Funzione pari.

Ancheè una funzione il cui segno non cambia quando cambia il segno X.

X vale l'uguaglianza F(–X) = F(X). Cartello X non influisce sul segno sì.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate (Fig. 1).

Esempi di funzione pari:

sì= cos X

sì = X 2

sì = –X 2

sì = X 4

sì = X 6

sì = X 2 + X

Spiegazione:
Prendiamo la funzione sì = X 2 o sì = –X 2 .
Per qualsiasi valore X la funzione è positiva. Cartello X non influisce sul segno sì. Il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate. Questa è una funzione pari.

Funzione strana.

Stranoè una funzione il cui segno cambia quando cambia il segno X.

In altre parole, per qualsiasi valore X vale l'uguaglianza F(–X) = –F(X).

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (Fig. 2).

Esempi di funzione dispari:

sì= peccato X

sì = X 3

sì = –X 3

Spiegazione:

Prendiamo la funzione y = – X 3 .
Tutti i significati A avrà un segno meno. Questo è un segno X influenza il segno sì. Se la variabile indipendente è un numero positivo, allora la funzione è positiva, se la variabile indipendente lo è un numero negativo, allora la funzione è negativa: F(–X) = –F(X).
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine. Questa è una funzione strana.

Proprietà delle funzioni pari e dispari:

NOTA:

Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Ci sono funzioni che non obbediscono a tale gradazione. Ad esempio, la funzione root A = √X non si applica né alle funzioni pari né a quelle dispari (Fig. 3). Quando si elencano le proprietà di tali funzioni, dovrebbe essere data una descrizione appropriata: né pari né dispari.

Funzioni periodiche.

Come sai, la periodicità è la ripetizione di determinati processi a un determinato intervallo. Le funzioni che descrivono questi processi vengono chiamate funzioni periodiche. Cioè si tratta di funzioni nei cui grafici sono presenti elementi che si ripetono a determinati intervalli numerici.

L'uniformità e la stranezza di una funzione sono una delle sue proprietà principali e la parità occupa una parte importante del corso di matematica scolastica. Determina in gran parte il comportamento della funzione e facilita notevolmente la costruzione del grafico corrispondente.

Determiniamo la parità della funzione. In generale, la funzione in esame viene considerata anche se per valori opposti della variabile indipendente (x) situata nel suo dominio di definizione, i corrispondenti valori di y (funzione) risultano uguali.

Diamo una definizione più rigorosa. Consideriamo una funzione f (x), definita nel dominio D. Lo sarà anche se per qualsiasi punto x situato nel dominio di definizione:

• Anche -x (punto opposto) rientra in questo ambito,

• f(-x) = f(x).

Dalla definizione precedente segue la condizione necessaria per il dominio di definizione di tale funzione, cioè la simmetria rispetto al punto O, che è l'origine delle coordinate, poiché se un punto b è contenuto nel dominio di definizione di un punto pari funzione, allora anche il punto b corrispondente si trova in questo dominio. Da quanto sopra esposto segue quindi la conclusione: la funzione pari ha forma simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (Oy).

Come determinare in pratica la parità di una funzione?

Sia specificato utilizzando la formula h(x)=11^x+11^(-x). Seguendo l'algoritmo che segue direttamente dalla definizione, esaminiamo prima il suo dominio di definizione. Ovviamente è definito per tutti i valori dell'argomento, cioè la prima condizione è soddisfatta.

Il passo successivo è sostituire il valore opposto (-x) all'argomento (x).
Noi abbiamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Poiché l'addizione soddisfa la legge commutativa (commutativa), è ovvio che h(-x) = h(x) e la dipendenza funzionale data è pari.

Controlliamo la parità della funzione h(x)=11^x-11^(-x). Seguendo lo stesso algoritmo, otteniamo che h(-x) = 11^(-x) -11^x. Togliendo il meno, alla fine abbiamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Pertanto h(x) è dispari.

Va comunque ricordato che ci sono funzioni che non possono essere classificate secondo questi criteri; non si chiamano né pari né dispari;

Anche le funzioni hanno una serie di proprietà interessanti:

• come risultato dell'aggiunta di funzioni simili, ne ottengono una pari;
• sottraendo tali funzioni si ottiene una pari;
• anche, anche pari;
• come risultato della moltiplicazione di due di tali funzioni, se ne ottiene una pari;
• come risultato della moltiplicazione delle funzioni pari e dispari, si ottiene una funzione dispari;
• come risultato della divisione delle funzioni pari e dispari, si ottiene una funzione dispari;
• la derivata di tale funzione è dispari;
• Se elevi al quadrato una funzione dispari, ne ottieni una pari.

La parità di una funzione può essere utilizzata per risolvere equazioni.

Per risolvere un'equazione come g(x) = 0, dove lato sinistro L'equazione è una funzione pari, sarà sufficiente trovare le sue soluzioni per valori non negativi della variabile. Le radici risultanti dell'equazione devono essere combinate con i numeri opposti. Uno di questi è soggetto a verifica.

Questo viene utilizzato con successo anche per risolvere problemi non standard con un parametro.

Ad esempio, esiste un valore del parametro a per il quale l'equazione 2x^6-x^4-ax^2=1 avrà tre radici?

Se consideriamo che la variabile entra nell'equazione con potenze pari, allora è chiaro che la sostituzione di x con - x non cambierà l'equazione data. Ne consegue che se un certo numero è la sua radice, anche il numero opposto è la radice. La conclusione è ovvia: le radici di un'equazione diverse da zero sono incluse nell'insieme delle sue soluzioni in “coppie”.

È chiaro che il numero stesso non è 0, cioè il numero di radici di tale equazione può essere solo pari e, naturalmente, per qualsiasi valore del parametro non può avere tre radici.

Ma il numero di radici dell'equazione 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 può essere dispari e per qualsiasi valore del parametro. Infatti è facile verificare che l'insieme delle radici di questa equazione contiene soluzioni “a coppie”. Controlliamo se 0 è una radice. Quando lo sostituiamo nell'equazione, otteniamo 2=2. Quindi, oltre a quelli “accoppiati”, 0 è anche una radice, che dimostra il loro numero dispari.

Anche, se per tutti gli \(x\) del suo dominio di definizione è vero quanto segue: \(f(-x)=f(x)\) .

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse \(y\):

Esempio: la funzione \(f(x)=x^2+\cos x\) è pari, perché \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Viene richiamata la funzione \(f(x)\). strano, se per tutti gli \(x\) del suo dominio di definizione vale quanto segue: \(f(-x)=-f(x)\) .

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine:

Esempio: la funzione \(f(x)=x^3+x\) è strana perché \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Le funzioni che non sono né pari né dispari sono chiamate funzioni vista generale. Tale funzione può sempre essere rappresentata in modo univoco come la somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2-x\) è la somma della funzione pari \(f_1=x^2\) e della funzione dispari \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Alcune proprietà:

1) Il prodotto e il quoziente di due funzioni della stessa parità è una funzione pari.

2) Il prodotto e il quoziente di due funzioni di parità diverse è una funzione dispari.

3) La somma e la differenza di funzioni pari è una funzione pari.

4) Somma e differenza di funzioni dispari - funzione dispari.

5) Se \(f(x)\) è una funzione pari, allora l'equazione \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ha radice unica se e solo quando \( x =0\) .

6) Se \(f(x)\) è una funzione pari o dispari, e l'equazione \(f(x)=0\) ha radice \(x=b\), allora questa equazione avrà necessariamente una seconda radice \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La funzione \(f(x)\) si dice periodica su \(X\) se per qualche numero \(T\ne 0\) vale: \(f(x)=f( x+T) \) , dove \(x, x+T\in X\) . Il più piccolo \(T\) per il quale questa uguaglianza è soddisfatta è chiamato periodo principale (principale) della funzione.

Una funzione periodica ha un numero qualsiasi nella forma \(nT\) , dove anche \(n\in \mathbb(Z)\) sarà un punto.

Esempio: qualsiasi funzione trigonometricaè periodico;
per le funzioni \(f(x)=\sin x\) e \(f(x)=\cos x\) il periodo principale è uguale a \(2\pi\), per le funzioni \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) e \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) il periodo principale è uguale a \(\pi\) .

Per costruire un grafico di una funzione periodica, puoi tracciare il suo grafico su qualsiasi segmento di lunghezza \(T\) (periodo principale); quindi il grafico dell'intera funzione si completa spostando la parte costruita di un numero intero di periodi a destra e a sinistra:

\(\blacktriangleright\) Il dominio \(D(f)\) della funzione \(f(x)\) è un insieme costituito da tutti i valori dell'argomento \(x\) per i quali la funzione ha senso (è definito).

Esempio: la funzione \(f(x)=\sqrt x+1\) ha un dominio di definizione: \(x\in

Compito 1 #6364

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

A quali valori del parametro \(a\) si forma l'equazione

ha un'unica soluzione?

Nota che poiché \(x^2\) e \(\cos x\) sono funzioni pari, se l'equazione ha una radice \(x_0\) , avrà anche una radice \(-x_0\) .
Sia infatti \(x_0\) una radice, cioè l'uguaglianza \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Giusto. Sostituiamo \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Pertanto, se \(x_0\ne 0\) , l'equazione avrà già almeno due radici. Pertanto, \(x_0=0\) . Poi:

Abbiamo ricevuto due valori per il parametro \(a\) . Nota che abbiamo utilizzato il fatto che \(x=0\) è esattamente la radice dell'equazione originale. Ma non abbiamo mai sfruttato il fatto che sia l'unico. Pertanto, è necessario sostituire i valori risultanti del parametro \(a\) nell'equazione originale e verificare per quale specifico \(a\) la radice \(x=0\) sarà davvero unica.

1) Se \(a=0\) , l'equazione assumerà la forma \(2x^2=0\) . Ovviamente, questa equazione ha una sola radice \(x=0\) . Pertanto, il valore \(a=0\) è adatto a noi.

2) Se \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , l'equazione assumerà la forma \ Riscriviamo l'equazione nella forma \ Perché \(-1\leqinclinazione \cos x\leqinclinazione 1\), Quello \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Di conseguenza, i valori della parte destra dell'equazione (*) appartengono al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Poiché \(x^2\geqslant 0\) , il lato sinistro dell'equazione (*) è maggiore o uguale a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Pertanto, l'uguaglianza (*) può essere vera solo quando entrambi i lati dell'equazione sono uguali a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . E questo significa questo \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Pertanto, il valore \(a=-\mathrm(tg)\,1\) è adatto a noi.

Risposta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Compito 2 #3923

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\), per ciascuno dei quali il grafico della funzione \

simmetrico rispetto all'origine.

Se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine, allora tale funzione è dispari, cioè \(f(-x)=-f(x)\) vale per qualsiasi \(x\) del dominio di definizione della funzione. Pertanto, è necessario trovare i valori dei parametri per i quali \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(allineato)\]

L'ultima equazione deve essere soddisfatta per tutti gli \(x\) del dominio di \(f(x)\), quindi, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Risposta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Compito 3 #3069

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali l'equazione \ ha 4 soluzioni, dove \(f\) è una funzione periodica pari con periodo \(T=\dfrac(16)3\) definito sull'intera linea numerica e \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Compito degli abbonati)

Poiché \(f(x)\) è una funzione pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, quindi, quando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Quindi, quando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), e questo è un segmento di lunghezza \(\dfrac(16)3\) , funzione \(f(x)=ax^2\) .

1) Sia \(a>0\) . Quindi il grafico della funzione \(f(x)\) sarà simile a questo:


Allora, affinché l'equazione abbia 4 soluzioni, è necessario che il grafico \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passi per il punto \(A\) :


Quindi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(allineato)\end(raccolto)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( raccolti)\destra.\] Poiché \(a>0\) , allora \(a=\dfrac(18)(23)\) è adatto.

2) Sia \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


È necessario che il grafico \(g(x)\) passi per il punto \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(raccolto)\begin(allineato) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(allineato) \end(raccolto)\right.\] Da<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Il caso in cui \(a=0\) non è adatto, poiché allora \(f(x)=0\) per tutti \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) e il l'equazione avrà solo 1 radice.

Risposta:

\(a\in \sinistra\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\destra\)\)

Compito 4 #3072

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori di \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha almeno una radice.

(Compito degli abbonati)

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e consideriamo due funzioni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) e \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La funzione \(g(x)\) è pari e ha un punto di minimo \(x=0\) (e \(g(0)=49\) ).
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) è decrescente e per \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Infatti, quando \(x>0\) il secondo modulo si aprirà positivamente (\(|x|=x\) ), quindi, indipendentemente da come si aprirà il primo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \( kx+A\) , dove \(A\) è l'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(-9\) o \(-3\) . Quando \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Troviamo il valore di \(f\) nel punto massimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e \(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, è necessario: \ \\]

Risposta:

\(a\in \(-7\)\tazza\)

Compito 5 #3912

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha sei diverse soluzioni.

Eseguiamo la sostituzione \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Quindi l'equazione assumerà la forma \ Scriveremo gradualmente le condizioni in cui l'equazione originale avrà sei soluzioni.
Si noti che l'equazione quadratica \((*)\) può avere un massimo di due soluzioni. Qualsiasi equazione cubica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) non può avere più di tre soluzioni. Pertanto, se l'equazione \((*)\) ha due soluzioni diverse (positiva!, poiché \(t\) deve essere maggiore di zero) \(t_1\) e \(t_2\) , allora, facendo il contrario sostituzione, otteniamo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(allineato)\end(raccolto)\right.\] Poiché qualsiasi numero positivo può essere rappresentato in una certa misura come \(\sqrt2\), ad esempio, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), allora la prima equazione dell'insieme verrà riscritta nella forma \ Come abbiamo già detto, qualsiasi equazione cubica non ha più di tre soluzioni, quindi ciascuna equazione dell'insieme non avrà più di tre soluzioni. Ciò significa che l'intero set non avrà più di sei soluzioni.
Ciò significa che affinché l'equazione originale abbia sei soluzioni, l'equazione quadratica \((*)\) deve avere due soluzioni diverse e ciascuna equazione cubica risultante (dall'insieme) deve avere tre soluzioni diverse (e non una singola soluzione di un'equazione dovrebbe coincidere con qualsiasi altra equazione - per decisione della seconda!)
Ovviamente, se l'equazione quadratica \((*)\) ha una soluzione, non otterremo sei soluzioni dell'equazione originale.

Pertanto, il piano di soluzione diventa chiaro. Scriviamo punto per punto le condizioni che devono essere soddisfatte.

1) Affinché l'equazione \((*)\) abbia due soluzioni diverse, il suo discriminante deve essere positivo: \

2) È inoltre necessario che entrambe le radici siano positive (poiché \(t>0\) ). Se il prodotto di due radici è positivo e la loro somma è positiva, allora le radici stesse saranno positive. Pertanto, è necessario: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Quindi ci siamo già forniti di due diverse radici positive \(t_1\) e \(t_2\) .

3) Diamo un'occhiata a questa equazione \ Per cosa \(t\) avrà tre soluzioni diverse?
Considera la funzione \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Può essere fattorizzato: \ Pertanto, i suoi zeri sono: \(x=-1;2\) .
Se troviamo la derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , otteniamo due punti estremi \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Pertanto il grafico si presenta così:


Vediamo che qualsiasi linea orizzontale \(y=k\) , dove \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avesse tre soluzioni diverse, è necessario che \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Pertanto, è necessario: \[\begin(casi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notiamo subito anche che se i numeri \(t_1\) e \(t_2\) sono diversi, allora i numeri \(\log_(\sqrt2)t_1\) e \(\log_(\sqrt2)t_2\) saranno diverso, il che significa le equazioni \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) E \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) avrà radici diverse.
Il sistema \((**)\) può essere riscritto come segue: \[\begin(casi) 1

Pertanto, abbiamo determinato che entrambe le radici dell'equazione \((*)\) devono trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Come scrivere questa condizione?
Non scriveremo esplicitamente le radici.
Considera la funzione \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Il suo grafico è una parabola con rami ascendenti, che ha due punti di intersezione con l'asse x (abbiamo annotato questa condizione nel paragrafo 1)). Come dovrebbe essere il suo grafico in modo che i punti di intersezione con l'asse x siano nell'intervallo \((1;4)\)? COSÌ:


Innanzitutto i valori \(g(1)\) e \(g(4)\) della funzione nei punti \(1\) e \(4\) devono essere positivi e, in secondo luogo, il vertice della anche la parabola \(t_0\ ) deve essere nell'intervallo \((1;4)\) . Possiamo quindi scrivere il sistema: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ha sempre almeno una radice \(x=0\) . Ciò significa che per soddisfare le condizioni del problema è necessario che l'equazione \

aveva quattro radici diverse, diverse da zero, che rappresentavano, insieme a \(x=0\), una progressione aritmetica.

Nota che la funzione \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) è pari, il che significa che se \(x_0\) è la radice dell'equazione \( (*)\ ) , anche \(-x_0\) sarà la sua radice. Allora è necessario che le radici di questa equazione siano numeri ordinati in ordine crescente: \(-2d, -d, d, 2d\) (quindi \(d>0\)). È allora che questi cinque numeri formeranno una progressione aritmetica (con la differenza \(d\)).

Affinché queste radici siano i numeri \(-2d, -d, d, 2d\) , è necessario che i numeri \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) siano le radici di l'equazione \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Quindi, secondo il teorema di Vieta:

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e consideriamo due funzioni: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) e \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La funzione \(g(x)\) ha un punto massimo \(x=0\) (e \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivata zero: \(x=0\) . Quando \(x<0\) имеем: \(g">0\) , per \(x>0\) : \(g"<0\) .
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) è crescente e per \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Infatti, quando \(x>0\) il primo modulo si aprirà positivamente (\(|x|=x\)), quindi, indipendentemente da come si aprirà il secondo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \( kx+A\) , dove \(A\) è l'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(13-10=3\) o \(13+10 =23\) . Quando \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Troviamo il valore di \(f\) nel punto minimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e \(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, è necessario: \ Risolvendo questo insieme di sistemi, otteniamo la risposta: \\]

Risposta:

\(a\in \(-2\)\tazza\)

Conversione di grafici.

Descrizione verbale della funzione.

Metodo grafico.

Il metodo grafico per specificare una funzione è il più visivo e viene spesso utilizzato in tecnologia. Nell'analisi matematica, il metodo grafico per specificare le funzioni viene utilizzato come illustrazione.

Grafico della funzione f è l'insieme di tutti i punti (x;y) del piano delle coordinate, dove y=f(x), ex “attraversa” l'intero dominio di definizione di questa funzione.

Un sottoinsieme del piano delle coordinate è un grafico di una funzione se non ha più di un punto in comune con una qualsiasi linea retta parallela all'asse Oy.

Esempio. Le figure sottostanti sono grafici di funzioni?

Il vantaggio di un compito grafico è la sua chiarezza. Puoi vedere subito come si comporta la funzione, dove aumenta e dove diminuisce. Dal grafico si possono subito individuare alcune importanti caratteristiche della funzione.

In generale, i metodi analitici e grafici per definire una funzione vanno di pari passo. Lavorare con la formula aiuta a costruire un grafico. E il grafico spesso suggerisce soluzioni che non noteresti nemmeno nella formula.

Quasi tutti gli studenti conoscono i tre modi per definire una funzione che abbiamo appena visto.

Proviamo a rispondere alla domanda: "Esistono altri modi per specificare una funzione?"

Esiste un modo del genere.

La funzione può essere specificata in modo abbastanza inequivocabile a parole.

Ad esempio, la funzione y=2x può essere specificata dalla seguente descrizione verbale: ogni valore reale dell'argomento x è associato al suo doppio valore. La regola è stabilita, la funzione è specificata.

Inoltre, è possibile specificare verbalmente una funzione che è estremamente difficile, se non impossibile, definire mediante una formula.

Ad esempio: ogni valore dell'argomento naturale x è associato alla somma delle cifre che compongono il valore di x. Ad esempio, se x=3, allora y=3. Se x=257, allora y=2+5+7=14. E così via. È problematico scriverlo in una formula. Ma il segno è facile da realizzare.

Il metodo della descrizione verbale è un metodo utilizzato piuttosto raramente. Ma a volte lo fa.

Se esiste una legge di corrispondenza biunivoca tra x e y, allora esiste una funzione. Quale legge, in quale forma è espressa - una formula, una tavoletta, un grafico, parole - non cambia l'essenza della questione.

Consideriamo funzioni i cui domini di definizione sono simmetrici rispetto all'origine, cioè per chiunque X dal dominio della definizione numero (- X) appartiene anch'esso al dominio di definizione. Tra queste funzioni ci sono pari e dispari.

Definizione. Viene chiamata la funzione f Anche, se per qualsiasi X dal suo dominio di definizione

Esempio. Considera la funzione

È pari. Controlliamolo.

Per chiunque X le uguaglianze sono soddisfatte

Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte, il che significa che la funzione è pari. Di seguito è riportato un grafico di questa funzione.

Definizione. Viene chiamata la funzione f strano, se per qualsiasi X dal suo dominio di definizione

Esempio. Considera la funzione

È strano. Controlliamolo.

Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, il che significa che è simmetrico rispetto al punto (0;0).

Per chiunque X le uguaglianze sono soddisfatte

Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte, il che significa che la funzione è dispari. Di seguito è riportato un grafico di questa funzione.

I grafici mostrati nella prima e nella terza figura sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate, mentre i grafici mostrati nella seconda e nella quarta figura sono simmetrici rispetto all'origine.

Quali delle funzioni i cui grafici sono mostrati nelle figure sono pari e quali sono dispari?

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Metodi per specificare una funzione

Sia la funzione data dalla formula: y=2x^(2)-3. Assegnando un valore qualsiasi alla variabile indipendente x, è possibile calcolare, utilizzando questa formula, i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Ad esempio, se x=-0,5, utilizzando la formula, troviamo che il valore corrispondente di y è y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Prendendo qualsiasi valore assunto dall'argomento x nella formula y=2x^(2)-3, puoi calcolare solo un valore della funzione che corrisponde ad esso. La funzione può essere rappresentata come una tabella:

X	−2	−1	0	1	2	3
sì	−4	−3	−2	−1	0	1

Usando questa tabella, puoi vedere che al valore dell'argomento −1 corrisponderà il valore della funzione −3; e il valore x=2 corrisponderà a y=0, ecc. È anche importante sapere che ciascun valore di argomento nella tabella corrisponde a un solo valore di funzione.

È possibile specificare più funzioni utilizzando i grafici. Utilizzando un grafico, viene stabilito quale valore della funzione è correlato a un determinato valore x. Molto spesso, questo sarà un valore approssimativo della funzione.

Funzione pari e dispari

La funzione è funzione pari, quando f(-x)=f(x) per qualsiasi x dal dominio di definizione. Tale funzione sarà simmetrica rispetto all'asse Oy.

La funzione è funzione strana, quando f(-x)=-f(x) per qualsiasi x dal dominio di definizione. Tale funzione sarà simmetrica rispetto all'origine O (0;0) .

La funzione è nemmeno, né strano e viene chiamato funzione generale, quando non ha simmetria rispetto all'asse o all'origine.

Esaminiamo la seguente funzione di parità:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) con dominio di definizione simmetrico rispetto all'origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Ciò significa che la funzione f(x)=3x^(3)-7x^(7) è dispari.

Funzione periodica

La funzione y=f(x) , nel cui dominio vale per ogni x l'uguaglianza f(x+T)=f(x-T)=f(x), è detta funzione periodica con periodo T \neq 0 .

Ripetendo il grafico di una funzione su qualsiasi segmento dell'asse x che abbia lunghezza T.

Gli intervalli in cui la funzione è positiva, cioè f(x) > 0, sono segmenti dell'asse delle ascisse che corrispondono ai punti del grafico della funzione che si trovano sopra l'asse delle ascisse.

f(x) > 0 attivo (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalli in cui la funzione è negativa, cioè f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funzione limitata

Delimitato dal bassoÈ consuetudine chiamare una funzione y=f(x), x \in X quando esiste un numero A per il quale vale la disuguaglianza f(x) \geq A per ogni x \in X .

Un esempio di funzione limitata dal basso: y=\sqrt(1+x^(2)) poiché y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 per qualsiasi x .

Delimitato dall'alto una funzione y=f(x), x \in X viene chiamata quando esiste un numero B per il quale vale la disuguaglianza f(x) \neq B per ogni x \in X .

Un esempio di funzione delimitata di seguito: y=\quadrato(1-x^(2)), x \in [-1;1] poiché y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 per qualsiasi x \in [-1;1] .

LimitatoÈ consuetudine chiamare una funzione y=f(x), x \in X quando esiste un numero K > 0 per il quale la disuguaglianza \left | f(x)\destra | \neq K per qualsiasi x \in X .

Esempio funzione limitata: y=\sin x è limitato sull'intero asse dei numeri, poiché \sinistra | \peccato x \destra | \neq 1.

Funzione crescente e decrescente

Si è soliti parlare di una funzione che aumenta nell'intervallo considerato come funzione crescente poi quando valore più alto x corrisponderà a un valore maggiore della funzione y=f(x) . Ne consegue che prendendo due valori arbitrari dell'argomento x_(1) e x_(2) dall'intervallo in esame, con x_(1) > x_(2) , il risultato sarà y(x_(1)) > y(x_(2)).

Viene chiamata una funzione che diminuisce sull'intervallo considerato funzione decrescente quando un valore maggiore di x corrisponde a un valore minore della funzione y(x) . Ne consegue che, prendendo dall'intervallo in esame due valori arbitrari dell'argomento x_(1) e x_(2) , e x_(1) > x_(2) , il risultato sarà y(x_(1))< y(x_{2}) .

Radici funzionaliÈ consuetudine chiamare i punti in cui la funzione F=y(x) interseca l'asse delle ascisse (si ottengono risolvendo l'equazione y(x)=0).

a) Se per x > 0 una funzione pari aumenta, allora diminuisce per x< 0

b) Quando una funzione pari diminuisce per x > 0, allora aumenta per x< 0

c) Quando una funzione dispari aumenta in x > 0, allora aumenta anche in x< 0

d) Quando una funzione dispari diminuisce per x > 0, allora diminuirà anche per x< 0

Estremi della funzione

Punto minimo della funzione y=f(x) è solitamente chiamato punto x=x_(0) il cui intorno avrà altri punti (eccetto il punto x=x_(0)), e per essi la disuguaglianza f(x) > f sarà allora soddisfatto (x_(0)) . y_(min) - designazione della funzione nel punto minimo.

Punto massimo della funzione y=f(x) è solitamente chiamato punto x=x_(0) il cui intorno avrà altri punti (eccetto il punto x=x_(0)), e per essi sarà allora soddisfatta la disuguaglianza f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Prerequisito

Secondo il teorema di Fermat: f"(x)=0 quando la funzione f(x) differenziabile nel punto x_(0) avrà estremo in questo punto.

Condizione sufficiente

1. Quando la derivata cambia segno da più a meno, x_(0) sarà il punto minimo;
2. x_(0) - sarà un punto massimo solo quando la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto stazionario x_(0) .

Il valore più grande e più piccolo di una funzione su un intervallo

Passaggi di calcolo:

1. Si cerca la derivata f"(x);
2. Si trovano i punti stazionari e critici della funzione e si selezionano quelli appartenenti al segmento;
3. I valori della funzione f(x) si trovano in stazionario e punti critici e le estremità del segmento. Minore sarà il risultato ottenuto valore più basso funzioni e altro ancora - il più grande.