Università nazionale di ricerca
Dipartimento di Geologia Applicata
Abstract sulla matematica superiore
Sul tema: “Base funzioni elementari,
le loro proprietà e grafici"
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insegnante
Definizione. La funzione data dalla formula y=a x (dove a>0, a≠1) è detta funzione esponenziale con base a.
Formuliamo le principali proprietà funzione esponenziale:
1. Il dominio di definizione è l'insieme (R) di tutti i numeri reali.
2. Intervallo: l'insieme (R+) di tutti i numeri reali positivi.
3. Per a > 1 la funzione aumenta lungo tutta la linea numerica; a 0<а<1 функция убывает.
4. È una funzione vista generale.
, sull'intervallo xО [-3;3]
, sull'intervallo xО [-3;3] Una funzione della forma y(x)=x n, dove n è il numero ОR, è detta funzione potenza. Il numero n può assumere diversi valori: sia intero che frazionario, sia pari che dispari. A seconda di ciò, la funzione di potenza avrà una forma diversa. Consideriamo casi speciali che sono funzioni di potenza e riflettono le proprietà di base di questo tipo di curva nel seguente ordine: funzione di potenza y=x² (funzione con esponente pari - una parabola), funzione di potenza y=x³ (funzione con esponente dispari - parabola cubica) e funzione y=√x (x elevato a ½) (funzione con esponente frazionario), funzione con esponente intero negativo (iperbole).
Funzione di potenza y=x²
1. D(x)=R – la funzione è definita su tutto l'asse numerico;
2. E(y)= e aumenta nell'intervallo
Funzione di potenza y=x³
1. Il grafico della funzione y=x³ è chiamato parabola cubica. La funzione di potenza y=x³ ha le seguenti proprietà:
2. D(x)=R – la funzione è definita su tutto l'asse numerico;
3. E(y)=(-∞;∞) – la funzione assume tutti i valori nel suo dominio di definizione;
4. Quando x=0 y=0 – la funzione passa attraverso l'origine delle coordinate O(0;0).
5. La funzione aumenta lungo l'intero dominio di definizione.
6. La funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine).
, sull'intervallo xО [-3;3] A seconda del fattore numerico davanti a x³, la funzione può essere ripida/piatta e crescente/decrescente.
Funzione di potenza con esponente intero negativo:
Se l'esponente n è dispari, il grafico di tale funzione di potenza è chiamato iperbole. Una funzione di potenza con esponente intero negativo ha le seguenti proprietà:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) per ogni n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), se n è un numero dispari; E(y)=(0;∞), se n è un numero pari;
3. La funzione decresce sull'intero dominio di definizione se n è un numero dispari; la funzione aumenta sull'intervallo (-∞;0) e diminuisce sull'intervallo (0;∞) se n è un numero pari.
4. La funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine) se n è un numero dispari; una funzione è pari se n è un numero pari.
5. La funzione passa per i punti (1;1) e (-1;-1) se n è un numero dispari e per i punti (1;1) e (-1;1) se n è un numero pari.
, sull'intervallo xО [-3;3] Funzione di potenza con esponente frazionario
Una funzione di potenza con esponente frazionario (immagine) ha un grafico della funzione mostrato in figura. Una funzione di potenza con esponente frazionario ha le seguenti proprietà: (immagine)
1. D(x) ОR, se n è un numero dispari e D(x)= 
, sull'intervallo xО 
, sull'intervallo xО [-3;3]
La funzione logaritmica y = log a x ha le seguenti proprietà:
1. Dominio della definizione D(x)О (0; + ∞).
2. Intervallo di valori E(y) О (- ∞; + ∞)
3. La funzione non è né pari né dispari (di forma generale).
4. La funzione aumenta sull'intervallo (0; + ∞) per a > 1, diminuisce su (0; + ∞) per 0< а < 1.
Il grafico della funzione y = log a x può essere ottenuto dal grafico della funzione y = a x utilizzando una trasformazione di simmetria attorno alla retta y = x. La Figura 9 mostra un grafico della funzione logaritmica per a > 1 e la Figura 10 per 0< a < 1.
; sull'intervallo xО 
; sull'intervallo xО Le funzioni y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x sono chiamate funzioni trigonometriche.
Le funzioni y = sin x, y = tan x, y = ctg x sono dispari e la funzione y = cos x è pari.
Funzione y = sin(x).
1. Campo di definizione D(x) ОR.
2. Intervallo di valori E(y) О [ - 1; 1].
3. La funzione è periodica; il periodo principale è 2π.
4. La funzione è strana.
5. La funzione cresce sugli intervalli [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] e diminuisce sugli intervalli [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Il grafico della funzione y = sin (x) è mostrato nella Figura 11.
La lunghezza del segmento sull'asse delle coordinate è determinata dalla formula:
La lunghezza di un segmento sul piano delle coordinate si trova utilizzando la formula:
Per trovare la lunghezza di un segmento in un sistema di coordinate tridimensionale, utilizzare la seguente formula:
Le coordinate del centro del segmento (per l'asse delle coordinate viene utilizzata solo la prima formula, per il piano delle coordinate - le prime due formule, per un sistema di coordinate tridimensionale - tutte e tre le formule) vengono calcolate utilizzando le formule:
Funzione– questa è una corrispondenza del modulo sì= F(X) tra quantità variabili, per cui ciascuno considerava il valore di una certa quantità variabile X(argomento o variabile indipendente) corrisponde a un certo valore di un'altra variabile, sì(variabile dipendente, a volte questo valore è chiamato semplicemente valore della funzione). Tieni presente che la funzione presuppone quel valore di argomento X può corrispondere un solo valore della variabile dipendente A. Tuttavia, lo stesso valore A può essere ottenuto con diversi X.
Dominio delle funzioni– questi sono tutti i valori della variabile indipendente (argomento della funzione, solitamente this X), per il quale è definita la funzione, ovvero il suo significato esiste. È indicata l'area di definizione D(sì). In generale, hai già familiarità con questo concetto. Il dominio di una funzione è anche chiamato dominio valori accettabili, o ODZ, che sei riuscito a trovare da tempo.
Gamma di funzioni sono tutti i possibili valori della variabile dipendente di una data funzione. Designato E(A).
La funzione aumenta sull'intervallo dove valore più alto l'argomento corrisponde al valore più grande della funzione. La funzione è decrescente sull'intervallo in cui un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore minore della funzione.
Intervalli di segno costante di una funzione- sono gli intervalli della variabile indipendente durante i quali la variabile dipendente mantiene il segno positivo o negativo.
Zeri di funzione– questi sono i valori dell’argomento in corrispondenza dei quali il valore della funzione è uguale a zero. In questi punti il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse OX). Molto spesso la necessità di trovare gli zeri di una funzione implica la necessità di risolvere semplicemente l'equazione. Inoltre, spesso la necessità di trovare intervalli di costanza di segno implica la necessità di risolvere semplicemente la disuguaglianza.
Funzione sì = F(X) sono chiamati Anche X
Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, i valori della funzione pari sono uguali. Programma funzione pari sempre simmetrico rispetto all'asse delle ordinate dell'amplificatore operazionale.
Funzione sì = F(X) sono chiamati strano, se è definito su un insieme simmetrico e per qualsiasi X dal dominio della definizione vale l'uguaglianza:
Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, anche i valori della funzione dispari sono opposti. Il grafico di una funzione dispari è sempre simmetrico rispetto all'origine.
La somma delle radici di pari e funzioni strane(punti di intersezione dell'asse delle ascisse OX) è sempre uguale a zero, perché per ogni radice positiva X ha una radice negativa - X.
È importante notare: alcune funzioni non devono essere pari o dispari. Ci sono molte funzioni che non sono né pari né dispari. Tali funzioni sono chiamate funzioni generali, e per loro nessuna delle uguaglianze o proprietà sopra indicate è soddisfatta.
Funzione lineareè una funzione che può essere data dalla formula:
Il grafico di una funzione lineare è una linea retta e nel caso generale si presenta così (viene fornito un esempio per il caso in cui K> 0, in questo caso la funzione è crescente; per l'occasione K < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafico di una funzione quadratica (Parabola)
Il grafico di una parabola è dato da una funzione quadratica:
Una funzione quadratica, come qualsiasi altra funzione, interseca l'asse OX nei punti che sono le sue radici: ( X 1; 0) e ( X 2; 0). Se non ci sono radici, la funzione quadratica non interseca l'asse OX, se c'è solo una radice, allora a questo punto (; X 0; 0) la funzione quadratica tocca solo l'asse OX, ma non lo interseca. La funzione quadratica interseca sempre l'asse OY nel punto con coordinate: (0; C). Programma funzione quadratica(parabola) potrebbe assomigliare a questo (la figura mostra esempi tutt’altro che esaustivi tipi possibili parabole):
In cui:
- se il coefficiente UN> 0, in funzione sì = ascia 2 + bx + C, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto;
- Se UN < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Le coordinate del vertice di una parabola possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule. X al massimo (P- nelle immagini sopra) parabole (ovvero il punto in cui il trinomio quadratico raggiunge il suo valore massimo o minimo):
Cime Igrek (Q- nelle figure sopra) parabole o il massimo se i rami della parabola sono diretti verso il basso ( UN < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (UN> 0), il valore del trinomio quadratico:
Grafici di altre funzioni
Funzione di potenza
Ecco alcuni esempi di grafici di funzioni potenza:
Inversamente proporzionaleè una funzione data dalla formula:
A seconda del segno del numero K programma del ritorno dipendenza proporzionale possono avere due opzioni fondamentali:
Asintotoè una linea alla quale il grafico di una funzione si avvicina infinitamente ma non interseca. Asintoti per i grafici proporzionalità inversa mostrati nella figura sopra sono gli assi delle coordinate ai quali il grafico della funzione si avvicina infinitamente, ma non li interseca.
Funzione esponenziale con basamento UNè una funzione data dalla formula:
UN Il grafico di una funzione esponenziale può avere due opzioni fondamentali (facciamo anche degli esempi, vedi sotto):
Funzione logaritmicaè una funzione data dalla formula:
A seconda che il numero sia maggiore o minore di uno UN Il grafico di una funzione logaritmica può avere due opzioni fondamentali:
Grafico di una funzione sì = |X| come segue:
Grafici di funzioni periodiche (trigonometriche).
Funzione A = F(X) è chiamato periodico, se esiste un numero diverso da zero T, Che cosa F(X + T) = F(X), per chiunque X dal dominio della funzione F(X). Se la funzione F(X) è periodico con punto T, quindi la funzione:
Dove: UN, K, B sono numeri costanti e K diverso da zero, anche periodico con punto T 1, che è determinato dalla formula:
La maggior parte degli esempi di funzioni periodiche sono funzioni trigonometriche. Ecco i grafici dei principali funzioni trigonometriche. La figura seguente mostra parte del grafico della funzione sì= peccato X(l'intero grafico continua all'infinito a destra e a sinistra), grafico della funzione sì= peccato X chiamato sinusoide:
Grafico di una funzione sì=cos X chiamato coseno. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Poiché il grafico sinusoidale continua indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra:
Grafico di una funzione sì= tg X chiamato tangente. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche, questo programma si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra.
E infine il grafico della funzione sì=ctg X chiamato cotangentoide. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche e trigonometriche, questo grafico si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra.
L'implementazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti ti consentirà di mostrare un risultato eccellente al CT, il massimo di ciò di cui sei capace.
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IL materiale metodologicoè solo di riferimento e si applica a una vasta gamma di argomenti. L'articolo fornisce una panoramica dei grafici delle funzioni elementari di base e discute la domanda più importante – come costruire un grafico in modo corretto e VELOCE. Durante lo studio matematica superiore Senza conoscere i grafici delle funzioni elementari di base, sarà difficile, quindi è molto importante ricordare come appaiono i grafici di una parabola, iperbole, seno, coseno, ecc., e ricordare alcuni valori della funzione. Parleremo anche di alcune proprietà delle funzioni principali.
Non rivendico la completezza e l'accuratezza scientifica dei materiali; l'accento sarà posto, prima di tutto, sulla pratica, quelle cose con cui lo si incontra letteralmente ad ogni passo, in qualsiasi argomento di matematica superiore. Grafici per manichini? Si potrebbe dire così.
A causa delle numerose richieste dei lettori indice cliccabile:
Inoltre, c'è un brevissimo riassunto sull'argomento
– padroneggia 16 tipi di grafici studiando SEI pagine!
Sul serio, sei, anche io sono rimasto sorpreso. Questo riepilogo contiene una grafica migliorata ed è disponibile a un costo simbolico; è possibile visualizzare una versione demo. È conveniente stampare il file in modo da avere i grafici sempre a portata di mano. Grazie per aver sostenuto il progetto!
E cominciamo subito:
Come costruire correttamente gli assi delle coordinate?
In pratica, i test vengono quasi sempre completati dagli studenti su quaderni separati, allineati in un quadrato. Perché hai bisogno di segni a scacchi? Dopotutto, il lavoro, in linea di principio, può essere svolto su fogli A4. E la gabbia è necessaria solo per la progettazione accurata e di alta qualità dei disegni.
Qualsiasi disegno di un grafico di funzione inizia con gli assi delle coordinate.
I disegni possono essere bidimensionali o tridimensionali.
Consideriamo innanzitutto il caso bidimensionale Sistema di coordinate cartesiane rettangolari:
1) Disegna gli assi delle coordinate. L'asse viene chiamato asse x , e l'asse è asse y . Cerchiamo sempre di disegnarli pulito e non storto. Inoltre, le frecce non dovrebbero assomigliare alla barba di Papa Carlo.
2) Firmiamo gli assi con grandi lettere “X” e “Y”. Non dimenticare di etichettare gli assi.
3) Impostare la scala lungo gli assi: disegna uno zero e due uno. Quando si fa un disegno, la scala più comoda e usata frequentemente è: 1 unità = 2 celle (disegno a sinistra) - se possibile, attenersi ad essa. Tuttavia, di tanto in tanto capita che il disegno non si adatti al foglio del quaderno, quindi riduciamo la scala: 1 unità = 1 cella (disegno a destra). È raro, ma succede che la scala del disegno debba essere ridotta (o aumentata) ancora di più
NON È NECESSARIO "mitragliare"...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Perché il piano delle coordinate non è un monumento a Cartesio e lo studente non è una colomba. Abbiamo messo zero E due unità lungo gli assi. A volte invece di unità, è conveniente "contrassegnare" altri valori, ad esempio "due" sull'asse delle ascisse e "tre" sull'asse delle ordinate - e questo sistema (0, 2 e 3) definirà anche in modo univoco la griglia delle coordinate.
È meglio stimare le dimensioni stimate del disegno PRIMA di costruire il disegno. Quindi, ad esempio, se l'attività richiede di disegnare un triangolo con i vertici , , , allora è del tutto chiaro che la scala popolare di 1 unità = 2 celle non funzionerà. Perché? Diamo un'occhiata al punto: qui dovrai misurare quindici centimetri in basso e, ovviamente, il disegno non si adatterà (o si adatterà a malapena) su un foglio di quaderno. Pertanto, selezioniamo immediatamente una scala più piccola: 1 unità = 1 cella.
A proposito, circa centimetri e celle del notebook. È vero che 30 celle di un notebook contengono 15 centimetri? Per divertimento, misura 15 centimetri sul tuo quaderno con un righello. In URSS, questo potrebbe essere stato vero... È interessante notare che se misuri gli stessi centimetri orizzontalmente e verticalmente, i risultati (nelle celle) saranno diversi! A rigor di termini, i quaderni moderni non sono a scacchi, ma rettangolari. Può sembrare una sciocchezza, ma disegnare, ad esempio, un cerchio con un compasso in tali situazioni è molto scomodo. Ad essere onesti, in questi momenti inizi a pensare alla correttezza del compagno Stalin, che fu mandato nei campi per lavori di hacking nella produzione, per non parlare dell'industria automobilistica nazionale, della caduta di aerei o dell'esplosione di centrali elettriche.
A proposito di qualità, ovvero una breve raccomandazione sulla cancelleria. Oggi la maggior parte dei notebook è in vendita, parolacce per non parlare della totale spazzatura. Perché si bagnano, e non solo con le penne gel, ma anche con le penne a sfera! Risparmiano sulla carta. Per la registrazione test Consiglio di utilizzare i quaderni della cartiera di Arkhangelsk (18 fogli, a griglia) o "Pyaterochka", anche se è più costoso. Si consiglia di scegliere una penna gel; anche la ricarica gel cinese più economica è molto meglio di una penna a sfera, che macchia o strappa la carta. L'unica penna a sfera “competitiva” che ricordo è la Erich Krause. Scrive in modo chiaro, bello e coerente, sia con il nucleo pieno che con quello quasi vuoto.
Inoltre: La visione di un sistema di coordinate rettangolari attraverso gli occhi della geometria analitica è trattata nell'articolo Dipendenza lineare (non) dei vettori. Base dei vettori, informazioni dettagliate sui quarti coordinati si trovano nel secondo paragrafo della lezione Disuguaglianze lineari.
Caso 3D
Qui è quasi la stessa cosa.
1) Disegna gli assi delle coordinate. Standard: asse applicato – diretto verso l’alto, asse – diretto a destra, asse – diretto verso il basso a sinistra rigorosamente con un angolo di 45 gradi.
2) Etichettare gli assi.
3) Impostare la scala lungo gli assi. La scala lungo l'asse è due volte più piccola della scala lungo gli altri assi. Si noti inoltre che nel disegno a destra ho utilizzato una "tacca" non standard lungo l'asse (questa possibilità è già stata menzionata sopra). Dal mio punto di vista, questo è più preciso, più veloce ed esteticamente più gradevole: non è necessario cercare il centro della cellula al microscopio e "scolpire" un'unità vicino all'origine delle coordinate.
Quando si realizza un disegno 3D, ancora una volta, dare priorità alla scala
1 unità = 2 celle (disegno a sinistra).
A cosa servono tutte queste regole? Le regole sono fatte per essere infrante. Questo è quello che farò adesso. Il fatto è che i successivi disegni dell'articolo verranno realizzati da me in Excel e gli assi delle coordinate appariranno errati dal punto di vista progettazione corretta. Potrei disegnare tutti i grafici a mano, ma in realtà è spaventoso disegnarli poiché Excel è riluttante a disegnarli in modo molto più accurato.
Grafici e proprietà fondamentali delle funzioni elementari
Funzione lineareè dato dall'equazione Il grafico delle funzioni lineari è diretto. Per costruire una retta è sufficiente conoscere due punti.
Esempio 1
Costruisci un grafico della funzione. Troviamo due punti. È vantaggioso scegliere zero come uno dei punti.
Se poi
Prendiamo ad esempio un altro punto, 1.
Se poi
Quando si completano le attività, le coordinate dei punti vengono solitamente riepilogate in una tabella:
E i valori stessi vengono calcolati oralmente o su una bozza, una calcolatrice.
Sono stati trovati due punti, facciamo il disegno:
Quando prepariamo un disegno firmiamo sempre la grafica.
Sarebbe utile ricordare casi particolari di funzione lineare:
Nota come ho posizionato le firme, le firme non dovrebbero consentire discrepanze durante lo studio del disegno. In questo caso era estremamente indesiderabile apporre una firma accanto al punto di intersezione delle linee, o in basso a destra tra i grafici.
1) Una funzione lineare della forma () è chiamata proporzionalità diretta. Per esempio, . Un grafico di proporzionalità diretta passa sempre per l'origine. Pertanto, la costruzione di una linea retta è semplificata: è sufficiente trovare un solo punto.
2) Un'equazione della forma specifica una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Il grafico della funzione viene tracciato immediatamente, senza trovare punti. Cioè, la voce dovrebbe essere intesa come segue: “la y è sempre uguale a –4, per qualsiasi valore di x”.
3) Un'equazione della forma specifica una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Anche il grafico della funzione viene tracciato immediatamente. La voce deve essere intesa come segue: "x è sempre, per qualsiasi valore di y, uguale a 1."
Alcuni si chiederanno: perché ricordare la prima media?! È così, forse è così, ma nel corso degli anni di pratica ho incontrato una buona dozzina di studenti che erano sconcertati dal compito di costruire un grafico come o.
Costruire una linea retta è l'azione più comune quando si realizzano disegni.
La retta è trattata in dettaglio nel corso di Geometria analitica e chi è interessato può fare riferimento all'articolo Equazione di una retta su un piano.
Grafico di una funzione quadratica, cubica, grafico di un polinomio
Parabola. Grafico di una funzione quadratica 
() rappresenta una parabola. Consideriamo il famoso caso:
Ricordiamo alcune proprietà della funzione.
Quindi, la soluzione della nostra equazione: – è in questo punto che si trova il vertice della parabola. Perché è così lo si può imparare dall'articolo teorico sulla derivata e dalla lezione sugli estremi della funzione. Intanto calcoliamo il corrispondente valore di “Y”:
Quindi il vertice è nel punto
Ora troviamo altri punti, sfruttando sfacciatamente la simmetria della parabola. Va notato che la funzione 
– non è nemmeno, ma, tuttavia, nessuno ha annullato la simmetria della parabola.
In quale ordine trovare i punti rimanenti, penso che sarà chiaro dal tavolo finale:
Questo algoritmo le costruzioni possono essere chiamate figurativamente una "navetta" o un principio "avanti e indietro" con Anfisa Chekhova.
Facciamo il disegno:
Dai grafici esaminati mi viene in mente un'altra caratteristica utile:
Per una funzione quadratica 
() è vero quanto segue:
Se , allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto.
Se , allora i rami della parabola sono diretti verso il basso.
Una conoscenza approfondita della curva può essere ottenuta nella lezione Iperbole e parabola.
Una parabola cubica è data dalla funzione. Ecco un disegno familiare dalla scuola:
Elenchiamo le principali proprietà della funzione
Grafico di una funzione
Rappresenta uno dei rami di una parabola. Facciamo il disegno:
Principali proprietà della funzione:
In questo caso, l'asse è asintoto verticale per il grafico di un'iperbole in .
Sarebbe un errore GRAVE se, quando si disegna un disegno, si permettesse con noncuranza che il grafico si intersechi con un asintoto.
Anche i limiti unilaterali ci dicono che l'iperbole non limitato dall'alto E non limitato dal basso.
Esaminiamo la funzione all'infinito: , cioè se iniziamo a muoverci lungo l'asse verso sinistra (o destra) verso l'infinito, allora i “giochi” si svolgeranno in un passo ordinato infinitamente vicino avvicinarsi allo zero e, di conseguenza, i rami dell'iperbole infinitamente vicino avvicinarsi all'asse.
Quindi l'asse è asintoto orizzontale per il grafico di una funzione, se “x” tende a più o meno infinito.
La funzione è strano, e quindi l'iperbole è simmetrica rispetto all'origine. Questo fatto risulta evidente dal disegno, inoltre è facilmente verificabile analiticamente: 
.
Il grafico di una funzione della forma () rappresenta due rami di un'iperbole.
Se , allora l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quarto di coordinata(vedi foto sopra).
Se , allora l'iperbole si trova nel secondo e quarto quarto delle coordinate.
Il modello indicato di residenza dell'iperbole è facile da analizzare dal punto di vista delle trasformazioni geometriche dei grafici.
Esempio 3
Costruisci il ramo destro dell'iperbole
Utilizziamo il metodo di costruzione puntuale ed è vantaggioso selezionare i valori in modo che siano divisibili per un tutto:
Facciamo il disegno:
Non sarà difficile da costruire e ramo sinistro iperboli, la stranezza della funzione aiuterà qui. In parole povere, nella tabella della costruzione puntuale, aggiungiamo mentalmente un segno meno a ciascun numero, inseriamo i punti corrispondenti e disegniamo il secondo ramo.
Informazioni geometriche dettagliate sulla retta considerata si trovano nell'articolo Iperbole e parabola.
Grafico di una funzione esponenziale
In questa sezione prenderò subito in considerazione la funzione esponenziale, poiché nei problemi di matematica superiore nel 95% dei casi si incontra l'esponenziale.
Lascia che ti ricordi che questo è un numero irrazionale: , questo sarà richiesto durante la costruzione di un grafico, che, infatti, costruirò senza cerimonie. Tre punti, forse basta:
Lasciamo stare il grafico della funzione per ora, ne parleremo più avanti.
Principali proprietà della funzione:
I grafici delle funzioni, ecc., sembrano fondamentalmente uguali.
Devo dire che il secondo caso nella pratica si verifica meno frequentemente, ma si verifica, quindi ho ritenuto necessario inserirlo in questo articolo.
Grafico di una funzione logaritmica
Considera una funzione con logaritmo naturale.
Facciamo un disegno punto per punto:
Se hai dimenticato cos'è un logaritmo, consulta i libri di testo della scuola.
Principali proprietà della funzione:
Dominio: 
Intervallo di valori: .
La funzione non è limitata dall'alto: 
, anche se lentamente, ma il ramo del logaritmo sale all'infinito.
Esaminiamo il comportamento della funzione vicino allo zero a destra: 
. Quindi l'asse è asintoto verticale
per il grafico di una funzione come “x” tende a zero da destra.
È imperativo conoscere e ricordare il valore tipico del logaritmo: .
Il grafico del logaritmo alla base sembra fondamentalmente lo stesso: , , ( logaritmo decimale alla base 10), ecc. Inoltre, più grande è la base, più piatto risulterà il grafico.
Non considereremo il caso, non ricordo quando ultima volta Ho costruito un grafico su questa base. E il logaritmo sembra essere un ospite rarissimo nei problemi di matematica superiore.
Alla fine di questo paragrafo dirò un altro fatto: Funzione esponenziale e funzione logaritmica- i due sono reciproci funzioni inverse . Se osservi attentamente il grafico del logaritmo, puoi vedere che si tratta dello stesso esponente, solo che è posizionato in modo leggermente diverso.
Grafici di funzioni trigonometriche
Dove inizia il tormento trigonometrico a scuola? Giusto. Dal seno
Tracciamo la funzione
Questa linea si chiama sinusoide.
Lascia che ti ricordi che “pi” è un numero irrazionale: , e in trigonometria fa abbagliare gli occhi.
Principali proprietà della funzione:
Questa funzione è periodico con punto. Cosa significa? Diamo un'occhiata al segmento. A sinistra e a destra di esso, esattamente la stessa parte del grafico si ripete all'infinito.
Dominio: , cioè per ogni valore di “x” esiste un valore seno.
Intervallo di valori: . La funzione è limitato: , cioè tutti i “giocatori” siedono rigorosamente nel segmento .
Ciò non accade: o, più precisamente, accade, ma queste equazioni non hanno soluzione.
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