סכימת הורנר - שיטה לחלוקת פולינום

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

על הבינומי $x-a$. תצטרך לעבוד עם טבלה, שהשורה הראשונה שלה מכילה את המקדמים של פולינום נתון. האלמנט הראשון של השורה השנייה יהיה המספר $a$, שנלקח מהבינומי $x-a$:

לאחר חלוקת פולינום ממעלה n בבינומי $x-a$, נקבל פולינום שהדרגה שלו קטנה באחד מהמקורי, כלומר. שווה ל-$n-1$. היישום הישיר של התוכנית של הורנר הוא הקל ביותר להדגמה באמצעות דוגמאות.

דוגמה מס' 1

חלקו $5x^4+5x^3+x^2-11$ ב-$x-1$ באמצעות הסכמה של הורנר.

נעשה טבלה של שתי שורות: בשורה הראשונה נכתוב את המקדמים של הפולינום $5x^4+5x^3+x^2-11$, מסודרים בסדר יורד של חזקות של המשתנה $x$. שימו לב שפולינום זה אינו מכיל $x$ במידה הראשונה, כלומר. המקדם של $x$ בחזקת הראשונה הוא 0. מכיוון שאנו מחלקים ב-$x-1$, נכתוב אחד בשורה השנייה:

נתחיל למלא את התאים הריקים בשורה השנייה. בתא השני של השורה השנייה נכתוב את המספר $5$, פשוט נעביר אותו מהתא המתאים של השורה הראשונה:

בואו נמלא את התא הבא לפי העיקרון הזה: $1\cdot 5+5=10$:

בואו נמלא את התא הרביעי של השורה השנייה באותו אופן: $1\cdot 10+1=11$:

עבור התא החמישי נקבל: $1\cdot 11+0=11$:

ולבסוף, עבור התא האחרון, השישי, יש לנו: $1\cdot 11+(-11)=0$:

הבעיה נפתרה, כל שנותר הוא לרשום את התשובה:

כפי שניתן לראות, המספרים הממוקמים בשורה השנייה (בין אחד לאפס) הם המקדמים של הפולינום המתקבלים לאחר חלוקת $5x^4+5x^3+x^2-11$ ב$x-1$. באופן טבעי, מכיוון שהדרגה של הפולינום המקורי $5x^4+5x^3+x^2-11$ הייתה שווה לארבע, מידת הפולינום שנוצר $5x^3+10x^2+11x+11$ היא אחת פחות, כלומר . שווה לשלוש. המספר האחרון בשורה השנייה (אפס) פירושו היתרה כאשר מחלקים את הפולינום $5x^4+5x^3+x^2-11$ ב-$x-1$. במקרה שלנו, היתרה היא אפס, כלומר. פולינומים ניתנים לחלוקה שווה. ניתן לאפיין תוצאה זו גם כך: הערך של הפולינום $5x^4+5x^3+x^2-11$ עבור $x=1$ שווה לאפס.

ניתן לנסח את המסקנה גם בצורה זו: מכיוון שהערך של הפולינום $5x^4+5x^3+x^2-11$ ב-$x=1$ שווה לאפס, אז האחדות היא שורש הפולינום $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

דוגמה מס' 2

חלקו את הפולינום $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ב-$x+3$ באמצעות הסכימה של הורנר.

הבה נקבע מיד שהביטוי $x+3$ חייב להיות מוצג בצורה $x-(-3)$. התוכנית של הורנר תכלול בדיוק $-3$. מכיוון שהדרגה של הפולינום המקורי $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ שווה לארבע, אז כתוצאה מחלוקה נקבל פולינום מהמעלה השלישית:

התוצאה אומרת את זה

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

במצב זה, היתרה בעת חלוקת $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ב-$x+3$ היא $4$. או, מה זהה, הערך של הפולינום $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ עבור $x=-3$ שווה ל$4$. אגב, קל לבדוק זאת על ידי החלפה ישירה של $x=-3$ בפולינום הנתון:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

הָהֵן. ניתן להשתמש בסכמה של הורנר אם אתה צריך למצוא את הערך של פולינום עבור ערך נתון של משתנה. אם המטרה שלנו היא למצוא את כל השורשים של פולינום, אז ניתן ליישם את הסכימה של הורנר מספר פעמים ברציפות עד שמיצינו את כל השורשים, כפי שנדון בדוגמה מס' 3.

דוגמה מס' 3

מצא את כל השורשים שלמים של הפולינום $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ באמצעות הסכימה של הורנר.

המקדמים של הפולינום המדובר הם מספרים שלמים, ומקדם החזקה הגבוהה ביותר של המשתנה (כלומר, $x^6$) שווה לאחד. במקרה זה, יש לחפש את השורשים השלמים של הפולינום בין מחלקי האיבר החופשי, כלומר. בין המחלקים של המספר 45. עבור פולינום נתון, שורשים כאלה יכולים להיות המספרים $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ ו-$-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. בוא נבדוק, למשל, את המספר $1$:

כפי שאתה יכול לראות, הערך של הפולינום $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ עם $x=1$ שווה ל-$192$ (המספר האחרון בשורה השנייה), ולא $0 $, לכן אחדות היא לא השורש של הפולינום הזה. מכיוון שהבדיקה של אחד נכשלה, בואו נבדוק את הערך $x=-1$. לא ניצור טבלה חדשה עבור זה, אלא נמשיך להשתמש בטבלה. מס' 1, מוסיף לו שורה חדשה (שלישית). השורה השנייה, שבה סומן הערך של $1$, תודגש באדום ולא תשמש בדיונים נוספים.

אתה יכול, כמובן, פשוט לשכתב את הטבלה שוב, אבל מילויה באופן ידני ייקח הרבה זמן. יתרה מכך, ייתכנו מספר מספרים שהאימות שלהם ייכשל, וקשה לכתוב טבלה חדשה בכל פעם. בעת חישוב "על הנייר", ניתן פשוט לחצות את הקווים האדומים.

אז, הערך של הפולינום $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ב-$x=-1$ שווה לאפס, כלומר. המספר $-1$ הוא השורש של פולינום זה. לאחר חלוקת הפולינום $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ בבינומי $x-(-1)=x+1$ נקבל את הפולינום $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, המקדמים שלהם לקוחים מהשורה השלישית של הטבלה. מס' 2 (ראה דוגמה מס' 1). את תוצאת החישובים ניתן להציג גם בצורה זו:

\begin(equation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(משוואה)

בואו נמשיך בחיפוש אחר שורשים שלמים. כעת עלינו לחפש את השורשים של הפולינום $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. שוב, השורשים השלמים של הפולינום הזה מחפשים בין המחלקים של המונח החופשי שלו, המספרים $45$. בוא ננסה לבדוק שוב את המספר $-1$. לא ניצור טבלה חדשה, אלא נמשיך להשתמש בטבלה הקודמת. מס' 2, כלומר. בוא נוסיף לזה עוד שורה אחת:

אז, המספר $-1$ הוא השורש של הפולינום $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. תוצאה זו יכולה להיכתב כך:

\begin(equation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(equation)

בהתחשב בשוויון (2), ניתן לשכתב את השוויון (1) בצורה הבאה:

\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(aligned)\end(equation)

כעת עלינו לחפש את השורשים של הפולינום $x^4-22x^2+24x+45$ - באופן טבעי, בין המחלקים של המונח החופשי שלו (המספרים $45$). בוא נבדוק שוב את המספר $-1$:

המספר $-1$ הוא השורש של הפולינום $x^4-22x^2+24x+45$. תוצאה זו יכולה להיכתב כך:

\begin(equation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(equation)

בהתחשב בשוויון (4), אנו משכתבים את השוויון (3) בצורה הבאה:

\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(aligned)\end(equation)

כעת אנו מחפשים את השורשים של הפולינום $x^3-x^2-21x+45$. בוא נבדוק שוב את המספר $-1$:

הצ'ק הסתיים בכישלון. בואו נסמן את השורה השישית באדום וננסה לבדוק מספר אחר, למשל, המספר $3$:

השאר הוא אפס, לכן המספר $3$ הוא השורש של הפולינום המדובר. אז, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. כעת ניתן לשכתב את השוויון (5) באופן הבא.

שקופית 3

הורנר וויליאמס ג'ורג' (1786-22.9.1837) - מתמטיקאי אנגלי. נולד בבריסטול. הוא למד ועבד שם, ואז בבתי ספר בבאת'. עבודות בסיסיות על אלגברה. בשנת 1819 פרסמה שיטה לחישוב משוער של השורשים האמיתיים של פולינום, אשר נקראת כיום שיטת Ruffini-Horner (שיטה זו הייתה ידועה לסינים עוד במאה ה-13). הסכימה לחלוקת פולינום בבינומי x-a נקראת בשם אחרי הורנר.

שקופית 4

תוכנית HORNER

שיטת החלוקה פולינום nתואר על בינומי ליניארי - א, בהתבסס על העובדה שהמקדמים של המנה הלא מלאה והשאר קשורים למקדמים של הפולינום המתחלק ועם הנוסחאות:

שקופית 5

חישובים לפי הסכימה של הורנר ממוקמים בטבלה:

דוגמה 1. חלק המנה החלקית היא x3-x2+3x - 13 והשאר הוא 42=f(-3).

שקופית 6

היתרון העיקרי של שיטה זו הוא הקומפקטיות של התווים והיכולת לחלק במהירות פולינום לבינומי. למעשה, התוכנית של הורנר היא צורה נוספת של הקלטת שיטת הקיבוץ, אם כי, בניגוד לזו האחרונה, היא לחלוטין לא ויזואלית. התשובה (פקטוריזציה) מתקבלת כאן מעצמה, ואיננו רואים את תהליך קבלתה. לא נעסוק בביסוס קפדני של התוכנית של הורנר, אלא רק נראה איך זה עובד.

שקופית 7

דוגמה 2.

בואו נוכיח שהפולינום P(x)=x4-6x3+7x-392 מתחלק ב-x-7, ונמצא את המנה של החלוקה. פִּתָרוֹן. באמצעות הסכמה של הורנר, אנו מוצאים P(7): מכאן אנו מקבלים P(7)=0, כלומר. היתרה כאשר מחלקים פולינום ב-x-7 שווה לאפס, ולכן, הפולינום P(x) הוא כפולה של (x-7). יתרה מכך, המספרים בשורה השנייה של הטבלה הם המקדמים של מנה של P(x) חלקי (x-7), לכן P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

שקופית 8

חשב את הפולינום x3 – 5x2 – 2x + 16.

לפולינום הזה יש מקדמים שלמים. אם מספר שלם הוא השורש של פולינום זה, אז הוא מחלק של המספר 16. לפיכך, אם לפולינום נתון יש שורשים שלמים, אז אלה יכולים להיות רק המספרים ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. על ידי אימות ישיר אנו משוכנעים שהמספר 2 הוא השורש של פולינום זה, כלומר x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), כאשר Q(x) הוא פולינום מהמעלה השנייה

שקופית 9

המספרים המתקבלים 1, −3, −8 הם המקדמים של הפולינום, המתקבל על ידי חלוקת הפולינום המקורי ב-x – 2. המשמעות היא שתוצאת החלוקה היא: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. מידת הפולינום הנובעת מחלוקה תמיד קטנה ב-1 מדרגת הפולינום המקורי. אז: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

אחורה קדימה

תשומת הלב! תצוגות מקדימות של השקופיות מיועדות למטרות מידע בלבד וייתכן שאינן מייצגות את כל התכונות של המצגת. אם אתה מעוניין העבודה הזו, אנא הורד את הגרסה המלאה.

סוג שיעור: שיעור בשליטה וגיבוש ידע ראשוני.

מטרת השיעור:

• הציגו לתלמידים את מושג השורשים של פולינום וללמד אותם כיצד למצוא אותם. שפר מיומנויות בשימוש בסכימה של הורנר להרחבת פולינום בחזקות וחלוקת פולינום בבינומי.
• למד למצוא את השורשים של משוואה באמצעות הדיאגרמה של הורנר.
• לפתח חשיבה מופשטת.
• לטפח תרבות מחשוב.
• פיתוח קשרים בין-תחומיים.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני.

ליידע את נושא השיעור, לגבש מטרות.

2. בדיקת שיעורי בית.

3. לימוד חומר חדש.

תן Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - פולינום עבור x של תואר n, כאשר a 0 , a 1 ,...,a n נתונים למספרים, ו-0 אינו שווה ל-0. אם הפולינום F n (x) מחולק עם השאר ב- בינומי x-a, אז המנה (מנה לא מלאה) היא פולינום Q n-1 (x) בדרגה n-1, השארית R היא מספר, והשוויון נכון F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.הפולינום F n (x) מתחלק בבינומי (x-a) רק במקרה של R=0.

משפט בזוט: השארית R כאשר מחלקים פולינום F n (x) בבינומי (x-a) שווה לערךפולינום F n (x) עבור x=a, כלומר. R=Pn(a).

קצת היסטוריה. משפט בזוט, למרות הפשטות והמובן מאליו שלו, הוא אחד ממשפטי היסוד של תורת הפולינומים. משפט זה מקשר בין המאפיינים האלגבריים של פולינומים (המאפשרים להתייחס לפולינומים כאל מספרים שלמים) למאפיינים הפונקציונליים שלהם (המאפשרים להתייחס לפולינומים כאל פונקציות). אחת הדרכים לפתור משוואות בדרגות גבוהות יותר היא לחשב את הפולינום בצד שמאל של המשוואה. חישוב המקדמים של הפולינום והשאר כתוב בצורה של טבלה הנקראת סכמת הורנר.

הסכימה של הורנר היא אלגוריתם לחלוקת פולינומים, שנכתב עבור המקרה המיוחד כאשר המנה שווה לבינומי x–a.

הורנר ויליאם ג'ורג' (1786 - 1837), מתמטיקאי אנגלי. מחקר בסיסי מתייחס לתיאוריה משוואות אלגבריות. פיתח שיטה לפתרון משוער של משוואות בכל דרגה. בשנת 1819 הוא הציג שיטה חשובה לאלגברה של חלוקת פולינום בבינומי x - a (הסכמה של הורנר).

גזירת הנוסחה הכללית לתכנית של הורנר.

חלוקת פולינום f(x) עם שארית בבינומיאל (x-c) פירושה מציאת פולינום q(x) ומספר r כך ש-f(x)=(x-c)q(x)+r

הבה נכתוב את השוויון הזה בפירוט:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

הבה נשווה את המקדמים באותן מעלות:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

הדגמה של המעגל של הורנר באמצעות דוגמה.

תרגיל 1.באמצעות הסכמה של הורנר, אנו מחלקים את הפולינום f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 עם השאר בבינומי x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, כאשר g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 שארית.

הרחבה של פולינום בחזקות של בינומי.

באמצעות הסכמה של הורנר, אנו מרחיבים את הפולינום f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 בחזקות הבינומי (x+2).

כתוצאה מכך, עלינו לקבל את ההרחבה f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2) 2 -2(x+2)+12

הסכימה של הורנר משמשת לעתים קרובות בעת פתרון משוואות מהמעלה השלישית, הרביעית והגבוהה יותר, כאשר נוח להרחיב את הפולינום לבינומי x-a. מספר אשקוראים לו שורש הפולינום F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, אם ב x=aהערך של הפולינום F n (x) שווה לאפס: F n (a)=0, כלומר. אם הפולינום מתחלק בבינומי x-a.

לדוגמה, המספר 2 הוא השורש של הפולינום F 3 (x)=3x 3 -2x-20, שכן F 3 (2)=0. זה אומר. שהפירוק לגורמים של הפולינום הזה מכיל פקטור x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

כל פולינום F n(x) של תואר נלא יכול להיות יותר נשורשים אמיתיים.

כל שורש שלם של משוואה עם מקדמים שלמים הוא מחלק של האיבר החופשי שלה.

אם המקדם המוביל של המשוואה הוא 1, אז הכל שורשים רציונלייםהמשוואות, אם הן קיימות, הן מספרים שלמים.

איחוד החומר הנלמד.

כדי לגבש את החומר החדש, התלמידים מוזמנים להשלים מספרים מתוך ספר הלימוד 2.41 ו-2.42 (עמ' 65).

(2 תלמידים פותרים בלוח, והשאר, לאחר שהחליטו, בדוק את המטלות במחברת עם התשובות על הלוח).

תִמצוּת.

לאחר שהבנו את המבנה ועקרון הפעולה של סכימת הורנר, ניתן להשתמש בה גם בשיעורי מדעי המחשב, כאשר נשקלת סוגיית המרת המספרים השלמים ממערכת המספרים העשרונית למערכת הבינארית ולהיפך. הבסיס למעבר ממערכת מספרים אחת לאחרת הוא המשפט הכללי הבא

מִשׁפָּט.כדי להמיר מספר שלם אפמ עמערכת מספרים ארית למערכת מספרים בסיסית דנחוץ אפמחלקים ברצף עם השאר במספר ד, כתוב באותו עמערכת -ארית עד שהמנה המתקבלת תהיה שווה לאפס. השאריות מהחלוקה יהיו ד-ספרות מספריות מוֹדָעָה, החל מהקטגוריה הצעירה ועד הבכירה ביותר. יש לבצע את כל הפעולות ב עמערכת מספרים -ארית. לגבר החוק הזהנוח רק מתי ע= 10, כלומר. בעת תרגום ממערכת עשרונית. לגבי המחשב, להיפך, "נוח יותר" לו לבצע בו חישובים מערכת בינארית. לכן, כדי להמיר "2 ל-10", משתמשים בחלוקה רציפה בעשר במערכת הבינארית, ו-"10 ל-2" היא חיבור של חזקות של עשר. כדי לייעל את החישובים של הליך "10 ב-2", המחשב משתמש בסכימת המחשוב החסכונית של הורנר.

שיעורי בית. מוצע להשלים שתי משימות.

1. באמצעות הסכמה של הורנר, חלקו את הפולינום f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 בבינומיאל (x-3).

2. מצא את השורשים השלמים של הפולינום f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (בהתחשב בכך שכל שורש שלם של משוואה עם מקדמים שלמים הוא מחלק של האיבר החופשי שלו)

סִפְרוּת.

1. קורוש א.ג. "קורס האלגברה הגבוהה".
2. ניקולסקי S.M., Potapov M.K. ועוד. כיתה י' "אלגברה והתחלות הניתוח המתמטי".
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

כאשר פותרים משוואות ואי-שוויון, לעיתים קרובות יש צורך להתייחס לפולינום שהדרגה שלו היא שלוש ומעלה. במאמר זה נבחן את הדרך הקלה ביותר לעשות זאת.

כרגיל, בואו נפנה לתיאוריה לעזרה.

המשפט של בזוטקובע כי השארית כאשר מחלקים פולינום בבינומי הוא .

אבל מה שחשוב לנו זה לא המשפט עצמו, אלא תוצאה מכך:

אם המספר הוא השורש של פולינום, אז הפולינום מתחלק בבינומי ללא שארית.

אנו עומדים בפני המשימה איכשהו למצוא לפחות שורש אחד של הפולינום, ואז לחלק את הפולינום ב- , היכן נמצא שורש הפולינום. כתוצאה מכך, אנו מקבלים פולינום שהדרגה שלו קטנה באחד מהמדרגה של המקור. ואז, אם יש צורך, אתה יכול לחזור על התהליך.

משימה זו מתחלקת לשניים: איך למצוא את השורש של פולינום, ואיך לחלק פולינום בבינומי.

בואו נסתכל מקרוב על הנקודות הללו.

1. איך למצוא את השורש של פולינום.

ראשית, נבדוק האם המספרים 1 ו-1 הם שורשים של הפולינום.

העובדות הבאות יעזרו לנו כאן:

אם סכום כל המקדמים של פולינום הוא אפס, אז המספר הוא שורש הפולינום.

לדוגמה, בפולינום סכום המקדמים הוא אפס: . קל לבדוק מהו השורש של פולינום.

אם סכום המקדמים של פולינום בחזקות זוגיות שווה לסכום המקדמים בחזקות אי-זוגיות, אז המספר הוא שורש הפולינום.המונח החופשי נחשב למקדם עבור תואר זוגי, שכן , a הוא מספר זוגי.

לדוגמה, בפולינום סכום המקדמים עבור חזקות זוגיות הוא: , וסכום המקדמים עבור חזקות אי-זוגיות הוא: . קל לבדוק מהו השורש של פולינום.

אם לא 1 ולא -1 הם שורשים של הפולינום, אז נמשיך הלאה.

עבור פולינום מופחת של תואר (כלומר, פולינום שבו המקדם המוביל - המקדם ב - שווה לאחדות), נוסחת Vieta תקפה:

היכן נמצאים השורשים של הפולינום.

ישנן גם נוסחאות וייטה הנוגעות למקדמים הנותרים של הפולינום, אך אנו מעוניינים בזו.

מנוסחת וייטה זו נובע מכך אם השורשים של פולינום הם מספרים שלמים, אז הם מחלקים של האיבר החופשי שלו, שהוא גם מספר שלם.

על סמך זה, עלינו לחלק את האיבר החופשי של הפולינום לגורמים, וברצף, מהקטן לגדול, לבדוק איזה מהגורמים הוא שורש הפולינום.

קחו למשל את הפולינום

מחלקים לטווח החופשי: ; ; ;

סכום כל המקדמים של פולינום שווה ל , לכן המספר 1 אינו שורש הפולינום.

סכום המקדמים עבור כוחות זוגיים:

סכום המקדמים עבור חזקות אי-זוגיות:

לכן, גם המספר -1 אינו שורש של הפולינום.

בוא נבדוק אם המספר 2 הוא שורש הפולינום: לכן, המספר 2 הוא שורש הפולינום. פירוש הדבר, לפי משפט בזוט, הפולינום מתחלק בבינומי ללא שארית.

2. איך מחלקים פולינום לבינומי.

ניתן לחלק פולינום לבינומי על ידי עמודה.

חלקו את הפולינום בבינומיאל באמצעות עמודה:

ישנה דרך נוספת לחלק פולינום בבינומיאל - הסכמה של הורנר.

צפה בסרטון זה כדי להבין כיצד לחלק פולינום בבינומיאל עם עמודה, ובאמצעות הדיאגרמה של הורנר.

אני מציין שאם, כאשר מחלקים בעמודה, חסרה מידה מסוימת של הלא נודע בפולינום המקורי, נכתוב 0 במקומו - באותו אופן כמו בעת הידור של טבלה עבור הסכימה של הורנר.

לכן, אם אנחנו צריכים לחלק פולינום בבינומי וכתוצאה מהחלוקה נקבל פולינום, אז נוכל למצוא את המקדמים של הפולינום באמצעות הסכימה של הורנר:

אנחנו יכולים גם להשתמש תוכנית הורנרעל מנת לבדוק אם מספר נתון הוא שורש של פולינום: אם המספר הוא שורש של פולינום, אז השארית כאשר מחלקים את הפולינום ב שווה לאפס, כלומר, בעמודה האחרונה של השורה השנייה של הדיאגרמה של הורנר נקבל 0.

באמצעות הסכמה של הורנר, אנו "הרוגים שתי ציפורים במכה אחת": אנו בודקים בו-זמנית אם המספר הוא שורש של פולינום ומחלקים את הפולינום הזה בבינומיאל.

דוגמא.פתור את המשוואה:

1. נרשום את המחלקים של האיבר החופשי ונחפש את שורשי הפולינום בין המחלקים של האיבר החופשי.

מחלקים של 24:

2. נבדוק האם המספר 1 הוא שורש הפולינום.

סכום המקדמים של פולינום, לפיכך, המספר 1 הוא שורש הפולינום.

3. חלקו את הפולינום המקורי לבינומי באמצעות הסכמה של הורנר.

א) נרשום את המקדמים של הפולינום המקורי בשורה הראשונה של הטבלה.

מכיוון שחסר המונח המכיל, בעמודת הטבלה שבה יש לכתוב את המקדם נכתוב 0. משמאל נכתוב את השורש המצוי: המספר 1.

ב) מלאו את השורה הראשונה של הטבלה.

בעמודה האחרונה, כצפוי, קיבלנו אפס; חילקנו את הפולינום המקורי בבינומי ללא שארית. המקדמים של הפולינום הנובע מחלוקה מוצגים בכחול בשורה השנייה של הטבלה:

קל לבדוק שהמספרים 1 ו-1 אינם שורשים של הפולינום

ב) נמשיך את הטבלה. בוא נבדוק אם המספר 2 הוא השורש של הפולינום:

אז מידת הפולינום שמתקבלת על ידי חלוקה באחד תואר פחותמהפולינום המקורי, לכן מספר המקדמים ומספר העמודות הם אחד פחות.

בעמודה האחרונה קיבלנו -40 - מספר שאינו שווה לאפס, לכן, הפולינום מתחלק בבינומי עם שארית, והמספר 2 אינו שורש הפולינום.

ג) נבדוק האם המספר -2 הוא שורש הפולינום. מכיוון שהניסיון הקודם נכשל, כדי למנוע בלבול עם המקדמים, אמחק את השורה המתאימה לניסיון זה:

גדול! קיבלנו אפס בתור שארית, לכן, הפולינום חולק לבינומי ללא שארית, לכן, המספר -2 הוא שורש הפולינום. המקדמים של הפולינום המתקבלים על ידי חלוקת פולינום בבינומי מוצגים בטבלה בירוק.

כתוצאה מחלוקה נקבל טרינום ריבועי , שאת שורשיו ניתן למצוא בקלות באמצעות המשפט של Vieta:

אז, השורשים של המשוואה המקורית הם:

{}

תשובה: ( }

מטרות השיעור:

• ללמד את התלמידים לפתור משוואות תארים גבוהים יותרשימוש בתוכנית של הורנר;
• לפתח את היכולת לעבוד בזוגות;
• ליצור, בשילוב עם החלקים המרכזיים של הקורס, בסיס לפיתוח יכולות התלמידים;
• לעזור לתלמיד להעריך את הפוטנציאל שלו, לפתח עניין במתמטיקה, את היכולת לחשוב ולדבר על הנושא.

צִיוּד:כרטיסים לעבודה קבוצתית, פוסטר עם דיאגרמה של הורנר.

שיטת הוראה:הרצאה, סיפור, הסבר, ביצוע תרגילי אימון.

צורת שליטה:בדיקת בעיות פתרון עצמאי, עבודה עצמאית.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני

2. עדכון הידע של התלמידים

איזה משפט מאפשר לקבוע אם מספר הוא השורש של משוואה נתונה (נסח משפט)?

המשפט של בזוט. יתרת החלוקה של הפולינום P(x) בבינומי x-c שווה P(c), המספר c נקרא שורש הפולינום P(x) אם P(c)=0. המשפט מאפשר, מבלי לבצע את פעולת החלוקה, לקבוע אם מספר נתון הוא שורש של פולינום.

אילו אמירות מקלות על מציאת שורשים?

א) אם המקדם המוביל של פולינום שווה לאחד, יש לחפש את שורשי הפולינום בין המחלקים של האיבר החופשי.

ב) אם סכום המקדמים של פולינום הוא 0, אז אחד השורשים הוא 1.

ג) אם סכום המקדמים במקומות זוגיים שווה לסכום המקדמים במקומות אי זוגיים, אז אחד השורשים שווה ל-1.

ד) אם כל המקדמים חיוביים, אז שורשי הפולינום הם מספרים שליליים.

ה) לפולינום בדרגה אי זוגית יש לפחות שורש אמיתי אחד.

3. לימוד חומר חדש

כאשר פותרים משוואות אלגבריות שלמות, עליך למצוא את ערכי השורשים של פולינומים. ניתן לפשט את הפעולה הזו באופן משמעותי אם החישובים מבוצעים באמצעות אלגוריתם מיוחד הנקרא סכמת הורנר. מעגל זה נקרא על שמו של המדען האנגלי ויליאם ג'ורג' הורנר. הסכימה של הורנר היא אלגוריתם לחישוב המנה והשאר של חלוקת הפולינום P(x) ב-x-c. בקצרה איך זה עובד.

תן פולינום שרירותי P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. חלוקת פולינום זה ב-x-c הוא הייצוג שלו בצורה P(x)=(x-c)g(x) + r(x). g(x) חלקי=ב-0 x n-1 + ב-n x n-2 +...+ב-n-2 x + ב-n-1, כאשר ב-0 =a 0, ב-n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. השארית r(x)= st n-1 +a n. שיטת חישוב זו נקראת סכימת הורנר. המילה "סכמה" בשם האלגוריתם נובעת מהעובדה שהיישום שלו בדרך כלל מעוצב בצורה הבאה. ראשית, צייר טבלה 2(n+2). בתא השמאלי התחתון רשמו את המספר c, ובשורה העליונה את המקדמים של הפולינום P(x). במקרה זה, התא השמאלי העליון נותר ריק.

	ב-0 =a 0	ב-1 =st 1 +a 1	ב-2 = sv 1 + א 2		ב-n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

המספר שאחרי ביצוע האלגוריתם מסתבר שנכתב בתא הימני התחתון הוא שאר החלוקה של הפולינום P(x) ב-x-c. שאר המספרים ב-0, ב-1, ב-2,... בשורה התחתונה הם המקדמים של המנה.

לדוגמה: חלקו את הפולינום P(x)= x 3 -2x+3 ב-x-2.

נקבל ש-x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. איחוד החומר הנלמד

דוגמה 1:חלק את הפולינום P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 לגורמים בעלי מקדמים שלמים.

אנו מחפשים שורשים שלמים בין המחלקים של המונח החופשי -1:1; -1. בואו נעשה טבלה:

X = -1 - שורש

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

בוא נבדוק 1/2.

					X=1/2 - שורש

לכן, ניתן לייצג את הפולינום P(x) בצורה

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

דוגמה 2:פתרו את המשוואה 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

מכיוון שסכום המקדמים של הפולינום הכתוב בצד שמאל של המשוואה שווה לאפס, אז אחד השורשים הוא 1. בוא נשתמש בסכימה של הורנר:

						X=1 - שורש

נקבל P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). נחפש שורשים בין המחלקים של מונח חופשי 2.

גילינו שאין יותר שורשים שלמים. בואו נבדוק 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - שורש

תשובה 1; -1/2.

דוגמה 3:פתרו את המשוואה 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

נחפש את השורשים של משוואה זו בין מחלקי האיבר החופשי 5: 1;-1;5;-5. x=1 הוא שורש המשוואה, שכן סכום המקדמים הוא אפס. בואו נשתמש בתוכנית של הורנר:

הבה נציג את המשוואה כמכפלה של שלושה גורמים: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. מחליטים משוואה ריבועית 5x 2 -7x+5=0, קיבלנו D=49-100=-51, אין שורשים.

כרטיס 1

1. חשב את הפולינום: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. פתרו את המשוואה: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

כרטיס 2

1. חשב את הפולינום: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. פתרו את המשוואה: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

כרטיס 3

1. גורם ל: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. פתרו את המשוואה: x 3 -2x 2 +4x-8=0

כרטיס 4

1. גורם ל: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. פתרו את המשוואה: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. לסיכום

בדיקת ידע בפתרון בזוגות מתבצעת בכיתה על ידי זיהוי שיטת הפעולה ושם התשובה.

שיעורי בית:

פתרו את המשוואות:

א) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

ב) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ג) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

ד) x 4 +2x 3 -x-2=0

סִפְרוּת

1. נ.יא. Vilenkin וחב', אלגברה והתחלות ניתוח, כיתה 10 ( מחקר מעמיקמתמטיקה): נאורות, 2005.
2. U.I סחרצ'וק, ל.ס. Sagatlova, פתרון משוואות מעלות גבוהות יותר: וולגוגרד, 2007.
3. ש.ב. גשקוב, מערכות מספר ויישומה.