Piccola e carina compito semplice dalla categoria di quelli che servono da salvagente per uno studente galleggiante. È metà luglio nella natura, quindi è ora di sistemarsi con il laptop in spiaggia. Al mattino presto ha cominciato a suonare il raggio di sole della teoria, per poi concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la dichiarata facilità, contiene schegge di vetro nella sabbia. A questo proposito vi consiglio di considerare coscienziosamente i pochi esempi di questa pagina. Per risolvere problemi pratici devi essere in grado di farlo trovare le derivate e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonicità ed estremi della funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. Nella lezione su continuità della funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Il comportamento esemplificativo di una funzione su un segmento è formulato in modo simile. Una funzione è continua su un intervallo se:

1) è continua nell'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Nel secondo paragrafo abbiamo parlato del cosiddetto continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci per definirlo, ma mi atterrò alla linea che ho iniziato prima:

La funzione è continua nel punto sulla destra, se è definita in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . In questo punto è continuo Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro uguale al valore a questo punto:

Immagina che i punti verdi siano chiodi a cui è attaccato un elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato– una staccionata in alto, una staccionata in basso, e il nostro prodotto pascola nel paddock. Così, su di esso è limitata una funzione continua su un intervallo. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato. Primo teorema di Weierstrass....Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente giustificate in matematica, ma questo ha un significato importante. Supponiamo che un certo abitante del Medioevo abbia tirato un grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto ovvia! Davvero, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede una prova =)

Secondo Secondo teorema di Weierstrass, continua su un segmentola funzione raggiunge il suo limite superiore esatto e la vostra bordo inferiore esatto .

Viene anche chiamato il numero il valore massimo della funzione sul segmento e sono indicati da , e il numero è il valore minimo della funzione sul segmento segnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, le registrazioni sono comuni .

In parole povere, valore più alto si trova dove più punto più alto grafica e il più piccolo è dove si trova il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, massimo valore della funzione E valore della funzione più piccolo – NON LO STESSO, Che cosa massima funzione E funzione minima. Quindi, nell'esempio in esame, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede fuori dal segmento? Sì, anche un'alluvione, nel contesto del problema in esame, questo non ci interessa affatto. Il compito prevede solo di trovare due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi non c'è bisogno di fare un disegno!

L'algoritmo si trova in superficie e si suggerisce dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Prendi un altro bonus: qui non c'è bisogno di verificare la condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non garantisce ancora, qual è il valore minimo o massimo. La funzione dimostrativa raggiunge il massimo e, per volontà del destino, lo stesso numero è il valore più grande della funzione sul segmento. Ma, ovviamente, una tale coincidenza non si verifica sempre.

Quindi, nel primo passaggio, è più semplice e veloce calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se contengono estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori delle funzioni presenti nel 1° e 2° paragrafo, selezionare il più piccolo e il più gran numero, scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva mare blu e colpiamo coi talloni l'acqua bassa:

Esempio 1

Trova il più grande e valore più piccolo funziona su un intervallo

Soluzione:
1) Calcoliamo i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Risultati “in grassetto” sono stati ottenuti con esponenti e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo armiamoci di calcolatrice o di Excel e calcoliamo valori approssimativi, senza dimenticare che:

Adesso è tutto chiaro.

Risposta:

Istanza frazionaria-razionale per soluzione indipendente:

Esempio 6

Trova i valori massimo e minimo di una funzione su un segmento

Sia la funzione $z=f(x,y)$ definita e continua in qualche limite zona chiusa$D$. Sia la funzione data in questa regione ad avere derivate parziali finite del primo ordine (tranne, forse, per un numero finito di punti). Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una data regione chiusa, sono necessari tre passaggi di un semplice algoritmo.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=f(x,y)$ in un dominio chiuso $D$.

1. Trovare i punti critici della funzione $z=f(x,y)$ appartenente al dominio $D$. Calcolare i valori della funzione nei punti critici.
2. Investigare il comportamento della funzione $z=f(x,y)$ sul confine della regione $D$, trovando i punti dei possibili valori massimo e minimo. Calcolare i valori della funzione nei punti ottenuti.
3. Dai valori della funzione ottenuti nei due paragrafi precedenti, seleziona il più grande e il più piccolo.

Quali sono i punti critici? mostra nascondi

Sotto punti critici implicano punti in cui entrambe le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero (cioè $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o almeno una derivata parziale non esiste.

Spesso vengono chiamati i punti in cui le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero punti stazionari. Pertanto, i punti stazionari sono un sottoinsieme dei punti critici.

Esempio n. 1

Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in una regione chiusa, limitato da linee$x=3$, $y=0$ e $y=x+1$.

Seguiremo quanto sopra, ma prima ci occuperemo del disegno di una determinata area, che indicheremo con la lettera $D$. Ci viene dato equazioni di tre linee rette che delimitano quest'area. Per il punto $(3;0)$ passa la retta $x=3$ parallela all'asse delle ordinate (asse Oy). La retta $y=0$ è l'equazione dell'asse delle ascisse (asse Ox). Bene, per costruire la linea $y=x+1$, troveremo due punti attraverso i quali tracceremo questa linea. Ovviamente puoi sostituire un paio di valori arbitrari invece di $x$. Ad esempio, sostituendo $x=10$, otteniamo: $y=x+1=10+1=11$. Abbiamo trovato il punto $(10;11)$ che giace sulla retta $y=x+1$. Tuttavia è meglio trovare i punti in cui la retta $y=x+1$ interseca le linee $x=3$ e $y=0$. Perché è meglio? Perché prenderemo un paio di piccioni con una fava: otterremo due punti per costruire la retta $y=x+1$ e contemporaneamente scopriremo in quali punti questa retta interseca altre rette che delimitano l'area data. La linea $y=x+1$ interseca la linea $x=3$ nel punto $(3;4)$ e la linea $y=0$ interseca nel punto $(-1;0)$. Per non ingombrare il progresso della soluzione con spiegazioni ausiliarie, porrò in una nota la questione di come ottenere questi due punti.

Come sono stati ottenuti i punti $(3;4)$ e $(-1;0)$? mostra nascondi

Partiamo dal punto di intersezione delle linee $y=x+1$ e $x=3$. Le coordinate del punto desiderato appartengono sia alla prima che alla seconda retta, quindi per trovare le coordinate incognite è necessario risolvere il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

La soluzione a un tale sistema è banale: sostituendo $x=3$ nella prima equazione avremo: $y=3+1=4$. Il punto $(3;4)$ è il punto di intersezione desiderato delle linee $y=x+1$ e $x=3$.

Ora troviamo il punto di intersezione delle linee $y=x+1$ e $y=0$. Componiamo e risolviamo nuovamente il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Sostituendo $y=0$ nella prima equazione, otteniamo: $0=x+1$, $x=-1$. Il punto $(-1;0)$ è il punto di intersezione desiderato delle linee $y=x+1$ e $y=0$ (asse x).

Tutto è pronto per costruire un disegno che sarà simile a questo:

La questione della nota sembra ovvia, perché nella foto è tutto visibile. Tuttavia, vale la pena ricordare che un disegno non può fungere da prova. Il disegno è solo a scopo illustrativo.

La nostra area è stata definita utilizzando equazioni lineari che la delimitavano. Ovviamente, queste linee definiscono un triangolo, giusto? Oppure non è del tutto evidente? O forse ci viene assegnata un'area diversa, delimitata dalle stesse linee:

Naturalmente la condizione indica che l'area è chiusa, quindi l'immagine mostrata non è corretta. Ma per evitare tali ambiguità, è meglio definire le regioni in base alle disuguaglianze. A noi interessa la parte del piano situata sotto la retta $y=x+1$? Ok, quindi $y ≤ x+1$. La nostra area dovrebbe trovarsi sopra la linea $y=0$? Ottimo, ciò significa $y ≥ 0$. A proposito, le ultime due disuguaglianze possono essere facilmente combinate in una sola: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Queste disuguaglianze definiscono la regione $D$ e la definiscono in modo inequivocabile, senza consentire alcuna ambiguità. Ma come ci aiuta questo rispetto alla domanda posta all’inizio della nota? Aiuterà anche :) Dobbiamo verificare se il punto $M_1(1;1)$ appartiene all'area $D$. Sostituiamo $x=1$ e $y=1$ nel sistema di disuguaglianze che definiscono questa regione. Se entrambe le disuguaglianze sono soddisfatte, il punto si trova all’interno della regione. Se almeno una delle disuguaglianze non è soddisfatta, il punto non appartiene alla regione. COSÌ:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(allineato) \right.$$

Entrambe le disuguaglianze sono valide. Il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$.

Ora è il momento di studiare il comportamento della funzione al confine della regione, cioè andiamo a . Cominciamo con la retta $y=0$.

La retta $y=0$ (asse delle ascisse) delimita la regione $D$ nella condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituiamo $y=0$ nella funzione data $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Indichiamo la funzione di una variabile $x$ ottenuta come risultato della sostituzione come $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ora per la funzione $f_1(x)$ dobbiamo trovare il valore più grande e quello più piccolo nell'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Troviamo la derivata di questa funzione e uguagliamola a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Il valore $x=2$ appartiene al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, quindi aggiungeremo anche $M_2(2;0)$ alla lista dei punti. Inoltre, calcoliamo i valori della funzione $z$ agli estremi del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè nei punti $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A proposito, se il punto $M_2$ non appartenesse al segmento in esame, ovviamente non ci sarebbe bisogno di calcolare il valore della funzione $z$ al suo interno.

Calcoliamo quindi i valori della funzione $z$ nei punti $M_2$, $M_3$, $M_4$. Ovviamente puoi sostituire le coordinate di questi punti nell'espressione originale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ad esempio, per il punto $M_2$ otteniamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tuttavia i calcoli possono essere un po’ semplificati. Per fare ciò è bene ricordare che sul segmento $M_3M_4$ abbiamo $z(x,y)=f_1(x)$. Lo scrivo in dettaglio:

\begin(allineato) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunto 3=-3. \end(allineato)

Naturalmente, di solito non sono necessarie registrazioni così dettagliate e in futuro annoteremo brevemente tutti i calcoli:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Passiamo ora alla retta $x=3$. Questa retta delimita la regione $D$ sotto la condizione $0 ≤ y ≤ 4$. Sostituiamo $x=3$ nella funzione data $z$. Come risultato di questa sostituzione otteniamo la funzione $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Per la funzione $f_2(y)$ dobbiamo trovare il valore più grande e quello più piccolo nell'intervallo $0 ≤ y ≤ 4$. Troviamo la derivata di questa funzione e uguagliamola a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Il valore $y=3$ appartiene al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, quindi aggiungeremo anche $M_5(3;3)$ ai punti precedentemente trovati. Inoltre è necessario calcolare il valore della funzione $z$ nei punti agli estremi del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, cioè nei punti $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. Nel punto $M_4(3;0)$ abbiamo già calcolato il valore di $z$. Calcoliamo il valore della funzione $z$ nei punti $M_5$ e $M_6$. Ti ricordo che sul segmento $M_4M_6$ abbiamo $z(x,y)=f_2(y)$, quindi:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(allineato)

E infine, consideriamo l'ultimo confine della regione $D$, cioè retta $y=x+1$. Questa retta delimita la regione $D$ sotto la condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituendo $y=x+1$ nella funzione $z$, avremo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ancora una volta abbiamo una funzione di una variabile $x$. E ancora dobbiamo trovare i valori più grande e più piccolo di questa funzione sull'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Troviamo la derivata della funzione $f_(3)(x)$ e uguagliamola a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Il valore $x=1$ appartiene all'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, allora $y=x+1=2$. Aggiungiamo $M_7(1;2)$ all'elenco dei punti e scopriamo qual è il valore della funzione $z$ a questo punto. Punti alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè punti $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ sono stati considerati in precedenza, in essi abbiamo già trovato il valore della funzione.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Il secondo passaggio della soluzione è completato. Abbiamo ricevuto sette valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Passiamo a. Scegliendo il valore più grande e quello più piccolo tra i numeri ottenuti nel terzo paragrafo, avremo:

$$z_(min)=-4; \; z_(massimo)=6.$$

Il problema è risolto, non resta che scrivere la risposta.

Risposta: $z_(min)=-4; \; z_(massimo)=6$.

Esempio n.2

Trova i valori più grande e più piccolo della funzione $z=x^2+y^2-12x+16y$ nella regione $x^2+y^2 ≤ 25$.

Per prima cosa, costruiamo un disegno. L'equazione $x^2+y^2=25$ (questa è la linea di confine di una data area) definisce una circonferenza con centro nell'origine (cioè nel punto $(0;0)$) e raggio pari a 5. La disuguaglianza $x^2 +y^2 ≤ $25 soddisfa tutti i punti all'interno e sul cerchio menzionato.

Agiremo secondo. Troviamo le derivate parziali e scopriamo i punti critici.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Non ci sono punti in cui le derivate parziali trovate non esistano. Scopriamo in quali punti entrambe le derivate parziali sono contemporaneamente uguali a zero, cioè troviamo i punti stazionari.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(allineato)\right.$$

Abbiamo ottenuto un punto stazionario $(6;-8)$. Tuttavia, il punto trovato non appartiene alla regione $D$. Questo è facile da mostrare senza nemmeno ricorrere al disegno. Verifichiamo se vale la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$, che definisce la nostra regione $D$. Se $x=6$, $y=-8$, allora $x^2+y^2=36+64=100$, cioè la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$ non vale. Conclusione: il punto $(6;-8)$ non appartiene all'area $D$.

Quindi non ci sono punti critici all'interno della regione $D$. Passiamo a... Dobbiamo studiare il comportamento di una funzione sul confine di una data regione, cioè sul cerchio $x^2+y^2=25$. Possiamo, ovviamente, esprimere $y$ in termini di $x$, e poi sostituire l'espressione risultante nella nostra funzione $z$. Dall'equazione della circonferenza otteniamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ oppure $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sostituendo, ad esempio, $y=\sqrt(25-x^2)$ nella funzione data, avremo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5 ≤ x ≤ 5. $$

L'ulteriore soluzione sarà del tutto identica allo studio del comportamento della funzione al confine della regione nel precedente esempio n. 1. Tuttavia, in questa situazione mi sembra più ragionevole applicare il metodo di Lagrange. Saremo interessati solo alla prima parte di questo metodo. Dopo aver applicato la prima parte del metodo di Lagrange, otterremo dei punti in cui esamineremo la funzione $z$ per i valori minimo e massimo.

Componiamo la funzione Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Troviamo le derivate parziali della funzione Lagrange e componiamo il corrispondente sistema di equazioni:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (allineato) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(allineato) \ destra. \;\; \sinistra \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( allineato)\right.$$

Per risolvere questo sistema facciamo subito notare che $\lambda\neq -1$. Perché $\lambda\neq -1$? Proviamo a sostituire $\lambda=-1$ nella prima equazione:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contraddizione risultante $0=6$ indica che il valore $\lambda=-1$ non è accettabile. Uscita: $\lambda\neq -1$. Esprimiamo $x$ e $y$ in termini di $\lambda$:

\begin(allineato) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(allineato)

Credo che qui diventi evidente il motivo per cui abbiamo stabilito espressamente la condizione $\lambda\neq -1$. Ciò è stato fatto per adattare l'espressione $1+\lambda$ ai denominatori senza interferenze. Cioè per essere sicuri che il denominatore $1+\lambda\neq 0$.

Sostituiamo le espressioni risultanti per $x$ e $y$ nella terza equazione del sistema, cioè tra $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dall'uguaglianza risultante segue che $1+\lambda=2$ oppure $1+\lambda=-2$. Abbiamo quindi due valori del parametro $\lambda$ e cioè: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Di conseguenza, otteniamo due coppie di valori $x$ e $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(allineato)

Abbiamo così ottenuto due punti di possibile estremo condizionale, cioè $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Troviamo i valori della funzione $z$ nei punti $M_1$ e $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(allineato)

Dovremmo selezionare i valori più grandi e più piccoli tra quelli ottenuti nel primo e nel secondo passaggio. Ma in questo caso la scelta è piccola :) Abbiamo:

$$ z_(min)=-75; \; z_(massimo)=125. $$

Risposta: $z_(min)=-75; \; z_(massimo)=$125.

Da un punto di vista pratico, l'interesse maggiore è utilizzare la derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione. A cosa è collegato questo? Massimizzare i profitti, minimizzare i costi, determinare il carico ottimale delle attrezzature... In altre parole, in molti ambiti della vita dobbiamo risolvere problemi di ottimizzazione di alcuni parametri. E questi sono i compiti di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Va notato che i valori più grandi e più piccoli di una funzione vengono solitamente ricercati su un certo intervallo X, che è l'intero dominio della funzione o parte del dominio di definizione. L'intervallo X stesso può essere un segmento, un intervallo aperto , un intervallo infinito.

In questo articolo parleremo di come trovare esplicitamente i valori più grandi e più piccoli data funzione una variabile y=f(x) .

Navigazione della pagina.

Il valore più grande e più piccolo di una funzione: definizioni, illustrazioni.

Vediamo brevemente le principali definizioni.

Il valore più grande della funzione quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Il valore più piccolo della funzione y=f(x) sull'intervallo X è chiamato tale valore quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Queste definizioni sono intuitive: il valore più grande (più piccolo) di una funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato sull'intervallo considerato nell'ascissa.

Punti stazionari– questi sono i valori dell’argomento ai quali la derivata della funzione diventa zero.

Perché abbiamo bisogno di punti stazionari quando troviamo i valori più grandi e più piccoli? La risposta a questa domanda è data dal teorema di Fermat. Da questo teorema segue che se una funzione differenziabile ha un estremo (minimo locale o massimo locale) in un punto, allora questo punto è stazionario. Pertanto, la funzione spesso assume il suo valore più grande (più piccolo) sull'intervallo X in uno dei punti stazionari di questo intervallo.

Inoltre, una funzione può spesso assumere i suoi valori più grandi e più piccoli nei punti in cui la derivata prima di questa funzione non esiste e la funzione stessa è definita.

Rispondiamo subito a una delle domande più comuni su questo argomento: “È sempre possibile determinare il valore più grande (più piccolo) di una funzione”? No, non sempre. A volte i confini dell'intervallo X coincidono con i confini del dominio di definizione della funzione, oppure l'intervallo X è infinito. E alcune funzioni all'infinito e ai confini del dominio di definizione possono assumere valori sia infinitamente grandi che infinitamente piccoli. In questi casi non si può dire nulla sul valore più grande e su quello più piccolo della funzione.

Per chiarezza forniremo un'illustrazione grafica. Guarda le immagini e tutto ti sarà più chiaro.

Sul segmento

Nella prima figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno del segmento [-6;6].

Consideriamo il caso rappresentato nella seconda figura. Cambiamo il segmento in . In questo esempio, il valore più piccolo della funzione si ottiene in un punto stazionario e il più grande nel punto in cui l'ascissa corrisponde a confine destro intervallo.

Nella Figura 3, i punti di confine del segmento [-3;2] sono le ascisse dei punti corrispondenti al valore più grande e più piccolo della funzione.

Su un intervallo aperto

Nella quarta figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno dell'intervallo aperto (-6;6).

Nell'intervallo non è possibile trarre conclusioni sul valore più grande.

All'infinito

Nell'esempio presentato nella settima figura, la funzione assume il valore più grande (max y) in un punto stazionario con ascissa x=1, e il valore più piccolo (min y) viene raggiunto sul limite destro dell'intervallo. A meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3.

Nell'intervallo la funzione non raggiunge né il valore più piccolo né quello più grande. Man mano che x=2 si avvicina da destra, i valori della funzione tendono a meno infinito (la retta x=2 è asintoto verticale), e poiché l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3. Un'illustrazione grafica di questo esempio è mostrata nella Figura 8.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un segmento.

Scriviamo un algoritmo che ci permetta di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

1. Troviamo il dominio di definizione della funzione e controlliamo se contiene l'intero segmento.
2. Troviamo tutti i punti in cui non esiste la derivata prima e che sono contenuti nel segmento (solitamente tali punti si trovano nelle funzioni con argomento sotto il segno del modulo e in funzioni di potere con esponente frazionario-razionale). Se non ci sono tali punti, passa al punto successivo.
3. Determiniamo tutti i punti stazionari che rientrano nel segmento. Per fare ciò, lo equiparamo a zero, risolviamo l'equazione risultante e selezioniamo le radici adatte. Se non ci sono punti stazionari o nessuno di essi rientra nel segmento, passa al punto successivo.
4. Calcoliamo i valori della funzione nei punti stazionari selezionati (se presenti), nei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), nonché in x=a e x=b.
5. Dai valori ottenuti della funzione, selezioniamo il più grande e il più piccolo: saranno rispettivamente i valori più grande e più piccolo richiesti della funzione.

Analizziamo l'algoritmo per risolvere un esempio per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Esempio.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

• sul segmento;
• sul segmento [-4;-1] .

Soluzione.

Il dominio di definizione di una funzione è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione dello zero. Entrambi i segmenti rientrano nel dominio di definizione.

Trovare la derivata della funzione rispetto a:

Ovviamente la derivata della funzione esiste in tutti i punti dei segmenti e [-4;-1].

Determiniamo i punti stazionari dall'equazione. L'unica radice reale è x=2. Questo punto stazionario rientra nel primo segmento.

Per il primo caso calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento e nel punto stazionario, cioè per x=1, x=2 e x=4:

Pertanto, il valore massimo della funzione si ottiene con x=1 e il valore più piccolo – in x=2.

Per il secondo caso calcoliamo i valori della funzione solo agli estremi del segmento [-4;-1] (poiché non contiene un solo punto stazionario):

Vediamo come esaminare una funzione utilizzando un grafico. Si scopre che guardando il grafico possiamo scoprire tutto ciò che ci interessa, vale a dire:

• dominio di una funzione
• gamma di funzioni
• zeri di funzione
• intervalli di aumento e diminuzione
• punti massimi e minimi
• il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento.

Chiariamo la terminologia:

Ascissaè la coordinata orizzontale del punto.
Ordinato- coordinata verticale.
Asse delle ascisse- l'asse orizzontale, più spesso chiamato asse.
Asse Y- asse verticale o asse.

Discussione- una variabile indipendente da cui dipendono i valori della funzione. Più spesso indicato.
In altre parole, scegliamo , sostituiamo le funzioni nella formula e otteniamo .

Dominio funzioni: l'insieme di quei (e solo quelli) valori di argomento per i quali esiste la funzione.
Indicato da: o .

Nella nostra figura, il dominio di definizione della funzione è il segmento. È su questo segmento che viene disegnato il grafico della funzione. Questo è l'unico posto dove esiste questa funzione.

Gamma di funzioniè l'insieme dei valori che assume una variabile. Nella nostra figura, questo è un segmento, dal valore più basso a quello più alto.

Zeri di funzione- punti in cui il valore della funzione è zero, cioè. Nella nostra figura questi sono punti e .

I valori delle funzioni sono positivi Dove . Nella nostra figura questi sono gli intervalli e .
I valori delle funzioni sono negativi Dove . Per noi questo è l'intervallo (o intervallo) da a .

I concetti più importanti - funzione crescente e decrescente su qualche set. Come insieme, puoi prendere un segmento, un intervallo, un'unione di intervalli o l'intera linea numerica.

Funzione aumenta

In altre parole, più, più, cioè, il grafico va a destra e in alto.

Funzione diminuisce su un insieme se esiste e appartiene all'insieme, la disuguaglianza implica la disuguaglianza .

Per una funzione decrescente valore più alto corrisponde al valore più piccolo. Il grafico va a destra e in basso.

Nella nostra figura, la funzione aumenta sull'intervallo e diminuisce sugli intervalli e .

Definiamo di cosa si tratta Punti di massimo e minimo della funzione.

Punto massimo- questo è un punto interno al dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è maggiore che in tutti i punti sufficientemente vicini ad esso.
In altre parole, un punto massimo è un punto in cui si trova il valore della funzione Di più che in quelli vicini. Questa è una “collina” locale sulla carta.

Nella nostra figura c'è un punto massimo.

Punto minimo- un punto interno al dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è inferiore che in tutti i punti ad esso sufficientemente vicini.
Cioè, il punto minimo è tale che il valore della funzione in esso è inferiore a quello dei suoi vicini. Questo è un “buco” locale sul grafico.

Nella nostra figura c'è un punto minimo.

Il punto è il confine. Non è un punto interno del dominio di definizione e quindi non rientra nella definizione di punto massimo. Dopotutto, non ha vicini a sinistra. Allo stesso modo, sul nostro grafico non può esserci un punto di minimo.

Vengono chiamati i punti massimo e minimo insieme punti estremi della funzione. Nel nostro caso questo è e .

Cosa fare se è necessario trovare, ad esempio, funzione minima sul segmento? In questo caso la risposta è: . Perché funzione minimaè il suo valore nel punto minimo.

Allo stesso modo, il massimo della nostra funzione è . Si raggiunge al punto .

Possiamo dire che gli estremi della funzione sono uguali a e .

A volte i problemi richiedono di essere individuati valori più grandi e più piccoli di una funzione su un dato segmento. Non necessariamente coincidono con gli estremi.

Nel nostro caso valore della funzione più piccolo sul segmento è uguale e coincide con il minimo della funzione. Ma il suo valore massimo su questo segmento è pari a . Si raggiunge all'estremità sinistra del segmento.

In ogni caso, i valori più grandi e più piccoli funzione continua su un segmento si ottengono nei punti estremi o alle estremità del segmento.

Cos'è l'estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?

L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo della funzione.

Prerequisito Il massimo e il minimo (estremo) di una funzione sono i seguenti: se la funzione f(x) ha un estremo nel punto x = a, allora in questo punto la derivata o è zero, o infinita, oppure non esiste.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può andare a zero, all'infinito o non esistere senza che la funzione abbia un estremo in questo punto.

Qual è una condizione sufficiente per l'estremo di una funzione (massimo o minimo)?

Prima condizione:

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha massimo

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha minimo a condizione che la funzione f(x) qui sia continua.

Invece, puoi utilizzare la seconda condizione sufficiente per l'estremo di una funzione:

Sia nel punto x = a nulla la derivata prima f?(x); se la derivata seconda f??(a) è negativa, allora la funzione f(x) ha massimo nel punto x = a, se è positiva, allora ha minimo.

Qual è il punto critico di una funzione e come trovarlo?

Questo è il valore dell'argomento della funzione in corrispondenza del quale la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo è necessario trova la derivata funzione f?(x) e, uguagliandola a zero, risolvere l'equazione f?(x) = 0. Le radici di questa equazione, così come i punti in cui la derivata di questa funzione non esiste, sono punti critici, cioè valori dell'argomento in cui può esserci un estremo. Possono essere facilmente identificati guardando grafico derivato: ci interessano quei valori dell'argomento in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui il grafico subisce delle discontinuità.

Ad esempio, troviamo estremo di una parabola.

Funzione y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivata della funzione: y?(x) = 6x + 2

Risolvi l'equazione: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In questo caso il punto critico è x0=-1/3. È con questo valore di argomento che ha la funzione estremo. A lui Trovare, sostituire il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?

Se il segno della derivata passando per il punto critico x0 cambia da “più” a “meno”, allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 lo è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è né massimo né minimo.

Per l'esempio considerato:

Prendi un valore di argomento arbitrario a sinistra di punto critico: x = -1

A x = -1, il valore della derivata sarà y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ovvero il segno è “meno”).

Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1

A x = 1, il valore della derivata sarà y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (cioè il segno è “più”).

Come puoi vedere, la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto critico. Ciò significa che al valore critico x0 abbiamo un punto di minimo.

Valore massimo e minimo di una funzione sull'intervallo(su un segmento) vengono trovati utilizzando la stessa procedura, tenendo solo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici si troveranno all'interno dell'intervallo specificato. Quei punti critici che sono al di fuori dell'intervallo devono essere esclusi dalla considerazione. Se c'è un solo punto critico all'interno dell'intervallo, avrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori più grandi e più piccoli della funzione, prendiamo in considerazione anche i valori della funzione agli estremi dell'intervallo.

Ad esempio, troviamo i valori più grandi e più piccoli della funzione

y(x) = 3sen(x) - 0,5x

ad intervalli:

Quindi, la derivata della funzione è

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Risolviamo l'equazione 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arcos(0,16667) + 2πk.

Troviamo punti critici sull'intervallo [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (non incluso nell'intervallo)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arcocos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arcocos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (non incluso nell'intervallo)

Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Si può vedere che nell'intervallo [-9; 9] la funzione ha il valore massimo in x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e il più piccolo - in x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4,88. Il valore della funzione in x = -4,88 è uguale a y = 5,398.

Trova il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore massimo della funzione

y = 5,398 a x = -4,88

valore più piccolo -

y = 1.077 in x = -3

Come trovare i punti di flesso di un grafico di funzione e determinare i lati convessi e concavi?

Per trovare tutti i punti di flesso della retta y = f(x), è necessario trovare la derivata seconda, eguagliarla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per i quali la derivata seconda è zero, infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione in questo punto presenta un'inflessione. Se non cambia, allora non c’è alcuna curvatura.

Le radici dell'equazione f? (x) = 0, così come eventuali punti di discontinuità della funzione e della derivata seconda, dividono il dominio di definizione della funzione in più intervalli. La convessità su ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo studiato è positiva, allora la linea y = f(x) è concava verso l'alto e, se negativa, verso il basso.

Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?

Per trovare gli estremi della funzione f(x,y), differenziabili nel dominio della sua specificazione, occorre:

1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) per ogni punto critico P0(a;b) verificare se il segno della differenza rimane invariato

per tutti i punti (x;y) sufficientemente vicini a P0. Se la differenza rimane positiva, allora nel punto P0 avremo un minimo, se negativa avremo un massimo. Se la differenza non mantiene il segno, nel punto P0 non vi è alcun estremo.

Gli estremi della funzione sono determinati in modo simile per Di più argomenti.

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