Diamo un'occhiata a uno di loro gli argomenti più importanti in informatica - . IN curriculum scolastico si rivela piuttosto “modestamente”, molto probabilmente a causa della mancanza di ore ad esso assegnate. Conoscenza su questo argomento, in particolare su traduzione dei sistemi numerici, sono un prerequisito per il successo superamento dell'Esame di Stato Unificato e l'ammissione alle università nelle relative facoltà. Di seguito discutiamo in dettaglio concetti come sistemi numerici posizionali e non posizionali, vengono forniti esempi di questi sistemi numerici, vengono presentate regole per convertire numeri decimali interi, frazioni decimali proprie e numeri decimali misti in qualsiasi altro sistema numerico, convertire numeri da qualsiasi sistema numerico in decimale, convertire da sistemi numerici ottali ed esadecimali in numeri binari sistema. Agli esami a grandi quantità Ci sono problemi su questo argomento. La capacità di risolverli è uno dei requisiti per i candidati. Prossimamente: per ogni argomento della sezione, oltre al materiale teorico dettagliato, quasi tutto possibili opzioni compiti Per autodidatta. Inoltre, avrai la possibilità di scaricare in modo completamente gratuito dal servizio di file hosting soluzioni dettagliate già pronte a questi problemi, illustrando vari modi ottenendo la risposta corretta.

sistemi di numeri posizionali.

Sistemi numerici non posizionali- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero.

I sistemi numerici non posizionali includono, ad esempio, il romano, dove al posto dei numeri ci sono lettere latine.

IO	1 uno)
V	5 (cinque)
X	10 (dieci)
l	50 (cinquanta)
C	100 (cento)
D	500 (cinquecento)
M	1000 (migliaia)

Qui la lettera V sta per 5 indipendentemente dalla sua posizione. Tuttavia, vale la pena ricordare che, sebbene il sistema numerico romano sia un classico esempio di sistema numerico non posizionale, non è completamente non posizionale, perché Da questo viene sottratto il numero più piccolo davanti a quello più grande:

I L	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

sistemi di numeri posizionali.

Sistemi di numerazione posizionale- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero.

Ad esempio, se parliamo del sistema numerico decimale, nel numero 700 il numero 7 significa "settecento", ma lo stesso numero nel numero 71 significa "sette decine" e nel numero 7020 - "settemila" .

Ogni sistema numerico posizionale ha il suo base. Come base si sceglie un numero naturale maggiore o uguale a due. È uguale al numero di cifre utilizzate in un dato sistema numerico.

Per esempio:
• Binario- sistema numerico posizionale con base 2.
• Quaternario- sistema numerico posizionale a base 4.
• Cinque volte- sistema di numerazione posizionale a base 5.
• Ottale- sistema di numerazione posizionale con base 8.
• Esadecimale- sistema di numerazione posizionale con base 16.

Per risolvere con successo i problemi sull'argomento “Sistemi numerici”, lo studente deve conoscere a memoria la corrispondenza dei numeri binari, decimali, ottali ed esadecimali fino a 16 10:

10 s/s	2 secondi/s	8 s/s	16 secondi/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	UN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

È utile sapere come si ottengono i numeri in questi sistemi numerici. Puoi indovinarlo in ottale, esadecimale, ternario e altri sistemi di numeri posizionali tutto avviene nello stesso modo del sistema decimale a cui siamo abituati:

Viene aggiunto uno al numero e si ottiene un nuovo numero. Se la cifra delle unità diventa uguale alla base sistema numerico, aumentiamo il numero delle decine di 1, ecc.

Questa “transizione dell’uno” è ciò che spaventa la maggior parte degli studenti. In realtà, tutto è abbastanza semplice. La transizione avviene se la cifra delle unità diventa uguale a base numerica, aumentiamo il numero di decine di 1. Molti, ricordando il buon vecchio sistema decimale, sono immediatamente confusi riguardo alle cifre in questa transizione, perché le decine decimali e, ad esempio, le decine binarie sono cose diverse.

Pertanto, gli studenti intraprendenti sviluppano “i propri metodi” (sorprendentemente... funzionanti) quando compilano, ad esempio, tabelle di verità, le cui prime colonne (valori variabili) sono, in effetti, riempite con numeri binari in ordine crescente.

Ad esempio, vediamo come inserire i numeri sistema ottale: Aggiungiamo 1 al primo numero (0), otteniamo 1. Quindi aggiungiamo 1 a 1, otteniamo 2, ecc. a 7. Se sommiamo uno a 7, otteniamo un numero uguale alla base del sistema numerico, ad es. 8. Quindi è necessario aumentare la cifra delle decine di uno (otteniamo dieci ottali - 10). Poi ovviamente ci sono i numeri 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Regole per la conversione da un sistema numerico all'altro.

1 Conversione di numeri decimali interi in qualsiasi altro sistema numerico.

Il numero deve essere diviso per nuova base del sistema numerico. Il primo resto della divisione è la prima cifra minore del nuovo numero. Se il quoziente della divisione è minore o uguale alla nuova base, allora esso (il quoziente) deve essere diviso nuovamente per la nuova base. La divisione deve essere continuata finché non si ottiene un quoziente inferiore alla nuova base. Questa è la cifra più alta del nuovo numero (bisogna ricordare che, ad esempio, nel sistema esadecimale, dopo 9 ci sono le lettere, cioè se il resto è 11, bisogna scriverlo come B).

Esempio ("divisione per angolo"): convertiamo il numero 173 10 nel sistema numerico ottale.

Quindi, 173 10 =255 8

2 Conversione di frazioni decimali regolari in qualsiasi altro sistema numerico.

Il numero deve essere moltiplicato per la base del nuovo sistema numerico. La cifra che è diventata la parte intera è la cifra più alta della parte frazionaria del nuovo numero. per ottenere la cifra successiva, la parte frazionaria del prodotto risultante deve essere nuovamente moltiplicata per una nuova base del sistema numerico fino a quando non si verifica la transizione alla parte intera. Continuiamo la moltiplicazione finché la parte frazionaria non è uguale a zero o finché non raggiungiamo la precisione specificata nel problema (“... calcola con una precisione, ad esempio, di due cifre decimali”).

Esempio: convertiamo il numero 0,65625 10 nel sistema numerico ottale.

La calcolatrice consente di convertire numeri interi e frazionari da un sistema numerico a un altro. La base del sistema numerico non può essere inferiore a 2 e maggiore di 36 (10 cifre e 26 Lettere latine Dopotutto). La lunghezza dei numeri non deve superare i 30 caratteri. Per entrare numeri frazionari utilizzare il simbolo. O, . Per convertire un numero da un sistema a un altro, inserisci il numero originale nel primo campo, la base del sistema numerico originale nel secondo e la base del sistema numerico in cui desideri convertire il numero nel terzo campo, quindi fare clic sul pulsante "Ottieni record".

Numero originale scritto in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -esimo sistema numerico.

Voglio che venga scritto un numero 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -esimo sistema numerico.

Ottieni l'ingresso

Traduzioni completate: 1237182

Sistemi numerici

I sistemi numerici si dividono in due tipologie: posizionale E non posizionale. Usiamo il sistema arabo, è posizionale, ma esiste anche il sistema romano: non è posizionale. Nei sistemi posizionali, la posizione di una cifra in un numero determina in modo univoco il valore di quel numero. Questo è facile da capire guardando un numero come esempio.

Esempio 1. Prendiamo il numero 5921 nel sistema numerico decimale. Numeriamo il numero da destra a sinistra partendo da zero:

Il numero 5921 può essere scritto nella seguente forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Il numero 10 è una caratteristica che definisce il sistema numerico. I valori della posizione di un dato numero sono presi come potenze.

Esempio 2. Considera il reale numero decimale 1234.567. Numeriamolo partendo dalla posizione zero del numero dal punto decimale a sinistra e a destra:

Il numero 1234.567 può essere scritto nella seguente forma: 1234.567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversione di numeri da un sistema numerico a un altro

Maggior parte in modo semplice convertire un numero da un sistema numerico a un altro significa prima convertire il numero in un sistema numerico decimale, quindi il risultato risultante nel sistema numerico richiesto.

Conversione di numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale

Per convertire un numero da qualsiasi sistema numerico in decimale, è sufficiente numerare le sue cifre, iniziando con zero (la cifra a sinistra della virgola decimale) in modo simile agli esempi 1 o 2. Troviamo la somma dei prodotti delle cifre del numero per la base del sistema numerico alla potenza della posizione di questa cifra:

1. Converti il ​​numero 1001101.1101 2 nel sistema numerico decimale.
Soluzione: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Risposta: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Converti il ​​numero E8F.2D 16 nel sistema numerico decimale.
Soluzione: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Risposta: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Conversione di numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Per convertire i numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico, le parti intere e frazionarie del numero devono essere convertite separatamente.

Conversione di una parte intera di un numero da un sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Una parte intera viene convertita da un sistema numerico decimale a un altro sistema numerico dividendo sequenzialmente la parte intera di un numero per la base del sistema numerico finché non si ottiene un resto intero inferiore alla base del sistema numerico. Il risultato della traduzione sarà la registrazione del resto, a partire dall'ultimo.

3. Converti il ​​numero 273 10 nel sistema numerico ottale.
Soluzione: 273/8 = 34 e resto 1. 34/8 = 4 e resto 2. 4 è inferiore a 8, quindi il calcolo è completo. Il record dei saldi sarà simile a questo: 421
Visita medica: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, il risultato è lo stesso. Ciò significa che la traduzione è stata eseguita correttamente.
Risposta: 273 10 = 421 8

Consideriamo la traduzione delle frazioni decimali regolari in vari sistemi numerici.

Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Ricordiamo che è corretto decimale chiamato numero reale con parte intera nulla. Per convertire un tale numero in un sistema numerico con base N, è necessario moltiplicare in sequenza il numero per N finché la parte frazionaria non arriva a zero o non si ottiene il numero di cifre richiesto. Se durante la moltiplicazione si ottiene un numero con una parte intera diversa da zero, la parte intera non viene ulteriormente presa in considerazione, poiché viene inserita in sequenza nel risultato.

4. Converti il ​​numero 0,125 10 nel sistema numerico binario.
Soluzione: 0,125·2 = 0,25 (0 è la parte intera, che diventerà la prima cifra del risultato), 0,25·2 = 0,5 (0 è la seconda cifra del risultato), 0,5·2 = 1,0 (1 è la terza cifra del risultato, e poiché la parte frazionaria è zero, la traduzione è completata).
Risposta: 0.125 10 = 0.001 2

Metodi per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro.

Conversione di numeri da un sistema numerico posizionale a un altro: conversione di numeri interi.

Per convertire un numero intero da un sistema numerico in base d1 a un altro in base d2, è necessario dividere in sequenza questo numero e i quozienti risultanti per la base d2 del nuovo sistema finché non si ottiene un quoziente inferiore alla base d2. L'ultimo quoziente è la cifra più alta del numero in nuovo sistema i numeri con base d2, e i numeri che lo seguono sono resti della divisione, scritti nell'ordine inverso rispetto alla loro ricezione. Esegui operazioni aritmetiche nel sistema numerico in cui è scritto il numero da tradurre.

Esempio 1. Converti il ​​numero 11(10) nel sistema numerico binario.

Risposta: 11(10)=1011(2).

Esempio 2. Converti il ​​numero 122(10) nel sistema numerico ottale.

Risposta: 122(10)=172(8).

Esempio 3. Converti il ​​numero 500(10) nel sistema numerico esadecimale.

Risposta: 500(10)=1F4(16).

Conversione di numeri da un sistema numerico posizionale a un altro: conversione di frazioni proprie.

Per convertire una frazione propria da un sistema numerico con base d1 a un sistema con base d2, è necessario moltiplicare in sequenza la frazione originale e le parti frazionarie dei prodotti risultanti per la base del nuovo sistema numerico d2. La frazione corretta di un numero nel nuovo sistema numerico con base d2 si forma sotto forma di parti intere dei prodotti risultanti, a partire dal primo.
Se la traduzione dà come risultato una frazione sotto forma di serie infinita o divergente, il processo può essere completato una volta raggiunta la precisione richiesta.

Quando si traducono numeri misti, è necessario tradurre separatamente le parti intere e frazionarie in un nuovo sistema secondo le regole per la traduzione di numeri interi e frazioni proprie, e quindi combinare entrambi i risultati in un numero misto nel nuovo sistema numerico.

Esempio 1. Converti il ​​numero 0,625(10) nel sistema numerico binario.

Risposta: 0,625(10)=0,101(2).

Esempio 2. Converti il ​​numero 0,6(10) nel sistema numerico ottale.

Risposta: 0,6(10)=0,463(8).

Esempio 2. Converti il ​​numero 0,7(10) nel sistema numerico esadecimale.

Risposta: 0,7(10)=0,B333(16).

Converti numeri binari, ottali ed esadecimali nel sistema numerico decimale.

Per convertire un numero dal sistema P-ario a uno decimale, è necessario utilizzare la seguente formula di espansione:
an-1…1а0=anPn+ an-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Esempio 1. Converti il ​​numero 101.11(2) nel sistema numerico decimale.

Risposta: 101.11(2)= 5.75(10) .

Esempio 2. Converti il ​​numero 57.24(8) nel sistema numerico decimale.

Risposta: 57.24(8) = 47.3125(10) .

Esempio 3. Converti il ​​numero 7A,84(16) nel sistema numerico decimale.

Risposta: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Conversione di numeri ottali ed esadecimali nel sistema numerico binario e viceversa.

Per convertire un numero dal sistema numerico ottale a quello binario, ciascuna cifra di questo numero deve essere scritta come un numero binario a tre cifre (triade).

Esempio: scrivere il numero 16.24(8) nel sistema numerico binario.

Risposta: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

Per riconvertire un numero binario nel sistema numerico ottale, è necessario dividere il numero originale in triadi a sinistra e a destra del punto decimale e rappresentare ciascun gruppo con una cifra nel sistema numerico ottale. Le triadi estremamente incomplete sono integrate con zeri.

Esempio: scrivere il numero 1110.0101(2) nel sistema numerico ottale.

Risposta: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Per convertire un numero dal sistema numerico esadecimale a quello binario, è necessario scrivere ciascuna cifra di questo numero come un numero binario a quattro cifre (tetrade).

Esempio: scrivere il numero 7A,7E(16) nel sistema numerico binario.


Risposta: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Nota: gli zeri iniziali a sinistra per gli interi e a destra per le frazioni non vengono scritti.

Per riconvertire un numero binario nel sistema numerico esadecimale, è necessario dividere il numero originale in tetradi a sinistra e a destra della virgola decimale e rappresentare ciascun gruppo con una cifra nel sistema numerico esadecimale. Le triadi estremamente incomplete sono integrate con zeri.

Esempio: scrivere il numero 1111010.0111111(2) nel sistema numerico esadecimale.

Per convertire rapidamente i numeri dal sistema decimale al sistema binario, è necessario avere una buona conoscenza dei numeri “2 alla potenza”. Ad esempio, 2 10 =1024, ecc. Ciò ti consentirà di risolvere alcuni esempi di traduzione letteralmente in pochi secondi. Uno di questi compiti è Problema A1 dalla demo USE 2012. Ovviamente puoi impiegare molto tempo e noioso per dividere un numero per “2”. Ma è meglio decidere diversamente, risparmiando tempo prezioso durante l’esame.

Il metodo è molto semplice. Il suo succo è questo: Se il numero che deve essere convertito dal sistema decimale è uguale al numero "2 alla potenza", allora questo numero nel sistema binario contiene un numero di zeri pari alla potenza. Aggiungiamo un "1" davanti a questi zeri.

• Convertiamo il numero 2 dal sistema decimale. 2=2 1 . Pertanto, nel sistema binario, un numero contiene 1 zero. Mettiamo "1" davanti e otteniamo 10 2.
• Convertiamo 4 dal sistema decimale. 4=2 2 . Pertanto, nel sistema binario, un numero contiene 2 zeri. Mettiamo "1" davanti e otteniamo 100 2.
• Convertiamo 8 dal sistema decimale. 8=2 3 . Pertanto, nel sistema binario, un numero contiene 3 zeri. Mettiamo "1" davanti e otteniamo 1000 2.

Allo stesso modo per gli altri numeri "2 alla potenza".

Se il numero da tradurre è meno numero“2 alla potenza” per 1, quindi nel sistema binario questo numero è costituito solo da unità, il cui numero è uguale alla potenza.

• Convertiamo 3 dal sistema decimale. 3=2 2 -1. Pertanto, nel sistema binario, un numero contiene 2 unità. Otteniamo 11 2.
• Convertiamo 7 dal sistema decimale. 7=2 3 -1. Pertanto, nel sistema binario, un numero contiene 3 unità. Otteniamo 111 2.

Nella figura i quadrati indicano la rappresentazione binaria del numero, mentre il colore rosa a sinistra indica la rappresentazione decimale.

La traduzione è simile per gli altri numeri “2 alla potenza-1”.

È chiaro che la traduzione dei numeri da 0 a 8 può essere fatta velocemente oppure per divisione, o semplicemente conoscere a memoria la loro rappresentazione nel sistema binario. Ho fornito questi esempi in modo che tu possa comprendere il principio questo metodo e lo usò per tradurre più "numeri impressionanti", ad esempio per tradurre i numeri 127,128, 255, 256, 511, 512, ecc.

Puoi incontrare tali problemi quando devi tradurre un numero, no uguale al numero"2 al potere", ma vicino ad esso. Può essere maggiore o minore di 2 alla potenza. La differenza tra il numero tradotto e il numero "2 alla potenza" dovrebbe essere piccola. Ad esempio, fino a 3. La rappresentazione dei numeri da 0 a 3 nel sistema binario deve solo essere conosciuta senza traduzione.

Se il numero è maggiore di , risolvi in ​​questo modo:

Per prima cosa convertiamo il numero “2 alla potenza” nel sistema binario. E poi aggiungiamo ad esso la differenza tra il numero “2 alla potenza” e il numero da tradurre.

Ad esempio, convertiamo 19 dal sistema decimale. È maggiore del numero "2 alla potenza" di 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Se il numero è inferiore al numero "2 alla potenza", è più conveniente utilizzare il numero "2 alla potenza-1". Lo risolviamo così:

Per prima cosa convertiamo il numero “2 alla potenza-1” nel sistema binario. E poi sottraiamo da esso la differenza tra il numero “2 alla potenza di 1” e il numero da tradurre.

Ad esempio, convertiamo 29 dal sistema decimale. È maggiore del numero “2 alla potenza-1” di 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Se la differenza tra il numero da tradurre e il numero "2 alla potenza" è superiore a tre, puoi suddividere il numero nei suoi componenti, convertire ciascuna parte nel sistema binario e sommare.

Ad esempio, converti il ​​numero 528 dal sistema decimale. 528=512+16. Traduciamo 512 e 16 separatamente.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Ora aggiungiamolo in una colonna:

Ciao, visitatore del sito! Continuiamo a studiare il protocollo del livello di rete IP e, per essere più precisi, la sua versione IPv4. A prima vista l'argomento Numeri binari e sistema di numerazione binario non ha nulla a che fare con il protocollo IP, ma se ricordiamo che i computer funzionano con zero e uno, si scopre che il sistema binario e la sua comprensione sono la base dei fondamenti, abbiamo bisogno imparare a convertire i numeri da binario a decimale e viceversa: decimale in binario. Questo ci aiuterà a comprendere meglio il protocollo IP, nonché il principio di funzionamento delle maschere di rete a lunghezza variabile. Iniziamo!

Se ti interessa il tema delle reti di computer, puoi leggere altre registrazioni del corso.

4.4.1 Introduzione

Prima di iniziare, vale la pena spiegare perché un ingegnere di rete ha bisogno di questo argomento. Anche se potresti essere convinto della sua necessità quando ne abbiamo parlato, puoi dire che esistono calcolatori IP che facilitano notevolmente il compito di assegnare indirizzi IP, calcolare le maschere di sottorete/rete necessarie e determinare il numero di rete e il numero host nell'indirizzo IP. Esatto, ma il calcolatore IP non è sempre a portata di mano, questo è il motivo numero uno. Il motivo numero due è che agli esami Cisco non ti danno il calcolatore IP e basta. dovrai fare la conversione degli indirizzi IP da decimale a binario su un pezzo di carta, e non sono così poche le domande in cui ciò è richiesto nell'esame/esami per ottenere il certificato CCNA, sarebbe un peccato se l'esame venisse bocciato per una sciocchezza del genere. Infine, la comprensione del sistema dei numeri binari porta a una migliore comprensione del principio di funzionamento.

In generale, un ingegnere di rete non è tenuto a saper convertire a mente i numeri da binario a decimale e viceversa. Inoltre, raramente qualcuno sa come farlo mentalmente; gli insegnanti di vari corsi sulle reti di computer rientrano principalmente in questa categoria, poiché lo incontrano costantemente ogni giorno. Ma con un pezzo di carta e una penna dovresti imparare a tradurre.

4.4.2 Cifre e numeri decimali, cifre nei numeri

Cominciamo in modo semplice e parliamo di cifre e numeri binari, sai che numeri e numeri sono due cose diverse. Un numero è un simbolo speciale per la designazione e un numero è una notazione astratta per la quantità. Ad esempio, per scrivere che abbiamo cinque dita sulla mano, possiamo usare i numeri romani e arabi: V e 5. In questo caso, cinque è sia un numero che una cifra. E, ad esempio, per scrivere il numero 20 utilizziamo due cifre: 2 e 0.

In totale, nel sistema numerico decimale abbiamo dieci cifre o dieci simboli (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), combinando i quali possiamo scrivere numeri diversi. A quale principio siamo guidati quando utilizziamo il sistema di numerazione decimale? Sì, tutto è molto semplice, alziamo dieci in un modo o nell'altro, ad esempio, prendiamo il numero 321. Come può essere scritto diversamente, in questo modo: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Pertanto, risulta che il numero 321 rappresenta tre cifre:

1. Il numero 3 indica la cifra più significativa o in questo caso è la cifra delle centinaia, altrimenti il ​​loro numero.
2. Il numero 2 è nella posizione delle decine, abbiamo due decine.
3. Il numero uno si riferisce alla cifra meno significativa.

Cioè, in questa voce due non è solo due, ma due decine o due volte dieci. E tre non è solo tre, ma tre volte cento. Si ottiene la seguente dipendenza: l'unità di ciascuna cifra successiva è dieci volte maggiore dell'unità della precedente, perché ciò che è 300 è tre volte cento. Una digressione riguardante il sistema decimale si è resa necessaria per facilitare la comprensione del sistema binario.

4.4.3 Cifre e numeri binari, nonché la loro registrazione

Nel sistema numerico binario ci sono solo due cifre: 0 e 1. Pertanto, scrivere un numero nel sistema binario è spesso molto più grande che nel sistema decimale. Ad eccezione dei numeri 0 e 1, lo zero nel sistema numerico binario è uguale a zero nel sistema numerico decimale, e lo stesso vale per l'uno. A volte, per non confondere il sistema numerico in cui è scritto il numero, vengono utilizzati i sottoindici: 267 10, 10100 12, 4712 8. Il numero nel sottoindice indica il sistema numerico.

I simboli 0b e &(e commerciale) possono essere utilizzati per scrivere numeri binari: 0b10111, &111. Se nel sistema numerico decimale, per pronunciare il numero 245 usiamo questa costruzione: duecentoquarantacinque, allora nel sistema numerico binario, per nominare il numero, dobbiamo pronunciare una cifra da ciascuna cifra, ad esempio, il il numero 1100 nel sistema numerico binario non dovrebbe essere pronunciato come millecento, ma come uno, uno, zero, zero. Diamo un'occhiata a scrivere i numeri da 0 a 10 nel sistema numerico binario:

Penso che ormai la logica dovrebbe essere chiara. Se nel sistema numerico decimale per ogni cifra avevamo a disposizione dieci opzioni (da 0 a 9 compreso), allora nel sistema numerico binario in ciascuna delle cifre di un numero binario abbiamo solo due opzioni: 0 o 1.

Per lavorare con indirizzi IP e maschere di sottorete, abbiamo solo bisogno numeri naturali nel sistema numerico binario, sebbene il sistema binario consenta di scrivere frazionario e numeri negativi, ma non ne abbiamo bisogno.

4.4.4 Conversione di numeri da decimale a binario

Diamo un'occhiata migliore a questo come convertire un numero da decimale a binario. E qui in realtà tutto è molto, molto semplice, anche se è difficile da spiegare a parole, quindi lo dirò subito esempio di conversione di numeri da decimale a binario. Prendiamo il numero 61, per convertirlo nel sistema binario dobbiamo dividere questo numero per due e vedere qual è il resto della divisione. E il risultato della divisione viene nuovamente diviso per due. In questo caso 61 è il dividendo, avremo sempre due come divisore, e dividiamo nuovamente il quoziente (il risultato della divisione) per due, continuiamo a dividere finché il quoziente conterrà 1, quest'ultima unità sarà la cifra più a sinistra. L'immagine qui sotto lo dimostra.

Tieni presente che il numero 61 non è 101111, ma 111101, ovvero scriviamo il risultato dalla fine. In quest'ultimo particolare, non ha senso dividere uno per due, poiché in questo caso viene utilizzata la divisione intera, e con questo approccio risulta come nella Figura 4.4.2.

Questo non è il massimo modo rapido convertire un numero da binario a decimale. Abbiamo diversi acceleratori. Ad esempio, il numero 7 in binario si scrive 111, il numero 3 come 11 e il numero 255 come 11111111. Tutti questi casi sono incredibilmente semplici. Il fatto è che i numeri 8, 4 e 256 sono potenze di due e i numeri 7, 3 e 255 sono uno in meno di questi numeri. Quindi, per i numeri che sono uno meno di un numero pari a una potenza di due, vale una regola semplice: nel sistema binario, tale numero decimale viene scritto come un numero di unità pari a una potenza di due. Quindi, ad esempio, il numero 256 è due alla terza potenza, quindi 255 è scritto come 11111111, e il numero 8 è due alla terza potenza, e questo ci dice che 7 nel sistema numerico binario sarà scritto come 111 Bene, capisci, anche come scrivere 256, 4 e 8 nel sistema numerico binario non è difficile, basta aggiungerne uno: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Puoi controllare qualsiasi risultato su una calcolatrice ed è meglio farlo all'inizio.

Come puoi vedere, non abbiamo ancora dimenticato come dividere. E ora possiamo andare avanti.

4.4.5 Conversione di numeri da binario a decimale

Convertire i numeri dal binario è molto più semplice che convertire dal decimale al binario. Come esempio di traduzione, utilizzeremo il numero 11110. Presta attenzione alla tabella seguente, mostra la potenza a cui devi elevare due per ottenere eventualmente un numero decimale.

Per ottenere un numero decimale da questo numero binario, devi moltiplicare ogni numero nella cifra per due alla potenza, quindi aggiungere i risultati della moltiplicazione, è più facile da mostrare:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Apriamo la calcolatrice e assicuriamoci che 30 nel sistema decimale sia 11110 in binario.

Vediamo che tutto è stato fatto correttamente. Dall'esempio è chiaro Convertire un numero da binario a decimale è molto più semplice che riconvertirlo. Per lavorare con sicurezza devi solo ricordare le potenze di due fino a 2 8. Per chiarezza riporto una tabella.

Non abbiamo bisogno di altro, poiché il numero massimo possibile che può essere scritto in un byte (8 bit o otto valori binari) è 255, ovvero in ciascun ottetto dell'indirizzo IP o della maschera di sottorete IPv4, il valore massimo possibile è 255. Ci sono campi in cui sono presenti valori maggiori di 255, ma non abbiamo bisogno di calcolarli.

4.4.6 Addizione, sottrazione, moltiplicazione di numeri binari e altre operazioni con numeri binari

Diamo ora un'occhiata operazioni eseguibili sui numeri binari. Iniziamo con semplici operazioni aritmetiche per poi passare alle operazioni di algebra booleana.

Somma di numeri binari

La somma dei numeri binari non è così difficile: 1+0 =1; 1+1=0 (darò la spiegazione più avanti); 0+0=0. Questi erano semplici esempi dove è stata utilizzata solo una cifra, esaminiamo gli esempi in cui il numero di cifre è più di uno.
101+1101 nel sistema decimale fa 5 + 13 = 18. Contiamo in una colonna.

Il risultato è evidenziato arancia, la calcolatrice dice che abbiamo calcolato correttamente, puoi verificarlo. Ora vediamo perché è successo questo, perché all'inizio avevo scritto che 1+1=0, ma questo vale nel caso in cui abbiamo una sola cifra, per i casi in cui ci sono più cifre, 1+1=10 (o due in decimale), il che è logico.

Quindi guarda cosa succede, eseguiamo addizioni per cifre da destra a sinistra:

1. 1+1=10, scrivi zero e uno va alla cifra successiva.

2. Nella cifra successiva otteniamo 0+0+1=1 (questa unità ci è arrivata dal risultato dell'addizione nel passaggio 1).

4. Qui abbiamo un'unità solo nel secondo numero, ma è stata trasferita anche qui, quindi 0+1+1 = 10.

5. Incolla tutto insieme: 10|0|1|0.

Se sei pigro in una colonna, contiamo così: 101011+11011 o 43 + 27 = 70. Cosa possiamo fare qui, ma guardiamo, perché nessuno ci vieta di fare trasformazioni e cambiare i posti delle termini non cambia la somma, per il sistema numerico binario anche questa regola è rilevante.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Puoi controllare con una calcolatrice, 1000110 in binario è 70 in decimale.

Sottrazione di numeri binari

Immediatamente un esempio per sottrarre numeri a una cifra nel sistema numerico binario, non abbiamo parlato di numeri negativi, quindi non teniamo conto dello 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Se c'è più di una cifra, anche tutto è semplice, non hai nemmeno bisogno di colonne o trucchi: 110111 – 1000, è uguale a 55 – 8. Di conseguenza, otteniamo 101111. E il cuore ha smesso di battere, da dove viene l'unità nella terza cifra (numerazione da sinistra a destra e partendo da zero)? È semplice! Nella seconda cifra del numero 110111 c'è 0, e nella prima cifra c'è 1 (se assumiamo che la numerazione delle cifre inizi da 0 e vada da sinistra a destra), ma l'unità della quarta cifra si ottiene da aggiungendo due unità della terza cifra (si ottiene una specie di due virtuale) e da questo Per i due sottraiamo uno, che è nella cifra zero del numero 1000, e 2 - 1 = 1, e 1 è una cifra valida nel sistema numerico binario.

Moltiplicazione di numeri binari

Resta da considerare la moltiplicazione dei numeri binari, che viene implementata spostando un bit a sinistra. Ma prima, diamo un'occhiata ai risultati della moltiplicazione a una cifra: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. In realtà, tutto è semplice, ora consideriamo qualcosa di più complesso. Prendiamo i numeri 101001 (41) e 1100 (12). Moltiplicheremo per colonna.

Se dalla tabella non è chiaro come ciò sia accaduto, proverò a spiegare a parole:

1. È conveniente moltiplicare i numeri binari in una colonna, quindi scriviamo il secondo fattore sotto il primo, se i numeri hanno numeri di cifre diversi, allora sarà più conveniente se numero maggiore sarà in cima.
2. Il passo successivo è moltiplicare tutte le cifre del primo numero per la cifra più bassa del secondo numero. Scriviamo il risultato della moltiplicazione di seguito; dobbiamo scriverlo in modo che sotto ogni cifra corrispondente sia scritto il risultato della moltiplicazione.
3. Ora dobbiamo moltiplicare tutte le cifre del primo numero per la cifra successiva del secondo numero e scrivere il risultato un'altra riga sotto, ma questo risultato deve essere spostato di una cifra a sinistra se guardi la tabella, questo è la seconda sequenza di zeri dall'alto.
4. Lo stesso deve essere fatto per le cifre successive, spostando ogni volta una cifra a sinistra, e se guardi la tabella, puoi dire quella cella a sinistra.
5. Ne abbiamo quattro numeri binari, che ora devono essere aggiunti e ottenere il risultato. Recentemente abbiamo esaminato l'addizione, non dovrebbero esserci problemi.

In generale l’operazione di moltiplicazione non è poi così difficile, basta solo un po’ di pratica.

Operazioni di algebra booleana

Ci sono due concetti molto importanti nell'algebra booleana: vero e falso, il cui equivalente è zero e uno nel sistema numerico binario. Gli operatori di algebra booleana espandono il numero di operatori disponibili su questi valori, diamo un'occhiata a loro.

Operazione logica AND o AND

L'operazione AND logico o AND equivale a moltiplicare i numeri binari a una cifra.

1 E 1 = 1; 1 E 0 = 1; 0 E 0 = 0; 0 E 1 = 0.

1 E 1 = 1 ; 1 E 0 = 1 ; 0 E 0 = 0 ; 0 E 1 = 0.

Il risultato di “Logical AND” sarà uno solo se entrambi i valori sono uguali a uno; in tutti gli altri casi sarà zero.

Operazione "OR logico" o OR

L'operazione "OR logico" o OR funziona secondo il seguente principio: se almeno un valore è uguale a uno, il risultato sarà uno.

1 O 1 = 1; 1 O 0 = 1; 0 O 1 = 1; 0 OPPURE 0 = 0.

1 O 1 = 1; 1 O 0 = 1; 0 O 1 = 1; 0 OPPURE 0 = 0.

Operazione OR o XOR esclusiva

L'operazione "OR esclusivo" o XOR ci darà come risultato uno solo se uno degli operandi è uguale a uno e il secondo è uguale a zero. Se entrambi gli operandi sono uguali a zero, il risultato sarà zero e anche se entrambi gli operandi sono uguali a uno, il risultato sarà zero.