizzare il primo passaggio dell'algoritmo, ma passare immediatamente al secondo.

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il numero - 2, 7. Poiché il numero è negativo, è necessario invertire il segno della disuguaglianza. Cioè, otteniamo che (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Scriveremo l'intero algoritmo forma breve:

− 2,7 z > 0; z< 0 .

Risposta: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Esempio 3

Risolvi la disuguaglianza - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Soluzione

Secondo la condizione, vediamo che è necessario risolvere la disuguaglianza con il coefficiente a per la variabile x, che è uguale a - 5, con il coefficiente b, che corrisponde alla frazione - 15 22. È necessario risolvere la disuguaglianza seguendo l'algoritmo, ovvero: spostare - 15 22 in un'altra parte con il segno opposto, dividere entrambe le parti per - 5, cambiare il segno della disuguaglianza:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Durante l'ultima transizione per il lato destro, viene utilizzata la regola per dividere il numero con segni diversi 15 22: - 5 = - 15 22: 5, dopodiché eseguiamo la divisione frazione comune al numero naturale - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Risposta: x ≥ - 3 22 e [ - 3 22 + ∞) .

Consideriamo il caso in cui a = 0. Espressione lineare della forma a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Tutto si basa sulla determinazione della soluzione alla disuguaglianza. Per qualsiasi valore di x otteniamo una disuguaglianza numerica della forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Considereremo tutti i giudizi sotto forma di un algoritmo per risolvere le disuguaglianze lineari 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definizione 5

Disuguaglianza numerica della forma b< 0 (≤ , >, ≥) è vera, allora la disuguaglianza originaria ha una soluzione per qualsiasi valore, ed è falsa quando la disuguaglianza originaria non ha soluzioni.

Esempio 4

Risolvi la disuguaglianza 0 x + 7 > 0.

Soluzione

Questa disuguaglianza lineare 0 x + 7 > 0 può assumere qualsiasi valore x. Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 7 > 0. L'ultima disuguaglianza è considerata vera, il che significa che qualsiasi numero può essere la sua soluzione.

Risposta: intervallo (− ∞ , + ∞) .

Esempio 5

Trova una soluzione alla disuguaglianza 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Soluzione

Sostituendo la variabile x di un numero qualsiasi, otteniamo che la disuguaglianza assume la forma − 12, 7 ≥ 0. Non è corretto. Cioè, 0 x − 12, 7 ≥ 0 non ha soluzioni.

Risposta: non ci sono soluzioni.

Consideriamo la risoluzione di disuguaglianze lineari in cui entrambi i coefficienti sono uguali a zero.

Esempio 6

Determina la disuguaglianza irrisolvibile da 0 x + 0 > 0 e 0 x + 0 ≥ 0.

Soluzione

Sostituendo un numero qualsiasi al posto di x, otteniamo due disuguaglianze della forma 0 > 0 e 0 ≥ 0. Il primo non è corretto. Ciò significa che 0 x + 0 > 0 non ha soluzioni e 0 x + 0 ≥ 0 ha un numero infinito di soluzioni, cioè qualsiasi numero.

Risposta: la disuguaglianza 0 x + 0 > 0 non ha soluzioni, ma 0 x + 0 ≥ 0 ha soluzioni.

Questo metodo considerato in un corso di matematica scolastica. Il metodo dell'intervallo è in grado di risolvere diversi tipi disuguaglianze, anche lineari.

Il metodo dell'intervallo viene utilizzato per le disuguaglianze lineari quando il valore del coefficiente x non è uguale a 0. Altrimenti dovrai calcolare utilizzando un metodo diverso.

Definizione 6

Il metodo dell'intervallo è:

• introducendo la funzione y = a · x + b ;
• ricerca di zeri per dividere il dominio di definizione in intervalli;
• definizione dei segni per i loro concetti sugli intervalli.

Costruiamo un algoritmo per risolvere le equazioni lineari a x + b< 0 (≤ , >, ≥) per a ≠ 0 utilizzando il metodo dell'intervallo:

• trovare gli zeri della funzione y = a · x + b per risolvere un'equazione della forma a · x + b = 0 . Se a ≠ 0, la soluzione sarà una radice singola, che prenderà la designazione x 0;
• costruzione di una linea coordinata con l'immagine di un punto con coordinata x 0, con disuguaglianza rigorosa il punto è indicato con un punto punteggiato, con disuguaglianza non rigorosa – con uno ombreggiato;
• determinazione dei segni della funzione y = a · x + b sugli intervalli; per questo è necessario trovare i valori della funzione nei punti dell'intervallo;
• risolvere una disuguaglianza con segni > o ≥ sulla linea delle coordinate, aggiungendo ombreggiatura sull'intervallo positivo,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione delle disuguaglianze lineari utilizzando il metodo dell'intervallo.

Esempio 6

Risolvi la disuguaglianza − 3 x + 12 > 0.

Soluzione

Dall'algoritmo segue che prima devi trovare la radice dell'equazione − 3 x + 12 = 0. Otteniamo che − 3 · x = − 12 , x = 4 . È necessario tracciare una linea di coordinate dove segniamo il punto 4. Verrà perforato perché la disuguaglianza è rigorosa. Considera il disegno qui sotto.

È necessario determinare i segni agli intervalli. Per determinarlo sull'intervallo (− ∞, 4), è necessario calcolare la funzione y = − 3 x + 12 in x = 3. Da qui otteniamo che − 3 3 + 12 = 3 > 0. Il segno dell'intervallo è positivo.

Determiniamo il segno dall'intervallo (4, + ∞), quindi sostituiamo il valore x = 5. Abbiamo che − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Risolviamo la disuguaglianza con il segno > e l'ombreggiatura viene eseguita sull'intervallo positivo. Considera il disegno qui sotto.

Dal disegno è chiaro che la soluzione desiderata ha la forma (− ∞ , 4) oppure x< 4 .

Risposta: (− ∞ , 4) o x< 4 .

Per capire come rappresentare graficamente, è necessario considerare l'esempio 4 disuguaglianze lineari: 0,5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 e 0, 5 x − 1 ≥ 0. Le loro soluzioni saranno i valori di x< 2 , x ≤ 2 , x >2 e x ≥ 2. Per fare ciò, tracciamo la funzione lineare y = 0, 5 x − 1 mostrata sotto.

E' chiaro

Definizione 7

• risolvere la disuguaglianza 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• la soluzione 0, 5 x − 1 ≤ 0 è considerata l'intervallo in cui la funzione y = 0, 5 x − 1 è inferiore a O x o coincide;
• la soluzione 0, 5 · x − 1 > 0 è considerata un intervallo, la funzione si trova sopra O x;
• la soluzione 0, 5 · x − 1 ≥ 0 è considerata l'intervallo in cui il grafico sopra O x o coincide.

Lo scopo di risolvere graficamente le disuguaglianze è trovare gli intervalli che devono essere rappresentati sul grafico. In questo caso lo otteniamo lato sinistro ha y = a · x + b, e quello di destra ha y = 0, e coincide con O x.

Viene tracciato il grafico della funzione y = a x + b:

• risolvendo la disuguaglianza a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• quando si risolve la disuguaglianza a · x + b ≤ 0, si determina l'intervallo in cui il grafico è rappresentato sotto l'asse O x o coincide;
• quando si risolve la disuguaglianza a · x + b > 0, si determina l'intervallo in cui è rappresentato il grafico sopra O x;
• Quando si risolve la disuguaglianza a · x + b ≥ 0, si determina l'intervallo in cui il grafico è sopra O x o coincide.

Esempio 7

Risolvi la disuguaglianza - 5 · x - 3 > 0 utilizzando un grafico.

Soluzione

È necessario costruire un grafico della funzione lineare - 5 · x - 3 > 0. Questa linea è decrescente perché il coefficiente di x è negativo. Per determinare le coordinate del punto della sua intersezione con O x - 5 · x - 3 > 0, otteniamo il valore - 3 5. Rappresentiamolo graficamente.

Risolvendo la disuguaglianza con il segno >, è necessario prestare attenzione all'intervallo sopra O x. Evidenziamo in rosso la parte richiesta dell'aereo e otteniamola

Lo spazio richiesto è la parte O x rosso. Ciò significa che il raggio dei numeri aperti - ∞ , - 3 5 sarà una soluzione alla disuguaglianza. Se, secondo la condizione, avessimo una disuguaglianza non rigorosa, anche il valore del punto - 3 5 sarebbe una soluzione alla disuguaglianza. E coinciderebbe con O x.

Risposta: - ∞ , - 3 5 o x< - 3 5 .

La soluzione grafica si usa quando il membro sinistro corrisponde alla funzione y = 0 x + b, cioè y = b. Allora la retta sarà parallela a O x o coincidente in b = 0. Questi casi mostrano che la disuguaglianza potrebbe non avere soluzioni, oppure la soluzione potrebbe essere un numero qualsiasi.

Esempio 8

Determina dalle disuguaglianze 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Soluzione

La rappresentazione di y = 0 x + 7 è y = 7, quindi verrà dato un piano di coordinate con una linea parallela a O x e situata sopra O x. Quindi 0×+7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Il grafico della funzione y = 0 x + 0 è considerato y = 0, cioè la retta coincide con O x. Ciò significa che la disuguaglianza 0 x + 0 ≥ 0 ha molte soluzioni.

Risposta: La seconda disuguaglianza ha una soluzione per qualsiasi valore di x.

Disuguaglianze che si riducono a lineari

La soluzione alle disuguaglianze può essere ridotta alla soluzione equazione lineare, che sono chiamate disuguaglianze che si riducono a lineari.

Queste disuguaglianze sono state considerate nel percorso scolastico, poiché erano un caso speciale di risoluzione delle disuguaglianze, che ha portato all'apertura di parentesi e alla riduzione di termini simili. Ad esempio, considera che 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Le disuguaglianze sopra indicate sono sempre ridotte alla forma di un'equazione lineare. Quindi si aprono le parentesi e si danno e si trasferiscono termini simili parti differenti, cambiando il segno in contrario.

Riducendo la disuguaglianza 5 − 2 x > 0 a lineare, la rappresentiamo in modo che abbia la forma − 2 x + 5 > 0, e riducendo la seconda otteniamo che 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . È necessario aprire le parentesi, riportare termini simili, spostare tutti i termini sul lato sinistro e riportare termini simili. Sembra questo:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ciò porta la soluzione a una disuguaglianza lineare.

Queste disuguaglianze sono considerate lineari, poiché hanno lo stesso principio di soluzione, dopodiché è possibile ridurle a disuguaglianze elementari.

Per risolvere questo tipo di disuguaglianza è necessario ridurla a una disuguaglianza lineare. Dovrebbe essere fatto in questo modo:

Definizione 9

• parentesi aperte;
• raccogliere le variabili a sinistra e i numeri a destra;
• fornire termini simili;
• dividi entrambi i membri per il coefficiente di x.

Esempio 9

Risolvi la disuguaglianza 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Soluzione

Apriamo le parentesi e otteniamo una disuguaglianza della forma 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Dopo aver ridotto termini simili, abbiamo che 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Dopo aver spostato i termini da sinistra a destra, troviamo che 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Esiste quindi una disuguaglianza della forma 32 ≤ 0 da quella ottenuta calcolando 0 x + 32 ≤ 0. Si vede che la disuguaglianza è falsa, il che significa che la disuguaglianza data dalla condizione non ha soluzioni.

Risposta: nessuna soluzione.

Vale la pena notare che esistono molti altri tipi di disuguaglianze che possono essere ridotte a disuguaglianze lineari o del tipo mostrato sopra. Ad esempio, 5 2 x − 1 ≥ 1 è un'equazione esponenziale che si riduce a una soluzione della forma lineare 2 x − 1 ≥ 0. Questi casi saranno presi in considerazione quando si risolveranno disuguaglianze di questo tipo.

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Uno degli argomenti che richiede la massima attenzione e perseveranza da parte degli studenti è la risoluzione delle disuguaglianze. Così simili alle equazioni e allo stesso tempo molto diverse da esse. Perché risolverli richiede un approccio speciale.

Proprietà che saranno necessarie per trovare la risposta

Tutti vengono utilizzati per sostituire una voce esistente con una equivalente. La maggior parte di essi sono simili a quelli contenuti nelle equazioni. Ma ci sono anche delle differenze.

• Una funzione definita nell'ODZ, o qualsiasi numero, può essere aggiunta a entrambi i membri della disuguaglianza originale.
• Allo stesso modo, la moltiplicazione è possibile, ma solo per una funzione o un numero positivo.
• Se questa azione viene eseguita con una funzione o un numero negativo, il segno di disuguaglianza deve essere sostituito con quello opposto.
• Le funzioni non negative possono essere elevate a una potenza positiva.

A volte la risoluzione delle disuguaglianze è accompagnata da azioni che forniscono risposte estranee. Devono essere esclusi mediante confronto Zona ODZ e tante soluzioni.

Utilizzando il metodo dell'intervallo

La sua essenza è ridurre la disuguaglianza a un'equazione in cui c'è uno zero a destra.

1. Determinare l'area in cui si trovano i valori consentiti delle variabili, ovvero l'ODZ.
2. Trasforma la disuguaglianza utilizzando operazioni matematiche in modo che il lato destro abbia uno zero.
3. Sostituisci il segno di disuguaglianza con “=" e risolvi l'equazione corrispondente.
4. Sull'asse numerico, segna tutte le risposte ottenute durante la soluzione, nonché gli intervalli OD. In caso di disuguaglianza rigorosa, i punti devono essere tracciati come forati. Se c'è un segno uguale, dovrebbero essere verniciati.
5. Determina il segno della funzione originale su ciascun intervallo ottenuto dai punti dell'ODZ e dalle risposte che lo dividono. Se il segno della funzione non cambia passando per un punto, viene incluso nella risposta. Altrimenti è escluso.
6. I punti di confine per ODZ devono essere ulteriormente controllati e solo successivamente inclusi o meno nella risposta.
7. La risposta risultante deve essere scritta sotto forma di insiemi combinati.

Un po’ di doppie disuguaglianze

Usano due segni di disuguaglianza contemporaneamente. Cioè, alcune funzioni sono limitate da condizioni due volte contemporaneamente. Tali disuguaglianze vengono risolte come un sistema a due, quando l'originale è diviso in parti. E nel metodo dell'intervallo vengono indicate le risposte derivanti dalla risoluzione di entrambe le equazioni.

Per risolverli è consentito anche utilizzare le proprietà sopra indicate. Con il loro aiuto è conveniente ridurre a zero la disuguaglianza.

Che dire delle disuguaglianze che hanno un modulo?

In questo caso, la soluzione alle disuguaglianze utilizza le seguenti proprietà, e sono valide per un valore positivo di “a”.

Se "x" prende espressione algebrica, allora sono valide le seguenti sostituzioni:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > dalla a alla x< -a или х >UN.

Se le disuguaglianze non sono rigorose, anche le formule sono corrette, solo in esse, oltre al segno maggiore o minore, appare “=".

Come si risolve un sistema di disuguaglianze?

Questa conoscenza sarà richiesta nei casi in cui tale compito viene assegnato o vi è una registrazione di doppia disuguaglianza o nel record appare un modulo. In una situazione del genere, la soluzione saranno i valori delle variabili che soddisferebbero tutte le disuguaglianze nel record. Se non esistono tali numeri, il sistema non ha soluzioni.

Il piano secondo il quale viene effettuata la soluzione del sistema di disuguaglianze:

• risolverli ciascuno separatamente;
• rappresentare tutti gli intervalli sull'asse dei numeri e determinare le loro intersezioni;
• annotare la risposta del sistema, che sarà una combinazione di quanto accaduto nel secondo paragrafo.

Cosa fare con le disuguaglianze frazionarie?

Poiché per risolverli potrebbe essere necessario cambiare il segno della disuguaglianza, è necessario seguire con molta attenzione e attenzione tutti i punti del piano. Altrimenti potresti ottenere la risposta opposta.

Anche la risoluzione delle disuguaglianze frazionarie utilizza il metodo dell'intervallo. E il piano d'azione sarà così:

• Usando le proprietà descritte, dai alla frazione una forma tale che a destra del segno rimanga solo lo zero.
• Sostituisci la disuguaglianza con "=" e determina i punti in cui la funzione sarà uguale a zero.
• Segnateli sull'asse delle coordinate. In questo caso, i numeri ottenuti come risultato dei calcoli al denominatore verranno sempre perforati. Tutti gli altri si basano sulla condizione di disuguaglianza.
• Determinare gli intervalli di costanza del segno.
• In risposta, scrivi l'unione di quegli intervalli il cui segno corrisponde a quello della disuguaglianza originale.

Situazioni in cui l'irrazionalità appare nella disuguaglianza

In altre parole, c'è una radice matematica nella notazione. Dal corso di algebra scolastica la maggior parte le assegnazioni riguardano la radice quadrata, questo è ciò che verrà considerato.

La soluzione alle disuguaglianze irrazionali si riduce all’ottenimento di un sistema a due o tre che sia equivalente a quello originario.

Esempi di risoluzione di diversi tipi di diseguaglianze

Per aggiungere chiarezza alla teoria sulla risoluzione delle disuguaglianze, di seguito vengono forniti degli esempi.

Primo esempio. 2x - 4 > 1 + x

Soluzione: per determinare l’ADI, tutto ciò che devi fare è osservare da vicino la disuguaglianza. È formato da funzioni lineari, quindi definita per tutti i valori della variabile.

Ora devi sottrarre (1 + x) da entrambi i lati della disuguaglianza. Risulta: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Dopo aver aperto le parentesi e fornito termini simili, la disuguaglianza assumerà la seguente forma: x - 5 > 0.

Uguagliandolo a zero, è facile trovare la sua soluzione: x = 5.

Ora questo punto con il numero 5 deve essere segnato sul raggio delle coordinate. Quindi controllare i segni della funzione originale. Nel primo intervallo da meno infinito a 5 puoi prendere il numero 0 e sostituirlo nella disuguaglianza ottenuta dopo le trasformazioni. Dopo i calcoli risulta -7 >0. sotto l'arco dell'intervallo è necessario firmare un segno meno.

Nell'intervallo successivo da 5 a infinito, puoi scegliere il numero 6. Quindi risulta che 1 > 0. C'è un segno "+" sotto l'arco. Questo secondo intervallo sarà la risposta alla disuguaglianza.

Risposta: x sta nell'intervallo (5; ∞).

Secondo esempio. È necessario risolvere un sistema di due equazioni: 3x + 3 ≤ 2x + 1 e 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Soluzione. Anche il VA di queste disuguaglianze si trova nell'area di qualsiasi numero, poiché sono date funzioni lineari.

La seconda disuguaglianza assumerà la forma della seguente equazione: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Dopo la trasformazione: -x - 4 =0. Ciò produce un valore per la variabile pari a -4.

Questi due numeri devono essere contrassegnati sull'asse, raffigurando gli intervalli. Poiché la disuguaglianza non è stretta, tutti i punti devono essere ombreggiati. Il primo intervallo va da meno infinito a -4. Sia scelto il numero -5. La prima disuguaglianza darà il valore -3 e la seconda 1. Ciò significa che questo intervallo non è incluso nella risposta.

Il secondo intervallo va da -4 a -2. Puoi scegliere il numero -3 e sostituirlo in entrambe le disuguaglianze. Nel primo e nel secondo il valore è -1. Ciò significa che sotto l'arco “-”.

Nell'ultimo intervallo da -2 a infinito, il numero migliore è zero. Devi sostituirlo e trovare i valori delle disuguaglianze. Il primo produce un numero positivo, il secondo uno zero. Anche questa lacuna deve essere esclusa dalla risposta.

Dei tre intervalli, solo uno è una soluzione alla disuguaglianza.

Risposta: x appartiene a [-4; -2].

Terzo esempio. |1 -x| > 2 |x - 1|.

Soluzione. Il primo passo è determinare i punti in cui le funzioni svaniscono. Per quello di sinistra questo numero sarà 2, per quello di destra - 1. È necessario segnarli sulla trave e determinare gli intervalli di costanza del segno.

Nel primo intervallo, da meno infinito a 1, la funzione a sinistra della disuguaglianza assume valori positivi e la funzione a destra assume valori negativi. Sotto l'arco devi scrivere due segni “+” e “-” uno accanto all'altro.

L'intervallo successivo va da 1 a 2. Su di esso entrambe le funzioni assumono valori positivi. Ciò significa che ci sono due vantaggi sotto l'arco.

Il terzo intervallo da 2 a infinito darà il seguente risultato: funzione sinistra- negativo, giusto - positivo.

Tenendo conto dei segni risultanti, è necessario calcolare i valori di disuguaglianza per tutti gli intervalli.

La prima produce la seguente disuguaglianza: 2 - x > - 2 (x - 1). Il meno prima dei due nella seconda disuguaglianza è dovuto al fatto che questa funzione è negativa.

Dopo la trasformazione, la disuguaglianza appare così: x > 0. Fornisce immediatamente i valori della variabile. Cioè da questo intervallo verrà data risposta solo all'intervallo da 0 a 1.

Sul secondo: 2 - x > 2 (x - 1). Le trasformazioni daranno la seguente disuguaglianza: -3x + 4 è maggiore di zero. Il suo zero sarà x = 4/3. Tenendo conto del segno di disuguaglianza, risulta che x deve essere inferiore a questo numero. Ciò significa che questo intervallo è ridotto ad un intervallo da 1 a 4/3.

Quest'ultimo dà la seguente disuguaglianza: - (2 - x) > 2 (x - 1). La sua trasformazione porta a quanto segue: -x > 0. Cioè, l'equazione è vera quando x è minore di zero. Ciò significa che sull'intervallo richiesto la disuguaglianza non fornisce soluzioni.

Nei primi due intervalli il numero limite è risultato essere 1. Deve essere controllato separatamente. Cioè, sostituiscilo nella disuguaglianza originale. Risulta: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Contando si vede che 1 è maggiore di 0. Questa è un'affermazione vera, quindi nella risposta è incluso uno.

Risposta: x sta nell'intervallo (0; 4/3).

Viene chiamata qualsiasi disuguaglianza che includa una funzione sotto la radice irrazionale. Esistono due tipi di tali disuguaglianze:

Nel primo caso, la radice meno funzione g (x), nel secondo - altro. Se g(x) - costante, la disuguaglianza è notevolmente semplificata. Nota: esteriormente queste disuguaglianze sono molto simili, ma i loro schemi di soluzione sono fondamentalmente diversi.

Oggi impareremo come risolvere le disuguaglianze irrazionali del primo tipo: sono le più semplici e comprensibili. Il segno di disuguaglianza può essere stretto o non stretto. Per loro vale la seguente affermazione:

Teorema. Qualsiasi disuguaglianza irrazionale della forma

Equivalente al sistema di disuguaglianze:

Non debole? Vediamo da dove viene questo sistema:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - qui è tutto chiaro. Questa è la disuguaglianza originaria al quadrato;
2. f (x) ≥ 0 è l'ODZ della radice. Lascia che te lo ricordi: aritmetica Radice quadrata esiste solo da non negativo numeri;
3. g(x) ≥ 0 è l'intervallo della radice. Riequilibrando la disuguaglianza, bruciamo gli aspetti negativi. Di conseguenza, potrebbero apparire radici extra. La disuguaglianza g(x) ≥ 0 li esclude.

Molti studenti “rimangono bloccati” sulla prima disuguaglianza del sistema: f (x) ≤ g 2 (x) - e dimenticano completamente le altre due. Il risultato è prevedibile: decisione sbagliata, punti persi.

Poiché le disuguaglianze irrazionali sono un argomento piuttosto complesso, diamo un’occhiata a 4 esempi contemporaneamente. Da base a veramente complesso. Tutti i problemi sono presi dagli esami di ammissione all'Università statale di Mosca. MV Lomonosov.

Esempi di risoluzione dei problemi

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Davanti a noi c'è un classico disuguaglianza irrazionale: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - costante. Abbiamo:

Delle tre disuguaglianze, solo due rimanevano alla fine della soluzione. Perché la disuguaglianza 2 ≥ 0 vale sempre. Incrociamo le restanti disuguaglianze:

Quindi, x ∈ [−1,5; 0,5]. Tutti i punti sono ombreggiati perché le disuguaglianze non sono rigorose.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Applichiamo il teorema:

Risolviamo la prima disuguaglianza. Per fare ciò, riveleremo il quadrato della differenza. Abbiamo:

2x2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x2-10x< 0;
x(x-10)< 0;
x∈ (0; 10).

Ora risolviamo la seconda disuguaglianza. Lì anche trinomio quadratico:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)