La lunghezza del segmento sull'asse delle coordinate è determinata dalla formula:

La lunghezza di un segmento sul piano delle coordinate si trova utilizzando la formula:

Per trovare la lunghezza di un segmento in un sistema di coordinate tridimensionale, utilizzare la seguente formula:

Le coordinate del centro del segmento (per l'asse delle coordinate viene utilizzata solo la prima formula, per il piano delle coordinate - le prime due formule, per un sistema di coordinate tridimensionale - tutte e tre le formule) vengono calcolate utilizzando le formule:

Funzione– questa è una corrispondenza del modulo sì= F(X) tra quantità variabili, per cui ciascuno considerava il valore di una certa quantità variabile X(argomento o variabile indipendente) corrisponde a un certo valore di un'altra variabile, sì(variabile dipendente, a volte questo valore è chiamato semplicemente valore della funzione). Tieni presente che la funzione presuppone quel valore di argomento X può corrispondere un solo valore della variabile dipendente A. Tuttavia, lo stesso valore A può essere ottenuto con diversi X.

Dominio delle funzioni– questi sono tutti i valori della variabile indipendente (argomento della funzione, solitamente this X), per il quale è definita la funzione, ovvero il suo significato esiste. È indicata l'area di definizione D(sì). In generale, hai già familiarità con questo concetto. Il dominio di una funzione è anche chiamato dominio valori accettabili, o ODZ, che sei riuscito a trovare da tempo.

Gamma di funzioni sono tutti i possibili valori della variabile dipendente di una determinata funzione. Designato E(A).

La funzione aumenta sull'intervallo dove valore più alto l'argomento corrisponde al valore più grande della funzione. La funzione sta diminuendo sull'intervallo in cui un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore minore della funzione.

Intervalli di segno costante di una funzione- sono gli intervalli della variabile indipendente durante i quali la variabile dipendente mantiene il segno positivo o negativo.

Zeri di funzione– questi sono i valori dell’argomento in corrispondenza dei quali il valore della funzione è uguale a zero. In questi punti il ​​grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse OX). Molto spesso la necessità di trovare gli zeri di una funzione implica la necessità di risolvere semplicemente l'equazione. Inoltre, spesso la necessità di trovare intervalli di costanza di segno implica la necessità di risolvere semplicemente la disuguaglianza.

Funzione sì = F(X) sono chiamati Anche X

Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, i valori della funzione pari sono uguali. Programma funzione pari sempre simmetrico rispetto all'asse delle ordinate dell'amplificatore operazionale.

Funzione sì = F(X) sono chiamati strano, se è definito su un insieme simmetrico e per qualsiasi X dal dominio della definizione vale l'uguaglianza:

Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, anche i valori della funzione dispari sono opposti. Il grafico di una funzione dispari è sempre simmetrico rispetto all'origine.

La somma delle radici di pari e funzioni strane(punti di intersezione dell'asse delle ascisse OX) è sempre uguale a zero, perché per ogni radice positiva X ha una radice negativa - X.

È importante notare: alcune funzioni non devono essere pari o dispari. Ci sono molte funzioni che non sono né pari né dispari. Tali funzioni sono chiamate funzioni vista generale , e per loro nessuna delle uguaglianze o proprietà sopra indicate è soddisfatta.

Funzione lineareè una funzione che può essere data dalla formula:

Programma funzione lineareè una linea retta e nel caso generale appare così (viene fornito un esempio per il caso in cui K> 0, in questo caso la funzione è crescente; per l'occasione K < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Grafico di una funzione quadratica (Parabola)

Il grafico di una parabola è dato da una funzione quadratica:

Una funzione quadratica, come qualsiasi altra funzione, interseca l'asse OX nei punti che sono le sue radici: ( X 1; 0) e ( X 2; 0). Se non ci sono radici, la funzione quadratica non interseca l'asse OX, se c'è solo una radice, allora a questo punto (; X 0; 0) la funzione quadratica tocca solo l'asse OX, ma non lo interseca. La funzione quadratica interseca sempre l'asse OY nel punto con coordinate: (0; C). Programma funzione quadratica(parabola) potrebbe assomigliare a questo (la figura mostra esempi tutt’altro che esaustivi tipi possibili parabole):

In cui:

• se il coefficiente UN> 0, in funzione sì = ascia 2 + bx + C, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto;
• Se UN < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Le coordinate del vertice di una parabola possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule. X al massimo (P- nelle immagini sopra) parabole (ovvero il punto in cui il trinomio quadratico raggiunge il suo valore massimo o minimo):

Cime Igrek (Q- nelle figure sopra) parabole o il massimo se i rami della parabola sono diretti verso il basso ( UN < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (UN> 0), il valore del trinomio quadratico:

Grafici di altre funzioni

Funzione di potenza

Ecco alcuni esempi di grafici di funzioni potenza:

Inversamente proporzionaleè una funzione data dalla formula:

A seconda del segno del numero K programmare indietro dipendenza proporzionale possono avere due opzioni fondamentali:

Asintotoè una linea alla quale il grafico di una funzione si avvicina infinitamente ma non interseca. Asintoti per i grafici proporzionalità inversa mostrati nella figura sopra sono gli assi delle coordinate a cui il grafico della funzione si avvicina infinitamente, ma non li interseca.

Funzione esponenziale con basamento UNè una funzione data dalla formula:

UN Il grafico di una funzione esponenziale può avere due opzioni fondamentali (facciamo anche degli esempi, vedi sotto):

Funzione logaritmicaè una funzione data dalla formula:

A seconda che il numero sia maggiore o minore di uno UN Il grafico di una funzione logaritmica può avere due opzioni fondamentali:

Grafico di una funzione sì = |X| come segue:

Grafici di funzioni periodiche (trigonometriche).

Funzione A = F(X) è chiamato periodico, se esiste un numero diverso da zero T, Che cosa F(X + T) = F(X), per chiunque X dal dominio della funzione F(X). Se la funzione F(X) è periodico con punto T, quindi la funzione:

Dove: UN, K, B sono numeri costanti e K diverso da zero, anche periodico con punto T 1, che è determinato dalla formula:

La maggior parte degli esempi di funzioni periodiche sono funzioni trigonometriche. Ecco i grafici dei principali funzioni trigonometriche. La figura seguente mostra parte del grafico della funzione sì= peccato X(l'intero grafico continua all'infinito a destra e a sinistra), grafico della funzione sì= peccato X chiamato sinusoide:

Grafico di una funzione sì= cos X chiamato coseno. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Poiché il grafico sinusoidale continua indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra:

Grafico di una funzione sì= tg X chiamato tangente. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche, questo programma si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra.

E infine il grafico della funzione sì=ctg X chiamato cotangentoide. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche e trigonometriche, questo grafico si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra.

Impara tutte le formule e le leggi della fisica e le formule e i metodi della matematica. In effetti, anche questo è molto semplice da fare; in fisica ci sono solo circa 200 formule necessarie, e anche un po' meno in matematica. In ciascuna di queste materie esistono circa una dozzina di metodi standard per risolvere problemi di livello base di complessità, che possono anche essere appresi e, quindi, in modo completamente automatico e senza difficoltà, risolvendo la maggior parte dei CT al momento giusto. Dopodiché dovrai pensare solo ai compiti più difficili.

Partecipa a tutte e tre le fasi delle prove generali di fisica e matematica. Ogni RT può essere visitato due volte per decidere su entrambe le opzioni. Ancora una volta, nel TC, oltre alla capacità di risolvere problemi in modo rapido ed efficiente e alla conoscenza di formule e metodi, è necessario anche essere in grado di pianificare correttamente il tempo, distribuire le forze e, soprattutto, compilare correttamente il modulo di risposta, senza confondere i numeri delle risposte e dei problemi, o il proprio cognome. Inoltre, durante il RT, è importante abituarsi allo stile di porre domande sui problemi, che può sembrare molto insolito per una persona impreparata al DT.

L'implementazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti ti consentirà di mostrare un risultato eccellente al CT, il massimo di ciò di cui sei capace.

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Officina

Secondo l'analisi matematica

Per gli studenti serali

Wow, corso

(Parte I)

Manuale didattico e metodologico

Mosca, 2006

UDC 512.8:516

BBK S42

Revisori:

Candidato di scienze fisiche e matematiche, professore associato Karolinskaya S.N. (Istituto dell'aviazione di Mosca intitolato a S. Ordzhonikidze);

Ph.D., Professore Associato Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT dal nome di M.V. Lomonosov).

Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Laboratorio di analisi matematica per gli studenti serali del 1° anno (Parte I), Manuale didattico e metodologico - M.: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 – 44 pillola. 29 .

Approvato dalla Commissione Biblioteca ed Editoria del MITHT. M.V. Lomonosov come sussidio didattico. Pos. ___/2006.

Il manuale è composto da note 6 lezioni pratiche nel corso di analisi matematica per gli studenti del dipartimento serale del MITHT. M.V. Lomonosov. La Parte I comprende le seguenti sezioni: “Funzione e sue proprietà fondamentali”, “Limite di una funzione”, “Punti di continuità e discontinuità di una funzione”.

Ogni lezione è dedicata a un argomento separato. Gli appunti per 5 lezioni contengono riepilogo teoria rilevante, esempi tipici e problemi per la soluzione indipendente (con risposte). Le note della lezione n. 6 forniscono un'opzione di esempio lavoro di prova(con soluzioni) condotto in questa lezione.

Il manuale è destinato agli studenti serali delle università chimiche.

© MITHT im. M.V. Lomonosova, 2006

Lezione 1.

Il concetto di funzione. Di base funzioni elementari, loro proprietà e grafici............................

Lezione 2. Sistema di coordinate polari. Tracciatura di grafici di funzioni utilizzando il metodo di spostamento e allungamento lungo gli assi delle coordinate…………….

Lezione 3. Limite di funzione. Continuità della funzione. Calcolo dei limiti di funzioni continue, razionali e alcune irrazionali…………......

Lezione 4. Il primo e il secondo sono limiti meravigliosi. Calcolo dei limiti di una funzione esponenziale potenza. Infinitamente piccolo e infinitamente grande
le quantità………………………………………………….

Lezione 5. Punti di continuità e punti di discontinuità di una funzione. Classificazione dei punti di interruzione. Studio di una funzione di continuità................................

Lezione 6. Prova n. 1 sul tema "Calcolo dei limiti di funzioni. Studio delle funzioni per la continuità"……………….

Letteratura……………………………………………….

Lezione 1.

Il concetto di funzione. Funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici.

Definizione 1. Viene chiamata la dipendenza di una variabile da una variabile funzione, se ciascun valore corrisponde a un singolo valore.

Noi scriviamo: E parliamo, che è una funzione di . In questo caso si chiama variabile indipendente(o argomento), e – variabile dipendente.

Definizione 2. Dominio delle funzioni(indicati con ) sono tutti i valori che . Valori di funzioni multiple(indicati con ) sono tutti i valori che .

Definizione 3. La funzione viene chiamata crescente (decrescente) sull'intervallo numerico se per uno qualsiasi di , tale che , vale la disuguaglianza:

.

Definizione 4. La funzione viene chiamata monotono sull'intervallo se diminuisce o aumenta solo di .

Definizione 5. La funzione viene chiamata Anche (strano), se è simmetrico attorno allo zero e per uno qualsiasi dei seguenti:

.

Università nazionale di ricerca

Dipartimento di Geologia Applicata

Abstract sulla matematica superiore

Sul tema: “Funzioni elementari di base,

le loro proprietà e grafici"

Completato:

Controllato:

insegnante

Definizione. Viene chiamata la funzione definita dalla formula y=a x (dove a>0, a≠1). funzione esponenziale con base a.

Formuliamo le principali proprietà della funzione esponenziale:

1. Il dominio di definizione è l'insieme (R) di tutti i numeri reali.

2. Intervallo: l'insieme (R+) di tutti i numeri reali positivi.

3. Per a > 1 la funzione aumenta lungo tutta la linea numerica; a 0<а<1 функция убывает.

4. È una funzione di forma generale.

, sull'intervallo xО [-3;3]
, sull'intervallo xО [-3;3]

Una funzione della forma y(x)=x n, dove n è il numero ОR, è detta funzione potenza. Il numero n può assumere diversi valori: sia intero che frazionario, sia pari che dispari. A seconda di ciò, la funzione di potenza avrà una forma diversa. Consideriamo casi speciali che sono funzioni di potenza e riflettono le proprietà di base di questo tipo di curva nel seguente ordine: funzione di potenza y=x² (funzione con esponente pari - una parabola), funzione di potenza y=x³ (funzione con esponente dispari - parabola cubica) e funzione y=√x (x elevato a ½) (funzione con esponente frazionario), funzione con esponente intero negativo (iperbole).

Funzione di potenza y=x²

1. D(x)=R – la funzione è definita su tutto l'asse numerico;

2. E(y)= e aumenta nell'intervallo

Funzione di potenza y=x³

1. Il grafico della funzione y=x³ è chiamato parabola cubica. La funzione di potenza y=x³ ha le seguenti proprietà:

2. D(x)=R – la funzione è definita su tutto l'asse numerico;

3. E(y)=(-∞;∞) – la funzione assume tutti i valori nel suo dominio di definizione;

4. Quando x=0 y=0 – la funzione passa attraverso l'origine delle coordinate O(0;0).

5. La funzione aumenta lungo l'intero dominio di definizione.

6. La funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine).

, sull'intervallo xО [-3;3]

A seconda del fattore numerico davanti a x³, la funzione può essere ripida/piatta e crescente/decrescente.

Funzione di potenza con esponente intero negativo:

Se l'esponente n è dispari, il grafico di tale funzione di potenza è chiamato iperbole. Una funzione di potenza con esponente intero negativo ha le seguenti proprietà:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) per ogni n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), se n è un numero dispari; E(y)=(0;∞), se n è un numero pari;

3. La funzione decresce sull'intero dominio di definizione se n è un numero dispari; la funzione aumenta sull'intervallo (-∞;0) e diminuisce sull'intervallo (0;∞) se n è un numero pari.

4. La funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine) se n è un numero dispari; una funzione è pari se n è un numero pari.

5. La funzione passa per i punti (1;1) e (-1;-1) se n è un numero dispari e per i punti (1;1) e (-1;1) se n è un numero pari.

, sull'intervallo xО [-3;3]

Funzione di potenza con esponente frazionario

Una funzione di potenza con esponente frazionario (immagine) ha un grafico della funzione mostrato in figura. Una funzione di potenza con esponente frazionario ha le seguenti proprietà: (immagine)

1. D(x) ОR, se n è un numero dispari e D(x)=
, sull'intervallo xО
, sull'intervallo xО [-3;3]

La funzione logaritmica y = log a x ha le seguenti proprietà:

1. Dominio della definizione D(x)О (0; + ∞).

2. Intervallo di valori E(y) О (- ∞; + ∞)

3. La funzione non è né pari né dispari (di forma generale).

4. La funzione aumenta sull'intervallo (0; + ∞) per a > 1, diminuisce su (0; + ∞) per 0< а < 1.

Il grafico della funzione y = log a x può essere ottenuto dal grafico della funzione y = a x utilizzando una trasformazione di simmetria attorno alla retta y = x. La Figura 9 mostra un grafico della funzione logaritmica per a > 1 e la Figura 10 per 0< a < 1.

; sull'intervallo xО
; sull'intervallo xО

Le funzioni y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x sono chiamate funzioni trigonometriche.

Le funzioni y = sin x, y = tan x, y = ctg x sono dispari e la funzione y = cos x è pari.

Funzione y = sin(x).

1. Campo di definizione D(x) ОR.

2. Intervallo di valori E(y) О [ - 1; 1].

3. La funzione è periodica; il periodo principale è 2π.

4. La funzione è strana.

5. La funzione cresce sugli intervalli [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] e diminuisce sugli intervalli [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Il grafico della funzione y = sin (x) è mostrato nella Figura 11.

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