Definizione. Sia definita la funzione \(y = f(x) \) in un certo intervallo contenente al suo interno il punto \(x_0\). Diamo all'argomento un incremento \(\Delta x \) tale che non lasci questo intervallo. Troviamo l'incremento corrispondente della funzione \(\Delta y \) (quando ci si sposta dal punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) e componiamo la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Se esiste un limite a questo rapporto in \(\Delta x \rightarrow 0\), viene chiamato il limite specificato derivata di una funzione\(y=f(x) \) nel punto \(x_0 \) e denotiamo \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Nota che y" = f(x) è una nuova funzione, ma naturalmente correlata alla funzione y = f(x), definita in tutti i punti x in cui esiste il limite di cui sopra. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y = f(x).

Significato geometrico della derivataè come segue. Se è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto con ascissa x=a, che non è parallelo all'asse y, allora f(a) esprime la pendenza della tangente :
\(k = f"(a)\)

Poiché \(k = tg(a) \), allora l'uguaglianza \(f"(a) = tan(a) \) è vera.

Ora interpretiamo la definizione di derivata dal punto di vista delle uguaglianze approssimate. Sia la funzione \(y = f(x)\) una derivata in un punto specifico \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che in prossimità del punto x l'uguaglianza approssimata \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \about f"(x)\), ovvero \(\Delta y \about f"(x) \cdot\ Deltax\). Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa risultante è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in dato punto X. Ad esempio, per la funzione \(y = x^2\) è valida l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \about 2x \cdot \Delta x \). Se analizziamo attentamente la definizione di derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.

Formuliamolo.

Come trovare la derivata della funzione y = f(x)?

1. Correggi il valore di \(x\), trova \(f(x)\)
2. Assegna all'argomento \(x\) un incremento \(\Delta x\), vai a un nuovo punto \(x+ \Delta x \), trova \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trova l'incremento della funzione: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Crea la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione nel punto x.

Se una funzione y = f(x) ha una derivata in un punto x, allora si dice differenziabile in un punto x. Viene richiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y = f(x). differenziazione funzioni y = f(x).

Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate tra loro la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?

Sia la funzione y = f(x) differenziabile nel punto x. Quindi è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M(x; f(x)) e, ricordiamo, il coefficiente angolare della tangente è uguale a f "(x). Tale grafico non può "spezzarsi" nel punto M, cioè la funzione deve essere continua nel punto x.

Questi erano argomenti “pratici”. Facciamo un ragionamento più rigoroso. Se la funzione y = f(x) è differenziabile nel punto x, allora vale l'uguaglianza approssimata \(\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x \). Se in questa uguaglianza \(\Delta x \) tende a zero, allora \(\Delta y\) tenderà a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.

COSÌ, se una funzione è differenziabile in un punto x allora è continua in quel punto.

L’affermazione inversa non è vera. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di giunzione” (0; 0) non esiste. Se ad un certo punto non è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione, in quel punto la derivata non esiste.

Un altro esempio. La funzione \(y=\sqrt(x)\) è continua su tutta la linea numerica, incluso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, incluso nel punto x = 0 Ma in questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x = 0. Coefficiente di pendenza tale linea non ha, il che significa che neanche \(f"(0) \) esiste

Quindi, abbiamo conosciuto una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può concludere dal grafico di una funzione che è differenziabile?

La risposta in realtà è data sopra. Se ad un certo punto è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora a questo punto la funzione è differenziabile. Se ad un certo punto la tangente al grafico di una funzione non esiste o è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora in questo punto la funzione non è differenziabile.

Regole di differenziazione

L'operazione di trovare la derivata si chiama differenziazione. Quando si esegue questa operazione, spesso è necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione di derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivata funzione complessa:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tavola delle derivate di alcune funzioni

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Data: 05/10/2015

Come trovare la derivata?

Regole di differenziazione.

Per trovare la derivata di qualsiasi funzione, devi padroneggiare solo tre concetti:

2. Regole di differenziazione.

3. Derivato di una funzione complessa.

Esattamente in quest'ordine. È un suggerimento.)

Certo, sarebbe carino avere un'idea sui derivati ​​in generale). Cos'è una derivata e come lavorare con la tabella delle derivate è spiegato chiaramente nella lezione precedente. Qui ci occuperemo delle regole di differenziazione.

La differenziazione è l'operazione di trovare la derivata. Non c’è niente di più nascosto dietro questo termine. Quelli. espressioni "trova la derivata di una funzione" E "differenziare una funzione"- È lo stesso.

Espressione "regole di differenziazione" si riferisce alla ricerca della derivata dalle operazioni aritmetiche. Questa comprensione aiuta molto a evitare confusione nella tua testa.

Concentriamoci e ricordiamo tutte, tutte, tutte le operazioni aritmetiche. Ci sono quattro di loro). Addizione (somma), sottrazione (differenza), moltiplicazione (prodotto) e divisione (quoziente). Eccole, le regole di differenziazione:

La targa mostra cinque regole su quattro operazioni aritmetiche. Non mi sono imbrogliato.) È solo che la regola 4 è una conseguenza elementare della regola 3. Ma è così popolare che ha senso scriverla (e ricordarla!) come una formula indipendente.

Sotto le designazioni U E V alcune funzioni (assolutamente qualsiasi!) sono implicite U(x) E V(x).

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Primo: quelli più semplici.

Trova la derivata della funzione y=sinx - x 2

Qui abbiamo differenza due funzioni elementari. Applichiamo la regola 2. Assumeremo che sinx sia una funzione U e x 2 è la funzione V. Abbiamo tutto il diritto di scrivere:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Così va meglio, vero?) Tutto ciò che resta da fare è trovare le derivate del seno e del quadrato di x. A questo scopo esiste una tabella dei derivati. Cerchiamo semplicemente le funzioni di cui abbiamo bisogno nella tabella ( sinx E x2), guarda quali derivati ​​hanno e scrivi la risposta:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Questo è tutto. La regola 1 della differenziazione della somma funziona esattamente allo stesso modo.

Cosa succede se abbiamo più termini? Nessun problema.) Suddividiamo la funzione in termini e cerchiamo la derivata di ciascun termine indipendentemente dagli altri. Per esempio:

Trova la derivata della funzione y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Scriviamo con coraggio:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Alla fine della lezione darò consigli per semplificare la vita durante la differenziazione.)

Consiglio pratico:

1. Prima della differenziazione, vedere se è possibile semplificare la funzione originale.

2. Negli esempi complicati descriviamo la soluzione in dettaglio, con tutte le parentesi e i trattini.

3. Quando differenziamo frazioni con un numero costante al denominatore, trasformiamo la divisione in moltiplicazione e utilizziamo la regola 4.

I calcoli derivativi si trovano spesso in Compiti dell'Esame di Stato Unificato. Questa pagina contiene un elenco di formule per trovare le derivate.

Regole di differenziazione

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivata di una funzione complessa. Se y=F(u) e u=u(x), allora la funzione y=f(x)=F(u(x)) è detta funzione complessa di x. Uguale a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivata di una funzione implicita. La funzione y=f(x) è detta funzione implicita definita dalla relazione F(x,y)=0 se F(x,f(x))≡0.
6. Derivata della funzione inversa. Se g(f(x))=x, allora viene chiamata la funzione g(x). funzione inversa per la funzione y=f(x).
7. Derivata di una funzione definita parametricamente. Siano xey specificati come funzioni della variabile t: x=x(t), y=y(t). Dicono che y=y(x) parametricamente data funzione sull'intervallo x∈ (a;b), se su questo intervallo l'equazione x=x(t) può essere espressa come t=t(x) e la funzione y=y(t(x))=y(x) può essere definito.
8. Derivata del potere funzione esponenziale. Si trova portando i logaritmi alla base del logaritmo naturale.

Ti consigliamo di salvare il collegamento, poiché questa tabella potrebbe essere necessaria più volte.

Derivazione della formula derivativa funzione di potenza(x elevato a a). Vengono considerate le derivate dalle radici di x. Formula per la derivata di una funzione potenza di ordine superiore. Esempi di calcolo delle derivate.

La derivata di x elevato a a è uguale a a moltiplicato x elevato a meno uno:
(1) .

La derivata della radice n-esima di x elevata alla potenza m-esima è:
(2) .

Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza

Caso x > 0

Consideriamo una funzione potenza della variabile x con esponente a:
(3) .
Qui a è un numero reale arbitrario. Consideriamo innanzitutto il caso.

Per trovare la derivata della funzione (3), utilizziamo le proprietà di una funzione potenza e la trasformiamo nella seguente forma:
.

Ora troviamo la derivata utilizzando:
;
.
Qui .

La formula (1) è stata dimostrata.

Derivazione della formula per la derivata di una radice di grado n di x nel grado di m

Consideriamo ora una funzione che sia la radice della seguente forma:
(4) .

Per trovare la derivata trasformiamo la radice in una funzione potenza:
.
Confrontando con la formula (3) lo vediamo
.
Poi
.

Usando la formula (1) troviamo la derivata:
(1) ;
;
(2) .

In pratica non è necessario memorizzare la formula (2). È molto più conveniente trasformare prima le radici in funzioni potenza e poi trovare le loro derivate utilizzando la formula (1) (vedi esempi a fine pagina).

Caso x = 0

Se , allora la funzione potenza è definita per il valore della variabile x = 0 . Troviamo la derivata della funzione (3) in x = 0 . Per fare ciò usiamo la definizione di derivata:
.

Sostituiamo x = 0 :
.
In questo caso per derivata si intende il limite destro per il quale .

Quindi abbiamo trovato:
.
Da ciò è chiaro che per , .
A , .
A , .
Questo risultato si ottiene anche dalla formula (1):
(1) .
Pertanto la formula (1) vale anche per x = 0 .

Caso X< 0

Consideriamo nuovamente la funzione (3):
(3) .
Per determinati valori della costante a è definito anche per valori negativi della variabile x. Cioè, lascia stare numero razionale. Quindi può essere rappresentata come una frazione irriducibile:
,
dove m e n sono numeri interi senza divisore comune.

Se n è dispari, allora la funzione potenza è definita anche per valori negativi della variabile x. Ad esempio, quando n = 3 e m = 1 abbiamo la radice cubica di x:
.
È definito anche per valori negativi della variabile x.

Troviamo la derivata della funzione potenza (3) per e per valori razionali della costante a per la quale è definita. Per fare ciò, rappresentiamo x nella seguente forma:
.
Poi ,
.
Troviamo la derivata ponendo la costante fuori dal segno della derivata e applicando la regola per derivare una funzione complessa:

.
Qui . Ma
.
Da allora
.
Poi
.
La formula (1) vale cioè anche per:
(1) .

Derivate di ordine superiore

Ora troviamo le derivate di ordine superiore della funzione potenza
(3) .
Abbiamo già trovato la derivata del primo ordine:
.

Prendendo la costante a fuori dal segno della derivata, troviamo la derivata del secondo ordine:
.
Allo stesso modo, troviamo le derivate del terzo e del quarto ordine:
;

.

Da questo è chiaro che derivata di ordine n-esimo arbitrario ha la seguente forma:
.

notare che se a è numero naturale , allora la derivata n-esima è costante:
.
Allora tutte le derivate successive sono uguali a zero:
,
A .

Esempi di calcolo delle derivate

Esempio

Trova la derivata della funzione:
.

Soluzione

Convertiamo le radici in potenze:
;
.
Quindi la funzione originale assume la forma:
.

Trovare le derivate delle potenze:
;
.
La derivata della costante è zero:
.

Dimostrazione e derivazione delle formule per la derivata dell'esponenziale (e alla x) e della funzione esponenziale (a alla x). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x ed e^nx. Formule per le derivate di ordine superiore.

La derivata di un esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla x è uguale a e alla x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivata di una funzione esponenziale con base di grado a è uguale alla funzione stessa moltiplicata per logaritmo naturale da un:
(2) .

Derivazione della formula per la derivata dell'esponenziale, e elevato alla x

Un esponenziale è una funzione esponenziale la cui base è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere un numero naturale o un numero reale. Successivamente, ricaviamo la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.

Derivazione della formula della derivata esponenziale

Considera l'esponenziale, e alla potenza x:
y = e x .
Questa funzione è definita per tutti. Troviamo la sua derivata rispetto alla variabile x. Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3) .

Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per fare ciò abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
UN) Proprietà dell'esponente:
(4) ;
B) Proprietà del logaritmo:
(5) ;
IN) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6) .
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo limite notevole:
(7) .

Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.

Facciamo una sostituzione. Poi ; .
Data la continuità dell’esponenziale,
.
Pertanto, quando , . Di conseguenza otteniamo:
.

Facciamo una sostituzione. Poi . A , . E noi abbiamo:
.

Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Poi
.

Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Anche qui abbiamo utilizzato il secondo limite notevole (7). Poi
.

Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.

Derivazione della formula per la derivata di una funzione esponenziale

Ora ricaviamo la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Lo crediamo e. Quindi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.

Trasformiamo la formula (8). Per questo useremo proprietà della funzione esponenziale e logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.

Derivate di ordine superiore di e alla x

Cerchiamo ora le derivate di ordine superiore. Consideriamo prima l'esponente:
(14) .
(1) .

Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando la (1), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.

Ciò dimostra che anche la derivata di ordine n è uguale alla funzione originale:
.

Derivate di ordine superiore della funzione esponenziale

Consideriamo ora una funzione esponenziale con base di grado a:
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(15) .

Differenziando la (15), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.

Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originaria per . Pertanto la derivata di ordine n ha la seguente forma:
.