במאמר נשקול פתרון אי שוויון. נספר לכם בבירור על איך לבנות פתרון לאי שוויון, עם דוגמאות ברורות!

לפני שנבחן את פתרון אי השוויון באמצעות דוגמאות, בואו נבין את המושגים הבסיסיים.

מידע כללי על אי שוויון

אי שיוויוןהוא ביטוי שבו פונקציות מחוברות באמצעות סימני יחס >, . אי שוויון יכול להיות גם מספרי וגם מילולי.
אי שוויון עם שני סימני יחס נקראים כפול, עם שלוש - משולש וכו'. לדוגמה:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) אי-שוויון המכילים את הסימן > או או - אינם נוקשים.
פתרון אי השוויוןהוא כל ערך של המשתנה שעבורו אי השוויון הזה יהיה נכון.
"לפתור אי שוויון" פירושו שעלינו למצוא את המכלול של כל הפתרונות שלו. ישנם שונים שיטות לפתרון אי שוויון. ל פתרונות אי שוויוןהם משתמשים בקו המספרים, שהוא אינסופי. לדוגמה, פתרון לאי שוויון x > 3 הוא המרווח מ-3 עד +, והמספר 3 אינו כלול במרווח זה, לכן הנקודה על הישר מסומנת בעיגול ריק, מכיוון אי השוויון הוא קפדני.
+
התשובה תהיה: x (3; +).
הערך x=3 אינו כלול בערכת הפתרונות, ולכן הסוגריים הם עגולים. סימן האינסוף תמיד מודגש בסוגריים. משמעות השלט היא "שייכות".
בואו נסתכל כיצד לפתור אי שוויון באמצעות דוגמה נוספת עם סימן:
x 2
-+
הערך x=2 כלול בקבוצת הפתרונות, כך שהסוגר הוא מרובע והנקודה על הקו מסומנת בעיגול מלא.
התשובה תהיה: x. הדוגמה הבאה משתמשת בסוגריים כאלה.

נרשום את התשובה: x ≥ -0,5 במרווחים:

x ∈ [-0.5; +∞)

קורא: x שייך למרווח ממינוס 0.5, לְרַבּוֹת,עד פלוס אינסוף.

לעולם אי אפשר להפעיל את האינסוף. זה לא מספר, זה סמל. לכן, בסימונים כאלה, אינסוף תמיד צמוד לסוגריים.

צורת הקלטה זו נוחה לתשובות מורכבות המורכבות ממספר חללים. אבל - רק לתשובות סופיות. בתוצאות ביניים, שבהן צפוי פתרון נוסף, עדיף להשתמש בצורה הרגילה, בצורה של אי שוויון פשוט. נעסוק בכך בנושאים הרלוונטיים.

משימות פופולריות עם אי שוויון.

אי השוויון הליניארי עצמם פשוטים. לכן, משימות הופכות לרוב לקשות יותר. אז היה צריך לחשוב. זה, אם אתה לא רגיל לזה, לא מאוד נעים.) אבל זה שימושי. אראה דוגמאות למשימות כאלה. לא בשבילך ללמוד אותם, זה מיותר. וכדי לא לפחד כשפוגשים דוגמאות כאלה. רק תחשוב קצת - וזה פשוט!)

1. מצא שני פתרונות כלשהם לאי השוויון 3x - 3< 0

אם לא מאוד ברור מה לעשות, זכור את הכלל העיקרי של המתמטיקה:

אם אתה לא יודע מה אתה צריך, עשה מה שאתה יכול!)

איקס < 1

ומה? שום דבר מיוחד. מה הם שואלים אותנו? אנו מתבקשים למצוא שני מספרים ספציפיים שהם הפתרון לאי שוויון. הָהֵן. מתאים לתשובה. שתיים כלמספרים. למעשה, זה מבלבל.) כמה 0 ו-0.5 מתאימים. זוג -3 ו -8. יש אינסוף זוגות כאלה! איזו תשובה נכונה?!

אני עונה: הכל! כל זוג מספרים, שכל אחד מהם קטן מאחד, תהיה התשובה הנכונה.כתוב איזה מהם אתה רוצה. בוא נמשיך הלאה.

2. לפתור את אי השוויון:

4x - 3 ≠ 0

משימות בצורה זו נדירות. אבל, בתור אי-שוויון עזר, כשמוצאים ODZ, למשל, או כשמוצאים את תחום ההגדרה של פונקציה, הם מתרחשים כל הזמן. אי שוויון ליניארי כזה ניתן לפתור כמשוואה ליניארית רגילה. רק בכל מקום חוץ מהסימן "=" ( שווים) שימו שלט " ≠ " (לא שווה). כך ניגשים לתשובה, עם סימן אי שוויון:

איקס ≠ 0,75

בעוד דוגמאות מורכבות, עדיף לעשות דברים אחרת. לעשות אי שוויון משוויון. ככה:

4x - 3 = 0

פתרו אותה בשלווה כפי שלימדו ותקבלו את התשובה:

x = 0.75

העיקר הוא שבסוף, כשכותבים את התשובה הסופית, אל תשכח שמצאנו את x, שנותן שוויון.ואנחנו צריכים - אי שיוויון.לכן, אנחנו לא באמת צריכים את ה-X הזה.) ואנחנו צריכים לרשום אותו עם הסמל הנכון:

איקס ≠ 0,75

גישה זו מביאה לפחות שגיאות. אלה שפותרים משוואות באופן אוטומטי. ולמי שלא פותר משוואות, אי-שוויון, למעשה, לא מועיל...) דוגמה נוספת למשימה פופולרית:

3. מצא את הפתרון השלם הקטן ביותר לאי השוויון:

3(x - 1) < 5x + 9

ראשית אנחנו פשוט פותרים את אי השוויון. אנחנו פותחים את הסוגריים, מזיזים אותם, מביאים דומים... אנחנו מקבלים:

איקס > - 6

זה לא הסתדר ככה!? עקבת אחר השילוט!? ומאחורי סימני החברים, ומאחורי סימן אי השוויון...

בואו נחשוב שוב. עלינו למצוא מספר מסוים שתואם הן את התשובה והן את התנאי "המספר השלם הקטן ביותר".אם זה לא עולה לך מיד, אתה יכול פשוט לקחת כל מספר ולהבין אותו. שניים מעל מינוס שש? בְּהֶחלֵט! האם יש מספר מתאים יותר קטן? כמובן. לדוגמה, אפס גדול מ-6. ואפילו פחות? אנחנו צריכים את הדבר הכי קטן שאפשר! מינוס שלוש זה יותר ממינוס שש! אתה כבר יכול לתפוס את הדפוס ולהפסיק לעבור בטיפשות על המספרים, נכון?)

בואו ניקח מספר קרוב יותר ל-6. לדוגמה, -5. התשובה מתגשמה, -5 > - 6. האם ניתן למצוא מספר אחר קטן מ-5 אך גדול מ-6? אתה יכול, למשל, -5.5... עצור! נאמר לנו כֹּלפִּתָרוֹן! לא מתגלגל -5.5! מה עם מינוס שש? אה-אה! אי השוויון הוא קפדני, מינוס 6 הוא לא פחות ממינוס 6!

לכן, התשובה הנכונה היא -5.

בתקווה עם מבחר ערכים מ פתרון כלליהכל ברור. דוגמה אחרת:

4. לפתור אי שוויון:

7 < 3x+1 < 13

וואו! ביטוי זה נקרא אי שוויון משולש.למהדרין, זוהי צורה מקוצרת של מערכת אי-שוויון. אבל אי-שוויון משולש שכזה עדיין צריך להיפתר בכמה משימות... אפשר לפתור בלי שום מערכות. לפי אותם טרנספורמציות זהות.

אנחנו צריכים לפשט, להביא את אי השוויון הזה ל-X טהור. אבל... מה צריך להזיז לאן?! זה המקום שבו הגיע הזמן לזכור כי נעים ימינה ושמאלה טופס מקוצרשינוי זהות ראשון.

א טופס מלאנשמע כך: ניתן להוסיף/לגרוע כל מספר או ביטוי לשני הצדדים של המשוואה (אי-שוויון).

יש כאן שלושה חלקים. אז נחיל טרנספורמציות זהות על כל שלושת החלקים!

אז בואו ניפטר מהחלק האמצעי של אי השוויון. בוא נחסר אחד מכל החלק האמצעי. כדי שהאי-שוויון לא ישתנה, נחסר אחד משני החלקים הנותרים. ככה:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

זה עדיף, נכון?) כל שנותר הוא לחלק את שלושת החלקים לשלושה:

2 < איקס < 4

זה הכל. זו התשובה. X יכול להיות כל מספר משני (לא כולל) עד ​​ארבע (לא כולל). גם תשובה זו נכתבת במרווחים; ערכים כאלה יהיו באי-שוויון ריבועי. שם הם הדבר הנפוץ ביותר.

בסוף השיעור אחזור על הדבר החשוב ביותר. הצלחה בפתרון אי שוויון ליניאריתלוי ביכולת להפוך ולפשט משוואות ליניאריות. אם במקביל שימו לב לסימן אי השוויון,לא יהיו בעיות. זה מה שאני מאחל לך. אין בעיות.)

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

מה קרה "אי שוויון ריבועי"?אין שאלה!) אם אתה לוקח כלמשוואה ריבועית והחלפת הסימן בה "=" (שווה) לכל סימן אי שוויון ( > ≥ < ≤ ≠ ), נקבל אי שוויון ריבועי. לדוגמה:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

טוב, אתה מבין...)

לא בכדי קישרתי כאן משוואות ואי-שוויון. הנקודה היא שהשלב הראשון בפתרון כלאי שוויון ריבועי - לפתור את המשוואה שממנה נוצר אי השוויון הזה.מסיבה זו - חוסר יכולת להחליט משוואות ריבועיותמוביל אוטומטית לכישלון מוחלט באי שוויון. האם הרמז ברור?) אם כבר, תסתכל כיצד לפתור משוואות ריבועיות כלשהן. הכל מתואר שם בפירוט. ובשיעור זה נעסוק באי שוויון.

לאי השוויון מוכן לפתרון יש את הצורה: בצד שמאל יש טרינום ריבועי ax 2 +bx+c, מימין - אפס.סימן אי השוויון יכול להיות כל דבר. שתי הדוגמאות הראשונות כאן כבר מוכנים לקבל החלטה.עוד צריך להכין את הדוגמה השלישית.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

תֵאוֹרִיָה:

בעת פתרון אי שוויון, נעשה שימוש בכללים הבאים:

1. ניתן להעביר כל מונח של אי השוויון מחלק אחד
אי שוויון לתוך אחר עם הסימן ההפוך, אבל הסימן של אי השוויון לא משתנה.

2. ניתן להכפיל או לחלק את שני הצדדים של אי השוויון באחד
ואותו מספר חיובי מבלי לשנות את סימן אי השוויון.

3. ניתן להכפיל או לחלק את שני הצדדים של אי השוויון באחד
וגם מספר שלילי, שינוי סימן אי השוויון ל
מול.

לפתור אי שוויון − 8 x + 11< − 3 x − 4
פִּתָרוֹן.

1. בואו נזיז את הפין - 3 x V צד שמאלאי השוויון, והמונח 11 - V צד ימיןאי שוויון, במקביל אנו משנים את הסימנים להפוכים - 3 xוב 11 .
ואז אנחנו מקבלים

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

- 5 x< − 15

2. בואו נחלק את שני הצדדים של אי השוויון - 5 x< − 15 למספר שלילי − 5 , וסימן אי השוויון < , ישתנה ל > , כלומר אנו עוברים לאי שוויון במשמעות הפוכה.
אנחנו מקבלים:

- 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3- פתרון של אי שוויון נתון.

שים לב!

ישנן שתי אפשרויות לכתיבת פתרון: x > 3או כמרווח מספר.

נסמן את קבוצת הפתרונות לאי השוויון על קו המספרים ונכתוב את התשובה בצורה של מרווח מספרי.

x ∈ (3 ; + ∞ )

תשובה: x > 3אוֹ x ∈ (3 ; + ∞ )

אי שוויון אלגברי.

אי שוויון ריבועי. אי שוויון רציונלי של דרגות גבוהות יותר.

שיטות לפתרון אי שוויון תלויות בעיקר באיזו מחלקה שייכות הפונקציות המרכיבות את אי השוויון.

1. אני. אי שוויון ריבועי, כלומר אי שוויון של הצורה

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

כדי לפתור את אי השוויון אתה יכול:

1. גורם לטרינום הריבועי, כלומר לכתוב את אי השוויון בצורה

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. שרטו את שורשי הפולינום על קו המספרים. השורשים מחלקים את קבוצת המספרים הממשיים למרווחים, שבכל אחד מהם יש מקביל פונקציה ריבועיתיהיה בסימן קבוע.
2. קבע את הסימן של a (x - x 1) (x - x 2) בכל מרווח ורשום את התשובה.

אם לטרינום מרובע אין שורשים, אז עבור D<0 и a>0 טרינום ריבועי חיובי עבור כל x.

• לפתור אי שוויון. x 2 + x - 6 > 0.

חשב את הטרינום הריבועי (x + 3) (x - 2) > 0

תשובה: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

אי שוויון זה נכון לכל x מלבד x = 6.

תשובה: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

כאן ד< 0, a = 1 >0. הטרינום הריבועי חיובי עבור כל x.

תשובה: x Î Ø.

לפתור אי שוויון:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. תשובה:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. תשובה:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. תשובה:
5. עבור אילו ערכים של a עושה אי השוויון

x² - ax > מחזיק עבור כל x? תשובה:

1. II. אי שוויון רציונלי של דרגות גבוהות יותר,כלומר, אי-שוויון של הצורה

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

פולינום הדרגה הגבוהה ביותרצריך להיות גורם לגורמים, כלומר, אי השוויון צריך להיות כתוב בצורה

a n (x - x 1) (x - x 2) ·...· (x - x n) > 0 (<0).

סמן את הנקודות על קו המספרים שבהן הפולינום נעלם.

קבע את הסימנים של הפולינום בכל מרווח.

1) פתור את אי השוויון x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). אז x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

תשובה: (0; 1) (2; 3).

2) פתור את אי השוויון (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

הבה נסמן את הנקודות על ציר המספרים שבהן הפולינום נעלם. אלה הם x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

בנקודה x = - ½ אין שינוי של סימן מכיוון שהבינומיאל (2x + 1) מורם לחזקה זוגית, כלומר, הביטוי (2x + 1) 4 אינו משנה סימן במעבר דרך הנקודה x = - ½.

תשובה: (-∞; -2) (½; 1).

3) פתור את אי השוויון: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

אי שוויון זה שווה ערך לקבוצה הבאה

הפתרון ל-(1) הוא x (-∞; -2) (3; +∞). הפתרון ל-(2) הוא x = 0, x = -2, x = 3. בשילוב הפתרונות שהתקבלו, נקבל x О (-∞; -2] (0) (0) )