IL materiale metodologicoè solo di riferimento e si applica a una vasta gamma di argomenti. L'articolo fornisce una panoramica dei grafici delle funzioni elementari di base e discute la domanda più importante – come costruire un grafico in modo corretto e VELOCE. Durante lo studio matematica superiore senza conoscere gli orari principali funzioni elementari Sarà difficile, quindi è molto importante ricordare come appaiono i grafici di una parabola, iperbole, seno, coseno, ecc., e ricordare alcuni valori della funzione. Parleremo anche di alcune proprietà delle funzioni principali.

Non pretendo la completezza e l'approfondimento scientifico dei materiali; l'accento sarà posto innanzitutto sulla pratica, quelle cose con cui lo si incontra letteralmente ad ogni passo, in qualsiasi argomento di matematica superiore. Grafici per manichini? Si potrebbe dire così.

A causa delle numerose richieste dei lettori indice cliccabile:

Inoltre, c'è una brevissima sinossi sull'argomento
– padroneggia 16 tipi di grafici studiando SEI pagine!

Sul serio, sei, anche io sono rimasto sorpreso. Questo riepilogo contiene una grafica migliorata ed è disponibile a un costo simbolico; è possibile visualizzare una versione demo. È conveniente stampare il file in modo da avere i grafici sempre a portata di mano. Grazie per aver sostenuto il progetto!

E cominciamo subito:

Come costruire correttamente gli assi delle coordinate?

In pratica, i test vengono quasi sempre completati dagli studenti su quaderni separati, allineati in un quadrato. Perché hai bisogno di segni a scacchi? Dopotutto, il lavoro, in linea di principio, può essere svolto su fogli A4. E la gabbia è necessaria solo per la progettazione accurata e di alta qualità dei disegni.

Qualsiasi disegno di un grafico di funzione inizia con gli assi delle coordinate.

I disegni possono essere bidimensionali o tridimensionali.

Consideriamo innanzitutto il caso bidimensionale Sistema di coordinate cartesiane rettangolari:

1) Disegna gli assi delle coordinate. L'asse viene chiamato asse x , e l'asse è asse y . Cerchiamo sempre di disegnarli pulito e non storto. Inoltre, le frecce non dovrebbero assomigliare alla barba di Papa Carlo.

2) Firmiamo gli assi con grandi lettere “X” e “Y”. Non dimenticare di etichettare gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi: disegna uno zero e due uno. Quando si fa un disegno, la scala più comoda e usata frequentemente è: 1 unità = 2 celle (disegno a sinistra) - se possibile, attenersi ad essa. Tuttavia, di tanto in tanto capita che il disegno non si adatti al foglio del quaderno, quindi riduciamo la scala: 1 unità = 1 cella (disegno a destra). È raro, ma succede che la scala del disegno debba essere ridotta (o aumentata) ancora di più

NON È NECESSARIO "mitragliare"...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Perché il piano delle coordinate non è un monumento a Cartesio e lo studente non è una colomba. Abbiamo messo zero E due unità lungo gli assi. A volte invece di unità, è conveniente "contrassegnare" altri valori, ad esempio "due" sull'asse delle ascisse e "tre" sull'asse delle ordinate - e questo sistema (0, 2 e 3) definirà anche in modo univoco la griglia delle coordinate.

È meglio stimare le dimensioni stimate del disegno PRIMA di costruire il disegno. Quindi, ad esempio, se l'attività richiede di disegnare un triangolo con i vertici , , , allora è del tutto chiaro che la scala popolare di 1 unità = 2 celle non funzionerà. Perché? Diamo un'occhiata al punto: qui dovrai misurare quindici centimetri in basso e, ovviamente, il disegno non si adatterà (o si adatterà a malapena) su un foglio di quaderno. Pertanto, selezioniamo immediatamente una scala più piccola: 1 unità = 1 cella.

A proposito, circa centimetri e celle del notebook. È vero che 30 celle di un notebook contengono 15 centimetri? Per divertimento, misura 15 centimetri sul tuo quaderno con un righello. In URSS, questo potrebbe essere stato vero... È interessante notare che se misuri gli stessi centimetri orizzontalmente e verticalmente, i risultati (nelle celle) saranno diversi! A rigor di termini, i quaderni moderni non sono a scacchi, ma rettangolari. Può sembrare una sciocchezza, ma disegnare, ad esempio, un cerchio con un compasso in tali situazioni è molto scomodo. Ad essere onesti, in questi momenti inizi a pensare alla correttezza del compagno Stalin, che fu mandato nei campi per lavori di hacking nella produzione, per non parlare dell'industria automobilistica nazionale, della caduta di aerei o dell'esplosione di centrali elettriche.

A proposito di qualità, o una breve raccomandazione sulla cancelleria. Oggi la maggior parte dei notebook è in vendita, parolacce per non parlare della totale spazzatura. Perché si bagnano, e non solo con le penne gel, ma anche con le penne a sfera! Risparmiano sulla carta. Per la registrazione test Consiglio di utilizzare i quaderni della cartiera di Arkhangelsk (18 fogli, a griglia) o "Pyaterochka", anche se è più costoso. Si consiglia di scegliere una penna gel; anche la ricarica gel cinese più economica è molto meglio di una penna a sfera, che macchia o strappa la carta. L'unica penna a sfera “competitiva” che ricordo è la Erich Krause. Scrive in modo chiaro, bello e coerente, sia con il nucleo pieno che con quello quasi vuoto.

Inoltre: La visione di un sistema di coordinate rettangolari attraverso gli occhi della geometria analitica è trattata nell'articolo Dipendenza lineare (non) dei vettori. Base dei vettori, informazioni dettagliate sui quarti coordinati si trovano nel secondo paragrafo della lezione Disuguaglianze lineari.

Caso 3D

Qui è quasi la stessa cosa.

1) Disegna gli assi delle coordinate. Standard: asse applicato – diretto verso l’alto, asse – diretto a destra, asse – diretto verso il basso a sinistra rigorosamente con un angolo di 45 gradi.

2) Etichettare gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi. La scala lungo l'asse è due volte più piccola della scala lungo gli altri assi. Si noti inoltre che nel disegno a destra ho utilizzato una "tacca" non standard lungo l'asse (questa possibilità è già stata menzionata sopra). Dal mio punto di vista, questo è più preciso, più veloce ed esteticamente più gradevole: non è necessario cercare il centro della cellula al microscopio e "scolpire" un'unità vicino all'origine delle coordinate.

Quando si realizza un disegno 3D, ancora una volta, dare priorità alla scala
1 unità = 2 celle (disegno a sinistra).

A cosa servono tutte queste regole? Le regole sono fatte per essere infrante. Questo è quello che farò adesso. Il fatto è che i successivi disegni dell'articolo verranno realizzati da me in Excel e gli assi delle coordinate appariranno errati dal punto di vista progettazione corretta. Potrei disegnare tutti i grafici a mano, ma in realtà è spaventoso disegnarli poiché Excel è riluttante a disegnarli in modo molto più accurato.

Grafici e proprietà fondamentali delle funzioni elementari

Funzione lineareè dato dall'equazione Il grafico delle funzioni lineari è diretto. Per costruire una retta è sufficiente conoscere due punti.

Esempio 1

Costruisci un grafico della funzione. Troviamo due punti. È vantaggioso scegliere zero come uno dei punti.

Se poi

Prendiamo ad esempio un altro punto, 1.

Se poi

Quando si completano le attività, le coordinate dei punti vengono solitamente riepilogate in una tabella:

E i valori stessi vengono calcolati oralmente o su una bozza, una calcolatrice.

Sono stati trovati due punti, facciamo il disegno:

Quando prepariamo un disegno firmiamo sempre la grafica.

Sarebbe utile ricordare casi particolari di funzione lineare:

Nota come ho posizionato le firme, le firme non dovrebbero consentire discrepanze durante lo studio del disegno. In questo caso era estremamente indesiderabile apporre una firma accanto al punto di intersezione delle linee, o in basso a destra tra i grafici.

1) Una funzione lineare della forma () è chiamata proporzionalità diretta. Per esempio, . Un grafico di proporzionalità diretta passa sempre per l'origine. Pertanto, la costruzione di una linea retta è semplificata: è sufficiente trovare un solo punto.

2) Un'equazione della forma specifica una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Il grafico della funzione viene costruito immediatamente, senza trovare punti. Cioè, la voce dovrebbe essere intesa come segue: “la y è sempre uguale a –4, per qualsiasi valore di x”.

3) Un'equazione della forma specifica una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Anche il grafico della funzione viene tracciato immediatamente. La voce deve essere intesa come segue: "x è sempre, per qualsiasi valore di y, uguale a 1."

Alcuni si chiederanno: perché ricordare la prima media?! È così, forse è così, ma nel corso degli anni di pratica ho incontrato una buona dozzina di studenti che erano sconcertati dal compito di costruire un grafico come o.

Costruire una linea retta è l'azione più comune quando si realizzano disegni.

La retta è trattata in dettaglio nel corso di Geometria analitica e chi è interessato può fare riferimento all'articolo Equazione di una retta su un piano.

Grafico di una funzione quadratica, cubica, grafico di un polinomio

Parabola. Grafico di una funzione quadratica () rappresenta una parabola. Consideriamo il famoso caso:

Ricordiamo alcune proprietà della funzione.

Quindi, la soluzione della nostra equazione: – è in questo punto che si trova il vertice della parabola. Perché è così si può trovare nell'articolo teorico sulla derivata e nella lezione sugli estremi della funzione. Intanto calcoliamo il valore “Y” corrispondente:

Quindi il vertice è nel punto

Ora troviamo altri punti, sfruttando sfacciatamente la simmetria della parabola. Va notato che la funzione – non è nemmeno, ma, tuttavia, nessuno ha annullato la simmetria della parabola.

In quale ordine trovare i punti rimanenti, penso che sarà chiaro dal tavolo finale:

Questo algoritmo le costruzioni possono essere chiamate figurativamente una "navetta" o un principio "avanti e indietro" con Anfisa Chekhova.

Facciamo il disegno:

Dai grafici esaminati mi viene in mente un'altra caratteristica utile:

Per una funzione quadratica () è vero quanto segue:

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto.

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso il basso.

Una conoscenza approfondita della curva può essere ottenuta nella lezione Iperbole e parabola.

Una parabola cubica è data dalla funzione. Ecco un disegno familiare dalla scuola:

Elenchiamo le principali proprietà della funzione

Grafico di una funzione

Rappresenta uno dei rami di una parabola. Facciamo il disegno:

Principali proprietà della funzione:

In questo caso, l'asse è asintoto verticale per il grafico di un'iperbole in .

Sarebbe un errore GRAVE se, quando si disegna un disegno, si permettesse con noncuranza che il grafico si intersechi con un asintoto.

Anche i limiti unilaterali ci dicono che l'iperbole non limitato dall'alto E non limitato dal basso.

Esaminiamo la funzione all'infinito: , cioè se iniziamo a muoverci lungo l'asse verso sinistra (o destra) verso l'infinito, allora i “giochi” avverranno in un passo ordinato infinitamente vicino avvicinarsi allo zero e, di conseguenza, i rami dell'iperbole infinitamente vicino avvicinarsi all'asse.

Quindi l'asse è asintoto orizzontale per il grafico di una funzione, se “x” tende a più o meno infinito.

La funzione è strano, e quindi l'iperbole è simmetrica rispetto all'origine. Questo fatto risulta evidente dal disegno, inoltre è facilmente verificabile analiticamente: .

Il grafico di una funzione della forma () rappresenta due rami di un'iperbole.

Se , allora l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quarto di coordinata(vedi foto sopra).

Se , allora l'iperbole si trova nel secondo e quarto quarto delle coordinate.

Il modello indicato di residenza dell'iperbole è facile da analizzare dal punto di vista delle trasformazioni geometriche dei grafici.

Esempio 3

Costruisci il ramo destro dell'iperbole

Utilizziamo il metodo di costruzione puntuale ed è vantaggioso selezionare i valori in modo che siano divisibili per un tutto:

Facciamo il disegno:

Non sarà difficile da costruire e ramo sinistro iperboli, la stranezza della funzione aiuterà qui. In parole povere, nella tabella della costruzione puntuale, aggiungiamo mentalmente un segno meno a ciascun numero, inseriamo i punti corrispondenti e disegniamo il secondo ramo.

Informazioni geometriche dettagliate sulla retta considerata si trovano nell'articolo Iperbole e parabola.

Grafico di una funzione esponenziale

In questa sezione prenderò subito in considerazione la funzione esponenziale, poiché nei problemi di matematica superiore nel 95% dei casi è l'esponenziale ad apparire.

Lascia che ti ricordi che questo è un numero irrazionale: , questo sarà richiesto durante la costruzione di un grafico, che, infatti, costruirò senza cerimonie. Tre punti, forse basta:

Lasciamo stare il grafico della funzione per ora, ne parleremo più avanti.

Principali proprietà della funzione:

I grafici delle funzioni, ecc., sembrano fondamentalmente uguali.

Devo dire che il secondo caso nella pratica si verifica meno frequentemente, ma si verifica, quindi ho ritenuto necessario inserirlo in questo articolo.

Grafico di una funzione logaritmica

Considera una funzione con logaritmo naturale.
Facciamo un disegno punto per punto:

Se hai dimenticato cos'è un logaritmo, consulta i libri di testo della scuola.

Principali proprietà della funzione:

Dominio:

Intervallo di valori: .

La funzione non è limitata dall'alto: , anche se lentamente, ma il ramo del logaritmo sale all'infinito.
Esaminiamo il comportamento della funzione vicino allo zero a destra: . Quindi l'asse è asintoto verticale per il grafico di una funzione come “x” tende a zero da destra.

È imperativo conoscere e ricordare il valore tipico del logaritmo: .

In linea di principio, il grafico del logaritmo in base sembra lo stesso: , , (logaritmo decimale in base 10), ecc. Inoltre, più grande è la base, più piatto risulterà il grafico.

Non prenderemo in considerazione il caso, non ricordo quando ultima volta Ho costruito un grafico su questa base. E il logaritmo sembra essere un ospite rarissimo nei problemi di matematica superiore.

Alla fine di questo paragrafo dirò un altro fatto: Funzione esponenziale e funzione logaritmica- i due sono reciproci funzioni inverse . Se osservi attentamente il grafico del logaritmo, puoi vedere che si tratta dello stesso esponente, solo che è posizionato in modo leggermente diverso.

Grafici di funzioni trigonometriche

Dove inizia il tormento trigonometrico a scuola? Giusto. Dal seno

Tracciamo la funzione

Questa linea si chiama sinusoide.

Lascia che ti ricordi che “pi” è un numero irrazionale: , e in trigonometria fa abbagliare gli occhi.

Principali proprietà della funzione:

Questa funzione è periodico con punto. Cosa significa? Diamo un'occhiata al segmento. A sinistra e a destra di esso, esattamente lo stesso pezzo del grafico si ripete all'infinito.

Dominio: , cioè per ogni valore di “x” esiste un valore seno.

Intervallo di valori: . La funzione è limitato: , cioè tutti i “giochi” risiedono rigorosamente nel segmento .
Ciò non accade: o, più precisamente, accade, ma queste equazioni non hanno soluzione.

Come costruire una parabola? Esistono diversi modi per rappresentare graficamente una funzione quadratica. Ognuno di loro ha i suoi pro e contro. Consideriamo due modi.

Iniziamo tracciando una funzione quadratica della forma y=x²+bx+c e y= -x²+bx+c.

Esempio.

Rappresentare graficamente la funzione y=x²+2x-3.

Soluzione:

y=x²+2x-3 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto. Coordinate del vertice della parabola

Dal vertice (-1;-4) costruiamo un grafico della parabola y=x² (come dall'origine delle coordinate. Invece di (0;0) - vertice (-1;-4). Da (-1; -4) andiamo a destra di 1 unità e in alto di 1 unità, poi a sinistra di 1 e in alto di 1; inoltre: 2 - destra, 4 - su, 2 - sinistra, 4 - su; 3 - destra, 9 - in alto, 3 a sinistra, 9 in alto. Se questi 7 punti non bastano, allora 4 a destra, 16 in alto, ecc.).

Il grafico della funzione quadratica y= -x²+bx+c è una parabola i cui rami sono diretti verso il basso. Per costruire un grafico cerchiamo le coordinate del vertice e da esso costruiamo una parabola y= -x².

Esempio.

Rappresentare graficamente la funzione y= -x²+2x+8.

Soluzione:

y= -x²+2x+8 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso il basso. Coordinate del vertice della parabola

Dall'alto costruiamo una parabola y= -x² (1 - a destra, 1- in basso; 1 - a sinistra, 1 - in basso; 2 - a destra, 4 - in basso; 2 - a sinistra, 4 - in basso, ecc.):

Questo metodo ti permette di costruire una parabola velocemente e non crea difficoltà se sai come rappresentare graficamente le funzioni y=x² e y= -x². Svantaggio: se le coordinate del vertice lo sono numeri frazionari, costruire un grafico non è molto conveniente. Se hai bisogno di sapere valori esatti punti di intersezione del grafico con l'asse Ox, dovrai inoltre risolvere l'equazione x²+bx+c=0 (o -x²+bx+c=0), anche se questi punti possono essere determinati direttamente dal disegno.

Un altro modo per costruire una parabola è per punti, ovvero puoi trovare diversi punti sul grafico e tracciare una parabola attraverso di essi (tenendo conto che la retta x=xₒ è il suo asse di simmetria). Di solito per questo prendono il vertice della parabola, i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate e 1-2 punti aggiuntivi.

Disegna un grafico della funzione y=x²+5x+4.

Soluzione:

y=x²+5x+4 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto. Coordinate del vertice della parabola

cioè il vertice della parabola è il punto (-2,5; -2,25).

Stanno cercando. Nel punto di intersezione con l'asse del Bue y=0: x²+5x+4=0. Radici equazione quadrata x1=-1, x2=-4, cioè abbiamo due punti sul grafico (-1; 0) e (-4; 0).

Nel punto di intersezione del grafico con l'asse Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Abbiamo ottenuto il punto (0; 4).

Per chiarire il grafico, puoi trovare un punto aggiuntivo. Prendiamo x=1, quindi y=1²+5∙1+4=10, ovvero un altro punto sul grafico è (1; 10). Contrassegniamo questi punti sul piano delle coordinate. Tenendo conto della simmetria della parabola rispetto alla linea che passa per il suo vertice, segniamo altri due punti: (-5; 6) e (-6; 10) e disegniamo una parabola attraverso di essi:

Rappresentare graficamente la funzione y= -x²-3x.

Soluzione:

y= -x²-3x è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso il basso. Coordinate del vertice della parabola

Il vertice (-1,5; 2,25) è il primo punto della parabola.

Nei punti di intersezione del grafico con l'asse x y=0, cioè risolviamo l'equazione -x²-3x=0. Le sue radici sono x=0 e x=-3, cioè (0;0) e (-3;0) - altri due punti sul grafico. Il punto (o; 0) è anche il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.

A x=1 y=-1²-3∙1=-4, cioè (1; -4) è un punto aggiuntivo per il grafico.

Costruire una parabola partendo da punti è un metodo più laborioso rispetto al primo. Se la parabola non interseca l'asse del Bue, saranno necessari più punti aggiuntivi.

Prima di continuare a costruire grafici di funzioni quadratiche della forma y=ax²+bx+c, consideriamo la costruzione di grafici di funzioni utilizzando trasformazioni geometriche. È anche più conveniente costruire grafici di funzioni della forma y=x²+c utilizzando una di queste trasformazioni: la traslazione parallela.

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Una funzione nella forma in cui viene chiamata funzione quadratica.

Grafico di una funzione quadratica – parabola.

Consideriamo i casi:

I CASO, PARABOLA CLASSICA

Questo è , ,

Per costruire, compila la tabella sostituendo i valori x nella formula:

Segna i punti (0;0); (1;1); (-1;1), ecc. sul piano delle coordinate (minore è il passo che prendiamo per i valori x (in questo caso, passo 1), e più valori x prendiamo, più liscia sarà la curva), otteniamo una parabola:

È facile vedere che se prendiamo il caso , , , cioè otteniamo una parabola simmetrica rispetto all'asse (oh). È facile verificarlo compilando una tabella simile:

II CASO, “a” È DIVERSO DALL'UNITÀ

Cosa accadrà se prendiamo , , ? Come cambierà il comportamento della parabola? Con titolo="Renderizzato da QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Nella prima immagine (vedi sopra) è chiaramente visibile che i punti della tabella per la parabola (1;1), (-1;1) sono stati trasformati in punti (1;4), (1;-4), cioè a parità di valori l'ordinata di ogni punto viene moltiplicata per 4. Ciò avverrà per tutti i punti chiave della tabella originale. Ragioniamo in modo simile nei casi delle figure 2 e 3.

E quando la parabola “diventa più larga” della parabola:

Riassumiamo:

1)Il segno del coefficiente determina la direzione dei rami. Con titolo="Renderizzato da QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valore assoluto il coefficiente (modulo) è responsabile dell '"espansione" e della "compressione" della parabola. Quanto più grande è la parabola, tanto più stretta; quanto più piccola è |a|, tanto più ampia è la parabola.

III CASO, APPARE “C”.

Ora introduciamo nel gioco (cioè consideriamo il caso in cui), considereremo le parabole della forma . Non è difficile intuire (potete sempre fare riferimento alla tabella) che la parabola si sposterà verso l'alto o verso il basso lungo l'asse a seconda del segno:

IV CASO, APPARE “b”.

Quando la parabola si “staccherà” dall'asse e infine “camminerà” lungo l'intero piano delle coordinate? Quando smetterà di essere uguale?

Qui per costruire una parabola abbiamo bisogno formula per il calcolo del vertice: , .

Quindi a questo punto (come al punto (0;0) nuovo sistema coordinate) costruiremo una parabola, cosa che possiamo già fare. Se abbiamo a che fare con il caso, quindi dal vertice mettiamo un segmento unitario a destra, uno in alto, - il punto risultante è nostro (allo stesso modo, un passo a sinistra, un passo in alto è il nostro punto); se abbiamo a che fare, ad esempio, dal vertice mettiamo un segmento unitario a destra, due verso l'alto, ecc.

Ad esempio, il vertice di una parabola:

Ora la cosa principale da capire è che in questo vertice costruiremo una parabola secondo lo schema della parabola, perché nel nostro caso.

Quando si costruisce una parabola dopo aver trovato molto bene le coordinate del verticeÈ opportuno considerare i seguenti punti:

1) parabola passerà sicuramente al punto . Infatti, sostituendo x=0 nella formula, otteniamo che . Cioè, l'ordinata del punto di intersezione della parabola con l'asse (oy) è . Nel nostro esempio (sopra), la parabola interseca l'ordinata nel punto , poiché .

2) Asse di simmetria parabole è una retta, quindi tutti i punti della parabola saranno simmetrici rispetto ad essa. Nel nostro esempio, prendiamo immediatamente il punto (0; -2) e costruendolo simmetrico rispetto all'asse di simmetria della parabola, otteniamo il punto (4; -2) attraverso il quale passerà la parabola.

3) Uguagliando a , troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse (oh). Per fare ciò, risolviamo l'equazione. A seconda del discriminante, otterremo uno (, ), due ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Nell'esempio precedente la nostra radice del discriminante non è un numero intero; in fase di costruzione non ha molto senso trovare le radici, ma vediamo chiaramente che avremo due punti di intersezione con l'asse (oh) (dal titolo="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Quindi risolviamo la questione

Algoritmo per costruire una parabola se è dato nella forma

1) determinare la direzione dei rami (a>0 – su, a<0 – вниз)

2) troviamo le coordinate del vertice della parabola utilizzando la formula , .

3) troviamo il punto di intersezione della parabola con l'asse (oy) utilizzando il termine libero, costruiamo un punto simmetrico a questo punto rispetto all'asse di simmetria della parabola (va notato che capita che non sia redditizio segnare questo punto, ad esempio, perché il valore è grande... saltiamo questo punto...)

4) Nel punto trovato - il vertice della parabola (come nel punto (0;0) del nuovo sistema di coordinate) costruiamo una parabola. If title="Renderizzato da QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse (oy) (se non sono ancora “emersi”) risolvendo l'equazione

Esempio 1

Esempio 2

Nota 1. Se la parabola ci viene inizialmente data nella forma , dove sono presenti alcuni numeri (ad esempio ), allora sarà ancora più semplice costruirla, perché ci sono già state fornite le coordinate del vertice . Perché?

Prendiamo un trinomio quadratico e isoliamo il quadrato completo al suo interno: Guarda, abbiamo ottenuto che , . Tu ed io prima chiamavamo il vertice della parabola, cioè ora.

Per esempio, . Segniamo il vertice della parabola sul piano, capiamo che i rami sono diretti verso il basso, la parabola è espansa (rispetto a ). Cioè eseguiamo i punti 1; 3; 4; 5 dall'algoritmo per costruire una parabola (vedi sopra).

Nota 2. Se la parabola è data in una forma simile a questa (cioè presentata come prodotto di due fattori lineari), allora vediamo immediatamente i punti di intersezione della parabola con l'asse (bue). In questo caso – (0;0) e (4;0). Per il resto agiamo secondo l'algoritmo, aprendo le parentesi.

Nelle lezioni di matematica a scuola, hai già conosciuto le proprietà e il grafico più semplici di una funzione y = x2. Ampliamo le nostre conoscenze su funzione quadratica.

Esercizio 1.

Rappresentare graficamente la funzione y = x2. Scala: 1 = 2 cm Segnare un punto sull'asse Oy F(0; 1/4). Utilizzando un compasso o una striscia di carta, misurare la distanza dal punto F ad un certo punto M parabole. Quindi appuntare la striscia nel punto M e ruotarla attorno a quel punto finché non è verticale. L'estremità della striscia cadrà leggermente al di sotto dell'asse x (Fig. 1). Segna sulla striscia quanto si estende oltre l'asse x. Ora prendi un altro punto sulla parabola e ripeti nuovamente la misurazione. Di quanto è sceso il bordo della striscia sotto l'asse x?

Risultato: non importa quale punto della parabola y = x 2 prendi, la distanza da questo punto al punto F(0; 1/4) sarà maggiore della distanza dallo stesso punto all'asse delle ascisse sempre dello stesso numero - 1/4.

Possiamo dirlo diversamente: la distanza da qualsiasi punto della parabola al punto (0; 1/4) è uguale alla distanza dallo stesso punto della parabola alla retta y = -1/4. Questo meraviglioso punto si chiama F(0; 1/4). messa a fuoco parabole y = x 2 e linea retta y = -1/4 – preside questa parabola. Ogni parabola ha una direttrice e un fuoco.

Proprietà interessanti della parabola:

1. Qualsiasi punto della parabola è equidistante da un punto, chiamato fuoco della parabola, e da una linea retta, chiamata sua direttrice.

2. Se ruoti una parabola attorno all'asse di simmetria (ad esempio, la parabola y = x 2 attorno all'asse Oy), otterrai una superficie molto interessante chiamata paraboloide di rivoluzione.

La superficie del liquido in un recipiente rotante ha la forma di un paraboloide di rivoluzione. Puoi vedere questa superficie se mescoli vigorosamente con un cucchiaio in un bicchiere di tè incompleto, quindi rimuovi il cucchiaio.

3. Se lanci una pietra nel vuoto con una certa angolazione rispetto all'orizzonte, volerà in una parabola (Fig. 2).

4. Se intersechi la superficie di un cono con un piano parallelo a una qualsiasi delle sue generatrici, la sezione trasversale risulterà in una parabola (figura 3).

5. I parchi di divertimento a volte hanno un giro divertente chiamato Paraboloid of Wonders. A tutti quelli che stanno all'interno del paraboloide rotante sembra di stare sul pavimento, mentre il resto delle persone si aggrappa in qualche modo miracolosamente alle pareti.

6. Nei telescopi riflettenti vengono utilizzati anche specchi parabolici: la luce di una stella lontana, che arriva in un raggio parallelo, cadendo sullo specchio del telescopio, viene raccolta a fuoco.

7. I faretti hanno solitamente uno specchio a forma di paraboloide. Se si posiziona una sorgente luminosa al fuoco di un paraboloide, i raggi riflessi dallo specchio parabolico formano un raggio parallelo.

Rappresentazione grafica di una funzione quadratica

Nelle lezioni di matematica hai studiato come ottenere grafici di funzioni della forma dal grafico della funzione y = x 2:

1) y = asse 2– allungando il grafico y = x 2 lungo l'asse Oy in |a| volte (con |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riso. 4).

2) y = x2 + n– spostamento del grafico di n unità lungo l’asse Oy, e se n > 0 allora lo spostamento è verso l’alto, e se n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– spostamento del grafico di m unità lungo l'asse Ox: se m< 0, то вправо, а если m >0, poi a sinistra, (figura 5).

4) y = -x2– visualizzazione simmetrica rispetto all'asse Ox del grafico y = x 2 .

Diamo uno sguardo più da vicino al grafico della funzione y = a(x – m)2 + n.

Una funzione quadratica della forma y = ax 2 + bx + c può sempre essere ridotta alla forma

y = a(x – m) 2 + n, dove m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Dimostriamolo.

Veramente,

y = ax2 + bx + c = a(x2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Introduciamo nuove notazioni.

Permettere m = -b/(2a), UN n = -(b2 – 4ac)/(4a),

quindi otteniamo y = a(x – m) 2 + n oppure y – n = a(x – m) 2.

Facciamo altre sostituzioni: sia y – n = Y, x – m = X (*).

Quindi otteniamo la funzione Y = aX 2, il cui grafico è una parabola.

Il vertice della parabola è nell'origine. X = 0; Y = 0.

Sostituendo le coordinate del vertice in (*), otteniamo le coordinate del vertice del grafico y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Pertanto, per tracciare una funzione quadratica rappresentata come

y = a(x – m)2 + n

tramite trasformazioni si può procedere nel seguente modo:

UN) tracciare la funzione y = x 2 ;

B) per traslazione parallela lungo l'asse Ox di m unità e lungo l'asse Oy di n unità - trasferisci il vertice della parabola dall'origine al punto con le coordinate (m; n) (Fig. 6).

Trasformazioni di registrazione:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Esempio.

Utilizzando le trasformazioni, costruisci un grafico della funzione y = 2(x – 3) 2 nel sistema di coordinate cartesiane – 2.

Soluzione.

Catena di trasformazioni:

y = x2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

La trama è mostrata in riso. 7.

Puoi esercitarti a rappresentare graficamente le funzioni quadratiche da solo. Ad esempio, costruisci un grafico della funzione y = 2(x + 3) 2 + 2 in un sistema di coordinate utilizzando le trasformazioni. Se hai domande o desideri ricevere consigli da un insegnante, hai l'opportunità di condurre lezione gratuita di 25 minuti con un tutor online dopo la registrazione. Per lavorare ulteriormente con l'insegnante, puoi scegliere il piano tariffario adatto a te.

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