Note importanti!
1. Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta attenzione al nostro navigatore per le risorse più utili per

Cosa sono le "equazioni lineari"

o oralmente: a tre amici sono state date delle mele ciascuno sulla base del fatto che Vasya aveva tutte le mele che aveva.

E ora hai già deciso equazione lineare
Ora diamo a questo termine una definizione matematica.

Equazione lineare - è un'equazione algebrica il cui grado totale dei suoi polinomi costituenti è uguale a. Sembra questo:

Dove e sono eventuali numeri e

Per il nostro caso con Vasya e le mele, scriveremo:

- "Se Vasya dà lo stesso numero di mele a tutti e tre gli amici, non avrà più mele"

Equazioni lineari "nascoste", ovvero l'importanza delle trasformazioni di identità

Nonostante a prima vista tutto sia estremamente semplice, quando si risolvono le equazioni bisogna stare attenti, perché le equazioni lineari sono chiamate non solo equazioni di questo tipo, ma anche tutte le equazioni che possono essere ridotte a questo tipo mediante trasformazioni e semplificazioni. Per esempio:

Vediamo quello che c'è a destra, il che, in teoria, già indica che l'equazione non è lineare. Inoltre, se apriamo le parentesi, otterremo altri due termini in cui sarà, ma non affrettarti a trarre conclusioni! Prima di giudicare se un'equazione è lineare è necessario effettuare tutte le trasformazioni e semplificare così l'esempio originale. In questo caso, le trasformazioni possono cambiare aspetto, ma non l'essenza stessa dell'equazione.

In altre parole, i dati di trasformazione devono essere identico O equivalente. Esistono solo due di queste trasformazioni, ma svolgono un ruolo molto, MOLTO importante nella risoluzione dei problemi. Diamo un'occhiata ad entrambe le trasformazioni utilizzando esempi specifici.

Trasferimento a sinistra - destra.

Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:

Anche in scuola elementare ci è stato detto: "con X - a sinistra, senza X - a destra". Quale espressione con una X è a destra? Esatto, ma non come no. E questo è importante, perché se questa domanda apparentemente semplice viene fraintesa, viene fuori la risposta sbagliata. Quale espressione con una X è a sinistra? Giusto, .

Ora che abbiamo capito questo, spostiamo tutti i termini con incognite a sinistra, e tutto ciò che è noto a destra, ricordando che se ad esempio non c'è il segno davanti al numero, allora il numero è positivo , cioè davanti c'è un cartello “ "

Trasferito? Cosa hai preso?

Tutto ciò che resta da fare è introdurre termini simili. Noi presentiamo:

Quindi, abbiamo analizzato con successo la prima trasformazione identica, anche se sono sicuro che la conoscevi e l'hai utilizzata attivamente senza di me. La cosa principale è non dimenticare i segni dei numeri e cambiarli in opposti durante il trasferimento attraverso il segno uguale!

Divisione della moltiplicazione.

Cominciamo subito con un esempio

Guardiamo e pensiamo: cosa non ci piace di questo esempio? L'ignoto è tutto da una parte, il conosciuto è da un'altra, ma qualcosa ci ferma... E questo qualcosa è un quattro, perché se non esistesse tutto sarebbe perfetto - x è uguale a un numero - esattamente di cui abbiamo bisogno!

Come puoi liberartene? Non possiamo spostarlo a destra, perché poi dobbiamo spostare l'intero moltiplicatore (non possiamo prenderlo e strapparglielo), e spostare l'intero moltiplicatore non ha nemmeno senso...

È tempo di ricordarsi della divisione, quindi dividiamo tutto per! Tutto - questo significa sia a sinistra che lato destro. Così e solo così! Che cosa stiamo facendo?

Ecco la risposta.

Vediamo ora un altro esempio:

Riesci a indovinare cosa è necessario fare in questo caso? Esatto, moltiplica i lati sinistro e destro per! Che risposta hai ricevuto? Giusto. .

Sicuramente sapevi già tutto sulle trasformazioni dell'identità. Considera che abbiamo semplicemente rinfrescato questa conoscenza nella tua memoria ed è tempo per qualcosa di più - Ad esempio, per risolvere il nostro grande esempio:

Come abbiamo detto prima, guardandola, non si può dire che questa equazione sia lineare, ma bisogna aprire le parentesi ed effettuare trasformazioni identiche. Quindi iniziamo!

Per prima cosa ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviata, in particolare il quadrato della somma e il quadrato della differenza. Se non ricordi di cosa si tratta e come vengono aperte le parentesi, consiglio vivamente di leggere l'argomento, poiché queste abilità ti saranno utili quando risolverai quasi tutti gli esempi incontrati nell'esame.
Rivelato? Confrontiamo:

Ora è il momento di introdurre termini simili. Ti ricordi come eravamo nella stessa cosa? scuola elementare hanno detto "non mettiamo le mosche con le cotolette"? Ecco, ti ricordo questo. Aggiungiamo tutto separatamente: i fattori che hanno, i fattori che hanno e i restanti fattori che non hanno incognite. Quando porti termini simili, sposta tutte le incognite a sinistra e tutto ciò che è noto a destra. Cosa hai preso?

Come puoi vedere, le X nel quadrato sono scomparse e vediamo qualcosa di completamente normale. equazione lineare. Non resta che trovarlo!

E infine, dirò un'altra cosa molto importante sulle trasformazioni di identità: le trasformazioni di identità sono applicabili non solo per le equazioni lineari, ma anche per quelle quadratiche, razionali frazionarie e altre. Devi solo ricordare che quando trasferiamo i fattori attraverso il segno uguale, cambiamo il segno in quello opposto e quando dividiamo o moltiplichiamo per un numero, moltiplichiamo/dividiamo entrambi i lati dell'equazione per lo STESSO numero.

Cos'altro hai imparato da questo esempio? Che guardando un'equazione non è sempre possibile determinare direttamente e con precisione se è lineare o meno. È necessario prima semplificare completamente l'espressione e solo allora giudicare di cosa si tratta.

Equazioni lineari. Esempi.

Ecco un altro paio di esempi su cui puoi esercitarti da solo: determina se l'equazione è lineare e, in tal caso, trova le sue radici:

Risposte:

1. È.

2. Non è.

Apriamo le parentesi e presentiamo termini simili:

Eseguiamo una trasformazione identica: dividiamo i lati sinistro e destro in:

Vediamo che l'equazione non è lineare, quindi non è necessario cercarne le radici.

3. È.

Eseguiamo una trasformazione identica: moltiplichiamo i lati sinistro e destro per per eliminare il denominatore.

Pensa al motivo per cui è così importante? Se conosci la risposta a questa domanda, passa alla risoluzione ulteriore dell'equazione, in caso contrario, assicurati di approfondire l'argomento per non commettere ulteriori errori; esempi complessi. A proposito, come puoi vedere, la situazione è impossibile. Perché?
Quindi, andiamo avanti e riorganizziamo l'equazione:

Se sei riuscito a fare tutto senza difficoltà, parliamo di equazioni lineari a due variabili.

Equazioni lineari in due variabili

Passiamo ora a equazioni un po' più complesse: lineari con due variabili.

Equazioni lineari con due variabili hanno la forma:

Dove, e - qualsiasi numero e.

Come puoi vedere, l'unica differenza è che all'equazione viene aggiunta un'altra variabile. E quindi tutto è uguale: non ci sono x al quadrato, nessuna divisione per una variabile, ecc. e così via.

Che esempio di vita posso darti... Prendiamo lo stesso Vasya. Diciamo che ha deciso di dare a ciascuno dei 3 amici lo stesso numero di mele e di tenerle per sé. Quante mele deve comprare Vasya se dà una mela a ogni amico? Che dire? E se?

La dipendenza dal numero di mele che ogni persona riceverà numero totale le mele che devono essere acquistate saranno espresse dall'equazione:

• - il numero di mele che una persona riceverà (, o, o);
• - il numero di mele che Vasya prenderà per sé;
• - quante mele deve acquistare Vasya, tenendo conto del numero di mele per persona?

Risolvendo questo problema, otteniamo che se Vasya dà una mela a un amico, allora deve comprare dei pezzi, se dà delle mele, ecc.

E in generale. Abbiamo due variabili. Perché non tracciare questa relazione su un grafico? Costruiamo e segniamo il valore dei nostri, cioè punti, con coordinate e!

Come puoi vedere, dipendono l'uno dall'altro lineare, da qui il nome delle equazioni - “ lineare».

Astraiamo dalle mele e guardiamo graficamente varie equazioni. Osserva attentamente i due grafici costruiti: una linea retta e una parabola, specificati da funzioni arbitrarie:

Trova e segna i punti corrispondenti in entrambe le immagini.
Cosa hai preso?

Lo vedi sul grafico della prima funzione solo corrisponde uno, cioè dipendono anche linearmente l'uno dall'altro, cosa che non si può dire della seconda funzione. Naturalmente si può sostenere che nel secondo grafico corrisponde anche la x -, ma questo è solo un punto caso speciale, poiché puoi ancora trovarne uno che corrisponde a più di uno solo. E il grafico costruito non assomiglia in alcun modo a una linea, ma è una parabola.

Lo ripeto, ancora una volta: il grafico di un'equazione lineare deve essere una linea DRITTA.

Con il fatto che l'equazione non sarà lineare se andiamo a qualsiasi livello, questo è chiaro usando l'esempio di una parabola, anche se puoi costruire alcuni grafici più semplici per te stesso, ad esempio o. Ma ti assicuro che nessuna di queste sarà una LINEA DRITTA.

Non credere? Costruiscilo e poi confrontalo con quello che ho ottenuto:

Cosa succede se dividiamo qualcosa, ad esempio, per un numero? Ci sarà una relazione lineare e? Non discutiamo, ma costruiamo! Ad esempio, costruiamo il grafico di una funzione.

In qualche modo non sembra che sia costruita come una linea retta... di conseguenza, l'equazione non è lineare.
Riassumiamo:

1. Equazione lineare -è un'equazione algebrica in cui il grado totale dei suoi polinomi costituenti è uguale.
2. Equazione lineare con una variabile ha la forma:
   , dove e sono numeri qualsiasi;
   Equazione lineare con due variabili:
   , dove e sono numeri qualsiasi.
3. Non è sempre possibile determinare immediatamente se un'equazione è lineare o meno. A volte, per capirlo, è necessario effettuare trasformazioni identiche, spostare termini simili a sinistra/destra, senza dimenticare di cambiare segno, o moltiplicare/dividere entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero.

EQUAZIONI LINEARI. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

1. Equazione lineare

Questa è un'equazione algebrica in cui il grado totale dei suoi polinomi costituenti è uguale.

2. Equazione lineare con una variabile ha la forma:

Dove e sono eventuali numeri;

3. Equazione lineare a due variabili ha la forma:

Dove e - qualsiasi numero.

4. Trasformazioni identitarie

Per determinare se un'equazione è lineare o meno è necessario eseguire trasformazioni identiche:

• sposta i termini simili a sinistra/destra, senza dimenticare di cambiare il segno;
• moltiplicare/dividere entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

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In questo video analizzeremo tutta una serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.

Per prima cosa definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale è chiamata la più semplice?

Un'equazione lineare è un'equazione in cui esiste una sola variabile e solo di primo grado.

L'equazione più semplice significa la costruzione:

Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte al più semplice utilizzando l'algoritmo:

1. Espandi le parentesi, se presenti;
2. Sposta i termini che contengono una variabile da un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altro;
3. Assegna termini simili a sinistra e a destra del segno di uguale;
4. Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$.

Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte dopo tutte queste macchinazioni il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:

1. L’equazione non ha alcuna soluzione. Ad esempio, quando risulta qualcosa come $0\cdot x=8$, cioè a sinistra c'è zero e a destra c'è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
2. La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, qualunque sia il $x$ che sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.

Ora vediamo come funziona tutto questo utilizzando esempi di vita reale.

Esempi di risoluzione di equazioni

Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.

Tali costruzioni sono risolte più o meno allo stesso modo:

1. Prima di tutto bisogna espandere le parentesi, se ce ne sono (come nel nostro ultimo esempio);
2. Quindi porta simili
3. Infine, isola la variabile, ad es. spostare da un lato tutto ciò che è connesso alla variabile – i termini in cui è contenuta – e dall’altro tutto ciò che ne rimane senza.

Quindi, di regola, è necessario fornire valori simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente "x" e otterremo la risposta finale.

In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti più esperti delle scuole superiori possono commettere errori offensivi in ​​equazioni lineari abbastanza semplici. In genere, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si calcolano i "più" e i "meno".

Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera retta numerica, cioè qualsiasi numero. Esamineremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con il vero compiti semplici.

Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari

Per prima cosa, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:

1. Espandi le parentesi, se presenti.
2. Isoliamo le variabili, ad es. Spostiamo tutto ciò che contiene "X" da un lato e tutto ciò che non contiene "X" dall'altro.
3. Presentiamo termini simili.
4. Dividiamo tutto per il coefficiente “x”.

Naturalmente, questo schema non sempre funziona; contiene alcune sottigliezze e trucchi, e ora li conosceremo.

Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari

Compito n. 1

Il primo passaggio richiede l'apertura delle parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo sui termini individuali. Scriviamolo:

Presentiamo termini simili a sinistra e a destra, ma questo è già stato fatto qui. Passiamo quindi al quarto passaggio: dividiamo per il coefficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Quindi abbiamo ottenuto la risposta.

Compito n. 2

Possiamo vedere le parentesi in questo problema, quindi espandiamole:

Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente lo stesso disegno, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. separando le variabili:

Eccone alcuni simili:

Con quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.

Compito n.3

La terza equazione lineare è più interessante:

\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]

Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, sono semplicemente precedute da segni diversi. Analizziamoli:

Eseguiamo il secondo passo a noi già noto:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Facciamo i conti:

Eseguiamo ultimo passo— dividi tutto per il coefficiente “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari

Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:

• Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione: a volte semplicemente non ci sono radici;
• Anche se ci sono radici, potrebbero non essercene zero: non c'è niente di sbagliato in questo.

Lo zero è lo stesso numero degli altri; non dovresti discriminarlo in alcun modo o dare per scontato che se ottieni zero, hai fatto qualcosa di sbagliato.

Un'altra caratteristica è legata all'apertura delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo utilizzando algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.

Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando fare queste cose è dato per scontato.

Risoluzione di equazioni lineari complesse

Passiamo ad equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complesse e quando si eseguono varie trasformazioni apparirà una funzione quadratica. Tuttavia, non dovremmo averne paura, perché se, secondo il piano dell'autore, stiamo risolvendo un'equazione lineare, durante il processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica si annulleranno sicuramente.

Esempio n. 1

Ovviamente il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:

Ora diamo un'occhiata alla privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi scriveremo questo nella risposta:

\[\nulla\]

oppure non ci sono radici.

Esempio n.2

Eseguiamo le stesse azioni. Primo passo:

Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa - a destra:

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriveremo in questo modo:

\[\nulla\],

oppure non ci sono radici.

Sfumature della soluzione

Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Usando queste due espressioni come esempio, eravamo ancora una volta convinti che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto potrebbe non essere così semplice: possono esserci una, o nessuna, o infinite radici. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, entrambe semplicemente non hanno radici.

Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come aprirle se davanti a loro c'è un segno meno. Considera questa espressione:

Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per “X”. Nota: moltiplica ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini, rispettivamente due termini e moltiplicati.

E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, puoi aprire la parentesi dal punto di vista del fatto che dietro di essa c'è un segno meno. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono completate, ricordiamo che davanti alle parentesi c'è un segno meno, il che significa che tutto sotto cambia semplicemente segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.

Facciamo lo stesso con la seconda equazione:

Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti, apparentemente insignificanti. Perché la risoluzione delle equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire in modo chiaro e competente semplici passaggi porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.

Naturalmente, arriverà il giorno in cui affinerai queste abilità fino al punto di automatismo. Non dovrai più eseguire tante trasformazioni ogni volta; scriverai tutto su una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.

Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse

Ciò che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.

Compito n. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima parte:

Facciamo un po' di privacy:

Eccone alcuni simili:

Completiamo l'ultimo passaggio:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione lineare e non quadratica.

Compito n. 2

\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]

Eseguiamo attentamente il primo passaggio: moltiplichiamo ogni elemento della prima parentesi per ogni elemento della seconda. Dovrebbero esserci un totale di quattro nuovi termini dopo le trasformazioni:

Ora eseguiamo con attenzione la moltiplicazione in ciascun termine:

Spostiamo i termini con la “X” a sinistra e quelli senza a destra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ecco termini simili:

Ancora una volta abbiamo ricevuto la risposta definitiva.

Sfumature della soluzione

La nota più importante riguardo queste due equazioni è la seguente: non appena iniziamo a moltiplicare parentesi che contengono più di un termine, ciò avviene secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo con ciascun elemento da il secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e moltiplichiamo allo stesso modo con ciascun elemento del secondo. Di conseguenza, avremo quattro termini.

Sulla somma algebrica

Con quest’ultimo esempio, vorrei ricordare agli studenti cosa somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottrarre sette da uno. In algebra, con questo intendiamo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, vale a dire "meno sette". Ecco come una somma algebrica differisce da una somma aritmetica ordinaria.

Non appena, eseguendo tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizierai a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.

Infine, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli appena visti, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.

Risoluzione di equazioni con le frazioni

Per risolvere tali compiti, dovremo aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, lascia che ti ricordi il nostro algoritmo:

1. Apri le parentesi.
2. Variabili separate.
3. Portatene di simili.
4. Dividi per il rapporto.

Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficacia, risulta non essere del tutto appropriato quando abbiamo davanti le frazioni. E in quello che vedremo di seguito, in entrambe le equazioni abbiamo una frazione sia a sinistra che a destra.

Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero eliminare le frazioni. Quindi l'algoritmo sarà il seguente:

1. Sbarazzarsi delle frazioni.
2. Apri le parentesi.
3. Variabili separate.
4. Portatene di simili.
5. Dividi per il rapporto.

Cosa significa “sbarazzarsi delle frazioni”? E perché ciò può essere fatto sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche al denominatore, cioè Ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.

Esempio n. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminiamo le frazioni in questa equazione:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, cioè solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicarle ciascuna per "quattro". Scriviamo:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ora espandiamo:

Secludiamo la variabile:

Eseguiamo la riduzione di termini simili:

\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.

Esempio n.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Il problema è risolto.

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti oggi.

Punti chiave

I risultati principali sono:

• Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
• Possibilità di aprire parentesi.
• Non preoccuparti se vedi funzioni quadratiche, molto probabilmente, nel processo di ulteriori trasformazioni diminuiranno.
• Ci sono tre tipi di radici nelle equazioni lineari, anche quelle più semplici: una radice singola, l'intera linea numerica è una radice e nessuna radice.

Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito e risolvi gli esempi lì presentati. Restate sintonizzati, tante altre cose interessanti vi aspettano!

Eccetera, è logico conoscere equazioni di altro tipo. I prossimi in linea sono equazioni lineari, il cui studio mirato inizia con le lezioni di algebra del 7 ° grado.

È chiaro che prima dobbiamo spiegare cos'è un'equazione lineare, dare una definizione di equazione lineare, i suoi coefficienti, mostrarlo forma generale. Quindi puoi capire quante soluzioni ha un'equazione lineare a seconda dei valori dei coefficienti e come si trovano le radici. Ciò ti consentirà di passare alla risoluzione di esempi e quindi consolidare la teoria appresa. In questo articolo faremo proprio questo: ci soffermeremo nel dettaglio su tutti i punti teorici e pratici relativi alle equazioni lineari e alle loro soluzioni.

Diciamo subito che qui considereremo solo equazioni lineari ad una variabile, e in un articolo a parte studieremo i principi di soluzione equazioni lineari a due variabili.

Navigazione della pagina.

Cos'è un'equazione lineare?

La definizione di equazione lineare è data dal modo in cui è scritta. Inoltre, in diversi libri di testo di matematica e algebra, le formulazioni delle definizioni delle equazioni lineari presentano alcune differenze che non influiscono sull'essenza della questione.

Ad esempio, nel libro di testo di algebra per il grado 7 di Yu N. Makarychev et al., un'equazione lineare è definita come segue:

Definizione.

Equazione della forma unx=b, dove x è una variabile, a e b sono alcuni numeri, viene chiamato equazione lineare con una variabile.

Diamo esempi di equazioni lineari che soddisfano la definizione dichiarata. Ad esempio, 5 x = 10 è un'equazione lineare con una variabile x, qui il coefficiente a è 5 e il numero b è 10. Un altro esempio: anche −2.3·y=0 è un'equazione lineare, ma con una variabile y, in cui a=−2.3 e b=0. E nelle equazioni lineari x=−2 e −x=3,33 a non sono presenti esplicitamente e sono uguali rispettivamente a 1 e −1, mentre nella prima equazione b=−2, e nella seconda - b=3,33.

E un anno prima, nel libro di testo di matematica di N. Ya Vilenkin, le equazioni lineari con un'incognita, oltre alle equazioni della forma a x = b, consideravano anche equazioni che possono essere portate a questa forma trasferendo termini da una parte. dell'equazione a un'altra di segno opposto, nonché riducendo termini simili. Secondo questa definizione, le equazioni della forma 5 x = 2 x + 6, ecc. anch'esso lineare.

A sua volta, nel libro di testo di algebra per la settima elementare di A. G. Mordkovich viene data la seguente definizione:

Definizione.

Equazione lineare con una variabile xè un'equazione della forma a·x+b=0, dove aeb sono alcuni numeri chiamati coefficienti dell'equazione lineare.

Ad esempio, equazioni lineari di questo tipo sono 2 x−12=0, qui il coefficiente a è 2 e b è uguale a −12 e 0,2 y+4,6=0 con coefficienti a=0,2 e b =4,6. Ma allo stesso tempo ci sono esempi di equazioni lineari che non hanno la forma a·x+b=0, ma a·x=b, ad esempio 3·x=12.

Per non avere discrepanze in futuro, intendiamo per equazione lineare con una variabile x e coefficienti a e b un'equazione della forma a x + b = 0. Questo tipo di equazione lineare sembra essere la più giustificata, poiché lo sono le equazioni lineari equazioni algebriche primo grado. E tutte le altre equazioni sopra indicate, nonché le equazioni che, mediante trasformazioni equivalenti, si riducono alla forma a x + b = 0, le chiameremo equazioni che si riducono ad equazioni lineari. Con questo approccio, l'equazione 2 x+6=0 è un'equazione lineare e 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, ecc. - Queste sono equazioni che si riducono a quelle lineari.

Come risolvere le equazioni lineari?

Ora è il momento di capire come vengono risolte le equazioni lineari a·x+b=0. In altre parole, è tempo di scoprire se un'equazione lineare ha radici e, in tal caso, quante di esse e come trovarle.

La presenza di radici di un'equazione lineare dipende dai valori dei coefficienti a e b. In questo caso, l'equazione lineare ax+b=0 ha

• l'unica radice per a≠0,
• non ha radici per a=0 e b≠0,
• ha infinite radici per a=0 e b=0, nel qual caso qualsiasi numero è radice di un'equazione lineare.

Spieghiamo come sono stati ottenuti questi risultati.

Sappiamo che per risolvere le equazioni possiamo passare dall'equazione originale ad equazioni equivalenti, cioè ad equazioni con le stesse radici o, come quella originale, senza radici. Per fare ciò, è possibile utilizzare le seguenti trasformazioni equivalenti:

• trasferire un termine da una parte dell'equazione a un'altra con il segno opposto,
• così come moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero.

Quindi, in un'equazione lineare con uno variabile del modulo a·x+b=0 possiamo spostare il termine b dal lato sinistro al lato destro con il segno opposto. In questo caso l’equazione assumerà la forma a·x=−b.

E poi si pone la questione di dividere entrambi i lati dell'equazione per il numero a. Ma c'è una cosa: il numero a può essere uguale a zero, nel qual caso tale divisione è impossibile. Per affrontare questo problema, supporremo innanzitutto che il numero a sia diverso da zero, e considereremo separatamente il caso di a uguale a zero poco dopo.

Quindi, quando a non è uguale a zero, allora possiamo dividere entrambi i lati dell'equazione a·x=−b per a, dopodiché verrà trasformato nella forma x=(−b):a, questo risultato può essere scritto usando la barra frazionaria as.

Pertanto, per a≠0, l'equazione lineare a·x+b=0 è equivalente all'equazione, da cui è visibile la sua radice.

È facile dimostrare che questa radice è unica, cioè che l'equazione lineare non ha altre radici. Ciò ti consente di fare il metodo opposto.

Indichiamo la radice come x 1. Supponiamo che esista un'altra radice dell'equazione lineare, che denotiamo come x 2 e x 2 ≠x 1, che, a causa di definizioni numeri uguali attraverso la differenzaè equivalente alla condizione x 1 −x 2 ≠0. Poiché x 1 ex 2 sono radici dell'equazione lineare a·x+b=0, allora valgono le uguaglianze numeriche a·x 1 +b=0 e a·x 2 +b=0. Possiamo sottrarre le parti corrispondenti di queste uguaglianze, cosa che le proprietà delle uguaglianze numeriche ci permettono di fare, abbiamo a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, da cui a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 e quindi a·(x 1 −x 2)=0 . Ma questa uguaglianza è impossibile, poiché sia ​​a≠0 che x 1 − x 2 ≠0. Siamo quindi arrivati ​​ad una contraddizione, che dimostra l'unicità della radice dell'equazione lineare a·x+b=0 per a≠0.

Quindi abbiamo risolto l'equazione lineare a·x+b=0 per a≠0. Il primo risultato fornito all’inizio di questo paragrafo è giustificato. Ne restano altri due che soddisfano la condizione a=0.

Quando a=0, l'equazione lineare a·x+b=0 assume la forma 0·x+b=0. Da questa equazione e dalla proprietà di moltiplicare i numeri per zero ne consegue che qualunque numero prendiamo come x, quando viene sostituito nell'equazione 0 x + b=0, si otterrà l'uguaglianza numerica b=0. Questa uguaglianza è vera quando b=0 e negli altri casi quando b≠0 questa uguaglianza è falsa.

Di conseguenza, con a=0 eb=0, qualsiasi numero è la radice dell'equazione lineare a·x+b=0, poiché in queste condizioni, sostituendo x qualsiasi numero si ottiene la corretta uguaglianza numerica 0=0. E quando a=0 eb≠0, l'equazione lineare a·x+b=0 non ha radici, poiché in queste condizioni, sostituire un numero qualsiasi al posto di x porta all'errata uguaglianza numerica b=0.

Le giustificazioni fornite ci permettono di formulare una sequenza di azioni che ci permette di risolvere qualsiasi equazione lineare. COSÌ, algoritmo per la risoluzione di equazioni lineariÈ:

• Innanzitutto, scrivendo l'equazione lineare, troviamo i valori dei coefficienti a e b.
• Se a=0 eb=0, allora questa equazione ha infinite radici, cioè qualsiasi numero è una radice di questa equazione lineare.
• Se a è diverso da zero, allora
• il coefficiente b viene trasferito a destra con il segno opposto e l'equazione lineare viene trasformata nella forma a·x=−b,
• dopodiché entrambi i membri dell'equazione risultante vengono divisi per un numero diverso da zero a, che fornisce la radice desiderata dell'equazione lineare originale.

L'algoritmo scritto è una risposta completa alla domanda su come risolvere le equazioni lineari.

In conclusione di questo punto, vale la pena dire che un algoritmo simile viene utilizzato per risolvere equazioni della forma a·x=b. La sua differenza è che quando a≠0, entrambi i lati dell'equazione vengono immediatamente divisi per questo numero; qui b è già nella parte richiesta dell'equazione e non è necessario trasferirlo.

Per risolvere le equazioni della forma a x = b, viene utilizzato il seguente algoritmo:

• Se a=0 e b=0, allora l'equazione ha infinite radici, che sono numeri qualsiasi.
• Se a=0 e b≠0, l'equazione originale non ha radici.
• Se a è diverso da zero, allora entrambi i lati dell'equazione vengono divisi per un numero diverso da zero a, da cui si trova l'unica radice dell'equazione, uguale a b/a.

Esempi di risoluzione di equazioni lineari

Passiamo alla pratica. Diamo un'occhiata a come viene utilizzato l'algoritmo per risolvere le equazioni lineari. Diamo soluzioni agli esempi tipici corrispondenti a significati diversi coefficienti di equazioni lineari.

Esempio.

Risolvi l'equazione lineare 0·x−0=0.

Soluzione.

In questa equazione lineare, a=0 e b=−0 , che è uguale a b=0 . Pertanto, questa equazione ha infinite radici; qualsiasi numero è una radice di questa equazione.

Risposta:

x – qualsiasi numero.

Esempio.

L'equazione lineare 0 x + 2,7 = 0 ha soluzioni?

Soluzione.

In questo caso, il coefficiente a è uguale a zero e il coefficiente b di questa equazione lineare è uguale a 2,7, cioè diverso da zero. Pertanto, un'equazione lineare non ha radici.

Le equazioni in matematica sono importanti quanto i verbi in russo. Senza la capacità di trovare la radice di un'equazione, è difficile dire che lo studente abbia padroneggiato il corso di algebra. Inoltre, ogni tipo ha le sue soluzioni speciali.

Cos'è?

Un'equazione è costituita da due espressioni arbitrarie contenenti variabili, tra le quali viene inserito un segno di uguale. Inoltre, il numero di quantità sconosciute può essere arbitrario. La quantità minima è una.

Risolverlo significa scoprire se esiste una radice dell'equazione. Cioè il numero che la trasforma in una vera uguaglianza. Se non ce n’è, allora la risposta è l’affermazione che “non ci sono radici”. Ma può essere vero anche il contrario, quando la risposta è un insieme di numeri.

Quali tipi di equazioni esistono?

Lineare. Contiene una variabile il cui grado è uguale a uno.

• Piazza. La variabile ha una potenza pari a 2, oppure le trasformazioni determinano la comparsa di tale potenza.
• Equazione di massimo grado.
• Razionale frazionario. Quando una variabile appare al denominatore di una frazione.
• Con modulo.
• Irrazionale. Cioè uno che contiene una radice algebrica.

Come risolvere un'equazione lineare?

È basilare. Questo è l'aspetto che tutti gli altri si sforzano di ottenere. Poiché è abbastanza facile trovare la radice dell'equazione.

• Per prima cosa devi eseguire possibili trasformazioni, cioè aprire le parentesi e riportare termini simili.
• Trasferisci tutti i monomi con grandezza variabile in lato sinistro uguaglianza, lasciando i termini liberi a destra.
• Fornisci termini simili in ciascuna parte dell'equazione da risolvere.
• Nell'uguaglianza risultante, la metà sinistra conterrà il prodotto del coefficiente e della variabile, e la metà destra conterrà il numero.
• Resta da trovare la radice dell'equazione dividendo il numero a destra per il coefficiente davanti all'incognita.

Come trovare le radici di un'equazione quadratica?

Innanzitutto, deve essere portato alla forma standard, ovvero aprire tutte le parentesi, portare termini simili e spostare tutti i monomi sul lato sinistro. Dovrebbe esserci solo zero a sinistra sul lato destro dell'uguaglianza.

• Utilizza la formula discriminante. Eleva al quadrato il coefficiente dell'incognita con potenza “1”. Moltiplica il monomio libero e il numero davanti alla variabile al quadrato per il numero 4. Sottrai il prodotto dal quadrato risultante.
• Stimare il valore del discriminante. È negativo: la soluzione è completa poiché non ha radici. Uguale a zero: la risposta sarà un numero. Positivo: la variabile ha due valori.

Come risolvere un'equazione cubica?

Per prima cosa trova la radice dell'equazione x. Viene determinato selezionando i numeri che sono divisori del termine libero. È conveniente considerare questo metodo a esempio specifico. Sia l'equazione: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Il suo termine fittizio è 12. Quindi i divisori da controllare sono positivi e numeri negativi: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. La ricerca può essere completata già al numero 2. Fornisce l'uguaglianza corretta nell'equazione. Cioè, il suo lato sinistro risulta essere zero. Quindi il numero 2 è la prima radice dell'equazione cubica.

Ora devi dividere l'equazione originale per la differenza tra la variabile e la prima radice. Nell'esempio specifico è (x - 2). Una semplice trasformazione porta il numeratore alla seguente fattorizzazione: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Gli stessi fattori del numeratore e del denominatore si cancellano e le restanti due parentesi, una volta aperte, danno un semplice equazione quadrata: x2 - x - 6 = 0.

Qui, trova le due radici dell'equazione utilizzando il principio descritto nella sezione precedente. Risultano essere numeri: 3 e -2.

In totale, una particolare equazione cubica ha tre radici: 2, -2 e 3.

Come si risolvono i sistemi di equazioni lineari?

Qui viene proposto un metodo per eliminare le incognite. Consiste nell'esprimere un'incognita in termini di un'altra in un'equazione e nel sostituire questa espressione in un'altra. Inoltre, la soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite è sempre una coppia di variabili.

Se le variabili in esse contenute sono designate dalle lettere x 1 e x 2, allora è possibile derivare, ad esempio, x 2 dalla prima uguaglianza. Quindi viene sostituito nel secondo. Si effettua la trasformazione necessaria: aprendo le parentesi e riportando termini simili. Il risultato è una semplice equazione lineare, la cui radice è facile da calcolare.

Ora torna alla prima equazione e trova la radice dell'equazione x 2 utilizzando l'equazione risultante. Questi due numeri sono la risposta.

Per essere sicuri della risposta ricevuta si consiglia di controllare sempre. Non è necessario scriverlo.

Se si sta risolvendo un'equazione, ciascuna delle sue radici deve essere sostituita nell'uguaglianza originale e ottenere gli stessi numeri su entrambi i lati. Tutto ha funzionato: la decisione è stata giusta.

Quando si lavora con il sistema, le radici devono essere inserite in ogni soluzione e in tutte azioni possibili. L'equazione è corretta? Quindi la decisione è corretta.

Quando risolviamo equazioni lineari, ci sforziamo di trovare la radice, cioè il valore della variabile che trasformerà l'equazione in un'uguaglianza corretta.

Per trovare la radice dell'equazione che ti serve trasformazioni equivalenti portano l'equazione dataci nella forma

\(x=[numero]\)

Questo numero sarà la radice.

Cioè trasformiamo l'equazione, semplificandola passo dopo passo, fino a ridurla a un'equazione completamente primitiva “x = numero”, dove la radice è ovvia. Le trasformazioni più frequentemente utilizzate nella risoluzione di equazioni lineari sono le seguenti:

Per esempio: aggiungi \(5\) a entrambi i membri dell'equazione \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Tieni presente che potremmo ottenere lo stesso risultato più velocemente semplicemente scrivendo il cinque sull'altro lato dell'equazione e cambiando il suo segno. In realtà è proprio così che si realizza il “trasferimento da uguale con cambio di segno all'opposto” scolastico.

2. Moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero o espressione.

Per esempio: divide l'equazione \(-2x=8\) per meno due

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

In genere questo passaggio viene eseguito alla fine, quando l'equazione è già stata ridotta alla forma \(ax=b\), e la dividiamo per \(a\) per rimuoverla da sinistra.

3. Usare le proprietà e le leggi della matematica: aprire parentesi, avvicinare termini simili, ridurre frazioni, ecc.

Aggiungi \(2x\) sinistra e destra

Sottrai \(24\) da entrambi i lati dell'equazione

Presentiamo nuovamente termini simili

Ora dividiamo l'equazione per \(-3\), rimuovendo così la X anteriore sul lato sinistro.

Risposta : \(7\)

La risposta è stata trovata. Tuttavia, diamo un'occhiata. Se sette è davvero una radice, sostituendola al posto di X nell'equazione originale, si dovrebbe ottenere l'uguaglianza corretta: gli stessi numeri a sinistra e a destra. Proviamo.

Visita medica:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cpunto(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Ha funzionato. Ciò significa che sette è effettivamente la radice dell'equazione lineare originale.

Non essere pigro nel controllare le risposte che hai trovato tramite sostituzione, soprattutto se stai risolvendo un'equazione durante un test o un esame.

La domanda rimane: come determinare cosa fare con l'equazione nel passaggio successivo? Come convertirlo esattamente? Dividere per qualcosa? O sottrarre? E cosa dovrei sottrarre esattamente? Dividere per cosa?

La risposta è semplice:

Il tuo obiettivo è portare l'equazione nella forma \(x=[numero]\), ovvero a sinistra c'è x senza coefficienti e numeri e a destra c'è solo un numero senza variabili. Pertanto, guarda cosa ti ferma e fare l'opposto di ciò che fa il componente interferente.

Per capirlo meglio, esaminiamo passo dopo passo la soluzione dell'equazione lineare \(x+3=13-4x\).

Pensiamo: in cosa differisce questa equazione da \(x=[numero]\)? Cosa ci ferma? Cosa c'è che non va?

Ebbene, in primo luogo, i tre interferiscono, poiché a sinistra dovrebbe esserci solo una X solitaria, senza numeri. Cosa “fa” la troika? Aggiunto a X. Quindi, per rimuoverlo... sottrarre gli stessi tre. Ma se sottraiamo i tre a sinistra, dobbiamo sottrarli a destra affinché l'uguaglianza non venga violata.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bene. Ora cosa ti ferma? \(4x\) a destra, perché lì dovrebbero esserci solo numeri. \(4x\) detratto- rimuoviamo aggiungendo.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Ora presentiamo termini simili a sinistra e a destra.

È quasi pronto. Non resta che rimuovere i cinque a sinistra. Cosa sta facendo"? Moltiplica su x. Quindi rimuoviamolo divisione.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

La soluzione è completa, la radice dell'equazione è due. Puoi controllare per sostituzione.

notare che molto spesso c'è solo una radice nelle equazioni lineari. Tuttavia possono verificarsi due casi particolari.

Caso speciale 1: non ci sono radici in un'equazione lineare.

Esempio . Risolvi l'equazione \(3x-1=2(x+3)+x\)

Soluzione :

Risposta : senza radici.

In effetti, il fatto che arriveremo a un risultato del genere era visibile già prima, anche quando abbiamo ricevuto \(3x-1=3x+6\). Pensaci: come possono essere uguali \(3x\) da cui abbiamo sottratto \(1\) e \(3x\) a cui abbiamo aggiunto \(6\)? Ovviamente assolutamente no, perché hanno fatto cose diverse con la stessa cosa! È chiaro che i risultati varieranno.

Caso speciale 2 – un'equazione lineare ha un numero infinito di radici.

Esempio . Risolvi l'equazione lineare \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Soluzione :

Risposta : qualsiasi numero.

Questo, tra l'altro, era evidente anche prima, nella fase: \(8x+12=8x+12\). In effetti, sinistra e destra sono le stesse espressioni. Qualunque sia la X che sostituisci, sarà lo stesso numero sia lì che lì.

Equazioni lineari più complesse.

L'equazione originale non sempre appare immediatamente lineare; a volte è “mascherata” da altre, di più equazioni complesse. Tuttavia, nel processo di trasformazione, il travestimento scompare.

Esempio . Trova la radice dell'equazione \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Soluzione :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Sembrerebbe che qui ci sia una x al quadrato: questa non è un'equazione lineare! Ma non avere fretta. Applichiamoci
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Perché il risultato dell'espansione \((x-4)^(2)\) è tra parentesi, ma il risultato \((3+x)^(2)\) non lo è? Perché davanti al primo quadrato c'è un segno meno che cambierà tutti i segni. E per non dimenticarcene, prendiamo il risultato tra parentesi, che ora apriamo.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Presentiamo termini simili
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Ne riproponiamo di simili.
		Come questo. Si scopre che l'equazione originale è abbastanza lineare e la X al quadrato non è altro che uno schermo per confonderci. :) Completiamo la soluzione dividendo l'equazione per \(2\) e otteniamo la risposta.

Risposta : \(x=5\)

Esempio . Risolvi l'equazione lineare \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Soluzione :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		L'equazione non sembra lineare, è una specie di frazioni... Tuttavia, eliminiamo i denominatori moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per il denominatore comune di tutti - sei
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cpunto 6\)		Espandi la parentesi a sinistra
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Ora riduciamo i denominatori
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Ora sembra un normale lineare! Finiamolo.
		Traducendo attraverso uguali raccogliamo le X a destra e i numeri a sinistra
		Bene, dividendo i lati destro e sinistro per \(-4\), otteniamo la risposta

Risposta : \(x=-1,25\)