(ABC) e le sue proprietà, presentate in figura. Triangolo rettangolo ha un'ipotenusa, il lato opposto angolo retto.
Suggerimento 1: come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo
I lati che formano un angolo retto si chiamano gambe. L'immagine mostra i lati d.C., DC e BD, DC- gambe e fianchi AC E NE- ipotenusa.
Teorema 1. In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, il cateto opposto a questo angolo romperà metà dell'ipotenusa.
hC
AB- ipotenusa;
ANNO DOMINI E DВ
Triangolo
Esiste un teorema:
sistema di commenti RISCHIAREE
Soluzione: 1) Le diagonali di qualsiasi rettangolo sono uguali Vero 2) Se un triangolo ha un angolo acuto, allora questo triangolo è acuto. Non vero. Tipi di triangoli. Un triangolo si dice acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè minori di 90° 3) Se il punto giace su.
Oppure, in un'altra voce,
Secondo il teorema di Pitagora
Qual è la formula per calcolare l'altezza di un triangolo rettangolo?
Altezza di un triangolo rettangolo
L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato rispetto all'ipotenusa può essere trovata in un modo o nell'altro a seconda dei dati contenuti nella formulazione del problema.
Oppure, in un'altra voce,
Dove BK e KC sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (i segmenti in cui l'altezza divide l'ipotenusa).
L'altezza dell'ipotenusa può essere trovata attraverso l'area di un triangolo rettangolo. Se applichiamo la formula per trovare l'area di un triangolo
(metà del prodotto di un lato e l'altezza portata a questo lato) per l'ipotenusa e l'altezza portata all'ipotenusa, otteniamo:
Da qui possiamo trovare l'altezza come rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la lunghezza dell'ipotenusa:
Poiché l'area di un triangolo rettangolo è pari alla metà del prodotto delle gambe:
Cioè, la lunghezza dell'altezza portata all'ipotenusa è uguale al rapporto tra il prodotto dei cateti e l'ipotenusa. Se indichiamo le lunghezze dei cateti con a e b, la lunghezza dell'ipotenusa con c, la formula può essere riscritta come
Poiché il raggio della circonferenza circoscritta di un triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa, la lunghezza dell'altezza può essere espressa in termini di cateti e raggio della circonferenza circoscritta:
Poiché l'altezza portata all'ipotenusa forma altri due triangoli rettangoli, la sua lunghezza può essere trovata attraverso le relazioni nel triangolo rettangolo.
Dal triangolo rettangolo ABK
Dal triangolo rettangolo ACK
La lunghezza dell'altezza di un triangolo rettangolo può essere espressa in termini di lunghezze delle gambe. Perché
Secondo il teorema di Pitagora
Se eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:
Puoi ottenere un'altra formula per mettere in relazione l'altezza di un triangolo rettangolo con le sue gambe:
Qual è la formula per calcolare l'altezza di un triangolo rettangolo?
Triangolo rettangolo. Livello medio.
Vuoi mettere alla prova la tua forza e scoprire il risultato di quanto sei pronto per l'Esame di Stato Unificato o l'Esame di Stato Unificato?
Il teorema principale sui triangoli rettangoli è il teorema di Pitagora.
teorema di Pitagora
A proposito, ricordi bene cosa sono i cateti e l'ipotenusa? Se non è molto buono, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze
È del tutto possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un simile teorema è vero? Come posso dimostrarlo? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.
Guarda con quanta intelligenza abbiamo diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!
Ora colleghiamo i punti contrassegnati
Qui però abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi il disegno e pensi perché è così.
Qual è l'area del quadrato più grande? Giusto, . E che dire di un'area più piccola? Certamente, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderli due alla volta e di appoggiarli l'uno contro l'altro con le loro ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Ciò significa che l'area dei “tagli” è uguale.
Mettiamo tutto insieme adesso.
Quindi abbiamo visitato Pitagora: abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.
Triangolo rettangolo e trigonometria
Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:
Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa
Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.
La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.
E ancora una volta tutto questo sotto forma di tablet:
Hai notato una cosa molto comoda? Osserva attentamente il cartello.
È molto comodo!
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli
II. Per cateto e ipotenusa
III. Per ipotenusa e angolo acuto
IV. Lungo la gamba e l'angolo acuto
Attenzione! È molto importante qui che le gambe siano "adeguate". Ad esempio, se funziona così:
ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.
Bisogno di In entrambi i triangoli la gamba era adiacente, oppure in entrambi era opposta.
Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscono dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Dai un'occhiata all'argomento "Triangolo" e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari", tre dei loro elementi devono essere uguali: due lati e l'angolo tra loro, due angoli e il lato tra loro, o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. Fantastico, vero?
La situazione è più o meno la stessa con i segni di somiglianza dei triangoli rettangoli.
Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli
III. Per cateto e ipotenusa
Mediana in un triangolo rettangolo
Invece di un triangolo rettangolo, considera un intero rettangolo.
Disegniamo una diagonale e consideriamo il punto in cui le diagonali si intersecano. Cosa sappiamo delle diagonali di un rettangolo?
- Il punto di intersezione delle diagonali è diviso a metà.
E cosa ne consegue?
Quindi si è scoperto che
Ricorda questo fatto! Aiuta molto!
Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.
Che vantaggio si può ottenere dal fatto che la mediana tracciata verso l'ipotenusa è pari alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto
Guarda attentamente. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma c'è solo un punto nel triangolo, le cui distanze da tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CERCHIO. Allora, cos'è successo?
Cominciamo con questo “inoltre”. "
Ma i triangoli simili hanno tutti gli angoli uguali!
Lo stesso si può dire di e
Ora disegniamolo insieme:
Hanno gli stessi angoli acuti!
Quale vantaggio può derivare da questa “triplice” somiglianza?
Beh, per esempio... Due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.
Scriviamo le relazioni delle parti corrispondenti:
Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo La prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":
Come ottenerne un secondo?
Ora applichiamo la somiglianza dei triangoli e.
Quindi, applichiamo la somiglianza: .
Cosa succederà adesso?
Ancora una volta risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula "Altezza in un triangolo rettangolo":
È necessario ricordare molto bene entrambe le formule e utilizzare quella più conveniente. Scriviamoli di nuovo
Bene, ora, applicando e combinando questa conoscenza con altre, risolverai qualsiasi problema con un triangolo rettangolo!
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Proprietà di un triangolo rettangolo
Considera un triangolo rettangolo (ABC) e le sue proprietà, presentate in figura. Un triangolo rettangolo ha un'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto. I lati che formano un angolo retto si chiamano gambe. L'immagine mostra i lati d.C., DC e BD, DC- gambe e fianchi AC E NE- ipotenusa.
Segni di uguaglianza di un triangolo rettangolo:
Teorema 1. Se l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo sono simili all'ipotenusa e al cateto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.
Teorema 2. Se due cateti di un triangolo rettangolo sono uguali a due cateti di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.
Teorema 3. Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono simili all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.
Teorema 4. Se una gamba e un angolo acuto adiacente (opposto) di un triangolo rettangolo sono uguali a una gamba e un angolo acuto adiacente (opposto) di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.
Proprietà di una gamba opposta ad un angolo di 30°:
Teorema 1.
Altezza in un triangolo rettangolo
In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, il cateto opposto a questo angolo rompe metà dell'ipotenusa.
Teorema 2. Se in un triangolo rettangolo il cateto è uguale alla metà dell'ipotenusa, allora l'angolo opposto è 30°.
Se si traccia l'altezza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa, tale triangolo viene diviso in due più piccoli, simili a quello uscente e simili tra loro. Da ciò discendono le seguenti conclusioni:
- L'altezza è la media geometrica (media proporzionale) dei due segmenti dell'ipotenusa.
- Ogni cateto del triangolo è medio proporzionale all'ipotenusa e ai segmenti adiacenti.
In un triangolo rettangolo i cateti fungono da altezze. L'ortocentro è il punto in cui avviene l'intersezione delle altezze del triangolo. Coincide con il vertice dell'angolo retto della figura.
hC- l'altezza emergente dall'angolo retto del triangolo;
AB- ipotenusa;
ANNO DOMINI E DВ- segmenti che si formano dividendo l'ipotenusa per l'altezza.
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Triangoloè una figura geometrica composta da tre punti (vertici) che non si trovano sulla stessa linea retta e da tre segmenti che collegano questi punti. Un triangolo rettangolo è un triangolo che ha uno dei suoi angoli a 90° (un angolo retto).
Esiste un teorema: somma angoli acuti di un triangolo rettangolo è 90°.
sistema di commenti RISCHIAREE
Parole chiave: triangolo, angolo retto, cateto, ipotenusa, teorema di Pitagora, cerchio
Il triangolo si chiama rettangolare se ha un angolo retto.
Un triangolo rettangolo ha due lati reciprocamente perpendicolari chiamati gambe; si chiama il suo terzo lato ipotenusa.
- Secondo le proprietà della perpendicolare e dell'obliquo, l'ipotenusa è più lunga di ciascuno dei cateti (ma inferiore alla loro somma).
- La somma di due angoli acuti di un triangolo rettangolo è uguale ad un angolo retto.
- Due altezze di un triangolo rettangolo coincidono con i suoi cateti. Pertanto uno dei quattro punti notevoli cade ai vertici dell'angolo retto del triangolo.
- Il circocentro di un triangolo rettangolo si trova al centro dell'ipotenusa.
- La mediana di un triangolo rettangolo disegnato dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo.
Considera un triangolo rettangolo ABC arbitrario e traccia l'altezza CD = hc dal vertice C del suo angolo retto.
Dividerà il triangolo dato in due triangoli rettangoli ACD e BCD; ciascuno di questi triangoli ha un angolo acuto in comune con il triangolo ABC ed è quindi simile al triangolo ABC.
Tutti e tre i triangoli ABC, ACD e BCD sono simili tra loro.
 |
Dalla somiglianza dei triangoli si determinano le seguenti relazioni:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
teorema di Pitagora uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo.
Formulazione geometrica. In un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Formulazione algebrica. In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa pari alla somma quadrati di gambe.
Cioè, denotando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo con c e le lunghezze dei cateti con a e b:
a2 + b2 = c2
Teorema di Pitagora inverso.
Altezza di un triangolo rettangolo
Per ogni terna di numeri positivi a, b e c tale che
a2 + b2 = c2,
Esiste un triangolo rettangolo con i cateti a e b e l'ipotenusa c.
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:
- lungo la gamba e l'ipotenusa;
- su due gambe;
- lungo la gamba e l'angolo acuto;
- lungo l'ipotenusa e l'angolo acuto.
Guarda anche:
Area di un triangolo, Triangolo isoscele, Triangolo equilatero
Geometria. 8 Classe. Test 4. Opzione 1 .
ANNO DOMINI : CD = CD : B.D. Quindi CD2 = AD ∙ B.D. Dicono:
ANNO DOMINI : CA = CA : AB. Quindi AC2 = AB ∙ ANNO DOMINI. Dicono:
B.D : a.C. = a.C : AB. Quindi BC2 = AB ∙ B.D.
Risolvere problemi:
1.
UN) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45 cm; E) 53 cm.
2. L'altezza di un triangolo rettangolo portato all'ipotenusa divide l'ipotenusa nei segmenti 9 e 36.
Determina la lunghezza di questa altezza.
UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4.
UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5.
UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6.
UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7.
8. La gamba di un triangolo rettangolo è 30.
Come trovare l'altezza in un triangolo rettangolo?
Trova la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa se il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo è 17.
UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10.
UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12.
UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Controlla le risposte!
G8.04.1. Segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo
Geometria. 8 Classe. Test 4. Opzione 1 .
In Δ ABC ∠ACV = 90°. cateti AC e BC, ipotenusa AB.
CD è l'altezza del triangolo disegnato rispetto all'ipotenusa.
Proiezione AD della gamba AC sull'ipotenusa,
Proiezione BD del cateto BC sull'ipotenusa.
L'altitudine CD divide il triangolo ABC in due triangoli simili ad esso (e tra loro): Δ ADC e Δ CDB.
Dalla proporzionalità dei lati di Δ ADC e Δ CDB simili segue:
ANNO DOMINI : CD = CD : B.D.
Proprietà dell'altezza di un triangolo rettangolo ridotta all'ipotenusa.
Quindi CD2 = AD ∙ B.D. Dicono: altezza di un triangolo rettangolo legato all'ipotenusa,è il valore proporzionale medio tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Dalla somiglianza di Δ ADC e Δ ACB segue:
ANNO DOMINI : CA = CA : AB. Quindi AC2 = AB ∙ ANNO DOMINI. Dicono: ogni gamba è il valore medio proporzionale tra l'intera ipotenusa e la proiezione di questa gamba sull'ipotenusa.
Allo stesso modo, dalla somiglianza di Δ CDB e Δ ACB segue:
B.D : a.C. = a.C : AB. Quindi BC2 = AB ∙ B.D.
Risolvere problemi:
1. Trova l'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa se divide l'ipotenusa in segmenti di 25 cm e 81 cm.
UN) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45 cm; E) 53 cm.
2. L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato attorno all'ipotenusa divide l'ipotenusa nei segmenti 9 e 36. Determina la lunghezza di questa altezza.
UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4. L'altezza di un triangolo rettangolo portato all'ipotenusa è 22, la proiezione di uno dei cateti è 16. Trova la proiezione dell'altro cateto.
UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5. Il cateto di un triangolo rettangolo è 18 e la sua proiezione sull'ipotenusa è 12. Trova l'ipotenusa.
UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6. L'ipotenusa è uguale a 32. Trova il lato la cui proiezione sull'ipotenusa è uguale a 2.
UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 45. Trova il lato la cui proiezione sull'ipotenusa è 9.
8. La gamba di un triangolo rettangolo è 30. Trova la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa se il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo è 17.
UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 41 e la proiezione di uno dei cateti è 16. Trova la lunghezza dell'altitudine tracciata dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa.
UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12. La differenza tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è 15 e la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è 4. Trova il raggio del cerchio circoscritto.
UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Qualunque programma scolastico include un argomento come la geometria. Ognuno di noi, da studente, ha studiato questa disciplina e ha risolto alcuni problemi. Ma per molte persone gli anni scolastici sono ormai alle spalle e parte della conoscenza acquisita è stata cancellata dalla memoria.
Ma cosa succede se all'improvviso hai bisogno di trovare la risposta a qualche domanda da un libro di testo scolastico, ad esempio come trovare l'altezza in un triangolo rettangolo? In questo caso, l'utente moderno e avanzato del computer aprirà prima Internet e troverà le informazioni che gli interessano.
Informazioni di base sui triangoli
Questa figura geometrica è composta da 3 segmenti collegati tra loro nei punti finali, ed i punti di contatto di questi punti non sono sulla stessa linea retta. I segmenti che compongono un triangolo si chiamano lati. Le giunzioni dei lati formano i vertici della figura, così come i suoi angoli.
Tipi di triangoli in base agli angoli
Questa figura può avere tre tipi di angoli: acuti, ottusi e diritti. A seconda di ciò, si distinguono i seguenti tipi di triangoli:
Tipi di triangoli a seconda della lunghezza dei lati
Come accennato in precedenza, questa figura è formata da tre segmenti. In base alla loro dimensione si distinguono i seguenti tipi di triangoli:
Come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo
Due lati identici di un triangolo rettangolo che formano un angolo retto nel punto di contatto si chiamano cateti. Il segmento che li collega è chiamato “ipotenusa”. Per trovare l'altezza in una data figura geometrica, è necessario abbassare una linea dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa. In questo caso, questa linea dovrebbe dividere l'angolo di 90º esattamente a metà. Un segmento di questo tipo è chiamato bisettrice. 
L'immagine sopra mostra triangolo rettangolo, altezza che dovremo calcolare. Questo può essere fatto in diversi modi:
Se disegni un cerchio attorno a un triangolo e disegni un raggio, il suo valore sarà la metà dell'ipotenusa. Sulla base di ciò, l'altezza di un triangolo rettangolo può essere calcolata utilizzando la formula:
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Innanzitutto un triangolo è una figura geometrica formata da tre punti che non giacciono sulla stessa retta e sono collegati da tre segmenti. Per trovare l'altezza di un triangolo, devi prima determinarne il tipo. I triangoli differiscono nella dimensione degli angoli e nel numero angoli uguali. A seconda della dimensione degli angoli, un triangolo può essere acuto, ottuso e rettangolare. In base al numero di lati uguali i triangoli si distinguono in isosceli, equilateri e scaleni. L'altezza è una perpendicolare alla quale ci si abbassa il lato opposto triangolo dal suo vertice. Come trovare l'altezza di un triangolo?
Come trovare l'altezza di un triangolo isoscele
Un triangolo isoscele è caratterizzato dall'uguaglianza dei lati e degli angoli alla base, pertanto le altezze di un triangolo isoscele portato ai lati laterali sono sempre uguali tra loro. Inoltre, l'altezza di questo triangolo è sia mediana che bisettrice. Di conseguenza, l'altezza divide la base a metà. Consideriamo il triangolo rettangolo risultante e troviamo il lato, cioè l'altezza del triangolo isoscele, utilizzando il teorema di Pitagora. Utilizzando la seguente formula, calcoliamo l'altezza: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, dove: a è il lato di questo triangolo isoscele, b è la base di questo triangolo isoscele.
Come trovare l'altezza di un triangolo equilatero
Un triangolo con i lati uguali si dice equilatero. L'altezza di un tale triangolo si ricava dalla formula per l'altezza di un triangolo isoscele. Risulta: H = √3/2*a, dove a è il lato di questo triangolo equilatero.
Come trovare l'altezza di un triangolo scaleno
Uno scaleno è un triangolo in cui due lati qualsiasi non sono uguali tra loro. In un triangolo del genere, tutte e tre le altezze saranno diverse. Puoi calcolare le lunghezze delle altezze utilizzando la formula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, dove a è il lato del triangolo oppure calcolare prima l'area di un particolare triangolo utilizzando la formula di Heron, che assomiglia a: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, dove a, b, c sono i lati di un triangolo scaleno e p è il suo semiperimetro. Ogni altezza = 2*area/lato
Come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo
Un triangolo rettangolo ha un angolo retto. L'altezza che arriva a una delle gambe è allo stesso tempo la seconda gamba. Pertanto, per trovare le altezze giacenti sulle gambe, è necessario utilizzare la formula pitagorica modificata: a = √(c 2 − b 2), dove a, b sono le gambe (a è la gamba da trovare), c è la lunghezza dell'ipotenusa. Per trovare la seconda altezza, è necessario inserire il valore risultante a al posto di b. Per trovare la terza altezza interna al triangolo si usa la seguente formula: h = 2s/a, dove h è l'altezza del triangolo rettangolo, s è la sua area, a è la lunghezza del lato a cui si misurerà l'altezza perpendicolare.
Un triangolo si dice acuto se tutti i suoi angoli sono acuti. In questo caso tutte e tre le altezze si trovano all'interno di un triangolo acuto. Un triangolo si dice ottuso se ha un solo angolo ottuso. Due altezze di un triangolo ottuso sono esterne al triangolo e cadono sulla continuazione dei lati. Il terzo lato è interno al triangolo. L'altezza è determinata utilizzando lo stesso teorema di Pitagora.
Formule generali per il calcolo dell'altezza di un triangolo
- Formula per trovare l'altezza di un triangolo attraverso i lati: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), dove h è l'altezza da trovare, a, b e c sono i lati di un dato triangolo, p è il suo semiperimetro, .
- Formula per trovare l'altezza di un triangolo utilizzando un angolo e un lato: H=b sin y = c sin ß
- La formula per trovare l'altezza di un triangolo attraverso l'area e il lato: h = 2S/a, dove a è il lato del triangolo e h è l'altezza costruita sul lato a.
- La formula per trovare l'altezza di un triangolo utilizzando il raggio e i lati: H= bc/2R.
Non importa quale curriculum scolastico contenga una materia come la geometria. Ognuno di noi, da studente, ha studiato questa disciplina e ha risolto alcuni problemi. Ma per molte persone gli anni scolastici sono ormai alle spalle e parte della conoscenza acquisita è stata cancellata dalla memoria.
Ma cosa succede se all'improvviso hai bisogno di trovare la risposta a una determinata domanda da un libro di testo scolastico, ad esempio come trovare l'altezza in un triangolo rettangolo? In questo caso, un moderno utente di computer avanzato aprirà prima Internet e troverà le informazioni che gli interessano.
Informazioni di base sui triangoli
Questa figura geometrica è composta da 3 segmenti collegati tra loro nei punti finali, ed i punti di contatto di questi punti non sono sulla stessa linea retta. I segmenti che compongono un triangolo si chiamano lati. Le giunzioni dei lati formano le parti superiori della figura, così come i suoi angoli.
Tipi di triangoli in base agli angoli
Questa figura può avere 3 tipi di angoli: acuti, ottusi e diritti. A seconda di ciò, tra i triangoli si distinguono le seguenti varietà:
Tipi di triangoli a seconda della lunghezza dei lati
Come accennato in precedenza, questa cifra appare da 3 segmenti. In base alla loro dimensione si distinguono i seguenti tipi di triangoli:
Come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo
Due lati simili di un triangolo rettangolo che formano un angolo retto nel punto di contatto si chiamano cateti. Il segmento che li collega si chiama “ipotenusa”. Per trovare l'altezza in una determinata figura geometrica, è necessario abbassare una linea dalla parte superiore dell'angolo retto all'ipotenusa. Con tutto ciò, questa linea dovrebbe dividere l'angolo di 90? esattamente a metà. Un segmento di questo tipo è chiamato bisettrice.
L'immagine sopra mostra un triangolo rettangolo, la cui altezza dovremo calcolare. Questo può essere fatto in diversi modi:
Se disegni un cerchio attorno a un triangolo e disegni un raggio, il suo valore sarà la metà dell'ipotenusa. Sulla base di ciò, l'altezza di un triangolo rettangolo può essere calcolata utilizzando la formula:
Triangolo rettangolo- questo è un triangolo in cui uno degli angoli è dritto, cioè uguale a 90 gradi.
- Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa (nella figura indicato come C o AB)
- Il lato adiacente all'angolo retto si chiama gamba. Ogni triangolo rettangolo ha due cateti (nella figura sono indicati come UN e b o AC e BC)
Formule e proprietà del triangolo rettangolo
Designazioni delle formule:(vedi foto sopra)
un, b- cateti di un triangolo rettangolo
C- ipotenusa
α, β - angoli acuti di un triangolo
S- piazza
H- altezza ribassata dal vertice di un angolo retto all'ipotenusa
ma un UN dall'angolo opposto ( α )
m b- mediana tirata di lato B dall'angolo opposto ( β )
mc- mediana tirata di lato C dall'angolo opposto ( γ )
IN triangolo rettangolo uno qualsiasi dei cateti è minore dell'ipotenusa(Formula 1 e 2). Questa proprietà è una conseguenza del teorema di Pitagora.
Coseno di uno qualsiasi degli angoli acuti meno di uno (Formula 3 e 4). Questa proprietà segue dalla precedente. Poiché uno qualsiasi dei cateti è inferiore all'ipotenusa, il rapporto tra cateto e ipotenusa è sempre inferiore a uno.
Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti (teorema di Pitagora). (Formula 5). Questa proprietà viene costantemente utilizzata durante la risoluzione dei problemi.
Area di un triangolo rettangolo pari alla metà del prodotto delle gambe (Formula 6)
Somma delle mediane quadrate alle gambe è pari a cinque quadrati della mediana rispetto all'ipotenusa e cinque quadrati dell'ipotenusa divisi per quattro (Formula 7). In aggiunta a quanto sopra, c'è Altre 5 formule, pertanto, si consiglia di leggere anche la lezione "Mediana di un triangolo rettangolo", che descrive le proprietà della mediana in modo più dettagliato.
Altezza di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto dei cateti diviso l'ipotenusa (Formula 8)
I quadrati dei cateti sono inversamente proporzionali al quadrato dell'altezza abbassata all'ipotenusa (Formula 9). Questa identità è anche una delle conseguenze del teorema di Pitagora.
Lunghezza dell'ipotenusa pari al diametro (due raggi) del cerchio circoscritto (Formula 10). Ipotenusa di un triangolo rettangolo è il diametro della circonferenza circoscritta. Questa proprietà viene spesso utilizzata nella risoluzione dei problemi.
Raggio inscritto V triangolo rettangolo cerchio può essere trovato come metà dell'espressione inclusa la somma dei cateti di questo triangolo meno la lunghezza dell'ipotenusa. Oppure come il prodotto delle gambe diviso per la somma di tutti i lati (perimetro) di un dato triangolo. (Formula 11)
Seno dell'angolo rapporto al contrario questo angolo gamba all'ipotenusa(per definizione di seno). (Formula 12). Questa proprietà viene utilizzata durante la risoluzione dei problemi. Conoscendo le dimensioni dei lati, puoi trovare l'angolo che formano.
Il coseno dell'angolo A (α, alfa) in un triangolo rettangolo sarà uguale a atteggiamento adiacente questo angolo gamba all'ipotenusa(per definizione di seno). (Formula 13)
