Valore massimo e minimo di una funzione

Il valore più grande di una funzione è il più grande, il valore più piccolo è il più piccolo di tutti i suoi valori.

Una funzione può avere solo un valore più grande e solo uno più piccolo, oppure può non averne alcuno. La ricerca dei valori più grandi e più piccoli delle funzioni continue si basa sulle seguenti proprietà di queste funzioni:

1) Se in un certo intervallo (finito o infinito) la funzione y=f(x) è continua e ha un solo estremo e se questo è un massimo (minimo), allora sarà il valore più grande (più piccolo) della funzione in questo intervallo.

2) Se la funzione f(x) è continua su qualche intervallo, allora ha necessariamente il massimo e valore più piccolo. Questi valori vengono raggiunti nei punti estremi che si trovano all'interno del segmento o ai confini di questo segmento.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli su un segmento, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1. Trova la derivata.

2. Trova i punti critici della funzione in cui =0 o non esiste.

3. Trova i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento e seleziona da essi il più grande f max e il più piccolo f max.

Quando si risolvono problemi applicati, in particolare quelli di ottimizzazione, sono importanti i problemi di trovare i valori più grandi e più piccoli (massimo globale e minimo globale) di una funzione sull'intervallo X. Per risolvere tali problemi, si dovrebbe, in base alla condizione , selezionare una variabile indipendente ed esprimere attraverso tale variabile il valore oggetto di studio. Quindi trovare il valore massimo o minimo desiderato della funzione risultante. In questo caso anche l'intervallo di variazione della variabile indipendente, che può essere finito o infinito, è determinato dalle condizioni del problema.

Esempio. La vasca, che ha forma di parallelepipedo rettangolare con sommità aperta e fondo quadrato, deve essere stagnata all'interno con stagno. Quali dovrebbero essere le dimensioni del serbatoio se la sua capacità è di 108 litri? acqua in modo che il costo di stagnatura sia minimo?

Soluzione. Il costo del rivestimento di un serbatoio con stagno sarà minimo se, per una data capacità, la sua superficie è minima. Indichiamo con a dm il lato della base, b dm l'altezza della vasca. Allora l'area S della sua superficie è uguale a

E

La relazione risultante stabilisce il rapporto tra la superficie del serbatoio S (funzione) e il lato della base a (argomento). Esaminiamo la funzione S per un estremo. Troviamo la derivata prima, uguagliamola a zero e risolviamo l'equazione risultante:

Quindi a = 6. (a) > 0 per a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Esempio. Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione sull'intervallo.

Soluzione: La funzione data è continua lungo tutta la linea numerica. Derivata di una funzione

Derivato per e per . Calcoliamo i valori della funzione in questi punti:

.

I valori della funzione alle estremità dell'intervallo dato sono uguali. Pertanto, il valore più grande della funzione è uguale a at , il valore più piccolo della funzione è uguale a at .

Domande di autotest

1. Formulare la regola di L'Hopital per rivelare le incertezze della forma. Elencare i diversi tipi di incertezze che la regola di L'Hopital può essere utilizzata per risolvere.

2. Formulare i segni della funzione crescente e decrescente.

3. Definire il massimo e il minimo di una funzione.

4. Formulare una condizione necessaria per l'esistenza di un estremo.

5. Quali valori dell'argomento (quali punti) sono chiamati critici? Come trovare questi punti?

6. Quali sono i segni sufficienti dell'esistenza di un estremo di una funzione? Delinea uno schema per studiare una funzione ad un estremo utilizzando la derivata prima.

7. Delinea uno schema per studiare una funzione ad un estremo utilizzando la derivata seconda.

8. Definire convessità e concavità di una curva.

9. Qual è il punto di flesso del grafico di una funzione? Indicare un metodo per trovare questi punti.

10. Formulare i segni necessari e sufficienti di convessità e concavità di una curva su un dato segmento.

11. Definire l'asintoto di una curva. Come trovare gli asintoti verticale, orizzontale e obliquo del grafico di una funzione?

12. Contorno schema generale ricercare una funzione e costruire il suo grafico.

13. Formulare una regola per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un dato intervallo.

Da un punto di vista pratico, l'interesse maggiore è utilizzare la derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione. A cosa è collegato questo? Massimizzare i profitti, minimizzare i costi, determinare il carico ottimale delle attrezzature... In altre parole, in molti ambiti della vita dobbiamo risolvere problemi di ottimizzazione di alcuni parametri. E questi sono i compiti di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Va notato che i valori più grandi e più piccoli di una funzione vengono solitamente ricercati su un certo intervallo X, che è l'intero dominio della funzione o parte del dominio di definizione. L'intervallo X stesso può essere un segmento, un intervallo aperto , un intervallo infinito.

In questo articolo parleremo di come trovare esplicitamente i valori più grandi e più piccoli data funzione una variabile y=f(x) .

Navigazione della pagina.

Il valore più grande e più piccolo di una funzione: definizioni, illustrazioni.

Vediamo brevemente le principali definizioni.

Il valore più grande della funzione quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Il valore più piccolo della funzione y=f(x) sull'intervallo X è chiamato tale valore quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Queste definizioni sono intuitive: il valore più grande (più piccolo) di una funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato sull'intervallo considerato nell'ascissa.

Punti stazionari– questi sono i valori dell’argomento ai quali la derivata della funzione diventa zero.

Perché abbiamo bisogno di punti stazionari quando troviamo i valori più grandi e più piccoli? La risposta a questa domanda è data dal teorema di Fermat. Da questo teorema segue che se una funzione differenziabile ha un estremo (minimo locale o massimo locale) in un punto, allora questo punto è stazionario. Pertanto, la funzione spesso assume il suo valore più grande (più piccolo) sull'intervallo X in uno dei punti stazionari di questo intervallo.

Inoltre, una funzione può spesso assumere i suoi valori più grandi e più piccoli nei punti in cui la derivata prima di questa funzione non esiste e la funzione stessa è definita.

Rispondiamo subito a una delle domande più comuni su questo argomento: “È sempre possibile determinare il valore più grande (più piccolo) di una funzione”? No, non sempre. A volte i confini dell'intervallo X coincidono con i confini del dominio di definizione della funzione, oppure l'intervallo X è infinito. E alcune funzioni all'infinito e ai confini del dominio di definizione possono assumere valori sia infinitamente grandi che infinitamente piccoli. In questi casi non si può dire nulla sul valore più grande e su quello più piccolo della funzione.

Per chiarezza forniremo un'illustrazione grafica. Guarda le immagini e tutto ti sarà più chiaro.

Sul segmento

Nella prima figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno del segmento [-6;6].

Consideriamo il caso rappresentato nella seconda figura. Cambiamo il segmento in . In questo esempio, il valore più piccolo della funzione si ottiene in un punto stazionario e il più grande nel punto in cui l'ascissa corrisponde a confine destro intervallo.

Nella Figura 3, i punti di confine del segmento [-3;2] sono le ascisse dei punti corrispondenti al valore più grande e più piccolo della funzione.

Su un intervallo aperto

Nella quarta figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno dell'intervallo aperto (-6;6).

Nell'intervallo non è possibile trarre conclusioni sul valore più grande.

All'infinito

Nell'esempio presentato nella settima figura, la funzione assume il valore più grande (max y) in un punto stazionario con ascissa x=1, e il valore più piccolo (min y) viene raggiunto sul limite destro dell'intervallo. A meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3.

Nell'intervallo la funzione non raggiunge né il valore più piccolo né quello più grande. Man mano che x=2 si avvicina da destra, i valori della funzione tendono a meno infinito (la retta x=2 è asintoto verticale), e poiché l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3. Un'illustrazione grafica di questo esempio è mostrata nella Figura 8.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un segmento.

Scriviamo un algoritmo che ci permetta di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

1. Troviamo il dominio di definizione della funzione e controlliamo se contiene l'intero segmento.
2. Troviamo tutti i punti in cui non esiste la derivata prima e che sono contenuti nel segmento (solitamente tali punti si trovano nelle funzioni con argomento sotto il segno del modulo e in funzioni di potere con esponente frazionario-razionale). Se non ci sono tali punti, passa al punto successivo.
3. Determiniamo tutti i punti stazionari che rientrano nel segmento. Per fare ciò, lo equiparamo a zero, risolviamo l'equazione risultante e selezioniamo le radici adatte. Se non ci sono punti stazionari o nessuno di essi rientra nel segmento, passa al punto successivo.
4. Calcoliamo i valori della funzione nei punti stazionari selezionati (se presenti), nei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), nonché in x=a e x=b.
5. Dai valori ottenuti della funzione, selezioniamo il più grande e il più piccolo: saranno rispettivamente i valori più grande e più piccolo richiesti della funzione.

Analizziamo l'algoritmo per risolvere un esempio per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Esempio.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

• sul segmento;
• sul segmento [-4;-1] .

Soluzione.

Il dominio di definizione di una funzione è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione dello zero. Entrambi i segmenti rientrano nel dominio di definizione.

Trovare la derivata della funzione rispetto a:

Ovviamente la derivata della funzione esiste in tutti i punti dei segmenti e [-4;-1].

Determiniamo i punti stazionari dall'equazione. L'unica radice reale è x=2. Questo punto stazionario rientra nel primo segmento.

Per il primo caso calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento e nel punto stazionario, cioè per x=1, x=2 e x=4:

Pertanto, il valore massimo della funzione si ottiene con x=1 e il valore più piccolo – in x=2.

Per il secondo caso calcoliamo i valori della funzione solo agli estremi del segmento [-4;-1] (poiché non contiene un solo punto stazionario):

A volte nei problemi B15 ci sono funzioni “cattive” per le quali è difficile trovare una derivata. In precedenza, ciò accadeva solo durante i test di esempio, ma ora questi compiti sono così comuni che non possono più essere ignorati durante la preparazione al vero Esame di Stato Unificato.

In questo caso, funzionano altre tecniche, una delle quali è monotono.

Una funzione f (x) si dice monotonicamente crescente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 e x 2 di tale segmento vale quanto segue:

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Una funzione f (x) si dice monotonicamente decrescente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 e x 2 di tale segmento vale quanto segue:

x1< x 2 ⇒ f (x1) > f( x2).

In altre parole, per una funzione crescente, maggiore è x, maggiore è f(x). Per una funzione decrescente è vero il contrario: maggiore è x, maggiore è il meno f(x).

Ad esempio, il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1 e diminuisce monotonicamente se 0< a < 1. Не забывайте про область valori accettabili logaritmo: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

La radice quadrata aritmetica (e non solo quadrata) aumenta monotonicamente sull'intero dominio di definizione:

La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, funzione esponenziale definito per tutti i numeri, non solo x > 0:

f(x) = ax(a > 0)

Infine, i gradi con esponente negativo. Puoi scriverli come frazione. Hanno un punto di interruzione in cui la monotonia viene spezzata.

Tutte queste funzioni non si trovano mai in forma pura. Aggiungono polinomi, frazioni e altre sciocchezze, il che rende difficile il calcolo della derivata. Diamo un'occhiata a cosa succede in questo caso.

Coordinate del vertice della parabola

Molto spesso l'argomento della funzione viene sostituito con trinomio quadratico della forma y = ax 2 + bx + c. Il suo grafico è una parabola standard a cui siamo interessati:

1. I rami di una parabola possono salire (per a > 0) o scendere (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Il vertice di una parabola è il punto estremo di una funzione quadratica in cui questa funzione raggiunge il minimo (per a > 0) o il massimo (a< 0) значение.

Di grande interesse è vertice della parabola, la cui ascissa si calcola con la formula:

Quindi, abbiamo trovato il punto estremo della funzione quadratica. Ma se la funzione originaria è monotona, per essa anche il punto x 0 sarà un punto estremo. Formuliamo quindi la regola chiave:

Punti estremi di un trinomio quadratico e funzione complessa, in cui è incluso, coincidono. Pertanto, puoi cercare x 0 per un trinomio quadratico e dimenticare la funzione.

Dal ragionamento di cui sopra non è chiaro quale punto otteniamo: massimo o minimo. Tuttavia, i compiti sono progettati specificamente in modo che ciò non abbia importanza. Giudica tu stesso:

1. Non c'è alcun segmento nella dichiarazione del problema. Pertanto non è necessario calcolare f(a) e f(b). Resta da considerare solo i punti estremi;
2. Ma esiste solo uno di questi punti: questo è il vertice della parabola x 0, le cui coordinate sono calcolate letteralmente oralmente e senza derivate.

Pertanto, la risoluzione del problema è notevolmente semplificata e si riduce a soli due passaggi:

1. Scrivi l'equazione della parabola y = ax 2 + bx + c e trova il suo vertice utilizzando la formula: x 0 = −b /2a ;
2. Trovare a questo punto il valore della funzione originale: f (x 0). Se non ci sono condizioni aggiuntive, questa sarà la risposta.

A prima vista, questo algoritmo e la sua logica possono sembrare complessi. Non pubblico deliberatamente un diagramma della soluzione "nuda", poiché l'applicazione sconsiderata di tali regole è piena di errori.

Diamo un'occhiata ai problemi reali da prova dell'Esame di Stato Unificato in matematica: è qui che questa tecnica si trova più spesso. Allo stesso tempo, faremo in modo che in questo modo molti problemi legati alla vitamina B15 diventino quasi orali.

Sotto la radice si trova funzione quadratica y = x 2 + 6x + 13. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0.

Vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Poiché i rami della parabola sono diretti verso l'alto, nel punto x 0 = −3 la funzione y = x 2 + 6x + 13 assume il suo valore minimo.

La radice cresce in modo monotono, il che significa che x 0 è il punto minimo dell'intera funzione. Abbiamo:

Compito. Trova il valore più piccolo della funzione:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sotto il logaritmo c'è ancora una funzione quadratica: y = x 2 + 2x + 9. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto, perché a = 1 > 0.

Vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Quindi nel punto x 0 = −1 la funzione quadratica assume il suo valore minimo. Ma la funzione y = log 2 x è monotona, quindi:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

L'esponente contiene la funzione quadratica y = 1 − 4x − x 2 . Riscriviamolo in forma normale: y = −x 2 − 4x + 1.

Ovviamente, il grafico di questa funzione è una parabola, ramificata (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

La funzione originale è esponenziale, è monotona, quindi il valore maggiore sarà nel punto trovato x 0 = −2:

Un lettore attento noterà probabilmente che non abbiamo scritto l'intervallo di valori consentiti della radice e del logaritmo. Ma questo non era richiesto: al suo interno ci sono funzioni i cui valori sono sempre positivi.

Corollari dal dominio di una funzione

A volte trovare semplicemente il vertice della parabola non è sufficiente per risolvere il problema B15. Il valore che stai cercando potrebbe mentire alla fine del segmento, e per niente al punto estremo. Se il problema non indica affatto un segmento, guarda intervallo di valori accettabili funzione originaria. Vale a dire:

Nota ancora: lo zero può benissimo trovarsi sotto la radice, ma mai nel logaritmo o nel denominatore di una frazione. Vediamo come funziona con esempi specifici:

Compito. Trova il valore più grande della funzione:

Sotto la radice c'è ancora una funzione quadratica: y = 3 − 2x − x 2 . Il suo grafico è una parabola, ma si ramifica perché a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Radice quadrata di un numero negativo non esiste.

Scriviamo l'intervallo di valori consentiti (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Ora troviamo il vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Il punto x 0 = −1 appartiene al segmento ODZ - e questo è positivo. Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto x 0, così come alle estremità dell'ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Quindi, abbiamo i numeri 2 e 0. Ci viene chiesto di trovare il più grande: questo è il numero 2.

Compito. Trova il valore più piccolo della funzione:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

All'interno del logaritmo c'è una funzione quadratica y = 6x − x 2 − 5. Questa è una parabola con i rami verso il basso, ma in un logaritmo non può esserci numeri negativi, quindi scriviamo l'ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Nota: la disuguaglianza è rigorosa, quindi le estremità non appartengono all'ODZ. Ciò differisce il logaritmo dalla radice, dove le estremità del segmento ci si adattano abbastanza bene.

Cerchiamo il vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Il vertice della parabola si adatta secondo l'ODZ: ​​x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ma poiché non ci interessano gli estremi del segmento, calcoliamo il valore della funzione solo nel punto x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Piccola e carina compito semplice dalla categoria di quelli che servono da salvagente per uno studente galleggiante. È metà luglio nella natura, quindi è ora di sistemarsi con il laptop in spiaggia. Al mattino presto ha cominciato a suonare il raggio di sole della teoria, per poi concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la dichiarata facilità, contiene schegge di vetro nella sabbia. A questo proposito vi consiglio di considerare coscienziosamente i pochi esempi di questa pagina. Per risolvere problemi pratici devi essere in grado di farlo trovare le derivate e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonicità ed estremi della funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. Nella lezione su continuità della funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Il comportamento esemplificativo di una funzione su un segmento è formulato in modo simile. Una funzione è continua su un intervallo se:

1) è continua nell'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Nel secondo paragrafo abbiamo parlato del cosiddetto continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci per definirlo, ma mi atterrò alla linea che ho iniziato prima:

La funzione è continua nel punto sulla destra, se è definita in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . In questo punto è continuo Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro uguale al valore a questo punto:

Immagina che i punti verdi siano chiodi a cui è attaccato un elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato– una staccionata in alto, una staccionata in basso, e il nostro prodotto pascola nel paddock. Così, su di esso è limitata una funzione continua su un intervallo. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato. Primo teorema di Weierstrass....Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente giustificate in matematica, ma questo ha un significato importante. Supponiamo che un certo abitante del Medioevo abbia tirato un grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto ovvia! Davvero, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede una prova =)

Secondo Secondo teorema di Weierstrass, continua su un segmentola funzione raggiunge il suo limite superiore esatto e la vostra bordo inferiore esatto .

Viene anche chiamato il numero il valore massimo della funzione sul segmento e sono indicati da , e il numero è il valore minimo della funzione sul segmento segnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, le registrazioni sono comuni .

In parole povere, il valore più grande è dove c'è di più punto più alto grafica e il più piccolo è dove si trova il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, massimo valore della funzione E valore della funzione più piccolo – NON LO STESSO, Che cosa massima funzione E funzione minima. Quindi, nell'esempio in esame, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede fuori dal segmento? Sì, anche un'alluvione, nel contesto del problema in esame, questo non ci interessa affatto. Il compito prevede solo di trovare due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi non c'è bisogno di fare un disegno!

L'algoritmo si trova in superficie e si suggerisce dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Prendi un altro bonus: qui non c'è bisogno di verificare la condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non garantisce ancora, qual è il valore minimo o massimo. La funzione dimostrativa raggiunge il massimo e, per volontà del destino, lo stesso numero è il valore più grande della funzione sul segmento. Ma, ovviamente, una tale coincidenza non si verifica sempre.

Quindi, nel primo passaggio, è più semplice e veloce calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se contengono estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori delle funzioni presenti nel 1° e 2° paragrafo, selezionare il più piccolo e il più gran numero, scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva mare blu e colpiamo coi talloni l'acqua bassa:

Esempio 1

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento

Soluzione:
1) Calcoliamo i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Risultati “in grassetto” sono stati ottenuti con esponenti e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo armiamoci di calcolatrice o di Excel e calcoliamo valori approssimativi, senza dimenticare che:

Adesso è tutto chiaro.

Risposta:

Istanza frazionaria-razionale per soluzione indipendente:

Esempio 6

Trova i valori massimo e minimo di una funzione su un segmento

Cos'è l'estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?

L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo della funzione.

Prerequisito Il massimo e il minimo (estremo) di una funzione sono i seguenti: se la funzione f(x) ha un estremo nel punto x = a, allora in questo punto la derivata o è zero, o infinita, oppure non esiste.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può andare a zero, all'infinito o non esistere senza che la funzione abbia un estremo in questo punto.

Qual è la condizione sufficiente per l'estremo di una funzione (massimo o minimo)?

Prima condizione:

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha massimo

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha minimo a condizione che la funzione f(x) qui sia continua.

Invece, puoi utilizzare la seconda condizione sufficiente per l'estremo di una funzione:

Sia nel punto x = a nulla la derivata prima f?(x); se la derivata seconda f??(a) è negativa, allora la funzione f(x) ha massimo nel punto x = a, se è positiva, allora ha minimo.

Qual è il punto critico di una funzione e come trovarlo?

Questo è il valore dell'argomento della funzione in corrispondenza del quale la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo è necessario trova la derivata funzione f?(x) e, uguagliandola a zero, risolvere l'equazione f?(x) = 0. Le radici di questa equazione, così come i punti in cui la derivata di questa funzione non esiste, sono punti critici, cioè valori dell'argomento in cui può esserci un estremo. Possono essere facilmente identificati guardando grafico derivato: ci interessano quei valori dell'argomento in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui il grafico subisce delle discontinuità.

Ad esempio, troviamo estremo di una parabola.

Funzione y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivata della funzione: y?(x) = 6x + 2

Risolvi l'equazione: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In questo caso il punto critico è x0=-1/3. È con questo valore di argomento che ha la funzione estremo. A lui Trovare, sostituire il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?

Se il segno della derivata passando per il punto critico x0 cambia da “più” a “meno”, allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 lo è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è né massimo né minimo.

Per l'esempio considerato:

Prendi un valore di argomento arbitrario a sinistra di punto critico: x = -1

A x = -1, il valore della derivata sarà y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ovvero il segno è “meno”).

Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1

A x = 1, il valore della derivata sarà y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (cioè il segno è “più”).

Come puoi vedere, la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto critico. Ciò significa che al valore critico x0 abbiamo un punto di minimo.

Valore massimo e minimo di una funzione sull'intervallo(su un segmento) vengono trovati utilizzando la stessa procedura, tenendo solo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici si troveranno all'interno dell'intervallo specificato. Quei punti critici che sono al di fuori dell'intervallo devono essere esclusi dalla considerazione. Se c'è un solo punto critico all'interno dell'intervallo, avrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori più grandi e più piccoli della funzione, prendiamo in considerazione anche i valori della funzione agli estremi dell'intervallo.

Ad esempio, troviamo i valori più grandi e più piccoli della funzione

y(x) = 3sen(x) - 0,5x

ad intervalli:

Quindi, la derivata della funzione è

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Risolviamo l'equazione 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arcos(0,16667) + 2πk.

Troviamo punti critici sull'intervallo [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (non incluso nell'intervallo)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arcocos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arcocos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (non incluso nell'intervallo)

Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Si può vedere che nell'intervallo [-9; 9] la funzione ha il valore massimo in x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e il più piccolo - in x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4,88. Il valore della funzione in x = -4,88 è uguale a y = 5,398.

Trova il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore massimo della funzione

y = 5,398 a x = -4,88

valore più piccolo -

y = 1.077 in x = -3

Come trovare i punti di flesso di un grafico di funzione e determinare i lati convessi e concavi?

Per trovare tutti i punti di flesso della retta y = f(x), è necessario trovare la derivata seconda, eguagliarla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per i quali la derivata seconda è zero, infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione in questo punto presenta un'inflessione. Se non cambia, allora non c’è alcuna curvatura.

Le radici dell'equazione f? (x) = 0, così come eventuali punti di discontinuità della funzione e della derivata seconda, dividono il dominio di definizione della funzione in più intervalli. La convessità su ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo studiato è positiva, allora la linea y = f(x) è concava verso l'alto e, se negativa, verso il basso.

Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?

Per trovare gli estremi della funzione f(x,y), differenziabili nel dominio della sua specificazione, occorre:

1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) per ogni punto critico P0(a;b) verificare se il segno della differenza rimane invariato

per tutti i punti (x;y) sufficientemente vicini a P0. Se la differenza rimane positiva, allora nel punto P0 avremo un minimo, se negativa avremo un massimo. Se la differenza non mantiene il segno, nel punto P0 non vi è alcun estremo.

Gli estremi della funzione sono determinati in modo simile per Di più argomenti.