Derivati ​​complessi. Derivata logaritmica.
Derivata di una funzione esponenziale potenza

Continuiamo a migliorare la nostra tecnica di differenziazione. In questa lezione consolideremo il materiale trattato, esamineremo le derivate più complesse e conosceremo anche nuove tecniche e trucchi per trovare una derivata, in particolare, con la derivata logaritmica.

A quei lettori che hanno basso livello preparazione, è necessario fare riferimento all'articolo Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni, che ti permetterà di affinare le tue competenze quasi da zero. Successivamente, è necessario studiare attentamente la pagina Derivata di una funzione complessa, comprendere e risolvere Tutto gli esempi che ho fatto. Questa lezione è logicamente la terza di seguito e dopo averla padroneggiata differenzierai con sicurezza funzioni abbastanza complesse. Non è auspicabile assumere la posizione di “Dove altro? Sì, basta!", poiché tutti gli esempi e le soluzioni sono presi dalla realtà test e si incontrano spesso nella pratica.

Cominciamo con la ripetizione. Alla lezione Derivata di una funzione complessa Abbiamo esaminato una serie di esempi con commenti dettagliati. Nel corso dello studio del calcolo differenziale e di altri rami dell'analisi matematica, dovrai differenziare molto spesso, e non è sempre conveniente (e non sempre necessario) descrivere gli esempi in grande dettaglio. Pertanto, ci eserciteremo a trovare i derivati ​​oralmente. I “candidati” più adatti a questo scopo sono i derivati ​​della più semplice delle funzioni complesse, ad esempio:

Secondo la regola della differenziazione funzione complessa :

Quando si studieranno altri argomenti matan in futuro, una registrazione così dettagliata molto spesso non è necessaria; si presume che lo studente sappia come trovare tali derivati ​​con il pilota automatico. Immaginiamo che alle 3 del mattino ci fosse un telefonata, e una voce gradevole chiese: “Qual è la derivata della tangente di due X?” Questo dovrebbe essere seguito da una risposta quasi istantanea ed educata: .

Il primo esempio sarà immediatamente destinato a una soluzione indipendente.

Esempio 1

Trova oralmente, in un'unica azione, i seguenti derivati, ad esempio: . Per completare l'attività è sufficiente utilizzare tavola delle derivate delle funzioni elementari(se non te lo sei ancora ricordato). In caso di difficoltà, consiglio di rileggere la lezione Derivata di una funzione complessa.

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Risposte alla fine della lezione

Derivati ​​complessi

Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 nidificazioni di funzioni faranno meno paura. I seguenti due esempi possono sembrare complicati ad alcuni, ma se li capisci (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto del calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto COMPRENDI i tuoi investimenti. Nei casi in cui ci sono dubbi, te lo ricordo trucco utile: prendiamo ad esempio il significato sperimentale di “x” e proviamo (mentalmente o in una bozza) a sostituire questo significato nell'“espressione terribile”.

1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, il che significa che la somma è l'incorporamento più profondo.

2) Quindi devi calcolare il logaritmo:

4) Quindi fai il cubo del coseno:

5) Al quinto passaggio la differenza:

6) E infine, la funzione più esterna è la radice quadrata:

Formula per differenziare una funzione complessa vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Noi decidiamo:

Sembra che non ci siano errori...

(1) Calcola la derivata della radice quadrata.

(2) Prendiamo la derivata della differenza usando la regola

(3) La derivata di una tripla è zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).

(4) Prendiamo la derivata del coseno.

(5) Prendiamo la derivata del logaritmo.

(6) E infine, prendiamo la derivata dell'immersione più profonda.

Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutta la bellezza e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile in un esame per verificare se uno studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.

L'esempio seguente deve essere risolto da solo.

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

È ora di passare a qualcosa di più piccolo e più carino.
Non è raro che un esempio mostri il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata del prodotto di tre fattori?

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Per prima cosa guardiamo, è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni nel prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma nell'esempio in esame tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.

In questi casi è necessario in sequenza applicare la regola della differenziazione del prodotto due volte

Il trucco è che con “y” indichiamo il prodotto di due funzioni: , e con “ve” indichiamo il logaritmo: . Perché è possibile farlo? É davvero – questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:

Ora resta da applicare la norma una seconda volta tra parentesi:

Puoi anche distorcerti e mettere qualcosa tra parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta esattamente in questo modulo: sarà più facile da controllare.

L’esempio considerato può essere risolto nel secondo modo:

Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di soluzione indipendente; nell'esempio viene risolta utilizzando il primo metodo.

Diamo un'occhiata ad esempi simili con le frazioni.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Puoi andare qui in diversi modi:

O così:

Ma la soluzione sarà scritta in modo più compatto se utilizziamo prima la regola di differenziazione del quoziente , prendendo per l'intero numeratore:

In linea di principio l'esempio è risolto e, se lasciato così com'è, non sarà un errore. Ma se si ha tempo, è sempre consigliabile verificare una bozza per vedere se la risposta può essere semplificata? Riduciamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e liberiamoci della frazione di tre piani:

Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova la derivata, ma durante banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordargli” il derivato.

Un esempio più semplice da risolvere da solo:

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Continuiamo a padroneggiare i metodi per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto il logaritmo “terribile” per la differenziazione

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi andare oltre, usando la regola per differenziare una funzione complessa:

Ma il primo passo ti getta immediatamente nello sconforto: devi prendere la derivata spiacevole dalla potenza frazionaria, e poi anche dalla frazione.

Ecco perché Prima come derivare un logaritmo “sofisticato”, viene prima semplificato utilizzando proprietà scolastiche ben note:

! Se hai un quaderno di esercizi a portata di mano, copia queste formule direttamente lì. Se non hai un quaderno, copiali su un foglio di carta, poiché i restanti esempi della lezione ruoteranno attorno a queste formule.

La soluzione stessa può essere scritta in questo modo:

Trasformiamo la funzione:

Trovare la derivata:

La preconversione della funzione stessa ha notevolmente semplificato la soluzione. Pertanto, quando si propone per la differenziazione un logaritmo simile, è sempre consigliabile “scomponerlo”.

E ora un paio di semplici esempi da risolvere da solo:

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Tutte le trasformazioni e le risposte sono alla fine della lezione.

Derivata logaritmica

Se la derivata dei logaritmi è una musica così dolce, allora sorge la domanda: in alcuni casi è possibile organizzare artificialmente il logaritmo? Potere! E perfino necessario.

Esempio 11

Trova la derivata di una funzione

Recentemente abbiamo esaminato esempi simili. Cosa fare? È possibile applicare in sequenza la regola di differenziazione del quoziente, e poi la regola di differenziazione del prodotto. Lo svantaggio di questo metodo è che ti ritroverai con un'enorme frazione di tre piani, con la quale non vuoi assolutamente occuparti.

Ma in teoria e in pratica esiste una cosa meravigliosa come la derivata logaritmica. I logaritmi possono essere organizzati artificialmente “appendendoli” su entrambi i lati:

Ora devi “disintegrare” il più possibile il logaritmo della parte destra (formule davanti ai tuoi occhi?). Descriverò questo processo in grande dettaglio:

Cominciamo con la differenziazione.
Concludiamo entrambe le parti sotto il primo:

La derivata del secondo membro è abbastanza semplice; non la commenterò, perché se stai leggendo questo testo dovresti essere in grado di maneggiarla con sicurezza.

E il lato sinistro?

Sul lato sinistro abbiamo funzione complessa. Prevedo la domanda: "Perché, c'è una lettera "Y" sotto il logaritmo?"

Il fatto è che questo "gioco di una lettera" - È STESSO UNA FUNZIONE(se non è molto chiaro fare riferimento all'articolo Derivata di una funzione specificata implicitamente). Pertanto, il logaritmo è una funzione esterna e la “y” lo è funzione interna. E usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Sul lato sinistro, come per magia bacchetta magica abbiamo una derivata. Successivamente, secondo la regola delle proporzioni, trasferiamo la “y” dal denominatore del lato sinistro alla parte superiore del lato destro:

E ora ricordiamo di che tipo di funzione “giocatore” abbiamo parlato durante la differenziazione? Consideriamo la condizione:

Risposta finale:

Esempio 12

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Alla fine della lezione si trova un disegno di esempio di questo tipo.

Usando la derivata logaritmica è stato possibile risolvere qualsiasi degli esempi n. 4-7, un'altra cosa è che le funzioni sono più semplici e, forse, l'uso della derivata logaritmica non è molto giustificato.

Derivata di una funzione esponenziale potenza

Non abbiamo ancora considerato questa funzione. Una funzione esponenziale di potenza è una funzione per la quale sia il grado che la base dipendono dalla “x”. Un classico esempio che ti verrà fornito in qualsiasi libro di testo o lezione:

Come trovare la derivata di una funzione esponenziale potenza?

È necessario utilizzare la tecnica appena discussa: la derivata logaritmica. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati:

Di norma, sul lato destro il grado viene tolto da sotto il logaritmo:

Di conseguenza, sul lato destro avremo il prodotto di due funzioni, che verrà differenziato secondo la formula standard .

Troviamo la derivata; per fare ciò racchiudiamo entrambe le parti tra i tratti:

Ulteriori azioni sono semplici:

Finalmente:

Se qualche conversione non è del tutto chiara, rileggi attentamente le spiegazioni dell'Esempio n. 11.

Nei compiti pratici, la funzione esponenziale della potenza sarà sempre più complicata rispetto all'esempio della lezione considerata.

Esempio 13

Trova la derivata di una funzione

Usiamo la derivata logaritmica.

Sul lato destro abbiamo una costante e il prodotto di due fattori: "x" e "logaritmo del logaritmo x" (un altro logaritmo è annidato sotto il logaritmo). Quando si differenzia, come ricordiamo, è meglio spostare immediatamente la costante fuori dal segno della derivata in modo che non sia d'intralcio; e, naturalmente, applichiamo la regola familiare :

Come puoi vedere, l'algoritmo per l'utilizzo della derivata logaritmica non contiene trucchi o trucchi speciali e la ricerca della derivata di una funzione esponenziale di potenza di solito non è associata al "tormento".

Funzioni tipo complesso non sempre si adattano alla definizione di una funzione complessa. Se esiste una funzione della forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, allora non può essere considerata complessa, a differenza di y = sin 2 x.

In questo articolo verrà illustrato il concetto di funzione complessa e la sua identificazione. Lavoriamo con le formule per trovare la derivata con esempi di soluzioni nella conclusione. L'uso della tabella delle derivate e delle regole di differenziazione riduce significativamente il tempo per trovare la derivata.

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Definizioni di base

Definizione 1

Una funzione complessa è quella il cui argomento è anche una funzione.

Si denota in questo modo: f (g (x)). Abbiamo che la funzione g (x) è considerata un argomento f (g (x)).

Definizione 2

Se esiste una funzione f ed è una funzione cotangente, allora la funzione è g(x) = ln x logaritmo naturale. Troviamo che la funzione complessa f (g (x)) verrà scritta come arctg(lnx). Oppure una funzione f, che è una funzione elevata alla 4a potenza, dove g (x) = x 2 + 2 x - 3 è considerata un'intera funzione razionale, otteniamo che f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Ovviamente g(x) può essere complesso. Dall'esempio y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 è chiaro che il valore di g ha radice cubica della frazione. Questa espressione può essere indicata come y = f (f 1 (f 2 (x))). Da dove abbiamo che f è una funzione seno e f 1 è una funzione situata sotto radice quadrata, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - funzione razionale frazionaria.

Definizione 3

Il grado di nidificazione è determinato da qualsiasi numero naturale ed è scritto come y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definizione 4

Il concetto di composizione di funzioni si riferisce al numero di funzioni annidate in base alle condizioni del problema. Per risolvere, utilizzare la formula per trovare la derivata di una funzione complessa della forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Esempi

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione complessa della forma y = (2 x + 1) 2.

Soluzione

La condizione mostra che f è una funzione quadratica e g(x) = 2 x + 1 è considerata una funzione lineare.

Applichiamo la formula della derivata per una funzione complessa e scriviamo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

È necessario trovare la derivata con una forma originale semplificata della funzione. Noi abbiamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Da qui abbiamo quello

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

I risultati erano gli stessi.

Quando si risolvono problemi di questo tipo, è importante capire dove verrà posizionata la funzione della forma f e g (x).

Esempio 2

Dovresti trovare le derivate delle funzioni complesse della forma y = sin 2 x e y = sin x 2.

Soluzione

La prima notazione della funzione dice che f è la funzione di quadratura e g(x) è la funzione seno. Allora lo capiamo

y " = (sen 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sen x) " = 2 sin x cos x

La seconda voce mostra che f è una funzione seno e viene indicato g(x) = x 2 funzione di potenza. Ne consegue che scriviamo il prodotto di una funzione complessa come

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La formula per la derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) verrà scritta come y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Esempio 3

Trova la derivata della funzione y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluzione

Questo esempio mostra la difficoltà di scrivere e determinare la posizione delle funzioni. Allora y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denota dove f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) è la funzione seno, la funzione di innalzamento a 3 gradi, funzione con logaritmo e base e, arcotangente e funzione lineare.

Dalla formula per definire una funzione complessa abbiamo questo

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Otteniamo ciò che dobbiamo trovare

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) come derivata del seno secondo la tabella delle derivate, quindi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) come derivata di una funzione di potenza, allora f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) come derivata logaritmica, allora f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) come derivata dell'arcotangente, allora f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Quando trovi la derivata f 4 (x) = 2 x, rimuovi 2 dal segno della derivata usando la formula per la derivata di una funzione di potenza con esponente uguale a 1, quindi f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combiniamo i risultati intermedi e otteniamo quello

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

L'analisi di tali funzioni ricorda le bambole che nidificano. Le regole di differenziazione non possono sempre essere applicate esplicitamente utilizzando una tabella derivata. Spesso è necessario utilizzare una formula per trovare le derivate di funzioni complesse.

Esistono alcune differenze tra aspetto complesso e funzioni complesse. Con una chiara capacità di distinguerlo, trovare i derivati ​​sarà particolarmente facile.

Esempio 4

È necessario considerare di fornire un simile esempio. Se esiste una funzione della forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, allora può essere considerata come una funzione complessa della forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Ovviamente è necessario utilizzare la formula per una derivata complessa:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Una funzione della forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 non è considerata complessa, poiché ha la somma di t g x 2, 3 t g x e ​​1. Tuttavia, t g x 2 è considerata una funzione complessa, quindi otteniamo una funzione potenza della forma g (x) = x 2 e f, che è una funzione tangente. Per fare ciò, differenziare per importo. Lo capiamo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3cos 2x

Passiamo alla ricerca della derivata di una funzione complessa (t g x 2)":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Otteniamo che y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funzioni di tipo complesso possono essere incluse in funzioni complesse e le funzioni complesse stesse possono essere componenti di funzioni di tipo complesso.

Esempio 5

Ad esempio, considera una funzione complessa della forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Questa funzione può essere rappresentata come y = f (g (x)), dove il valore di f è una funzione del logaritmo in base 3 e g (x) è considerata la somma di due funzioni della forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 e k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Ovviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Consideriamo la funzione h(x). Questo è il rapporto l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 rispetto a m (x) = e x 2 + 3 3

Abbiamo che l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) è la somma di due funzioni n (x) = x 2 + 7 e p ​​( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dove p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) è una funzione complessa con coefficiente numerico 3 e p 1 è una funzione cubica, p 2 con una funzione coseno, p 3 (x) = 2 x + 1 con una funzione lineare.

Abbiamo scoperto che m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) è la somma di due funzioni q (x) = e x 2 e r (x) = 3 3, dove q (x) = q 1 (q 2 (x)) è una funzione complessa, q 1 è una funzione con esponenziale, q 2 (x) = x 2 è una funzione potenza.

Ciò dimostra che h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Passando ad un'espressione nella forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), è chiaro che la funzione si presenta sotto forma di un complesso s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) con un intero razionale t (x) = x 2 + 1, dove s 1 è una funzione di quadratura, e s 2 (x) = ln x è logaritmica con base e.

Ne consegue che l'espressione assumerà la forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Allora lo capiamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sulla base delle strutture della funzione, è diventato chiaro come e quali formule utilizzare per semplificare l'espressione quando si differenzia. Per acquisire familiarità con tali problemi e per il concetto della loro soluzione, è necessario arrivare al punto di differenziare una funzione, cioè trovare la sua derivata.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Dato che sei venuto qui, probabilmente hai già visto questa formula nel libro di testo

e fai una faccia così:

Amico, non preoccuparti! In effetti, tutto è semplicemente scandaloso. Capirai sicuramente tutto. Solo una richiesta: leggi l'articolo lentamente, cerca di capire ogni passaggio. Ho scritto nel modo più semplice e chiaro possibile, ma devi comunque capire l'idea. E assicurati di risolvere i compiti dell'articolo.

Cos'è una funzione complessa?

Immagina di trasferirti in un altro appartamento e quindi di imballare le cose in grandi scatole. Supponiamo che tu debba raccogliere alcuni piccoli oggetti, ad esempio materiale per scrivere a scuola. Se li getti semplicemente in una scatola enorme, si perderanno tra le altre cose. Per evitare ciò, li metti prima, ad esempio, in un sacchetto, che poi metti in una grande scatola, dopodiché la sigilli. Questo processo “complesso” è presentato nel diagramma seguente:

Sembrerebbe, cosa c'entra la matematica? Sì, nonostante il fatto che una funzione complessa sia formata ESATTAMENTE NELLO STESSO modo! Solo che noi “impacchettamo” non quaderni e penne, ma \(x\), mentre i “pacchetti” e le “scatole” sono diversi.

Ad esempio, prendiamo x e “impacchettatelo” in una funzione:

Di conseguenza, otteniamo, ovviamente, \(\cos⁡x\). Questa è la nostra “borsa delle cose”. Ora inseriamolo in una "scatola": impacchettalo, ad esempio, in una funzione cubica.

Cosa accadrà alla fine? Sì, è vero, ci sarà un "sacchetto di cose in una scatola", cioè "coseno di X al cubo".

Il design risultante è una funzione complessa. Si differenzia da quello semplice in questo DIVERSE “influenze” (pacchetti) vengono applicate a una X di seguito e risulta come se "funzione da funzione" - "imballaggio nell'imballaggio".

Nel percorso scolastico esistono pochissime tipologie di questi “pacchetti”, solo quattro:

Ora "impacchettamo" prima X funzione esponenziale con base 7, e poi in una funzione trigonometrica. Noi abbiamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Ora "impacchettamo" X due volte funzioni trigonometriche, prima in , e poi in:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Semplice, vero?

Ora scrivi tu stesso le funzioni, dove x:
- prima viene “impacchettato” in un coseno, e poi in una funzione esponenziale con base \(3\);
- prima alla quinta potenza e poi alla tangente;
- prima al logaritmo in base \(4\) , poi alla potenza \(-2\).

Trova le risposte a questa attività alla fine dell'articolo.

Possiamo “impacchettare” X non due, ma tre volte? Nessun problema! E quattro, cinque e venticinque volte. Ecco, ad esempio, una funzione in cui x è “compresso” \(4\) volte:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ma tali formule non si trovano nella pratica scolastica (gli studenti sono più fortunati, la loro potrebbe essere più complicata☺).

"Unpacking" una funzione complessa

Guarda di nuovo la funzione precedente. Riesci a capire la sequenza di "imballaggio"? In cosa è stato inserito X prima, in cosa poi e così via fino alla fine. Cioè, quale funzione è annidata all'interno di quale? Prendi un pezzo di carta e scrivi cosa ne pensi. Puoi farlo con una catena con frecce come abbiamo scritto sopra o in qualsiasi altro modo.

Ora la risposta corretta è: prima x è stato “compresso” alla \(4\)esima potenza, poi il risultato è stato compresso in un seno e, a sua volta, è stato inserito nel logaritmo in base \(2\) , e alla fine l'intera costruzione è stata inserita in un power five.

Cioè, devi svolgere la sequenza IN ORDINE INVERSO. Ed ecco un suggerimento su come farlo più facilmente: guarda immediatamente la X: dovresti ballare da lì. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Ad esempio, ecco la seguente funzione: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Guardiamo X: cosa gli succede prima? Preso da lui. Poi? Viene presa la tangente del risultato. La sequenza sarà la stessa:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un altro esempio: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizziamo: prima abbiamo cubato X e poi abbiamo preso il coseno del risultato. Ciò significa che la sequenza sarà: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Fai attenzione, la funzione sembra essere simile alla prima (dove ci sono le immagini). Ma questa è una funzione completamente diversa: qui nel cubo c'è x (cioè \(\cos⁡((x·x·x)))\), e lì nel cubo c'è il coseno \(x\) ( cioè \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Questa differenza deriva da diverse sequenze di "impacchettamento".

L'ultimo esempio (con Informazioni importanti in esso): \(y=\sin⁡((2x+5))\). È chiaro che qui prima hanno fatto operazioni aritmetiche con x, poi hanno preso il seno del risultato: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). E questo punto importante: nonostante le operazioni aritmetiche non siano funzioni in sé, qui fungono anche da “impacchettamento”. Approfondiamo un po' più a fondo questa sottigliezza.

Come ho detto sopra, nelle funzioni semplici x viene "compresso" una volta e nelle funzioni complesse due o più. Inoltre, lo è anche qualsiasi combinazione di funzioni semplici (cioè la loro somma, differenza, moltiplicazione o divisione). funzione semplice. Ad esempio, \(x^7\) è una funzione semplice e lo è anche \(ctg x\). Ciò significa che tutte le loro combinazioni sono funzioni semplici:

\(x^7+ ctg x\) - semplice,
\(x^7· lettino x\) – semplice,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – semplice, ecc.

Tuttavia, se a tale combinazione viene applicata un'altra funzione, questa diventerà una funzione complessa, poiché ci saranno due “pacchetti”. Vedi diagramma:

Ok, vai avanti adesso. Scrivi la sequenza delle funzioni di “wrapping”:
\(y=cos(⁡(sen⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Le risposte sono ancora una volta alla fine dell'articolo.

Funzioni interne ed esterne

Perché dobbiamo comprendere l'annidamento delle funzioni? Cosa ci dà questo? Il fatto è che senza tale analisi non saremo in grado di trovare in modo affidabile i derivati ​​​​delle funzioni discusse sopra.

E per andare avanti avremo bisogno di altri due concetti: funzioni interne ed esterne. Questa è una cosa molto semplice, del resto, le abbiamo già analizzate sopra: se ricordiamo la nostra analogia all'inizio, allora la funzione interna è un “pacchetto”, e la funzione esterna è una “scatola”. Quelli. ciò in cui X è “avvolto” per primo è una funzione interna, e ciò in cui è “avvolto” la funzione interna è già esterno. Bene, il motivo è chiaro: è fuori, significa esterna.

In questo esempio: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la funzione \(\log_2⁡x\) è interna e
- esterno.

E in questo: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) è interno, e
- esterno.

Completa l'ultima pratica di analisi delle funzioni complesse e passiamo finalmente a ciò per cui siamo partiti: troveremo i derivati ​​​​di funzioni complesse:

Compila gli spazi vuoti nella tabella:

Derivata di una funzione complessa

Bravi per noi, siamo finalmente arrivati ​​al "capo" di questo argomento - in effetti, la derivata di una funzione complessa, e in particolare, a quella terribile formula dall'inizio dell'articolo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Questa formula si legge così:

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna rispetto ad una funzione interna costante e della derivata della funzione interna.

E guarda immediatamente il diagramma di analisi, secondo le parole, in modo da capire cosa fare con cosa:

Spero che i termini “derivato” e “prodotto” non causino alcuna difficoltà. "Funzione complessa": l'abbiamo già risolta. Il problema sta nella “derivata di una funzione esterna rispetto a una funzione interna costante”. Cos'è?

Risposta: Questa è la derivata abituale di una funzione esterna, in cui cambia solo la funzione esterna e quella interna rimane la stessa. Ancora non è chiaro? Ok, usiamo un esempio.

Consideriamo una funzione \(y=\sin⁡(x^3)\). È chiaro che la funzione interna qui è \(x^3\), mentre quella esterna
. Troviamo ora la derivata dell'esterno rispetto alla costante interna.

Viene fornita una dimostrazione della formula per la derivata di una funzione complessa. Vengono considerati in dettaglio i casi in cui una funzione complessa dipende da una o due variabili. Viene fatta una generalizzazione al caso di un numero arbitrario di variabili.

Qui forniamo la derivazione delle seguenti formule per la derivata di una funzione complessa.
Se poi
.
Se poi
.
Se poi
.

Derivata di una funzione complessa da una variabile

Sia rappresentata una funzione di variabile x come una funzione complessa nella seguente forma:
,
dove ci sono alcune funzioni. La funzione è differenziabile per qualche valore della variabile x. La funzione è differenziabile per il valore della variabile.
Allora la funzione complessa (composita) è differenziabile nel punto x e la sua derivata è determinata dalla formula:
(1) .

La formula (1) può anche essere scritta come segue:
;
.

Prova

Introduciamo la seguente notazione.
;
.
Qui c'è una funzione delle variabili e , c'è una funzione delle variabili e . Ma ometteremo gli argomenti di queste funzioni per non confondere i calcoli.

Poiché le funzioni e sono differenziabili nei punti x e , rispettivamente, allora in questi punti ci sono le derivate di queste funzioni, che sono i seguenti limiti:
;
.

Consideriamo la seguente funzione:
.
Per un valore fisso della variabile u, è una funzione di . E' ovvio
.
Poi
.

Poiché la funzione è differenziabile in quel punto, in quel punto è continua. Ecco perché
.
Poi
.

Ora troviamo la derivata.

.

La formula è provata.

Conseguenza

Se una funzione di una variabile x può essere rappresentata come una funzione complessa di una funzione complessa
,
quindi la sua derivata è determinata dalla formula
.
Qui , e ci sono alcune funzioni differenziabili.

Per dimostrare questa formula, calcoliamo in sequenza la derivata utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa.
Consideriamo la funzione complessa
.
Il suo derivato
.
Considera la funzione originale
.
Il suo derivato
.

Derivata di una funzione complessa da due variabili

Lasciamo ora che la funzione complessa dipenda da più variabili. Per prima cosa diamo un'occhiata caso di una funzione complessa di due variabili.

Sia rappresentata una funzione dipendente dalla variabile x come una funzione complessa di due variabili nella forma seguente:
,
Dove
e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- una funzione di due variabili, differenziabile nel punto , . Quindi la funzione complessa è definita in un certo intorno del punto e ha una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Poiché le funzioni e sono differenziabili nel punto, sono definite in un certo intorno di questo punto, sono continue nel punto e nel punto esistono le loro derivate, che sono i seguenti limiti:
;
.
Qui
;
.
A causa della continuità di queste funzioni in un punto, abbiamo:
;
.

Poiché la funzione è differenziabile nel punto, è definita in un certo intorno di questo punto, è continua in questo punto e il suo incremento può essere scritto nella forma seguente:
(3) .
Qui

- incremento di una funzione quando i suoi argomenti vengono incrementati di valori e ;
;

- derivate parziali della funzione rispetto alle variabili e .
Per valori fissi di e , e sono funzioni delle variabili e . Tendono a zero a e:
;
.
Da e , quindi
;
.

Incremento della funzione:

. :
.
Sostituiamo la (3):



.

La formula è provata.

Derivata di una funzione complessa da più variabili

La conclusione precedente può essere facilmente generalizzata al caso in cui il numero di variabili di una funzione complessa è maggiore di due.

Ad esempio, se f è funzione di tre variabili, Quello
,
Dove
, e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- funzione differenziabile di tre variabili nel punto , , .
Quindi, dalla definizione di differenziabilità della funzione, si ha:
(4)
.
Perché, per continuità,
; ; ,
Quello
;
;
.

Dividendo la (4) e passando al limite si ottiene:
.

E infine, consideriamo il caso più generale.
Sia rappresentata una funzione di variabile x come una funzione complessa di n variabili nella forma seguente:
,
Dove
ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- funzione differenziabile di n variabili in un punto
, , ... , .
Poi
.

E il teorema sulla derivata di una funzione complessa, la cui formulazione è la seguente:

Sia 1) la funzione $u=\varphi (x)$ ad un certo punto $x_0$ la derivata $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) la funzione $y=f(u)$ si ha al corrispondente nel punto $u_0=\varphi (x_0)$ la derivata $y_(u)"=f"(u)$. Allora anche la funzione complessa $y=f\left(\varphi (x) \right)$ nel punto indicato avrà una derivata pari al prodotto delle derivate delle funzioni $f(u)$ e $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

o, in notazione più breve: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Negli esempi di questa sezione, tutte le funzioni hanno la forma $y=f(x)$ (ovvero consideriamo solo funzioni di una variabile $x$). Di conseguenza, in tutti gli esempi la derivata $y"$ viene presa rispetto alla variabile $x$. Per sottolineare che la derivata viene presa rispetto alla variabile $x$, spesso viene scritto $y"_x$ al posto di $y "$.

Gli esempi n. 1, n. 2 e n. 3 delineano il processo dettagliato per trovare la derivata di funzioni complesse. L'esempio n. 4 è inteso per una comprensione più completa della tabella delle derivate ed è opportuno familiarizzare con essa.

Si consiglia, dopo aver studiato il materiale negli esempi n. 1-3, di passare alla risoluzione indipendente degli esempi n. 5, n. 6 e n. 7. Gli esempi #5, #6 e #7 contengono una breve soluzione in modo che il lettore possa verificare la correttezza del suo risultato.

Esempio n. 1

Trova la derivata della funzione $y=e^(\cos x)$.

Dobbiamo trovare la derivata di una funzione complessa $y"$. Poiché $y=e^(\cos x)$, allora $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Per trova la derivata $ \left(e^(\cos x)\right)"$ usiamo la formula n. 6 dalla tabella delle derivate. Per utilizzare la formula n. 6 dobbiamo tenere conto che nel nostro caso $u=\cos x$. L'ulteriore soluzione consiste nel sostituire semplicemente l'espressione $\cos x$ invece di $u$ nella formula n. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Ora dobbiamo trovare il valore dell'espressione $(\cos x)"$. Torniamo nuovamente alla tabella delle derivate, scegliendo da essa la formula n. 10. Sostituendo $u=x$ nella formula n. 10, abbiamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Proseguiamo ora con l'uguaglianza (1.1), integrandola con il risultato trovato:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Poiché $x"=1$, continuiamo con l'uguaglianza (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Quindi dall'uguaglianza (1.3) si ottiene: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturalmente le spiegazioni e le uguaglianze intermedie vengono solitamente saltati, scrivendo il risultato della derivata in una riga, come nell'uguaglianza ( 1.3) Quindi, la derivata di una funzione complessa è stata trovata, non resta che scrivere la risposta.

Risposta: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Esempio n.2

Trova la derivata della funzione $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Dobbiamo calcolare la derivata $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Per cominciare notiamo che la costante (cioè il numero 9) può essere tolta dal segno della derivata:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Passiamo ora all'espressione $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Per facilitare la selezione della formula desiderata dalla tabella delle derivate, presenterò l'espressione in questione in questa forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ora è chiaro che è necessario utilizzare la formula n. 2, ad es. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Sostituiamo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ e $\alpha=12$ in questa formula:

Integrando l’uguaglianza (2.1) con il risultato ottenuto, abbiamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

In questa situazione spesso si commette un errore quando il risolutore al primo passo sceglie la formula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ invece della formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Il punto è che la derivata della funzione esterna deve venire prima. Per capire quale funzione sarà esterna all'espressione $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, immagina di calcolare il valore dell'espressione $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ ad un certo valore $x$. Per prima cosa calcolerai il valore di $5^x$, quindi moltiplicherai il risultato per 4, ottenendo $4\cdot 5^x$. Ora prendiamo l'arcotangente da questo risultato, ottenendo $\arctg(4\cdot 5^x)$. Quindi eleviamo il numero risultante alla dodicesima potenza, ottenendo $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. L'ultima azione, cioè elevandolo alla potenza di 12, - e lo sarà funzione esterna. Ed è da qui che dobbiamo cominciare a trovare la derivata, cosa che è stata fatta nell'uguaglianza (2.2).

Ora dobbiamo trovare $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Usiamo la formula n. 19 della tabella delle derivate, sostituendovi $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Semplifichiamo un po' l'espressione risultante, tenendo conto di $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

L’uguaglianza (2.2) diventerà ora:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Resta da trovare $(4\cdot \ln x)"$. Togliamo la costante (cioè 4) dal segno della derivata: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ Per trovare $(\ln x)"$ usiamo la formula n. 8, sostituendovi $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Poiché $x"=1$, allora $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Sostituendo il risultato ottenuto nella formula (2.3), otteniamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Lascia che ti ricordi che la derivata di una funzione complessa si trova molto spesso in una riga, come scritto nell'ultima uguaglianza. Pertanto, quando si preparano calcoli standard o lavori di controllo, non è affatto necessario descrivere la soluzione in modo così dettagliato.

Risposta: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Esempio n.3

Trova $y"$ della funzione $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Per prima cosa trasformiamo leggermente la funzione $y$, esprimendo il radicale (radice) come una potenza: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Ora iniziamo a trovare la derivata. Poiché $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, allora:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Usiamo la formula n. 2 dalla tabella delle derivate, sostituendo $u=\sin(5\cdot 9^x)$ e $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Continuiamo l'uguaglianza (3.1) utilizzando il risultato ottenuto:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Ora dobbiamo trovare $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Per questo usiamo la formula n. 9 dalla tabella delle derivate, sostituendovi $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Integrando l'uguaglianza (3.2) con il risultato ottenuto, abbiamo:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Resta da trovare $(5\cdot 9^x)"$. Per prima cosa prendiamo la costante (il numero $5$) fuori dal segno della derivata, cioè $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Per trovare la derivata $(9^x)"$, applicare la formula n. 5 della tabella delle derivate, sostituendo $a=9$ e $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Poiché $x"=1$, allora $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ora possiamo continuare l'uguaglianza (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Possiamo ancora una volta tornare dalle potenze ai radicali (cioè radici), scrivendo $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ nella forma $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Quindi la derivata verrà scritta in questa forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Risposta: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Esempio n.4

Mostra che le formule n. 3 e n. 4 della tabella delle derivate lo sono caso speciale formule n. 2 di questa tabella.

La formula n. 2 della tabella delle derivate contiene la derivata della funzione $u^\alpha$. Sostituendo $\alpha=-1$ nella formula n. 2, otteniamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Poiché $u^(-1)=\frac(1)(u)$ e $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, l'uguaglianza (4.1) può essere riscritta come segue: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Questa è la formula n. 3 della tabella dei derivati.

Torniamo ancora alla formula n. 2 della tabella dei derivati. Sostituiamo $\alpha=\frac(1)(2)$ al suo interno:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Poiché $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ e $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, allora l'uguaglianza (4.2) può essere riscritta come segue:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

L'uguaglianza risultante $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ è la formula n. 4 della tabella delle derivate. Come puoi vedere, le formule n. 3 e n. 4 della tabella delle derivate si ottengono dalla formula n. 2 sostituendo il corrispondente valore $\alpha$.