piccola e carina compito semplice dalla categoria di quelli che servono da ancora di salvezza per uno studente galleggiante. In natura, il sonnolento regno di metà luglio, quindi è ora di sistemarsi con un laptop sulla spiaggia. Al mattino presto, un raggio di sole della teoria ha giocato per concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la sua dichiarata leggerezza, contiene frammenti di vetro nella sabbia. A questo proposito, consiglio di considerare coscienziosamente alcuni esempi di questa pagina. Per risolvere compiti pratici, devi essere in grado di farlo trovare derivati e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonia ed estremi di una funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. In una lezione su continuità di funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Il comportamento esemplare di una funzione su un segmento è formulato in modo simile. Una funzione è continua su un segmento se:

1) è continua sull'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Il secondo paragrafo tratta del cd continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci alla sua definizione, ma mi atterrò alla linea iniziata in precedenza:

La funzione è continua in un punto sulla destra, se è definito in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . È continuo nel punto Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro è uguale al valore a questo punto:

Immagina che i punti verdi siano i chiodi su cui è attaccato l'elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato- una siepe sopra, una siepe sotto e il nostro prodotto pascola in un paddock. Così, una funzione continua su un segmento è limitata su di esso. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato Primo teorema di Weierstrass.… Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente fondate in matematica, ma questo ha un significato importante. Supponiamo che un certo abitante del medioevo terry abbia tirato il grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto scontata! In effetti, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta che la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede prove =)

Secondo secondo teorema di Weierstrass, continuo sul segmentola funzione raggiunge il suo bordo superiore esatto e il suo bordo inferiore esatto .

Il numero è anche chiamato il valore massimo della funzione sul segmento e denotato da , e il numero - il valore minimo della funzione sul segmento contrassegnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, i record sono comuni .

In parole povere, valore più alto si trova dove il punto alto grafica e il più piccolo - dov'è il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, il valore massimo della funzione E valore minimo della funzione – NON LO STESSO, Che cosa funzione massima E funzione minima. Quindi, in questo esempio, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede al di fuori del segmento? Sì, anche l'alluvione, nell'ambito del problema in esame, questo non ci interessa affatto. L'attività consiste nel trovare solo due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi, non c'è bisogno di disegnare!

L'algoritmo giace in superficie e suggerisce se stesso dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Cattura un'altra chicca: non è necessario verificare una condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non ancora garantito qual è il valore minimo o massimo. La funzione di dimostrazione raggiunge il suo massimo e, per volontà del destino, lo stesso numero è il valore più grande della funzione sull'intervallo . Ma, naturalmente, una tale coincidenza non sempre avviene.

Quindi, al primo passaggio, è più veloce e più facile calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se hanno estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori della funzione trovati nel 1° e 2° paragrafo, selezioniamo il più piccolo e il più grande numero, scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva mare blu e colpisci i talloni in acque poco profonde:

Esempio 1

Trova il più grande e valore più piccolo funzioni sull'intervallo

Soluzione:
1) Calcola i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcola i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Sono stati ottenuti risultati "audaci" con esponenziali e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo ci armeremo di calcolatrice o Excel e calcoleremo i valori approssimativi, non dimenticando che:

Ora è tutto chiaro.

Risposta:

Istanza frazionaria-razionale per soluzione indipendente:

Esempio 6

Trova i valori massimo e minimo di una funzione su un segmento

Il valore massimo e minimo della funzione

Il valore più grande di una funzione è chiamato il più grande, il valore più piccolo è il più piccolo di tutti i suoi valori.

Una funzione può avere un solo valore massimo e un solo valore minimo oppure può non averne affatto. Trovare i valori più grandi e più piccoli funzioni continue si basa sulle seguenti proprietà di queste funzioni:

1) Se in qualche intervallo (finito o infinito) la funzione y=f(x) è continua e ha un solo estremo, e se questo è il massimo (minimo), allora sarà il valore più grande (più piccolo) della funzione in questo intervallo.

2) Se la funzione f(x) è continua su un segmento , allora ha necessariamente i valori più grandi e più piccoli su questo segmento. Questi valori vengono raggiunti o nei punti estremi che si trovano all'interno del segmento o ai confini di questo segmento.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli sul segmento, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1. Trova la derivata.

2. Trova i punti critici della funzione dove =0 o non esiste.

3. Trova i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento e scegli da essi il più grande f max e il più piccolo f min.

Quando si risolvono problemi applicati, in particolare problemi di ottimizzazione, sono importanti i problemi di trovare i valori più grandi e più piccoli (massimo globale e minimo globale) di una funzione sull'intervallo X. Per risolvere tali problemi, si dovrebbe, in base alla condizione , scegli una variabile indipendente ed esprimi il valore in esame attraverso questa variabile. Quindi trova il valore massimo o minimo desiderato della funzione risultante. In questo caso, anche l'intervallo di cambiamento della variabile indipendente, che può essere finito o infinito, è determinato dalla condizione del problema.

Esempio. La vasca, che ha la forma di un parallelepipedo rettangolare con fondo quadrato, aperta superiormente, deve essere stagnata all'interno con stagno. Quali dovrebbero essere le dimensioni del serbatoio con una capacità di 108 litri. acqua in modo che il costo della sua stagnatura sia minimo?

Soluzione. Il costo del rivestimento del serbatoio con stagno sarà il più basso se, per una data capacità, la sua superficie è minima. Indica con a dm - il lato della base, b dm - l'altezza del serbatoio. Quindi l'area S della sua superficie è uguale a

E

La relazione risultante stabilisce la relazione tra la superficie del serbatoio S (funzione) e il lato della base a (argomento). Studiamo la funzione S per un estremo. Trova la derivata prima, equiparala a zero e risolvi l'equazione risultante:

Quindi a = 6. (a) > 0 per a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Esempio. Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione nel mezzo.

Soluzione: Imposta funzione continua su tutta la retta dei numeri. Derivata di funzioni

Derivato a e a . Calcoliamo i valori della funzione in questi punti:

.

I valori della funzione alle estremità dell'intervallo dato sono uguali a . Pertanto, il valore più grande della funzione è a , il valore più piccolo della funzione è a .

Domande per l'autoesame

1. Formulare la regola de L'Hopital per la rivelazione delle incertezze della forma. Elenca i diversi tipi di incertezza per i quali può essere utilizzata la regola di L'Hospital.

2. Formulare segni di funzione crescente e decrescente.

3. Definire il massimo e il minimo di una funzione.

4. Formulare condizione necessaria l'esistenza di un estremo.

5. Quali valori dell'argomento (quali punti) sono chiamati critici? Come trovare questi punti?

6. Quali sono segni sufficienti dell'esistenza di un estremo di una funzione? Delineare uno schema per lo studio di una funzione per un estremo utilizzando la derivata prima.

7. Delineare lo schema per lo studio della funzione per un estremo utilizzando la derivata seconda.

8. Definire la convessità, la concavità di una curva.

9. Qual è il punto di flesso di un grafico di funzione? Specificare come trovare questi punti.

10. Formulare i segni necessari e sufficienti di convessità e concavità della curva su un dato segmento.

11. Definire l'asintoto della curva. Come trovare gli asintoti verticale, orizzontale e obliquo di un grafico di funzione?

12. Stato schema generale studio della funzione e costruzione del suo grafico.

13. Formulare una regola per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un dato intervallo.

Il processo di ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione su un segmento ricorda un affascinante volo attorno a un oggetto (un grafico di una funzione) su un elicottero con spari da un cannone a lungo raggio in determinati punti e scegliendo tra questi punti punti molto speciali per i tiri di controllo. I punti sono scelti in un certo modo e secondo certe regole. Con quali regole? Ne parleremo ulteriormente.

Se la funzione si = F(X) continuo sul segmento [ UN, B] , quindi raggiunge questo segmento meno E valori più alti . Questo può accadere in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno E i valori più grandi della funzione , continua sul segmento [ UN, B] , è necessario calcolare i suoi valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli il più piccolo e il più grande di essi.

Lascia, ad esempio, è necessario determinare il valore massimo della funzione F(X) sul segmento [ UN, B] . Per fare questo, trova tutti i suoi punti critici che giacciono su [ UN, B] .

punto critico è chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivatoè zero o non esiste. Quindi dovresti calcolare i valori della funzione nei punti critici. E, infine, si dovrebbero confrontare i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento ( F(UN) E F(B)). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sull'intervallo [UN, B] .

Il problema del ritrovamento i valori più piccoli della funzione .

Stiamo cercando insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 2] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione. Uguagliare la derivata a zero () e ottenere due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori agli estremi del segmento e nel punto, poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2] . Questi valori di funzione sono i seguenti: , , . Ne consegue che valore minimo della funzione(segnato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si raggiunge all'estremità destra del segmento - nel punto , e più grande(anche rosso sul grafico), è pari a 9, - nel punto critico .

Se la funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, per esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti di confine dell'intervallo non sono inclusi nell'intervallo, ma il i punti di confine del segmento sono inclusi nel segmento), quindi tra i valori della funzione potrebbero non esserci il più piccolo e il più grande. Quindi, ad esempio, la funzione rappresentata nella figura seguente è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore più grande.

Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.

Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:

.

Uguagliamo la derivata a zero, che ci dà uno punto critico: . Appartiene all'intervallo [-1, 3] . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e il maggior valore uguale a 1 nel punto .

Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Ci sono insegnanti che, in tema di trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi più complicati di quelli appena considerati, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o una frazione, il numeratore e denominatore dei quali sono polinomi. Ma non ci limiteremo a tali esempi, poiché tra gli insegnanti ci sono amanti del far riflettere gli studenti per intero (tabella delle derivate). Pertanto, verranno utilizzati il ​​logaritmo e la funzione trigonometrica.

Esempio 6. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :

Uguagliamo la derivata a zero, che dà un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Il risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, in un punto e in un punto e il maggior valore uguale a e² , al punto .

Esempio 7. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione:

Uguaglia la derivata a zero:

L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , nel punto e il maggior valore, uguale a , al punto .

Nei problemi estremi applicati, trovare i valori di funzione più piccoli (più grandi), di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi stessi che sono di maggiore interesse pratico, ma i valori dell'argomento in cui vengono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: la compilazione di funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.

Esempio 8 Deve essere stagnato un recipiente della capacità di 4 persone, avente la forma di un parallelepipedo a base quadrata e aperto nella parte superiore. Quali devono essere le dimensioni del serbatoio per ricoprirlo con la minor quantità di materiale?

Soluzione. Permettere X- lato base H- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, v- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula , i.e. è una funzione di due variabili. Esprimere S come funzione di una variabile, usiamo il fatto che , donde . Sostituzione dell'espressione trovata H nella formula per S:

Esaminiamo questa funzione per un estremo. È definito e derivabile ovunque in ]0, +∞[ , and

.

Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, in , la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto di estremo. Quindi, - l'unico punto critico. Verifichiamolo per la presenza di un estremo usando il secondo criterio sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge un minimo . Perchè questo minimo - l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere uguale a 2 me la sua altezza.

Esempio 9 Dal paragrafo UN, situato sulla linea ferroviaria, al punto CON, a distanza da esso l, le merci devono essere trasportate. Il costo del trasporto di un'unità di peso per unità di distanza su rotaia è pari a , e su autostrada è pari a . Fino a che punto M linee ferrovia dovrebbe essere costruita un'autostrada in modo che il trasporto di merci da UN v CON era il più economico AB si presume che la ferrovia sia diritta)?

Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?

Per questo seguiamo il noto algoritmo:

1 . Troviamo le funzioni ODZ.

2 . Trovare la derivata di una funzione

3 . Uguaglia la derivata a zero

4 . Troviamo gli intervalli in cui la derivata mantiene il suo segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:

Se sull'intervallo I la derivata della funzione 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.

Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.

5 . Noi troviamo punti di massimo e minimo della funzione.

IN la funzione punto massimo, la derivata cambia segno da "+" a "-".

IN punto di minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".

6 . Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,

• quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande di essi se devi trovare il valore più grande della funzione
• oppure confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti di minimo, e scegli il più piccolo se devi trovare il valore più piccolo della funzione

Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sull'intervallo, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.

Considera la funzione . Il grafico di questa funzione si presenta così:

Consideriamo diversi esempi di risoluzione dei problemi da Open Task Bank per

1 . Compito B15 (#26695)

Sul taglio.

1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Pertanto, la funzione aumenta e assume il valore più grande all'estremità destra dell'intervallo, ovvero in x=0.

Risposta: 5.

2 . Attività B15 (n. 26702)

Trova il valore più grande di una funzione sul segmento.

Funzione 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivata è nulla in , tuttavia in questi punti non cambia segno:

Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .

Per chiarire perché la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione per la derivata come segue:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Risposta: 5.

3 . Compito B15 (#26708)

Trova il valore più piccolo della funzione sull'intervallo .

1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Poniamo le radici di questa equazione su un cerchio trigonometrico.

L'intervallo contiene due numeri: e

Mettiamo i cartelli. Per fare ciò, determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: . Passando per i punti e la derivata cambia segno.

Rappresentiamo il cambio di segno della derivata della funzione sulla linea delle coordinate:

Ovviamente il punto è un punto di minimo (dove la derivata cambia segno da "-" a "+"), e per trovare il valore più piccolo della funzione sull'intervallo, bisogna confrontare i valori della funzione nel punto di minimo e all'estremità sinistra del segmento, .

L'algoritmo standard per risolvere tali compiti prevede, dopo aver trovato gli zeri della funzione, la determinazione dei segni della derivata sugli intervalli. Quindi il calcolo dei valori nei punti trovati del massimo (o minimo) e al confine dell'intervallo, a seconda di quale domanda si trova nella condizione.

Ti consiglio di fare le cose in modo leggermente diverso. Perché? Ne ho scritto.

Propongo di risolvere tali compiti come segue:

1. Trova la derivata.
2. Trova gli zeri della derivata.
3. Determina quali di essi appartengono all'intervallo dato.
4. Calcoliamo i valori della funzione sui limiti dell'intervallo e dei punti dell'articolo 3.
5. Traiamo una conclusione (rispondiamo alla domanda posta).

Nel corso della risoluzione degli esempi presentati, la soluzione non è stata considerata in dettaglio. equazioni quadratiche, dovresti essere in grado di farlo. Dovrebbero anche saperlo.

Considera esempi:

77422. Trova il valore più grande della funzione y=x 3 –3x+4 sul segmento [–2;0].

Troviamo gli zeri della derivata:

Il punto x = –1 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Calcoliamo i valori della funzione nei punti –2, –1 e 0:

Il valore più grande della funzione è 6.

Risposta: 6

77425. Trova il valore più piccolo della funzione y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 sul segmento.

Trova la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata:

Il punto x = 2 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Calcoliamo i valori della funzione ai punti 1, 2 e 4:

Il valore più piccolo della funzione è -2.

Risposta: -2

77426. Trova il valore più grande della funzione y \u003d x 3 - 6x 2 sul segmento [-3; 3].

Trova la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata:

Il punto x = 0 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Calcoliamo i valori della funzione nei punti –3, 0 e 3:

Il valore più piccolo della funzione è 0.

Risposta: 0

77429. Trova il valore più piccolo della funzione y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 sul segmento.

Trova la derivata della funzione data:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Otteniamo le radici: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Solo x = 1 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Trova i valori della funzione ai punti 1 e 4:

Abbiamo scoperto che il valore più piccolo della funzione è 3.

Risposta: 3

77430. Trova il valore più grande della funzione y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 sul segmento [- 4; -1].

Trova la derivata della funzione data:

Trova gli zeri della derivata, risolvi l'equazione quadratica:

3x2 + 4x + 1 = 0

Prendiamo le radici:

La radice х = –1 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Trova i valori della funzione nei punti –4, –1, –1/3 e 1:

Abbiamo scoperto che il valore più grande della funzione è 3.

Risposta: 3

77433. Trova il valore più piccolo della funzione y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 sul segmento.

Trova la derivata della funzione data:

Trova gli zeri della derivata, risolvi l'equazione quadratica:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Prendiamo le radici:

La radice x = 4 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Troviamo i valori della funzione ai punti 0 e 4:

Abbiamo scoperto che il valore più piccolo della funzione è -109.

Risposta: -109

Considera un metodo per determinare i valori più grandi e più piccoli delle funzioni senza una derivata. Questo approccio può essere utilizzato se con la definizione della derivata che hai grossi problemi. Il principio è semplice: sostituiamo tutti i valori interi dall'intervallo nella funzione (il fatto è che in tutti questi prototipi la risposta è un numero intero).

77437. Trova il valore più piccolo della funzione y \u003d 7 + 12x - x 3 sul segmento [-2; 2].

Sostituiamo i punti da -2 a 2: Visualizza la soluzione

77434. Trova il valore più grande della funzione y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 sul segmento [-2; 0].

È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

PS: ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.