triangoli

Triangoloè una figura composta da tre punti che non giacciono sulla stessa linea e da tre segmenti che collegano questi punti a coppie. I punti vengono chiamati picchi triangolo e i segmenti sono i suoi partiti.

Tipi di triangoli

Il triangolo si chiama isoscele, se i suoi due lati sono uguali. Questi lati uguali sono chiamati lati, e viene chiamato il terzo base triangolo.

Si chiama triangolo in cui tutti i lati sono uguali equilatero O corretto.

Il triangolo si chiama rettangolare, se ha un angolo retto allora l'angolo è di 90°. Si chiama il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo retto ipotenusa, vengono chiamati gli altri due lati gambe.

Il triangolo si chiama acuto, se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè minori di 90°.

Il triangolo si chiama ottuso, se uno dei suoi angoli è ottuso, cioè maggiore di 90°.

Linee fondamentali del triangolo

Mediano

Mediano di un triangolo è un segmento che collega il vertice di un triangolo con il centro del lato opposto di questo triangolo.

Proprietà delle mediane dei triangoli

La mediana divide un triangolo in due triangoli di uguale area.

Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto, che le divide ciascuna in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Questo punto si chiama centro di gravità triangolo.

L'intero triangolo è diviso dalle sue mediane in sei triangoli uguali.

Bisettrice

Bisettrice dell'angoloè un raggio che parte dalla sua sommità, passa tra i suoi lati e divide in due un dato angolo. Bisettrice di un triangolo chiamato segmento bisettore di un angolo di un triangolo che collega un vertice a un punto sul lato opposto di questo triangolo.

Proprietà delle bisettrici dei triangoli

Altezza

Altezza di un triangolo è la perpendicolare tracciata dal vertice del triangolo alla linea contenente il lato opposto di questo triangolo.

Proprietà delle altezze dei triangoli

IN triangolo rettangolo l'altitudine tracciata dal vertice di un angolo retto lo divide in due triangoli, simile originale.

IN triangolo acuto le sue due altezze sono tagliate da esso simile triangoli.

Perpendicolare mediana

Si chiama retta passante per il centro di un segmento ad essa perpendicolare bisettrice perpendicolare al segmento .

Proprietà delle bisettrici perpendicolari di un triangolo

Ogni punto della bisettrice perpendicolare di un segmento è equidistante dagli estremi di quel segmento. È vero anche il viceversa: ogni punto equidistante dagli estremi di un segmento giace sulla sua perpendicolare.

Il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari tracciate lati del triangolo, è il centro circonferenza circoscritta di questo triangolo.

linea mediana

La linea mediana del triangolo chiamato segmento che collega i punti medi dei suoi due lati.

Proprietà della linea mediana di un triangolo

La linea mediana di un triangolo è parallela ad uno dei suoi lati ed è uguale alla metà di quel lato.

Formule e rapporti

Segni di uguaglianza dei triangoli

Due triangoli sono uguali se sono rispettivamente uguali:

due lati e l'angolo compreso tra loro;

due angoli e il lato ad essi adiacente;

tre lati.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

Due triangolo rettangolo sono uguali se sono rispettivamente uguali:

ipotenusa e un angolo acuto;

gamba e l'angolo opposto;

gamba e angolo adiacente;

due gamba;

ipotenusa E gamba.

Somiglianza dei triangoli

Due triangoli simile se una delle seguenti condizioni, chiamata segni di somiglianza:

due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli di un altro triangolo;

due lati di un triangolo sono proporzionali a due lati di un altro triangolo, e gli angoli formati da questi lati sono uguali;

i tre lati di un triangolo sono rispettivamente proporzionali ai tre lati dell'altro triangolo.

In triangoli simili le linee corrispondenti ( altezza, mediane, bisettrici ecc.) sono proporzionali.

Teorema dei seni

I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti e il coefficiente di proporzionalità è uguale a diametro circonferenza circoscritta di un triangolo:

Teorema del coseno

Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi lati e del coseno dell'angolo compreso tra loro:

UN 2 = B 2 + C 2 - 2avanti Cristo cos

Formule dell'area del triangolo

Triangolo libero

a, b, c - lati; - angolo tra i lati UN E B;- semiperimetro; R- raggio del cerchio circoscritto; R- raggio del cerchio inscritto; S- piazza; H UN - altezza trascinata di lato UN.

Compiti:

1. Presentare agli studenti tipi diversi triangoli a seconda del tipo di angoli (rettangolare, acuti, ottusi). Impara a trovare i triangoli e i loro tipi nei disegni. Rafforzare i concetti geometrici di base e le loro proprietà: retta, segmento, raggio, angolo.

2. Sviluppo del pensiero, dell'immaginazione, del discorso matematico.

3. Coltivare l'attenzione e l'attività.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Quanto ci serve, ragazzi?
Per le nostre abili mani?
Disegniamo due quadrati,
E c'è un enorme cerchio su di loro.
E poi altri cerchi,
Berretto triangolare.
Quindi è venuto fuori molto, molto
Allegro Stravagante.

II. Annunciare l'argomento della lezione.

Oggi nella lezione faremo un giro per la città della Geometria e visiteremo il microdistretto dei Triangoli (cioè faremo conoscenza con diversi tipi di triangoli a seconda dei loro angoli, impareremo a trovare questi triangoli nei disegni). la lezione sotto forma di “gioco-gara” a squadre.

Squadra 1 - “Segmento”.

Squadra 2 - “Luch”.

Squadra 3 - “Angolo”.

E gli ospiti rappresenteranno la giuria.

La giuria ci guiderà lungo il percorso

E non ti lascerà senza attenzioni. (Valutare in base ai punti 5,4,3,...).

Cosa useremo per viaggiare nella città della Geometria? Ricordi quali tipi di trasporto passeggeri ci sono in città? Siamo in tanti, quale sceglieremo? (Autobus).

Autobus. Chiaramente, brevemente. Inizia l'atterraggio.

Sediamoci e iniziamo il nostro viaggio. I capitani delle squadre riceveranno i biglietti.

Ma questi biglietti non sono facili, e i biglietti sono “compiti”.

III. Ripetizione del materiale coperto.

Primo stop"Ripetere."

Domanda per tutte le squadre.

Trova una linea retta nel disegno e dai un nome alle sue proprietà.

La linea è dritta senza fine né spigolo!
Percorretela per almeno cento anni,
Non troverai la fine della strada!

• Una linea retta non ha né inizio né fine: è infinita, quindi non può essere misurata.

Iniziamo la nostra competizione.

Proteggi i nomi delle tue squadre.

(Tutte le squadre leggono le prime domande e discutono. I capitani delle squadre leggono a turno le domande, 1 squadra legge 1 domanda).

1. Mostra un segmento nel disegno. Cos'è chiamato segmento? Dai un nome alle sue proprietà.

• La parte di linea delimitata da due punti si chiama segmento. Un segmento ha un inizio e una fine, quindi può essere misurato utilizzando un righello.

(La squadra 2 legge 1 domanda).

1. Mostra la trave sul disegno. Ciò che viene chiamato raggio. Dai un nome alle sue proprietà.

• Se segni un punto e da esso tracci parte di una linea retta, otterrai l'immagine di un raggio. Il punto da cui viene tracciata parte della linea è chiamato inizio del raggio.

Il raggio non ha fine, quindi non può essere misurato.

(La squadra 3 legge 1 domanda).

1. Mostra l'angolo sul disegno. Quello che viene chiamato angolo. Dai un nome alle sue proprietà.

• Tracciando due raggi da un punto si ottiene una figura geometrica chiamata angolo. Un angolo ha un vertice e i raggi stessi sono chiamati lati dell'angolo. Gli angoli vengono misurati in gradi utilizzando un goniometro.

Sessione di educazione fisica (con musica).

IV. Prepararsi allo studio di nuovo materiale.

Seconda fermata"Favoloso."

Mentre camminava, Pencil incontrò diverse angolazioni. Avrei voluto salutarli, ma ho dimenticato i nomi di ciascuno di loro. Dovremo aiutare Pencil.

(Gli angoli vengono controllati utilizzando un modello ad angolo retto).

Assegnazione alle squadre. Leggi le domande n. 2, discuti.

La squadra 1 legge la domanda 2.

2. Trova un angolo retto, dai una definizione.

• Un angolo di 90° si chiama angolo retto.

La squadra 2 legge la domanda 2.

2. Trova un angolo acuto, dai una definizione.

• Un angolo minore di un angolo retto si dice acuto.

La squadra 3 legge la domanda 2.

2. Trova un angolo ottuso, dai una definizione.

Un angolo maggiore di un angolo retto si chiama angolo ottuso.

Nel microdistretto in cui Karandash amava passeggiare, tutti gli angoli erano diversi dagli altri residenti in quanto tutti e tre camminavano sempre, tutti e tre bevevano il tè, tutti e tre andavano al cinema. E Pencil non riusciva a capire che tipo di figura geometrica compongono tre angoli insieme?

E una poesia sarà per te un suggerimento.

Sei su di me, sei su di lui,
Guarda tutti noi.
Abbiamo tutto, abbiamo tutto,
Ne abbiamo solo tre!

Quali proprietà vengono discusse riguardo alla figura?

• A proposito del triangolo.

Quale figura si chiama triangolo?

• Un triangolo è una figura geometrica che ha tre vertici, tre angoli e tre lati.

(Gli studenti mostrano un triangolo nel disegno, nominano i vertici, gli angoli e i lati).

Vertici: A, B, C (punti)

Angoli: BAC, ABC, BCA.

Lati: AB, BC, CA (segmenti).

V. Minuto di educazione fisica:

Battiamo il piede 8 volte,
Battiamo le mani 9 volte,
ci siederemo 10 volte,
e piegarti 6 volte,
salteremo verso l'alto
così tanto (triangolo mostrato)
Oh sì, conta! Gioco e niente più!

VI. Imparare nuovo materiale.

Ben presto gli angoli diventarono amici e diventarono inseparabili.

E ora chiameremo così il microdistretto: microdistretto dei Triangoli.

Terza tappa “Znayka”.

Quali sono i nomi di questi triangoli?

Diamo loro dei nomi. E proviamo a formulare noi stessi una definizione.

2. Trova diversi tipi di triangoli

La squadra 1 troverà e visualizzerà i triangoli ottusi.

La squadra 2 troverà e visualizzerà i triangoli rettangoli.

La squadra 3 troverà e mostrerà i triangoli acuti.

VIII. Prossima fermata: "Capiscilo".

Assegnazione a tutte le squadre.

Muovendo 6 bastoncini, ricava 4 triangoli uguali dalla lanterna.

Che tipo di angoli risultano essere i triangoli? (Acute angolare).

IX. Riepilogo della lezione.

Che quartiere abbiamo visitato?

Con quali tipi di triangoli hai conosciuto?

Il poligono più semplice studiato a scuola è un triangolo. È più comprensibile per gli studenti e incontra meno difficoltà. Nonostante ci siano diversi tipi triangoli che hanno proprietà speciali.

Che forma si chiama triangolo?

Formato da tre punti e segmenti. I primi si chiamano vertici, i secondi si chiamano lati. Inoltre, tutti e tre i segmenti devono essere collegati in modo che tra loro si formino degli angoli. Da qui il nome della figura del “triangolo”.

Differenze nei nomi tra gli angoli

Poiché possono essere acuti, ottusi e diritti, i tipi di triangoli sono determinati da questi nomi. Di conseguenza, ci sono tre gruppi di tali figure.

• Primo. Se un triangolo ha tutti gli angoli acuti si dirà acuti. Tutto è logico.

• Secondo. Uno degli angoli è ottuso, il che significa che il triangolo è ottuso. Non potrebbe essere più semplice.

• Terzo. Esiste un angolo pari a 90 gradi, che si chiama angolo retto. Il triangolo diventa rettangolare.

Differenze nei nomi sui lati

A seconda delle caratteristiche dei lati si distinguono i seguenti tipi di triangoli:

il caso generale è scaleno, in cui tutti i lati hanno lunghezza arbitraria;

isoscele, due lati dei quali hanno gli stessi valori numerici;

equilatero, tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza.

Se non specificato nell'attività tipo specifico triangolo, quindi devi disegnarne uno arbitrario. In cui tutti gli angoli sono acuti e i lati hanno lunghezze diverse.

Proprietà comuni a tutti i triangoli

1. Se sommi tutti gli angoli di un triangolo, ottieni un numero pari a 180º. E non importa di che tipo sia. Questa regola vale sempre.
2. Il valore numerico di qualsiasi lato di un triangolo è inferiore alla somma degli altri due. Inoltre, è maggiore della loro differenza.
3. Ogni angolo esterno ha un valore che si ottiene sommando due angoli interni ad esso non adiacenti. Inoltre è sempre più grande di quello interno ad esso adiacente.
4. L'angolo più piccolo è sempre opposto al lato più piccolo del triangolo. E viceversa, se il lato è grande, l'angolo sarà maggiore.

Queste proprietà sono sempre valide, indipendentemente dal tipo di triangoli considerati nei problemi. Tutto il resto deriva da caratteristiche specifiche.

Proprietà di un triangolo isoscele

• Gli angoli adiacenti alla base sono uguali.
• L'altezza, che è portata alla base, è anche mediana e bisettrice.
• Le altezze, mediane e bisettrici, che costituiscono i lati laterali del triangolo, sono rispettivamente uguali tra loro.

Proprietà di un triangolo equilatero

Se esiste una cifra del genere, tutte le proprietà descritte sopra saranno vere. Perché un equilatero sarà sempre isoscele. Ma non viceversa; un triangolo isoscele non sarà necessariamente equilatero.

• Tutti i suoi angoli sono uguali tra loro e hanno un valore di 60º.
• Ogni mediana di un triangolo equilatero è la sua altezza e la sua bisettrice. Inoltre, sono tutti uguali tra loro. Per determinare i loro valori esiste una formula che consiste nel prodotto del lato e della radice quadrata di 3 diviso 2.

Proprietà di un triangolo rettangolo

• La somma di due angoli acuti dà come risultato 90º.
• La lunghezza dell'ipotenusa è sempre maggiore di quella di qualsiasi cateto.
• Il valore numerico della mediana tracciata rispetto all'ipotenusa è pari alla sua metà.
• La gamba ha lo stesso valore se si trova di fronte ad un angolo di 30º.
• L'altezza, che si ricava dal vertice con un valore di 90º, ha una certa dipendenza matematica dalle gambe: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Qui: a, b - gambe, n - altezza.

Problemi con diversi tipi di triangoli

N. 1. Dato un triangolo isoscele. Il suo perimetro è noto e pari a 90 cm, bisogna scoprirne i lati. Come condizione aggiuntiva: il lato laterale è 1,2 volte più piccolo della base.

Il valore del perimetro dipende direttamente dalle quantità che devono essere trovate. La somma di tutti e tre i lati darà 90 cm Ora devi ricordare il segno del triangolo, secondo il quale è isoscele. Cioè, le due parti sono uguali. Puoi creare un'equazione con due incognite: 2a + b = 90. Qui a è il lato, b è la base.

Ora è il momento per una condizione aggiuntiva. Seguendola si ottiene la seconda equazione: b = 1.2a. Puoi sostituire questa espressione nella prima. Risulta: 2a + 1.2a = 90. Dopo le trasformazioni: 3.2a = 90. Quindi a = 28,125 (cm). Ora è facile scoprire le basi. È meglio farlo partendo dalla seconda condizione: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Per verificare, puoi aggiungere tre valori: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Giusto.

Risposta: I lati del triangolo misurano 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

N. 2. Il lato di un triangolo equilatero è 12 cm, devi calcolarne l'altezza.

Soluzione. Per trovare la risposta basta tornare al momento in cui sono state descritte le proprietà del triangolo. Questa è la formula per trovare l'altezza, la mediana e la bisettrice di un triangolo equilatero.

n = a * √3 / 2, dove n è l'altezza e a è il lato.

La sostituzione e il calcolo danno il seguente risultato: n = 6 √3 (cm).

Non è necessario memorizzare questa formula. Basta ricordare che l'altezza divide il triangolo in due rettangoli. Inoltre, risulta essere una gamba, e l'ipotenusa in essa contenuta è il lato di quella originale, la seconda gamba è la metà del lato noto. Ora devi scrivere il teorema di Pitagora e ricavare una formula per l'altezza.

Risposta: l'altezza è 6 √3 cm.

Numero 3. Dato che MKR è un triangolo in cui l'angolo K è pari a 90 gradi, i lati MR e KR sono noti e misurano rispettivamente 30 e 15 cm. Dobbiamo trovare il valore dell'angolo P.

Soluzione. Se fai un disegno, diventa chiaro che MR è l'ipotenusa. Inoltre è due volte più grande del lato del KR. Ancora una volta è necessario rivolgersi alle proprietà. Uno di questi ha a che fare con gli angoli. Da ciò è chiaro che l'angolo KMR è 30º. Ciò significa che l'angolo P desiderato sarà pari a 60º. Ciò segue da un'altra proprietà, che afferma che la somma di due angoli acuti dovrebbe essere 90º.

Risposta: l'angolo P è 60º.

N. 4. Dobbiamo trovare tutti gli angoli di un triangolo isoscele. È noto che l'angolo esterno dall'angolo alla base è 110º.

Soluzione. Poiché viene fornito solo l'angolo esterno, questo è ciò che devi utilizzare. Forma un angolo aperto con quello interno. Ciò significa che in totale daranno 180º. Cioè, l'angolo alla base del triangolo sarà uguale a 70º. Essendo isoscele, il secondo angolo ha lo stesso valore. Resta da calcolare il terzo angolo. Secondo una proprietà comune a tutti i triangoli, la somma degli angoli è 180º. Ciò significa che il terzo sarà definito come 180º - 70º - 70º = 40º.

Risposta: gli angoli sono 70º, 70º, 40º.

N. 5. È noto che in un triangolo isoscele l'angolo opposto alla base è 90º. C'è un punto segnato sulla base. Il segmento che lo collega ad un angolo retto lo divide nel rapporto da 1 a 4. Devi scoprire tutti gli angoli del triangolo più piccolo.

Soluzione. Uno degli angoli può essere determinato immediatamente. Poiché il triangolo è rettangolo ed isoscele, quelli che si trovano alla sua base saranno ciascuno di 45º, cioè 90º/2.

Il secondo ti aiuterà a trovare la relazione nota nella condizione. Dato che è uguale a 1 a 4, le parti in cui è diviso sono solo 5. Ciò significa che per trovare l'angolo minore di un triangolo occorre 90º/5 = 18º. Resta da scoprire il terzo. Per fare ciò, devi sottrarre 45º e 18º da 180º (la somma di tutti gli angoli del triangolo). I calcoli sono semplici e ottieni: 117º.

In genere due triangoli sono considerati simili se hanno la stessa forma, anche se di dimensioni diverse, ruotati o addirittura capovolti.

La rappresentazione matematica di due triangoli simili A 1 B 1 C 1 e A 2 B 2 C 2 mostrata in figura è scritta come segue:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Due triangoli sono simili se:

1. Ciascun angolo di un triangolo è uguale all'angolo corrispondente di un altro triangolo:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 E ∠C1 = ∠C2

2. I rapporti tra i lati di un triangolo e i lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relazioni due lati un triangolo ai lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro e allo stesso tempo
gli angoli tra questi lati sono uguali:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ e $\angle A_1 = \angle A_2$
O
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ e $\angle B_1 = \angle B_2$
O
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ e $\angle C_1 = \angle C_2$

Non confondere i triangoli simili con i triangoli uguali. I triangoli uguali hanno la stessa lunghezza dei lati corrispondenti. Pertanto, per triangoli congruenti:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Ne consegue che tutto triangoli uguali sono simili. Tuttavia, non tutti i triangoli simili sono uguali.

Sebbene la notazione sopra mostri che per scoprire se due triangoli sono simili o no, dobbiamo conoscere i valori dei tre angoli o le lunghezze dei tre lati di ciascun triangolo, per risolvere problemi con triangoli simili è sufficiente sapere tre qualsiasi dei valori sopra menzionati per ciascun triangolo. Queste quantità possono essere in varie combinazioni:

1) tre angoli di ogni triangolo (non è necessario conoscere la lunghezza dei lati dei triangoli).

Oppure almeno 2 angoli di un triangolo devono essere uguali a 2 angoli di un altro triangolo.
Poiché se 2 angoli sono uguali, anche il terzo angolo sarà uguale (il valore del terzo angolo è 180 - angolo1 - angolo2).

2) le lunghezze dei lati di ciascun triangolo (non è necessario conoscere gli angoli);

3) le lunghezze dei due lati e l'angolo tra loro.

Successivamente vedremo come risolvere alcuni problemi con triangoli simili. Esamineremo innanzitutto i problemi che possono essere risolti utilizzando direttamente le regole di cui sopra, quindi ne discuteremo alcuni problemi pratici, che vengono risolti utilizzando il metodo dei triangoli simili.

Esercitati su problemi con triangoli simili

Esempio 1: Mostra che i due triangoli nella figura seguente sono simili.

Soluzione:
Poiché le lunghezze dei lati di entrambi i triangoli sono note, qui si può applicare la seconda regola:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esempio n.2: Mostra che due triangoli dati sono simili e determina la lunghezza dei lati PQ E PR.

Soluzione:
∠A = ∠P E ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(poiché ∠C = 180 - ∠A - ∠B e ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Ne consegue che i triangoli ΔABC e ΔPQR sono simili. Quindi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ e
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Esempio n.3: Determina la lunghezza AB in questo triangolo.

Soluzione:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED E ∠A generale => triangoli ΔABC E ΔADE sono simili.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Esempio n.4: Determina la lunghezza d.C. (x) figura geometrica nella foto.

I triangoli ΔABC e ΔCDE sono simili perché AB || DE e hanno un angolo superiore comune C.
Vediamo che un triangolo è una versione in scala dell'altro. Dobbiamo però dimostrarlo matematicamente.

AB || DE, CD || AC e AC || CE
∠BAC = ∠EDC e ∠ABC = ∠DEC

Sulla base di quanto sopra e tenendo conto della presenza di un angolo comune C, possiamo affermare che i triangoli ΔABC e ΔCDE sono simili.

Quindi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Esempi pratici

Esempio n.5: La fabbrica utilizza un nastro trasportatore inclinato per trasportare i prodotti dal livello 1 al livello 2, che è 3 metri più alto rispetto al livello 1, come mostrato in figura. Il trasportatore inclinato è servito da un'estremità al livello 1 e dall'altra estremità ad un posto di lavoro situato a una distanza di 8 metri dal punto operativo del livello 1.

La fabbrica vuole potenziare il trasportatore per accedere al nuovo livello, che si trova 9 metri sopra il livello 1, mantenendo l'angolo di inclinazione del trasportatore.

Determinare la distanza alla quale deve essere installata la nuova stazione di lavoro per garantire che il trasportatore funzioni alla sua nuova estremità al livello 2. Calcolare inoltre la distanza aggiuntiva che il prodotto percorrerà quando si sposta al nuovo livello.

Soluzione:

Innanzitutto, etichettiamo ciascun punto di intersezione con una lettera specifica, come mostrato in figura.

In base al ragionamento fatto negli esempi precedenti, possiamo concludere che i triangoli ΔABC e ΔADE sono simili. Quindi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 milioni di dollari
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Pertanto, il nuovo punto deve essere installato ad una distanza di 16 metri dal punto esistente.

E poiché la struttura è composta da triangoli rettangoli, possiamo calcolare la distanza di movimento del prodotto come segue:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Allo stesso modo, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
ovvero la distanza percorsa attualmente dal prodotto quando raggiunge il livello esistente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
questa è la distanza aggiuntiva che il prodotto deve percorrere per raggiungere un nuovo livello.

Esempio n.6: Steve vuole visitare il suo amico che si è trasferito di recente nuova casa. Nella figura è mostrata la mappa stradale per raggiungere la casa di Steve e del suo amico, insieme alle distanze note a Steve. Aiuta Steve a raggiungere la casa del suo amico nel più breve tempo possibile.

Soluzione:

La mappa stradale può essere rappresentata geometricamente nella forma seguente, come mostrato in figura.

Vediamo che i triangoli ΔABC e ΔCDE sono simili, quindi:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

La dichiarazione del problema afferma che:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km e DE = 5 km

Utilizzando queste informazioni possiamo calcolare le seguenti distanze:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve può arrivare a casa del suo amico utilizzando i seguenti percorsi:

A -> B -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Pertanto, il percorso n. 3 è il più breve e può essere offerto a Steve.

Esempio 7:
Trisha vuole misurare l'altezza della casa, ma non ha gli strumenti giusti. Notò che davanti alla casa cresceva un albero e decise di utilizzare la sua intraprendenza e la conoscenza della geometria acquisita a scuola per determinare l'altezza dell'edificio. Misurò la distanza dall'albero alla casa, il risultato fu 30 metri, poi si fermò davanti all'albero e cominciò a indietreggiare finché bordo superiore l'edificio divenne visibile sopra la cima dell'albero. Trisha ha segnato questo posto e ha misurato la distanza da esso all'albero. Questa distanza era di 5 m.

L'altezza dell'albero è di 2,8 me l'altezza del livello degli occhi di Trisha è di 1,6 m Aiuta Trisha a determinare l'altezza dell'edificio.

Soluzione:

La rappresentazione geometrica del problema è mostrata in figura.

Per prima cosa usiamo la somiglianza dei triangoli ΔABC e ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \volte AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Possiamo quindi utilizzare la somiglianza dei triangoli ΔACB e ΔAFG o ΔADE e ΔAFG. Scegliamo la prima opzione.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$