ישנם שלושה כללים בסיסיים למציאת פונקציות אנטי-נגזרות. הם דומים מאוד לכללי ההבחנה המקבילים.

חוק מספר 1

אם F היא אנטי נגזרת עבור פונקציה כלשהי f, ו-G היא אנטי נגזרת עבור פונקציה כלשהי g, אז F + G יהיו אנטי נגזרת עבור f + g.

בהגדרה של אנטי-נגזרת, F' = f. G' = g. ומכיוון שהתנאים הללו מתקיימים, אז לפי הכלל לחישוב הנגזרת של סכום הפונקציות יהיה לנו:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

כלל 2

אם F הוא אנטי נגזרת לפונקציה כלשהי f, ו-k הוא קבוע כלשהו. אז k*F היא הנגזרת האנטי-נגזרת של הפונקציה k*f. כלל זה נובע מהכלל לחישוב הנגזרת של פונקציה מורכבת.

יש לנו: (k*F)' = k*F' = k*f.

כלל 3

אם F(x) הוא נגזרת כלשהי עבור הפונקציה f(x), ו-k ו-b הם קבועים מסוימים, ו-k אינו שווה לאפס, אז (1/k)*F*(k*x+b) יהיה אנטי נגזרת לפונקציה f (k*x+b).

כלל זה נובע מהכלל לחישוב הנגזרת של פונקציה מורכבת:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

הבה נסתכל על כמה דוגמאות לאופן בו חלים כללים אלה:

דוגמה 1. למצוא צורה כלליתנגזרות נגד לפונקציה f(x) = x^3 +1/x^2. עבור הפונקציה x^3 אחת מהנגזרים תהיה הפונקציה (x^4)/4, ועבור הפונקציה 1/x^2 אחת מהנגזרים תהיה הפונקציה -1/x. לפי הכלל הראשון, יש לנו:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

דוגמה 2. בוא נמצא את הצורה הכללית של נגזרות נגד לפונקציה f(x) = 5*cos(x). עבור הפונקציה cos(x), אחת מהנגזרים תהיה הפונקציה sin(x). אם נשתמש כעת בכלל השני, יהיה לנו:

F(x) = 5*sin(x).

דוגמה 3.מצא את אחת הנגזרות נגד הפונקציה y = sin(3*x-2). עבור הפונקציה sin(x) אחת מהנגזרים תהיה הפונקציה -cos(x). אם נשתמש כעת בכלל השלישי, נקבל ביטוי לנגזרת האנטי:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

דוגמה 4. מצא את האנטי-נגזרת עבור הפונקציה f(x) = 1/(7-3*x)^5

האנטי-נגזרת של הפונקציה 1/x^5 תהיה הפונקציה (-1/(4*x^4)). כעת, באמצעות הכלל השלישי, אנו מקבלים.

ראינו שלנגזרת יש שימושים רבים: הנגזרת היא מהירות התנועה (או, באופן כללי יותר, המהירות של כל תהליך); נגזרת היא מִדרוֹןמשיק לגרף של פונקציה; באמצעות הנגזרת, אתה יכול לבחון פונקציה עבור מונוטוניות וקיצוניות; הנגזרת עוזרת לפתור בעיות אופטימיזציה.

אבל ב החיים האמיתייםיש לפתור גם בעיות הפוכות: למשל, לצד הבעיה של מציאת המהירות לפי חוק תנועה ידוע, ישנה גם בעיה של שחזור חוק התנועה לפי מהירות ידועה. הבה נבחן את אחת הבעיות הללו.

דוגמה 1.נע בקו ישר נקודה חומרית, מהירות תנועתו בזמן t ניתנת על ידי הנוסחה u = tg. מצא את חוק התנועה.

פִּתָרוֹן.תן s = s(t) להיות חוק התנועה הרצוי. ידוע כי s"(t) = u"(t). זה אומר שכדי לפתור את הבעיה אתה צריך לבחור פוּנקצִיָה s = s(t), שהנגזרת שלו שווה ל-tg. לא קשה לנחש את זה

נציין מיד שהדוגמה נפתרת בצורה נכונה, אך באופן חלקי. מצאנו שלמעשה, לבעיה יש אינסוף פתרונות: כל פונקציה של הצורה קבוע שרירותי יכול לשמש כחוק תנועה, שכן

כדי להפוך את המשימה לספציפית יותר, היינו צריכים לתקן את המצב ההתחלתי: לציין את הקואורדינטה של ​​נקודה נעה בנקודת זמן כלשהי, למשל, ב-t=0. אם, נניח, s(0) = s 0, אז מהשוויון נקבל s(0) = 0 + C, כלומר S 0 = C. כעת חוק התנועה מוגדר באופן ייחודי:
במתמטיקה, פעולות הפוכות הדדית זוכות לשמות שונים וממציאים סימונים מיוחדים: למשל ריבוע (x 2) וחילוץ שורש ריבועי sine(sinх) ו arcsine(arcsin x) וכו'. תהליך מציאת הנגזרת ביחס ל פונקציה נתונהנקרא דיפרנציאציה, והפעולה ההפוכה, כלומר. תהליך מציאת פונקציה מנגזרת נתונה - אינטגרציה.
ניתן להצדיק את המונח "נגזרת" עצמו "בחיי היומיום": הפונקציה y - f(x) "מולידה" פונקציה חדשה y"= f"(x). הפונקציה y = f(x) פועלת בתור "הורה", אבל מתמטיקאים, כמובן, לא קוראים לזה "הורה" או "מפיק"; הם אומרים שזה, ביחס לפונקציה y"=f"(x), התמונה הראשית, או, ב בקיצור, האנטי-נגזרת.

הגדרה 1.הפונקציה y = F(x) נקראת אנטי נגזרת עבור הפונקציה y = f(x) במרווח נתון X אם עבור כל x מ-X מתקיים השוויון F"(x)=f(x).

בפועל, המרווח X בדרך כלל אינו מצוין, אלא מרומז (כתחום הטבעי של ההגדרה של הפונקציה).

הנה כמה דוגמאות:

1) הפונקציה y = x 2 היא אנטי נגזרת עבור הפונקציה y = 2x, שכן עבור כל x השוויון (x 2)" = 2x נכון.
2) הפונקציה y - x 3 היא אנטי נגזרת עבור הפונקציה y-3x 2, שכן עבור כל x השוויון (x 3)" = 3x 2 נכון.
3) הפונקציה y-sinх היא אנטי נגזרת עבור הפונקציה y = cosx, שכן עבור כל x השוויון (sinx)" = cosx נכון.
4) הפונקציה היא אנטי-נגזרת עבור פונקציה על המרווח שכן עבור כל x > 0 השוויון נכון
באופן כללי, בהכרת הנוסחאות למציאת נגזרות, לא קשה להרכיב טבלה של נוסחאות למציאת נגזרות.

אנו מקווים שהבנתם כיצד מורכבת הטבלה הזו: הנגזרת של הפונקציה, הכתובה בעמודה השנייה, שווה לפונקציה הכתובה בשורה המתאימה של העמודה הראשונה (סמנו אותה, אל תתעצלו, זה מאוד שימושי). לדוגמה, עבור הפונקציה y = x 5 הנגזרת האנטי, כפי שתקבע, היא הפונקציה (ראה את השורה הרביעית בטבלה).

הערות: 1. להלן נוכיח את המשפט שאם y = F(x) היא נגזרת אנטי לפונקציה y = f(x), אז לפונקציה y = f(x) יש אינסוף נגזרות אנטי ולכולן יש את הצורה y = F(x) + C. לכן, נכון יותר יהיה להוסיף את המונח C בכל מקום בעמודה השנייה של הטבלה, כאשר C הוא מספר ממשי שרירותי.
2. למען הקיצור, לפעמים במקום הביטוי "הפונקציה y = F(x) היא נגזרת אנטי של הפונקציה y = f(x)", אומרים ש-F(x) היא נגזרת אנטי של f(x) ."

2. כללים למציאת נגזרים

בעת מציאת נגזרות, כמו גם בעת מציאת נגזרות, משתמשים לא רק בנוסחאות (הן מפורטות בטבלה בעמ' 196), אלא גם בכמה כללים. הם קשורים ישירות לכללים המתאימים לחישוב נגזרים.

אנו יודעים שהנגזרת של סכום שווה לסכום הנגזרות שלו. כלל זה יוצר את הכלל המקביל למציאת נגזרים.

חוק מספר 1.האנטי-נגזרת של סכום שווה לסכום האנטי-נגזרות.

אנו מפנים את תשומת לבך ל"קלילות" משהו של ניסוח זה. למעשה, יש לנסח את המשפט: אם לפונקציות y = f(x) ו-y = g(x) יש נגזרות אנטי במרווח X, בהתאמה y-F(x) ו-y-G(x), אזי סכום הפונקציות y ל- f(x)+g(x) יש אנטי-נגזרת במרווח X, ונגזרת זו היא הפונקציה y = F(x)+G(x). אבל בדרך כלל, כשמנסחים כללים (לא משפטים), נשארות רק מילות מפתח - זה נוח יותר ליישום הכללים בפועל

דוגמה 2.מצא את הנגזרת נגד הפונקציה y = 2x + cos x.

פִּתָרוֹן.האנטי-נגזרת של 2x היא x"; האנטי-נגזרת של cox היא sin x. זה אומר שהאנטי-נגזרת לפונקציה y = 2x + cos x תהיה הפונקציה y = x 2 + sin x (ובאופן כללי כל פונקציה של הצורה Y = x 1 + sinx + C) .
אנו יודעים שניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן של הנגזרת. כלל זה יוצר את הכלל המקביל למציאת נגזרים.

כלל 2.ניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן של האנטי-נגזרת.

דוגמה 3.

פִּתָרוֹן.א) הנגזרת של sin x היא -soz x; משמעות הדבר היא שעבור הפונקציה y = 5 sin x הפונקציה האנטי-נגזרת תהיה הפונקציה y = -5 cos x.

ב) הנגזרת של cos x היא sin x; זה אומר שהאנטי-נגזרת של פונקציה היא הפונקציה
ג) האנטי-נגזרת עבור x 3 היא האנטי-נגזרת עבור x, האנטי-נגזרת עבור הפונקציה y = 1 היא הפונקציה y = x. באמצעות הכללים הראשון והשני למציאת נגזרות, אנו מוצאים שהאנטי-נגזרת עבור הפונקציה y = 12x 3 + 8x-1 היא הפונקציה
תגובה.כידוע, הנגזרת של מכפלה אינה שווה למכפלת הנגזרות (הכלל להבחנה של מכפלה מורכב יותר) ונגזרת המנה אינה שווה למנת הנגזרות. לכן, אין כללים למציאת האנטי-נגזרת של המוצר או האנטי-נגזרת של המנה של שתי פונקציות. הזהר!
הבה נשיג כלל נוסף למציאת נגזרים. אנו יודעים שהנגזרת של הפונקציה y = f(kx+m) מחושבת על ידי הנוסחה

כלל זה יוצר את הכלל המקביל למציאת נגזרים.
כלל 3.אם y = F(x) היא נגזרת נגד הפונקציה y = f(x), אז הנגזרת של הפונקציה y=f(kx+m) היא הפונקציה

אכן,

המשמעות היא שהיא נגזרת נגד הפונקציה y = f(kx+m).
המשמעות של הכלל השלישי היא כדלקמן. אם אתה יודע שהאנטי-נגזרת של הפונקציה y = f(x) היא הפונקציה y = F(x), ואתה צריך למצוא את האנטי-נגזרת של הפונקציה y = f(kx+m), המשך כך: קח אותה פונקציה F, אבל במקום הארגומנט x, החלף את הביטוי kx+m; בנוסף, אל תשכח לכתוב "גורם תיקון" לפני סימן הפונקציה
דוגמה 4.מצא נגזרות נגד פונקציות נתונות:

פִּתָרוֹן, א) האנטי-נגזרת עבור sin x היא -soz x; המשמעות היא שלפונקציה y = sin2x הנגזרת האנטי-נגזרת תהיה הפונקציה
ב) הנגזרת של cos x היא sin x; זה אומר שהאנטי-נגזרת של פונקציה היא הפונקציה

ג) האנטי-נגזרת עבור x 7 פירושה שלפונקציה y = (4-5x) 7 האנטי-נגזרת תהיה הפונקציה

3. אינטגרל בלתי מוגדר

כבר ציינו לעיל שלבעיה של מציאת אנטי נגזרת לפונקציה נתונה y = f(x) יש יותר מפתרון אחד. בואו נדון בסוגיה זו ביתר פירוט.

הוכחה. 1. תן y = F(x) להיות האנטי-נגזרת עבור הפונקציה y = f(x) במרווח X. זה אומר שלכל x מ-X מתקיים השוויון x"(x) = f(x). מצא את הנגזרת של כל פונקציה בצורה y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

אז, (F(x)+C) = f(x). המשמעות היא ש- y = F(x) + C היא נגזרת נגד הפונקציה y = f(x).
לפיכך, הוכחנו שאם לפונקציה y = f(x) יש נגזרת אנטי y=F(x), אז לפונקציה (f = f(x) יש אינסוף נגזרות אנטי, למשל, כל פונקציה בצורת y = F(x) +C היא אנטי נגזרת.
2. הבה נוכיח כעת שסוג הפונקציות המצוין ממצה את כל סט הנגזרות האנטי-נגזרות.

תנו y=F 1 (x) ו-y=F(x) להיות שתי נגזרות נגד הפונקציה Y = f(x) במרווח X. זה אומר שלכל ה-x מהמרווח X מתקיימים היחסים הבאים: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

הבה נשקול את הפונקציה y = F 1 (x) -.F(x) ונמצא את הנגזרת שלה: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
ידוע שאם הנגזרת של פונקציה על מרווח X שווה לאפס באופן זהה, אז הפונקציה קבועה על המרווח X (ראה משפט 3 מ-35 §). זה אומר ש-F 1 (x) - F (x) = C, כלומר. Fx) = F(x)+C.

המשפט הוכח.

דוגמה 5.חוק שינוי המהירות עם הזמן ניתן: v = -5sin2t. מצא את חוק התנועה s = s(t), אם ידוע שבזמן t=0 הקואורדינטה של ​​הנקודה הייתה שווה למספר 1.5 (כלומר s(t) = 1.5).

פִּתָרוֹן.מכיוון שהמהירות היא נגזרת של הקואורדינטה כפונקציה של הזמן, ראשית עלינו למצוא את הנגזרת האנטי-נגזרת של המהירות, כלומר. אנטי נגזרת לפונקציה v = -5sin2t. אחת מנגזרות האנטי-נגזרות הללו היא הפונקציה , ולקבוצה של כל הנגזרות יש את הצורה:

כדי למצוא את הערך הספציפי של הקבוע C, אנו משתמשים בתנאים ההתחלתיים, לפיהם s(0) = 1.5. החלפת הערכים t=0, S = 1.5 בנוסחה (1), נקבל:

החלפת הערך המצוי של C בנוסחה (1), נקבל את חוק התנועה שמעניין אותנו:

הגדרה 2.אם לפונקציה y = f(x) יש אנטי-נגזרת y = F(x) במרווח X, אזי קבוצת כל הנגזרות האנטי-נגזרות, כלומר. קבוצת הפונקציות של הצורה y = F(x) + C נקראת האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה y = f(x) והיא מסומנת ב:

(לקרוא: " אינטגרל בלתי מוגבל ef מ-x de x").
בפסקה הבאה נגלה מה המשמעות הנסתרת של ייעוד זה.
בהתבסס על טבלת האנטי-נגזרים הזמינה בסעיף זה, נרכיב טבלה של האינטגרלים הבלתי מוגדרים העיקריים:

בהתבסס על שלושת הכללים לעיל למציאת נגזרות נוגדות, נוכל לנסח את כללי האינטגרציה המתאימים.

חוק מספר 1.אינטגרל של סכום הפונקציות שווה לסכוםאינטגרלים של פונקציות אלה:

כלל 2.ניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן האינטגרלי:

כלל 3.אם

דוגמה 6.מצא אינטגרלים בלתי מוגדרים:

פִּתָרוֹן, א) באמצעות הכללים הראשון והשני של האינטגרציה, נקבל:

כעת נשתמש בנוסחאות האינטגרציה השלישית והרביעית:

כתוצאה מכך אנו מקבלים:

ב) באמצעות הכלל השלישי של אינטגרציה ונוסחה 8, נקבל:

ג) כדי למצוא ישירות אינטגרל נתון, אין לנו לא את הנוסחה המתאימה ולא את הכלל המקביל. במקרים כאלה, טרנספורמציות זהות שבוצעו בעבר של הביטוי הכלול תחת הסימן האינטגרלי עוזרות לפעמים.

בואו ננצל נוסחה טריגונומטריתהפחתת תואר:

ואז אנו מוצאים ברצף:

א.ג. מורדקוביץ' אלגברה כיתה י'

תכנון נושאי לוח שנה במתמטיקה, וִידֵאוֹבמתמטיקה באינטרנט, מתמטיקה בבית הספר

מסמך

איזה מרווח X. אם לכל xХ F"(x) = f(x), אז פוּנקצִיָהו שקוראים לואנטי נגזרתלפונקציות f במרווח X. אנטי נגזרתלפונקציותאתה יכול לנסות למצוא...

אנטי נגזרת לתפקוד

מסמך

... . פוּנקצִיָה F(x) שקוראים לואנטי נגזרתלפונקציות f(x) על המרווח (a;b), if לכל x(a;b) מתקיים השוויון F(x) = f(x). לדוגמה, לפונקציות x2 אנטי נגזרתרָצוֹן פוּנקצִיָה x3...

מדריך הלימוד של יסודות חשבון אינטגרלי

הדרכה

... ; 5. מצא את האינטגרל. ; ב) ; ג) ; ד) ; 6. פוּנקצִיָהשקוראים לואנטי נגזרתל פונקציותעל סט אם: לכל אחד; בשלב מסוים; לכל אחד; באיזשהו... מרווח. הגדרה 1. פוּנקצִיָהשקוראים לואנטי נגזרתלפונקציותעל רבים...

אנטי נגזרת אינטגרל בלתי מוגדר

מסמך

שילוב. אנטי נגזרת. רָצִיף פוּנקצִיָה F(x) שקוראים לואנטי נגזרתלפונקציות f (x) על המרווח X if לכל F' (x) = f (x). דוגמא פוּנקצִיָה F(x) = x 3 הוא אנטי נגזרתלפונקציות f(x) = 3x...

השכלה מיוחדת של ברית המועצות מאושרת על ידי המנהלת החינוכית והמתודולוגית להשכלה גבוהה מתמטיקה גבוהה הוראות מתמטיות ומשימות בקרה (עם התוכנית) לסטודנטים במשרה חלקית בהנדסה וטכנית.

הנחיות

שאלות לבדיקה עצמית הגדר אנטי נגזרתפונקציות. לפרט משמעות גיאומטריתמִכלוֹל פְּרִימִיטִיבִיפונקציות. מה שקוראים לולֹא בָּטוּחַ...

אינטגרל בלתי מוגבל

המשימה העיקרית של חשבון דיפרנציאלי הייתה לחשב את הנגזרת או ההפרש של פונקציה נתונה. חשבון אינטגרלי, שאליו אנו ממשיכים, פותר את הבעיה ההפוכה, כלומר מציאת הפונקציה עצמה מהנגזרת או הדיפרנציאל שלה. כלומר, שיש dF(x)= f(x)d (7.1) או F ′(x)= f(x),

איפה f(x)- פונקציה ידועה, צריך למצוא את הפונקציה F(x).

הַגדָרָה:הפונקציה F(x) נקראת אנטי נגזרתפונקציה f(x) על הקטע אם השוויון מתקיים בכל הנקודות של הקטע הזה: F′(x) = f(x)אוֹ dF(x)= f(x)d.

לדוגמה, אחת מהפונקציות האנטי-נגזרת של הפונקציה f(x)=3x 2רָצוֹן F(x)= x 3, כי ( x 3)′=3x 2. אבל אב טיפוס לפונקציה f(x)=3x 2יהיו גם פונקציות ו, מאז .

אז הפונקציה הזו f(x)=3x 2יש מספר אינסופי של פרימיטיבים, שכל אחד מהם שונה רק במונח קבוע. הבה נראה כי תוצאה זו מתקיימת גם במקרה הכללי.

מִשׁפָּט שתי נגזרות שונות של אותה פונקציה המוגדרות במרווח מסוים נבדלות זו מזו במרווח זה באיבר קבוע.

הוכחה

תן לתפקד f(x) מוגדר על המרווח (א¸b)ו F 1 (x) ו F 2 (x) - נוגדי נגזרים, כלומר. F 1 ′(x)= f(x) ו-F 2 ′(x)= f(x).

לאחר מכן F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

מכאן, F 2 (x) = F 1 (x) + C

איפה עם - קבוע (נושא של משפט לגרנז' משמש כאן).

כך הוכח המשפט.

איור גיאומטרי. אם בְּ- = F 1 (x) ו בְּ- = F 2 (x) – נגזרות אנטי של אותה פונקציה f(x), ואז המשיק לגרפים שלהם בנקודות עם אבשיסה משותפת איקסמקבילים זה לזה (איור 7.1).

במקרה זה, המרחק בין עקומות אלה לאורך הציר OUנשאר קבוע F 2 (x) - F 1 (x) = C , כלומר, אלה מתעקמים פנימה קצת הבנה"מקבילים" אחד לשני.

תוֹצָאָה .

מוסיף לאיזו נגזרת F(x) עבור פונקציה זו f(x), מוגדר על המרווח איקס, כל הקבועים האפשריים עם, אנו מקבלים את כל הנגזרות האפשריות עבור הפונקציה f(x).

אז הביטוי F(x)+C , איפה ו F(x) - נגזרת כלשהי של פונקציה f(x)כולל את כל הנגזרות האפשריות עבור f(x).

דוגמה 1.בדוק אם הפונקציות כן נגזרות אנטי של הפונקציה

פִּתָרוֹן:

תשובה: נגזרות נגד פונקציה יהיו פונקציות ו

הַגדָרָה: אם הפונקציה F(x) היא נגזרת כלשהי של הפונקציה f(x), אזי קבוצת כל הנגזרות F(x)+C נקראת אינטגרל בלתי מוגבל של f(x) וסמן:

∫f(х)dх.

A-priory:

f(x) - פונקציית אינגרנד,

f(х)dх - ביטוי אינטגרנד

מכאן נובע שהאינטגרל הבלתי מוגדר הוא פונקציה של צורה כללית, שהדיפרנציאל שלה שווה לאינטגרנד, והנגזרת שלו ביחס למשתנה איקסשווה לאינטגרנד בכל הנקודות.

מנקודת מבט גיאומטריתאינטגרל בלתי מוגדר הוא משפחה של עקומות, שכל אחת מהן מתקבלת על ידי הזזת אחת מהעקומות המקבילות לעצמו למעלה או למטה, כלומר לאורך הציר OU(איור 7.2).

פעולת חישוב האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציה מסוימת נקראת שילוב פונקציה זו.

שימו לב שאם הנגזרת של פונקציה אלמנטריתהוא תמיד פונקציה אלמנטרית, אז ייתכן שהאנטי-נגזרת של פונקציה אלמנטרית לא מיוצגת על ידי מספר סופי של פונקציות אלמנטריות.

עכשיו נשקול תכונות של האינטגרל הבלתי מוגדר.

מהגדרה 2 זה נובע:

1. הנגזרת של האינטגרל הבלתי מוגדר שווה לאינטגרנד, כלומר אם F′(x) = f(x) , זה

2. ההפרש של האינטגרל הבלתי מוגדר שווה לאינטגרנד

. (7.4)

מתוך הגדרת דיפרנציאל וקניין (7.3)

3. האינטגרל הבלתי מוגדר של ההפרש של פונקציה כלשהי שווה לפונקציה זו עד לאיבר קבוע, כלומר (7.5)

בואו ניקח בחשבון את התנועה של נקודה לאורך קו ישר. תן לזה לקחת זמן טמתחילת התנועה הנקודה עברה מרחק רחוב).ואז המהירות המיידית v(t)שווה לנגזרת של הפונקציה רחוב),זה v(t) = s"(t).

בפועל זה קורה בעיה הפוכה: במהירות נתונה של תנועת נקודה v(t)למצוא את הדרך שהיא עשתה רחוב), כלומר, למצוא פונקציה כזו רחוב),שנגזרת שלו שווה ל v(t). פוּנקצִיָה רחוב),כך ש s"(t) = v(t), נקראת האנטי-נגזרת של הפונקציה v(t).

לדוגמה, אם v(t) = аt, איפה אהוא מספר נתון, ואז הפונקציה
s(t) = (аt 2) / 2v(t),כי
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

פוּנקצִיָה F(x)נקראת האנטי-נגזרת של הפונקציה f(x)במרווח כלשהו, ​​אם בכלל איקסמהפער הזה F"(x) = f(x).

למשל, הפונקציה F(x) = sin xהוא האנטי-נגזרת של הפונקציה f(x) = cos x,כי (sin x)" = cos x; פוּנקצִיָה F(x) = x 4 /4הוא האנטי-נגזרת של הפונקציה f(x) = x 3, כי (x 4 /4)" = x 3.

בואו נשקול את הבעיה.

מְשִׁימָה.

הוכח שהפונקציות x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 הן נגזרות אנטי של אותה פונקציה f(x) = x 2.

פִּתָרוֹן.

1) הבה נסמן F 1 (x) = x 3 /3, ואז F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( איקס).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

באופן כללי, כל פונקציה x 3 /3 + C, כאשר C הוא קבוע, היא אנטי נגזרת של הפונקציה x 2. זה נובע מהעובדה שהנגזרת של הקבוע היא אפס. דוגמה זו מראה כי עבור פונקציה נתונה הנגזרת האנטי-נגזרת שלה נקבעת באופן מעורפל.

תנו ל-F 1 (x) ו-F 2 (x) להיות שתי נגזרות של אותה פונקציה f(x).

ואז F 1 "(x) = f(x) ו-F" 2 (x) = f(x).

הנגזרת של ההפרש שלהם g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) שווה לאפס, שכן g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

אם g"(x) = 0 במרווח מסוים, אזי המשיק לגרף של הפונקציה y = g(x) בכל נקודה של מרווח זה מקביל לציר Ox. לכן, הגרף של הפונקציה y = g(x) הוא ישר מקביל לציר השור, כלומר g(x) = C, כאשר C הוא קבוע כלשהו. מהשוויון g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) מכאן ש- F 1 (x) = F 2 (x) + S.

לכן, אם הפונקציה F(x) היא אנטי-נגזרת של הפונקציה f(x) במרווח מסוים, אז כל הנגזרות האנטי-נגזרות של הפונקציה f(x) נכתבות בצורה F(x) + C, כאשר C היא קבוע שרירותי.

הבה נשקול את הגרפים של כל הנגזרות האנטי-נגזרות של פונקציה נתונה f(x). אם F(x) היא אחת מהנגזרים של הפונקציה f(x), אז כל אנטי-נגזרת של פונקציה זו מתקבלת על ידי הוספת ל-F(x) קבוע כלשהו: F(x) + C. גרפים של פונקציות y = F( x) + C מתקבלים מהגרף y = F(x) על ידי הזזה לאורך ציר Oy. על ידי בחירה ב-C, תוכל להבטיח שהגרף של הנגזרת האנטי-נגזרת עובר דרך נקודה נתונה.

הבה נשים לב לכללים למציאת נגזרים.

נזכיר שפעולת מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה נקראת בידול. הפעולה ההפוכה של מציאת האנטי-נגזרת לפונקציה נתונה נקראת שילוב(מהמילה הלטינית "לשחזר").

טבלה של נגזריםעבור פונקציות מסוימות ניתן להרכיב אותו באמצעות טבלת נגזרות. למשל, לדעת את זה (cos x)" = -sin x,אנחנו מקבלים (-cos x)" = sin x, שממנו נובע שכל האנטי נגזרות מתפקדות חטא xכתובים בצורה -cos x + C, איפה עם- קבוע.

בואו נסתכל על כמה מהמשמעויות של נגזרים.

1) פוּנקצִיָה: x p, p ≠ -1. אנטי נגזרת: (x p+1) / (p+1) + C.

2) פוּנקצִיָה: 1/x, x > 0.אנטי נגזרת: ln x + C.

3) פוּנקצִיָה: x p, p ≠ -1. אנטי נגזרת: (x p+1) / (p+1) + C.

4) פוּנקצִיָה: ה x. אנטי נגזרת: e x + C.

5) פוּנקצִיָה: חטא x. אנטי נגזרת: -cos x + C.

6) פוּנקצִיָה: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0.אנטי נגזרת: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) פוּנקצִיָה: 1/(kx + b), k ≠ 0. אנטי נגזרת: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) פוּנקצִיָה: e kx + b, k ≠ 0. אנטי נגזרת: (1/k) e kx + b + C.

9) פוּנקצִיָה: sin (kx + b), k ≠ 0. אנטי נגזרת: (-1/k) cos (kx + b).

10) פוּנקצִיָה: cos (kx + b), k ≠ 0.אנטי נגזרת: (1/ק) sin (kx + b).

כללי אינטגרציהניתן להשיג באמצעות כללי בידול. בואו נסתכל על כמה כללים.

לתת F(x)ו G(x)– נגזרות אנטי של פונקציות בהתאמה f(x)ו g(x)במרווח כלשהו. לאחר מכן:

1) פוּנקצִיָה F(x) ± G(x)הוא האנטי-נגזרת של הפונקציה f(x) ± g(x);

2) פוּנקצִיָה аF(x)הוא האנטי-נגזרת של הפונקציה аf(x).

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.