Che cosa il punto principale formule?
Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .
Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.
Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)
Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Cos'è una formula in generale? A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.
Progressione dentro vista generale può essere scritto come una serie di numeri:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.
Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:
UN
Questo è quello che è ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.
E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...
Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.
Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:
| a n = a 1 + (n-1)d |
un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;
N- Numero membro.
La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.
La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:
un n = 5 + (n-1) 2.
Un problema del genere può essere un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.
E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e portane di simili? Otteniamo una nuova formula:
un n = 3 + 2 n.
Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.
Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.
Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso quello precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:
un n+1 = un n +3
un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Le opere ricorrenti sono solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.
In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella forma consueta e lavorare con lei. Tali compiti si incontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Per prima cosa, diamo un'occhiata applicazione diretta formule. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:
Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)
E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.
Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:
Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodecimo, e il milletreesimo, uno qualsiasi. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice della lettera " UN" e tra parentesi, e contiamo.
Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .
Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:
Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.
In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...
Abbiamo ancora un numero N! In condizione un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)
Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:
un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.
Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...
Un altro puzzle popolare:
Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.
Che cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:
12=2 + (15-1)d
Facciamo i conti.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
Questa è la risposta corretta.
Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:
Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.
Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:
un n = 12 + (n-1) 3
A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.
E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):
Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D Puoi dirlo dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, cosa fare, cosa fare... Accendi Abilità creative!)
Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:
Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non può essere. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.
Un compito basato su una versione reale del GIA:
Progressione aritmetica dato dalla condizione:
a n = -4 + 6,8 n
Trova il primo e il decimo termine della progressione.
Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.
Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)
Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:
a1 = -4 + 6,81 = 2,8
Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!
Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:
un 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Questo è tutto.
Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)
Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento dell'Esame di Stato o dell'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?
Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non è molto severo, ma è sicuramente sufficiente per avere fiducia e prendere la decisione giusta!) Per concludere, è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.
Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. Come questo:
Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:
UN 2 =a1+ 1 D
Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.
UN 3 =a1+ 2 D
Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).
Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.
UN 4 =a1+ 3 D
È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...
Compiti per una soluzione indipendente.
Riscaldarsi:
1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.
Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)
E questo non è più un riscaldamento.)
2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .
Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...
3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.
In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti sono capaci di un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!
4. Data una progressione aritmetica (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.
5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.
6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è pari a -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è pari a zero. Trova un 14.
Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.
Risposte (in disordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Accaduto? È carino!)
Non tutto funziona? Accade. A proposito, c'è un punto sottile nell'ultimo compito. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.
La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Raccomando.
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Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)
In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, chiamato anche differenza di passo o progressione.
Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula
Proprietà di una progressione aritmetica
1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione
È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.
Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue
Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale
Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.
2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula
Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica; è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in semplici situazioni della vita.
3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma
4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula
Questo conclude il materiale teorico e passa alla risoluzione pratica dei problemi comuni.
Esempio 1. Trovare il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...
Soluzione:
Secondo la condizione che abbiamo
Determiniamo il passo di progressione
Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione
Esempio 2. Una progressione aritmetica è data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.
Soluzione:
Scriviamo gli elementi dati della progressione utilizzando le formule
Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione
Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica
Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione
Senza candidarsi calcoli complessi Abbiamo trovato tutte le quantità richieste.
Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.
Soluzione:
Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione
e trova il primo
In base al primo troviamo il cinquantesimo termine della progressione
Trovare la somma delle parti della progressione
e la somma dei primi 100
L'importo della progressione è 250.
Esempio 4.
Trovare il numero di termini di una progressione aritmetica se:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Soluzione:
Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo di progressione e determiniamole
Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di termini nella somma
Effettuiamo semplificazioni
e risolvere l'equazione quadratica
Dei due valori trovati, solo il numero 8 rientra nelle condizioni problematiche. Pertanto la somma dei primi otto termini della progressione è 111.
Esempio 5.
Risolvi l'equazione
1+3+5+...+x=307.
Soluzione: questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza nella progressione
Somma di una progressione aritmetica.
La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da semplice a abbastanza solido.
Innanzitutto, comprendiamo il significato e la formula dell'importo. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato dell'importo è semplice come un muggito. Per trovare la somma di una progressione aritmetica basta sommare con attenzione tutti i suoi termini. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungerli senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto... l'addizione è fastidiosa.) In questo caso la formula viene in soccorso.
La formula per l'importo è semplice:
Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto le cose.
S n - la somma di una progressione aritmetica. Risultato dell'addizione tutti membri, con Primo Di scorso.È importante. Si sommano esattamente Tutto membri di fila, senza saltare o saltare. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma del quinto e del ventesimo termine, l'applicazione diretta della formula sarà deludente.)
un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.
UN- scorso membro della progressione. L'ultimo numero della serie. Non è un nome molto familiare, ma se applicato all’importo è molto adatto. Allora lo vedrai tu stesso.
N - numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero di termini aggiunti.
Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda complicata: quale membro sarà l'ultimo se dato infinito progressione aritmetica?)
Per rispondere con sicurezza è necessario comprendere il significato elementare della progressione aritmetica e... leggere attentamente il compito!)
Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, l'ultimo termine compare sempre (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finale e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione non importa se la progressione è data: finita o infinita. Non importa come viene dato: una serie di numeri o una formula per l'ennesimo termine.
La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione fino al termine con numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile al seguente: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, cioè N, è determinato esclusivamente dal compito. In un'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì... Ma non importa, negli esempi seguenti sveliamo questi segreti.)
Esempi di compiti sulla somma di una progressione aritmetica.
Prima di tutto, informazioni utili:
La principale difficoltà nei compiti che comportano la somma di una progressione aritmetica è definizione corretta elementi della formula.
Gli autori dei compiti crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione illimitata.) La cosa principale qui è non avere paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli semplicemente. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Cominciamo con un compito basato su un vero GIA.
1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei suoi primi 10 termini.
Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo utilizzando la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo termine UN, sì, il numero dell'ultimo membro N.
Dove posso trovare il numero dell'ultimo membro? N? Sì, proprio lì, a condizione! Dice: trova la somma primi 10 membri. Bene, con che numero sarà? scorso, decimo membro?) Non ci crederai, il suo numero è decimo!) Pertanto, invece di UN Sostituiremo nella formula un 10, e invece N- dieci. Ripeto, il numero dell'ultimo membro coincide con il numero dei soci.
Resta da determinare un 1 E un 10. Questo può essere facilmente calcolato utilizzando la formula per l'ennesimo termine, fornita nella dichiarazione del problema. Non sai come farlo? Frequenta la lezione precedente, senza questa non c'è modo.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S10.
Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Non resta che sostituirli e contare:
Questo è tutto. Risposta: 75.
Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:
2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a1 =2,3. Trova la somma dei suoi primi 15 termini.
Scriviamo subito la formula della somma:
Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi termine in base al suo numero. Cerchiamo una semplice sostituzione:
un 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Resta da sostituire tutti gli elementi della formula con la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:
Risposta: 423.
A proposito, se nella formula della somma invece di UN Sostituiamo semplicemente la formula all'ennesimo termine e otteniamo:
Presentiamone di simili e otteniamo una nuova formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica:
 |
Come puoi vedere, l'ennesimo termine non è richiesto qui UN. In alcuni problemi questa formula aiuta molto, sì... Puoi ricordare questa formula. Oppure puoi semplicemente visualizzarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, devi sempre ricordare la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine.)
Ora il compito sotto forma di una breve crittografia):
3. Trova la somma di tutti i positivi numeri a doppia cifra, multipli di tre.
Oh! Né il tuo primo membro, né l'ultimo, né alcuna progressione... Come vivere!?
Dovrai pensare con la tua testa ed estrarre dalla condizione tutti gli elementi della somma della progressione aritmetica. Sappiamo cosa sono i numeri a due cifre. Sono costituiti da due numeri.) Quale sarà il numero a due cifre Primo? 10, presumibilmente.) A ultima cosa numero a doppia cifra? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...
Multipli di tre... Hm... Questi sono i numeri divisibili per tre, ecco! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Dunque, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alle condizioni del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente tre. Se aggiungi 2 o 4 a un termine, ad esempio, il risultato, ad es. il nuovo numero non è più divisibile per 3. Puoi determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica: d = 3. Tornerà utile!)
Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:
Quale sarà il numero? N ultimo membro? Chi pensa che 99 si sbaglia di grosso... I numeri vanno sempre in fila, ma i nostri membri saltano sopra il tre. Non corrispondono.
Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi scrivere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero dei membri con il dito.) Il secondo modo è per chi è riflessivo. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se applichiamo la formula al nostro problema, troviamo che 99 è il trentesimo termine della progressione. Quelli. n = 30.
Diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione aritmetica:
Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto dalla dichiarazione del problema tutto il necessario per calcolare l'importo:
un 1= 12.
un 30= 99.
S n = S30.
Tutto ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituiamo i numeri nella formula e calcoliamo:
Risposta: 1665
Un altro tipo di puzzle popolare:
4. Data una progressione aritmetica:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattro.
Guardiamo la formula per l'importo e... ci arrabbiamo.) La formula, lasciatemelo ricordare, calcola l'importo dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.
Ovviamente puoi scrivere l'intera progressione in una serie e aggiungere termini da 20 a 34. Ma... è in qualche modo stupido e richiede molto tempo, giusto?)
Esiste una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte sarà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - dai venti ai trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo con la somma dei termini della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. Come questo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Da questo possiamo vedere che trovi la somma S 20-34 può essere fatto mediante una semplice sottrazione
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Vengono considerati entrambi gli importi sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Iniziamo?
Estraiamo i parametri di progressione dalla dichiarazione del problema:
d = 1,5.
un 1= -21,5.
Per calcolare la somma dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li calcoliamo utilizzando la formula per l'ennesimo termine, come nel problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Non è rimasto niente. Dalla somma di 34 termini sottrai la somma di 19 termini:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Risposta: 262,5
Una nota importante! C'è un trucco molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato qualcosa che sembrerebbe non necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il superfluo dal risultato completo. Questo tipo di “finta con le orecchie” spesso ti salva da problemi malvagi.)
In questa lezione abbiamo affrontato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)
Quando risolvi qualsiasi problema che coinvolga la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.
Formula per l'ennesimo termine:
Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare e in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.
E ora i compiti per una soluzione indipendente.
5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.
Bello?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.
6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova la somma dei suoi primi 24 termini.
Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali problemi si riscontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
7. Vasya ha risparmiato soldi per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla mia persona preferita (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e ogni giorno successivo spendi 50 rubli in più rispetto al precedente! Fino a quando i soldi non finiscono. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?
È difficile?) Aiuterà? formula aggiuntiva dal compito 2.
Risposte (allo sbando): 7, 3240, 6.
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Progressione aritmetica
La progressione aritmetica lo è tipo speciale sotto sequenza. Pertanto, prima di definire la progressione aritmetica (e poi geometrica), è necessario discutere brevemente l’importante concetto di sequenza numerica.
Sotto sequenza
Immagina un dispositivo sullo schermo in cui vengono visualizzati determinati numeri uno dopo l'altro. Diciamo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Questo insieme di numeri è proprio un esempio di sequenza.
Definizione. Una sequenza numerica è un insieme di numeri in cui a ogni numero può essere assegnato un numero univoco (ovvero associato a un singolo numero naturale)1. Viene chiamato il numero con il numero n ennesimo termine sequenze.
Quindi, nell'esempio sopra, il primo numero è 2, questo è il primo membro della sequenza, che può essere indicato con a1; il numero cinque ha il numero 6 è il quinto termine della sequenza, che può essere indicato con a5. In generale, l'ennesimo termine di una sequenza è indicato con an (o bn, cn, ecc.).
Una situazione molto conveniente è quando l'n-esimo termine della sequenza può essere specificato da una formula. Ad esempio, la formula an = 2n 3 specifica la sequenza: 1; 1; 3; 5; 7; : : : La formula an = (1)n specifica la sequenza: 1; 1; 1; 1; : : :
Non tutti gli insiemi di numeri sono una sequenza. Pertanto, un segmento non è una sequenza; contiene “troppi” numeri da rinumerare. Anche l'insieme R di tutti i numeri reali non è una successione. Questi fatti sono dimostrati nel corso dell'analisi matematica.
Progressione aritmetica: definizioni fondamentali
Ora siamo pronti per definire una progressione aritmetica.
Definizione. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni termine (a partire dal secondo) pari alla somma il termine precedente e un numero fisso (chiamato differenza di una progressione aritmetica).
Ad esempio, sequenza 2; 5; 8; undici; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 2 e differenza 3. Sequenza 7; 2; 3; 8; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 7 e differenza 5. Sequenza 3; 3; 3; : : : è una progressione aritmetica con differenza pari a zero.
Definizione equivalente: la successione an è detta progressione aritmetica se la differenza an+1 an è un valore costante (indipendente da n).
Una progressione aritmetica si dice crescente se la sua differenza è positiva, decrescente se la sua differenza è negativa.
1 Ecco una definizione più concisa: una sequenza è una funzione definita su un insieme numeri naturali. Ad esempio, una sequenza di numeri reali è una funzione f: N ! R.
Per impostazione predefinita, le sequenze sono considerate infinite, ovvero contengono un numero infinito di numeri. Ma nessuno ci disturba a considerare successioni finite; infatti, qualsiasi insieme finito di numeri può essere chiamato una sequenza finita. Ad esempio, la sequenza finale è 1; 2; 3; 4; 5 è composto da cinque numeri.
Formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica
È facile comprendere che una progressione aritmetica è completamente determinata da due numeri: il primo termine e la differenza. Sorge quindi la domanda: come, conoscendo il primo termine e la differenza, trovare un termine arbitrario di una progressione aritmetica?
Non è difficile ottenere la formula richiesta per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Lascia che un
progressione aritmetica con differenza d. Abbiamo: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
In particolare scriviamo: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
e ora diventa chiaro che la formula per an è: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Problema 1. Nella progressione aritmetica 2; 5; 8; undici; : : : trova la formula per l'ennesimo termine e calcola il centesimo termine.
Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:
an = 2 + 3(n1) = 3n1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietà e segno della progressione aritmetica
Proprietà della progressione aritmetica. In progressione aritmetica e per qualsiasi
In altre parole, ciascun membro di una progressione aritmetica (a partire dal secondo) è la media aritmetica dei membri vicini.
Prova. Abbiamo: | ||||
un n 1+ un n+1 | (e) + (e + d) | |||
che è ciò che era richiesto.
Più in generale, la progressione aritmetica soddisfa l'uguaglianza
un n = un n k+ un n+k
per ogni n > 2 e ogni k naturale< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Si scopre che la formula (2) serve non solo come condizione necessaria ma anche sufficiente affinché la sequenza sia una progressione aritmetica.
Segno di progressione aritmetica. Se l'uguaglianza (2) vale per tutti gli n > 2, allora la successione an è una progressione aritmetica.
Prova. Riscriviamo la formula (2) come segue:
a na n 1= a n+1a n:
Da ciò si vede che la differenza an+1 an non dipende da n, e questo significa appunto che la successione an è una progressione aritmetica.
La proprietà e il segno di una progressione aritmetica possono essere formulati sotto forma di un'unica affermazione; Per comodità lo faremo per tre numeri (questa è la situazione che spesso si verifica nei problemi).
Caratterizzazione di una progressione aritmetica. Tre numeri a, b, c formano una progressione aritmetica se e solo se 2b = a + c.
Problema 2. (MSU, Facoltà di Economia, 2007) Tre numeri 8x, 3x2 e 4 nell'ordine indicato formano una progressione aritmetica decrescente. Trova x e indica la differenza di questa progressione.
Soluzione. Per la proprietà della progressione aritmetica abbiamo:
2(3x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Se x = 1, allora otteniamo una progressione decrescente di 8, 2, 4 con una differenza di 6. Se x = 5, allora otteniamo una progressione crescente di 40, 22, 4; questo caso non è adatto.
Risposta: x = 1, la differenza è 6.
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
La leggenda narra che un giorno la maestra disse ai bambini di fare la somma dei numeri da 1 a 100 e si sedette tranquillamente a leggere il giornale. Tuttavia, nel giro di pochi minuti, un ragazzo disse di aver risolto il problema. Si trattava di Carl Friedrich Gauss, 9 anni, in seguito uno dei più grandi matematici della storia.
L'idea del piccolo Gauss era la seguente. Permettere
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Scriviamo questo importo in ordine inverso:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
e aggiungi queste due formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Ogni termine tra parentesi è uguale a 101 e in totale ce ne sono 100. Pertanto
2S = 101 100 = 10100;
Usiamo questa idea per derivare la formula della somma
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Un'utile modifica della formula (3) si ottiene sostituendo in essa la formula dell'n-esimo termine an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n1)d | |||||
Problema 3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a tre cifre divisibili per 13.
Soluzione. Numeri a tre cifre, multipli di 13, formano una progressione aritmetica con il primo termine 104 e la differenza 13; L’ennesimo termine di questa progressione ha la forma:
an = 104 + 13(n1) = 91 + 13n:
Scopriamo quanti termini contiene la nostra progressione. Per fare ciò, risolviamo la disuguaglianza:
un 6 999; 91+13n 6 999;
n6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:
Quindi, ci sono 69 membri nella nostra progressione. Utilizzando la formula (4) troviamo l'importo richiesto:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.
Che tipo di progressione è questa?
Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.
Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:
Qui io - numero di serie elemento della serie a i . Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.
Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.
Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula
Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.
Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Questa espressione dimostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga; è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n , nonché numero totale n termini.
Si ritiene che Gauss sia stato il primo a pensare a questa uguaglianza quando cercava una soluzione a un determinato problema. insegnante di scuola compito: sommare i primi 100 numeri interi.
Somma degli elementi da m a n: formula
La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?
Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa visione mese a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Esempio di utilizzo delle formule
Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.
Di seguito è riportato sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:
I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:
a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;
a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.
Conoscere i valori dei numeri agli estremi del dato progressione algebrica, e sapendo anche quali numeri occupano nella riga, puoi utilizzare la formula per l'importo ottenuto nel paragrafo precedente. Risulterà:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.
