I. Quantità direttamente proporzionali.

Lasciamo il valore sì dipende dalla dimensione X. Se quando aumenta X diverse volte la dimensione A aumenta della stessa quantità, quindi tali valori X E A sono detti direttamente proporzionali.

Esempi.

1 . La quantità di merce acquistata e il prezzo di acquisto (con un prezzo fisso per un'unità di merce - 1 pezzo o 1 kg, ecc.) Quante volte più beni sono stati acquistati, più volte sono stati pagati.

2 . La distanza percorsa e il tempo trascorso su di essa (a velocità costante). Quante volte più lungo è il percorso, quante volte più tempo ci vorrà per completarlo.

3 . Il volume di un corpo e la sua massa. ( Se un'anguria è 2 volte più grande di un'altra, la sua massa sarà 2 volte più grande)

II. Proprietà di proporzionalità diretta delle quantità.

Se due quantità sono direttamente proporzionali, il rapporto tra due valori arbitrariamente presi della prima quantità è uguale al rapporto tra due valori corrispondenti della seconda quantità.

Compito 1. Per la marmellata di lamponi abbiamo preso 12 chilogrammi lamponi e 8 chilogrammi Sahara. Di quanto zucchero avrai bisogno se lo prendessi? 9 chilogrammi lamponi?

Soluzione.

Ragioniamo così: sia necessario xkg zucchero per 9 chilogrammi lamponi La massa dei lamponi e la massa dello zucchero sono quantità direttamente proporzionali: quante volte ci sono meno lamponi, tante volte è necessario meno zucchero. Pertanto, il rapporto tra lamponi presi (in peso) ( 12:9 ) sarà uguale al rapporto di zucchero assunto ( 8:x). Otteniamo la proporzione:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Risposta: SU 9 chilogrammi i lamponi devono essere presi 6 chilogrammi Sahara.

La soluzione del problema Potrebbe essere fatto in questo modo:

Lascia stare 9 chilogrammi i lamponi devono essere presi xkg Sahara.

(Le frecce nella figura sono dirette in una direzione e su o giù non hanno importanza. Significato: quante volte il numero 12 più numero 9 , lo stesso numero di volte 8 più numero X, cioè c'è una relazione diretta qui).

Risposta: SU 9 chilogrammi Devo prendere dei lamponi 6 chilogrammi Sahara.

Compito 2. Auto per 3 ore percorso la distanza 264 km. Quanto tempo impiegherà a viaggiare? 440 km, se guida alla stessa velocità?

Soluzione.

Lasciamo perdere x ore passerà la macchina distanza 440 km.

Risposta: passerà la macchina 440 km in 5 ore.

Esempio

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8, ecc.

Fattore di proporzionalità

Viene chiamata una relazione costante di quantità proporzionali fattore di proporzionalità. Il coefficiente di proporzionalità mostra quante unità di una quantità sono per unità di un'altra.

Proporzionalità diretta

Proporzionalità diretta- dipendenza funzionale, in cui una certa quantità dipende da un'altra quantità in modo tale che il loro rapporto rimane costante. In altre parole, queste variabili cambiano proporzionalmente, in parti uguali, ovvero se l'argomento cambia due volte in qualsiasi direzione, anche la funzione cambia due volte nella stessa direzione.

Matematicamente, la proporzionalità diretta è scritta come una formula:

F(X) = UNX,UN = CoNST

Proporzionalità inversa

Proporzionalità inversa- questa è una dipendenza funzionale, in cui un aumento del valore indipendente (argomento) provoca una diminuzione proporzionale del valore dipendente (funzione).

Matematicamente, la proporzionalità inversa è scritta come una formula:

Proprietà della funzione:

Fonti

Fondazione Wikimedia. 2010.

§ 129. Chiarimenti preliminari.

Una persona ha costantemente a che fare con un'ampia varietà di quantità. Un impiegato e un operaio cercano di arrivare al lavoro entro una certa ora, un pedone ha fretta di arrivare in un certo luogo per la strada più breve, un fuochista del riscaldamento a vapore è preoccupato che la temperatura nella caldaia aumenti lentamente, un il dirigente aziendale sta progettando di ridurre i costi di produzione, ecc.

Si potrebbero citare numerosi esempi del genere. Tempo, distanza, temperatura, costi: tutte queste sono quantità diverse. Nella prima e nella seconda parte di questo libro abbiamo conosciuto alcune quantità particolarmente comuni: area, volume, peso. Incontriamo molte quantità quando studiamo la fisica e altre scienze.

Immagina di viaggiare su un treno. Ogni tanto guardi l'orologio e noti quanto tempo sei in viaggio. Dici, ad esempio, che sono trascorse 2, 3, 5, 10, 15 ore dalla partenza del tuo treno, ecc. Questi numeri rappresentano periodi di tempo diversi; sono chiamati i valori di questa quantità (tempo). Oppure guardi fuori dal finestrino e segui i segnali stradali per vedere la distanza percorsa dal tuo treno. I numeri 110, 111, 112, 113, 114 km lampeggiano davanti a te. Questi numeri rappresentano le diverse distanze percorse dal treno dal suo punto di partenza. Sono anche chiamati valori, questa volta di grandezza diversa (percorso o distanza tra due punti). Pertanto, una quantità, ad esempio il tempo, la distanza, la temperatura, può assumerne altrettante significati diversi.

Tieni presente che una persona non considera quasi mai solo una quantità, ma la collega sempre ad altre quantità. Ha a che fare con due, tre e un largo numero le quantità Immagina di dover andare a scuola entro le 9. Guardi l'orologio e vedi che hai 20 minuti. Poi decidi velocemente se prendere il tram o se puoi andare a scuola a piedi. Dopo averci pensato, decidi di camminare. Nota che mentre stavi pensando, stavi risolvendo qualche problema. Questo compito è diventato semplice e familiare, poiché risolvi tali problemi ogni giorno. In esso hai confrontato rapidamente diverse quantità. Sei stato tu a guardare l'orologio, il che significa che hai tenuto conto dell'ora, poi hai immaginato mentalmente la distanza da casa tua alla scuola; Alla fine, hai confrontato due valori: la velocità del tuo passo e la velocità del tram, e hai concluso che in un dato tempo (20 minuti) avrai tempo per camminare. Da questa semplice esempio vedi che nella nostra pratica alcune quantità sono interconnesse, cioè dipendono l'una dall'altra

Il capitolo dodici ha parlato della relazione tra quantità omogenee. Ad esempio, se un segmento misura 12 me l'altro 4 m, il rapporto tra questi segmenti sarà 12: 4.

Abbiamo detto che questo è il rapporto tra due quantità omogenee. Un altro modo per dirlo è che è il rapporto tra due numeri un nome.

Ora che abbiamo più familiarità con le quantità e abbiamo introdotto il concetto di valore di una quantità, possiamo esprimere la definizione di rapporto in un modo nuovo. Infatti, quando consideravamo due segmenti di 12 me 4 m, stavamo parlando di un valore: la lunghezza, e 12 me 4 m erano solo due significati diversi questo valore.

Pertanto, in futuro, quando inizieremo a parlare di rapporti, considereremo due valori di una quantità, e il rapporto tra un valore di una quantità e un altro valore della stessa quantità sarà chiamato quoziente di divisione del primo valore entro il secondo.

§ 130. I valori sono direttamente proporzionali.

Consideriamo un problema la cui condizione comprende due quantità: distanza e tempo.

Compito 1. Un corpo che si muove rettilineo e uniformemente percorre 12 cm ogni secondo. Determina la distanza percorsa dal corpo in 2, 3, 4, ..., 10 secondi.

Creiamo una tabella che può essere utilizzata per tenere traccia dei cambiamenti nel tempo e nella distanza.

La tabella ci offre l'opportunità di confrontare queste due serie di valori. Ne vediamo che quando i valori della prima grandezza (tempo) aumentano gradualmente di 2, 3,..., 10 volte, allora anche i valori della seconda grandezza (distanza) aumentano di 2, 3, ..., 10 volte. Pertanto, quando i valori di una quantità aumentano più volte, i valori di un'altra quantità aumentano della stessa quantità, e quando i valori di una quantità diminuiscono più volte, i valori di un'altra quantità diminuiscono della stessa quantità. stesso numero.

Consideriamo ora un problema che coinvolge due di tali quantità: la quantità di materia e il suo costo.

Compito 2. 15 m di tessuto costano 120 rubli. Calcolare il costo di questo tessuto per diverse altre quantità di metri indicate in tabella.

Utilizzando questa tabella possiamo tracciare come il costo di un prodotto aumenta gradualmente a seconda dell'aumento della sua quantità. Nonostante il fatto che questo problema coinvolga quantità completamente diverse (nel primo problema - tempo e distanza, e qui - la quantità di beni e il suo valore), tuttavia, si possono trovare grandi somiglianze nel comportamento di queste quantità.

Infatti nella riga superiore della tabella sono presenti dei numeri che indicano il numero di metri di tessuto; sotto ognuno di essi è presente un numero che esprime il costo della corrispondente quantità di merce. Anche una rapida occhiata a questa tabella mostra che i numeri sia nella riga superiore che in quella inferiore sono in aumento; esaminando più attentamente la tabella e confrontando le singole colonne, si scopre che in tutti i casi i valori della seconda grandezza aumentano dello stesso numero di volte in cui aumentano i valori della prima, cioè se il valore della la prima quantità aumenta, diciamo, di 10 volte, poi anche il valore della seconda quantità aumenta di 10 volte.

Se osserviamo la tabella da destra a sinistra, scopriremo che i valori delle quantità indicati diminuiranno dello stesso numero di volte. In questo senso, esiste una somiglianza incondizionata tra il primo compito e il secondo.

Vengono chiamate le coppie di quantità che abbiamo incontrato nel primo e nel secondo problema direttamente proporzionale.

Pertanto, se due quantità sono correlate tra loro in modo tale che quando il valore di una di esse aumenta (diminuisce) più volte, il valore dell'altra aumenta (diminuisce) della stessa quantità, allora tali quantità sono chiamate direttamente proporzionali .

Si dice anche che tali quantità siano legate tra loro da una relazione direttamente proporzionale.

Esistono molte quantità simili presenti in natura e nella vita che ci circonda. Ecco alcuni esempi:

1. Tempo lavoro (giorno, due giorni, tre giorni, ecc.) e guadagni, ricevuto durante questo periodo con la paga giornaliera.

2. Volume qualsiasi oggetto costituito da un materiale omogeneo, e peso questo oggetto.

§ 131. Proprietà delle quantità direttamente proporzionali.

Prendiamo un problema che coinvolge le seguenti due quantità: tempo di lavoro e guadagni. Se il guadagno giornaliero è di 20 rubli, il guadagno per 2 giorni sarà di 40 rubli, ecc. È più conveniente creare una tabella in cui un certo numero i giorni corrisponderanno ad un certo reddito.

Osservando questa tabella, vediamo che entrambe le quantità hanno assunto 10 valori diversi. Ogni valore del primo valore corrisponde a un certo valore del secondo valore, ad esempio 2 giorni corrispondono a 40 rubli; 5 giorni corrispondono a 100 rubli. Nella tabella questi numeri sono scritti uno sotto l'altro.

Sappiamo già che se due quantità sono direttamente proporzionali, ciascuna di esse, nel processo di modifica, aumenta tante volte quanto aumenta l'altra. Ne consegue immediatamente: se prendiamo il rapporto tra due valori qualsiasi della prima quantità, allora sarà uguale al rapporto tra i due valori corrispondenti della seconda quantità. Infatti:

Perché sta succedendo? Ma perché questi valori sono direttamente proporzionali, cioè quando uno di essi (il tempo) aumenta di 3 volte, l'altro (il guadagno) aumenta di 3 volte.

Siamo quindi giunti alla seguente conclusione: se prendiamo due valori della prima quantità e li dividiamo uno per l'altro, e poi dividiamo per uno i corrispondenti valori della seconda quantità, allora in entrambi i casi otterremo lo stesso numero, cioè lo stesso rapporto. Ciò significa che le due relazioni che abbiamo scritto sopra possono essere collegate con un segno uguale, cioè

Non c'è dubbio che se prendessimo non questi rapporti, ma altri, e non in quell'ordine ma nell'ordine opposto, otterremmo anche l'uguaglianza dei rapporti. Considereremo infatti i valori delle nostre quantità da sinistra a destra e prenderemo il terzo e il nono valore:

60:180 = 1 / 3 .

Quindi possiamo scrivere:

Ciò porta alla seguente conclusione: se due quantità sono direttamente proporzionali, allora il rapporto tra due valori arbitrariamente presi della prima quantità è uguale al rapporto tra i due valori corrispondenti della seconda quantità.

§ 132. Formula di proporzionalità diretta.

Facciamo una tabella con il costo di varie quantità di dolci, se 1 kg costa 10,4 rubli.

Ora facciamolo in questo modo. Prendi un numero qualsiasi nella seconda riga e dividilo per il numero corrispondente nella prima riga. Per esempio:

Vedi che nel quoziente si ottiene sempre lo stesso numero. Di conseguenza, per una data coppia di quantità direttamente proporzionali, il quoziente di divisione di qualsiasi valore di una quantità per il valore corrispondente di un'altra quantità è un numero costante (cioè non cambia). Nel nostro esempio, questo quoziente è 10,4. Questo numero costante è chiamato fattore di proporzionalità. In questo caso esprime il prezzo di un'unità di misura, ovvero un chilogrammo di merce.

Come trovare o calcolare il coefficiente di proporzionalità? Per fare ciò, devi prendere qualsiasi valore di una quantità e dividerlo per il valore corrispondente dell'altra.

Indichiamo con la lettera questo valore arbitrario di una quantità A e il valore corrispondente di un'altra quantità: la lettera X , quindi il coefficiente di proporzionalità (lo denotiamo A) troviamo per divisione:

In questa uguaglianza A - divisibile, X - divisore e A- quoziente, e poiché per la proprietà della divisione il dividendo è uguale al divisore moltiplicato per il quoziente, possiamo scrivere:

y = K X

Si chiama l'uguaglianza risultante formula di proporzionalità diretta. Utilizzando questa formula, possiamo calcolare un numero qualsiasi di valori di una delle quantità direttamente proporzionali se conosciamo i valori corrispondenti dell'altra quantità e il coefficiente di proporzionalità.

Esempio. Dalla fisica conosciamo quel peso R di qualsiasi corpo è uguale al suo peso specifico D , moltiplicato per il volume di questo corpo V, cioè. R = D V.

Prendiamo cinque sbarre di ferro di diverso volume; Conoscendo il peso specifico del ferro (7.8), possiamo calcolare i pesi di questi lingotti utilizzando la formula:

R = 7,8 V.

Confrontando questa formula con la formula A = A X , Lo vediamo y = R, x = V e il coefficiente di proporzionalità A= 7,8. La formula è la stessa, cambiano solo le lettere.

Usando questa formula, creiamo una tabella: lascia che il volume del primo pezzo sia pari a 8 metri cubi. cm, allora il suo peso è 7,8 8 = 62,4 (g). Il volume del 2° pezzo grezzo è di 27 metri cubi. cm.Il suo peso è 7,8 27 = 210,6 (g). La tabella sarà simile a questa:

Calcola i numeri mancanti in questa tabella utilizzando la formula R= D V.

§ 133. Altri metodi per risolvere problemi con quantità direttamente proporzionali.

Nel paragrafo precedente abbiamo risolto un problema la cui condizione prevedeva quantità direttamente proporzionali. A questo scopo, abbiamo prima derivato la formula di proporzionalità diretta e poi abbiamo applicato questa formula. Ora mostreremo altri due modi per risolvere problemi simili.

Creiamo un problema utilizzando i dati numerici riportati nella tabella del paragrafo precedente.

Compito. Vuoto con un volume di 8 metri cubi. cm pesa 62,4 g Quanto peserà un pezzo grezzo con un volume di 64 metri cubi? cm?

Soluzione. Il peso del ferro, come è noto, è proporzionale al suo volume. Se 8 cu. cm pesano 62,4 g, quindi 1 cu. cm peserà 8 volte meno, cioè

62,4:8 = 7,8 (g).

Vuoto con un volume di 64 metri cubi. cm peserà 64 volte di più di un pezzo grezzo da 1 metro cubo. cm, cioè

7,8 · 64 = 499,2(g).

Abbiamo risolto il nostro problema riducendolo all'unità. Il significato di questo nome è giustificato dal fatto che per risolverlo dovevamo trovare nella prima domanda il peso di un'unità di volume.

2. Metodo proporzionale. Risolviamo lo stesso problema utilizzando il metodo delle proporzioni.

Poiché il peso del ferro e il suo volume sono quantità direttamente proporzionali, il rapporto tra due valori di una quantità (volume) è uguale al rapporto tra due valori corrispondenti di un'altra quantità (peso), cioè

(lettera R abbiamo indicato il peso sconosciuto del pezzo grezzo). Da qui:

(G).

Il problema è stato risolto utilizzando il metodo delle proporzioni. Ciò significa che per risolverlo è stata compilata una proporzione dai numeri inclusi nella condizione.

§ 134. I valori sono inversamente proporzionali.

Consideriamo il seguente problema: “Cinque muratori possono posare i muri di mattoni di una casa in 168 giorni. Determina in quanti giorni 10, 8, 6, ecc. muratori potrebbero completare lo stesso lavoro.

Se 5 muratori posassero i muri di una casa in 168 giorni, allora (a parità di produttività del lavoro) 10 muratori potrebbero farlo nella metà del tempo, poiché in media 10 persone svolgono il doppio del lavoro di 5 persone.

Elaboriamo una tabella con la quale monitorare l'evoluzione del numero dei lavoratori e dell'orario di lavoro.

Ad esempio, per sapere quanti giorni impiegano 6 lavoratori, devi prima calcolare quanti giorni impiegano un lavoratore (168 5 = 840), e poi quanti giorni impiegano sei lavoratori (840: 6 = 140). Osservando questa tabella, vediamo che entrambe le quantità hanno assunto sei valori diversi. Ad ogni valore della prima quantità corrisponde uno specifico; il valore del secondo valore, ad esempio 10 corrisponde a 84, il numero 8 corrisponde al numero 105, ecc.

Se consideriamo i valori di entrambe le quantità da sinistra a destra, vedremo che i valori della quantità superiore aumentano, mentre i valori della quantità inferiore diminuiscono. L’aumento e la diminuzione sono soggetti alla seguente legge: i valori del numero dei lavoratori aumentano nello stesso tempo in cui diminuiscono i valori del tempo di lavoro impiegato. Questa idea può essere espressa in modo ancora più semplice nel modo seguente: più i lavoratori sono impegnati in un compito, meno tempo hanno bisogno per completare un determinato lavoro. Le due quantità che abbiamo incontrato in questo problema vengono chiamate inversamente proporzionale.

Pertanto, se due quantità sono correlate tra loro in modo tale che quando il valore di una di esse aumenta (diminuisce) più volte, il valore dell'altra diminuisce (aumenta) della stessa quantità, allora tali quantità sono chiamate inversamente proporzionali .

Ci sono molte quantità simili nella vita. Facciamo degli esempi.

1. Se per 150 rubli. Se devi acquistare diversi chilogrammi di dolci, il numero di dolci dipenderà dal prezzo di un chilogrammo. Più alto è il prezzo, meno beni puoi acquistare con questo denaro; questo si può vedere dalla tabella:

Poiché il prezzo delle caramelle aumenta più volte, il numero di chilogrammi di caramelle che possono essere acquistati per 150 rubli diminuisce della stessa quantità. In questo caso due quantità (il peso del prodotto e il suo prezzo) sono inversamente proporzionali.

2. Se la distanza tra due città è di 1.200 km, è possibile coprirla tempi differenti a seconda della velocità del movimento. Esistere diversi modi mezzi di trasporto: a piedi, a cavallo, in bicicletta, in barca, in macchina, in treno, in aereo. Minore è la velocità, maggiore è il tempo necessario per spostarsi. Lo si può vedere dalla tabella:

Aumentando più volte la velocità, il tempo di viaggio diminuisce della stessa quantità. Ciò significa che in queste condizioni velocità e tempo sono quantità inversamente proporzionali.

§ 135. Proprietà delle quantità inversamente proporzionali.

Prendiamo il secondo esempio, che abbiamo visto nel paragrafo precedente. Lì abbiamo trattato due quantità: velocità e tempo. Se osserviamo la tabella dei valori di queste quantità da sinistra a destra, vedremo che i valori della prima grandezza (velocità) aumentano, mentre i valori della seconda (tempo) diminuiscono, e la velocità aumenta nella stessa misura in cui diminuisce il tempo. Non è difficile capire che se scrivi il rapporto tra alcuni valori di una quantità, non sarà uguale al rapporto tra i valori corrispondenti di un'altra quantità. Infatti, se prendiamo il rapporto tra il quarto valore del valore superiore e il settimo valore (40: 80), allora non sarà uguale al rapporto tra il quarto e il settimo valore del valore inferiore (30: 15). Si può scrivere così:

40:80 non è uguale a 30:15, o 40:80 =/=30:15.

Ma se invece di uno di questi rapporti prendiamo il contrario, allora otteniamo l'uguaglianza, cioè da questi rapporti sarà possibile creare una proporzione. Per esempio:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Sulla base di quanto sopra, possiamo trarre la seguente conclusione: se due quantità sono inversamente proporzionali, il rapporto tra due valori arbitrariamente presi di una quantità è uguale al rapporto inverso dei valori corrispondenti di un'altra quantità.

§ 136. Formula di proporzionalità inversa.

Considera il problema: “Ci sono 6 pezzi di tessuto di seta di diverse dimensioni e diversi gradi. Tutti i pezzi costano lo stesso. Un pezzo contiene 100 m di tessuto, al prezzo di 20 rubli. al metro Quanti metri ci sono in ciascuno degli altri cinque pezzi, se un metro di tessuto in questi pezzi costa rispettivamente 25, 40, 50, 80, 100 rubli?" Per risolvere questo problema creiamo una tabella:

Dobbiamo riempire le celle vuote nella riga superiore di questa tabella. Proviamo innanzitutto a determinare quanti metri ci sono nel secondo pezzo. Questo può essere fatto come segue. Dalle condizioni del problema si nota che il costo di tutti i pezzi è lo stesso. Il costo della prima pezza è facile da determinare: contiene 100 metri e ogni metro costa 20 rubli, il che significa che la prima pezza di seta vale 2.000 rubli. Poiché il secondo pezzo di seta contiene la stessa quantità di rubli, dividere 2.000 rubli. al prezzo di un metro, cioè 25, troviamo la misura del secondo pezzo: 2.000: 25 = 80 (m). Allo stesso modo troveremo la dimensione di tutti gli altri pezzi. La tabella sarà simile a:

È facile vedere che esiste una relazione inversamente proporzionale tra il numero di metri e il prezzo.

Se fai tu stesso i calcoli necessari, noterai che ogni volta dovrai dividere il numero 2.000 per il prezzo di 1 metro, al contrario, se ora inizi a moltiplicare la dimensione del pezzo in metri per il prezzo di 1 metro , otterrai sempre il numero 2000. Questo ed è stato necessario aspettare, poiché ogni pezzo costa 2.000 rubli.

Da qui possiamo trarre la seguente conclusione: per una data coppia di quantità inversamente proporzionali, il prodotto di qualsiasi valore di una quantità per il valore corrispondente di un'altra quantità è un numero costante (cioè non cambia).

Nel nostro problema questo prodotto è pari a 2000. Controlla che nel problema precedente, che parlava della velocità di movimento e del tempo necessario per spostarsi da una città all'altra, c'era anche un numero costante per quel problema (1200).

Tenendo conto di tutto, è facile ricavare la formula di proporzionalità inversa. Indichiamo con la lettera un certo valore di una quantità X , e il valore corrispondente di un'altra quantità è rappresentato dalla lettera A . Quindi, sulla base di quanto sopra, il lavoro X SU A deve essere uguale a un valore costante, che indichiamo con la lettera A, cioè.

xy = A.

In questa uguaglianza X -moltiplicando A - moltiplicatore e K- lavoro. Secondo la proprietà della moltiplicazione, il moltiplicatore è uguale al prodotto diviso per il moltiplicando. Significa,

Questa è la formula di proporzionalità inversa. Usandolo possiamo calcolare un numero qualsiasi di valori di una delle quantità inversamente proporzionali, conoscendo i valori dell'altra e il numero costante A.

Consideriamo un altro problema: “L'autore di un saggio ha calcolato che se il suo libro è in formato normale, avrà 96 pagine, ma se è in formato tascabile, avrà 300 pagine. Ha provato diverse varianti, iniziò con 96 pagine, e poi arrivò a 2.500 lettere per pagina. Poi prese i numeri di pagina mostrati nella tabella qui sotto e calcolò nuovamente quante lettere ci sarebbero state sulla pagina”.

Proviamo a calcolare quante lettere ci saranno in una pagina se il libro ha 100 pagine.

Ci sono 240.000 lettere in tutto il libro, poiché 2.500 96 = 240.000.

Tenendo conto di ciò, utilizziamo la formula di proporzionalità inversa ( A - numero di lettere sulla pagina, X - numero di pagine):

Nel nostro esempio A= 240.000 quindi

Quindi ci sono 2.400 lettere sulla pagina.

Allo stesso modo, apprendiamo che se un libro ha 120 pagine, il numero di lettere sulla pagina sarà:

La nostra tabella sarà simile a:

Compila tu stesso le celle rimanenti.

§ 137. Altri metodi per risolvere problemi con quantità inversamente proporzionali.

Nel paragrafo precedente abbiamo risolto problemi le cui condizioni includevano quantità inversamente proporzionali. Per prima cosa abbiamo derivato la formula di proporzionalità inversa e poi abbiamo applicato questa formula. Mostreremo ora altre due soluzioni per tali problemi.

1. Metodo di riduzione all'unità.

Compito. 5 tornitori possono eseguire un lavoro in 16 giorni. In quanti giorni 8 tornitori possono completare questo lavoro?

Soluzione. Esiste una relazione inversa tra il numero dei tornitori e l'orario di lavoro. Se 5 tornitori svolgono il lavoro in 16 giorni, una persona avrà bisogno di 5 volte più tempo per questo, cioè

5 tornitori completano il lavoro in 16 giorni,

1 tornitore lo completerà in 16 5 = 80 giorni.

Il problema chiede quanti giorni impiegheranno 8 tornitori per completare il lavoro. Ovviamente, faranno fronte al lavoro 8 volte più velocemente di 1 tornitore, ad es

80: 8 = 10 (giorni).

Questa è la soluzione del problema riducendolo all’unità. Qui era necessario innanzitutto determinare il tempo necessario per completare il lavoro da parte di un lavoratore.

2. Metodo proporzionale. Risolviamo lo stesso problema nel secondo modo.

Poiché esiste una relazione inversamente proporzionale tra numero di operai e tempo di lavoro, possiamo scrivere: durata del lavoro di 5 tornitori nuovo numero di tornitori (8) durata del lavoro di 8 tornitori numero precedente di tornitori (5) Indichiamo con durata del lavoro richiesta dalla lettera X e sostituisci i numeri necessari nella proporzione espressa in lettere:

Lo stesso problema è risolto con il metodo delle proporzioni. Per risolverlo, abbiamo dovuto creare una proporzione dai numeri inclusi nella dichiarazione del problema.

Nota. Nei paragrafi precedenti abbiamo esaminato il tema della proporzionalità diretta e inversa. La natura e la vita ci danno molti esempi di dipendenza proporzionale diretta e inversa delle quantità. Tuttavia, va notato che questi due tipi di dipendenza sono solo i più semplici. Insieme a loro, ci sono altre dipendenze più complesse tra le quantità. Inoltre, non si deve pensare che se due quantità qualsiasi aumentano contemporaneamente, allora esiste necessariamente una proporzionalità diretta tra loro. Questo è tutt'altro che vero. Ad esempio, i pedaggi per ferrovia aumenta a seconda della distanza: più viaggiamo, più paghiamo, ma questo non significa che il pagamento sia proporzionale alla distanza.

Esempio

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8, ecc.

Fattore di proporzionalità

Viene chiamata una relazione costante di quantità proporzionali fattore di proporzionalità. Il coefficiente di proporzionalità mostra quante unità di una quantità sono per unità di un'altra.

Proporzionalità diretta

Proporzionalità diretta- dipendenza funzionale, in cui una certa quantità dipende da un'altra quantità in modo tale che il loro rapporto rimane costante. In altre parole, queste variabili cambiano proporzionalmente, in parti uguali, ovvero se l'argomento cambia due volte in qualsiasi direzione, anche la funzione cambia due volte nella stessa direzione.

Matematicamente, la proporzionalità diretta è scritta come una formula:

F(X) = UNX,UN = CoNST

Proporzionalità inversa

Proporzionalità inversa- questa è una dipendenza funzionale, in cui un aumento del valore indipendente (argomento) provoca una diminuzione proporzionale del valore dipendente (funzione).

Matematicamente, la proporzionalità inversa è scritta come una formula:

Proprietà della funzione:

Fonti

Fondazione Wikimedia. 2010.

Obiettivi fondamentali:

• introdurre il concetto di dipendenza proporzionale diretta e inversa delle quantità;
• insegnare come risolvere i problemi utilizzando queste dipendenze;
• promuovere lo sviluppo delle capacità di problem solving;
• consolidare l'abilità di risolvere equazioni usando le proporzioni;
• ripetere i passaggi con ordinario e decimali;
• sviluppare pensiero logico studenti.

DURANTE LE LEZIONI

IO. Autodeterminazione per l'attività(Tempo di organizzazione)

- Ragazzi! Oggi nella lezione faremo conoscenza con i problemi risolti usando le proporzioni.

II. Aggiornamento delle conoscenze e registrazione delle difficoltà nelle attività

2.1. Lavoro orale (3 minuti)

– Trova il significato delle espressioni e scopri la parola crittografata nelle risposte.

14 – s; 0,1 – e; 7 – l; 0,2 – un; 17 – dentro; 25 – a

– La parola che ne risulta è forza. Ben fatto!
– Il motto della nostra lezione di oggi: il potere è nella conoscenza! Sto cercando: ciò significa che sto imparando!
– Componi una proporzione dai numeri risultanti. (14:7 = 0,2:0,1 ecc.)

2.2. Consideriamo la relazione tra le quantità che conosciamo (7 minuti)

– la distanza percorsa dall'auto a velocità costante e il tempo del suo movimento: S = vt ( all'aumentare della velocità (tempo) la distanza aumenta);
– velocità del veicolo e tempo impiegato nel viaggio: v=S:t(all'aumentare del tempo di percorrenza del percorso diminuisce la velocità);
– il costo dei beni acquistati a un prezzo e la sua quantità: C = a · n (all'aumentare (diminuzione) del prezzo, il costo di acquisto aumenta (diminuisce));
– prezzo del prodotto e sua quantità: a = C: n (all’aumentare della quantità il prezzo diminuisce)
– area del rettangolo e sua lunghezza (larghezza): S = a · b (al crescere della lunghezza (larghezza), l'area aumenta;
– lunghezza e larghezza del rettangolo: a = S: b (all'aumentare della lunghezza diminuisce la larghezza;
– il numero di lavoratori che svolgono un lavoro con la stessa produttività del lavoro e il tempo necessario per completare questo lavoro: t = A: n (con un aumento del numero di lavoratori, il tempo impiegato per eseguire il lavoro diminuisce), ecc. .

Abbiamo ottenuto dipendenze in cui, aumentando più volte una quantità, un'altra aumenta immediatamente della stessa quantità (gli esempi sono mostrati con le frecce) e dipendenze in cui, aumentando più volte una quantità, la seconda quantità diminuisce del lo stesso numero di volte.
Tali dipendenze sono chiamate proporzionalità diretta e inversa.
Dipendenza direttamente proporzionale– una relazione in cui quando un valore aumenta (diminuisce) più volte, il secondo valore aumenta (diminuisce) della stessa quantità.
Rapporto inversamente proporzionale– una relazione in cui quando un valore aumenta (diminuisce) più volte, il secondo valore diminuisce (aumenta) della stessa quantità.

III. Impostazione di un compito di apprendimento

– Quale problema ci troviamo ad affrontare? (Impara a distinguere tra dipendenze dirette e inverse)
- Questo - bersaglio la nostra lezione. Ora formula argomento lezione. (Rapporto proporzionale diretto e inverso).
- Ben fatto! Annota l'argomento della lezione sui tuoi quaderni. (L’insegnante scrive l’argomento alla lavagna.)

IV. "Scoperta" di nuove conoscenze(10 minuti)

Diamo un'occhiata al problema n. 199.

1. La stampante stampa 27 pagine in 4,5 minuti. Quanto tempo ci vorrà per stampare 300 pagine?

27 pagine – 4,5 minuti.
300 pagine -x?

2. La scatola contiene 48 confezioni di tè da 250 g ciascuna. Quante confezioni da 150 g di questo tè riceverai?

48 confezioni – 250 g.
X? – 150 gr.

3. L'auto ha percorso 310 km, utilizzando 25 litri di benzina. Quanta distanza può percorrere un'auto con un serbatoio pieno da 40 litri?

310 km – 25 l
X? – 40 litri

4. Uno degli ingranaggi della frizione ha 32 denti e l'altro ne ha 40. Quanti giri farà il secondo ingranaggio mentre il primo fa 215 giri?

32 denti – 315 giri.
40 denti – x?

Per compilare una proporzione è necessaria una direzione delle frecce; per questo, nella proporzionalità inversa, un rapporto viene sostituito dall'inverso.

Alla lavagna gli studenti trovano il significato delle quantità; sul posto gli studenti risolvono un problema a loro scelta.

– Formulare una regola per risolvere problemi con dipendenza proporzionale diretta e inversa.

Sulla lavagna appare una tabella:

V. Consolidamento primario nel discorso esterno(10 minuti)

Compiti del foglio di lavoro:

1. Da 21 kg di semi di cotone si ottengono 5,1 kg di olio. Quanto olio si otterrà da 7 kg di semi di cotone?
2. Per costruire lo stadio, 5 bulldozer hanno ripulito il sito in 210 minuti. Quanto tempo occorrerebbero 7 bulldozer per ripulire questo sito?

VI. Lavoro indipendente con autotest rispetto allo standard(5 minuti)

Due studenti completano l'attività n. 225 in modo indipendente su schede nascoste e il resto su quaderni. Quindi controllano il lavoro dell'algoritmo e lo confrontano con la soluzione sulla lavagna. Gli errori vengono corretti e le loro cause vengono determinate. Se l'attività viene completata correttamente, gli studenti mettono un segno "+" accanto a loro.
Gli studenti che commettono errori nel lavoro indipendente possono avvalersi di consulenti.

VII. Inclusione nel sistema della conoscenza e ripetizione№ 271, № 270.

Nel consiglio lavorano sei persone. Dopo 3-4 minuti, gli studenti che lavorano alla lavagna presentano le loro soluzioni, mentre gli altri controllano i compiti e partecipano alla discussione.

VIII. Riflessione sull'attività (riepilogo della lezione)

– Cosa hai imparato di nuovo durante la lezione?
-Cosa hanno ripetuto?
– Qual è l’algoritmo per risolvere i problemi di proporzione?
– Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo?
– Come valuti il ​​tuo lavoro?