Derivato funzione complessa. Esempi di soluzioni

In questa lezione impareremo come trovare derivata di una funzione complessa. La lezione è una continuazione logica della lezione Come trovare la derivata?, in cui abbiamo esaminato i derivati ​​più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune tecniche tecniche per trovare i derivati. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, mettiti di umore serio: il materiale non è semplice, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.

In pratica bisogna avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi addirittura quasi sempre, quando ti vengono affidati compiti per trovare le derivate.

Osserviamo la tabella sulla regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:

Scopriamolo. Prima di tutto prestiamo attenzione all'inserimento. Qui abbiamo due funzioni - e , e la funzione, in senso figurato, è annidata all'interno della funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.

Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..

! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo espressioni informali" funzione esterna", funzione "interna" solo per facilitare la comprensione del materiale.

Per chiarire la situazione, considerare:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Sotto il seno non abbiamo solo la lettera “X”, ma un'intera espressione, quindi trovare la derivata direttamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che il seno non può essere “fatto a pezzi”:

In questo esempio, è già intuitivamente chiaro dalle mie spiegazioni che una funzione è una funzione complessa e che il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.

Primo passo quello che devi fare per trovare la derivata di una funzione complessa è capire quale funzione è interna e quale è esterna.

Quando semplici esempi Sembra chiaro che sotto il seno si trova un polinomio. Ma cosa succede se tutto non è ovvio? Come determinare con precisione quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, suggerisco di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o in bozza.

Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione at su una calcolatrice (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).

Cosa calcoleremo per primo? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna:

In secondo luogo dovrà essere trovato, quindi seno – sarà una funzione esterna:

Dopo che noi ESAURITO Con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola della differenziazione delle funzioni complesse.

Iniziamo a decidere. Dalla classe Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto di una soluzione a qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e inseriamo un tratto in alto a destra:

All'inizio trova la derivata della funzione esterna (seno), guarda la tabella delle derivate funzioni elementari e lo notiamo. Tutte le formule della tabella sono applicabili anche se "x" viene sostituito con un'espressione complessa, in questo caso:

notare che funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.

Beh, è ​​abbastanza ovvio

Il risultato finale dell'applicazione della formula è simile al seguente:

Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:

In caso di malintesi, scrivere la soluzione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Come sempre scriviamo:

Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove ne abbiamo una interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o in una bozza) a calcolare il valore dell'espressione a . Cosa dovresti fare prima? Innanzitutto bisogna calcolare a cosa equivale la base: quindi il polinomio è la funzione interna:

E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi, funzione di potenzaè una funzione esterna:

Secondo la formula, devi prima trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula richiesta: . Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per “X”, ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa è il seguente:

Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la nostra funzione interna non cambia:

Ora non resta che trovare una derivata molto semplice della funzione interna e modificare leggermente il risultato:

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Per consolidare la tua comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragionando su dove si trova la funzione esterna e dove è interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?

Esempio 5

a) Trovare la derivata della funzione

b) Trovare la derivata della funzione

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo una radice e per differenziare la radice bisogna rappresentarla come una potenza. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma appropriata per la differenziazione:

Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma dei tre termini è una funzione interna, mentre l'elevazione a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola di differenziazione delle funzioni complesse:

Rappresentiamo nuovamente il grado come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:

Pronto. Puoi anche ridurre l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando ottieni derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore non necessario e sarà scomodo per l'insegnante controllare).

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

È interessante notare che a volte invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente , ma una soluzione del genere sembrerà una divertente perversione. Ecco un tipico esempio:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente , ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:

Prepariamo la funzione per la differenziazione: spostiamo il meno fuori dal segno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:

Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola:

Troviamo la derivata della funzione interna e ripristiniamo il coseno:

Pronto. Nell'esempio considerato è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo usando la regola , le risposte devono corrispondere.

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Finora abbiamo esaminato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a calcolare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come potremmo contare su una calcolatrice?

Per prima cosa devi trovare , il che significa che l'arcoseno è l'incorporamento più profondo:

Questo arcoseno di uno dovrebbe quindi essere quadrato:

E infine eleviamo sette a potenza:

Cioè, in questo esempio abbiamo tre funzioni diverse e due incorporamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.

Iniziamo a decidere

Secondo la regola, devi prima prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che invece di “x” abbiamo espressione complessa, il che non nega la validità di questa formula. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa è il seguente:

Sotto il tratto abbiamo di nuovo una funzione complessa! Ma è già più semplice. È facile verificare che la funzione interna è l'arcoseno, quella esterna è il grado. Secondo la regola per differenziare una funzione complessa, devi prima calcolare la derivata della potenza.

Viene fornita una dimostrazione della formula per la derivata di una funzione complessa. Vengono considerati in dettaglio i casi in cui una funzione complessa dipende da una o due variabili. Viene fatta una generalizzazione al caso di un numero arbitrario di variabili.

Qui forniamo la derivazione delle seguenti formule per la derivata di una funzione complessa.
Se poi
.
Se poi
.
Se poi
.

Derivata di una funzione complessa da una variabile

Sia rappresentata una funzione di variabile x come una funzione complessa nella seguente forma:
,
dove ci sono alcune funzioni. La funzione è differenziabile per qualche valore della variabile x. La funzione è differenziabile per il valore della variabile.
Allora la funzione complessa (composita) è differenziabile nel punto x e la sua derivata è determinata dalla formula:
(1) .

La formula (1) può anche essere scritta come segue:
;
.

Prova

Introduciamo la seguente notazione.
;
.
Qui c'è una funzione delle variabili e , c'è una funzione delle variabili e . Ma ometteremo gli argomenti di queste funzioni per non confondere i calcoli.

Poiché le funzioni e sono differenziabili nei punti x e , rispettivamente, allora in questi punti ci sono le derivate di queste funzioni, che sono i seguenti limiti:
;
.

Consideriamo la seguente funzione:
.
Per un valore fisso della variabile u, è una funzione di . E' ovvio
.
Poi
.

Poiché la funzione è differenziabile in quel punto, in quel punto è continua. Ecco perché
.
Poi
.

Ora troviamo la derivata.

.

La formula è provata.

Conseguenza

Se una funzione di una variabile x può essere rappresentata come una funzione complessa di una funzione complessa
,
quindi la sua derivata è determinata dalla formula
.
Qui , e ci sono alcune funzioni differenziabili.

Per dimostrare questa formula, calcoliamo in sequenza la derivata utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa.
Consideriamo la funzione complessa
.
Il suo derivato
.
Considera la funzione originale
.
Il suo derivato
.

Derivata di una funzione complessa da due variabili

Lasciamo ora che la funzione complessa dipenda da più variabili. Per prima cosa diamo un'occhiata caso di una funzione complessa di due variabili.

Sia rappresentata una funzione dipendente dalla variabile x come una funzione complessa di due variabili nella forma seguente:
,
Dove
e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- una funzione di due variabili, differenziabile nel punto , . Quindi la funzione complessa è definita in un certo intorno del punto e ha una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Poiché le funzioni e sono differenziabili nel punto, sono definite in un certo intorno di questo punto, sono continue nel punto e nel punto esistono le loro derivate, che sono i seguenti limiti:
;
.
Qui
;
.
A causa della continuità di queste funzioni in un punto, abbiamo:
;
.

Poiché la funzione è differenziabile nel punto, è definita in un certo intorno di questo punto, è continua in questo punto e il suo incremento può essere scritto nella forma seguente:
(3) .
Qui

- incremento di una funzione quando i suoi argomenti vengono incrementati di valori e ;
;

- derivate parziali della funzione rispetto alle variabili e .
Per valori fissi di e , e sono funzioni delle variabili e . Tendono a zero a e:
;
.
Da e , quindi
;
.

Incremento della funzione:

. :
.
Sostituiamo la (3):



.

La formula è provata.

Derivata di una funzione complessa da più variabili

La conclusione precedente può essere facilmente generalizzata al caso in cui il numero di variabili di una funzione complessa è maggiore di due.

Ad esempio, se f è funzione di tre variabili, Quello
,
Dove
, e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- funzione differenziabile di tre variabili nel punto , , .
Quindi, dalla definizione di differenziabilità della funzione, si ha:
(4)
.
Perché, per continuità,
; ; ,
Quello
;
;
.

Dividendo la (4) e passando al limite si ottiene:
.

E infine, consideriamo il caso più generale.
Sia rappresentata una funzione di variabile x come una funzione complessa di n variabili nella forma seguente:
,
Dove
ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- funzione differenziabile di n variabili in un punto
, , ... , .
Poi
.

In questo articolo parleremo di un concetto matematico così importante come una funzione complessa e impareremo come trovare la derivata di una funzione complessa.

Prima di imparare a trovare la derivata di una funzione complessa, comprendiamo il concetto di funzione complessa, cos'è, "con cosa si mangia" e "come cucinarla correttamente".

Considera una funzione arbitraria, ad esempio, questa:

Tieni presente che l'argomento a destra e a sinistra dell'equazione della funzione è lo stesso numero o espressione.

Al posto di una variabile possiamo mettere, ad esempio, la seguente espressione: . E poi otteniamo la funzione

Chiamiamo l'espressione un argomento intermedio e la funzione una funzione esterna. Questi non sono concetti matematici rigorosi, ma aiutano a comprendere il significato del concetto di funzione complessa.

Una definizione rigorosa del concetto di funzione complessa suona così:

Lascia che una funzione sia definita su un insieme e sia l'insieme dei valori di questa funzione. Sia l'insieme (o il suo sottoinsieme) il dominio di definizione della funzione. Assegniamo un numero a ciascuno di essi. Pertanto, la funzione verrà definita sul set. Si chiama composizione di funzioni o funzione complessa.

In questa definizione, se usiamo la nostra terminologia, una funzione esterna è un argomento intermedio.

La derivata di una funzione complessa si trova secondo la seguente regola:

Per renderlo più chiaro, mi piace scrivere questa regola come segue:

In questa espressione, using denota una funzione intermedia.

COSÌ. Per trovare la derivata di una funzione complessa, è necessario

1. Determina quale funzione è esterna e trova la derivata corrispondente dalla tabella delle derivate.

2. Definire un argomento intermedio.

In questa procedura la difficoltà maggiore è trovare la funzione esterna. A questo scopo viene utilizzato un semplice algoritmo:

UN. Scrivi l'equazione della funzione.

B. Immagina di dover calcolare il valore di una funzione per un valore di x. Per fare ciò, sostituisci questo valore x nell'equazione della funzione ed esegui l'aritmetica. L'ultima azione che fai è la funzione esterna.

Ad esempio, nella funzione

L'ultima azione è l'esponenziazione.

Troviamo la derivata di questa funzione. Per fare ciò, scriviamo un argomento intermedio

Risolvere problemi fisici o esempi in matematica è completamente impossibile senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l’articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è un derivato, qual è la sua fisica e significato geometrico come si calcola la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una sola: come comprendere la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , specificato in un certo intervallo (a, b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, cambia la funzione stessa. Cambiare l'argomento: la differenza nei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento dell'argomento. Una modifica o incremento di una funzione è la differenza tra i valori di una funzione in due punti. Definizione di derivato:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un limite del genere? Ed ecco di cosa si tratta:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo compreso tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Significato fisico derivato: la derivata del percorso rispetto al tempo è pari alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola tutti sanno che la velocità è un percorso particolare x=f(t) E tempo T . velocità media per un certo periodo di tempo:

Per scoprire la velocità del movimento in un momento nel tempo t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: imposta una costante

La costante può essere tolta dal segno della derivata. Inoltre, questo deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendilo come regola: Se puoi semplificare un'espressione, assicurati di semplificarla .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Seconda regola: derivata della somma di funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo piuttosto un esempio pratico.

Trova la derivata della funzione:

Regola tre: derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Soluzione:

È importante parlare qui del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra ci imbattiamo nell'espressione:

In questo caso l'argomento intermedio è 8x elevato alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, calcoliamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata del quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare di derivati ​​for dummies partendo da zero. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti è possibile contattare il servizio studenti. Dietro a breve termine Ti aiuteremo a risolvere i test più difficili e a risolvere i problemi, anche se non hai mai fatto calcoli derivativi prima.

Dato che sei venuto qui, probabilmente hai già visto questa formula nel libro di testo

e fai una faccia così:

Amico, non preoccuparti! In effetti, tutto è semplicemente scandaloso. Capirai sicuramente tutto. Solo una richiesta: leggi l'articolo lentamente, cerca di capire ogni passaggio. Ho scritto nel modo più semplice e chiaro possibile, ma devi comunque capire l'idea. E assicurati di risolvere i compiti dell'articolo.

Cos'è una funzione complessa?

Immagina di trasferirti in un altro appartamento e quindi di imballare le cose in grandi scatole. Supponiamo che tu debba raccogliere alcuni piccoli oggetti, ad esempio materiale per scrivere a scuola. Se li getti semplicemente in una scatola enorme, si perderanno tra le altre cose. Per evitare ciò, li metti prima, ad esempio, in un sacchetto, che poi metti in una grande scatola, dopodiché la sigilli. Questo processo “complesso” è presentato nel diagramma seguente:

Sembrerebbe, cosa c'entra la matematica? Sì, nonostante il fatto che una funzione complessa sia formata ESATTAMENTE NELLO STESSO modo! Solo che noi “impacchettamo” non quaderni e penne, ma \(x\), mentre i “pacchetti” e le “scatole” sono diversi.

Ad esempio, prendiamo x e “impacchettatelo” in una funzione:

Di conseguenza, otteniamo, ovviamente, \(\cos⁡x\). Questa è la nostra “borsa delle cose”. Ora inseriamolo in una "scatola": impacchettalo, ad esempio, in una funzione cubica.

Cosa accadrà alla fine? Sì, è vero, ci sarà un "sacchetto di cose in una scatola", cioè "coseno di X al cubo".

Il design risultante è una funzione complessa. Si differenzia da quello semplice in questo DIVERSE “influenze” (pacchetti) vengono applicate a una X di seguito e risulta come se "funzione da funzione" - "imballaggio nell'imballaggio".

Nel percorso scolastico esistono pochissime tipologie di questi “pacchetti”, solo quattro:

Ora "impacchettamo" prima X funzione esponenziale con base 7, e poi in una funzione trigonometrica. Noi abbiamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Ora "impacchettamo" X due volte funzioni trigonometriche, prima in , e poi in:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Semplice, vero?

Ora scrivi tu stesso le funzioni, dove x:
- prima viene “impacchettato” in un coseno, e poi in una funzione esponenziale con base \(3\);
- prima alla quinta potenza e poi alla tangente;
- prima al logaritmo in base \(4\) , poi alla potenza \(-2\).

Trova le risposte a questa attività alla fine dell'articolo.

Possiamo “impacchettare” X non due, ma tre volte? Nessun problema! E quattro, cinque e venticinque volte. Ecco, ad esempio, una funzione in cui x è “compresso” \(4\) volte:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ma tali formule non si trovano nella pratica scolastica (gli studenti sono più fortunati, la loro potrebbe essere più complicata☺).

"Unpacking" una funzione complessa

Guarda di nuovo la funzione precedente. Riesci a capire la sequenza di "imballaggio"? In cosa è stato inserito X prima, in cosa poi e così via fino alla fine. Cioè, quale funzione è annidata all'interno di quale? Prendi un pezzo di carta e scrivi cosa ne pensi. Puoi farlo con una catena con frecce come abbiamo scritto sopra o in qualsiasi altro modo.

Ora la risposta corretta è: prima x è stato “compresso” alla \(4\)esima potenza, poi il risultato è stato compresso in un seno e, a sua volta, è stato inserito nel logaritmo in base \(2\) , e alla fine l'intera costruzione è stata inserita in un power five.

Cioè, devi svolgere la sequenza IN ORDINE INVERSO. Ed ecco un suggerimento su come farlo più facilmente: guarda immediatamente la X: dovresti ballare da lì. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Ad esempio, ecco la seguente funzione: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Guardiamo X: cosa gli succede prima? Preso da lui. Poi? Viene presa la tangente del risultato. La sequenza sarà la stessa:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un altro esempio: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizziamo: prima abbiamo cubato X e poi abbiamo preso il coseno del risultato. Ciò significa che la sequenza sarà: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Fai attenzione, la funzione sembra essere simile alla prima (dove ci sono le immagini). Ma questa è una funzione completamente diversa: qui nel cubo c'è x (cioè \(\cos⁡((x·x·x)))\), e lì nel cubo c'è il coseno \(x\) ( cioè \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Questa differenza deriva da diverse sequenze di "impacchettamento".

L'ultimo esempio (con Informazioni importanti in esso): \(y=\sin⁡((2x+5))\). È chiaro che qui prima hanno fatto operazioni aritmetiche con x, poi hanno preso il seno del risultato: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). E questo punto importante: nonostante le operazioni aritmetiche non siano funzioni in sé, qui fungono anche da “impacchettamento”. Approfondiamo un po' più a fondo questa sottigliezza.

Come ho detto sopra, nelle funzioni semplici x viene "compresso" una volta e nelle funzioni complesse due o più. Inoltre, lo è anche qualsiasi combinazione di funzioni semplici (cioè la loro somma, differenza, moltiplicazione o divisione). funzione semplice. Ad esempio, \(x^7\) è una funzione semplice e lo è anche \(ctg x\). Ciò significa che tutte le loro combinazioni sono funzioni semplici:

\(x^7+ ctg x\) - semplice,
\(x^7· lettino x\) – semplice,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – semplice, ecc.

Tuttavia, se a tale combinazione viene applicata un'altra funzione, questa diventerà una funzione complessa, poiché ci saranno due “pacchetti”. Vedi diagramma:

Ok, vai avanti adesso. Scrivi la sequenza delle funzioni di “wrapping”:
\(y=cos(⁡(sen⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Le risposte sono ancora una volta alla fine dell'articolo.

Funzioni interne ed esterne

Perché dobbiamo comprendere l'annidamento delle funzioni? Cosa ci dà questo? Il fatto è che senza tale analisi non saremo in grado di trovare in modo affidabile i derivati ​​​​delle funzioni discusse sopra.

E per andare avanti avremo bisogno di altri due concetti: funzioni interne ed esterne. Questa è una cosa molto semplice, del resto, le abbiamo già analizzate sopra: se ricordiamo la nostra analogia all'inizio, allora la funzione interna è un “pacchetto”, e la funzione esterna è una “scatola”. Quelli. ciò in cui X è “avvolto” per primo è una funzione interna, e ciò in cui è “avvolto” la funzione interna è già esterno. Bene, il motivo è chiaro: è fuori, significa esterna.

In questo esempio: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la funzione \(\log_2⁡x\) è interna e
- esterno.

E in questo: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) è interno, e
- esterno.

Completa l'ultima pratica di analisi delle funzioni complesse e passiamo finalmente a ciò per cui siamo partiti: troveremo i derivati ​​​​di funzioni complesse:

Compila gli spazi vuoti nella tabella:

Derivata di una funzione complessa

Bravi per noi, siamo finalmente arrivati ​​al "capo" di questo argomento - in effetti, la derivata di una funzione complessa, e in particolare, a quella terribile formula dall'inizio dell'articolo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Questa formula si legge così:

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna rispetto ad una funzione interna costante e della derivata della funzione interna.

E guarda immediatamente il diagramma di analisi, secondo le parole, in modo da capire cosa fare con cosa:

Spero che i termini “derivato” e “prodotto” non causino alcuna difficoltà. "Funzione complessa": l'abbiamo già risolta. Il problema sta nella “derivata di una funzione esterna rispetto a una funzione interna costante”. Cos'è?

Risposta: Questa è la derivata abituale di una funzione esterna, in cui cambia solo la funzione esterna e quella interna rimane la stessa. Ancora non è chiaro? Ok, usiamo un esempio.

Consideriamo una funzione \(y=\sin⁡(x^3)\). È chiaro che la funzione interna qui è \(x^3\), mentre quella esterna
. Troviamo ora la derivata dell'esterno rispetto alla costante interna.