הַגדָרָה.תן לפונקציה \(y = f(x)\) להיות מוגדרת במרווח מסוים המכיל את הנקודה \(x_0\). בואו ניתן לארגומנט תוספת \(\Delta x \) כך שהוא לא יעזוב את המרווח הזה. בוא נמצא את התוספת המתאימה של הפונקציה \(\Delta y \) (בעת מעבר מהנקודה \(x_0 \) לנקודה \(x_0 + \Delta x \)) ונרכיב את היחס \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). אם יש מגבלה ליחס זה ב-\(\Delta x \rightarrow 0\), אז הגבול שצוין נקרא נגזרת של פונקציה\(y=f(x) \) בנקודה \(x_0 \) וסמן \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

הסמל y משמש לעתים קרובות לציון הנגזרת. שימו לב ש-y" = f(x) היא פונקציה חדשה, אך קשורה באופן טבעי לפונקציה y = f(x), המוגדרת בכל הנקודות x שבהן קיים הגבול הנ"ל. פונקציה זו נקראת כך: נגזרת של הפונקציה y = f(x).

משמעות גיאומטרית של נגזרתהוא כדלקמן. אם אפשר לשרטט משיק לגרף של הפונקציה y = f(x) בנקודה עם האבססיס x=a, שאינה מקבילה לציר y, אז f(a) מבטא את השיפוע של המשיק :
\(k = f"(a)\)

מכיוון ש-\(k = tg(a) \), אז השוויון \(f"(a) = tan(a) \) נכון.

עכשיו בואו נפרש את ההגדרה של נגזרת מנקודת מבט של שוויון משוער. תן לפונקציה \(y = f(x)\) נגזרת בנקודה מסוימת \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
המשמעות היא שבסמוך לנקודה x השוויון המשוער \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), כלומר \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ דלתא x\). המשמעות המשמעותית של השוויון המשוער המתקבל היא כדלקמן: התוספת של הפונקציה היא "כמעט פרופורציונלית" לתוספת של הארגומנט, ומקדם המידתיות הוא הערך של הנגזרת ב נקודה נתונהאיקס. לדוגמה, עבור הפונקציה \(y = x^2\) השוויון המשוער \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) חוקי. אם ננתח היטב את ההגדרה של נגזרת, נגלה שהיא מכילה אלגוריתם למציאתה.

בואו ננסח את זה.

איך למצוא את הנגזרת של הפונקציה y = f(x)?

1. תקן את הערך של \(x\), מצא את \(f(x)\)
2. תן לארגומנט \(x\) תוספת \(\Delta x\), עבור לנקודה חדשה \(x+ \Delta x \), מצא את \(f(x+ \Delta x) \)
3. מצא את התוספת של הפונקציה: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. צור את היחס \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. חשב $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
הגבול הזה הוא הנגזרת של הפונקציה בנקודה x.

אם לפונקציה y = f(x) יש נגזרת בנקודה x, אז היא נקראת דיפרנציאלית בנקודה x. ההליך למציאת הנגזרת של הפונקציה y = f(x) נקרא בידולפונקציות y = f(x).

הבה נדון בשאלה הבאה: כיצד המשכיות והבדלות של פונקציה בנקודה קשורות זו לזו?

תנו לפונקציה y = f(x) להיות ניתנת להבדלה בנקודה x. אז ניתן למשוך משיק לגרף של הפונקציה בנקודה M(x; f(x)), וכזכור, מקדם הזוויתי של המשיק שווה ל-f "(x). גרף כזה לא יכול "להישבר" בנקודה M, כלומר הפונקציה חייבת להיות רציפה בנקודה x.

אלה היו טיעונים "מעשיים". הבה נביא נימוק קפדני יותר. אם הפונקציה y = f(x) ניתנת להבדלה בנקודה x, אזי השוויון המשוער \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) מתקיים. אם בשוויון זה \(\Delta x \) שואף לאפס, ואז \(\Delta y \) ישטה לאפס, וזה התנאי להמשכיות הפונקציה בנקודה.

כך, אם פונקציה ניתנת להבדלה בנקודה x, אז היא רציפה בנקודה זו.

ההצהרה ההפוכה אינה נכונה. לדוגמה: פונקציה y = |x| הוא רציף בכל מקום, במיוחד בנקודה x = 0, אך המשיק לגרף של הפונקציה ב"נקודת הצומת" (0; 0) אינו קיים. אם בשלב מסוים לא ניתן למשוך משיק לגרף של פונקציה, אז הנגזרת לא קיימת באותה נקודה.

עוד דוגמה אחת. הפונקציה \(y=\sqrt(x)\) רציפה על כל קו המספרים, כולל בנקודה x = 0. והמשיק לגרף של הפונקציה קיים בכל נקודה, כולל בנקודה x = 0 אבל בנקודה זו המשיק חופף לציר y, כלומר, הוא מאונך לציר האבססיס, למשוואה שלו יש את הצורה x = 0. מקדם שיפועלשורה כזו אין, מה שאומר שגם \(f"(0) \) לא קיים

אז הכרנו תכונה חדשה של פונקציה - דיפרנציאליות. איך אפשר להסיק מהגרף של פונקציה שהיא ניתנת להבדלה?

התשובה ניתנה למעשה למעלה. אם בשלב מסוים ניתן לשרטט משיק לגרף של פונקציה שאינה מאונך לציר האבשיסה, הרי שבנקודה זו הפונקציה ניתנת להבדלה. אם בשלב מסוים המשיק לגרף של פונקציה לא קיים או שהוא מאונך לציר האבשיסה, אז בשלב זה הפונקציה אינה ניתנת להבדלה.

כללי בידול

פעולת מציאת הנגזרת נקראת בידול. בעת ביצוע פעולה זו, לעתים קרובות אתה צריך לעבוד עם מנות, סכומים, מוצרים של פונקציות, כמו גם "פונקציות של פונקציות", כלומר, פונקציות מורכבות. בהתבסס על ההגדרה של נגזרת, נוכל לגזור כללי בידול שמקלים על העבודה הזו. אם C הוא מספר קבוע ו-f=f(x), g=g(x) הן כמה פונקציות שניתן להבדיל, אז הדברים הבאים נכונים כללי בידול:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ נגזרת פונקציה מורכבת:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

טבלת נגזרות של כמה פונקציות

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

לאחר הכנה ארטילרית מקדימה, דוגמאות עם 3-4-5 קינון של פונקציות יהיו פחות מפחידות. שתי הדוגמאות הבאות עשויות להיראות מסובכות לחלק, אבל אם תבינו אותן (מישהו יסבול), אז כמעט כל השאר בחשבון דיפרנציאלי ייראה כמו בדיחה של ילד.

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של פונקציה

כפי שכבר צוין, כאשר מוצאים את הנגזרת של פונקציה מורכבת, קודם כל, זה הכרחי ימיןהבן את ההשקעות שלך. במקרים בהם יש ספקות, אני מזכיר לך טריק שימושי: אנו לוקחים את המשמעות הניסיונית של "x", למשל, ומנסים (מנטלית או בטיוטה) להחליף את המשמעות הזו ב"ביטוי הנורא".

1) ראשית עלינו לחשב את הביטוי, כלומר הסכום הוא ההטבעה העמוקה ביותר.

2) אז אתה צריך לחשב את הלוגריתם:

4) ואז קוביות את הקוסינוס:

5) בשלב החמישי ההבדל:

6) ולבסוף, הכי הרבה פונקציה חיצוניתהוא השורש הריבועי:

נוסחה להבדיל פונקציה מורכבת מוחלים בסדר הפוך, מהפונקציה החיצונית ביותר אל הפנימית ביותר. אנחנו מחליטים:

נראה ללא שגיאות:

1) קח את הנגזרת של השורש הריבועי.

2) קח את הנגזרת של ההפרש באמצעות הכלל

3) הנגזרת של משולש היא אפס. במונח השני ניקח את הנגזרת של התואר (קוביה).

4) קח את הנגזרת של הקוסינוס.

6) ולבסוף, אנו לוקחים את הנגזרת של ההטבעה העמוקה ביותר.

זה אולי נראה קשה מדי, אבל זו לא הדוגמה האכזרית ביותר. קח, למשל, את האוסף של קוזנצוב ותעריך את כל היופי והפשטות של הנגזרת המנותחת. שמתי לב שהם אוהבים לתת דבר דומה בבחינה כדי לבדוק אם תלמיד מבין איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת או לא מבין.

הדוגמה הבאה היא בשבילך לפתור בעצמך.

דוגמה 3

מצא את הנגזרת של פונקציה

רמז: ראשית אנו מיישמים את כללי הליניאריות ואת כלל בידול המוצר

פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הגיע הזמן לעבור למשהו קטן ונחמד יותר.
זה לא נדיר שדוגמה מציגה את המכפלה של לא שתיים, אלא שלוש פונקציות. כיצד למצוא את הנגזרת של המכפלה של שלושה גורמים?

דוגמה 4

מצא את הנגזרת של פונקציה

ראשית נסתכל, האם ניתן להפוך את המכפלה של שלוש פונקציות למכפלה של שתי פונקציות? לדוגמה, אם היו לנו שני פולינומים במכפלה, אז נוכל לפתוח את הסוגריים. אבל בדוגמה הנבדקת, כל הפונקציות שונות: תואר, מעריך ולוגריתם.

במקרים כאלה זה הכרחי ברצףלהחיל את כלל בידול המוצרים פעמיים

החוכמה היא שבאמצעות "y" אנו מסמנים את המכפלה של שתי פונקציות: , וב-"ve" אנו מסמנים את הלוגריתם: . מדוע ניתן לעשות זאת? באמת - זה לא תוצר של שני גורמים והכלל לא עובד?! אין שום דבר מסובך:

כעת נותר ליישם את הכלל פעם שנייה לסוגר:

אתה יכול גם להתפתל ולשים משהו בסוגריים, אבל במקרה זה עדיף להשאיר את התשובה בדיוק בטופס הזה - זה יהיה קל יותר לבדוק.

ניתן לפתור את הדוגמה הנחשבת בדרך השנייה:

שני הפתרונות שווים לחלוטין.

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של פונקציה

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי, במדגם פותרים אותו בשיטה הראשונה.

בואו נסתכל על דוגמאות דומות עם שברים.

דוגמה 6

מצא את הנגזרת של פונקציה

ישנן מספר דרכים שאתה יכול ללכת כאן:

או ככה:

אבל הפתרון ייכתב בצורה קומפקטית יותר אם נשתמש קודם כל בכלל ההבחנה של המנה , לוקח עבור כל המונה:

באופן עקרוני, הדוגמה נפתרת, ואם היא נשארת כפי שהיא, זו לא תהיה טעות. אבל אם יש לך זמן, תמיד מומלץ לבדוק טיוטה כדי לראות אם ניתן לפשט את התשובה?

בואו נצמצם את הביטוי של המונה למכנה משותף ונפטר מהמבנה בן שלוש הקומות של השבר:

החיסרון של הפשטות נוספות הוא שקיים סיכון לטעות לא בעת מציאת הנגזרת, אלא במהלך טרנספורמציות בית ספריות בנאליות. מצד שני, מורים לעתים קרובות דוחים את המטלה ומבקשים "להעלות על הדעת" את הנגזרת.

דוגמה פשוטה יותר לפתרון בעצמך:

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה

אנו ממשיכים לשלוט בשיטות מציאת הנגזרת, וכעת נשקול מקרה טיפוסי כאשר הלוגריתם "הנורא" מוצע להבדלה

בספרי לימוד "ישנים" זה נקרא גם כלל "השרשרת". אז אם y = f (u), ו-u = φ (x), זה

y = f (φ (x))

מורכב - פונקציה מורכבת (הרכב פונקציות) אז

איפה , לאחר חישוב נחשב ב u = φ (x).

שימו לב שכאן לקחנו קומפוזיציות "שונות" מאותן פונקציות, והתוצאה של הבידול התבררה באופן טבעי כתלויה בסדר ה"ערבוב".

כלל השרשרת משתרע באופן טבעי על קומפוזיציות של שלוש או יותר פונקציות. במקרה זה, יהיו שלושה או יותר "קישורים" ב"שרשרת" המרכיבה את הנגזרת. הנה אנלוגיה לכפל: "יש לנו" טבלת נגזרות; "שם" - לוח הכפל; "אצלנו" הוא כלל השרשרת ו"יש" הוא כלל הכפל של "עמודה". בעת חישוב נגזרות "מורכבות" כאלה, כמובן, לא מוצגים ארגומנטים עזר (u¸v וכו'), אך לאחר שציינו בעצמם את מספר ורצף הפונקציות המעורבות בהרכב, הקישורים המתאימים "מתוחמים" בסדר המצוין.

. כאן, עם ה-"x" כדי לקבל את הערך של ה-"y", מבוצעות חמש פעולות, כלומר יש הרכב של חמש פונקציות: "חיצוני" (האחרונה שבהן) - מעריכי - e  ; ואז בסדר הפוך, כוח. (♦) 2 ; חטא טריגונומטרי(); שָׁקֵט וּרָגוּעַ. () 3 ולבסוף ln.( לוגריתמי). בגלל זה

בעזרת הדוגמאות הבאות "נהרוג זוגות ציפורים במכה אחת": נתרגל הבחנה של פונקציות מורכבות ונוסיף לטבלת הנגזרות פונקציות אלמנטריות. כך:

4. עבור פונקציית חזקה - y = x α - כתיבה מחדש באמצעות ה"בסיסי" הידוע זהות לוגריתמית" - b=e ln b - בצורה x α = x α ln x שאנו מקבלים

5. בחינם פונקציה מעריכיתבאמצעות אותה טכניקה שתהיה לנו

6. עבור פונקציה לוגריתמית שרירותית, באמצעות הנוסחה הידועה למעבר לבסיס חדש, אנו משיגים באופן עקבי

.

7. כדי להבדיל את הטנגנס (קוטנגנט), אנו משתמשים בכלל להבדיל מנות:

כדי לקבל את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות, אנו משתמשים ביחס שמסופק על ידי הנגזרות של שתי פונקציות הפוכות זו לזו, כלומר, הפונקציות φ (x) ו-f (x) הקשורות ליחסים:

זה היחס

זה מנוסחה זו עבור פונקציות הפוכות הדדית

ו
,

לבסוף, הבה נסכם את הנגזרות הללו ועוד כמה נגזרות נוספות שמתקבלות גם הן בקלות בטבלה הבאה.

נגזרת של פונקציה מורכבת. דוגמאות לפתרונות

בשיעור זה נלמד כיצד למצוא נגזרת של פונקציה מורכבת. השיעור הוא המשך הגיוני של השיעור איך למצוא את הנגזרת?, שבו בחנו את הנגזרות הפשוטות ביותר, וכן התוודענו לכללי ההבחנה ולכמה טכניקות טכניות למציאת נגזרות. לפיכך, אם אתה לא טוב מאוד עם נגזרות של פונקציות או שנקודות מסוימות במאמר זה אינן ברורות לחלוטין, קרא תחילה את השיעור שלעיל. נא להיכנס לאווירה רצינית - החומר לא פשוט, אבל בכל זאת אנסה להציג אותו בצורה פשוטה וברורה.

בפועל, אתה צריך להתמודד עם הנגזרת של פונקציה מורכבת לעתים קרובות מאוד, אפילו הייתי אומר, כמעט תמיד, כשנותנים לך משימות למצוא נגזרות.

אנו מסתכלים בטבלה על הכלל (מס' 5) להבדיל בין פונקציה מורכבת:

בוא נבין את זה. קודם כל, בואו נשים לב לערך. כאן יש לנו שתי פונקציות - ו , והפונקציה, באופן פיגורטיבי, מקוננת בתוך הפונקציה . פונקציה מסוג זה (כאשר פונקציה אחת מקוננת בתוך אחרת) נקראת פונקציה מורכבת.

אני אקרא לפונקציה פונקציה חיצונית, והפונקציה – פונקציה פנימית (או מקוננת)..

! הגדרות אלו אינן תיאורטיות ואינן אמורות להופיע בעיצוב הסופי של מטלות. אני משתמש בביטויים לא פורמליים "פונקציה חיצונית", פונקציה "פנימית" רק כדי להקל עליך להבין את החומר.

כדי להבהיר את המצב, שקול:

דוגמה 1

מצא את הנגזרת של פונקציה

מתחת לסינוס יש לנו לא רק את האות "X", אלא ביטוי שלם, כך שמציאת הנגזרת מיד מהטבלה לא תעבוד. אנחנו גם שמים לב שאי אפשר ליישם כאן את ארבעת הכללים הראשונים, נראה שיש הבדל, אבל העובדה היא שאי אפשר "לקרוע את הסינוס לחתיכות":

בדוגמה זו, כבר אינטואיטיבית ברור מההסברים שלי שפונקציה היא פונקציה מורכבת, והפולינום הוא פונקציה פנימית (הטבעה), ופונקציה חיצונית.

צעד ראשוןמה שאתה צריך לעשות כשמוצאים את הנגזרת של פונקציה מורכבת הוא להבין איזו פונקציה פנימית ואיזו חיצונית.

במקרה של דוגמאות פשוטות, נראה ברור שפולינום מוטבע מתחת לסינוס. אבל מה אם הכל לא ברור? כיצד לקבוע במדויק איזו פונקציה חיצונית ואיזו פנימית? לשם כך, אני מציע להשתמש בטכניקה הבאה, שניתן לעשות זאת באופן נפשי או בטיוטה.

בואו נדמיין שאנחנו צריכים לחשב את הערך של הביטוי ב במחשבון (במקום אחד יכול להיות כל מספר).

מה נחשב קודם? ראשית כלתצטרך לבצע את הפעולה הבאה: , לכן הפולינום יהיה פונקציה פנימית:

שניתיהיה צורך למצוא, אז סינוס - תהיה פונקציה חיצונית:

אחרי שאנחנו נמכרעם פונקציות פנימיות וחיצוניות, הגיע הזמן ליישם את כלל הבידול של פונקציות מורכבות.

בואו נתחיל להחליט. מהכיתה איך למצוא את הנגזרת?אנו זוכרים שהעיצוב של פתרון לכל נגזרת מתחיל תמיד כך - אנו סוגרים את הביטוי בסוגריים ומניחים קו בפינה השמאלית העליונה:

בתחילהאנו מוצאים את הנגזרת של הפונקציה החיצונית (סינוס), מסתכלים בטבלת הנגזרות של פונקציות יסודיות ושימו לב ש. כל נוסחאות הטבלה ישימות גם אם "x" מוחלף בביטוי מורכב, במקרה הזה:

ציין זאת תפקוד פנימי לא השתנה, אנחנו לא נוגעים בזה.

ובכן, זה די ברור

התוצאה הסופית של יישום הנוסחה נראית כך:

הגורם הקבוע ממוקם בדרך כלל בתחילת הביטוי:

אם יש אי הבנה, רשום את הפתרון על נייר וקרא שוב את ההסברים.

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של פונקציה

דוגמה 3

מצא את הנגזרת של פונקציה

כמו תמיד, אנו רושמים:

בואו נבין היכן יש לנו פונקציה חיצונית ואיפה יש לנו פונקציה פנימית. לשם כך, אנו מנסים (מנטלית או בטיוטה) לחשב את הערך של הביטוי ב. מה כדאי לעשות קודם? קודם כל, אתה צריך לחשב למה שווה הבסיס: לכן, הפולינום הוא הפונקציה הפנימית:

ורק אז מתבצעת האקספונציה, לפיכך, פונקציית כוחהיא פונקציה חיצונית:

לפי הנוסחה, תחילה עליך למצוא את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, במקרה זה, התואר. אנו מחפשים את הנוסחה הנדרשת בטבלה: . אנו חוזרים שוב: כל נוסחה טבלאית תקפה לא רק עבור "X", אלא גם עבור ביטוי מורכב. לפיכך, התוצאה של יישום הכלל להבדיל פונקציה מורכבת היא כדלקמן:

אני מדגיש שוב שכאשר אנו לוקחים את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, הפונקציה הפנימית שלנו לא משתנה:

כעת כל שנותר הוא למצוא נגזרת פשוטה מאוד של הפונקציה הפנימית ולשנות מעט את התוצאה:

דוגמה 4

מצא את הנגזרת של פונקציה

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (תשובה בסוף השיעור).

כדי לגבש את הבנתך בנגזרת של פונקציה מורכבת, אתן דוגמה ללא הערות, אנסה להבין אותה לבד, נימק היכן החיצוני ואיפה הפונקציה הפנימית, מדוע פותרים את המשימות כך?

דוגמה 5

א) מצא את הנגזרת של הפונקציה

ב) מצא את הנגזרת של הפונקציה

דוגמה 6

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן יש לנו שורש, וכדי להבדיל את השורש יש לייצג אותו ככוח. לפיכך, ראשית אנו מביאים את הפונקציה לצורה המתאימה להבדלה:

בניתוח הפונקציה מגיעים למסקנה שסכום שלושת האיברים הוא פונקציה פנימית, והעלאה לחזקה היא פונקציה חיצונית. אנו מיישמים את כלל ההבחנה של פונקציות מורכבות:

אנו מייצגים שוב את התואר כרדיקל (שורש), ולנגזרת של הפונקציה הפנימית אנו מיישמים כלל פשוט להבדלת הסכום:

מוּכָן. אפשר גם לצמצם את הביטוי למכנה משותף בסוגריים ולכתוב הכל כשבר אחד. זה יפה, כמובן, אבל כשמקבלים נגזרות ארוכות מסורבלות, עדיף לא לעשות את זה (קל להתבלבל, לטעות מיותרת, ויהיה לא נוח למורה לבדוק).

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (תשובה בסוף השיעור).

מעניין לציין שלעיתים במקום הכלל להבדיל פונקציה מורכבת, ניתן להשתמש בכלל להבדיל מנה , אבל פתרון כזה ייראה כמו סטייה מצחיקה. הנה דוגמה טיפוסית:

דוגמה 8

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן אתה יכול להשתמש בכלל ההבחנה של המנה , אבל הרבה יותר משתלם למצוא את הנגזרת באמצעות כלל ההבחנה של פונקציה מורכבת:

אנחנו מכינים את הפונקציה להבדלה - נעביר את המינוס מהסימן הנגזרת, ומעלה את הקוסינוס למונה:

קוסינוס היא פונקציה פנימית, אקספוננציה היא פונקציה חיצונית.
בואו נשתמש בכלל שלנו:

אנו מוצאים את הנגזרת של הפונקציה הפנימית ומאפסים את הקוסינוס בחזרה למטה:

מוּכָן. בדוגמה הנחשבת, חשוב לא להתבלבל בסימנים. אגב, נסה לפתור את זה באמצעות הכלל , התשובות חייבות להתאים.

דוגמה 9

מצא את הנגזרת של פונקציה

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (תשובה בסוף השיעור).

עד כה בדקנו מקרים שבהם היה לנו רק קינון אחד בפונקציה מורכבת. במשימות מעשיות, לעתים קרובות אתה יכול למצוא נגזרות, שבהן, כמו בובות קינון, אחת בתוך השנייה, מקוננים 3 או אפילו 4-5 פונקציות בבת אחת.

דוגמה 10

מצא את הנגזרת של פונקציה

בואו נבין את הקבצים המצורפים של פונקציה זו. בואו ננסה לחשב את הביטוי באמצעות הערך הניסיוני. איך נסמוך על מחשבון?

ראשית עליך למצוא את , מה שאומר שהארקסינה היא ההטבעה העמוקה ביותר:

לאחר מכן יש לריבוע את הקשת הזו של אחד:

ולבסוף, אנו מעלים שבעה לכוח:

כלומר, בדוגמה זו יש לנו שלוש פונקציות שונות ושתי הטמעות, בעוד שהפונקציה הפנימית ביותר היא הקשת, והפונקציה החיצונית ביותר היא הפונקציה האקספוננציאלית.

בואו נתחיל להחליט

על פי הכלל, תחילה עליך לקחת את הנגזרת של הפונקציה החיצונית. אנו מסתכלים בטבלת הנגזרות ומוצאים את הנגזרת של הפונקציה המעריכית: ההבדל היחיד הוא שבמקום "x" יש לנו ביטוי מורכב, מה שלא שולל את תקפותה של נוסחה זו. אז, התוצאה של יישום הכלל להבדיל פונקציה מורכבת היא כדלקמן:

תחת השבץ יש לנו שוב פונקציה מורכבת! אבל זה כבר יותר פשוט. קל לאמת שהפונקציה הפנימית היא הקשת, הפונקציה החיצונית היא התואר. על פי הכלל להבחנה של פונקציה מורכבת, תחילה עליך לקחת את הנגזרת של החזקה.

מובאות דוגמאות לחישוב נגזרות באמצעות הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

כאן אנו נותנים דוגמאות לחישוב נגזרות של הפונקציות הבאות:
; ; ; ; .

אם ניתן לייצג פונקציה כפונקציה מורכבת בצורה הבאה:
,
אז הנגזרת שלו נקבעת על ידי הנוסחה:
.
בדוגמאות שלהלן, נכתוב את הנוסחה הזו באופן הבא:
.
איפה .
כאן, המשתנים או , הממוקמים מתחת לסימן הנגזרת, מציינים את המשתנים שבאמצעותם מתבצעת הבידול.

בדרך כלל, בטבלאות של נגזרות, ניתנות נגזרות של פונקציות מהמשתנה x. עם זאת, x הוא פרמטר פורמלי. ניתן להחליף את המשתנה x בכל משתנה אחר. לכן, כאשר מבדילים פונקציה ממשתנה, אנו פשוט משנים, בטבלת הנגזרות, את המשתנה x למשתנה u.

דוגמאות פשוטות

דוגמה 1

מצא את הנגזרת של פונקציה מורכבת
.

פִּתָרוֹן

בוא נכתוב את זה פונקציה נתונהבצורה מקבילה:
.
בטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
.

על פי הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת, יש לנו:
.
כאן .

תשובה

דוגמה 2

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

נוציא את הקבוע 5 מהסימן הנגזר ומטבלת הנגזרות נמצא:
.

.
כאן .

תשובה

דוגמה 3

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנחנו מוציאים קבוע -1 לסימן הנגזרת ומטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
מטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
.

אנו מיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
.
כאן .

תשובה

דוגמאות מורכבות יותר

בעוד דוגמאות מורכבותאנו מיישמים את הכלל להבדיל פונקציה מורכבת מספר פעמים. במקרה זה, אנו מחשבים את הנגזרת מהסוף. כלומר, אנו מפרקים את הפונקציה לחלקים המרכיבים אותה ומוצאים את הנגזרות של החלקים הפשוטים ביותר באמצעות טבלת נגזרות. אנחנו גם משתמשים כללים להפרדת סכומים, מוצרים ושברים. לאחר מכן אנו עושים החלפות ומיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

דוגמה 4

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

בואו נבחר את החלק הפשוט ביותר של הנוסחה ונמצא את הנגזרת שלה. .

.
כאן השתמשנו בסימון
.

אנו מוצאים את הנגזרת של החלק הבא של הפונקציה המקורית באמצעות התוצאות שהתקבלו. אנו מיישמים את הכלל להבדלת הסכום:
.

שוב אנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציות מורכבות.

.
כאן .

תשובה

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של הפונקציה
.

פִּתָרוֹן

בוא נבחר את החלק הפשוט ביותר של הנוסחה ונמצא את הנגזרת שלה מטבלת הנגזרות. .

אנו מיישמים את כלל ההבחנה של פונקציות מורכבות.
.
כאן
.