Poliedri
L'oggetto principale di studio della stereometria sono i corpi spaziali. Corpo rappresenta una parte di spazio limitata da una certa superficie.
Poliedroè un corpo la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni piatti. Un poliedro si dice convesso se si trova su un lato del piano di ogni poligono piano sulla sua superficie. Viene chiamata la parte comune di un tale piano e la superficie di un poliedro bordo. Le facce di un poliedro convesso sono poligoni convessi piatti. Si chiamano i lati delle facce bordi del poliedro, e i vertici sono vertici del poliedro.
Ad esempio, un cubo è composto da sei quadrati, che sono le sue facce. Contiene 12 bordi (i lati dei quadrati) e 8 vertici (le parti superiori dei quadrati).
I poliedri più semplici sono prismi e piramidi, che studieremo ulteriormente.
Prisma
Definizione e proprietà di un prisma
Prismaè un poliedro costituito da due poligoni piatti che giacciono su piani paralleli combinati mediante traslazione parallela e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi poligoni. Si chiamano poligoni basi prismatiche, e i segmenti che collegano i vertici corrispondenti dei poligoni sono bordi laterali del prisma.
Altezza del prismaè chiamata la distanza tra i piani delle sue basi (). Si chiama segmento che collega due vertici di un prisma che non appartengono alla stessa faccia diagonale del prisma(). Il prisma si chiama n-carbonio, se la sua base è un n-gon.
Qualsiasi prisma ha le seguenti proprietà, risultanti dal fatto che le basi del prisma sono combinate mediante traslazione parallela:
1. Le basi del prisma sono uguali.
2. I bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali.
La superficie del prisma è costituita da basi e superficie laterale. La superficie laterale del prisma è costituita da parallelogrammi (questo deriva dalle proprietà del prisma). L'area della superficie laterale di un prisma è la somma delle aree delle facce laterali.
Prisma dritto
Il prisma si chiama Dritto, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alle basi. Altrimenti si chiama prisma inclinato.
Le facce di un prisma retto sono rettangoli. L'altezza di un prisma rettilineo è uguale alle sue facce laterali.
Superficie prismatica completa si chiama somma della superficie laterale e delle aree delle basi.
Con il prisma giusto chiamato prisma retto avente alla base un poligono regolare.
Teorema 13.1. L'area della superficie laterale di un prisma diritto è uguale al prodotto del perimetro e dell'altezza del prisma (o, che è lo stesso, del bordo laterale).
Prova. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli, le cui basi sono i lati dei poligoni alle basi del prisma, e le altezze sono gli spigoli laterali del prisma. Quindi, per definizione, la superficie laterale è:
,
dove è il perimetro della base di un prisma rettilineo.
Parallelepipedo
Se i parallelogrammi si trovano alle basi di un prisma, allora si chiama parallelepipedo. Tutte le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi. In questo caso le facce opposte del parallelepipedo sono parallele e uguali.
Teorema 13.2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e sono divise a metà dal punto di intersezione.
Prova. Consideriamo ad esempio due diagonali arbitrarie e . Perché le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi, quindi e , che significa secondo A che ci sono due rette parallele alla terza. Inoltre, ciò significa che le linee rette giacciono sullo stesso piano (piano). Questo piano interseca piani paralleli e lungo linee parallele e . Pertanto, un quadrilatero è un parallelogramma e, per la proprietà del parallelogramma, le sue diagonali si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione, che era ciò che doveva essere dimostrato.
Un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo si chiama parallelepipedo rettangolare. Tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli. Le lunghezze dei bordi non paralleli di un parallelepipedo rettangolare sono chiamate dimensioni lineari (dimensioni). Esistono tre dimensioni di questo tipo (larghezza, altezza, lunghezza).
Teorema 13.3. In un parallelepipedo rettangolare, il quadrato di una qualsiasi diagonale pari alla somma quadrati delle sue tre dimensioni 
(dimostrato applicando due volte la T pitagorica).
Si chiama parallelepipedo rettangolare con tutti gli spigoli uguali cubo.
Compiti
13.1 Quante diagonali ha? N-prisma di carbonio
13.2 In un prisma triangolare inclinato, le distanze tra i bordi laterali sono 37, 13 e 40. Trova la distanza tra il bordo laterale più grande e il bordo laterale opposto.
13.3 Un piano viene tracciato attraverso il lato della base inferiore di un prisma triangolare regolare, intersecando le facce laterali lungo segmenti con un angolo tra loro. Trova l'angolo di inclinazione di questo piano rispetto alla base del prisma.
Prismi diversi sono diversi l'uno dall'altro. Allo stesso tempo, hanno molto in comune. Per trovare l'area della base del prisma dovrai capire di che tipologia è.
Teoria generale
Un prisma è un poliedro i cui lati hanno la forma di un parallelogramma. Inoltre, la sua base può essere qualsiasi poliedro, dal triangolo all'n-gon. Inoltre le basi del prisma sono sempre uguali tra loro. Ciò che non si applica alle facce laterali è che possono variare in modo significativo in termini di dimensioni.
Quando si risolvono i problemi, non si incontra solo l'area della base del prisma. Può richiedere la conoscenza della superficie laterale, cioè di tutte le facce che non sono basi. La superficie completa sarà l'unione di tutte le facce che compongono il prisma.
A volte i problemi riguardano l'altezza. È perpendicolare alle basi. La diagonale di un poliedro è un segmento che collega a coppie due vertici qualsiasi che non appartengono alla stessa faccia.
Va notato che l'area di base di un prisma diritto o inclinato non dipende dall'angolo tra loro e le facce laterali. Se hanno le stesse figure sulle facce superiore e inferiore, le loro aree saranno uguali.
Prisma triangolare
Ha alla base una figura con tre vertici, cioè un triangolo. Come sai, può essere diverso. Se è così, basta ricordare che la sua area è determinata dalla metà del prodotto delle zampe.
La notazione matematica è questa: S = ½ av.
Per scoprire l'area della base in vista generale, le formule saranno utili: Airone e quella in cui metà del lato viene portata all'altezza disegnata ad esso.
La prima formula dovrebbe essere scritta come segue: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Questa notazione contiene un semiperimetro (p), cioè la somma di tre lati divisa per due.
Secondo: S = ½ n a * a.
Se vuoi scoprire l'area della base di un prisma triangolare, che è regolare, allora il triangolo risulta essere equilatero. Esiste una formula per questo: S = ¼ a 2 * √3.
Prisma quadrangolare
La sua base è uno qualsiasi dei quadrangoli conosciuti. Può essere un rettangolo o un quadrato, un parallelepipedo o un rombo. In ogni caso, per calcolare l'area della base del prisma, avrai bisogno della tua formula.
Se la base è un rettangolo, la sua area è determinata come segue: S = ab, dove a, b sono i lati del rettangolo.
Quando stiamo parlando attorno a un prisma quadrangolare, quindi l'area della base di un prisma regolare viene calcolata utilizzando la formula del quadrato. Perché è Lui che sta alla base. S = un 2.
Nel caso in cui la base sia un parallelepipedo sarà necessaria la seguente uguaglianza: S = a * n a. Accade che siano dati il lato di un parallelepipedo e uno degli angoli. Quindi per calcolare l'altezza dovrai utilizzare formula aggiuntiva: na = b * sin A. Inoltre, l'angolo A è adiacente al lato “b”, e l'altezza na è opposta a questo angolo.
Se alla base del prisma c'è un rombo, per determinarne l'area avrai bisogno della stessa formula del parallelogramma (poiché è un caso speciale). Ma puoi anche usare questo: S = ½ d 1 d 2. Qui d 1 e d 2 sono due diagonali del rombo.
Prisma pentagonale regolare
In questo caso si tratta di dividere il poligono in triangoli, le cui aree sono più facili da individuare. Anche se succede che le figure possano avere un numero diverso di vertici.
Poiché la base del prisma è un pentagono regolare, può essere diviso in cinque triangoli equilateri. Quindi l'area della base del prisma è uguale all'area di uno di questi triangoli (la formula può essere vista sopra), moltiplicata per cinque.
Prisma esagonale regolare
Utilizzando il principio descritto per un prisma pentagonale è possibile dividere l'esagono di base in 6 triangoli equilateri. La formula per l'area di base di un tale prisma è simile alla precedente. Solo che dovrebbe essere moltiplicato per sei.
La formula sarà simile a questa: S = 3/2 a 2 * √3.
Compiti
N. 1. Data una retta regolare, la sua diagonale è 22 cm, l'altezza del poliedro è 14 cm Calcola l'area della base del prisma e dell'intera superficie.
Soluzione. La base del prisma è quadrata, ma il suo lato è sconosciuto. Puoi trovare il suo valore dalla diagonale del quadrato (x), che è correlata alla diagonale del prisma (d) e alla sua altezza (h). x2 = d2 - n2. D'altra parte, questo segmento “x” è l'ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono uguali al lato del quadrato. Cioè x 2 = a 2 + a 2. Risulta quindi che a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Sostituisci il numero 22 invece di d e sostituisci "n" con il suo valore - 14, risulta che il lato del quadrato è 12 cm Ora scopri solo l'area della base: 12 * 12 = 144 cm 2.
Per scoprire l'area dell'intera superficie, è necessario aggiungere il doppio della superficie di base e quadruplicare la superficie laterale. Quest'ultimo si trova facilmente utilizzando la formula del rettangolo: moltiplica l'altezza del poliedro per il lato della base. Cioè, 14 e 12, questo numero sarà pari a 168 cm 2. area totale La superficie del prisma risulta essere 960 cm 2.
Risposta. L'area della base del prisma è 144 cm 2. L'intera superficie è di 960 cm 2.
N. 2. Dato Alla base c'è un triangolo con il lato di 6 cm. In questo caso la diagonale della faccia laterale è di 10 cm. Calcola le aree: la base e la superficie laterale.
Soluzione. Poiché il prisma è regolare, la sua base è un triangolo equilatero. Pertanto la sua area risulta pari a 6 quadrati, moltiplicata per ¼ e la radice quadrata di 3. Un semplice calcolo porta al risultato: 9√3 cm 2. Questa è l'area di una base del prisma.
Tutte le facce laterali sono uguali e sono rettangoli con lati di 6 e 10 cm. Per calcolare le loro aree basta moltiplicare questi numeri. Poi moltiplicateli per tre, perché il prisma ha esattamente altrettante facce laterali. Quindi l'area della superficie laterale della ferita risulta essere 180 cm 2.
Risposta. Aree: base - 9√3 cm 2, superficie laterale del prisma - 180 cm 2.
I poligoni ABCDE e FHKMP giacenti su piani paralleli sono chiamati basi del prisma, la perpendicolare OO 1 abbassata da un punto qualsiasi della base al piano di un altro è chiamata altezza del prisma. Parallelogrammi ABHF, BCKH, ecc. sono chiamate facce laterali del prisma, e i loro lati SC, DM, ecc., che collegano i corrispondenti vertici delle basi, sono chiamati spigoli laterali. In un prisma tutti gli spigoli laterali sono uguali tra loro come segmenti di rette parallele racchiuse tra loro piani paralleli.
Un prisma si chiama retta ( Fig. 282, b) o obliquo ( Fig. 282, c) a seconda che le sue nervature laterali siano perpendicolari o inclinate rispetto alle basi. Un prisma rettilineo ha le facce laterali rettangolari. Il bordo laterale può essere preso come l'altezza di tale prisma.
Un prisma retto si dice regolare se le sue basi sono poligoni regolari. In un tale prisma, tutte le facce laterali sono rettangoli uguali.
Per rappresentare un prisma in un disegno complesso, è necessario conoscere ed essere in grado di rappresentare gli elementi che lo compongono (un punto, una linea retta, una figura piatta).
e la loro immagine nel disegno complesso (Fig. 283, a - i)
a) Disegno complesso di un prisma. La base del prisma si trova sul piano di proiezione P 1; una delle facce laterali del prisma è parallela al piano di proiezione P 2.
b) La base inferiore del prisma DEF è una figura piatta - un triangolo regolare situato nel piano P 1; il lato del triangolo DE è parallelo all'asse x 12 - La proiezione orizzontale confluisce con la base data e, quindi, è uguale alla sua dimensione naturale; La proiezione frontale si confonde con l'asse x 12 ed è uguale al lato della base del prisma.
c) La base superiore del prisma ABC è una figura piatta: un triangolo situato su un piano orizzontale. La proiezione orizzontale si confonde con la proiezione della base inferiore e la ricopre, poiché il prisma è diritto; proiezione frontale - diritta, parallela all'asse x 12, ad una distanza pari all'altezza del prisma.
d) La faccia laterale del prisma ABED è una figura piatta, un rettangolo che giace sul piano frontale. Proiezione frontale: un rettangolo uguale alla dimensione naturale del viso; la proiezione orizzontale è una linea retta uguale al lato della base del prisma.
e) ed f) Le facce laterali dei prismi ACFD e CBEF sono figure piatte - rettangoli che giacciono su piani di proiezione orizzontali situati ad un angolo di 60° rispetto al piano di proiezione P 2. Le proiezioni orizzontali sono linee rette, disposte rispetto all'asse x 12 con un angolo di 60°, e sono uguali alla dimensione naturale dei lati della base del prisma; le proiezioni frontali sono rettangoli, la cui immagine è più piccola della grandezza naturale: due lati di ciascun rettangolo sono uguali all'altezza del prisma.
g) Il bordo AD del prisma è una linea retta, perpendicolare al piano di proiezione P 1. Proiezione orizzontale - punto; frontale - dritto, perpendicolare all'asse x 12, uguale al bordo laterale del prisma (altezza del prisma).
h) Il lato AB della base superiore è diritto, parallelo ai piani P 1 e P 2. Le proiezioni orizzontali e frontali sono diritte, parallele all'asse x 12 e uguali al lato della base data del prisma. La proiezione frontale è distanziata dall'asse x 12 ad una distanza pari all'altezza del prisma.
i) I vertici del prisma. Punto E: la parte superiore della base inferiore si trova sul piano P 1. La proiezione orizzontale coincide con il punto stesso; frontale - si trova sull'asse x 12. Il punto C - la parte superiore della base superiore - si trova nello spazio. La proiezione orizzontale ha profondità; frontale - altezza, pari all'altezza di questo prisma.
Ciò implica: Quando si progetta qualsiasi poliedro, è necessario dividerlo mentalmente nei suoi elementi componenti e determinare l'ordine della loro rappresentazione, costituito da successive operazioni grafiche. Le figure 284 e 285 mostrano esempi di operazioni grafiche sequenziali quando si esegue un disegno complesso e una rappresentazione visiva (assonometria) di prismi.
(Fig. 284).
Dato:
1. La base si trova sul piano di proiezione P 1.
2. Nessuno dei due lati della base è parallelo all'asse x 12.
I. Disegno complesso.
Io, a. Progettiamo la base inferiore: un poligono che, per condizione, si trova nel piano P1.
Io, b. Progettiamo la base superiore: un poligono uguale alla base inferiore con i lati corrispondentemente paralleli alla base inferiore, distanziato dalla base inferiore dell'altezza H del prisma dato.
Circuito integrato. Progettiamo i bordi laterali del prisma: segmenti situati in parallelo; le loro proiezioni orizzontali sono punti che si fondono con le proiezioni dei vertici delle basi; frontale - segmenti (paralleli) ottenuti collegando con linee rette le proiezioni dei vertici delle basi omonime. Le proiezioni frontali delle nervature, ricavate dalle proiezioni dei vertici B e C della base inferiore, sono rappresentate mediante linee tratteggiate come invisibili.
Io, G. Dati: proiezione orizzontale F 1 del punto F sulla base superiore e proiezione frontale K 2 del punto K sulla faccia laterale. È necessario determinare le posizioni delle loro seconde proiezioni.
Per il punto F. La seconda proiezione (frontale) F 2 del punto F coinciderà con la proiezione della base superiore, come punto giacente nel piano di questa base; il suo posto è determinato dalla linea di comunicazione verticale.
Per il punto K - La seconda proiezione (orizzontale) K 1 del punto K coinciderà con la proiezione orizzontale della faccia laterale, come punto giacente nel piano della faccia; il suo posto è determinato dalla linea di comunicazione verticale.
II. Sviluppo della superficie del prisma- una figura piana composta da facce laterali - rettangoli, in cui due lati sono uguali all'altezza del prisma, e gli altri due sono uguali ai lati corrispondenti della base, e da due basi uguali tra loro - poligoni irregolari .
Sugli aggetti si rivelano le dimensioni naturali delle basi e dei lati delle facce necessarie per costruire lo sviluppo; costruiamo secondo loro; Su una linea retta tracciamo in sequenza i lati AB, BC, CD, DE ed EA del poligono: le basi del prisma, prese dalla proiezione orizzontale. Sulle perpendicolari tracciate dai punti A, B, C, D, E e A tracciamo l'altezza H di questo prisma preso dalla proiezione frontale e tracciamo una linea retta attraverso i segni. Di conseguenza, otteniamo una scansione delle facce laterali del prisma.
Se attacchiamo le basi del prisma a questo sviluppo, otteniamo uno sviluppo di tutta la superficie del prisma. Le basi del prisma devono essere fissate alla faccia laterale corrispondente utilizzando il metodo della triangolazione.
Sulla base superiore del prisma, utilizzando i raggi R e R 1, determiniamo la posizione del punto F, e sulla faccia laterale, utilizzando i raggi R 3 e H 1, determiniamo il punto K.
III. Una rappresentazione visiva di un prisma in dimetria.
III, a. Rappresentiamo la base inferiore del prisma secondo le coordinate dei punti A, B, C, D ed E (Fig. 284 I, a).
III, b. Rappresentiamo la base superiore parallela a quella inferiore, distanziata da essa dell'altezza H del prisma.
III, c. Rappresentiamo i bordi laterali collegando i corrispondenti vertici delle basi con linee rette. Determiniamo gli elementi visibili e invisibili del prisma e li delineamo con le linee corrispondenti,
III, d. Determiniamo i punti F e K sulla superficie del prisma - Il punto F - sulla base superiore viene determinato utilizzando le dimensioni i ed e; punto K - sulla faccia laterale utilizzando i 1 e H".
Per un'immagine isometrica del prisma e per determinare le posizioni dei punti F e K, dovrebbe essere seguita la stessa sequenza.
Fig.285).
Dato:
1. La base si trova sul piano P 1.
2. Le nervature laterali sono parallele al piano P 2.
3. Nessun lato della base è parallelo all'asse x 12
I. Disegno complesso.
Io, a. Progettiamo secondo questa condizione: la base inferiore è un poligono giacente nel piano P1, e lo spigolo laterale è un segmento parallelo al piano P2 e inclinato rispetto al piano P1.
Io, b. Progettiamo i restanti bordi laterali: segmenti uguali e paralleli al primo bordo CE.
Circuito integrato. Progettiamo la base superiore del prisma come un poligono, uguale e parallelo alla base inferiore, e otteniamo un disegno complesso del prisma.
Identifichiamo gli elementi invisibili sulle proiezioni. La proiezione frontale del bordo della VM e la proiezione orizzontale del lato del CD di base sono rappresentate da linee tratteggiate come invisibili.
I, g. Data la proiezione frontale Q 2 del punto Q sulla proiezione A 2 K 2 F 2 D 2 della faccia laterale; devi trovare la sua proiezione orizzontale. Per fare ciò, traccia una linea ausiliaria attraverso il punto Q 2 nella proiezione A 2 K 2 F 2 D 2 della faccia del prisma, parallela ai bordi laterali di questa faccia. Troviamo la proiezione orizzontale della linea ausiliaria e su di essa, utilizzando una linea di collegamento verticale, determiniamo la posizione della proiezione orizzontale desiderata Q 1 del punto Q.
II. Sviluppo della superficie del prisma.
Avendo le dimensioni naturali dei lati della base sulla proiezione orizzontale, e le dimensioni delle nervature sulla proiezione frontale, è possibile costruire uno sviluppo completo della superficie di un dato prisma.
Faremo rotolare il prisma, girandolo ogni volta nervatura laterale, allora ciascuna faccia laterale del prisma lascerà sul piano una traccia (parallelogramma) uguale alla sua dimensione naturale. Costruiremo la scansione laterale nel seguente ordine:
a) dai punti A 2, B 2, D 2. . . E 2 (proiezioni frontali dei vertici delle basi) tracciamo delle rette ausiliarie perpendicolari alle proiezioni delle nervature;
b) raggio R ( uguale al lato base CD) facciamo una tacca nel punto D sulla linea ausiliaria tracciata dal punto D2; collegando i punti retti C 2 e D e tracciando rette parallele a E 2 C 2 e C 2 D, si ottiene la faccia laterale CEFD;
c) poi, disponendo in modo analogo le facce laterali successive, si ottiene uno sviluppo delle facce laterali del prisma. Per ottenere uno sviluppo completo della superficie di questo prisma, lo attacchiamo alle corrispondenti facce della base.
III. Una rappresentazione visiva di un prisma in isometria.
III, a. Rappresentiamo la base inferiore del prisma e il bordo CE, utilizzando le coordinate secondo (
Informazioni generali sul prisma diritto
Viene chiamata la superficie laterale di un prisma (più precisamente, la superficie laterale). somma aree delle facce laterali. La superficie totale del prisma è uguale alla somma della superficie laterale e delle aree delle basi.
Teorema 19.1. La superficie laterale di un prisma diritto è uguale al prodotto del perimetro della base per l'altezza del prisma, cioè alla lunghezza dello spigolo laterale.
Prova. Le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli. Le basi di questi rettangoli sono i lati del poligono giacente alla base del prisma, e le altezze sono pari alla lunghezza dei bordi laterali. Ne consegue che superficie laterale il prisma è uguale
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
dove a 1 e n sono le lunghezze dei bordi della base, p è il perimetro della base del prisma e I è la lunghezza dei bordi laterali. Il teorema è stato dimostrato.
Compito pratico
Problema (22) . In un prisma inclinato viene eseguito sezione, perpendicolare alle nervature laterali e intersecante tutte le nervature laterali. Trova la superficie laterale del prisma se il perimetro della sezione è uguale a p e gli spigoli laterali sono uguali a l.
Soluzione. Il piano della sezione disegnata divide il prisma in due parti (Fig. 411). Sottoponiamone uno a traslazione parallela, unendo le basi del prisma. In questo caso, otteniamo un prisma dritto, la cui base è la sezione trasversale del prisma originale, e i bordi laterali sono uguali a l. Questo prisma ha la stessa superficie laterale di quello originale. Pertanto, la superficie laterale del prisma originale è uguale a pl.
Riepilogo dell'argomento trattato
Ora proviamo a riassumere l’argomento che abbiamo trattato sui prismi e ricordiamo quali proprietà ha un prisma.
Proprietà del prisma
Innanzitutto un prisma ha tutte le sue basi come poligoni uguali;
In secondo luogo, in un prisma tutte le sue facce laterali sono parallelogrammi;
In terzo luogo, in una figura così sfaccettata come un prisma, tutti i bordi laterali sono uguali;
Inoltre, va ricordato che i poliedri come i prismi possono essere diritti o inclinati.
Quale prisma è chiamato prisma diritto?
Se il bordo laterale di un prisma si trova perpendicolare al piano della sua base, tale prisma è chiamato dritto.
Non sarebbe superfluo ricordare che le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli.
Che tipo di prisma si chiama obliquo?
Ma se il bordo laterale del prisma non è perpendicolare al piano della sua base, allora possiamo tranquillamente dire che è un prisma inclinato.
Quale prisma è detto corretto?
Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora tale prisma è regolare.
Ora ricordiamo le proprietà di un prisma regolare.
Proprietà di un prisma regolare
In primo luogo, i poligoni regolari servono sempre come basi di un prisma regolare;
In secondo luogo, se consideriamo le facce laterali di un prisma regolare, lo saranno sempre rettangoli uguali;
In terzo luogo, se confrontiamo le dimensioni delle nervature laterali, in un prisma regolare sono sempre uguali.
In quarto luogo, un prisma corretto è sempre diritto;
In quinto luogo, se in un prisma regolare le facce laterali hanno la forma di quadrati, allora tale figura viene solitamente chiamata poligono semiregolare.
Sezione trasversale del prisma
Ora diamo un'occhiata alla sezione trasversale del prisma:
Compiti a casa
Ora proviamo a consolidare l'argomento che abbiamo imparato risolvendo i problemi.
Disegniamo un prisma triangolare inclinato, la distanza tra i suoi bordi sarà pari a: 3 cm, 4 cm e 5 cm, e la superficie laterale di questo prisma sarà pari a 60 cm2. Avendo questi parametri, trova il bordo laterale di questo prisma.
Sapete che le figure geometriche ci circondano costantemente non solo durante le lezioni di geometria, ma anche durante le lezioni Vita di ogni giorno Ci sono oggetti che assomigliano all'una o all'altra figura geometrica.
Ogni casa, scuola o lavoro ha un computer la cui unità di sistema ha la forma di un prisma dritto.
Se prendi una matita semplice, vedrai che la parte principale della matita è un prisma.
Camminando lungo la via centrale della città, vediamo che sotto i nostri piedi giace una piastrella che ha la forma di un prisma esagonale.
A. V. Pogorelov, Geometria per le classi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative
Definizione 1. Superficie prismatica
Teorema 1. Informazioni sezioni parallele superficie prismatica
Definizione 2. Sezione perpendicolare di una superficie prismatica
Definizione 3. Prisma
Definizione 4. Altezza del prisma
Definizione 5. Prisma destro
Teorema 2. Superficie laterale del prisma
Parallelepipedo:
Definizione 6. Parallelepipedo
Teorema 3. Sull'intersezione delle diagonali di un parallelepipedo
Definizione 7. Parallelepipedo retto
Definizione 8. Parallelepipedo rettangolare
Definizione 9. Misure di un parallelepipedo
Definizione 10. Cubo
Definizione 11. Romboedro
Teorema 4. Sulle diagonali di un parallelepipedo rettangolare
Teorema 5. Volume di un prisma
Teorema 6. Volume di un prisma retto
Teorema 7. Volume di un parallelepipedo rettangolare
Prismaè un poliedro le cui due facce (basi) giacciono su piani paralleli, e gli spigoli che non giacciono in queste facce sono paralleli tra loro.
Si chiamano facce diverse dalle basi laterale.
I lati delle facce laterali e delle basi sono chiamati nervature prismatiche, vengono chiamate le estremità degli spigoli i vertici del prisma. Costole laterali si chiamano bordi che non appartengono alle basi. Si chiama l'unione delle facce laterali superficie laterale del prisma, e si chiama l'unione di tutte le facce tutta la superficie del prisma. Altezza del prisma chiamata perpendicolare portata dal punto della base superiore al piano della base inferiore o lunghezza di questa perpendicolare. 
Prisma dritto chiamato prisma i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. 
Corretto chiamato prisma diritto (Fig. 3), alla base del quale si trova un poligono regolare.
Designazioni:
l - nervatura laterale;
P - perimetro della base;
S o - area di base;
H - altezza;
P^ - perimetro della sezione perpendicolare;
S b - superficie laterale;
V - volume;
S p è l'area della superficie totale del prisma.
|
V=SH |
*Si presuppone che ogni due piani successivi si intersechino e che l'ultimo piano intersechi il primo
Teorema 1 . Le sezioni di una superficie prismatica mediante piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai suoi bordi) sono poligoni uguali.
Siano ABCDE e A"B"C"D"E" sezioni di una superficie prismatica secondo due piani paralleli. Per verificare che questi due poligoni sono uguali basta dimostrare che triangoli ABC e A"B"C" sono uguali e hanno lo stesso senso di rotazione, e lo stesso vale per i triangoli ABD e A"B"D", ABE e A"B"E". Ma i lati corrispondenti di questi triangoli sono parallelo (ad esempio, AC è parallelo А "С") come la linea di intersezione di un certo piano con due piani paralleli ne consegue che questi lati sono uguali (ad esempio, AC è uguale a А "С") come lati opposti parallelogramma e che gli angoli formati da questi lati sono uguali e hanno la stessa direzione.
Definizione 2 . Una sezione perpendicolare di una superficie prismatica è una sezione di questa superficie mediante un piano perpendicolare ai suoi bordi. In base al teorema precedente, tutte le sezioni perpendicolari della stessa superficie prismatica saranno poligoni uguali.
Definizione 3
. Un prisma è un poliedro delimitato da una superficie prismatica e da due piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai bordi della superficie prismatica)
Vengono chiamate le facce che giacciono in questi ultimi piani basi prismatiche; facce appartenenti alla superficie prismatica - facce laterali; bordi della superficie prismatica - nervature laterali del prisma. In virtù del teorema precedente la base del prisma è poligoni uguali. Tutte le facce laterali del prisma - parallelogrammi; tutte le nervature laterali sono uguali tra loro.
Ovviamente, data la base del prisma ABCDE e uno degli spigoli AA" in dimensione e direzione, allora è possibile costruire un prisma disegnando gli spigoli BB", CC", ... uguali e paralleli allo spigolo AA" .
Definizione 4 . L'altezza di un prisma è la distanza tra i piani delle sue basi (HH").
Definizione 5
. Un prisma si dice diritto se le sue basi sono sezioni perpendicolari della superficie prismatica. In questo caso l'altezza del prisma è, ovviamente, la sua nervatura laterale; i bordi laterali saranno rettangoli.
I prismi possono essere classificati in base al numero di facce laterali, numero uguale lati del poligono che funge da base. Pertanto, i prismi possono essere triangolari, quadrangolari, pentagonali, ecc.
Teorema 2
. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del bordo laterale e del perimetro della sezione perpendicolare.
Sia ABCDEA"B"C"D"E" un prisma dato e abcde la sua sezione perpendicolare, in modo che i segmenti ab, bc, .. siano perpendicolari ai suoi spigoli laterali. La faccia ABA"B" è un parallelogramma; la sua area è uguale al prodotto della base AA " per l'altezza che coincide con ab; l'area della faccia ВСВ "С" è uguale al prodotto della base ВВ" per l'altezza bc, ecc. Di conseguenza, la superficie laterale (cioè la somma delle aree delle facce laterali) è uguale al prodotto del bordo laterale, cioè la lunghezza totale dei segmenti AA", ВВ", .., per la quantità ab+bc+cd+de+ea.
