Penso che tu meriti più di questo. Ecco la mia chiave di trigonometria:

• Disegna la cupola, il muro e il soffitto
• Le funzioni trigonometriche non sono altro che percentuali di queste tre forme.

Metafora per seno e coseno: cupola

Invece di limitarti a guardare i triangoli stessi, immaginali in azione trovando un esempio specifico di vita reale.

Immagina di essere al centro di una cupola e di voler appendere lo schermo di un proiettore cinematografico. Punti il ​​dito verso la cupola con un certo angolo “x” e lo schermo dovrebbe essere sospeso da questo punto.

L'angolo indicato determina:

• seno(x) = sin(x) = altezza dello schermo (dal pavimento al punto di montaggio della cupola)
• coseno(x) = cos(x) = distanza da te allo schermo (per piano)
• ipotenusa, la distanza da te alla parte superiore dello schermo, sempre la stessa, pari al raggio della cupola

Vuoi che lo schermo sia il più grande possibile? Appendilo direttamente sopra di te.

Vuoi che lo schermo sia il più lontano possibile da te? Appenderlo dritto perpendicolare. Lo schermo avrà altezza zero in questa posizione e si bloccherà più lontano, come hai chiesto.

L'altezza e la distanza dallo schermo sono inversamente proporzionali: più lo schermo è vicino, maggiore è la sua altezza.

Seno e coseno sono percentuali

Nessuno durante i miei anni di studio, ahimè, mi ha spiegato che le funzioni trigonometriche seno e coseno non sono altro che percentuali. I loro valori vanno da +100% a 0 a -100%, o da un massimo positivo a zero fino a un massimo negativo.

Diciamo che ho pagato una tassa di 14 rubli. Non sai quanto costa. Ma se dite che ho pagato il 95% di tasse capirete che mi hanno semplicemente derubato.

L'altezza assoluta non significa nulla. Ma se il valore del seno è 0,95, allora capisco che la TV è appesa quasi sulla parte superiore della cupola. Ben presto raggiungerà la sua massima altezza al centro della cupola, per poi ricominciare a diminuire.

Come possiamo calcolare questa percentuale? È molto semplice: dividi l'altezza attuale dello schermo per il massimo possibile (il raggio della cupola, chiamato anche ipotenusa).

Ecco perché ci viene detto che “coseno = lato opposto/ipotenusa”. L'importante è suscitare interesse! È meglio definire il seno come “la percentuale dell’altezza attuale rispetto al massimo possibile”. (Il seno diventa negativo se l'angolo punta "sotterraneo". Il coseno diventa negativo se l'angolo punta verso il punto della cupola dietro di te.)

Semplifichiamo i calcoli supponendo di trovarci al centro della circonferenza unitaria (raggio = 1). Possiamo saltare la divisione e prendere semplicemente il seno uguale all'altezza.

Ogni cerchio è essenzialmente un'unità, ingrandita o ridotta in scala la giusta dimensione. Quindi determina le connessioni del cerchio unitario e applica i risultati alla dimensione specifica del tuo cerchio.

Esperimento: prendi un angolo qualsiasi e guarda quale percentuale di altezza rispetto alla larghezza mostra:

Il grafico della crescita del valore del seno non è solo una linea retta. I primi 45 gradi coprono il 70% dell'altezza, ma gli ultimi 10 gradi (da 80° a 90°) ne coprono solo il 2%.

Questo ti sarà più chiaro: se cammini in cerchio, a 0° ti alzi quasi in verticale, ma man mano che ti avvicini alla sommità della cupola l'altezza cambia sempre meno.

Tangente e secante. Parete

Un giorno un vicino costruì un muro proprio uno accanto all'altro alla tua cupola. Pianto la tua vista dalla finestra e un buon prezzo per la rivendita!

Ma è possibile in qualche modo vincere in questa situazione?

Certo che si. E se attaccassimo uno schermo cinematografico proprio sul muro del nostro vicino? Prendi di mira l'angolo (x) e ottieni:

• tan(x) = tan(x) = altezza dello schermo sul muro
• distanza da te al muro: 1 (questo è il raggio della tua cupola, il muro non si sposta da nessuna parte da te, giusto?)
• secante(x) = sec(x) = “lunghezza della scala” da te che ti trovi al centro della cupola fino alla sommità dello schermo sospeso

Chiariamo un paio di punti riguardanti la tangente, o altezza dello schermo.

• inizia da 0 e può andare infinitamente in alto. Puoi allungare lo schermo sempre più in alto sul muro per creare una tela infinita su cui guardare il tuo film preferito! (Per uno così grande, ovviamente, dovrai spendere un sacco di soldi).
• la tangente è solo una versione più grande del seno! E mentre l'aumento del seno rallenta man mano che ci si sposta verso la sommità della cupola, la tangente continua a crescere!

Anche Sekansu ha qualcosa di cui vantarsi:

• La secante inizia da 1 (la scala è sul pavimento, da te al muro) e inizia a salire da lì
• La secante è sempre più lunga della tangente. La scala inclinata che usi per appendere lo schermo dovrebbe essere più lunga dello schermo stesso, giusto? (Con dimensioni non realistiche, quando lo schermo è tremendamente lungo e la scala deve essere posizionata quasi verticalmente, le loro dimensioni sono quasi le stesse. Ma anche in questo caso la secante sarà un po' più lunga).

Ricorda, i valori sono per cento. Se decidi di appendere lo schermo ad un angolo di 50 gradi, tan(50)=1,19. Lo schermo è più grande del 19% rispetto alla distanza dal muro (raggio della cupola).

(Inserisci x=0 e controlla la tua intuizione: tan(0) = 0 e sec(0) = 1.)

Cotangente e cosecante. Soffitto

Incredibilmente, il tuo vicino ha deciso di costruire un tetto sopra la tua cupola. (Cosa c'è che non va in lui? A quanto pare non vuole che tu lo spii mentre cammina nudo per il cortile...)

Bene, è ora di costruire un'uscita sul tetto e parlare con il tuo vicino. Scegli l'angolo di inclinazione e inizia la costruzione:

• la distanza verticale tra l'uscita del tetto e il pavimento è sempre 1 (il raggio della cupola)
• cotangente(x) = cot(x) = distanza tra la parte superiore della cupola e il punto di uscita
• cosecante(x) = csc(x) = lunghezza del percorso fino al tetto

Tangente e secante descrivono il muro, mentre COtangente e COsecante descrivono il soffitto.

Le nostre conclusioni intuitive questa volta sono simili a quelle precedenti:

• Se prendi l'angolo pari a 0°, la tua uscita sul tetto durerà per sempre, poiché non raggiungerà mai il soffitto. Problema.
• La "scala" più corta per il tetto si otterrà se la costruisci con un angolo di 90 gradi rispetto al pavimento. La cotangente sarà uguale a 0 (non ci muoviamo affatto lungo il tetto, usciamo rigorosamente perpendicolarmente) e la cosecante sarà uguale a 1 ("la lunghezza della scala" sarà minima).

Visualizza le connessioni

Se tutti e tre i casi vengono disegnati in una combinazione cupola-parete-soffitto, il risultato sarà il seguente:

Ebbene, è sempre lo stesso triangolo, ingrandito per raggiungere la parete e il soffitto. Abbiamo i lati verticali (seno, tangente), i lati orizzontali (coseno, cotangente) e gli “ipotenusi” (secante, cosecante). (Con le frecce puoi vedere dove arriva ciascun elemento. La cosecante è la distanza totale da te al tetto).

Una piccola magia. Tutti i triangoli condividono le stesse uguaglianze:

Dal teorema di Pitagora (a 2 + b 2 = c 2) vediamo come sono collegati i lati di ciascun triangolo. Inoltre, anche i rapporti “altezza/larghezza” dovrebbero essere gli stessi per tutti i triangoli. (Basta passare dal triangolo più grande a quello più piccolo. Sì, la dimensione è cambiata, ma le proporzioni dei lati rimarranno le stesse).

Sapendo quale lato di ciascun triangolo è uguale a 1 (il raggio della cupola), possiamo facilmente calcolare che “sin/cos = tan/1”.

Ho sempre cercato di ricordare questi fatti attraverso la semplice visualizzazione. Nella foto vedi chiaramente queste dipendenze e capisci da dove provengono. Questa tecnica è molto meglio che memorizzare formule secche.

Non dimenticare altri angoli

Psst... Non fissarti su un grafico pensando che la tangente sia sempre inferiore a 1. Se aumenti l'angolo, puoi raggiungere il soffitto senza raggiungere il muro:

Le connessioni pitagoriche funzionano sempre, ma le dimensioni relative possono variare.

(Potresti aver notato che i rapporti seno e coseno sono sempre i più piccoli perché sono contenuti all'interno della cupola).

Riassumendo: cosa dobbiamo ricordare?

Per la maggior parte di noi, direi che questo sarà sufficiente:

• la trigonometria spiega l'anatomia di oggetti matematici come cerchi e intervalli ripetuti
• l'analogia cupola/muro/tetto mostra la relazione tra i diversi funzioni trigonometriche
• Le funzioni trigonometriche danno come risultato delle percentuali, che applichiamo al nostro scenario.

Non è necessario memorizzare formule come 1 2 + cot 2 = csc 2 . Sono adatti solo per prove stupide in cui la conoscenza di un fatto viene spacciata per comprensione. Prenditi un minuto per disegnare un semicerchio a forma di cupola, muro e tetto, etichetta gli elementi e tutte le formule ti arriveranno su carta.

Applicazione: funzioni inverse

Qualsiasi funzione trigonometrica accetta un angolo come parametro di input e restituisce il risultato come percentuale. peccato(30) = 0,5. Ciò significa che un angolo di 30 gradi occupa il 50% dell'altezza massima.

La funzione trigonometrica inversa si scrive sin -1 o arcsin. Asin è spesso scritto anche in vari linguaggi di programmazione.

Se la nostra altezza è il 25% dell'altezza della cupola, qual è il nostro angolo?

Nella nostra tabella delle proporzioni puoi trovare un rapporto in cui la secante è divisa per 1. Ad esempio, la secante per 1 (ipotenusa rispetto all'orizzontale) sarà uguale a 1 diviso per il coseno:

Diciamo che la nostra secante è 3,5, cioè 350% del raggio di un cerchio unitario. A quale angolo di inclinazione rispetto al muro corrisponde questo valore?

Appendice: alcuni esempi

Esempio: Trova il seno dell'angolo x.

Un compito noioso. Complichiamo il banale "trova il seno" in "Qual è l'altezza in percentuale del massimo (ipotenusa)?"

Innanzitutto, nota che il triangolo è ruotato. Non c'è niente di sbagliato in questo. Anche il triangolo ha un'altezza, è indicata in verde nella figura.

A quanto vale l'ipotenusa? Secondo il teorema di Pitagora sappiamo che:

3 2 + 4 2 = ipotenusa 2 25 = ipotenusa 2 5 = ipotenusa

Bene! Il seno è la percentuale dell'altezza del lato più lungo del triangolo, o ipotenusa. Nel nostro esempio, il seno è 3/5 o 0,60.

Naturalmente possiamo procedere in diversi modi. Ora sappiamo che il seno è 0,60, possiamo semplicemente trovare l'arcoseno:

Asin(0,6)=36,9

Ecco un altro approccio. Nota che il triangolo è "rivolto verso il muro", quindi possiamo usare la tangente invece del seno. L'altezza è 3, la distanza dal muro è 4, quindi la tangente è ¾ o 75%. Possiamo usare l'arcotangente per tornare da un valore percentuale a un angolo:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Esempio: nuoterai fino alla riva?

Sei su una barca e hai abbastanza carburante per percorrere 2 km. Ora sei a 0,25 km dalla costa. A quale angolo massimo rispetto alla riva puoi nuotare fino ad essa in modo da avere abbastanza carburante? Aggiunta alla dichiarazione del problema: abbiamo solo una tabella di valori dell'arcocoseno.

Cosa abbiamo? La costa può essere rappresentata come un “muro” nel nostro famoso triangolo, e la “lunghezza della scala” attaccata al muro è la massima distanza possibile da percorrere in barca fino alla riva (2 km). Appare una secante.

Innanzitutto, devi andare alle percentuali. Abbiamo 2 / 0,25 = 8, ovvero possiamo nuotare per una distanza pari a 8 volte la distanza rettilinea fino alla riva (o al muro).

Sorge la domanda: “Qual è la secante di 8?” Ma non possiamo rispondere, poiché abbiamo solo arcocoseno.

Usiamo le nostre dipendenze derivate in precedenza per mettere in relazione la secante con il coseno: “sec/1 = 1/cos”

Sekan 8 uguale al coseno⅛. Un angolo il cui coseno è ⅛ è uguale a acos(1/8) = 82,8. E questo è l'angolo massimo che possiamo permetterci su una barca con la quantità di carburante specificata.

Non male, vero? Senza l’analogia cupola-parete-soffitto, mi sarei perso in un mucchio di formule e calcoli. Visualizzare il problema semplifica notevolmente la ricerca di una soluzione ed è anche interessante vedere quale funzione trigonometrica alla fine aiuterà.

Per ogni problema, pensa in questo modo: sono interessato alla cupola (sin/cos), al muro (tan/sec) o al soffitto (cot/csc)?

E la trigonometria diventerà molto più divertente. Calcoli facili per te!

Seno e coseno sono nati originariamente dalla necessità di calcolare le quantità nei triangoli rettangoli. Si è notato che se la misura in gradi degli angoli in un triangolo rettangolo non viene modificata, le proporzioni, non importa quanto questi lati cambino in lunghezza, rimangono sempre le stesse.

Fu così che furono introdotti i concetti di seno e coseno. Seno angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, e il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente all'ipotenusa.

Teoremi del coseno e del seno

Ma coseni e seni possono essere usati non solo per i triangoli rettangoli. Per trovare il valore di un angolo o di un lato ottuso o acuto di un triangolo qualsiasi è sufficiente applicare il teorema del coseno e del seno.

Il teorema del coseno è abbastanza semplice: “Il quadrato del lato di un triangolo pari alla somma i quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi lati per il coseno dell’angolo compreso tra loro”.

Esistono due interpretazioni del teorema del seno: piccolo ed esteso. Secondo il minore: “In un triangolo gli angoli sono proporzionali ai lati opposti”. Questo teorema viene spesso ampliato a causa della proprietà del cerchio circoscritto di un triangolo: "In un triangolo, gli angoli sono proporzionali ai lati opposti e il loro rapporto è uguale al diametro del cerchio circoscritto".

Derivati

La derivata è uno strumento matematico che mostra quanto velocemente una funzione cambia rispetto a un cambiamento nel suo argomento. I derivati ​​​​sono utilizzati in geometria e in numerose discipline tecniche.

Quando si risolvono i problemi, è necessario conoscere i valori tabulari delle derivate delle funzioni trigonometriche: seno e coseno. La derivata di un seno è un coseno e un coseno è un seno, ma con il segno meno.

Applicazione in matematica

Seni e coseni sono particolarmente spesso utilizzati per risolvere triangoli rettangoli e problemi ad essi correlati.

La comodità di seno e coseno si riflette anche nella tecnologia. Era facile valutare angoli e lati utilizzando i teoremi del coseno e del seno, scomponendoli figure complesse e oggetti in triangoli “semplici”. Gli ingegneri che spesso si occupano di calcoli di proporzioni e misure di grado hanno dedicato molto tempo e sforzi al calcolo dei coseni e dei seni degli angoli non tabulari.

Poi sono arrivate in soccorso le tabelle Bradis, contenenti migliaia di valori di seni, coseni, tangenti e cotangenti angoli diversi. IN Tempo sovietico alcuni insegnanti obbligavano i propri studenti a memorizzare pagine delle tavole Bradis.

Il radiante è il valore angolare di un arco la cui lunghezza è pari al raggio ovvero 57,295779513° gradi.

Grado (in geometria) - 1/360 di parte di un cerchio o 1/90 di parte angolo retto.

π = 3,141592653589793238462… (valore approssimativo di Pi).

Tabella coseno per angoli: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Angolo x (in gradi)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Angolo x (in radianti)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2xπ/3	3xπ/4	5 x π/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3 x π/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Questo articolo contiene tabelle di seni, coseni, tangenti e cotangenti. Innanzitutto, forniremo una tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche, ovvero una tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti degli angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiante). Successivamente, forniremo una tabella di seni e coseni, nonché una tabella di tangenti e cotangenti di V. M. Bradis, e mostreremo come utilizzare queste tabelle per trovare i valori delle funzioni trigonometriche.

Navigazione della pagina.

Tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ... gradi

Bibliografia.

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Una delle aree della matematica con cui gli studenti hanno maggiori difficoltà è la trigonometria. Non sorprende: per padroneggiare liberamente quest'area della conoscenza, è necessario il pensiero spaziale, la capacità di trovare seni, coseni, tangenti, cotangenti utilizzando formule, semplificare le espressioni ed essere in grado di utilizzare il numero pi in calcoli. Inoltre, è necessario essere in grado di utilizzare la trigonometria per dimostrare teoremi e ciò richiede una memoria matematica sviluppata o la capacità di derivare catene logiche complesse.

Origini della trigonometria

La conoscenza di questa scienza dovrebbe iniziare con la definizione di seno, coseno e tangente di un angolo, ma prima devi capire cosa fa la trigonometria in generale.

Storicamente, l'oggetto principale di studio in questa sezione scienza matematica erano triangoli rettangoli. La presenza di un angolo di 90 gradi consente l'esecuzione varie operazioni, permettendo di determinare i valori di tutti i parametri della figura in questione utilizzando due lati e un angolo oppure due angoli e un lato. In passato, le persone notavano questo schema e cominciavano a utilizzarlo attivamente nella costruzione di edifici, nella navigazione, nell'astronomia e persino nell'arte.

Primo stadio

Inizialmente si parlava della relazione tra angoli e lati utilizzando esclusivamente l'esempio dei triangoli rettangoli. Poi sono state scoperte formule speciali che hanno permesso di espandere i confini di utilizzo Vita di ogni giorno questa branca della matematica.

Lo studio della trigonometria a scuola oggi inizia con i triangoli rettangoli, dopo di che gli studenti utilizzano le conoscenze acquisite in fisica e risolvono problemi astratti. equazioni trigonometriche, lavoro con il quale inizia al liceo.

Trigonometria sferica

Successivamente, quando la scienza raggiunse il livello di sviluppo successivo, le formule con seno, coseno, tangente e cotangente iniziarono ad essere utilizzate nella geometria sferica, dove si applicano regole diverse e la somma degli angoli in un triangolo è sempre superiore a 180 gradi. Questa sezione non è studiata a scuola, ma è necessario conoscere la sua esistenza almeno perché superficie terrestre, e la superficie di qualsiasi altro pianeta è convessa, il che significa che qualsiasi segno superficiale sarà “a forma di arco” nello spazio tridimensionale.

Prendi il globo e il filo. Attacca il filo a due punti qualsiasi del globo in modo che sia teso. Nota: ha assunto la forma di un arco. La geometria sferica si occupa di tali forme, che vengono utilizzate in geodesia, astronomia e altri campi teorici e applicati.

Triangolo rettangolo

Dopo aver imparato un po 'sui modi di utilizzare la trigonometria, torniamo alla trigonometria di base per comprendere ulteriormente cosa sono seno, coseno, tangente, quali calcoli possono essere eseguiti con il loro aiuto e quali formule utilizzare.

Il primo passo è comprendere i concetti relativi a un triangolo rettangolo. Innanzitutto, l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo di 90 gradi. È il più lungo. Ricordiamo che secondo il teorema di Pitagora, suo valore numerico uguale alla radice della somma dei quadrati degli altri due lati.

Ad esempio, se i due cateti misurano rispettivamente 3 e 4 centimetri, la lunghezza dell'ipotenusa sarà 5 centimetri. A proposito, gli antichi egizi lo sapevano circa quattromila anni fa.

I due lati rimanenti, che formano un angolo retto, si chiamano gambe. Inoltre, dobbiamo ricordare che la somma degli angoli di un triangolo in un sistema di coordinate rettangolari è pari a 180 gradi.

Definizione

Infine, con una solida conoscenza delle basi geometriche, si può passare alla definizione di seno, coseno e tangente di un angolo.

Il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto (cioè il lato opposto all'angolo desiderato) e l'ipotenusa. Il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

Ricorda che né il seno né il coseno possono essere maggiori di uno! Perché? Perché l'ipotenusa è per impostazione predefinita la più lunga. Non importa quanto sia lunga la gamba, sarà più corta dell'ipotenusa, il che significa che il loro rapporto sarà sempre inferiore a uno. Pertanto, se nella risposta a un problema ottieni un seno o un coseno con un valore maggiore di 1, cerca un errore nei calcoli o nel ragionamento. Questa risposta è chiaramente errata.

Infine, la tangente di un angolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente. Dividendo il seno per il coseno si otterrà lo stesso risultato. Guarda: secondo la formula, dividiamo la lunghezza del lato per l'ipotenusa, quindi dividiamo per la lunghezza del secondo lato e moltiplichiamo per l'ipotenusa. Pertanto, otteniamo la stessa relazione della definizione di tangente.

La cotangente, di conseguenza, è il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e il lato opposto. Otteniamo lo stesso risultato dividendo uno per la tangente.

Quindi, abbiamo esaminato le definizioni di cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente e possiamo passare alle formule.

Le formule più semplici

Nella trigonometria non puoi fare a meno delle formule: come trovare seno, coseno, tangente, cotangente senza di esse? Ma questo è esattamente ciò che è necessario per risolvere i problemi.

La prima formula che devi conoscere quando inizi a studiare la trigonometria dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è uguale a uno. Questa formula è una conseguenza diretta del teorema di Pitagora, ma fa risparmiare tempo se devi conoscere la dimensione dell'angolo anziché del lato.

Molti studenti non riescono a ricordare la seconda formula, anch'essa molto apprezzata quando si risolvono i problemi scolastici: la somma di uno e del quadrato della tangente di un angolo è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno dell'angolo. Dai un'occhiata più da vicino: questa è la stessa affermazione della prima formula, solo che entrambi i lati dell'identità erano divisi per il quadrato del coseno. Si scopre che una semplice operazione matematica funziona formula trigonometrica completamente irriconoscibile. Ricorda: sapendo cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente, regole di trasformazione e diverse formule di base, puoi in qualsiasi momento ricavare in modo indipendente il necessario altro formule complesse su un pezzo di carta.

Formule per gli angoli doppi e addizione di argomenti

Altre due formule che devi imparare riguardano i valori di seno e coseno per la somma e la differenza degli angoli. Sono presentati nella figura seguente. Tieni presente che nel primo caso seno e coseno vengono moltiplicati entrambe le volte, mentre nel secondo viene aggiunto il prodotto a coppie di seno e coseno.

Esistono anche formule associate agli argomenti del doppio angolo. Sono completamente derivati ​​dai precedenti: come allenamento prova a ottenerli tu stesso prendendo l'angolo alfa uguale all'angolo beta.

Infine, si noti che le formule del doppio angolo possono essere riorganizzate per ridurre la potenza di seno, coseno e tangente alfa.

Teoremi

I due teoremi principali della trigonometria di base sono il teorema del seno e il teorema del coseno. Con l'aiuto di questi teoremi puoi facilmente capire come trovare il seno, il coseno e la tangente, e quindi l'area della figura, la dimensione di ciascun lato, ecc.

Il teorema del seno afferma che dividendo la lunghezza di ciascun lato di un triangolo per l'angolo opposto si ottiene lo stesso numero. Inoltre questo numero sarà uguale a due raggi del cerchio circoscritto, cioè del cerchio contenente tutti i punti di un dato triangolo.

Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora, proiettandolo su qualsiasi triangolo. Si scopre che dalla somma dei quadrati dei due lati sottrarre il loro prodotto moltiplicato per il doppio coseno dell'angolo adiacente: il valore risultante sarà uguale al quadrato del terzo lato. Pertanto, il teorema di Pitagora risulta essere un caso speciale del teorema del coseno.

Errori imprudenti

Anche sapendo cosa sono seno, coseno e tangente, è facile commettere un errore per distrazione o per un errore nei calcoli più semplici. Per evitare tali errori, diamo un'occhiata a quelli più popolari.

Innanzitutto, non dovresti convertire le frazioni in decimali finché non ottieni il risultato finale: puoi lasciare la risposta come frazione comune, se non diversamente specificato nelle condizioni. Una tale trasformazione non può essere definita un errore, ma va ricordato che in ogni fase del problema possono apparire nuove radici che, secondo l'idea dell'autore, dovrebbero essere ridotte. In questo caso, perderai tempo in operazioni matematiche non necessarie. Ciò è particolarmente vero per valori come la radice di tre o la radice di due, perché si trovano nei problemi ad ogni passo. Lo stesso vale per l’arrotondamento dei numeri “brutti”.

Inoltre, nota che il teorema del coseno si applica a qualsiasi triangolo, ma non al teorema di Pitagora! Se dimentichi erroneamente di sottrarre il doppio del prodotto dei lati moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra loro, non solo otterrai un risultato completamente sbagliato, ma dimostrerai anche una completa mancanza di comprensione dell'argomento. Questo è peggio di un errore imprudente.

In terzo luogo, non confondere i valori degli angoli di 30 e 60 gradi con seno, coseno, tangente, cotangente. Ricorda questi valori, perché il seno di 30 gradi è uguale al coseno di 60 e viceversa. È facile confonderli, per cui otterrai inevitabilmente un risultato errato.

Applicazione

Molti studenti non hanno fretta di iniziare a studiare la trigonometria perché non ne comprendono il significato pratico. Cos'è seno, coseno e tangente per un ingegnere o un astronomo? Si tratta di concetti con cui è possibile calcolare la distanza di stelle lontane, prevedere la caduta di un meteorite o inviare una sonda di ricerca su un altro pianeta. Senza di essi è impossibile costruire un edificio, progettare un'auto, calcolare il carico su una superficie o la traiettoria di un oggetto. E questi sono solo gli esempi più evidenti! Dopotutto, la trigonometria in una forma o nell'altra viene utilizzata ovunque, dalla musica alla medicina.

Finalmente

Quindi sei seno, coseno, tangente. Puoi usarli nei calcoli e risolvere con successo i problemi scolastici.

Il punto centrale della trigonometria si riduce al fatto che utilizzando i parametri noti di un triangolo è necessario calcolare le incognite. Ci sono sei parametri in totale: la lunghezza di tre lati e la dimensione di tre angoli. L'unica differenza nei compiti sta nel fatto che vengono forniti dati di input diversi.

Ora sai come trovare seno, coseno e tangente in base alle lunghezze note dei cateti o dell'ipotenusa. Poiché questi termini non significano altro che un rapporto, e un rapporto è una frazione, l'obiettivo principale di un problema di trigonometria è trovare le radici di un'equazione ordinaria o di un sistema di equazioni. E qui la matematica scolastica regolare ti aiuterà.

Esempi:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argomento e significato

Coseno di un angolo acuto

Coseno di un angolo acuto può essere determinato usando un triangolo rettangolo: è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

Esempio :

1) Sia dato un angolo e dobbiamo determinare il coseno di questo angolo.

2) Completiamo un triangolo rettangolo qualsiasi con questo angolo.

3) Dopo aver misurato i lati richiesti, possiamo calcolare il coseno.

Coseno di un numero

Il cerchio numerico ti consente di determinare il coseno di qualsiasi numero, ma di solito trovi il coseno di numeri in qualche modo correlati a: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Ad esempio, per il numero \(\frac(π)(6)\) - il coseno sarà uguale a \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . E per il numero \(-\)\(\frac(3π)(4)\) sarà uguale a \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (approssimativamente \ (-0,71\)).

Per il coseno di altri numeri spesso riscontrati nella pratica, vedere.

Il valore del coseno è sempre compreso tra \(-1\) e \(1\). In questo caso, il coseno può essere calcolato assolutamente per qualsiasi angolo e numero.

Coseno di qualsiasi angolo

Grazie a cerchio numerico Puoi determinare il coseno non solo di un angolo acuto, ma anche di un angolo ottuso, negativo e persino maggiore di \(360°\) (giro completo). Come farlo è più facile da vedere una volta che da ascoltare \(100\) volte, quindi guarda l'immagine.

Ora una spiegazione: supponiamo di dover determinare il coseno dell'angolo KOA con misura dei gradi in \(150°\). Combinando il punto DI con il centro del cerchio e il lato OK– con l'asse \(x\). Successivamente, mettere da parte \(150°\) in senso antiorario. Quindi l'ordinata del punto UN ci mostrerà il coseno di questo angolo.

Se siamo interessati ad un angolo con misura in gradi, ad esempio, in \(-60°\) (angolo KOV), facciamo lo stesso, ma impostiamo \(60°\) in senso orario.

Infine, l'angolo è maggiore di \(360°\) (angolo CBS) - tutto è simile a quello stupido, solo dopo aver fatto un giro completo in senso orario, andiamo al secondo cerchio e “otteniamo la mancanza di gradi”. Nello specifico, nel nostro caso, l'angolo \(405°\) viene tracciato come \(360° + 45°\).

È facile intuire che per tracciare un angolo, ad esempio, in \(960°\), bisogna fare due giri (\(360°+360°+240°\)), e per un angolo in \(2640 °\) - sette interi.

Come potresti sostituire, sia il coseno di un numero che il coseno di un angolo arbitrario sono definiti in modo quasi identico. Cambia solo il modo in cui si trova il punto sul cerchio.

Segni del coseno per quarti

Utilizzando l'asse del coseno (cioè l'asse delle ascisse, evidenziato in rosso nella figura), è facile determinare i segni dei coseni lungo il cerchio numerico (trigonometrico):

Dove i valori sull'asse vanno da \(0\) a \(1\), il coseno avrà un segno più (I e IV quarti - area verde),
- dove i valori sull'asse vanno da \(0\) a \(-1\), il coseno avrà il segno meno (II e III quarti - zona viola).

Relazione con altre funzioni trigonometriche:

- lo stesso angolo (o numero): principale identità trigonometrica\(\sen^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- lo stesso angolo (o numero): con la formula \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- e il seno dello stesso angolo (o numero): la formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Per le altre formule più comunemente usate, vedere.

Soluzione dell'equazione \(\cos⁡x=a\)

La soluzione dell'equazione \(\cos⁡x=a\), dove \(a\) è un numero non maggiore di \(1\) e non minore di \(-1\), cioè \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Se \(a>1\) o \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Soluzione:

Risolviamo l'equazione utilizzando il cerchio numerico. Per questo:
1) Costruiamo gli assi.
2) Costruiamo un cerchio.
3) Sull'asse del coseno (asse \(y\)) segnare il punto \(\frac(1)(2)\) .
4) Disegna una perpendicolare all'asse del coseno passante per questo punto.
5) Segna i punti di intersezione della perpendicolare e del cerchio.
6) Segniamo i valori di questi punti: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Scriviamo tutti i valori corrispondenti a questi punti utilizzando la formula \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Risposta: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funzione \(y=\cos(x)\)

Se tracciamo gli angoli in radianti lungo l'asse \(x\) e i valori del coseno corrispondenti a questi angoli lungo l'asse \(y\), otteniamo il seguente grafico:

Questo grafico si chiama e ha le seguenti proprietà:

Il dominio di definizione è qualsiasi valore di x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- intervallo di valori – da \(-1\) a \(1\) compreso: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- pari: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodica con periodo \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- punti di intersezione con gli assi coordinati:
asse delle ascisse: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), dove \(n ϵ Z\)
Asse Y: \((0;1)\)
- intervalli di costanza di segno:
la funzione è positiva sugli intervalli: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), dove \(n ϵ Z\)
la funzione è negativa sugli intervalli: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), dove \(n ϵ Z\)
- intervalli di incremento e decremento:
la funzione cresce sugli intervalli: \((π+2πn;2π+2πn)\), dove \(n ϵ Z\)
la funzione decresce sugli intervalli: \((2πn;π+2πn)\), dove \(n ϵ Z\)
- massimi e minimi della funzione:
la funzione ha valore massimo \(y=1\) nei punti \(x=2πn\), dove \(n ϵ Z\)
la funzione ha valore minimo \(y=-1\) nei punti \(x=π+2πn\), dove \(n ϵ Z\).