הנוסחה לנגזרת של פונקציה המוגדרת בצורה פרמטרית. הוכחה ודוגמאות ליישום של נוסחה זו. דוגמאות לחישוב נגזרות מהסדר הראשון, השני והשלישי.

תנו לפונקציה להינתן בצורה פרמטרית:
(1)
איפה יש איזה משתנה שנקרא פרמטר. ותן לפונקציות ולהיות נגזרות בערך כלשהו של המשתנה . יתר על כן, לפונקציה יש גם פונקציה הפוכה בשכונה כלשהי של הנקודה. אז לפונקציה (1) יש נגזרת בנקודה, אשר, בצורה פרמטרית, נקבעת על ידי הנוסחאות:
(2)

הנה והן נגזרות של הפונקציות וביחס למשתנה (פרמטר) . לעתים קרובות הם כתובים בצורה הבאה:
;
.

אז מערכת (2) יכולה להיכתב באופן הבא:

הוכחה

לפי תנאי, לפונקציה יש פונקציה הפוכה. בואו נסמן את זה בתור
.
אז ניתן לייצג את הפונקציה המקורית כפונקציה מורכבת:
.
בואו נמצא את הנגזרת שלו על ידי יישום כללי ההבחנה של פונקציות מורכבות והפוכות:
.

הכלל הוכח.

הוכחה בדרך השנייה

בואו נמצא את הנגזרת בדרך השנייה, בהתבסס על הגדרת הנגזרת של הפונקציה בנקודה:
.
בואו נציג את הסימון:
.
ואז הנוסחה הקודמת לובשת את הצורה:
.

הבה נשתמש בעובדה שלפונקציה יש פונקציה הפוכה, בקרבת הנקודה.
הבה נציג את הסימון:
; ;
; .
מחלקים את המונה והמכנה של השבר ב:
.
ב, . לאחר מכן
.

הכלל הוכח.

נגזרות מסדרים גבוהים יותר

כדי למצוא נגזרות מסדרים גבוהים יותר, יש צורך לבצע בידול מספר פעמים. נניח שעלינו למצוא את הנגזרת השנייה של פונקציה הניתנת בצורה פרמטרית, בצורה הבאה:
(1)

לפי הנוסחה (2), אנו מוצאים את הנגזרת הראשונה, שגם היא נקבעת באופן פרמטרי:
(2)

סמן את הנגזרת הראשונה באמצעות משתנה:
.
לאחר מכן, כדי למצוא את הנגזרת השנייה של הפונקציה ביחס למשתנה, עליך למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה ביחס למשתנה. התלות של משתנה במשתנה מצוינת גם בצורה פרמטרית:
(3)
בהשוואה בין (3) לנוסחאות (1) ו-(2), אנו מוצאים:

עכשיו בואו נבטא את התוצאה במונחים של הפונקציות ו. לשם כך, אנו מחליפים ומיישמים את הנוסחה לנגזרת של שבר:
.
לאחר מכן
.

מכאן נקבל את הנגזרת השנייה של הפונקציה ביחס למשתנה:

הוא ניתן גם בצורה פרמטרית. שימו לב שניתן לכתוב את השורה הראשונה גם כך:
.

בהמשך התהליך, ניתן לקבל נגזרות של פונקציות ממשתנה מסדר שלישי ומעלה.

שימו לב שאפשר לא להכניס את הסימון לנגזרת. אפשר לכתוב את זה כך:
;
.

דוגמה 1

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה בצורה פרמטרית:

פִּתָרוֹן

אנו מוצאים נגזרות של וביחס ל.
מטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
.
אנו מיישמים:

.
כאן .

.
כאן .

נגזרת רצויה:
.

תשובה

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של הפונקציה המבוטאת באמצעות הפרמטר:

פִּתָרוֹן

בואו נפתח את הסוגריים באמצעות נוסחאות לפונקציות חזקות ושורשים:
.

אנו מוצאים את הנגזרת:

.

אנחנו מוצאים את הנגזרת. לשם כך, אנו מציגים משתנה ומיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

.

נמצא את הנגזרת הרצויה:
.

תשובה

דוגמה 3

מצא את הנגזרת השנייה והשלישית של הפונקציה שניתנה באופן פרמטרי בדוגמה 1:

פִּתָרוֹן

בדוגמה 1 מצאנו את נגזרת הסדר הראשון:

בואו נציג את הסימון. אז הפונקציה היא הנגזרת ביחס ל. הוא מוגדר באופן פרמטרי:

כדי למצוא את הנגזרת השנייה ביחס ל, עלינו למצוא את הנגזרת הראשונה ביחס ל.

אנו מבדילים ביחס ל.
.
מצאנו את הנגזרת בדוגמה 1:
.
הנגזרת מסדר שני ביחס שווה לנגזרת מסדר ראשון ביחס ל:
.

אז מצאנו את הנגזרת מסדר שני ביחס לצורה הפרמטרית:

כעת אנו מוצאים את הנגזרת של הסדר השלישי. בואו נציג את הסימון. אז אנחנו צריכים למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה , שניתנת בצורה פרמטרית:

אנו מוצאים את הנגזרת ביחס ל. לשם כך, נכתוב מחדש בצורה מקבילה:
.
מ

.

הנגזרת מסדר שלישי ביחס שווה לנגזרת מסדר ראשון ביחס ל:
.

תגובה

אפשר שלא להכניס משתנים ו , שהם נגזרות של ו , בהתאמה. אז אתה יכול לכתוב את זה ככה:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

תשובה

בייצוג הפרמטרי, לנגזרת הסדר השני יש את הצורה הבאה:

נגזרת מסדר שלישי:

הנגזרת של פונקציה הניתנת באופן מרומז.
נגזרת פרמטרית פונקציה נתונה

במאמר זה נשקול שתי משימות טיפוסיות נוספות שנמצאות בהן לעתים קרובות עבודת בקרהעל ידי מתמטיקה גבוהה יותר. על מנת לשלוט בהצלחה בחומר, יש צורך להיות מסוגל למצוא נגזרות לפחות ברמה ממוצעת. אתה יכול ללמוד איך למצוא נגזרות מעשית מאפס בשני שיעורים בסיסיים ו נגזרת של פונקציה מורכבת. אם הכל בסדר עם כישורי בידול, אז בואו נלך.

נגזרת של פונקציה המוגדרת באופן מרומז

או בקיצור, הנגזרת של פונקציה מרומזת. מהי פונקציה מרומזת? נזכיר תחילה את עצם ההגדרה של פונקציה של משתנה אחד:

פונקציה של משתנה אחדהוא הכלל שכל ערך של המשתנה הבלתי תלוי מתאים לערך אחד ויחיד של הפונקציה.

המשתנה נקרא משתנה בלתי תלויאוֹ טַעֲנָה.
המשתנה נקרא משתנה תלויאוֹ פוּנקצִיָה .

עד כה, שקלנו פונקציות המוגדרות ב מְפוֹרָשׁטופס. מה זה אומר? בואו נארגן תחקיר על דוגמאות ספציפיות.

שקול את הפונקציה

אנו רואים שבצד שמאל יש לנו "y" בודד, ומצד ימין - רק X. כלומר, הפונקציה בִּמְפוּרָשׁמבוטא במונחים של המשתנה הבלתי תלוי.

הבה נבחן פונקציה נוספת:

כאן המשתנים וממוקמים "מעורבים". ו בלתי אפשרי בשום צורהלהביע "Y" רק דרך "X". מהן השיטות הללו? העברת מונחים מחלק לחלק עם שינוי סימן, סוגריים, גורמי זריקה לפי כלל הפרופורציה וכו' שכתבו את השוויון ונסו לבטא "y" במפורש:. אתה יכול לסובב ולהפוך את המשוואה במשך שעות, אבל לא תצליח.

הרשה לי להציג: - דוגמה פונקציה מרומזת.

במהלך ניתוח מתמטי, הוכח כי הפונקציה המרומזת קיים(אך לא תמיד), יש לו גרף (בדיוק כמו פונקציה "רגילה"). זה אותו דבר עבור פונקציה מרומזת. קייםנגזרת ראשונה, נגזרת שנייה וכו'. כמו שאומרים, כל הזכויות של מיעוטים מיניים מכובדות.

ובשיעור זה נלמד כיצד למצוא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן מרומז. זה לא כל כך קשה! כל כללי ההבחנה, טבלת הנגזרות של פונקציות יסודיות נשארות בתוקף. ההבדל הוא בנקודה אחת מוזרה, שאותה נשקול כעת.

כן, ואני אספר לכם את החדשות הטובות - המשימות הנידונות להלן מבוצעות על פי אלגוריתם די נוקשה וברור ללא אבן מול שלושה מסלולים.

דוגמה 1

1) בשלב הראשון, אנו תולים משיכות על שני החלקים:

2) אנו משתמשים בכללי הליניאריות של הנגזרת (שני הכללים הראשונים של השיעור איך למצוא את הנגזרת? דוגמאות לפתרונות):

3) בידול ישיר.
איך להבדיל ומובן לחלוטין. מה לעשות איפה שיש "משחקים" מתחת למכות?

- רק לחרפה, הנגזרת של פונקציה שווה לנגזרת שלה: .

איך להבדיל
כאן יש לנו פונקציה מורכבת. למה? נראה שמתחת לסינוס יש רק אות אחת "Y". אבל, העובדה היא שרק אות אחת "y" - היא פונקציה בפני עצמה(ראה הגדרה בתחילת השיעור). אז הסינוס הוא פונקציה חיצונית, – תפקוד פנימי. אנו משתמשים בכלל ההבחנה פונקציה מורכבת :

ניתן להבדיל את המוצר על פי הכלל הרגיל :

שימו לב שזו גם פונקציה מורכבת, כל "צעצוע טוויסט" הוא פונקציה מורכבת:

העיצוב של הפתרון עצמו צריך להיראות בערך כך:


אם יש סוגריים, פתח אותם:

4) בצד שמאל, אנו אוספים את המונחים שבהם יש "y" עם שבץ. IN צד ימין- אנחנו מעבירים את כל השאר:

5) בצד שמאל, אנו מוציאים את הנגזרת מתוך סוגריים:

6) ולפי כלל הפרופורציה נשמט את הסוגריים הללו למכנה של צד ימין:

נמצאה הנגזרת. מוּכָן.

מעניין לציין שניתן לשכתב כל פונקציה באופן מרומז. למשל, הפונקציה ניתן לשכתב כך: . ולהבדיל אותו לפי האלגוריתם שנחשב זה עתה. למעשה, הביטויים "פונקציה מרומזת" ו"פונקציה מרומזת" נבדלים בניואנס סמנטי אחד. הביטוי "פונקציה מוגדרת במרומז" הוא כללי ונכון יותר, - פונקציה זו ניתנת במרומז, אך כאן ניתן להביע "y" ולהציג את הפונקציה במפורש. הביטוי "פונקציה מרומזת" פירושו פונקציה מרומזת "קלאסית", כאשר לא ניתן לבטא "y".

הדרך השנייה לפתור

תשומת הלב!אתה יכול להכיר את השיטה השנייה רק ​​אם אתה יודע איך למצוא בביטחון נגזרות חלקיות. חשבון למתחילים ודומים בבקשה אל תקרא ודלג על פסקה זו, אחרת הראש יהיה בלגן מוחלט.

מצא את הנגזרת של הפונקציה המשתמעת בדרך השנייה.

אנו מעבירים את כל התנאים ל צד שמאל:

ושקול פונקציה של שני משתנים:

אז ניתן למצוא את הנגזרת שלנו על ידי הנוסחה
בואו נמצא נגזרות חלקיות:

לכן:

הפתרון השני מאפשר לבצע בדיקה. אבל לא רצוי לערוך עבורו גרסה סופית של המשימה, שכן שולטים בנגזרות חלקיות מאוחר יותר, ותלמיד שלומד את הנושא "נגזרת של פונקציה של משתנה אחד" לא צריך לדעת נגזרות חלקיות.

בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות.

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן מרומז

אנו תולים משיכות על שני החלקים:

אנו משתמשים בכללי הליניאריות:

מציאת נגזרות:

הרחבת כל הסוגריים:

אנו מעבירים את כל המונחים לצד שמאל, השאר - לצד ימין:

תשובה סופית:

דוגמה 3

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן מרומז

פתרון מלאועיצוב לדוגמה בסוף השיעור.

זה לא נדיר שמופיעים שברים לאחר בידול. במקרים כאלה, יש לזרוק שברים. בואו נסתכל על שתי דוגמאות נוספות.

דוגמה 4

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן מרומז

אנו מסכמים את שני החלקים תחת קווים ומשתמשים בכלל הליניאריות:

אנו מבדילים באמצעות כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת וכלל ההבחנה של המנה :

הרחבת הסוגריים:

עכשיו אנחנו צריכים להיפטר מהשבר. זה יכול להיעשות מאוחר יותר, אבל זה יותר רציונלי לעשות את זה מיד. המכנה של השבר הוא . לְהַכפִּיל על . בפירוט, זה ייראה כך:

לפעמים לאחר הבידול מופיעים 2-3 שברים. אם היה לנו עוד שבר אחד, למשל, אז היה צריך לחזור על הפעולה - הכפל כל מונח של כל חלקעַל

בצד שמאל, שמנו אותו מתוך סוגריים:

תשובה סופית:

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן מרומז

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. הדבר היחיד בו, לפני שנפטרים מהשבר, תצטרך קודם כל להיפטר מהמבנה בן שלוש הקומות של השבר עצמו. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

נגזרת של פונקציה מוגדרת פרמטרית

אל תתאמץ, גם בפסקה זו הכל די פשוט. אתה יכול לרשום את הנוסחה הכללית של פונקציה נתונה פרמטרית, אבל כדי שיהיה ברור, אכתוב מיד דוגמה ספציפית. בצורה פרמטרית, הפונקציה ניתנת על ידי שתי משוואות: . לעתים קרובות, משוואות נכתבות לא תחת סוגרים מסולסלים, אלא ברצף:,.

המשתנה נקרא פרמטרויכול לקחת ערכים מ"מינוס אינסוף" ל"פלוס אינסוף". שקול, למשל, את הערך והחלף אותו בשתי המשוואות: . או מבחינה אנושית: "אם x שווה לארבע, אז y שווה לאחד". ניתן לסמן נקודה במישור הקואורדינטות, ונקודה זו תתאים לערך הפרמטר. באופן דומה, אתה יכול למצוא נקודה עבור כל ערך של הפרמטר "te". לגבי הפונקציה ה"רגילה", עבור אינדיאנים אמריקאיםשל פונקציה מוגדרת פרמטרית, כל הזכויות גם מכובדות: אתה יכול לשרטט גרף, למצוא נגזרות וכו'. אגב, אם יש צורך בבניית גרף של פונקציה נתונה פרמטרית, אתה יכול להשתמש בתוכנית שלי.

במקרים הפשוטים ביותר, ניתן לייצג את הפונקציה במפורש. אנו מבטאים את הפרמטר מהמשוואה הראשונה: והחליפו אותו במשוואה השנייה: . התוצאה היא פונקציה מעוקבת רגילה.

במקרים "חמורים" יותר, טריק כזה לא עובד. אבל זה לא משנה, כי יש נוסחה למצוא את הנגזרת של פונקציה פרמטרית:

אנו מוצאים את הנגזרת של "השחקן ביחס למשתנה te":

כל כללי ההבחנה וטבלת הנגזרות תקפים, כמובן, לאות , כך, אין שום חידוש בתהליך מציאת נגזרים. פשוט החלף מנטלית את כל האיקסים בטבלה באות "te".

אנו מוצאים את הנגזרת של "x ביחס למשתנה te":

כעת נותר רק להחליף את הנגזרות שנמצאו בנוסחה שלנו:

מוּכָן. הנגזרת, כמו הפונקציה עצמה, תלויה גם היא בפרמטר .

לגבי הסימון, במקום לכתוב בנוסחה, אפשר פשוט לכתוב אותו ללא מנוי, מכיוון שזו הנגזרת "הרגילה" "ב-x". אבל תמיד יש וריאנט בספרות, אז אני לא אסטה מהתקן.

דוגמה 6

אנו משתמשים בנוסחה

במקרה הזה:

לכן:

תכונה של מציאת הנגזרת של פונקציה פרמטרית היא העובדה ש בכל שלב, כדאי לפשט את התוצאה ככל האפשר. אז, בדוגמה הנחשבת, כשמצאתי, פתחתי את הסוגריים מתחת לשורש (למרות שאולי לא עשיתי זאת). יש סיכוי גדול שכאשר מחליפים ונכנסים לנוסחה, הרבה דברים יצטמצמו היטב. אם כי יש כמובן דוגמאות עם תשובות מגושמות.

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן פרמטרי

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

במאמר הבעיות האופייניות הפשוטות ביותר עם נגזרתשקלנו דוגמאות שבהן נדרש למצוא את הנגזרת השנייה של פונקציה. עבור פונקציה נתונה פרמטרית, אתה יכול למצוא גם את הנגזרת השנייה, והיא נמצאת על ידי הנוסחה הבאה: . די ברור שכדי למצוא את הנגזרת השנייה, צריך קודם למצוא את הנגזרת הראשונה.

דוגמה 8

מצא את הנגזרת הראשונה והשנייה של פונקציה שניתנה באופן פרמטרי

בואו נמצא תחילה את הנגזרת הראשונה.
אנו משתמשים בנוסחה

במקרה הזה:

אנו מחליפים את הנגזרות שנמצאו בנוסחה. למען הפשטות, אנו משתמשים בנוסחה הטריגונומטרית:

הבה נבחן את ההגדרה של קו במישור, שבו המשתנים x, y הם פונקציות של המשתנה השלישי t (הנקרא פרמטר):

לכל ערך טמרווח כלשהו תואמים ערכים מסוימים איקסו y, ו, ומכאן נקודה מסוימת M(x, y) של המישור. מתי טעובר דרך כל הערכים ממרווח נתון, ואז הנקודה M (x, y) מתאר שורה כלשהי ל. משוואות (2.2) נקראות משוואות פרמטריות של הישר ל.

אם לפונקציה x = φ(t) יש הפוך t = Ф(x), אז החלפת ביטוי זה במשוואה y = g(t), נקבל y = g(Ф(x)), המפרטת yכתפקוד של איקס. במקרה זה, משוואות (2.2) אמורות להגדיר את הפונקציה yמבחינה פרמטרית.

דוגמה 1לתת M (x, y)היא נקודה שרירותית של מעגל הרדיוס רומרוכז במקור. לתת ט- הזווית בין הציר שׁוֹרורדיוס OM(ראה איור 2.3). לאחר מכן x, yלידי ביטוי באמצעות t:

משוואות (2.3) הן משוואות פרמטריות של המעגל. הבה נוציא את הפרמטר t מהמשוואות (2.3). לשם כך, נריבוע כל אחת מהמשוואות ונחבר אותה, נקבל: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) או x 2 + y 2 \u003d R 2 - משוואת המעגל במערכת הקואורדינטות הקרטזית. הוא מגדיר שתי פונקציות: כל אחת מהפונקציות הללו ניתנת על ידי משוואות פרמטריות (2.3), אבל עבור הפונקציה הראשונה , ועבור השנייה .

דוגמה 2. משוואות פרמטריות

להגדיר אליפסה עם צירים למחצה א, ב(איור 2.4). ביטול הפרמטר מהמשוואות ט, נקבל את המשוואה הקנונית של האליפסה:

דוגמה 3. ציקלואיד הוא קו המתואר על ידי נקודה המונחת על עיגול אם עיגול זה מתגלגל מבלי להחליק לאורך קו ישר (איור 2.5). הבה נציג את המשוואות הפרמטריות של הציקלואיד. תן לרדיוס המעגל המתגלגל להיות א, נקודה M, המתאר את הציקלואיד, בתחילת התנועה עלה בקנה אחד עם המקור.

בואו נקבע את הקואורדינטות איקס, נקודות Y Mלאחר שהמעגל הסתובב בזווית ט
(איור 2.5), t = ÐMCB. אורך קשת MBשווה לאורך הקטע OB,מאז העיגול מתגלגל בלי להחליק, אז

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - עלות).

אז מתקבלות המשוואות הפרמטריות של הציקלואיד:

בעת שינוי הפרמטר טמ-0 עד 2πהמעגל מסובב בסיבוב אחד, בעוד הנקודה Mמתאר קשת אחת של הציקלואיד. משוואות (2.5) מגדירות yכתפקוד של איקס. למרות הפונקציה x = a(t - sint)יש פונקציה הפוכה, אבל היא לא באה לידי ביטוי במונחים של פונקציות אלמנטריות, אז הפונקציה y = f(x)אינו מתבטא במונחים של פונקציות אלמנטריות.

שקול את הבידול של הפונקציה הניתנת באופן פרמטרי על ידי משוואות (2.2). לפונקציה x = φ(t) במרווח מסוים של שינויים t יש פונקציה הפוכה t = Ф(x), לאחר מכן y = g(Ф(x)). לתת x = φ(t), y = g(t)יש נגזרות, ו x"t≠0. על פי כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת y"x=y"t×t"x.מבוסס על כלל הבידול פונקציה הפוכה, בגלל זה:

הנוסחה המתקבלת (2.6) מאפשרת למצוא את הנגזרת לפונקציה שניתנת באופן פרמטרי.

דוגמה 4. תן את הפונקציה y, תלוי ב איקס, מוגדר באופן פרמטרי:

פִּתָרוֹן. .
דוגמה 5מצא את שיפוע קמשיק לציקלואיד בנקודה M 0 המתאימה לערך הפרמטר.
פִּתָרוֹן.מתוך משוואות הציקלואידים: y" t = asint, x" t = a(1 - עלות),בגלל זה

מִדרוֹןמשיק בנקודה M0 שווה לערךבְּ- t 0 \u003d π / 4:

הפרש פונקציות

הניחו לפונקציה בנקודה מסוימת x0יש נגזרת. A-priory:
לפיכך, לפי מאפייני הגבול (סעיף 1.8), שבו אקטן לאין שיעור ב ∆x → 0. מכאן

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

בתור Δx → 0, האיבר השני בשוויון (2.7) הוא מסדר גבוה אינסופי, בהשוואה ל , לכן Δy ו-f "(x 0) × Δx שווים, אינסופיים (עבור f "(x 0) ≠ 0).

לפיכך, התוספת של הפונקציה Δy מורכבת משני איברים, שבהם ה-f הראשון "(x 0) × Δx הוא חלק ראשי מגדיל את Δy, ליניארי ביחס ל-Δx (עבור f "(x 0) ≠ 0).

דִיפֵרֶנציִאָלִיהפונקציה f(x) בנקודה x 0 נקראת החלק העיקרי של התוספת של הפונקציה והיא מסומנת: dyאוֹ df(x0). לָכֵן,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

דוגמה 1מצא את ההפרש של פונקציה dyוהתוספת של הפונקציה Δy עבור הפונקציה y \u003d x 2 כאשר:
1) שרירותי איקסו- Δ איקס; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

פִּתָרוֹן

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) אם x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1, אז Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy = 40×0.1= 4.

אנו כותבים שוויון (2.7) בצורה:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

התוספת Δy שונה מההפרש dyלסדר אינסופי גבוה יותר בהשוואה ל-Δx, לכן, בחישובים משוערים, השוויון המשוער Δy ≈ dy משמש אם Δx קטן מספיק.

בהתחשב בכך ש- Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), אנו מקבלים נוסחה משוערת:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

דוגמה 2. חשב בערך.

פִּתָרוֹן.לשקול:

באמצעות נוסחה (2.10), נקבל:

לפיכך, ≈ 2.025.

לשקול חוש גיאומטרידִיפֵרֶנציִאָלִי df(x0)(איור 2.6).

צייר משיק לגרף של הפונקציה y = f (x) בנקודה M 0 (x0, f (x 0)), תן ל-φ להיות הזווית בין המשיק KM0 לציר Ox, ואז f "(x 0) ) = tgφ. מ-ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). אבל PN הוא התוספת של האורדיינטה המשיקת כאשר x משתנה מ-x 0 ל-x 0 + Δx.

לכן, ההפרש של הפונקציה f(x) בנקודה x 0 שווה לתוספת של הסמכת המשיקת.

בואו נמצא את ההפרש של הפונקציה
y=x. מכיוון ש-(x)" = 1, אז dx = 1 × Δx = Δx. אנו מניחים שההפרש של המשתנה הבלתי תלוי x שווה לתוספת שלו, כלומר dx = Δx.

אם x הוא מספר שרירותי, אז מהשוויון (2.8) נקבל df(x) = f "(x)dx, ומשם .
לפיכך, הנגזרת של הפונקציה y = f(x) שווה ליחס בין ההפרש שלה להפרש של הארגומנט.

שקול את המאפיינים של ההפרש של פונקציה.

אם u(x), v(x) הן פונקציות שניתן להבדיל, אז הנוסחאות הבאות נכונות:

כדי להוכיח נוסחאות אלו, נעשה שימוש בנוסחאות נגזרות של הסכום, המכפלה והמנה. הבה נוכיח, למשל, נוסחה (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

שקול את ההפרש של פונקציה מורכבת: y = f(x), x = φ(t), כלומר. y = f(φ(t)).

אז dy = y" t dt, אבל y" t = y" x ×x" t , אז dy = y" x x" t dt. לוקח בחשבון,

ש-x" t = dx, נקבל dy = y" x dx = f "(x)dx.

לפיכך, ההפרש של פונקציה מורכבת y \u003d f (x), כאשר x \u003d φ (t), הוא בעל הצורה dy \u003d f "(x) dx, זהה לזה כאשר x הוא משתנה בלתי תלוי. מאפיין זה נקרא דיפרנציאל בלתי משתנה של צורה א.

ניתן להגדיר את הפונקציה בכמה דרכים. זה תלוי בכלל המשמש בעת הגדרתו. הצורה המפורשת של הגדרת הפונקציה היא y = f (x) . ישנם מקרים שבהם התיאור שלו בלתי אפשרי או לא נוח. אם יש קבוצה של זוגות (x; y) שצריך לחשב עבור הפרמטר t על פני המרווח (a; b). כדי לפתור את המערכת x = 3 cos t y = 3 sin t עם 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

הגדרת פונקציה פרמטרית

מכאן שיש לנו ש-x = φ (t) , y = ψ (t) מוגדרים על עבור t ∈ (a ; b) ויש להם פונקציה הפוכה t = Θ (x) עבור x = φ (t) , אז בשאלהעל קביעת משוואה פרמטרית של פונקציה בצורה y = ψ (Θ (x)) .

ישנם מקרים שבהם, על מנת ללמוד פונקציה, נדרש לחפש את הנגזרת ביחס ל-x. שקול את הנוסחה לנגזרת של פונקציה נתונה פרמטרית של הצורה y x " = ψ " (t) φ " (t) , בואו נדבר על הנגזרת של הסדר השני וה-n.

גזירת הנוסחה לנגזרת של פונקציה נתונה פרמטרית

יש לנו ש-x = φ (t) , y = ψ (t) , מוגדר וניתן להבדיל עבור t ∈ a ; b , כאשר x t " = φ " (t) ≠ 0 ו-x = φ (t) , אז יש פונקציה הפוכה מהצורה t = Θ (x) .

מלכתחילה, עליך לעבור ממשימה פרמטרית למשימה מפורשת. כדי לעשות זאת, אתה צריך לקבל פונקציה מורכבת בצורה y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), שבו יש ארגומנט x .

בהתבסס על הכלל למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת, נקבל ש-y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

זה מראה ש-t = Θ (x) ו-x = φ (t) הן פונקציות הפוכות מנוסחת הפונקציה ההפוכה Θ "(x) = 1 φ" (t) , ואז y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

נעבור לשקול פתרון של מספר דוגמאות באמצעות טבלת נגזרות לפי כלל ההבחנה.

דוגמה 1

מצא את הנגזרת לפונקציה x = t 2 + 1 y = t .

פִּתָרוֹן

לפי תנאי, יש לנו ש-φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, מכאן שאנו מקבלים ש-φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1. יש צורך להשתמש בנוסחה הנגזרת ולכתוב את התשובה בטופס:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

תשובה: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

בעבודה עם נגזרת של פונקציה, הפרמטר t מציין את הביטוי של הארגומנט x דרך אותו פרמטר t על מנת לא לאבד את הקשר בין ערכי הנגזרת לפונקציה המצוינת פרמטרית עם הארגומנט שאליו אלה ערכים תואמים.

כדי לקבוע את הנגזרת מסדר שני של פונקציה נתונה פרמטרית, עליך להשתמש בנוסחה של הנגזרת מסדר ראשון על הפונקציה המתקבלת, ואז נקבל את זה

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

דוגמה 2

מצא את הנגזרות מסדר 2 ו-2 של הפונקציה הנתונה x = cos (2 t) y = t 2 .

פִּתָרוֹן

לפי תנאי, נקבל שφ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

ואז אחרי טרנספורמציה

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

מכאן נובע ש-y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

נקבל שצורת הנגזרת מהסדר הראשון היא x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

כדי לפתור אותה, עליך ליישם את נוסחת הנגזרת מסדר שני. אנחנו מקבלים ביטוי כמו

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

לאחר מכן הגדרת נגזרת מסדר 2 באמצעות הפונקציה הפרמטרית

x = cos (2 ט) y x "" = sin (2 ט) - 2 ט cos (2 ט) 2 sin 3 (2 ט)

פתרון דומה יכול להיפתר בשיטה אחרת. לאחר מכן

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

מכאן שאנחנו מקבלים את זה

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 ט)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 ט) - 2 t cos (2 ט) 2 s i n 3 (2 ט)

תשובה: y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

באופן דומה, נמצאות נגזרות מסדר גבוה יותר עם פונקציות מוגדרות פרמטרית.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

אל תתאמץ, גם בפסקה זו הכל די פשוט. אתה יכול לרשום את הנוסחה הכללית של פונקציה נתונה פרמטרית, אבל, כדי להבהיר אותה, אכתוב מיד דוגמה ספציפית. בצורה פרמטרית, הפונקציה ניתנת על ידי שתי משוואות: . לעתים קרובות, משוואות נכתבות לא תחת סוגרים מסולסלים, אלא ברצף:,.

משתנה נקרא פרמטר והוא יכול לקחת ערכים מ"מינוס אינסוף" ל"פלוס אינסוף". שקול, למשל, את הערך והחלף אותו בשתי המשוואות: . או מבחינה אנושית: "אם x שווה לארבע, אז y שווה לאחד". ניתן לסמן נקודה במישור הקואורדינטות, ונקודה זו תתאים לערך הפרמטר. באופן דומה, אתה יכול למצוא נקודה עבור כל ערך של הפרמטר "te". לגבי הפונקציה ה"רגילה", עבור האינדיאנים האמריקאים של פונקציה נתונה פרמטרית, כל הזכויות מכובדות גם: ניתן לשרטט גרף, למצוא נגזרות וכו'. אגב, אם יש צורך לבנות גרף של פונקציה נתונה פרמטרית, הורידו את התוכנית הגיאומטרית שלי בעמוד נוסחאות וטבלאות מתמטיות.

במקרים הפשוטים ביותר, ניתן לייצג את הפונקציה במפורש. אנו מבטאים את הפרמטר מהמשוואה הראשונה: והחליפו אותו במשוואה השנייה: . התוצאה היא פונקציה מעוקבת רגילה.

במקרים "חמורים" יותר, טריק כזה לא עובד. אבל זה לא משנה, כי יש נוסחה למצוא את הנגזרת של פונקציה פרמטרית:

אנו מוצאים את הנגזרת של "השחקן ביחס למשתנה te":

כל כללי ההבחנה וטבלת הנגזרות תקפים, כמובן, לאות , כך, אין שום חידוש בתהליך מציאת נגזרים. פשוט החלף מנטלית את כל האיקסים בטבלה באות "te".

אנו מוצאים את הנגזרת של "x ביחס למשתנה te":

כעת נותר רק להחליף את הנגזרות שנמצאו בנוסחה שלנו:

מוּכָן. הנגזרת, כמו הפונקציה עצמה, תלויה גם היא בפרמטר .

לגבי הסימון, במקום לכתוב בנוסחה, אפשר פשוט לכתוב אותו ללא מנוי, מכיוון שזו הנגזרת "הרגילה" "ב-x". אבל תמיד יש וריאנט בספרות, אז אני לא אסטה מהתקן.

דוגמה 6

אנו משתמשים בנוסחה

במקרה הזה:

לכן:

תכונה של מציאת הנגזרת של פונקציה פרמטרית היא העובדה ש בכל שלב, כדאי לפשט את התוצאה ככל האפשר. אז, בדוגמה הנחשבת, כשמצאתי, פתחתי את הסוגריים מתחת לשורש (למרות שאולי לא עשיתי זאת). יש סיכוי גדול שכאשר מחליפים ונכנסים לנוסחה, הרבה דברים יצטמצמו היטב. אם כי יש כמובן דוגמאות עם תשובות מגושמות.

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה שניתנה באופן פרמטרי

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

במאמר הבעיות האופייניות הפשוטות ביותר עם נגזרת שקלנו דוגמאות שבהן נדרש למצוא את הנגזרת השנייה של פונקציה. עבור פונקציה נתונה פרמטרית, אתה יכול למצוא גם את הנגזרת השנייה, והיא נמצאת על ידי הנוסחה הבאה: . די ברור שכדי למצוא את הנגזרת השנייה, צריך קודם למצוא את הנגזרת הראשונה.

דוגמה 8

מצא את הנגזרת הראשונה והשנייה של פונקציה שניתנה באופן פרמטרי

בואו נמצא תחילה את הנגזרת הראשונה.
אנו משתמשים בנוסחה

במקרה הזה:

מחליף את הנגזרות שנמצאו בנוסחה. למען הפשטות, אנו משתמשים בנוסחה הטריגונומטרית:

שמתי לב שבבעיה של מציאת הנגזרת של פונקציה פרמטרית, לעתים קרובות למדי, על מנת לפשט, יש להשתמש נוסחאות טריגונומטריות . זכור אותם או שמור אותם בהישג יד, ואל תפספס את ההזדמנות לפשט כל תוצאת ביניים ותשובות. בשביל מה? כעת עלינו לקחת את הנגזרת של , וזה בבירור טוב יותר מאשר למצוא את הנגזרת של .

בואו נמצא את הנגזרת השנייה.
אנו משתמשים בנוסחה: .

בואו נסתכל על הנוסחה שלנו. המכנה כבר נמצא בשלב הקודם. נותר למצוא את המונה - הנגזרת של הנגזרת הראשונה ביחס למשתנה "te":

נותר להשתמש בנוסחה:

כדי לאחד את החומר, אני מציע עוד כמה דוגמאות לפתרון עצמאי.

דוגמה 9

דוגמה 10

מצא ועבור פונקציה המוגדרת באופן פרמטרי

אני מאחל לך הצלחה!

אני מקווה ששיעור זה היה שימושי, ועכשיו אתה יכול למצוא בקלות נגזרות של פונקציות מרומזות ופונקציות פרמטריות

פתרונות ותשובות:

דוגמה 3: פתרון:






לכן: