Richiede la conoscenza delle formule di base della trigonometria: la somma dei quadrati di seno e coseno, l'espressione della tangente attraverso seno e coseno e altre. Per chi li ha dimenticati o non li conosce, consigliamo la lettura dell'articolo "".
Quindi, i principali formule trigonometriche sappiamo che è giunto il momento di metterli in pratica. Risoluzione di equazioni trigonometriche con il giusto approccio, diventa un’attività piuttosto entusiasmante, come, ad esempio, risolvere il cubo di Rubik.

In base al nome stesso, è chiaro che un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è sotto il segno della funzione trigonometrica.
Esistono le cosiddette equazioni trigonometriche più semplici. Ecco come appaiono: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Consideriamo come risolvere tali equazioni trigonometriche, per chiarezza utilizzeremo il già familiare cerchio trigonometrico.

sinx = a

cosx = a

abbronzatura x = a

lettino x = a

Qualsiasi equazione trigonometrica viene risolta in due fasi: riduciamo l'equazione alla sua forma più semplice e poi la risolviamo come una semplice equazione trigonometrica.
Esistono 7 metodi principali con cui vengono risolte le equazioni trigonometriche.

1. Sostituzione delle variabili e metodo di sostituzione

Risolvi l'equazione 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Usando le formule di riduzione otteniamo:

2cos2(x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sostituisci cos(x + /6) con y per semplificare e ottenere il solito equazione quadrata:

2 anni 2 – 3 anni + 1 + 0

Le cui radici sono y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ora andiamo in ordine inverso

Sostituiamo i valori trovati di y e otteniamo due opzioni di risposta:

2. Risoluzione di equazioni trigonometriche mediante fattorizzazione

Come risolvere l'equazione sin x + cos x = 1?

Spostiamo tutto a sinistra in modo che a destra rimanga 0:

peccato x + cos x – 1 = 0

Usiamo le identità discusse sopra per semplificare l'equazione:

peccato x - 2 peccato 2 (x/2) = 0

Fattorizziamo:

2sen(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sen(x/2) * = 0

Otteniamo due equazioni

3. Riduzione ad un'equazione omogenea

Un'equazione è omogenea rispetto al seno e al coseno se tutti i suoi termini sono relativi al seno e al coseno dello stesso grado dello stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea, procedere come segue:

a) trasferire tutti i suoi membri a lato sinistro;

b) togliere tutti i fattori comuni tra parentesi;

c) equiparare tutti i fattori e le parentesi a 0;

d) ricevuto tra parentesi equazione omogenea in misura minore è a sua volta suddiviso in seno o coseno in grado massimo;

e) risolvere l'equazione risultante per tg.

Risolvi l'equazione 3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Usiamo la formula sin 2 x + cos 2 x = 1 ed eliminiamo i due aperti a destra:

3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sen 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividi per cos x:

tg2x+4tgx+3 = 0

Sostituisci tan x con y e ottieni un'equazione quadratica:

y 2 + 4y +3 = 0, le cui radici sono y 1 =1, y 2 = 3

Da qui troviamo due soluzioni all'equazione originale:

x 2 = arcotan 3 + k

4. Risoluzione di equazioni attraverso la transizione a semiangolo

Risolvi l'equazione 3sen x – 5cos x = 7

Passiamo a x/2:

6sen(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sen 2 (x/2) = 7sen 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Spostiamo tutto a sinistra:

2sen 2 (x/2) – 6sen(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividere per cos(x/2):

tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduzione dell'angolo ausiliario

A titolo informativo, prendiamo un'equazione della forma: a sin x + b cos x = c,

dove a, b, c sono alcuni coefficienti arbitrari e x è un'incognita.

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per:



Ora i coefficienti dell'equazione, secondo le formule trigonometriche, hanno le proprietà sin e cos, vale a dire: il loro modulo non è superiore a 1 e la somma dei quadrati = 1. Indichiamoli rispettivamente come cos e sin, dove - questo è il cosiddetto angolo ausiliario. Quindi l’equazione assumerà la forma:

cos * sin x + sin * cos x = C

oppure sin(x + ) = C

La soluzione di questa semplice equazione trigonometrica è

x = (-1) k * arcosen C - + k, dove



Va notato che le notazioni cos e sin sono intercambiabili.

Risolvi l'equazione sin 3x – cos 3x = 1

I coefficienti di questa equazione sono:

a = , b = -1, quindi dividi entrambi i lati per = 2

Una lezione sull'applicazione integrata della conoscenza.

Obiettivi della lezione.

1. Prendere in considerazione vari metodi Risoluzione di equazioni trigonometriche.
2. Sviluppo creatività studenti risolvendo equazioni.
3. Incoraggiare gli studenti all'autocontrollo, al controllo reciproco e all'autoanalisi delle loro attività educative.

Attrezzatura: schermo, proiettore, materiale di riferimento.

Durante le lezioni

Conversazione introduttiva.

Il metodo principale per risolvere le equazioni trigonometriche è ridurle alla forma più semplice. In questo caso vengono utilizzati i metodi consueti, ad esempio la fattorizzazione, nonché le tecniche utilizzate solo per risolvere equazioni trigonometriche. Esistono molte di queste tecniche, ad esempio varie sostituzioni trigonometriche, trasformazioni angolari, trasformazioni funzioni trigonometriche. L'applicazione indiscriminata di qualsiasi trasformazione trigonometrica di solito non semplifica l'equazione, ma la complica catastroficamente. Per allenarsi schema generale piano per risolvere l'equazione, delineare un modo per ridurre l'equazione al più semplice, devi prima analizzare gli angoli - gli argomenti delle funzioni trigonometriche incluse nell'equazione.

Oggi parleremo di metodi per risolvere equazioni trigonometriche. Il metodo scelto correttamente spesso può semplificare notevolmente la soluzione, quindi tutti i metodi che abbiamo studiato dovrebbero essere sempre tenuti a mente per poter risolvere le equazioni trigonometriche utilizzando il metodo più appropriato.

II. (Utilizzando un proiettore, ripetiamo i metodi per risolvere le equazioni.)

1. Metodo per ridurre un'equazione trigonometrica ad una algebrica.

È necessario esprimere tutte le funzioni trigonometriche attraverso una, con lo stesso argomento. Questo può essere fatto utilizzando l'identità trigonometrica di base e le sue conseguenze. Otteniamo un'equazione con una funzione trigonometrica. Prendendola come una nuova incognita, otteniamo un'equazione algebrica. Troviamo le sue radici e torniamo al vecchio sconosciuto, risolvendo le più semplici equazioni trigonometriche.

2. Metodo di fattorizzazione.

Per cambiare gli angoli sono spesso utili le formule per la riduzione, la somma e la differenza degli argomenti, nonché le formule per convertire la somma (differenza) delle funzioni trigonometriche in un prodotto e viceversa.

peccato x + peccato 3x = peccato 2x + peccato4x

3. Metodo per introdurre un angolo aggiuntivo.

4. Metodo di utilizzo della sostituzione universale.

Le equazioni della forma F(sinx, cosx, tanx) = 0 vengono ridotte ad algebriche utilizzando una sostituzione trigonometrica universale

Esprimere seno, coseno e tangente in termini di tangente di un semiangolo. Questa tecnica può portare a un'equazione di ordine superiore. La cui soluzione è difficile.

Quando ne risolvi molti problemi matematici, soprattutto quelli che si verificano prima del decimo anno, l'ordine delle azioni eseguite che porteranno all'obiettivo è chiaramente definito. Tali problemi includono, ad esempio, equazioni lineari e quadratiche, lineari e disuguaglianze quadratiche, equazioni frazionarie ed equazioni che si riducono a quadratiche. Il principio per risolvere con successo ciascuno dei problemi citati è il seguente: devi stabilire che tipo di problema stai risolvendo, ricordare la sequenza necessaria di azioni che porteranno al risultato desiderato, ad es. rispondi e segui questi passaggi.

È ovvio che il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema dipende principalmente da quanto correttamente viene determinato il tipo di equazione da risolvere, da quanto correttamente viene riprodotta la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente in questo caso è necessario avere le competenze per eseguire trasformazioni e calcoli identici.

La situazione è diversa con equazioni trigonometriche. Non è affatto difficile stabilire il fatto che l'equazione è trigonometrica. Le difficoltà sorgono quando si determina la sequenza di azioni che porterebbero alla risposta corretta.

Di aspetto equazione, a volte è difficile determinarne il tipo. E senza conoscere il tipo di equazione, è quasi impossibile scegliere quella giusta tra diverse dozzine di formule trigonometriche.

Per risolvere un'equazione trigonometrica, devi provare:

1. portare tutte le funzioni incluse nell'equazione agli “stessi angoli”;
2. portare l'equazione a “funzioni identiche”;
3. fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.

Consideriamo metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

I. Riduzione alle più semplici equazioni trigonometriche

Diagramma della soluzione

Passo 1. Esprimere una funzione trigonometrica in termini di componenti note.

Passo 2. Trova l'argomento della funzione utilizzando le formule:

cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

peccato x = a; x = (-1) n arcoseno a + πn, n Ä Z.

marrone chiaro x = a; x = arcotan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Á Z.

Passaggio 3. Trova la variabile sconosciuta.

Esempio.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluzione.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n À Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n À Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n À Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n À Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n À Z.

Risposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n À Z.

II. Sostituzione variabile

Diagramma della soluzione

Passo 1. Riduci l'equazione alla forma algebrica rispetto ad una delle funzioni trigonometriche.

Passo 2. Denotare la funzione risultante con la variabile t (se necessario, introdurre restrizioni su t).

Passaggio 3. Scrivi e risolvi l'equazione algebrica risultante.

Passaggio 4. Effettuare una sostituzione inversa.

Passaggio 5. Risolvi l'equazione trigonometrica più semplice.

Esempio.

2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.

Soluzione.

1) 2(1 – peccato 2 (x/2)) – 5 peccato (x/2) – 5 = 0;

2peccato 2 (x/2) + 5peccato (x/2) + 3 = 0.

2) Sia sin (x/2) = t, dove |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, non soddisfa la condizione |t| ≤ 1.

4) peccato(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n À Z;

x = π + 4πn, n À Z.

Risposta: x = π + 4πn, n À Z.

III. Metodo di riduzione dell'ordine delle equazioni

Diagramma della soluzione

Passo 1. Sostituisci questa equazione con una lineare, utilizzando la formula per ridurre il grado:

peccato 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos2x = 1/2 · (1 + cos2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2. Risolvi l'equazione risultante utilizzando i metodi I e II.

Esempio.

cos2x + cos2x = 5/4.

Soluzione.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n À Z;

x = ±π/6 + πn, n À Z.

Risposta: x = ±π/6 + πn, n Á Z.

IV. Equazioni omogenee

Diagramma della soluzione

Passo 1. Riduci questa equazione alla forma

a) a sin x + b cos x = 0 (equazione omogenea di primo grado)

o alla vista

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (equazione omogenea di secondo grado).

Passo 2. Dividi entrambi i membri dell'equazione per

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e ottieni l'equazione per tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Passaggio 3. Risolvi l'equazione utilizzando metodi noti.

Esempio.

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4 = 0.

Soluzione.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg2x + 3tgx – 4 = 0.

3) Sia tg x = t, allora

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, il che significa

tgx = 1 o tgx = -4.

Dalla prima equazione x = π/4 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione x = -arctg 4 + πk, k À Z.

Risposta: x = π/4 + πn, n À Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metodo per trasformare un'equazione utilizzando formule trigonometriche

Diagramma della soluzione

Passo 1. Utilizzando tutte le possibili formule trigonometriche, riduci questa equazione a un'equazione risolta con i metodi I, II, III, IV.

Passo 2. Risolvi l'equazione risultante utilizzando metodi noti.

Esempio.

peccato x + peccato 2x + peccato 3x = 0.

Soluzione.

1) (peccato x + peccato 3x) + peccato 2x = 0;

2sen 2x cos x + sin 2x = 0.

2) peccato 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oppure 2cos x + 1 = 0;

Dalla prima equazione 2x = π/2 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione cos x = -1/2.

Abbiamo x = π/4 + πn/2, n À Z; dalla seconda equazione x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Di conseguenza, x = π/4 + πn/2, n À Z; x = ±2π/3 + 2πk, k À Z.

Risposta: x = π/4 + πn/2, n À Z; x = ±2π/3 + 2πk, k À Z.

La capacità e l'abilità di risolvere equazioni trigonometriche è molto importante, il loro sviluppo richiede uno sforzo notevole, sia da parte dello studente che da parte dell'insegnante.

Molti problemi di stereometria, fisica, ecc. sono associati alla risoluzione di equazioni trigonometriche. Il processo di risoluzione di tali problemi incorpora molte delle conoscenze e delle abilità acquisite studiando gli elementi della trigonometria.

Equazioni trigonometriche occupare posto importante nel processo di insegnamento della matematica e dello sviluppo della personalità in generale.

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Concetto di risoluzione di equazioni trigonometriche.

• Per risolvere un'equazione trigonometrica, convertila in una o più equazioni trigonometriche di base. Risolvere un'equazione trigonometrica alla fine si riduce alla risoluzione delle quattro equazioni trigonometriche di base.

Risoluzione di equazioni trigonometriche di base.

• Esistono 4 tipi di equazioni trigonometriche di base:
• peccato x = a; cosx = a
• marrone chiaro x = a; ctg x = a
• Risolvere le equazioni trigonometriche di base implica considerare le diverse posizioni "x" su cerchio unitario e utilizzando una tabella di conversione (o calcolatrice).
• Esempio 1. sin x = 0,866. Utilizzando una tabella di conversione (o una calcolatrice) otterrai la risposta: x = π/3. Il cerchio unitario dà un'altra risposta: 2π/3. Ricorda: tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche, ovvero i loro valori si ripetono. Ad esempio, la periodicità di sin x e cos x è 2πn, e la periodicità di tg x e ​​ctg x è πn. Pertanto la risposta è scritta così:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Esempio 2. cos x = -1/2. Usando una tabella di conversione (o una calcolatrice) otterrai la risposta: x = 2π/3. Il cerchio unitario dà un'altra risposta: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Esempio 3. tg (x - π/4) = 0.
• Risposta: x = π/4 + πn.
• Esempio 4. ctg 2x = 1.732.
• Risposta: x = π/12 + πn.

Trasformazioni utilizzate nella risoluzione di equazioni trigonometriche.

• Per trasformare le equazioni trigonometriche si utilizzano trasformazioni algebriche (fattorizzazione, riduzione membri omogenei ecc.) e identità trigonometriche.
• Esempio 5: Utilizzando le identità trigonometriche, l'equazione sin x + sin 2x + sin 3x = 0 viene convertita nell'equazione 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Pertanto, le seguenti equazioni trigonometriche di base devono essere risolti: cos x = 0; peccato(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Trovare gli angoli tramite valori conosciuti funzioni.

  • Prima di imparare a risolvere le equazioni trigonometriche, devi imparare a trovare gli angoli utilizzando i valori di funzione noti. Questo può essere fatto utilizzando una tabella di conversione o una calcolatrice.
  • Esempio: cos x = 0,732. La calcolatrice darà la risposta x = 42,95 gradi. La circonferenza unitaria fornirà angoli aggiuntivi, il cui coseno è anch'esso 0,732.

• Metti da parte la soluzione sul cerchio unitario.

  • È possibile tracciare le soluzioni di un'equazione trigonometrica sulla circonferenza unitaria. Le soluzioni di un'equazione trigonometrica sulla circonferenza unitaria sono i vertici di un poligono regolare.
  • Esempio: Le soluzioni x = π/3 + πn/2 sul cerchio unitario rappresentano i vertici del quadrato.
  • Esempio: Le soluzioni x = π/4 + πn/3 sulla circonferenza unitaria rappresentano i vertici di un esagono regolare.

• Metodi per risolvere equazioni trigonometriche.

  • Se una determinata equazione trigonometrica contiene solo una funzione trigonometrica, risolvila come un'equazione trigonometrica di base. Se una determinata equazione include due o più funzioni trigonometriche, esistono 2 metodi per risolvere tale equazione (a seconda della possibilità della sua trasformazione).
    • Metodo 1.
  • Trasforma questa equazione in un'equazione della forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, dove f(x), g(x), h(x) sono le equazioni trigonometriche di base.
  • Esempio 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Soluzione. Usando la formula del doppio angolo sin 2x = 2*sen x*cos x, sostituisci sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ora risolvi le due equazioni trigonometriche di base: cos x = 0 e (sin x + 1) = 0.
  • Esempio 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Soluzione: utilizzando le identità trigonometriche, trasforma questa equazione in un'equazione della forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ora risolvi le due equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
  • Esempio 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Soluzione: utilizzando le identità trigonometriche, trasforma questa equazione in un'equazione della forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ora risolvi le due equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2sin x + 1) = 0 .
    • Metodo 2.
  • Converti l'equazione trigonometrica data in un'equazione contenente una sola funzione trigonometrica. Quindi sostituisci questa funzione trigonometrica con una sconosciuta, ad esempio t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, ecc.).
  • Esempio 9. 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0< x < 2π).
  • Soluzione. In questa equazione, sostituisci (cos^2 x) con (1 - sin^2 x) (secondo l'identità). L'equazione trasformata è:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sostituisci sin x con t. Ora l'equazione è: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Questa è un'equazione quadratica che ha due radici: t1 = -1 e t2 = 9/5. La seconda radice t2 non soddisfa l'intervallo della funzione (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esempio 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Soluzione. Sostituisci tg x con t. Riscrivi l'equazione originale come segue: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ora trova t e poi trova x per t = tan x.

Le equazioni trigonometriche non sono un argomento facile. Sono troppo diversi.) Ad esempio, questi:

peccato 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = lettino(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Eccetera...

Ma questi (e tutti gli altri) mostri trigonometrici hanno due caratteristiche comuni e obbligatorie. Primo - non ci crederai - ci sono funzioni trigonometriche nelle equazioni.) Secondo: si trovano tutte le espressioni con x all'interno di queste stesse funzioni. E solo lì! Se X appare da qualche parte al di fuori, Per esempio, sin2x + 3x = 3, questa sarà già un'equazione tipo misto. Tali equazioni richiedono approccio individuale. Non li considereremo qui.

Non risolveremo le equazioni malvagie neanche in questa lezione.) Qui ci occuperemo di le più semplici equazioni trigonometriche. Perché? Sì perché la soluzione Qualunque equazioni trigonometriche consiste di due fasi. Nella prima fase, l'equazione del male si riduce a una semplice attraverso una varietà di trasformazioni. Nel secondo, questa equazione più semplice viene risolta. Nessun altro modo.

Quindi, se hai problemi nella seconda fase, la prima fase non ha molto senso.)

Come sono le equazioni trigonometriche elementari?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Qui UN sta per qualsiasi numero. Qualunque.

A proposito, all'interno di una funzione potrebbe non esserci una X pura, ma qualche tipo di espressione, come:

cos(3x+π /3) = 1/2

eccetera. Ciò complica la vita, ma non influisce sul metodo di risoluzione di un'equazione trigonometrica.

Come risolvere le equazioni trigonometriche?

Le equazioni trigonometriche possono essere risolte in due modi. Il primo modo: usare la logica e il cerchio trigonometrico. Considereremo questo percorso qui. Il secondo modo, utilizzando la memoria e le formule, verrà discusso nella prossima lezione.

Il primo modo è chiaro, affidabile e difficile da dimenticare.) È utile per risolvere equazioni trigonometriche, disuguaglianze e tutti i tipi di complicati esempi non standard. La logica è più forte della memoria!)

Risolvere equazioni utilizzando un cerchio trigonometrico.

Includiamo la logica elementare e la capacità di utilizzare il cerchio trigonometrico. Non sai come? Però... Farai fatica in trigonometria...) Ma non importa. Dai un'occhiata alle lezioni "Cerchio trigonometrico...... Che cos'è?" e "Misurare gli angoli su un cerchio trigonometrico". Tutto è semplice lì. A differenza dei libri di testo...)

Oh lo sai!? E hai persino imparato il "Lavoro pratico con il cerchio trigonometrico"!? Congratulazioni. Questo argomento ti sarà vicino e comprensibile.) Ciò che è particolarmente piacevole è che al cerchio trigonometrico non interessa quale equazione risolvi. Seno, coseno, tangente, cotangente: per lui è tutto uguale. Esiste un solo principio risolutivo.

Quindi prendiamo qualsiasi equazione trigonometrica elementare. Almeno questo:

cosx = 0,5

Dobbiamo trovare X. Parlare in linguaggio umano, è necessario trova l'angolo (x) il cui coseno è 0,5.

Come utilizzavamo in precedenza il cerchio? Abbiamo disegnato un angolo su di esso. In gradi o radianti. E subito sega funzioni trigonometriche di questo angolo. Ora facciamo il contrario. Disegniamo un coseno sul cerchio pari a 0,5 e immediatamente vedremo angolo. Non resta che scrivere la risposta.) Sì, sì!

Disegna un cerchio e segna il coseno pari a 0,5. Sull'asse del coseno, ovviamente. Come questo:

Ora disegniamo l'angolo che ci dà questo coseno. Passa il mouse sull'immagine (o tocca l'immagine sul tablet) e vedrai proprio questo angolo X.

Il coseno di quale angolo è 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π/3) = 0,5

Alcuni ridaccheranno scettici, sì... Ad esempio, valeva la pena fare un cerchio quando tutto è già chiaro... Puoi, ovviamente, ridacchiare...) Ma il fatto è che questa è una risposta errata. O meglio, insufficiente. Gli intenditori dei cerchi capiscono che qui ci sono un sacco di altri angoli che danno anch'essi un coseno di 0,5.

Se giri il lato mobile OA giro completo, il punto A tornerà nella sua posizione originale. Con lo stesso coseno pari a 0,5. Quelli. l'angolo cambierà di 360° o 2π radianti, e coseno - no. Anche il nuovo angolo 60° + 360° = 420° sarà una soluzione alla nostra equazione, perché

Si può fare un numero infinito di rivoluzioni così complete... E tutti questi nuovi angoli saranno soluzioni alla nostra equazione trigonometrica. E tutti devono essere scritti in qualche modo in risposta. Tutto. Altrimenti la decisione non conta, sì...)

La matematica può farlo in modo semplice ed elegante. Scrivi in ​​una breve risposta insieme infinito decisioni. Ecco come appare la nostra equazione:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Lo decifrerò. Scrivi ancora significativamenteÈ più piacevole che disegnare stupidamente delle lettere misteriose, vero?)

π/3 - questo è lo stesso angolo in cui ci troviamo noi sega sul cerchio e determinato secondo la tabella del coseno.

2π è una rivoluzione completa in radianti.

N - questo è il numero di quelli completi, cioè Totale giri/min È chiaro che N può essere uguale a 0, ±1, ±2, ±3.... e così via. Come indicato dalla breve voce:

n∈ Z

N appartiene ( ∈ ) insieme di numeri interi ( Z ). A proposito, invece della lettera N si possono benissimo usare le lettere k, m, t eccetera.

Questa notazione significa che puoi prendere qualsiasi numero intero N . Almeno -3, almeno 0, almeno +55. Quello che vuoi. Se sostituisci questo numero nella risposta, otterrai un angolo specifico, che sarà sicuramente la soluzione alla nostra dura equazione.)

O, in altre parole, x = π /3 è l'unica radice di un insieme infinito. Per ottenere tutte le altre radici è sufficiente aggiungere un numero qualsiasi di rivoluzioni complete a π /3 ( N ) in radianti. Quelli. 2πn radiante.

Tutto? NO. Prolungo deliberatamente il piacere. Per ricordare meglio.) Abbiamo ricevuto solo una parte delle risposte alla nostra equazione. Scriverò questa prima parte della soluzione in questo modo:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - non solo una radice, ma tutta una serie di radici, scritte in forma breve.

Ma ci sono anche angoli che danno un coseno pari a 0,5!

Torniamo alla nostra immagine da cui abbiamo scritto la risposta. Eccola qui:

Passa il mouse sull'immagine e vediamo un altro angolo quello dà anche un coseno di 0,5. A cosa pensi che sia uguale? I triangoli sono uguali... Sì! Lui uguale all'angolo X , ritardato solo in senso negativo. Questo è l'angolo -X. Ma abbiamo già calcolato x. π /3 o 60°. Pertanto possiamo tranquillamente scrivere:

x2 = -π /3

Bene, ovviamente, aggiungiamo tutti gli angoli che si ottengono attraverso rivoluzioni complete:

x2 = -π /3 + 2π n, n ∈ Z

Questo è tutto adesso.) Sul cerchio trigonometrico noi sega(chi capisce, ovviamente)) Tutto angoli che danno un coseno di 0,5. E abbiamo scritto questi angoli in una breve forma matematica. La risposta ha prodotto due serie infinite di radici:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x2 = -π /3 + 2π n, n ∈ Z

Questa è la risposta corretta.

Speranza, principio generale per la risoluzione delle equazioni trigonometriche usare un cerchio è chiaro. Contrassegniamo il coseno (seno, tangente, cotangente) dell'equazione data su un cerchio, disegniamo gli angoli corrispondenti e annotiamo la risposta. Naturalmente dobbiamo capire in quali angoli ci troviamo sega sul cerchio. A volte non è così ovvio. Bene, ho detto che qui è necessaria la logica.)

Ad esempio, diamo un'occhiata a un'altra equazione trigonometrica:

Tieni presente che il numero 0,5 non è l'unico numero possibile nelle equazioni!) È solo più conveniente per me scriverlo rispetto a radici e frazioni.

Lavoriamo secondo il principio generale. Disegniamo un cerchio, segniamo (sull'asse del seno, ovviamente!) 0.5. Disegniamo tutti gli angoli corrispondenti a questo seno contemporaneamente. Otteniamo questa immagine:

Affrontiamo prima l'angolo X nel primo trimestre. Ricordiamo la tabella dei seni e determiniamo il valore di questo angolo. È una cosa semplice:

x = π /6

Ricordiamo i turni completi e, con la coscienza pulita, annotiamo la prima serie di risposte:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Metà del lavoro è fatto. Ma ora bisogna stabilirlo seconda curva...È più complicato che usare i coseni, sì... Ma la logica ci salverà! Come determinare il secondo angolo attraverso x? Sì facile! I triangoli nella foto sono gli stessi e l'angolo rosso X uguale all'angolo X . Solo che viene contato dall'angolo π nella direzione negativa. Ecco perché è rosso.) E per la risposta abbiamo bisogno di un angolo, misurato correttamente, dal semiasse positivo OX, cioè da un angolo di 0 gradi.

Passiamo il cursore sul disegno e vediamo tutto. Ho eliminato il primo angolo per non complicare l'immagine. L’angolo che ci interessa (disegnato in verde) sarà pari a:

π-x

X lo sappiamo π/6 . Pertanto il secondo angolo sarà:

π - π /6 = 5π /6

Ancora una volta ricordiamo di aggiungere rivoluzioni complete e annotiamo la seconda serie di risposte:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

È tutto. Una risposta completa è composta da due serie di radici:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Le equazioni tangente e cotangente possono essere facilmente risolte utilizzando lo stesso principio generale per risolvere le equazioni trigonometriche. Se, ovviamente, sai come disegnare la tangente e la cotangente su un cerchio trigonometrico.

Negli esempi precedenti, ho utilizzato i valori della tabella seno e coseno: 0,5. Quelli. uno di quei significati che lo studente conosce dovere. Ora espandiamo le nostre capacità a tutti gli altri valori. Decidi, quindi decidi!)

Quindi, diciamo che dobbiamo risolvere questa equazione trigonometrica:

Un tale valore del coseno in brevi tabelle NO. Ignoriamo freddamente questo fatto terribile. Disegna un cerchio, segna 2/3 sull'asse del coseno e disegna gli angoli corrispondenti. Otteniamo questa immagine.

Diamo un'occhiata innanzitutto all'angolo nel primo quarto. Se solo sapessimo a cosa è uguale x, annoteremmo immediatamente la risposta! Non lo sappiamo... Fallimento!? Calma! La matematica non lascia nei guai i suoi cittadini! Ha inventato l'arcocoseno per questo caso. Non lo so? Invano. Scoprilo, è molto più facile di quanto pensi. Non c'è un solo incantesimo complicato sulle "funzioni trigonometriche inverse" su questo collegamento... Questo è superfluo in questo argomento.

Se lo sai, dì a te stesso: "X è un angolo il cui coseno è uguale a 2/3". E subito, per pura definizione di arcocoseno, possiamo scrivere:

Ricordiamo le rivoluzioni aggiuntive e annotiamo con calma la prima serie di radici della nostra equazione trigonometrica:

x 1 = arcocos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

La seconda serie di radici per il secondo angolo viene scritta quasi automaticamente. È tutto uguale, solo X (arccos 2/3) avrà un segno meno:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

E questo è tutto! Questa è la risposta corretta. Ancora più semplice che con i valori della tabella. Non c'è bisogno di ricordare nulla.) A proposito, i più attenti noteranno che questa immagine mostra la soluzione attraverso l'arcocoseno in sostanza, non è diverso dal quadro per l'equazione cosx = 0,5.

Esattamente! Principio generale Ecco perché è comune! Ho disegnato deliberatamente due immagini quasi identiche. Il cerchio ci mostra l'angolo X dal suo coseno. Che si tratti o meno di un coseno tabulare è sconosciuto a tutti. Che tipo di angolo è questo, π /3, o cos'è l'arcocoseno: spetta a noi deciderlo.

Stessa canzone con il seno. Per esempio:

Disegna di nuovo un cerchio, segna il seno uguale a 1/3, disegna gli angoli. Questa è l'immagine che otteniamo:

E ancora una volta il quadro è quasi lo stesso dell'equazione sinx = 0,5. Si riparte ancora dal calcio d'angolo nel primo quarto. A quanto vale X se il suo seno è 1/3? Nessun problema!

Ora il primo pacchetto di radici è pronto:

x 1 = arcoseno 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Affrontiamo il secondo angolo. Nell'esempio con un valore di tabella pari a 0,5 era pari a:

π-x

Anche qui sarà esattamente lo stesso! Solo x è diverso, arcoseno 1/3. E allora!? Puoi tranquillamente scrivere il secondo pacchetto di radici:

x 2 = π - arcoseno 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Questa è una risposta completamente corretta. Anche se non sembra molto familiare. Ma è chiaro, spero.)

Ecco come si risolvono le equazioni trigonometriche usando un cerchio. Questo percorso è chiaro e comprensibile. È lui che risparmia nelle equazioni trigonometriche con la selezione delle radici su un dato intervallo, nelle disuguaglianze trigonometriche: generalmente vengono risolte quasi sempre in un cerchio. In breve, in tutti i compiti un po' più difficili di quelli standard.

Applichiamo la conoscenza nella pratica?)

Risolvere equazioni trigonometriche:

Innanzitutto, più semplice, direttamente da questa lezione.

Ora è più complicato.

Suggerimento: qui dovrai pensare al cerchio. Personalmente.)

E ora sono apparentemente semplici... Sono anche chiamati casi speciali.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Suggerimento: qui devi capire in un cerchio dove ci sono due serie di risposte e dove ce n'è una... E come scrivere una invece di due serie di risposte. Sì, in modo che non vada perduta nemmeno una radice di un numero infinito!)

Beh, molto semplice):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Suggerimento: qui devi sapere cosa sono l'arcoseno e l'arcocoseno? Cos'è l'arcotangente, l'arcotangente? Le definizioni più semplici. Ma non è necessario ricordare alcun valore della tabella!)

Le risposte sono, ovviamente, un disastro):

x1= arcosen0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcosen0,3 + 2

Non tutto funziona? Accade. Leggi di nuovo la lezione. Soltanto pensieroso(esiste tale parola obsoleta...) E segui i link. I collegamenti principali riguardano il cerchio. Senza di essa, la trigonometria è come attraversare la strada con gli occhi bendati. A volte funziona.)

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.