Angolo tra le linee nello spazio chiameremo qualsiasi di angoli adiacenti, formato da due linee rette condotte attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due linee nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee rette può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Da , quindi utilizzando la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette sono equivalenti alle condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei loro vettori di direzione e:

Due dritti parallelo se e solo se i loro coefficienti corrispondenti sono proporzionali, cioè l 1 parallelo l 2 se e solo se parallele .

Due dritti perpendicolare se e solo se la somma dei prodotti dei coefficienti corrispondenti è uguale a zero: .

U obiettivo tra linea e piano

Lascia che sia dritto D- non perpendicolare al piano θ;
D′− proiezione di una linea D al piano θ;
L'angolo più piccolo tra le linee rette D E D' chiameremo angolo tra una retta e un piano.
Indichiamolo come φ=( D,θ)
Se D⊥θ, quindi ( D,θ)=π/2

Ehi→J→K→− sistema di coordinate rettangolari.
Equazione del piano:

θ: Ascia+Di+Cz+D=0

Supponiamo che la retta sia definita da un punto e da un vettore direzione: D[M 0,P→]
Vettore N→(UN,B,C)⊥θ
Quindi resta da scoprire l'angolo tra i vettori N→ e P→, denotiamolo come γ=( N→,P→).

Se l'angolo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Se l'angolo è γ>π/2, allora l'angolo desiderato è φ=γ−π/2

sinφ=sen(2π−γ)=cosγ

sinφ=sen(γ−2π)=−cosγ

Poi, angolo tra la retta e il piano può essere calcolato utilizzando la formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ App 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Domanda29. Il concetto di forma quadratica. Determinazione del segno delle forme quadratiche.

Forma quadratica j (x 1, x 2, …, x n) n variabili reali x 1, x 2, …, x nè chiamata somma della forma
, (1)

Dove un ij – alcuni numeri chiamati coefficienti. Senza perdita di generalità, possiamo presumerlo un ij = un ji.

Si chiama la forma quadratica valido, Se un ij Î GR. Matrice di forma quadratica si chiama matrice composta dai suoi coefficienti. La forma quadratica (1) corrisponde all'unica matrice simmetrica
Questo è A T = A. Di conseguenza, la forma quadratica (1) può essere scritta nella forma matriciale j ( X) = x T Ah, Dove xT = (X 1 X 2 … x n). (2)

E, viceversa, ad ogni matrice simmetrica (2) corrisponde un'unica forma quadratica fino alla notazione delle variabili.

Rango della forma quadraticaè chiamato rango della sua matrice. Si chiama la forma quadratica non degenerato, se la sua matrice è non singolare UN. (ricordiamo che la matrice UN si dice non degenere se il suo determinante non è uguale a zero). Altrimenti la forma quadratica è degenere.

definito positivo(o strettamente positivo) se

J ( X) > 0 , per chiunque X = (X 1 , X 2 , …, x n), tranne X = (0, 0, …, 0).

Matrice UN forma quadratica definita positiva j ( X) è detto anche definito positivo. Pertanto, una forma quadratica definita positiva corrisponde ad un'unica matrice definita positiva e viceversa.

Si chiama la forma quadratica (1). definita negativamente(o strettamente negativo) se

J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), tranne X = (0, 0, …, 0).

Analogamente a quanto sopra, una matrice di forma quadratica definita negativa è anche chiamata definita negativa.

Di conseguenza, la forma quadratica definita positiva (negativa) j ( X) raggiunge il valore minimo (massimo) j ( X*) = 0 a X* = (0, 0, …, 0).

Notare che la maggior parte le forme quadratiche non sono definite dal segno, cioè non sono né positive né negative. Tali forme quadratiche svaniscono non solo all'origine del sistema di coordinate, ma anche in altri punti.

Quando N> 2, sono richiesti criteri speciali per verificare il segno di una forma quadratica. Diamo un'occhiata a loro.

Minori maggiori forma quadratica sono detti minori:

cioè si tratta di minori dell'ordine di 1, 2, ..., N matrici UN, situato nell'angolo in alto a sinistra, l'ultimo di essi coincide con il determinante della matrice UN.

Criterio di definitività positiva (Criterio di Silvestro)

X) = x T Ah fosse definito positivo, è necessario e sufficiente che tutti i minori maggiori della matrice UN sono risultati positivi, ovvero: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Criterio di certezza negativa Affinché la forma quadratica j ( X) = x T Ah fosse definita negativa, è necessario e sufficiente che i suoi minori principali di ordine pari siano positivi, e di ordine dispari negativi, cioè: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N

Oh-oh-oh-oh-oh... beh, è ​​dura, come se stesse leggendo una frase a se stesso =) Comunque il relax aiuterà più tardi, soprattutto perché oggi ho comprato gli accessori adatti. Passiamo quindi alla prima sezione, spero che entro la fine dell'articolo manterrò l'umore allegro.

La posizione relativa di due rette

Questo è il caso quando il pubblico canta in coro. Due linee rette possono:

1) corrispondenza;

2) essere parallelo: ;

3) oppure si intersecano in un unico punto: .

Aiuto per i manichini : per favore ricorda segno matematico incroci, si verificherà molto spesso. La notazione significa che la linea si interseca con la linea nel punto .

Come determinare la posizione relativa di due linee?

Partiamo dal primo caso:

Due rette coincidono se e solo se i loro coefficienti corrispondenti sono proporzionali, cioè esiste un numero “lambda” tale che le uguaglianze sono soddisfatte

Consideriamo le rette e creiamo tre equazioni dai coefficienti corrispondenti: . Da ciascuna equazione segue che, quindi, queste linee coincidono.

Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione moltiplicare per –1 (cambiare segno) e tutti i coefficienti dell'equazione tagliato per 2, ottieni la stessa equazione: .

Il secondo caso, quando le rette sono parallele:

Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti delle variabili sono proporzionali: , Ma.

Ad esempio, consideriamo due linee rette. Controlliamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili:

Tuttavia, è abbastanza ovvio che.

E il terzo caso, quando le linee si intersecano:

Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, cioè, NON esiste un valore di “lambda” tale che le uguaglianze siano soddisfatte

Quindi, per le linee rette creeremo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , che significa il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti delle variabili non sono proporzionali.

Conclusione: le linee si intersecano

IN problemi pratici ah, puoi usare lo schema di soluzione appena discusso. A proposito, ricorda molto l'algoritmo per il controllo della collinearità dei vettori, che abbiamo esaminato in classe Il concetto di (in)dipendenza lineare dei vettori. Base dei vettori. Ma c'è una confezione più civile:

Esempio 1

Scopri la posizione relativa delle linee:

Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi delle rette:

a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle rette: .

, il che significa che i vettori non sono collineari e le linee si intersecano.

Per ogni evenienza, metterò una pietra con i cartelli all'incrocio:

Gli altri saltano sopra la pietra e seguono oltre, direttamente verso Kashchei l'Immortale =)

b) Trovare i vettori di direzione delle rette:

Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o coincidenti. Non è necessario contare il determinante qui.

È ovvio che i coefficienti delle incognite sono proporzionali, e .

Scopriamo se l'uguaglianza è vera:

Così,

c) Trovare i vettori di direzione delle rette:

Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate di questi vettori:
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le linee sono parallele o coincidenti.

Il coefficiente di proporzionalità “lambda” è facile da vedere direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può essere trovato anche attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: .

Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini liberi sono zero, quindi:

Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero in generale la soddisfa).

Pertanto le linee coincidono.

Risposta:

Molto presto imparerai (o addirittura avrai già imparato) a risolvere letteralmente in pochi secondi il problema discusso verbalmente. A questo proposito, non vedo il motivo di offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio porre un altro importante mattone nelle fondamenta geometriche:

Come costruire una retta parallela ad una data?

Per ignoranza di ciò compito più semplice Usignolo il ladro punisce severamente.

Esempio 2

La retta è data dall'equazione. Scrivi l'equazione della retta parallela che passa per il punto.

Soluzione: Indichiamo la riga sconosciuta con la lettera . Cosa dice la condizione di lei? Per il punto passa la retta. E se le rette sono parallele, allora è ovvio che il vettore direzione della retta “tse” è adatto anche per costruire la retta “de”.

Togliamo il vettore direzione dall'equazione:

Risposta:

La geometria dell'esempio sembra semplice:

Il test analitico consiste nei seguenti passaggi:

1) Controlliamo che le rette abbiano lo stesso vettore di direzione (se l'equazione della retta non è semplificata adeguatamente, allora i vettori saranno collineari).

2) Controlla se il punto soddisfa l'equazione risultante.

Nella maggior parte dei casi, i test analitici possono essere facilmente eseguiti per via orale. Osserva le due equazioni e molti di voi determineranno rapidamente il parallelismo delle linee senza alcun disegno.

Gli esempi di soluzioni indipendenti oggi saranno creativi. Perché dovrai ancora competere con Baba Yaga e lei, sai, è un'amante di ogni sorta di enigmi.

Esempio 3

Scrivi l'equazione della retta passante per un punto parallelo alla retta se

C'è un modo razionale e non così razionale per risolverlo. Maggior parte scorciatoia- alla fine della lezione.

Abbiamo lavorato un po' con le linee parallele e ci ritorneremo più avanti. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi consideriamo un problema che ti è familiare curriculum scolastico:

Come trovare il punto di intersezione di due linee?

Se dritto si intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari

Come trovare il punto di intersezione delle linee? Risolvi il sistema.

Ecco qui significato geometrico sistemi di due equazioni lineari con due incognite- queste sono due linee che si intersecano (il più delle volte) su un piano.

Esempio 4

Trova il punto di intersezione delle linee

Soluzione: Esistono due modi per risolvere: grafico e analitico.

Il metodo grafico consiste nel tracciare semplicemente le linee indicate e trovare il punto di intersezione direttamente dal disegno:

Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ciascuna equazione della linea: dovrebbero adattarsi sia lì che lì; In altre parole, le coordinate di un punto sono una soluzione al sistema. Essenzialmente, abbiamo cercato una soluzione grafica sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.

Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma presenta notevoli svantaggi. No, il punto non è che gli alunni di seconda media decidano in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per creare un disegno corretto e ACCURATO. Inoltre, alcune linee rette non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso potrebbe trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno fuori dal foglio del quaderno.

Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione metodo analitico. Risolviamo il sistema:

Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell'addizione termine per termine delle equazioni. Per sviluppare competenze pertinenti, segui una lezione Come risolvere un sistema di equazioni?

Risposta:

La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ciascuna equazione del sistema.

Esempio 5

Trova il punto di intersezione delle linee se si intersecano.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. È conveniente suddividere l'attività in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione della retta.
2) Scrivi l'equazione della retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.

Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico di molti problemi geometrici e su questo mi concentrerò ripetutamente.

Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione:

Nemmeno un paio di scarpe erano consumate prima di arrivare alla seconda parte della lezione:

Linee perpendicolari. Distanza da un punto a una linea.
Angolo tra rette

Cominciamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte, abbiamo imparato come costruire una linea retta parallela a questa, e ora la capanna sulle cosce di pollo girerà di 90 gradi:

Come costruire una retta perpendicolare ad una data?

Esempio 6

La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione perpendicolare alla retta passante per il punto.

Soluzione: A condizione si sa che . Sarebbe bello trovare il vettore direttivo della linea. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:

Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore direttivo della retta.

Componiamo l'equazione di una retta utilizzando un punto e un vettore direzione:

Risposta:

Espandiamo lo schizzo geometrico:

Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.

Verifica analitica della soluzione:

1) Togliamo i vettori di direzione dalle equazioni e con l'aiuto prodotto scalare di vettori arriviamo alla conclusione che le linee sono effettivamente perpendicolari: .

A proposito, puoi usare i vettori normali, è ancora più semplice.

2) Controlla se il punto soddisfa l'equazione risultante .

Il test, ancora una volta, è facile da eseguire per via orale.

Esempio 7

Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari se l'equazione è nota e periodo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Il problema prevede diverse azioni, quindi è conveniente formulare la soluzione punto per punto.

Il nostro entusiasmante viaggio continua:

Distanza dal punto alla linea

Davanti a noi c'è una striscia diritta del fiume e il nostro compito è raggiungerlo per la via più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso ottimale sarà quello di spostarsi lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.

La distanza in geometria viene tradizionalmente indicata con la lettera greca “rho”, ad esempio: – la distanza dal punto “em” alla retta “de”.

Distanza dal punto alla linea espresso dalla formula

Esempio 8

Trova la distanza da un punto a una linea

Soluzione: tutto quello che devi fare è sostituire con attenzione i numeri nella formula ed eseguire i calcoli:

Risposta:

Facciamo il disegno:

La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se disegni un disegno su carta a quadretti su una scala di 1 unità. = 1 cm (2 celle), la distanza può essere misurata con un comune righello.

Consideriamo un'altra attività basata sullo stesso disegno:

Il compito è trovare le coordinate di un punto simmetrico al punto rispetto alla linea retta . Suggerisco di eseguire i passaggi da solo, ma delineerò l'algoritmo della soluzione con risultati intermedi:

1) Trova una retta perpendicolare alla retta.

2) Trova il punto di intersezione delle linee: .

Entrambe le azioni vengono discusse in dettaglio in questa lezione.

3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del punto medio di un segmento noi troviamo .

Sarebbe bene verificare che anche la distanza sia di 2,2 unità.

Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre è di grande aiuto un microcalcolatore che consente di calcolare frazioni comuni. Ti ho consigliato molte volte e ti consiglierò ancora.

Come trovare la distanza tra due rette parallele?

Esempio 9

Trova la distanza tra due linee parallele

Questo è un altro esempio che puoi decidere da solo. Ti do un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere questo problema. Debriefing alla fine della lezione, ma è meglio provare a indovinare da solo, penso che il tuo ingegno fosse ben sviluppato.

Angolo tra due rette

Ogni angolo è uno stipite:


In geometria l'angolo formato da due rette è considerato MINORE, da cui consegue automaticamente che non può essere ottuso. Nella figura l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino "verde" o orientato in modo opposto Angolo "lampone".

Se le rette sono perpendicolari, allora uno qualsiasi dei 4 angoli può essere considerato come l'angolo compreso tra loro.

In cosa differiscono gli angoli? Orientamento. Innanzitutto è di fondamentale importanza la direzione in cui viene “scrolato” l’angolo. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio se .

Perché ti ho detto questo? Sembra che possiamo cavarcela con il consueto concetto di angolo. Il fatto è che le formule con cui troveremo gli angoli possono facilmente portare a un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprenderti. Un angolo con il segno meno non è peggiore e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno, per un angolo negativo, assicurati di indicarne l'orientamento con una freccia (in senso orario).

Come trovare l'angolo tra due rette? Esistono due formule di lavoro:

Esempio 10

Trova l'angolo tra le linee

Soluzione E Metodo uno

Consideriamo due rette date dalle equazioni in vista generale:

Se dritto non perpendicolare, Quello orientata L'angolo tra loro può essere calcolato utilizzando la formula:

Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori direttivi di rette:

Se , allora il denominatore della formula diventa zero, e i vettori saranno ortogonali e le linee saranno perpendicolari. Per questo motivo nella formulazione è stata fatta una riserva sulla non perpendicolarità delle linee rette.

Sulla base di quanto sopra, è conveniente formalizzare la soluzione in due passaggi:

1) Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori direzione delle rette:
, il che significa che le linee non sono perpendicolari.

2) Trova l'angolo tra le linee rette utilizzando la formula:

Usando funzione inversaÈ facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, usiamo la stranezza dell'arcotangente (vedi. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):

Risposta:

Nella risposta indichiamo valore esatto, nonché un valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti), calcolato utilizzando una calcolatrice.

Beh, meno, meno, niente di grave. Ecco un'illustrazione geometrica:

Non sorprende che l'angolo si sia rivelato di orientamento negativo, perché nella formulazione del problema il primo numero è una linea retta e proprio con essa è iniziato lo “svitamento” dell'angolo.

Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi invertire le linee, cioè prendere i coefficienti della seconda equazione e prendi i coefficienti della prima equazione. Insomma, bisogna cominciare con una diretta .

Definizione. Se due linee sono date y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, allora angolo acuto tra queste linee rette sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2. Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Le rette Ax + Bу + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 = λA, B 1 = λB sono proporzionali. Se anche C 1 = λC, allora le rette coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due linee si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

Equazione di una retta passante questo punto

Perpendicolare ad una linea data

Definizione. Una retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y = kx + b è rappresentata dall'equazione:

Distanza dal punto alla linea

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Bу + C = 0 è determinata come

.

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M ad una data retta. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

(1)

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate risolvendo il sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione della retta passante dato punto M 0 è perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ=p/4.

Esempio. Mostra che le rette 3x – 5y + 7 = 0 e 10x + 6y – 3 = 0 sono perpendicolari.

Soluzione. Troviamo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione dell'altezza ricavata dal vertice C.

Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza richiesta ha la forma: Ax + By + C = 0 oppure y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da dove b = 17. Totale: .

Risposta: 3 x + 2 y – 34 = 0.

L'equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. L'angolo tra due linee rette. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due linee

1. Equazione di una retta passante per un punto dato UN(X 1 , sì 1) in una determinata direzione, determinata dalla pendenza K,

sì - sì 1 = K(X - X 1). (1)

Questa equazione definisce una matita di linee che passano attraverso un punto UN(X 1 , sì 1), che è chiamato centro della trave.

2. Equazione della retta passante per due punti: UN(X 1 , sì 1) e B(X 2 , sì 2), scritto così:

Il coefficiente angolare di una retta passante per due punti dati è determinato dalla formula

3. Angolo tra rette UN E Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN attorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario finché non coincide con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni con pendenza

sì = K 1 X + B 1 ,

sì = K 2 X + B 2 , (4)

quindi l'angolo tra loro è determinato dalla formula

Va notato che al numeratore della frazione la pendenza della prima linea viene sottratta dalla pendenza della seconda linea.

Se le equazioni di una retta sono date in forma generale

UN 1 X + B 1 sì + C 1 = 0,

UN 2 X + B 2 sì + C 2 = 0, (6)

l'angolo tra loro è determinato dalla formula

4. Condizioni per il parallelismo di due rette:

a) Se le rette sono date dalle equazioni (4) con un coefficiente angolare, allora la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è l'uguaglianza dei loro coefficienti angolari:

K 1 = K 2 . (8)

b) Nel caso in cui le rette siano date da equazioni in forma generale (6), una condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è che i coefficienti per le corrispondenti coordinate correnti nelle loro equazioni siano proporzionali, cioè

5. Condizioni di perpendicolarità di due rette:

a) Nel caso in cui le linee siano date dalle equazioni (4) con un coefficiente angolare, condizione necessaria e sufficiente per la loro perpendicolarità è che i loro coefficienti angolari siano inversi in grandezza e opposti in segno, cioè

Questa condizione può anche essere scritta nella forma

K 1 K 2 = -1. (11)

b) Se le equazioni delle rette sono date nella forma generale (6), allora la condizione per la loro perpendicolarità (necessaria e sufficiente) è soddisfare l'uguaglianza

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Le coordinate del punto di intersezione di due linee si trovano risolvendo il sistema di equazioni (6). Le linee (6) si intersecano se e solo se

1. Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto M, delle quali una parallela e l'altra perpendicolare alla retta data l.

Questo materiale è dedicato a un concetto come l'angolo tra due linee che si intersecano. Nel primo paragrafo spiegheremo di cosa si tratta e lo mostreremo tramite illustrazioni. Quindi esamineremo i modi in cui puoi trovare il seno, il coseno di questo angolo e l'angolo stesso (considereremo separatamente i casi con uno spazio piano e tridimensionale), forniremo le formule necessarie e mostreremo esattamente con esempi come vengono utilizzati nella pratica.

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Per capire quale sia l'angolo che si forma quando due linee si intersecano, dobbiamo ricordare la definizione stessa di angolo, perpendicolarità e punto di intersezione.

Definizione 1

Chiamiamo due linee che si intersecano se ne hanno una punto comune. Questo punto è chiamato punto di intersezione di due linee.

Ogni linea retta è divisa in raggi da un punto di intersezione. Entrambe le rette formano 4 angoli, di cui due verticali e due adiacenti. Se conosciamo la misura di uno di essi, possiamo determinare i rimanenti.

Diciamo che sappiamo che uno degli angoli è uguale ad α. In questo caso anche l'angolo verticale rispetto ad esso sarà uguale ad α. Per trovare gli angoli rimanenti, dobbiamo calcolare la differenza 180 ° - α. Se α è uguale a 90 gradi, allora tutti gli angoli saranno retti. Le linee che si intersecano ad angolo retto sono chiamate perpendicolari (un articolo separato è dedicato al concetto di perpendicolarità).

Dai un'occhiata all'immagine:

Passiamo alla formulazione della definizione principale.

Definizione 2

L'angolo formato da due linee che si intersecano è la misura del minore dei 4 angoli che formano queste due linee.

Dalla definizione si deve trarre una conclusione importante: la dimensione dell'angolo in questo caso sarà espressa da qualsiasi numero reale nell'intervallo (0, 90). Se le linee sono perpendicolari, l'angolo tra loro sarà comunque pari a 90 gradi.

La capacità di trovare la misura dell'angolo compreso tra due rette che si intersecano è utile per risolvere molti problemi pratici. Il metodo di soluzione può essere scelto tra diverse opzioni.

Per cominciare, possiamo utilizzare metodi geometrici. Se sappiamo qualcosa sugli angoli complementari, possiamo associarli all'angolo di cui abbiamo bisogno utilizzando le proprietà delle figure uguali o simili. Ad esempio, se conosciamo i lati di un triangolo e dobbiamo calcolare l'angolo tra le linee su cui si trovano questi lati, allora il teorema del coseno è adatto per essere risolto. Se abbiamo la condizione triangolo rettangolo, quindi per i calcoli avremo bisogno anche della conoscenza di seno, coseno e tangente di un angolo.

Anche il metodo delle coordinate è molto comodo per risolvere problemi di questo tipo. Spieghiamo come utilizzarlo correttamente.

Abbiamo un sistema di coordinate rettangolare (cartesiano) O x y, in cui sono date due rette. Indichiamoli con le lettere a e b. Le rette possono essere descritte utilizzando alcune equazioni. Le linee originali hanno un punto di intersezione M. Come determinare l'angolo richiesto (denotiamolo α) tra queste linee rette?

Cominciamo formulando il principio base per trovare un angolo in determinate condizioni.

Sappiamo che il concetto di linea retta è strettamente correlato a concetti come vettore direzione e vettore normale. Se abbiamo l'equazione di una certa retta, possiamo ricavarne le coordinate di questi vettori. Possiamo farlo per due linee che si intersecano contemporaneamente.

L'angolo sotteso da due rette che si intersecano può essere trovato utilizzando:

• angolo tra i vettori di direzione;
• angolo tra vettori normali;
• l'angolo tra il vettore normale di una linea e il vettore direzionale dell'altra.

Ora esaminiamo ciascun metodo separatamente.

1. Supponiamo di avere una linea a con un vettore di direzione a → = (a x, a y) e una linea b con un vettore di direzione b → (b x, b y). Ora tracciamo due vettori a → e b → dal punto di intersezione. Dopodiché vedremo che si troveranno ciascuno sulla propria retta. Quindi abbiamo quattro opzioni per loro posizione relativa. Vedi l'illustrazione:

Se l'angolo tra due vettori non è ottuso, allora sarà l'angolo di cui abbiamo bisogno tra le linee che si intersecano a e b. Se è ottuso, l'angolo desiderato sarà uguale all'angolo adiacente all'angolo a →, b → ^. Pertanto, α = a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° e α = 180 ° - a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .

Basato sul fatto che i coseni angoli uguali sono uguali, possiamo riscrivere le uguaglianze risultanti come segue: cos α = cos a → , b → ^ , se a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, se a →, b → ^ > 90 °.

Nel secondo caso sono state utilizzate formule di riduzione. Così,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Scriviamo l'ultima formula in parole:

Definizione 3

Il coseno dell'angolo formato da due rette che si intersecano sarà uguale al modulo del coseno dell'angolo compreso tra i suoi vettori di direzione.

La forma generale della formula per il coseno dell'angolo compreso tra due vettori a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) è simile alla seguente:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Da esso possiamo ricavare la formula del coseno dell'angolo compreso tra due rette date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Quindi l'angolo stesso può essere trovato utilizzando la seguente formula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Qui a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) sono i vettori di direzione delle linee date.

Facciamo un esempio di risoluzione del problema.

Esempio 1

In un sistema di coordinate rettangolare su un piano sono date due linee che si intersecano a e b. Possono essere descritti dalle equazioni parametriche x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R e x 5 = y - 6 - 3. Calcola l'angolo tra queste linee.

Soluzione

Nella nostra condizione abbiamo un'equazione parametrica, il che significa che per questa linea possiamo immediatamente scrivere le coordinate del suo vettore di direzione. Per fare ciò, dobbiamo prendere i valori dei coefficienti del parametro, ad es. la retta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R avrà un vettore direzione a → = (4, 1).

La seconda riga è descritta utilizzando l'equazione canonica x 5 = y - 6 - 3. Qui possiamo prendere le coordinate dai denominatori. Pertanto, questa linea ha un vettore di direzione b → = (5 , - 3) .

Successivamente, passiamo direttamente alla ricerca dell'angolo. Per fare ciò, sostituisci semplicemente le coordinate esistenti dei due vettori nella formula sopra α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Otteniamo quanto segue:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Risposta: Queste linee rette formano un angolo di 45 gradi.

Possiamo risolvere un problema simile trovando l'angolo tra i vettori normali. Se abbiamo una linea a con un vettore normale n a → = (n a x , n a y) e una linea b con un vettore normale n b → = (n b x , n b y), allora l'angolo tra loro sarà uguale all'angolo tra n a → e n b → o l'angolo che sarà adiacente a n a →, n b → ^. Questo metodo è mostrato nell'immagine:

Le formule per calcolare il coseno dell'angolo tra le linee che si intersecano e questo angolo stesso utilizzando le coordinate dei vettori normali appaiono così:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Qui n a → e n b → denotano i vettori normali di due linee date.

Esempio 2

In un sistema di coordinate rettangolari vengono specificate due rette mediante le equazioni 3 x + 5 y - 30 = 0 e x + 4 y - 17 = 0. Trova il seno e il coseno dell'angolo compreso tra loro e l'ampiezza di questo angolo stesso.

Soluzione

Le linee originali vengono specificate utilizzando equazioni di linee normali della forma A x + B y + C = 0. Indichiamo il vettore normale come n → = (A, B). Troviamo le coordinate del primo vettore normale per una linea e scriviamole: n a → = (3, 5) . Per la seconda linea x + 4 y - 17 = 0, il vettore normale avrà coordinate n b → = (1, 4). Ora aggiungiamo i valori ottenuti alla formula e calcoliamo il totale:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Se conosciamo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno utilizzando la base identità trigonometrica. Poiché l'angolo α formato dalle rette non è ottuso, allora sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

In questo caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Risposta: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizziamo l'ultimo caso: trovare l'angolo tra rette se conosciamo le coordinate del vettore direzione di una retta e del vettore normale dell'altra.

Supponiamo che la retta a abbia un vettore direzione a → = (a x , a y) , e la retta b abbia un vettore normale n b → = (n b x , n b y) . Dobbiamo allontanare questi vettori dal punto di intersezione e considerare tutte le opzioni per le loro posizioni relative. Vedi nella foto:

Se l'angolo tra i vettori indicati non è superiore a 90 gradi, risulta che completerà l'angolo tra aeb formando un angolo retto.

a → , n b → ^ = 90 ° - α se a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Se è inferiore a 90 gradi, otteniamo quanto segue:

a → , n b → ^ > 90 ° , quindi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Usando la regola dell'uguaglianza dei coseni di angoli uguali, scriviamo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α per a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α per a → , n b → ^ > 90 ° .

Così,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formuliamo una conclusione.

Definizione 4

Per trovare il seno dell'angolo tra due linee che si intersecano su un piano, devi calcolare il modulo del coseno dell'angolo tra il vettore direzione della prima linea e il vettore normale della seconda.

Scriviamo le formule necessarie. Trovare il seno di un angolo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Trovare l'angolo stesso:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Qui a → è il vettore direzione della prima linea, e n b → è il vettore normale della seconda.

Esempio 3

Due linee che si intersecano sono date dalle equazioni x - 5 = y - 6 3 e x + 4 y - 17 = 0. Trova l'angolo di intersezione.

Soluzione

Prendiamo le coordinate della guida e del vettore normale dalle equazioni fornite. Risulta a → = (- 5, 3) en → b = (1, 4). Prendiamo la formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 e calcoliamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Tieni presente che abbiamo preso le equazioni del problema precedente e abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma in modo diverso.

Risposta:α = a rc sin 7 2 34

Presentiamo un altro modo per trovare l'angolo desiderato utilizzando i coefficienti angolari di determinate rette.

Abbiamo una linea a, che è definita in un sistema di coordinate rettangolari utilizzando l'equazione y = k 1 x + b 1, e una linea b, definita come y = k 2 x + b 2. Queste sono equazioni di rette con pendenze. Per trovare l'angolo di intersezione usiamo la formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dove k 1 e k 2 sono coefficienti angolari date le linee rette. Per ottenere questo record sono state utilizzate formule per determinare l'angolo attraverso le coordinate dei vettori normali.

Esempio 4

Ci sono due rette che si intersecano in un piano, date dalle equazioni y = - 3 5 x + 6 e y = - 1 4 x + 17 4. Calcolare il valore dell'angolo di intersezione.

Soluzione

I coefficienti angolari delle nostre linee sono pari a k ​​1 = - 3 5 e k 2 = - 1 4. Aggiungiamoli alla formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 e calcoliamo:

α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34

Risposta:α = a rc cos 23 2 34

Nelle conclusioni di questo paragrafo, va notato che le formule per trovare l'angolo qui fornite non devono essere imparate a memoria. Per fare ciò è sufficiente conoscere le coordinate delle guide e/o dei vettori normali di determinate rette ed essere in grado di determinarle mediante tipi diversi equazioni. Ma è meglio ricordare o scrivere le formule per calcolare il coseno di un angolo.

Come calcolare l'angolo tra le linee che si intersecano nello spazio

Il calcolo di tale angolo può essere ridotto al calcolo delle coordinate dei vettori di direzione e alla determinazione dell'ampiezza dell'angolo formato da questi vettori. Per tali esempi viene utilizzato lo stesso ragionamento che abbiamo fornito prima.

Supponiamo di avere un sistema di coordinate rettangolare situato nello spazio tridimensionale. Contiene due rette a e b con un punto di intersezione M. Per calcolare le coordinate dei vettori di direzione, dobbiamo conoscere le equazioni di queste linee. Indichiamo i vettori di direzione a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Per calcolare il coseno dell'angolo compreso tra loro, usiamo la formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Per trovare l'angolo stesso, abbiamo bisogno di questa formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Esempio 5

Abbiamo una linea definita nello spazio tridimensionale usando l'equazione x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. È noto che interseca l'asse O z. Calcola l'angolo di intercetta e il coseno di quell'angolo.

Soluzione

Indichiamo l'angolo che deve essere calcolato con la lettera α. Scriviamo le coordinate del vettore direzione per la prima retta – a → = (1, - 3, - 2) . Per l'asse applicato possiamo prendere come guida il vettore delle coordinate k → = (0, 0, 1). Abbiamo ricevuto i dati necessari e possiamo aggiungerli alla formula desiderata:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Di conseguenza, abbiamo scoperto che l'angolo di cui abbiamo bisogno sarà uguale a a r c cos 1 2 = 45 °.

Risposta: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

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Sarà utile per ogni studente che si prepara all'Esame di Stato Unificato di matematica ripetere l'argomento “Trovare un angolo tra rette”. Come mostrano le statistiche, quando si supera il test di certificazione, i compiti in questa sezione della stereometria causano difficoltà grande quantità studenti. Allo stesso tempo, i compiti che richiedono la ricerca dell'angolo tra le linee rette si trovano nell'Esame di Stato Unificato sia a livello base che specializzato. Ciò significa che tutti dovrebbero essere in grado di risolverli.

Momenti fondamentali

Esistono 4 tipi di posizioni relative delle linee nello spazio. Possono coincidere, intersecarsi, essere paralleli o intersecarsi. L'angolo tra loro può essere acuto o dritto.

Per trovare l'angolo tra le linee nell'Esame di Stato Unificato o, ad esempio, nella risoluzione, gli scolari di Mosca e di altre città possono utilizzare diversi modi per risolvere i problemi in questa sezione della stereometria. Puoi completare l'attività utilizzando costruzioni classiche. Per fare ciò, vale la pena apprendere gli assiomi e i teoremi di base della stereometria. Lo studente deve essere in grado di ragionare in modo logico e realizzare disegni per ricondurre il compito ad un problema planimetrico.

Puoi anche utilizzare il metodo del vettore delle coordinate utilizzando semplici formule, regole e algoritmi. La cosa principale in questo caso è eseguire correttamente tutti i calcoli. Il progetto educativo Shkolkovo ti aiuterà ad affinare le tue capacità di risoluzione dei problemi in stereometria e in altre sezioni del corso scolastico.