אורך הקטע על ציר הקואורדינטות נקבע על ידי הנוסחה:

אורך קטע במישור הקואורדינטות נמצא באמצעות הנוסחה:

כדי למצוא את אורך קטע במערכת קואורדינטות תלת מימדית, השתמש בנוסחה הבאה:

הקואורדינטות של אמצע הקטע (עבור ציר הקואורדינטות משמשת רק הנוסחה הראשונה, עבור מישור הקואורדינטות - שתי הנוסחאות הראשונות, עבור מערכת קואורדינטות תלת מימדית - כל שלוש הנוסחאות) מחושבות באמצעות הנוסחאות:

פוּנקצִיָה– זוהי התכתבות של הטופס y= ו(איקס) בין כמויות משתנות, שבגללן כל אחד נחשב לערך של כמות משתנה כלשהי איקס(טיעון או משתנה בלתי תלוי) מתאים לערך מסוים של משתנה אחר, y(משתנה תלוי, לפעמים ערך זה נקרא פשוט ערך הפונקציה). שימו לב שהפונקציה מניחה ערך ארגומנט אחד איקסרק ערך אחד של המשתנה התלוי יכול להתאים בְּ-. עם זאת, אותו ערך בְּ-ניתן להשיג עם שונה איקס.

תחום פונקציה– אלו כל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי (ארגומנט פונקציה, בדרך כלל זה איקס), שעבורו מוגדרת הפונקציה, כלומר. המשמעות שלו קיימת. אזור ההגדרה מצוין ד(y). בגדול, אתם כבר מכירים את המושג הזה. התחום של פונקציה נקרא גם התחום ערכים מקובלים, או ODZ, שכבר מזמן הצלחת למצוא.

טווח פונקציותהם כל הערכים האפשריים של המשתנה התלוי של פונקציה נתונה. יָעוּדִי ה(בְּ-).

הפונקציה עולהעל המרווח שבו ערך גבוה יותרהארגומנט מתאים לערך הגדול יותר של הפונקציה. הפונקציה הולכת ופוחתתעל המרווח שבו ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה.

מרווחים של סימן קבוע של פונקציה- אלו הם המרווחים של המשתנה הבלתי תלוי שמעליהם המשתנה התלוי שומר על הסימן החיובי או השלילי שלו.

אפסים פונקציה– אלו הם הערכים של הארגומנט שבו ערך הפונקציה שווה לאפס. בנקודות אלו, גרף הפונקציות חוצה את ציר האבססיס (ציר OX). לעתים קרובות מאוד, הצורך למצוא את האפסים של פונקציה פירושו הצורך פשוט לפתור את המשוואה. כמו כן, לעתים קרובות הצורך למצוא מרווחים של קביעות של סימן פירושו צורך פשוט לפתור את אי השוויון.

פוּנקצִיָה y = ו(איקס) נקראים אֲפִילוּ איקס

זה אומר שלכל ערכים הפוכים של הארגומנט, הערכים של הפונקציה זוגית שווים. לוח זמנים פונקציה אפילותמיד סימטרי ביחס לציר האורדינאט של מגבר ההפעלה.

פוּנקצִיָה y = ו(איקס) נקראים מוזר, אם הוא מוגדר על קבוצה סימטרית ולכל איקסמתחום ההגדרה מתקיים השוויון:

זה אומר שלכל ערכים הפוכים של הארגומנט, הערכים של הפונקציה האי-זוגית הם גם הפוכים. הגרף של פונקציה אי זוגית הוא תמיד סימטרי לגבי המקור.

סכום השורשים של זוגי ו פונקציות מוזרות(נקודות חיתוך של ציר האבססיס OX) שווה תמיד לאפס, כי על כל שורש חיובי איקסיש שורש שלילי - איקס.

חשוב לציין: פונקציה כלשהי לא חייבת להיות זוגית או אי-זוגית. יש הרבה פונקציות שהן לא זוגיות ולא מוזרות. פונקציות כאלה נקראות פונקציות השקפה כללית , ולגביהם אף אחד מהשוויון או הנכסים שניתנו לעיל אינו מתקיים.

פונקציה לינאריתהיא פונקציה שניתן לתת על ידי הנוסחה:

לוח זמנים פונקציה לינאריתהוא קו ישר ובמקרה הכללי נראה כך (ניתן דוגמה למקרה כאשר ק> 0, במקרה זה הפונקציה גדלה; לרגל האירוע ק < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

גרף של פונקציה ריבועית (פרבולה)

הגרף של פרבולה ניתן על ידי פונקציה ריבועית:

פונקציה ריבועית, כמו כל פונקציה אחרת, חותכת את ציר ה-OX בנקודות שהן השורשים שלה: ( איקס 1 ; 0) ו-( איקס 2; 0). אם אין שורשים, אז הפונקציה הריבועית לא חותכת את ציר ה-OX; אם יש רק שורש אחד, אז בנקודה זו ( איקס 0 ; 0) הפונקציה הריבועית נוגעת רק בציר ה-OX, אך אינה חותכת אותו. הפונקציה הריבועית תמיד חותכת את ציר OY בנקודה עם קואורדינטות: (0; ג). לוח זמנים פונקציה ריבועית(פרבולה) עשויה להיראות כך (האיור מציג דוגמאות שרחוקות מלהיות ממצות סוגים אפשרייםפרבולות):

שבו:

• אם המקדם א> 0, בפונקציה y = גַרזֶן 2 + bx + ג, ואז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה;
• אם א < 0, то ветви параболы направлены вниз.

ניתן לחשב את הקואורדינטות של קודקוד פרבולה באמצעות הנוסחאות הבאות. X tops (ע- בתמונות למעלה) פרבולות (או הנקודה שבה הטרינום הריבועי מגיע לערכו הגדול או הקטן ביותר):

חולצות איגרק (ש- באיורים שלמעלה) פרבולות או המקסימום אם ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מטה ( א < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (א> 0), הערך של הטרינום הריבועי:

גרפים של פונקציות אחרות

פונקציית כוח

להלן כמה דוגמאות לגרפים של פונקציות כוח:

ביחס הפוךהיא פונקציה שניתנת על ידי הנוסחה:

תלוי בסימן המספר קלוח זמנים אחורה תלות פרופורציונליתעשויות להיות שתי אפשרויות בסיסיות:

אסימפטוטההוא קו שהגרף של פונקציה מתקרב אליו לאין ערוך אך אינו חוצה אותו. אסימפטוטים לגרפים מידתיות הפוכההמוצגים באיור שלמעלה הם צירי הקואורדינטות אליהם גרף הפונקציה מתקרב לאין ערוך, אך אינו חותך אותם.

פונקציה מעריכיתעם בסיס אהיא פונקציה שניתנת על ידי הנוסחה:

אלגרף של פונקציה אקספוננציאלית יכולות להיות שתי אפשרויות בסיסיות (אנו נותנים גם דוגמאות, ראה להלן):

פונקציה לוגריתמיתהיא פונקציה שניתנת על ידי הנוסחה:

תלוי אם המספר גדול או קטן מאחד אלגרף של פונקציה לוגריתמית יכולות להיות שתי אפשרויות בסיסיות:

גרף של פונקציה y = |איקס| כדלהלן:

גרפים של פונקציות מחזוריות (טריגונומטריות).

פוּנקצִיָה בְּ- = ו(איקס) נקרא תְקוּפָתִי, אם יש מספר כזה שאינו אפס ט, מה ו(איקס + ט) = ו(איקס), לכל אחד איקסמהתחום של הפונקציה ו(איקס). אם הפונקציה ו(איקס) הוא תקופתי עם נקודה ט, ואז הפונקציה:

איפה: א, ק, בהם מספרים קבועים, ו קלא שווה לאפס, גם תקופתי עם נקודה ט 1, אשר נקבע על ידי הנוסחה:

רוב הדוגמאות לפונקציות מחזוריות הן פונקציות טריגונומטריות. להלן הגרפים של הראשי פונקציות טריגונומטריות. האיור הבא מציג חלק מהגרף של הפונקציה y= חטא איקס(הגרף כולו ממשיך ללא הגבלה ימינה ושמאלה), גרף הפונקציה y= חטא איקסשקוראים לו סינוסואיד:

גרף של פונקציה y=cos איקסשקוראים לו קוסינוס. גרף זה מוצג באיור הבא. מכיוון שגרף הסינוס ממשיך ללא הגבלת זמן לאורך ציר OX משמאל וימין:

גרף של פונקציה y= tg איקסשקוראים לו טנגנואיד. גרף זה מוצג באיור הבא. כמו הגרפים של פונקציות תקופתיות אחרות, לוח הזמנים הזהחוזר ללא הגבלת זמן לאורך ציר OX לשמאל ולימין.

ולבסוף, הגרף של הפונקציה y=ctg איקסשקוראים לו קוטנגנטואיד. גרף זה מוצג באיור הבא. כמו הגרפים של פונקציות מחזוריות וטריגונומטריות אחרות, הגרף הזה חוזר על עצמו ללא הגבלת זמן לאורך ציר OX משמאל וימין.

למד את כל הנוסחאות והחוקים בפיזיקה, ונוסחאות ושיטות במתמטיקה. למעשה, זה גם מאוד פשוט לביצוע: יש רק כ-200 נוסחאות הכרחיות בפיזיקה, ואפילו קצת פחות במתמטיקה. בכל אחד מהמקצועות הללו קיימות כתריסר שיטות סטנדרטיות לפתרון בעיות ברמת מורכבות בסיסית, שגם אותן ניתן ללמוד, וכך, באופן אוטומטי לחלוטין וללא קושי לפתור את רוב ה-CT בזמן הנכון. לאחר מכן, תצטרך לחשוב רק על המשימות הקשות ביותר.

השתתף בכל שלושת השלבים של בדיקות החזרות בפיזיקה ובמתמטיקה. כל RT ניתן לבקר פעמיים כדי להחליט על שתי האפשרויות. שוב, ב-CT, בנוסף ליכולת לפתור בעיות במהירות וביעילות, והכרת נוסחאות ושיטות, עליך להיות מסוגל גם לתכנן נכון זמן, לחלק כוחות, והכי חשוב למלא נכון את טופס התשובה, ללא מבלבל את מספר התשובות והבעיות, או את שם המשפחה שלך. כמו כן, במהלך RT, חשוב להתרגל לסגנון שאילת שאלות בבעיות, שעלול להיראות חריג מאוד לאדם לא מוכן ב-DT.

יישום מוצלח, חרוץ ואחראי של שלוש הנקודות הללו יאפשר לך להראות תוצאה מצוינת ב-CT, המקסימום ממה שאתה מסוגל.

מצאתם טעות?

אם אתה חושב שמצאת שגיאה ב חומרים חינוכיים, אז נא לכתוב על זה בדוא"ל. אתה יכול גם לדווח על באג רשת חברתית(). במכתב ציינו את הנושא (פיזיקה או מתמטיקה), שם או מספר הנושא או המבחן, מספר הבעיה או המקום בטקסט (עמוד) שבו, לדעתכם, יש טעות. תאר גם מהי החשד לשגיאה. מכתבך לא ייעלם מעיניהם, או שהשגיאה תתוקן, או שיוסבר לך מדוע אין מדובר בטעות.

סדנה

לפי ניתוח מתמטי

לתלמידי ערב

וואו כמובן

(חלק א')

מדריך חינוכי ומתודולוגי

מוסקבה, 2006

UDC 512.8:516

BBK S42

סוקרים:

מועמד למדעי הפיזיקה והמתמטיקה, פרופסור חבר קרולינסקאיה S.N. (מכון התעופה של מוסקבה על שם ש. אורדז'וניקידזה);

Ph.D., פרופסור חבר Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT על שם M.V. Lomonosov).

Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., סדנה לניתוח מתמטי לתלמידי ערב שנה א' (חלק א'), מדריך חינוכי ומתודולוגי - M.: MITHT im. M.V. לומונוסוב, 2006 - 44 עמ': חולה. 29 .

אושר על ידי ועדת הספרייה וההוצאה לאור של MITHT. M.V. לומונוסוב כעזר הוראה. Pos. ____/2006.

המדריך מורכב מהערות 6 שיעורים מעשייםבמסגרת ניתוח מתמטי לתלמידי חוג הערב של MITHT. M.V. לומונוסוב. חלק א' כולל את הסעיפים הבאים: "פונקציה ותכונותיה הבסיסיות", "מגבלה של פונקציה", "נקודות המשכיות וחוסר המשכיות של פונקציה".

כל שיעור מוקדש לנושא נפרד. הערות ל-5 שיעורים מכילות סיכוםתיאוריה רלוונטית, דוגמאות טיפוסיות ובעיות לפתרון עצמאי (עם תשובות). הערות שיעור מס' 6 מספקות אפשרות לדוגמה עבודת מבחן(עם פתרונות) שנערך בשיעור זה.

המדריך מיועד לתלמידי ערב של אוניברסיטאות כימיות.

© MITHT im. M.V. לומונוסובה, 2006

שיעור 1.

מושג הפונקציה. בסיסי פונקציות אלמנטריות, המאפיינים והגרפים שלהם …………………………………

שיעור 2.מערכת קואורדינטות קוטבית. שרטוט גרפים של פונקציות בשיטת הזזה ומתיחה לאורך צירי קואורדינטות………………………………………………….

שיעור 3.מגבלת פונקציה. המשכיות של תפקוד. חישוב הגבולות של פונקציות רציפות, רציונליות וחלק לא רציונליות…………………

שיעור 4.הראשון והשני הם גבולות נפלאים. חישוב הגבולות של פונקציית כוח-מעריכי. קטן לאין ערוך וגדול לאין ערוך
ערכים……………………………………………………….

שיעור 5.נקודות המשכיות ונקודות אי המשכיות של פונקציה. סיווג נקודות שבירה. חקירת פונקציה להמשכיות…………………………………

שיעור 6.מבחן מס' 1 בנושא "חישוב גבולות הפונקציות. לימוד פונקציות להמשכיות"………………………………………………………………………….

סִפְרוּת……………………………………………….

שיעור 1.

מושג הפונקציה. פונקציות יסודיות בסיסיות, תכונותיהן וגרפים.

הגדרה 1.התלות של משתנה במשתנה נקראת פוּנקצִיָה, אם כל ערך מתאים לערך בודד.

אנחנו כותבים: ו אנחנו מדברים, שהיא פונקציה של . במקרה הזה זה נקרא משתנה בלתי תלוי(או טיעון), ו- משתנה תלוי.

הגדרה 2. תחום פונקציה(מסומנים על ידי ) הם כל הערכים ש. ערכי פונקציות מרובות(מסומנים על ידי ) הם כל הערכים ש.

הגדרה 3.הפונקציה נקראת גָדֵל (פּוֹחֵת) על המרווח המספרי אם עבור אחד מ- , כך שהאי-שוויון מתקיים:

.

הגדרה 4.הפונקציה נקראת חַדגוֹנִיעל המרווח אם הוא רק יורד או רק גדל ב.

הגדרה 5.הפונקציה נקראת אֲפִילוּ (מוזר), אם הוא סימטרי בערך אפס ולכל אחד מ:

.

אוניברסיטת המחקר הלאומית

המחלקה לגיאולוגיה שימושית

תקציר על מתמטיקה גבוהה יותר

על הנושא: "פונקציות יסודיות בסיסיות,

המאפיינים והגרפים שלהם"

הושלם:

בָּדוּק:

מוֹרֶה

הַגדָרָה. הפונקציה המוגדרת על ידי הנוסחה y=a x (כאשר a>0, a≠1) נקראת פונקציה מעריכיתעם בסיס א.

הבה ננסח את המאפיינים העיקריים של הפונקציה המעריכית:

1. תחום ההגדרה הוא קבוצת (R) של כל המספרים הממשיים.

2. טווח - קבוצת (R+) של כל המספרים הממשיים החיוביים.

3. עבור a > 1, הפונקציה גדלה לאורך כל קו המספרים; בשעה 0<а<1 функция убывает.

4. היא פונקציה של צורה כללית.

, במרווח xО [-3;3]
, במרווח xО [-3;3]

פונקציה בצורה y(x)=x n, כאשר n הוא המספר ОR, נקראת פונקציית חזקה. המספר n יכול לקבל ערכים שונים: גם מספר שלם וגם שבר, זוגי וגם אי-זוגי. בהתאם לכך, לפונקציית הכוח תהיה צורה שונה. הבה נבחן מקרים מיוחדים שהם פונקציות חזקה ומשקפים את המאפיינים הבסיסיים של עקומה מסוג זה בסדר הבא: פונקציית חזקה y=x² (פונקציה עם מעריך זוגי - פרבולה), פונקציית חזקה y=x³ (פונקציה עם מעריך אי-זוגי - פרבולה מעוקבת) ופונקציה y=√x (x בחזקת ½) (פונקציה עם מעריך שבריר), פונקציה עם מעריך שלם שלילי (היפרבולה).

פונקציית כוח y=x²

1. D(x)=R – הפונקציה מוגדרת על כל הציר המספרי;

2. E(y)= ועולה על המרווח

פונקציית כוח y=x³

1. הגרף של הפונקציה y=x³ נקרא פרבולה קובית. לפונקציית החזקה y=x³ יש את המאפיינים הבאים:

2. D(x)=R – הפונקציה מוגדרת על כל הציר המספרי;

3. E(y)=(-∞;∞) – הפונקציה לוקחת את כל הערכים בתחום ההגדרה שלה;

4. כאשר x=0 y=0 – הפונקציה עוברת דרך מקור הקואורדינטות O(0;0).

5. הפונקציה גדלה על פני כל תחום ההגדרה.

6. הפונקציה אי-זוגית (סימטרית לגבי המקור).

, במרווח xО [-3;3]

בהתאם לגורם המספרי שלפני x³, הפונקציה יכולה להיות תלולה/שטוחה ועולה/יורדת.

פונקציית החזקה עם מעריך מספר שלם שלילי:

אם המעריך n אי זוגי, אז הגרף של פונקציית חזקה כזו נקרא היפרבולה. לפונקציית חזקה עם מעריך שלילי של מספר שלם יש את המאפיינים הבאים:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) עבור כל n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), אם n הוא מספר אי-זוגי; E(y)=(0;∞), אם n הוא מספר זוגי;

3. הפונקציה פוחתת על פני כל תחום ההגדרה אם n הוא מספר אי זוגי; הפונקציה גדלה במרווח (-∞;0) וקטנה במרווח (0;∞) אם n הוא מספר זוגי.

4. הפונקציה היא אי זוגי (סימטרית לגבי המקור) אם n הוא מספר אי זוגי; פונקציה היא אפילו אם n הוא מספר זוגי.

5. הפונקציה עוברת דרך הנקודות (1;1) ו-(-1;-1) אם n הוא מספר אי זוגי ודרך הנקודות (1;1) ו-(-1;1) אם n הוא מספר זוגי.

, במרווח xО [-3;3]

פונקציית כוח עם מעריך שבר

לפונקציית חזקה עם מעריך שבר (תמונה) יש גרף של הפונקציה המוצגת באיור. לפונקציית חזקה עם מעריך שבר יש את המאפיינים הבאים: (תמונה)

1. D(x) ОR, אם n הוא מספר אי-זוגי ו-D(x)=
, במרווח xО
, במרווח xО [-3;3]

לפונקציה הלוגריתמית y = log a x יש את המאפיינים הבאים:

1. תחום ההגדרה D(x)О (0; + ∞).

2. טווח ערכים E(y) О (- ∞; + ∞)

3. הפונקציה אינה זוגית ואינה (בצורה כללית).

4. הפונקציה גדלה על המרווח (0; + ∞) עבור a > 1, יורדת על (0; + ∞) עבור 0< а < 1.

ניתן לקבל את גרף הפונקציה y = log a x מגרף הפונקציה y = a x באמצעות טרנספורמציה של סימטריה על הישר y = x. איור 9 מציג גרף של הפונקציה הלוגריתמית עבור a > 1, ואיור 10 עבור 0< a < 1.

; על המרווח xО
; על המרווח xО

הפונקציות y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x נקראות פונקציות טריגונומטריות.

הפונקציות y = sin x, y = tan x, y = ctg x הן אי-זוגיות, והפונקציה y = cos x זוגית.

פונקציה y = sin(x).

1. תחום ההגדרה D(x) ОR.

2. טווח ערכים E(y) О [ - 1; 1].

3. הפונקציה היא תקופתית; התקופה העיקרית היא 2π.

4. הפונקציה מוזרה.

5. הפונקציה גדלה במרווחים [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ויורד במרווחים [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

הגרף של הפונקציה y = sin (x) מוצג באיור 11.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.