Derivati ​​complessi. Derivata logaritmica.
Derivata del potere funzione esponenziale

Continuiamo a migliorare la nostra tecnica di differenziazione. In questa lezione consolideremo il materiale trattato, esamineremo le derivate più complesse e conosceremo anche nuove tecniche e trucchi per trovare una derivata, in particolare, con la derivata logaritmica.

A quei lettori che hanno basso livello preparazione, è necessario fare riferimento all'articolo Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni, che ti permetterà di affinare le tue competenze quasi da zero. Successivamente, è necessario studiare attentamente la pagina Derivata di una funzione complessa, comprendere e risolvere Tutto gli esempi che ho fatto. Questa lezione è logicamente la terza di seguito e dopo averla padroneggiata differenzierai con sicurezza funzioni abbastanza complesse. Non è auspicabile assumere la posizione di “Dove altro? Sì, basta!", poiché tutti gli esempi e le soluzioni sono presi dalla realtà test e si incontrano spesso nella pratica.

Cominciamo con la ripetizione. Alla lezione Derivata di una funzione complessa Abbiamo esaminato una serie di esempi con commenti dettagliati. Nel corso dello studio del calcolo differenziale e di altri rami dell'analisi matematica, dovrai differenziare molto spesso, e non è sempre conveniente (e non sempre necessario) descrivere gli esempi in grande dettaglio. Pertanto, ci eserciteremo a trovare i derivati ​​oralmente. I “candidati” più adatti a questo scopo sono i derivati ​​della più semplice delle funzioni complesse, ad esempio:

Secondo la regola della differenziazione funzione complessa :

Quando si studieranno altri argomenti matan in futuro, una registrazione così dettagliata molto spesso non è necessaria; si presume che lo studente sappia come trovare tali derivati ​​con il pilota automatico. Immaginiamo che alle 3 del mattino ci fosse un telefonata, e una voce gradevole chiese: “Qual è la derivata della tangente di due X?” Questo dovrebbe essere seguito da una risposta quasi istantanea ed educata: .

Il primo esempio sarà immediatamente destinato a una soluzione indipendente.

Esempio 1

Trova oralmente, in un'unica azione, i seguenti derivati, ad esempio: . Per completare l'attività è sufficiente utilizzare tavola delle derivate delle funzioni elementari(se non te lo sei ancora ricordato). In caso di difficoltà, consiglio di rileggere la lezione Derivata di una funzione complessa.

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Risposte alla fine della lezione

Derivati ​​complessi

Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 nidificazioni di funzioni faranno meno paura. I seguenti due esempi possono sembrare complicati ad alcuni, ma se li capisci (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto del calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto COMPRENDI i tuoi investimenti. Nei casi in cui ci sono dubbi, te lo ricordo trucco utile: prendiamo ad esempio il significato sperimentale di “x” e proviamo (mentalmente o in una bozza) a sostituire questo significato nell'“espressione terribile”.

1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, il che significa che la somma è l'incorporamento più profondo.

2) Quindi devi calcolare il logaritmo:

4) Quindi fai il cubo del coseno:

5) Al quinto passaggio la differenza:

6) E infine, la funzione più esterna è Radice quadrata:

Formula per differenziare una funzione complessa verranno applicati in ordine inverso, a partire dal massimo funzione esterna, nel più intimo. Noi decidiamo:

Sembra che non ci siano errori...

(1) Calcola la derivata della radice quadrata.

(2) Prendiamo la derivata della differenza usando la regola

(3) La derivata di una tripla è zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).

(4) Prendiamo la derivata del coseno.

(5) Prendiamo la derivata del logaritmo.

(6) E infine, prendiamo la derivata dell'immersione più profonda.

Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutta la bellezza e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile in un esame per verificare se uno studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.

L'esempio seguente deve essere risolto da solo.

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

È ora di passare a qualcosa di più piccolo e più carino.
Non è raro che un esempio mostri il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata del prodotto di tre fattori?

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Per prima cosa guardiamo, è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni nel prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma nell'esempio in esame tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.

In questi casi è necessario in sequenza applicare la regola della differenziazione del prodotto due volte

Il trucco è che con “y” indichiamo il prodotto di due funzioni: , e con “ve” indichiamo il logaritmo: . Perché è possibile farlo? É davvero – questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:

Ora resta da applicare la norma una seconda volta tra parentesi:

Puoi anche distorcerti e mettere qualcosa tra parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta esattamente in questo modulo: sarà più facile da controllare.

L’esempio considerato può essere risolto nel secondo modo:

Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di soluzione indipendente; nell'esempio viene risolta utilizzando il primo metodo.

Diamo un'occhiata ad esempi simili con le frazioni.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Puoi andare qui in diversi modi:

O così:

Ma la soluzione sarà scritta in modo più compatto se utilizziamo prima la regola di differenziazione del quoziente , prendendo per l'intero numeratore:

In linea di principio l'esempio è risolto e, se lasciato così com'è, non sarà un errore. Ma se si ha tempo, è sempre consigliabile verificare una bozza per vedere se la risposta può essere semplificata? Riduciamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e liberiamoci della frazione di tre piani:

Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova la derivata, ma durante banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordargli” il derivato.

Un esempio più semplice da risolvere da solo:

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Continuiamo a padroneggiare i metodi per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto il logaritmo “terribile” per la differenziazione

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi andare oltre, usando la regola per differenziare una funzione complessa:

Ma il primo passo ti getta immediatamente nello sconforto: devi prendere la derivata spiacevole da una potenza frazionaria, e poi anche da una frazione.

Ecco perché Prima come derivare un logaritmo “sofisticato”, viene prima semplificato utilizzando proprietà scolastiche ben note:

! Se hai un quaderno di esercizi a portata di mano, copia queste formule direttamente lì. Se non hai un quaderno, copiali su un foglio di carta, poiché i restanti esempi della lezione ruoteranno attorno a queste formule.

La soluzione stessa può essere scritta in questo modo:

Trasformiamo la funzione:

Trovare la derivata:

La preconversione della funzione stessa ha notevolmente semplificato la soluzione. Pertanto, quando si propone per la differenziazione un logaritmo simile, è sempre consigliabile “scomponerlo”.

E ora un paio di semplici esempi da risolvere da solo:

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Tutte le trasformazioni e le risposte sono alla fine della lezione.

Derivata logaritmica

Se la derivata dei logaritmi è una musica così dolce, allora sorge la domanda: in alcuni casi è possibile organizzare artificialmente il logaritmo? Potere! E perfino necessario.

Esempio 11

Trova la derivata di una funzione

Recentemente abbiamo esaminato esempi simili. Cosa fare? È possibile applicare in sequenza la regola di differenziazione del quoziente, e poi la regola di differenziazione del prodotto. Lo svantaggio di questo metodo è che ti ritroverai con un'enorme frazione di tre piani, con la quale non vuoi assolutamente occuparti.

Ma in teoria e in pratica esiste una cosa meravigliosa come la derivata logaritmica. I logaritmi possono essere organizzati artificialmente “appendendoli” su entrambi i lati:

Ora devi “disintegrare” il più possibile il logaritmo della parte destra (formule davanti ai tuoi occhi?). Descriverò questo processo in grande dettaglio:

Cominciamo con la differenziazione.
Concludiamo entrambe le parti sotto il primo:

La derivata del secondo membro è abbastanza semplice; non la commenterò, perché se stai leggendo questo testo dovresti essere in grado di maneggiarla con sicurezza.

E il lato sinistro?

Sul lato sinistro abbiamo funzione complessa. Prevedo la domanda: "Perché, c'è una lettera "Y" sotto il logaritmo?"

Il fatto è che questo "gioco di una lettera" - È STESSO UNA FUNZIONE(se non è molto chiaro fare riferimento all'articolo Derivata di una funzione specificata implicitamente). Pertanto, il logaritmo è una funzione esterna e la “y” è una funzione interna. E usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Sul lato sinistro, come per magia bacchetta magica abbiamo una derivata. Successivamente, secondo la regola delle proporzioni, trasferiamo la “y” dal denominatore del lato sinistro alla parte superiore del lato destro:

E ora ricordiamo di che tipo di funzione “giocatore” abbiamo parlato durante la differenziazione? Consideriamo la condizione:

Risposta finale:

Esempio 12

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Alla fine della lezione si trova un disegno di esempio di questo tipo.

Usando la derivata logaritmica è stato possibile risolvere qualsiasi degli esempi n. 4-7, un'altra cosa è che le funzioni sono più semplici e, forse, l'uso della derivata logaritmica non è molto giustificato.

Derivata di una funzione esponenziale potenza

Non abbiamo ancora considerato questa funzione. Una funzione esponenziale di potenza è una funzione per la quale sia il grado che la base dipendono dalla “x”. Un classico esempio che ti verrà fornito in qualsiasi libro di testo o lezione:

Come trovare la derivata di una funzione esponenziale potenza?

È necessario utilizzare la tecnica appena discussa: la derivata logaritmica. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati:

Di norma, sul lato destro il grado viene tolto da sotto il logaritmo:

Di conseguenza, sul lato destro avremo il prodotto di due funzioni, che verrà differenziato secondo la formula standard .

Troviamo la derivata; per fare ciò racchiudiamo entrambe le parti tra i tratti:

Ulteriori azioni sono semplici:

Finalmente:

Se qualche conversione non è del tutto chiara, rileggi attentamente le spiegazioni dell'Esempio n. 11.

Nei compiti pratici, la funzione esponenziale della potenza sarà sempre più complicata rispetto all'esempio della lezione considerata.

Esempio 13

Trova la derivata di una funzione

Usiamo la derivata logaritmica.

Sul lato destro abbiamo una costante e il prodotto di due fattori: "x" e "logaritmo del logaritmo x" (un altro logaritmo è annidato sotto il logaritmo). Quando si differenzia, come ricordiamo, è meglio spostare immediatamente la costante fuori dal segno della derivata in modo che non sia d'intralcio; e, naturalmente, applichiamo la regola familiare :

Come puoi vedere, l'algoritmo per l'utilizzo della derivata logaritmica non contiene trucchi o trucchi speciali e la ricerca della derivata di una funzione esponenziale di potenza di solito non è associata al "tormento".

Derivata di una funzione complessa. Esempi di soluzioni

In questa lezione impareremo come trovare derivata di una funzione complessa. La lezione è una continuazione logica della lezione Come trovare la derivata?, in cui abbiamo esaminato i derivati ​​più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune tecniche tecniche per trovare i derivati. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, mettiti di umore serio: il materiale non è semplice, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.

In pratica bisogna avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi addirittura quasi sempre, quando ti vengono affidati compiti per trovare le derivate.

Osserviamo la tabella sulla regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:

Scopriamolo. Prima di tutto prestiamo attenzione all'inserimento. Qui abbiamo due funzioni - e , e la funzione, in senso figurato, è annidata all'interno della funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.

Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..

! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo le espressioni informali “funzione esterna”, funzione “interna” solo per facilitare la comprensione del materiale.

Per chiarire la situazione, considerare:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Sotto il seno non abbiamo solo la lettera “X”, ma un'intera espressione, quindi trovare la derivata direttamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che il seno non può essere “fatto a pezzi”:

In questo esempio, è già intuitivamente chiaro dalle mie spiegazioni che una funzione è una funzione complessa e che il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.

Primo passo quello che devi fare per trovare la derivata di una funzione complessa è capire quale funzione è interna e quale è esterna.

Quando semplici esempi Sembra chiaro che sotto il seno si trova un polinomio. Ma cosa succede se tutto non è ovvio? Come determinare con precisione quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, suggerisco di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o in bozza.

Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione at su una calcolatrice (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).

Cosa calcoleremo per primo? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna:

In secondo luogo dovrà essere trovato, quindi seno – sarà una funzione esterna:

Dopo che noi ESAURITO Con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola della differenziazione delle funzioni complesse.

Iniziamo a decidere. Dalla classe Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto di una soluzione a qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e inseriamo un tratto in alto a destra:

All'inizio trova la derivata della funzione esterna (seno), guarda la tabella delle derivate funzioni elementari e lo notiamo. Tutte le formule della tabella sono applicabili anche se "x" viene sostituito con un'espressione complessa, in questo caso:

Si prega di notare che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.

Beh, è ​​abbastanza ovvio

Il risultato finale dell'applicazione della formula è simile al seguente:

Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:

In caso di malintesi, scrivere la soluzione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Come sempre scriviamo:

Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove ne abbiamo una interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o in una bozza) a calcolare il valore dell'espressione a . Cosa dovresti fare prima? Innanzitutto bisogna calcolare a cosa equivale la base: quindi il polinomio è la funzione interna:

E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna:

Secondo la formula, devi prima trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula richiesta: . Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per “X”, ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa è il seguente:

Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la nostra funzione interna non cambia:

Ora non resta che trovare una derivata molto semplice della funzione interna e modificare leggermente il risultato:

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Per consolidare la tua comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragionando su dove si trova la funzione esterna e dove è interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?

Esempio 5

a) Trovare la derivata della funzione

b) Trovare la derivata della funzione

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo una radice e per differenziare la radice bisogna rappresentarla come una potenza. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma appropriata per la differenziazione:

Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma dei tre termini è una funzione interna, mentre l'elevazione a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola di differenziazione delle funzioni complesse:

Rappresentiamo nuovamente il grado come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:

Pronto. Puoi anche ridurre l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando ottieni derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore non necessario e sarà scomodo per l'insegnante controllare).

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

È interessante notare che a volte invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente , ma una soluzione del genere sembrerà una divertente perversione. Ecco un tipico esempio:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente , ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:

Prepariamo la funzione per la differenziazione: spostiamo il meno fuori dal segno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:

Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola:

Troviamo la derivata della funzione interna e ripristiniamo il coseno:

Pronto. Nell'esempio considerato è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo usando la regola , le risposte devono corrispondere.

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Finora abbiamo esaminato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a calcolare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come potremmo contare su una calcolatrice?

Per prima cosa devi trovare , il che significa che l'arcoseno è l'incorporamento più profondo:

Questo arcoseno di uno dovrebbe quindi essere quadrato:

E infine eleviamo sette a potenza:

Cioè, in questo esempio abbiamo tre funzioni diverse e due incorporamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.

Iniziamo a decidere

Secondo la regola, devi prima prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che invece di “x” abbiamo espressione complessa, il che non nega la validità di questa formula. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa è il seguente:

Sotto il tratto abbiamo di nuovo una funzione complessa! Ma è già più semplice. È facile verificare che la funzione interna è l'arcoseno, quella esterna è il grado. Secondo la regola per differenziare una funzione complessa, devi prima calcolare la derivata della potenza.

Nei “vecchi” libri di testo è chiamata anche regola della “catena”. Quindi se y = f (u) e u = φ (x), questo è

y = f (φ (x))

complesso - funzione composita (composizione di funzioni) quindi

Dove , dopo che il calcolo è considerato a u = φ(x).

Si noti che qui abbiamo preso composizioni “diverse” dalle stesse funzioni, e il risultato della differenziazione si è naturalmente rivelato dipendere dall'ordine di “miscelazione”.

La regola della catena si estende naturalmente alle composizioni di tre o più funzioni. In questo caso ci saranno tre o più “anelli” nella “catena” che costituisce il derivato. Ecco un'analogia con la moltiplicazione: “abbiamo” una tabella di derivate; “lì” - tavola pitagorica; “con noi” è la regola della catena e “là” è la regola della moltiplicazione “colonna”. Nel calcolare tali derivate “complesse”, ovviamente, non vengono introdotti argomenti ausiliari (u¸v, ecc.), ma, avendo notato personalmente il numero e la sequenza delle funzioni coinvolte nella composizione, i collegamenti corrispondenti vengono “infilati” nell'ordine indicato.

. Qui, con la “x” per ottenere il valore della “y”, si eseguono cinque operazioni, cioè si ha una composizione di cinque funzioni: “esterna” (l'ultima) - esponenziale - e  ; poi, in ordine inverso, il potere. (♦) 2 ; peccato trigonometrico(); tranquillo. () 3 ed infine logaritmico ln.(). Ecco perché

Con i seguenti esempi “prenderemo un paio di piccioni con una fava”: ci eserciteremo a differenziare funzioni complesse e ad aggiungere alla tabella delle derivate di funzioni elementari. COSÌ:

4. Per una funzione di potenza - y = x α - riscrivendola utilizzando il noto “basic identità logaritmica" - b=e ln b - nella forma x α = x α ln x otteniamo

5. Per una funzione esponenziale arbitraria, utilizzando la stessa tecnica che avremo

6. Per una funzione logaritmica arbitraria, utilizzando la nota formula per la transizione a una nuova base, otteniamo costantemente

.

7. Per differenziare la tangente (cotangente), utilizziamo la regola per differenziare i quozienti:

Per ottenere le derivate delle funzioni trigonometriche inverse, utilizziamo la relazione che è soddisfatta dalle derivate di due funzioni mutuamente inverse, cioè le funzioni φ (x) e f (x) legate dalle relazioni:

Questo è il rapporto

È da questa formula per funzioni reciprocamente inverse

E
,

Infine, riassumiamo questi e alcuni altri derivati ​​anch'essi facilmente ottenibili nella tabella seguente.

Primo livello

Derivata di una funzione. Guida completa (2019)

Immaginiamo una strada diritta che attraversa una zona collinare. Cioè va su e giù, ma non gira né a destra né a sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea stradale sarà molto simile al grafico di una funzione continua:

L'asse è un certo livello di altitudine zero; nella vita usiamo come tale il livello del mare.

Man mano che avanziamo lungo tale strada, ci muoviamo anche verso l’alto o verso il basso. Possiamo anche dire: quando cambia l'argomento (spostamento lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostamento lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la “ripidezza” della nostra strada? Che tipo di valore potrebbe essere? È molto semplice: quanto cambierà l'altezza quando si avanza di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, avanzando (lungo l'asse x) di un chilometro, ci alzeremo o abbasseremo di un numero diverso di metri rispetto al livello del mare (lungo l'asse y).

Indichiamo il progresso (leggi “delta x”).

La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento nella quantità, - un cambiamento; allora di cosa si tratta? Esatto, un cambiamento di grandezza.

Importante: un'espressione è un tutto unico, una variabile. Non separare mai il “delta” dalla “x” o da qualsiasi altra lettera! Cioè, ad esempio, .

Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, di. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico della funzione, come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, mentre andiamo avanti, saliamo più in alto.

Il valore è facile da calcolare: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati ci ritrovavamo in quota, allora. Se il punto finale è inferiore al punto iniziale, sarà negativo: ciò significa che non stiamo ascendendo, ma discendendo.

Torniamo alla "pendenza": questo è un valore che mostra quanto (in modo ripido) aumenta l'altezza quando si avanza di un'unità di distanza:

Supponiamo che su qualche tratto della strada, avanzando di un chilometro, la strada si alzi di un chilometro. Quindi la pendenza in questo punto è uguale. E se la strada, pur avanzando di m, scendesse di km? Allora la pendenza è uguale.

Ora guardiamo la cima di una collina. Se si prende l'inizio del tratto mezzo chilometro prima della vetta e la fine mezzo chilometro dopo, si vede che l'altezza è quasi la stessa.

Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Anche a distanza di pochi chilometri possono cambiare molte cose. È necessario considerare aree più piccole per una valutazione più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se misuri la variazione di altezza mentre ti sposti di un metro, il risultato sarà molto più preciso. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi: se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente oltrepassarlo. Quale distanza dovremmo scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!

IN vita reale Misurare le distanze con una precisione millimetrica è più che sufficiente. Ma i matematici aspirano sempre alla perfezione. Pertanto, il concetto è stato inventato infinitesimale, cioè il valore assoluto è inferiore a qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. E così via. Se vogliamo scrivere che una quantità è infinitesima, scriviamo così: (leggiamo “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che puoi dividere per esso.

Il concetto opposto all'infinitesimale è infinitamente grande (). Probabilmente te ne sei già accorto mentre lavoravi sulle disuguaglianze: questo numero è modulo maggiore di qualsiasi numero a cui puoi pensare. Se ottieni il numero più grande possibile, moltiplicalo per due e otterrai un numero ancora più grande. E l'infinito è ancora più grande di ciò che accade. Infatti l'infinitamente grande e l'infinitamente piccolo sono l'uno l'inverso dell'altro, cioè at, e viceversa: at.

Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitesimo del percorso, ovvero:

Noto che con uno spostamento infinitesimale anche la variazione di altezza sarà infinitesima. Ma lascia che ti ricordi che infinitesimo non significa uguale a zero. Se dividi tra loro i numeri infinitesimi, puoi ottenere un numero completamente ordinario, ad esempio . Cioè, un valore piccolo può essere esattamente volte più grande di un altro.

A cosa serve tutto questo? La strada, la pendenza... Non andremo a un raduno automobilistico, ma insegneremo matematica. E in matematica tutto è esattamente uguale, solo chiamato diversamente.

Concetto di derivata

La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento.

In modo incrementale in matematica lo chiamano cambiamento. Viene chiamata la misura in cui l'argomento () cambia mentre si muove lungo l'asse incremento dell'argomento ed è designato Viene chiamato quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza incremento della funzione ed è designato.

Quindi, la derivata di una funzione è il rapporto con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un primo in alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula della derivata usando queste notazioni:

Come nell'analogia con la strada, qui quando la funzione aumenta la derivata è positiva, mentre quando diminuisce è negativa.

La derivata può essere uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale pianeggiante, la pendenza è zero. Ed è vero, l’altezza non cambia affatto. Così è con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:

poiché l'incremento di tale funzione è uguale a zero per qualsiasi.

Ricordiamo l'esempio della collina. Si è scoperto che è possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità risulti essere la stessa, cioè il segmento sia parallelo all'asse:

Ma i segmenti grandi sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.

Alla fine, quando saremo infinitamente vicini alla cima, la lunghezza del segmento diventerà infinitesimale. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè la differenza di altezze alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata

Questo può essere inteso in questo modo: quando ci troviamo in cima, un piccolo spostamento a sinistra o a destra cambia in modo trascurabile la nostra altezza.

Esiste anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra del vertice la funzione aumenta e a destra diminuisce. Come abbiamo scoperto in precedenza, quando una funzione aumenta, la derivata è positiva, mentre quando diminuisce è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (poiché la strada non cambia bruscamente pendenza da nessuna parte). Pertanto, devono esserci valori compresi tra negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce, nel punto di vertice.

Lo stesso vale per il trogolo (l'area in cui la funzione a sinistra diminuisce e a destra aumenta):

Qualcosa in più sugli incrementi.

Quindi cambiamo l'argomento in grandezza. Cambiamo da quale valore? Che cosa è diventato (l’argomento) adesso? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora danzeremo partendo da quello.

Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione in esso è uguale. Quindi eseguiamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è la discussione adesso? Molto facile: . Qual è il valore della funzione adesso? Dove va l'argomento, va anche la funzione: . E l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:

Esercitati a trovare gli incrementi:

1. Trova l'incremento della funzione nel punto in cui l'incremento dell'argomento è uguale a.
2. Lo stesso vale per la funzione in un punto.

Soluzioni:

In punti diversi con lo stesso argomento incremento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto è diversa (ne abbiamo discusso all'inizio: la pendenza della strada è diversa in punti diversi). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare in quale punto:

Funzione di potenza.

Una funzione di potenza è una funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).

Inoltre - in qualsiasi misura: .

Il caso più semplice è quando l'esponente è:

Troviamo la sua derivata in un punto. Ricordiamo la definizione di derivata:

Quindi il discorso cambia da a. Qual è l'incremento della funzione?

L'incremento è questo. Ma una funzione in ogni punto è uguale al suo argomento. Ecco perché:

La derivata è uguale a:

La derivata di è uguale a:

b) Consideriamo ora funzione quadratica (): .

Ora ricordiamocelo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitesimo, e quindi insignificante rispetto all'altro termine:

Quindi abbiamo inventato un'altra regola:

c) Continuiamo la serie logica: .

Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: aprire la prima parentesi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure fattorizzare l'intera espressione utilizzando la formula della differenza di cubi. Prova a farlo da solo utilizzando uno dei metodi suggeriti.

Quindi, ho ottenuto quanto segue:

E ancora ricordiamolo. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini contenenti:

Noi abbiamo: .

d) Regole simili si possono ottenere per grandi potenze:

e) Risulta che questa regola è generalizzabile per una funzione di potenza con esponente arbitrario, nemmeno intero:

(2)

La regola può essere formulata con le parole: “il grado viene portato avanti come coefficiente, e poi ridotto di ”.

Dimostreremo questa regola più tardi (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:

1. (in due modi: tramite formula e utilizzando la definizione di derivata - calcolando l'incremento della funzione);

1. . Che tu ci creda o no, questa è una funzione di potere. Se hai domande come “Com’è questo? Dov'è la laurea?”, ricordate l'argomento “”!
   Sì, sì, anche la radice è un grado, solo frazionario: .
   Ciò significa che la nostra radice quadrata è solo una potenza con un esponente:
   .
   Cerchiamo la derivata utilizzando la formula recentemente appresa:

   Se a questo punto tornasse poco chiaro, ripetere l'argomento “”!!! (circa un grado con esponente negativo)

2. . Ora l'esponente:

   E ora passiamo alla definizione (l'avete già dimenticato?):
   ;
   .
   Ora, come al solito, trascuriamo il termine contenente:
   .

3. . Combinazione di casi precedenti: .

Funzioni trigonometriche.

Qui useremo un fatto della matematica superiore:

Con espressione.

La prova la imparerai nel primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'Esame di Stato Unificato). Ora lo mostrerò solo graficamente:

Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico viene tagliato. Ma più si avvicina al valore, più la funzione si avvicina a questo: questo è ciò che “mira”.

Inoltre, puoi verificare questa regola utilizzando una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame di Stato Unificato.

Dunque proviamo: ;

Non dimenticare di impostare la calcolatrice sulla modalità Radianti!

eccetera. Vediamo che più piccolo è, più vicino è il valore del rapporto.

a) Consideriamo la funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:

Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, utilizziamo la formula (ricorda l'argomento “”): .

Ora la derivata:

Facciamo una sostituzione: . Allora per infinitesimo è anche infinitesimo: . L'espressione per assume la forma:

E ora lo ricordiamo con l'espressione. E anche, cosa succede se una quantità infinitesima può essere trascurata nella somma (cioè a).

Quindi, otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:

Questi sono derivati ​​​​di base (“tabulari”). Eccoli in un elenco:

Successivamente ne aggiungeremo alcuni altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.

Pratica:

1. Trova la derivata della funzione in un punto;
2. Trova la derivata della funzione.

Soluzioni:

1. Per prima cosa troviamo la derivata in vista generale, quindi sostituisci il suo valore:
   ;
   .
2. Qui abbiamo qualcosa di simile a funzione di potenza. Proviamo a portarla qui
   visualizzazione normale:
   .
   Ottimo, ora puoi usare la formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Cos'è questo????

Ok, hai ragione, non sappiamo ancora come trovare tali derivati. Qui abbiamo una combinazione di diversi tipi di funzioni. Per lavorare con loro, devi imparare alcune regole in più:

Esponente e logaritmo naturale.

Esiste una funzione in matematica la cui derivata per qualsiasi valore è uguale al valore della funzione stessa allo stesso tempo. Si chiama “esponente” ed è una funzione esponenziale

La base di questa funzione è una costante: è infinita decimale, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama “numero di Eulero”, motivo per cui è indicato con una lettera.

Quindi, la regola:

Molto facile da ricordare.

Ebbene, non andiamo lontano, vediamolo subito funzione inversa. Quale funzione è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è il numero:

Un logaritmo di questo tipo (cioè un logaritmo con base) si chiama “naturale” e per questo usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

1. Trova la derivata della funzione.
2. Qual è la derivata della funzione?

Risposte: Espositore e logaritmo naturale- le funzioni sono unicamente semplici in termini di derivate. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo più avanti, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Regole di cosa? Ancora un nuovo mandato, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

È tutto. Cos'altro puoi chiamare questo processo in una parola? Non derivato... I matematici chiamano il differenziale lo stesso incremento di una funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia – differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola vale anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia che sia, o più semplice.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

1. ad un certo punto;
2. ad un certo punto;
3. ad un certo punto;
4. al punto.

Soluzioni:

1. (la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché this funzione lineare, Ricordare?);

Derivato del prodotto

Qui è tutto simile: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

1. Trova le derivate delle funzioni e;
2. Trova la derivata della funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di una funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo degli esponenti (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è qualche numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a ridurre la nostra funzione ad una nuova base:

Per questo useremo regola semplice: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Ecco, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata di un esponente: così com'era, rimane la stessa, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, lo lasciamo in questa forma nella risposta.

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un logaritmo arbitrario con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo ridurre questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ricordi questa formula:

Solo adesso scriveremo invece:

Il denominatore è semplicemente una costante (un numero costante, senza variabile). La derivata si ottiene molto semplicemente:

I derivati ​​​​delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'Esame di Stato Unificato, ma non sarà superfluo conoscerli.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e nemmeno un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se trovi difficile il logaritmo, leggi l'argomento “Logaritmi” e starai bene), ma da un punto di vista matematico la parola “complesso” non significa “difficile”.

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e eseguono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Il risultato è un oggetto composito: una tavoletta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi inversi in ordine inverso.

Creiamo una procedura matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi eleveremo il numero risultante al quadrato. Quindi, ci viene dato un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, eseguiamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi una seconda azione con ciò che risulta dalla prima.

Possiamo facilmente eseguire gli stessi passaggi in ordine inverso: prima lo eleva al quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante: . È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

In altre parole, una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il primo esempio, .

Secondo esempio: (stessa cosa). .

Verrà richiamata l'azione eseguita per ultima funzione "esterna". e l'azione viene eseguita per prima, di conseguenza funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, in una funzione

1. Quale azione eseguiremo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo cubiamo. Ciò significa che è una funzione interna, ma esterna.
   E la funzione originaria è la loro composizione: .
2. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
3. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
4. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
5. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .

Cambiamo le variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estraiamo la nostra tavoletta di cioccolato e cerchiamo il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. In relazione all'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra semplice, vero?

Verifichiamo con degli esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(Per ora non provare a tagliarlo! Non esce niente da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che si tratta di una funzione complessa a tre livelli: in fondo questa è già una funzione complessa di per sé, e da essa estraiamo anche la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettiamo il cioccolato in una involucro e con un nastro nella valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: “spaccheremo” comunque questa funzione nello stesso ordine di sempre: dalla fine.

Cioè, prima differenziamo la radice, poi il coseno e solo dopo l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo il tutto.

In questi casi è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata ad un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più “esterna” risulterà la funzione corrispondente. La sequenza delle azioni è la stessa di prima:

Qui la nidificazione è generalmente su 4 livelli. Determiniamo la linea d'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Derivata di una funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati ​​di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata della somma:

Derivata del prodotto:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

1. Definiamo la funzione “interna” e troviamo la sua derivata.
2. Definiamo la funzione “esterna” e troviamo la sua derivata.
3. Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 nidificazioni di funzioni faranno meno paura. I seguenti due esempi possono sembrare complicati ad alcuni, ma se li capisci (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto del calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto COMPRENDI i tuoi investimenti. Nei casi in cui ci siano dubbi, ti ricordo una tecnica utile: prendiamo il valore sperimentale di “x”, ad esempio, e proviamo (mentalmente o in una bozza) a sostituire questo valore nell'“espressione terribile”.

1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, il che significa che la somma è l'incorporamento più profondo.

2) Quindi devi calcolare il logaritmo:

4) Quindi fai il cubo del coseno:

5) Al quinto passaggio la differenza:

6) E infine, la funzione più esterna è la radice quadrata:

Formula per differenziare una funzione complessa vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Noi decidiamo:

Sembra senza errori:

1) Calcola la derivata della radice quadrata.

2) Calcola la derivata della differenza utilizzando la regola

3) La derivata di una tripla è zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).

4) Prendi la derivata del coseno.

6) E infine, prendiamo la derivata dell'incorporamento più profondo.

Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutta la bellezza e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile in un esame per verificare se uno studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.

L'esempio seguente deve essere risolto da solo.

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

È ora di passare a qualcosa di più piccolo e più carino.
Non è raro che un esempio mostri il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata del prodotto di tre fattori?

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Per prima cosa guardiamo, è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni nel prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma nell'esempio in esame tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.

In questi casi è necessario in sequenza applicare la regola della differenziazione del prodotto due volte

Il trucco è che con “y” indichiamo il prodotto di due funzioni: , e con “ve” indichiamo il logaritmo: . Perché è possibile farlo? É davvero - questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:

Ora resta da applicare la norma una seconda volta tra parentesi:

Puoi anche distorcerti e mettere qualcosa tra parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta esattamente in questo modulo: sarà più facile da controllare.

L’esempio considerato può essere risolto nel secondo modo:

Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di soluzione indipendente; nell'esempio viene risolta utilizzando il primo metodo.

Diamo un'occhiata ad esempi simili con le frazioni.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Puoi andare qui in diversi modi:

O così:

Ma la soluzione sarà scritta in modo più compatto se utilizziamo prima la regola di differenziazione del quoziente , prendendo per l'intero numeratore:

In linea di principio l'esempio è risolto e, se lasciato così com'è, non sarà un errore. Ma se si ha tempo, è sempre consigliabile verificare una bozza per vedere se la risposta può essere semplificata?

Riduciamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e liberiamoci della struttura a tre piani della frazione:

Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova la derivata, ma durante banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordargli” il derivato.

Un esempio più semplice da risolvere da solo:

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Continuiamo a padroneggiare i metodi per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto il logaritmo “terribile” per la differenziazione