Seno angolo acutoα di un triangolo rettangolo è il rapporto opposto gamba all'ipotenusa.
È indicato come segue: sin α.
Coseno L'angolo acuto α di un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.
È designato come segue: cos α.
Tangente l'angolo acuto α è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
È designato come segue: tg α.
Cotangente l'angolo acuto α è il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.
È designato come segue: ctg α.
Il seno, il coseno, la tangente e la cotangente di un angolo dipendono solo dalla dimensione dell'angolo.
Regole:
Identità trigonometriche di base in un triangolo rettangolo:
(α – angolo acuto opposto alla gamba B e adiacente alla gamba UN . Lato Con – ipotenusa. β – secondo angolo acuto).
B | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
UN | 1 | |
B | 1 | |
UN | 1 1 | |
peccato α |
All'aumentare dell'angolo acutopeccato α eaumento dell'abbronzatura α ecosα diminuisce.
Per ogni angolo acuto α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Esempio-spiegazione:
Inserisci un triangolo rettangolo ABC
AB = 6,
BC = 3,
angolo A = 30º.
Scopriamo il seno dell'angolo A e il coseno dell'angolo B.
Soluzione.
1) Per prima cosa troviamo il valore dell'angolo B. Qui tutto è semplice: poiché in un triangolo rettangolo la somma degli angoli acuti è 90º, allora l'angolo B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Calcoliamo il peccato A. Sappiamo che il seno è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa. Per l'angolo A, il lato opposto è il lato BC. COSÌ:
aC 3 1
peccato A = -- = - = -
AB62
3) Ora calcoliamo il cos B. Sappiamo che il coseno è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa. Per l'angolo B, il cateto adiacente è dello stesso lato BC. Ciò significa che dobbiamo dividere nuovamente BC per AB, ovvero eseguire le stesse azioni di quando si calcola il seno dell'angolo A:
aC 3 1
cos B = -- = - = -
AB62
Il risultato è:
peccato A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Ne consegue che in un triangolo rettangolo il seno di un angolo acuto è uguale al coseno un altro angolo acuto - e viceversa. Questo è esattamente ciò che significano le nostre due formule:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Assicuriamoci nuovamente di questo:
1) Sia α = 60º. Sostituendo il valore di α nella formula del seno, otteniamo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
peccato 30º = cos 60º.
2) Sia α = 30º. Sostituendo il valore di α nella formula del coseno, otteniamo:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Per ulteriori informazioni sulla trigonometria, vedere la sezione Algebra)
Laddove fossero considerati i problemi relativi alla risoluzione di un triangolo rettangolo, ho promesso di presentare una tecnica per memorizzare le definizioni di seno e coseno. Usandolo, ricorderai sempre rapidamente quale lato appartiene all'ipotenusa (adiacente o opposto). Ho deciso di non rimandare a lungo, il materiale necessario è qui sotto, leggetelo 😉
Il fatto è che ho osservato più volte come gli studenti delle classi 10-11 abbiano difficoltà a ricordare queste definizioni. Si ricordano benissimo che la gamba si riferisce all'ipotenusa, ma quale- dimenticano e confuso. Il prezzo di un errore, come sai in un esame, è un punto perso.
Le informazioni che presenterò direttamente non hanno nulla a che fare con la matematica. Lei è connessa pensiero fantasioso e con metodi di comunicazione logico-verbale. È esattamente così che lo ricordo, una volta per tuttedati di definizione. Se li dimentichi, puoi sempre ricordarli facilmente utilizzando le tecniche presentate.
Lascia che ti ricordi le definizioni di seno e coseno in un triangolo rettangolo:
Coseno L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:
Seno L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa:
Allora, che associazioni hai con la parola coseno?
Probabilmente ognuno ha il suo 😉Ricorda il collegamento:
Pertanto, l'espressione apparirà immediatamente nella tua memoria:
«… rapporto tra il cateto ADIACENTE e l'ipotenusa».
Il problema con la determinazione del coseno è stato risolto.
Se hai bisogno di ricordare la definizione di seno in un triangolo rettangolo, quindi ricordando la definizione di coseno, puoi facilmente stabilire che il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa. Dopotutto, ci sono solo due cateti; se il cateto adiacente è “occupato” dal coseno, allora solo il cateto opposto rimane con il seno.
E che dire di tangente e cotangente? La confusione è la stessa. Gli studenti sanno che questa è una relazione di gambe, ma il problema è ricordare quale si riferisce a quale: o l'opposto con l'adiacente o viceversa.
Definizioni:
Tangente L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente:
Cotangente L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato adiacente e quello opposto:
Come ricordare? Ci sono due modi. Uno utilizza anche un collegamento logico-verbale, l'altro uno matematico.
METODO MATEMATICO
Esiste una tale definizione: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno dell'angolo e il suo coseno:
*Dopo aver memorizzato la formula, puoi sempre determinare che la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
Allo stesso modo.La cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il coseno dell'angolo e il suo seno:
COSÌ! Ricordando queste formule, puoi sempre determinare che:
- In un triangolo rettangolo la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il lato opposto e quello adiacente
— La cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.
METODO LOGICO DELLA PAROLA
A proposito di tangente. Ricorda il collegamento:
Cioè, se hai bisogno di ricordare la definizione di tangente, usando questa connessione logica, puoi facilmente ricordare di cosa si tratta
“...il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente”
Se parliamo di cotangente, ricordando la definizione di tangente puoi facilmente esprimere la definizione di cotangente:
“...il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto”
Sul sito web c'è un trucco interessante per ricordare tangente e cotangente " Tandem matematico " , Aspetto.
METODO UNIVERSALE
Puoi semplicemente memorizzarlo.Ma come dimostra la pratica, grazie alle connessioni logico-verbali, una persona ricorda a lungo le informazioni, e non solo quelle matematiche.
Spero che il materiale ti sia stato utile.
Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh
P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.
Il seno è una delle funzioni trigonometriche di base, il cui utilizzo non è limitato alla sola geometria. Le tabelle per il calcolo delle funzioni trigonometriche, come le calcolatrici ingegneristiche, non sono sempre a portata di mano e talvolta il calcolo del seno è necessario per risolvere vari problemi. In generale, il calcolo del seno aiuterà a consolidare le capacità di disegno e la conoscenza delle identità trigonometriche.
Giochi con righello e matita
Un compito semplice: come trovare il seno di un angolo disegnato su carta? Per risolvere avrai bisogno di un normale righello, un triangolo (o compasso) e una matita. Il modo più semplice per calcolare il seno di un angolo è dividere il cateto più lontano di un triangolo con un angolo retto per il lato lungo, ovvero l'ipotenusa. Pertanto, devi prima completare l'angolo acuto nella forma di un triangolo rettangolo tracciando una linea perpendicolare a uno dei raggi a una distanza arbitraria dal vertice dell'angolo. Dovremo mantenere un angolo di 90° esatti, per il quale avremo bisogno di un triangolo clericale.
Usare una bussola è un po' più preciso, ma richiederà più tempo. Su uno dei raggi è necessario segnare 2 punti ad una certa distanza, impostare un raggio sulla bussola approssimativamente uguale alla distanza tra i punti e disegnare semicerchi con centri in questi punti fino ad ottenere le intersezioni di queste linee. Collegando tra loro i punti di intersezione dei nostri cerchi, otteniamo una perpendicolare rigorosa al raggio del nostro angolo; non resta che estendere la linea finché non si interseca con un altro raggio.
Nel triangolo risultante, devi utilizzare un righello per misurare il lato opposto all'angolo e il lato lungo su uno dei raggi. Il rapporto tra la prima dimensione e la seconda sarà il valore desiderato del seno dell'angolo acuto.
Trova il seno di un angolo maggiore di 90°
Per un angolo ottuso il compito non è molto più difficile. Devi disegnare un raggio dal vertice a il lato opposto con un righello formare una linea retta con uno dei raggi dell'angolo che ci interessa. L'angolo acuto risultante dovrebbe essere trattato come descritto sopra, seno angoli adiacenti, formando insieme un angolo inverso di 180°, sono uguali.
Calcolo del seno utilizzando altre funzioni trigonometriche
Inoltre, il calcolo del seno è possibile se si conoscono i valori di altre funzioni trigonometriche dell'angolo o almeno le lunghezze dei lati del triangolo. Le identità trigonometriche ci aiuteranno in questo. Diamo un'occhiata ad esempi comuni.
Come trovare il seno con un coseno noto di un angolo? La prima identità trigonometrica, basata sul teorema di Pitagora, afferma che la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale a uno.
Come trovare il seno con una tangente nota di un angolo? La tangente si ottiene dividendo il lato lontano per il lato vicino oppure dividendo il seno per il coseno. Pertanto, il seno sarà il prodotto del coseno e della tangente, e il quadrato del seno sarà il quadrato di questo prodotto. Sostituiamo il coseno quadrato con la differenza tra l'uno e il seno quadrato secondo il primo identità trigonometrica e attraverso semplici manipolazioni riduciamo l'equazione al calcolo del seno quadrato passante per la tangente; pertanto, per calcolare il seno, dovrai estrarre la radice del risultato ottenuto.
Come trovare il seno con una cotangente nota di un angolo? Il valore della cotangente può essere calcolato dividendo la lunghezza della gamba più vicina all'angolo per la lunghezza di quella lontana, nonché dividendo il coseno per il seno, cioè la cotangente è una funzione inversa alla tangente relativa al numero 1. Per calcolare il seno, puoi calcolare la tangente utilizzando la formula tg α = 1 / ctg α e utilizzare la formula nella seconda opzione. Puoi anche derivare una formula diretta per analogia con la tangente, che sarà simile a questa.
Come trovare il seno di tre lati di un triangolo
Esiste una formula per trovare la lunghezza del lato sconosciuto di qualsiasi triangolo, non solo di un triangolo rettangolo, da due lati noti utilizzando la funzione trigonometrica del coseno dell'angolo opposto. Sembra così.
Cos'è seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo ti aiuterà a capire un triangolo rettangolo.
Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, ipotenusa e cateti: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto (nel nostro esempio è il lato \(AC\)); gambe sono i due lati rimanenti \(AB\) e \(BC\) (quelli adiacenti a angolo retto), e, se consideriamo le gambe rispetto all'angolo \(BC\), allora la gamba \(AB\) è la gamba adiacente, e la gamba \(BC\) è l'opposto. Quindi ora rispondiamo alla domanda: cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?
Seno dell'angolo– questo è il rapporto tra il cateto opposto (distante) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Coseno dell'angolo– questo è il rapporto tra il cateto adiacente (vicino) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangente dell'angolo– questo è il rapporto tra il lato opposto (distante) e quello adiacente (vicino).
Nel nostro triangolo:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangente dell'angolo– questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).
Nel nostro triangolo:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Queste definizioni sono necessarie Ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere in cosa, è necessario capirlo chiaramente tangente E cotangente siedono solo le gambe e l'ipotenusa appare solo in seno E coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:
coseno→tocco→tocco→adiacente;
Cotangente→tocco→tocco→adiacente.
Prima di tutto, devi ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come i rapporti tra i lati di un triangolo non dipendono dalla lunghezza di questi lati (allo stesso angolo). Non credere? Quindi assicurati guardando l'immagine:
Consideriamo, ad esempio, il coseno dell'angolo \(\beta \) . Per definizione, da un triangolo \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ma possiamo calcolare il coseno dell'angolo \(\beta \) dal triangolo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dalla grandezza dell'angolo.
Se capisci le definizioni, vai avanti e consolidale!
Per il triangolo \(ABC \) mostrato nella figura seguente, troviamo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Bene, hai capito? Allora provalo tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo \(\beta \) .
Risposte: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Cerchio unitario (trigonometrico).
Comprendendo i concetti di gradi e radianti, abbiamo considerato un cerchio con raggio pari a \(1\) . Un tale cerchio si chiama separare. Sarà molto utile quando studierai la trigonometria. Pertanto, esaminiamolo un po 'più in dettaglio.
Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova nell'origine delle coordinate, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse \(x\) (nel nostro esempio, questo è il raggio \(AB\)).
Ogni punto del cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse \(x\) e la coordinata lungo l'asse \(y\). Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa c'entrano con l'argomento in questione? Per fare ciò, dobbiamo ricordare il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera il triangolo \(ACG\) . È rettangolare perché \(CG\) è perpendicolare all'asse \(x\).
Cosa dista \(\cos \ \alpha \) dal triangolo \(ACG \)? Giusto \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Inoltre, sappiamo che \(AC\) è il raggio del cerchio unitario, il che significa \(AC=1\) . Sostituiamo questo valore nella nostra formula per il coseno. Ecco cosa succede:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
A cosa è uguale \(\sin \ \alpha \) del triangolo \(ACG \)? Beh, certo, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Sostituisci il valore del raggio \(AC\) in questa formula e ottieni:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Sapreste quindi dire quali coordinate ha il punto \(C\) appartenente alla circonferenza? Beh, assolutamente no? E se ti rendessi conto che \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde \(\cos \alpha \)? Beh, ovviamente, la coordinata \(x\)! E a quale coordinata corrisponde \(\sin \alpha \)? Esatto, coordina \(y\)! Quindi il punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
A cosa sono allora uguali \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \)? Esatto, usiamo le definizioni corrispondenti di tangente e cotangente e otteniamolo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Cosa succede se l'angolo è maggiore? Ad esempio, come in questa immagine:
Cosa è cambiato in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, torniamo di nuovo al triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angolo (come adiacente all'angolo \(\beta \) ). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente per un angolo? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Esatto, aderiamo alle definizioni corrispondenti delle funzioni trigonometriche:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angolo ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata \(y\) ; il valore del coseno della coordinata angolare \(x\) ; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni si applicano a qualsiasi rotazione del raggio vettore.
È già stato detto che la posizione iniziale del raggio vettore è lungo la direzione positiva dell'asse \(x\). Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di un certo valore, ma solo negativo. Pertanto, ruotando il raggio vettore in senso antiorario, otteniamo angoli positivi e quando si ruota in senso orario – negativo.
Quindi, sappiamo che l'intera rivoluzione del raggio vettore attorno al cerchio è \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . È possibile ruotare il vettore del raggio di \(390()^\circ \) o di \(-1140()^\circ \)? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), quindi, il raggio vettore farà un giro completo e si fermerà nella posizione \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Nel secondo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ovvero, il raggio vettore farà tre rivoluzioni complete e si fermerà nella posizione \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Pertanto, dagli esempi precedenti possiamo concludere che gli angoli che differiscono di \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è un numero intero qualsiasi), corrispondono alla stessa posizione del raggio vettore.
La figura seguente mostra l'angolo \(\beta =-60()^\circ \) . La stessa immagine corrisponde all'angolo \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) eccetera. Questo elenco può essere continuato indefinitamente. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oppure \(\beta +2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è un numero intero qualsiasi)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando cerchio unitario, prova a rispondere quali sono i valori:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Ecco un cerchio unitario per aiutarti:
Hai difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)
Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure angolari. Bene, cominciamo con ordine: l'angolo dentro \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corrisponde ad un punto di coordinate \(\left(0;1 \right) \), quindi:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- non esiste;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli entrano \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corrispondono a punti con coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text()\left(0 ;1 \destra) \), rispettivamente. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Provalo prima tu stesso e poi controlla le risposte.
Risposte:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- non esiste
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- non esiste
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- non esiste
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- non esiste
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Possiamo quindi realizzare la seguente tabella:
Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Devi ricordarlo o essere in grado di visualizzarlo!! \) !}
Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) riportati nella tabella seguente, è necessario ricordare:
Non spaventarti, ora ti mostriamo un esempio di memorizzazione abbastanza semplice dei valori corrispondenti:
Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), così come il valore della tangente dell'angolo in \(30()^\circ \) . Conoscendo questi valori \(4\), è abbastanza semplice ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sapendo questo, puoi ripristinare i valori di \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Il numeratore "\(1 \)" corrisponderà a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) e il denominatore "\(\sqrt(\text(3)) \)" corrisponderà a \(\testo (tg)\ 60()^\circ \ \) . I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce indicate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare solo i valori \(4\) della tabella.
Coordinate di un punto su una circonferenza
È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e l'angolo di rotazione? Beh, certo che puoi! Deriviamo una formula generale per trovare le coordinate di un punto. Ad esempio, ecco un cerchio davanti a noi:
Ci viene dato questo punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centro del cerchio. Il raggio del cerchio è \(1,5\) . È necessario trovare le coordinate del punto \(P\) ottenuto ruotando il punto \(O\) di \(\delta \) gradi.
Come si vede dalla figura, la coordinata \(x\) del punto \(P\) corrisponde alla lunghezza del segmento \(TP=UQ=UK+KQ\) . La lunghezza del segmento \(UK\) corrisponde alla coordinata \(x\) del centro del cerchio, cioè è uguale a \(3\) . La lunghezza del segmento \(KQ\) può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Allora abbiamo che per il punto \(P\) la coordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Utilizzando la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto \(P\) . Così,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Quindi, dentro vista generale le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Dove
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordinate del centro del cerchio,
\(r\) - raggio del cerchio,
\(\delta \) - angolo di rotazione del raggio del vettore.
Come puoi vedere, per la circonferenza unitaria che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono uguali a zero e il raggio è uguale a uno:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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I concetti di seno (), coseno (), tangente (), cotangente () sono indissolubilmente legati al concetto di angolo. Per capirli bene, a prima vista, concetti complessi(che causano uno stato di orrore in molti scolari), e per assicurarci che "il diavolo non sia così spaventoso come viene dipinto", cominciamo dall'inizio e comprendiamo il concetto di angolo.
Concetto di angolo: radiante, grado
Diamo un'occhiata alla foto. Il vettore si è “girato” rispetto al punto di una certa quantità. Quindi sarà la misura di questa rotazione rispetto alla posizione iniziale angolo.
Cos'altro devi sapere sul concetto di angolo? Bene, ovviamente, unità angolari!
L'angolo, sia in geometria che in trigonometria, può essere misurato in gradi e radianti.
Viene chiamato un angolo di (un grado). angolo centrale in un cerchio, basato su un arco circolare uguale a parte del cerchio. Pertanto, l'intero cerchio è costituito da “pezzi” di archi circolari, oppure l'angolo descritto dal cerchio è uguale.
Cioè, la figura sopra mostra un angolo uguale a, cioè questo angolo poggia su un arco circolare delle dimensioni della circonferenza.
Un angolo in radianti è l'angolo al centro di una circonferenza sotteso da un arco circolare la cui lunghezza è uguale al raggio della circonferenza. Bene, hai capito? In caso contrario, scopriamolo dal disegno.
Quindi, la figura mostra un angolo uguale a un radiante, cioè questo angolo poggia su un arco circolare, la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio (la lunghezza è uguale alla lunghezza oppure il raggio è uguale al raggio lunghezza dell'arco). Pertanto, la lunghezza dell'arco viene calcolata con la formula:
Dov'è l'angolo al centro in radianti.
Ebbene, sapendo questo, puoi rispondere quanti radianti sono contenuti nell'angolo descritto dal cerchio? Sì, per questo devi ricordare la formula della circonferenza. Eccola qui:
Bene, ora correliamo queste due formule e troviamo che l'angolo descritto dal cerchio è uguale. Cioè, correlando il valore in gradi e radianti, otteniamo questo. Rispettivamente, . Come puoi vedere, a differenza dei "gradi", la parola "radiante" viene omessa, poiché l'unità di misura è solitamente chiara dal contesto.
Quanti radianti ci sono? Giusto!
Fatto? Quindi vai avanti e risolvilo:
Hai difficoltà? Allora guarda risposte:
Triangolo rettangolo: seno, coseno, tangente, cotangente dell'angolo
Quindi, abbiamo capito il concetto di angolo. Ma cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo? Scopriamolo. Per fare questo, un triangolo rettangolo ci aiuterà.
Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, ipotenusa e cateti: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto (nel nostro esempio questo è il lato); le gambe sono i due lati rimanenti (quelli adiacenti all'angolo retto), e se consideriamo le gambe rispetto all'angolo, allora la gamba è la gamba adiacente, e la gamba è l'opposto. Quindi ora rispondiamo alla domanda: cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?
Seno dell'angolo- questo è il rapporto tra la gamba opposta (distante) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo.
Coseno dell'angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo.
Tangente dell'angolo- questo è il rapporto tra il lato opposto (distante) e quello adiacente (vicino).
Nel nostro triangolo.
Cotangente dell'angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).
Nel nostro triangolo.
Queste definizioni sono necessarie Ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere in cosa, è necessario capirlo chiaramente tangente E cotangente siedono solo le gambe e l'ipotenusa appare solo in seno E coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:
coseno→tocco→tocco→adiacente;
Cotangente→tocco→tocco→adiacente.
Prima di tutto, devi ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come i rapporti tra i lati di un triangolo non dipendono dalla lunghezza di questi lati (allo stesso angolo). Non credere? Quindi assicurati guardando l'immagine:
Consideriamo ad esempio il coseno di un angolo. Per definizione, da un triangolo: , ma possiamo calcolare il coseno di un angolo da un triangolo: . Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dalla grandezza dell'angolo.
Se capisci le definizioni, vai avanti e consolidale!
Per il triangolo mostrato nella figura seguente, troviamo.
Bene, hai capito? Allora provalo tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo.
Cerchio unitario (trigonometrico).
Comprendendo i concetti di gradi e radianti, abbiamo considerato un cerchio con un raggio uguale a. Un tale cerchio si chiama separare. Sarà molto utile quando studierai la trigonometria. Pertanto, esaminiamolo un po 'più in dettaglio.
Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova nell'origine delle coordinate, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse (nel nostro esempio questo è il raggio).
Ogni punto sul cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata dell'asse e la coordinata dell'asse. Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa c'entrano con l'argomento in questione? Per fare ciò, dobbiamo ricordare il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera un triangolo. È rettangolare perché è perpendicolare all'asse.
A cosa è uguale il triangolo? Giusto. Inoltre, sappiamo che è il raggio del cerchio unitario, il che significa . Sostituiamo questo valore nella nostra formula per il coseno. Ecco cosa succede:
A cosa è uguale il triangolo? Beh, certo, ! Sostituisci il valore del raggio in questa formula e ottieni:
Quindi, puoi dire quali coordinate ha un punto appartenente a un cerchio? Beh, assolutamente no? E se te ne rendessi conto e fossimo solo numeri? A quale coordinata corrisponde? Beh, ovviamente, le coordinate! E a quale coordinata corrisponde? Esatto, coordinate! Quindi, punto.
A cosa sono allora e uguali? Esatto, usiamo le definizioni corrispondenti di tangente e cotangente e otteniamo: a.
Cosa succede se l'angolo è maggiore? Ad esempio, come in questa immagine:
Cosa è cambiato in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, torniamo di nuovo al triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo: angolo (come adiacente ad un angolo). Quali sono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per un angolo? Esatto, aderiamo alle definizioni corrispondenti delle funzioni trigonometriche:
Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni si applicano a qualsiasi rotazione del raggio vettore.
È già stato detto che la posizione iniziale del raggio vettore è lungo la direzione positiva dell'asse. Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di un certo valore, ma solo negativo. Pertanto, ruotando il raggio vettore in senso antiorario, otteniamo angoli positivi e quando si ruota in senso orario - negativo.
Quindi sappiamo che un'intera rivoluzione del raggio vettore attorno a un cerchio è o. È possibile ruotare il raggio vettore verso o verso? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, quindi, il raggio vettore farà un giro completo e si fermerà nella posizione o.
Nel secondo caso, cioè, il raggio vettore farà tre giri completi e si fermerà nella posizione o.
Pertanto, dagli esempi precedenti possiamo concludere che gli angoli che differiscono di o (dove è un numero intero) corrispondono alla stessa posizione del raggio vettore.
La figura seguente mostra un angolo. La stessa immagine corrisponde all'angolo, ecc. Questo elenco può essere continuato indefinitamente. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale o (dove è un numero intero)
Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando la circonferenza unitaria, prova a rispondere quali sono i valori:
Ecco un cerchio unitario per aiutarti:
Hai difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:
Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure angolari. Bene, partiamo con ordine: l'angolo a corrisponde ad un punto dotato di coordinate, quindi:
Non esiste;
Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli corrispondono rispettivamente a punti con coordinate. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Provalo prima tu stesso e poi controlla le risposte.
Risposte:
Non esiste
Non esiste
Non esiste
Non esiste
Possiamo quindi realizzare la seguente tabella:
Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:
Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e, riportati nella tabella seguente, deve essere ricordato:
Non aver paura, ora ti mostriamo un esempio abbastanza semplice ricordare i valori corrispondenti:
Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo (), nonché il valore della tangente dell'angolo. Conoscendo questi valori, è abbastanza semplice ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:
Sapendo questo, puoi ripristinare i valori di. Il numeratore " " corrisponderà e il denominatore " " corrisponderà. I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce indicate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare tutti i valori della tabella.
Coordinate di un punto su una circonferenza
È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscere le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e l'angolo di rotazione?
Beh, certo che puoi! Tiriamolo fuori formula generale per trovare le coordinate di un punto.
Ad esempio, ecco un cerchio davanti a noi:
Supponiamo che il punto sia il centro della circonferenza. Il raggio del cerchio è uguale. E' necessario trovare le coordinate di un punto ottenute ruotando il punto di gradi.
Come si può vedere dalla figura, la coordinata del punto corrisponde alla lunghezza del segmento. La lunghezza del segmento corrisponde alla coordinata del centro del cerchio, cioè è uguale. La lunghezza di un segmento può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:
Quindi lo abbiamo per la coordinata del punto.
Utilizzando la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto. Così,
Quindi, in generale, le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:
Coordinate del centro del cerchio,
Raggio del cerchio,
L'angolo di rotazione del raggio del vettore.
Come puoi vedere, per la circonferenza unitaria che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono uguali a zero e il raggio è uguale a uno:
Bene, proviamo queste formule esercitandoci a trovare punti su un cerchio?
1. Trova le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto.
2. Trovare le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto.
3. Trova le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto.
4. Il punto è il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenuto ruotando il raggio vettore iniziale di.
5. Il punto è il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenuto ruotando il raggio vettore iniziale di.
Hai difficoltà a trovare le coordinate di un punto su una circonferenza?
Risolvi questi cinque esempi (o diventa bravo a risolverli) e imparerai a trovarli!
1.
Puoi notarlo. Ma sappiamo cosa corrisponde a una rivoluzione totale del punto di partenza. Pertanto, il punto desiderato si troverà nella stessa posizione di quando si gira. Sapendo questo, troviamo le coordinate richieste del punto:
2. La circonferenza unitaria è centrata in un punto, il che significa che possiamo usare formule semplificate:
Puoi notarlo. Sappiamo cosa corrisponde a due rivoluzioni complete del punto di partenza. Pertanto, il punto desiderato si troverà nella stessa posizione di quando si gira. Sapendo questo, troviamo le coordinate richieste del punto:
Seno e coseno sono valori di tabella. Ricordiamo il loro significato e otteniamo:
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
3. La circonferenza unitaria è centrata in un punto, il che significa che possiamo usare formule semplificate:
Puoi notarlo. Rappresentiamo l'esempio in questione nella figura:
Il raggio forma angoli uguali e con l'asse. Sapendo che i valori della tabella di coseno e seno sono uguali, e avendo determinato che il coseno qui assume un valore negativo e il seno assume un valore positivo, abbiamo:
Tali esempi vengono discussi in modo più dettagliato quando si studiano le formule per ridurre le funzioni trigonometriche nell'argomento.
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
4.
Angolo di rotazione del raggio del vettore (per condizione)
Per determinare i segni corrispondenti di seno e coseno, costruiamo una circonferenza unitaria e un angolo:
Come puoi vedere, il valore è positivo e il valore è negativo. Conoscendo i valori tabulari delle corrispondenti funzioni trigonometriche, otteniamo che:
Sostituiamo i valori ottenuti nella nostra formula e troviamo le coordinate:
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
5. Per risolvere questo problema, utilizziamo le formule in forma generale, dove
Coordinate del centro del cerchio (nel nostro esempio,
Raggio del cerchio (per condizione)
Angolo di rotazione del raggio del vettore (per condizione).
Sostituiamo tutti i valori nella formula e otteniamo:
e - valori della tabella. Ricordiamoli e sostituiamoli nella formula:
Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.
FORMULE RIASSUNTIVE E BASE
Il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto (lontano) e l'ipotenusa.
Il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente (vicino) e l'ipotenusa.
La tangente di un angolo è il rapporto tra il lato opposto (lontano) e il lato adiacente (vicino).
La cotangente di un angolo è il rapporto tra il lato adiacente (vicino) e il lato opposto (lontano).
