בחלק הראשון, הסתכלנו על חומר תיאורטי כלשהו, ​​שיטת ההחלפה וכן שיטת חיבור מונח אחר מונח של משוואות מערכת. אני ממליץ לכל מי שנכנס לאתר דרך עמוד זה לקרוא את החלק הראשון. אולי כמה מבקרים ימצאו את החומר פשוט מדי, אבל כפי שאנו פותרים את המערכות משוואות ליניאריותהערתי מספר הערות ומסקנות חשובות מאוד לגבי פתרון בעיות מתמטיות באופן כללי.

כעת ננתח את הכלל של קריימר, וכן נפתור מערכת של משוואות ליניאריות באמצעות מטריצה ​​הפוכה (שיטת מטריצה). כל החומרים מוצגים בפשטות, בפירוט וברור; כמעט כל הקוראים יוכלו ללמוד כיצד לפתור מערכות באמצעות השיטות לעיל.

ראשית, נסתכל מקרוב על הכלל של קריימר למערכת של שתי משוואות ליניאריות בשני לא ידועים. בשביל מה? - אחרי הכל המערכת הפשוטה ביותרניתן לפתור בשיטת בית הספר, שיטת הוספה של מונחים!

העובדה היא, אם כי לפעמים, משימה כזו מתרחשת - לפתור מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים באמצעות הנוסחאות של קריימר. שנית, דוגמה פשוטה יותר תעזור לך להבין כיצד להשתמש בכלל של קריימר למקרה מורכב יותר - מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים.

בנוסף, ישנן מערכות של משוואות ליניאריות עם שני משתנים, אותן מומלץ לפתור באמצעות כלל קריימר!

שקול את מערכת המשוואות

בשלב הראשון, אנו מחשבים את הקובע, הוא נקרא הקובע העיקרי של המערכת.

שיטת גאוס.

אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי, וכדי למצוא את השורשים עלינו לחשב שני דטרמיננטים נוספים:
ו

בפועל, ניתן לציין גם את המוקדמות לעיל אות לטינית.

אנו מוצאים את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחאות:
,

דוגמה 7

לפתור מערכת משוואות ליניאריות

פִּתָרוֹן: אנו רואים שהמקדמים של המשוואה די גדולים, בצד ימין יש עשרוניםעם פסיק. הפסיק הוא אורח נדיר למדי במשימות מעשיות במתמטיקה; לקחתי את המערכת הזו מבעיה אקונומטרית.

איך פותרים מערכת כזו? אתה יכול לנסות לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר, אבל במקרה הזה אתה כנראה בסופו של דבר עם שברים מפוארים איומים שקשה מאוד לעבוד איתם, והעיצוב של הפתרון ייראה פשוט נורא. אתה יכול להכפיל את המשוואה השנייה ב-6 ולהחסיר איבר אחר איבר, אבל אותם שברים יופיעו גם כאן.

מה לעשות? במקרים כאלה, הנוסחאות של קריימר באות להצלה.

;

;

תשובה: ,

לשני השורשים יש זנבות אינסופיים והם נמצאים בקירוב, וזה די מקובל (ואפילו נפוץ) לבעיות אקונומטריות.

אין צורך בהערות כאן, מכיוון שהמשימה נפתרת באמצעות נוסחאות מוכנות, עם זאת, יש אזהרה אחת. מתי להשתמש השיטה הזאת, חובהחלק מעיצוב המשימה הוא הפרגמנט הבא: "זה אומר שלמערכת יש פתרון ייחודי". אחרת, המבקר עלול להעניש אותך על חוסר כבוד למשפט של קריימר.

לא יהיה מיותר לבדוק, מה שנוח לבצע במחשבון: אנו מחליפים ערכים משוערים ב צד שמאלכל משוואה של המערכת. כתוצאה מכך, עם שגיאה קטנה, אתה אמור לקבל מספרים שנמצאים בצדדים הנכונים.

דוגמה 8

הציגו את התשובה בשברים לא תקינים רגילים. תעשה בדיקה.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (דוגמה לעיצוב הסופי והתשובה בסוף השיעור).

הבה נעבור לשקול את הכלל של קריימר עבור מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:

אנו מוצאים את הקובע העיקרי של המערכת:

אם , אז למערכת יש אינסוף פתרונות או שהיא לא עקבית (אין לה פתרונות). במקרה זה, הכלל של קריימר לא יעזור; אתה צריך להשתמש בשיטת גאוס.

אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי וכדי למצוא את השורשים עלינו לחשב עוד שלושה דטרמיננטים:
, ,

ולבסוף, התשובה מחושבת באמצעות הנוסחאות:

כפי שאתה יכול לראות, המקרה "שלוש על שלוש" אינו שונה מהותית מהמקרה של "שניים על שניים"; טור המונחים החופשיים "צועד" ברצף משמאל לימין לאורך העמודות של הקובע העיקרי.

דוגמה 9

פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

פִּתָרוֹן: בואו נפתור את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

, כלומר למערכת יש פתרון ייחודי.

תשובה: .

למעשה, שוב אין שום דבר מיוחד להגיב עליו, בשל העובדה שהפתרון עוקב אחר נוסחאות מוכנות. אבל יש כמה הערות.

קורה שכתוצאה מחישובים מתקבלים שברים "רעים" בלתי ניתנים לצמצום, למשל:.
אני ממליץ על אלגוריתם ה"טיפול" הבא. אם אין לך מחשב בהישג יד, עשה זאת:

1) ייתכן שיש טעות בחישובים. ברגע שאתה נתקל בשבר "רע", אתה צריך מיד לבדוק האם התנאי משוכתב נכון?. אם התנאי נכתב מחדש ללא שגיאות, עליך לחשב מחדש את הקובעים באמצעות הרחבה בשורה אחרת (עמודה).

2) אם לא זוהו שגיאות כתוצאה מבדיקה, סביר להניח שהייתה שגיאת הקלדה בתנאי המשימה. במקרה זה, בצע את המשימה בשלווה ובזהירות עד הסוף, ולאחר מכן הקפד לבדוקואנחנו משרטטים את זה על דף נקי לאחר ההחלטה. כמובן שבדיקת תשובה חלקית היא משימה לא נעימה, אבל זה יהיה טיעון מנטרל עבור המורה, שבאמת אוהב לתת מינוס על כל שטות כמו . אופן הטיפול בשברים מתואר בפירוט בתשובה לדוגמא 8.

אם יש לך מחשב בהישג יד, השתמש בתוכנית אוטומטית כדי לבדוק אותה, אותה ניתן להוריד בחינם ממש בתחילת השיעור. אגב, הכי משתלם להשתמש בתוכנית מיד (אפילו לפני התחלת הפתרון); מיד תראה את שלב הביניים שבו טעית! אותו מחשבון מחשב אוטומטית את פתרון המערכת בשיטת המטריצה.

הערה שניה. מעת לעת יש מערכות במשוואות שלהן חסרים כמה משתנים, למשל:

כאן במשוואה הראשונה אין משתנה , בשנייה אין משתנה . במקרים כאלה, חשוב מאוד לרשום בצורה נכונה ובזהירות את הקובע העיקרי:
- אפסים ממוקמים במקום משתנים חסרים.
אגב, זה רציונלי לפתוח דטרמיננטים עם אפסים לפי השורה (העמודה) שבה נמצא האפס, שכן יש פחות חישובים באופן ניכר.

דוגמה 10

פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי (דוגמה של העיצוב הסופי והתשובה בסוף השיעור).

במקרה של מערכת של 4 משוואות עם 4 נוסחאות לא ידועותהרשומות של קרמר נכתבות על פי עקרונות דומים. ניתן לראות דוגמה חיה בשיעור מאפיינים של דטרמיננטים. הפחתת הסדר של הקובע - חמישה דטרמיננטים מסדר רביעי ניתנים לפתרון. למרות שהמשימה כבר מזכירה מאוד נעל של פרופסור על החזה של סטודנט בר מזל.

פתרון המערכת באמצעות מטריצה ​​הפוכה

שיטת המטריצה ​​ההפוכה היא בעצם מקרה מיוחד משוואת מטריצה(ראה דוגמה מס' 3 לשיעור שצוין).

כדי ללמוד חלק זה, עליך להיות מסוגל להרחיב את הקובעים, למצוא את היפוך של מטריצה ​​ולבצע כפל מטריצה. קישורים רלוונטיים יסופקו עם התקדמות ההסברים.

דוגמה 11

פתרו את המערכת בשיטת המטריצה

פִּתָרוֹן: בוא נכתוב את המערכת בצורה מטריצה:
, איפה

נא להסתכל על מערכת המשוואות והמטריצות. אני חושב שכולם מבינים את העיקרון שלפיו אנו כותבים אלמנטים למטריצות. ההערה היחידה: אם כמה משתנים היו חסרים במשוואות, אז היה צריך למקם אפסים במקומות המתאימים במטריצה.

אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות הנוסחה:
, היכן נמצאת המטריצה ​​המוטרפת תוספות אלגבריותרכיבי מטריצה ​​מתאימים.

ראשית, בואו נסתכל על הקובע:

כאן מורחב הקובע בשורה הראשונה.

תשומת הלב! אם , אז המטריצה ​​ההפוכה לא קיימת, ואי אפשר לפתור את המערכת בשיטת המטריצה. במקרה זה, המערכת נפתרת בשיטה של ​​ביטול לא ידועים (שיטת גאוס).

כעת עלינו לחשב 9 קטינים ולכתוב אותם למטריצת הקטינים

התייחסות:כדאי לדעת את המשמעות של כתוביות כפולות באלגברה לינארית. הספרה הראשונה היא מספר הקו שבו נמצא האלמנט. הספרה השנייה היא מספר העמודה שבה נמצא האלמנט:

כלומר, מנוי כפול מציין שהאלמנט נמצא בשורה הראשונה, בעמודה השלישית, ולדוגמה, האלמנט נמצא ב-3 שורות, 2 עמודות

עם אותו מספר משוואות כמו מספר הלא ידועים עם הקובע הראשי של המטריצה, שאינו שווה לאפס, מקדמי המערכת (למשוואות כאלה יש פתרון ויש רק אחד).

משפט קריימר.

כאשר הקובע של המטריצה ​​של מערכת מרובעת אינו אפס, זה אומר שהמערכת עקבית ויש לה פתרון אחד וניתן למצוא אותו על ידי הנוסחאות של קריימר:

שבו Δ - הקובע של מטריצת המערכת,

Δ אניהוא הקובע של מטריצת המערכת, שבה במקום אניהעמודה ה' מכילה את העמודה של הצדדים הימניים.

כאשר הקובע של מערכת הוא אפס, זה אומר שהמערכת יכולה להיות משתפת פעולה או בלתי תואמת.

שיטה זו משמשת בדרך כלל למערכות קטנות עם חישובים נרחבים ואם יש צורך לקבוע אחד מהלא ידועים. המורכבות של השיטה היא שצריך לחשב גורמים רבים.

תיאור שיטת קרימר.

יש מערכת משוואות:

מערכת של 3 משוואות ניתנת לפתרון באמצעות שיטת Cramer, אשר נדונה לעיל עבור מערכת של 2 משוואות.

אנו מרכיבים דטרמיננט מהמקדמים של הלא ידועים:

זה יהיה קובע מערכת. מתי D≠0, מה שאומר שהמערכת עקבית. כעת בוא ניצור 3 דטרמיננטים נוספים:

,,

אנחנו פותרים את המערכת על ידי הנוסחאות של קריימר:

דוגמאות לפתרון מערכות משוואות בשיטת קריימר.

דוגמה 1.

מערכת נתונה:

בואו נפתור את זה בשיטת קריימר.

ראשית עליך לחשב את הקובע של מטריצת המערכת:

כי Δ≠0, כלומר ממשפט קריימר המערכת עקבית ויש לה פתרון אחד. אנו מחשבים דטרמיננטים נוספים. הקובע Δ 1 מתקבל מהדטרמיננט Δ על ידי החלפת העמודה הראשונה שלו בעמודה של מקדמים חופשיים. אנחנו מקבלים:

באותו אופן, אנו מקבלים את הקובע של Δ 2 מהדטרמיננטה של ​​מטריצת המערכת על ידי החלפת העמודה השנייה בעמודה של מקדמים חופשיים:

השיטה של ​​קרימר מבוססת על שימוש בדטרמיננטים בפתרון מערכות של משוואות ליניאריות. זה מאיץ משמעותית את תהליך הפתרון.

ניתן להשתמש בשיטה של ​​קרימר כדי לפתור מערכת של כמה משוואות ליניאריות כמו שיש לא ידועים בכל משוואה. אם הקובע של המערכת אינו שווה לאפס, ניתן להשתמש בשיטה של ​​Cramer בפתרון, אבל אם היא שווה לאפס, אז היא לא יכולה. בנוסף, ניתן להשתמש בשיטה של ​​קרימר כדי לפתור מערכות של משוואות ליניאריות בעלות פתרון ייחודי.

הַגדָרָה. דטרמיננט המורכב ממקדמים לא ידועים נקרא דטרמיננט של המערכת והוא מסומן (דלתא).

דטרמיננטים

מתקבלים על ידי החלפת המקדמים של הלא ידועים המתאימים במונחים חופשיים:

;

.

משפט קריימר. אם הקובע של המערכת אינו אפס, אז למערכת המשוואות הליניאריות יש פתרון ייחודי אחד, והלא נודע שווה ליחס הקובעים. המכנה מכיל את הקובע של המערכת, והמונה מכיל את הקובע המתקבל מהקובע של המערכת על ידי החלפת המקדמים של הלא ידוע הזה במונחים חופשיים. משפט זה מתאים למערכת של משוואות ליניאריות בכל סדר.

דוגמה 1.פתרו מערכת משוואות לינאריות:

לפי משפט קריימריש לנו:

אז, הפתרון למערכת (2):

מחשבון מקוון, שיטה מכרעתקרמר.

שלושה מקרים בפתרון מערכות של משוואות ליניאריות

כפי שברור מ משפט קריימר, בעת פתרון מערכת משוואות ליניאריות, יכולים להתרחש שלושה מקרים:

מקרה ראשון: למערכת של משוואות ליניאריות יש פתרון ייחודי

(המערכת עקבית ומוגדרת)

מקרה שני: למערכת של משוואות ליניאריות יש אינסוף פתרונות

(המערכת עקבית ולא בטוחה)

** ,

הָהֵן. המקדמים של הלא ידועים והתנאים החופשיים הם פרופורציונליים.

מקרה שלישי: למערכת המשוואות הלינאריות אין פתרונות

(המערכת לא עקבית)

אז המערכת Mמשוואות ליניאריות עם נשנקרא משתנים לא משותף, אם אין לה פתרון אחד, ו משותף, אם יש לו לפחות פתרון אחד. נקראת מערכת משוואות בו-זמנית שיש לה רק פתרון אחד מסוים, ויותר מאחד - לֹא בָּטוּחַ.

דוגמאות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות בשיטת Cramer

תן למערכת להיות נתון

.

מבוסס על משפט קריימר

………….
,

איפה
-

קובע מערכת. אנו משיגים את הקובעים הנותרים על ידי החלפת העמודה במקדמים של המשתנה המתאים (לא ידוע) במונחים חופשיים:

דוגמה 2.

.

לכן, המערכת מוגדרת. כדי למצוא את הפתרון שלה, אנו מחשבים את הקובעים

באמצעות הנוסחאות של קריימר אנו מוצאים:

אז, (1; 0; -1) הוא הפתרון היחיד למערכת.

כדי לבדוק פתרונות למערכות משוואות 3 X 3 ו- 4 X 4, ניתן להשתמש במחשבון מקוון בשיטת הפתרון של Cramer.

אם במערכת של משוואות ליניאריות אין משתנים במשוואה אחת או יותר, אז בדטרמיננטה האלמנטים המתאימים שווים לאפס! זו הדוגמה הבאה.

דוגמה 3.פתרו מערכת משוואות ליניאריות בשיטת Cramer:

.

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הקובע של המערכת:

הסתכלו היטב על מערכת המשוואות ועל הקובע של המערכת וחזרו על התשובה לשאלה באילו מקרים מרכיב אחד או יותר של הקובע שווה לאפס. אז, הקובע אינו שווה לאפס, ולכן המערכת מוגדרת. כדי למצוא את הפתרון שלה, אנו מחשבים את הקובעים עבור הלא ידועים

באמצעות הנוסחאות של קריימר אנו מוצאים:

אז, הפתרון למערכת הוא (2; -1; 1).

כדי לבדוק פתרונות למערכות משוואות 3 X 3 ו- 4 X 4, ניתן להשתמש במחשבון מקוון בשיטת הפתרון של Cramer.

ראש העמוד

אנחנו ממשיכים לפתור מערכות בשיטת קריימר ביחד

כפי שכבר הוזכר, אם הקובע של המערכת שווה לאפס, והקובעים של הלא ידועים אינם שווים לאפס, המערכת אינה עקבית, כלומר אין לה פתרונות. הבה נמחיש בעזרת הדוגמה הבאה.

דוגמה 6.פתרו מערכת משוואות ליניאריות בשיטת Cramer:

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הקובע של המערכת:

הקובע של המערכת שווה לאפס, לכן, מערכת המשוואות הליניאריות היא או לא עקבית ומוגדרת, או לא עקבית, כלומר אין לה פתרונות. כדי להבהיר, אנו מחשבים דטרמיננטים עבור לא ידועים

הקובעים של הלא ידועים אינם שווים לאפס, לכן, המערכת אינה עקבית, כלומר אין לה פתרונות.

כדי לבדוק פתרונות למערכות משוואות 3 X 3 ו- 4 X 4, ניתן להשתמש במחשבון מקוון בשיטת הפתרון של Cramer.

בבעיות המערבות מערכות של משוואות ליניאריות, ישנן גם כאלו שבהן, בנוסף לאותיות המציינות משתנים, ישנן גם אותיות אחרות. אותיות אלו מייצגות מספר, לרוב אמיתי. בפועל, משוואות ומערכות משוואות כאלה מובילות לבעיות של חיפוש אחר תכונות כלליות של כל תופעה או אובייקט. כלומר, האם המצאת משהו חומר חדשאו מכשיר, וכדי לתאר את המאפיינים שלו, שהם נפוצים ללא קשר לגודל או מספר של מופע, אתה צריך לפתור מערכת של משוואות ליניאריות, שבה במקום כמה מקדמים למשתנים יש אותיות. לא צריך לחפש דוגמאות רחוקות.

הדוגמה הבאה מיועדת לבעיה דומה, רק מספר המשוואות, המשתנים והאותיות המציינות מספר ממשי מסוים גדל.

דוגמה 8.פתרו מערכת משוואות ליניאריות בשיטת Cramer:

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הקובע של המערכת:

מציאת דטרמיננטים לא ידועים

על מנת לשלוט בפסקה זו, עליך להיות מסוגל לחשוף את הקובעים "שתיים על שתיים" ו"שלוש על שלוש". אם אתה גרוע במוקדמות, אנא למד את השיעור איך מחשבים את הקובע?

ראשית, נסתכל מקרוב על הכלל של קריימר למערכת של שתי משוואות ליניאריות בשני לא ידועים. בשביל מה? – הרי את המערכת הפשוטה ביותר ניתן לפתור בשיטת בית הספר, שיטת חיבור מונחים!

העובדה היא, אם כי לפעמים, משימה כזו מתרחשת - לפתור מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים באמצעות הנוסחאות של קריימר. שנית, דוגמה פשוטה יותר תעזור לך להבין כיצד להשתמש בכלל של קריימר למקרה מורכב יותר - מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים.

בנוסף, ישנן מערכות של משוואות ליניאריות עם שני משתנים, אותן מומלץ לפתור באמצעות כלל קריימר!

שקול את מערכת המשוואות

בשלב הראשון, אנו מחשבים את הקובע, הוא נקרא הקובע העיקרי של המערכת.

שיטת גאוס.

אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי, וכדי למצוא את השורשים עלינו לחשב שני דטרמיננטים נוספים:
ו

בפועל, ניתן לסמן את המוקדמות לעיל גם באות לטינית.

אנו מוצאים את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחאות:
,

דוגמה 7

לפתור מערכת משוואות ליניאריות

פִּתָרוֹן: אנו רואים שהמקדמים של המשוואה גדולים למדי; בצד ימין יש שברים עשרוניים עם פסיק. הפסיק הוא אורח נדיר למדי במשימות מעשיות במתמטיקה; לקחתי את המערכת הזו מבעיה אקונומטרית.

איך פותרים מערכת כזו? אתה יכול לנסות לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר, אבל במקרה הזה אתה כנראה בסופו של דבר עם שברים מפוארים איומים שקשה מאוד לעבוד איתם, והעיצוב של הפתרון ייראה פשוט נורא. אתה יכול להכפיל את המשוואה השנייה ב-6 ולהחסיר איבר אחר איבר, אבל אותם שברים יופיעו גם כאן.

מה לעשות? במקרים כאלה, הנוסחאות של קריימר באות להצלה.

;

;

תשובה: ,

לשני השורשים יש זנבות אינסופיים והם נמצאים בקירוב, וזה די מקובל (ואפילו נפוץ) לבעיות אקונומטריות.

אין צורך בהערות כאן, מכיוון שהמשימה נפתרת באמצעות נוסחאות מוכנות, עם זאת, יש אזהרה אחת. כאשר משתמשים בשיטה זו, חובהחלק מעיצוב המשימה הוא הפרגמנט הבא: "זה אומר שלמערכת יש פתרון ייחודי". אחרת, המבקר עלול להעניש אותך על חוסר כבוד למשפט של קריימר.

זה לא יהיה מיותר לבדוק, שניתן לבצע בנוחות במחשבון: אנו מחליפים ערכים משוערים בצד שמאל של כל משוואה של המערכת. כתוצאה מכך, עם שגיאה קטנה, אתה אמור לקבל מספרים שנמצאים בצדדים הנכונים.

דוגמה 8

הציגו את התשובה בשברים לא תקינים רגילים. תעשה בדיקה.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (דוגמה לעיצוב הסופי והתשובה בסוף השיעור).

הבה נעבור לשקול את הכלל של קריימר עבור מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:

אנו מוצאים את הקובע העיקרי של המערכת:

אם , אז למערכת יש אינסוף פתרונות או שהיא לא עקבית (אין לה פתרונות). במקרה זה, הכלל של קריימר לא יעזור; אתה צריך להשתמש בשיטת גאוס.

אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי וכדי למצוא את השורשים עלינו לחשב עוד שלושה דטרמיננטים:
, ,

ולבסוף, התשובה מחושבת באמצעות הנוסחאות:

כפי שאתה יכול לראות, המקרה "שלוש על שלוש" אינו שונה מהותית מהמקרה של "שניים על שניים"; טור המונחים החופשיים "צועד" ברצף משמאל לימין לאורך העמודות של הקובע העיקרי.

דוגמה 9

פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

פִּתָרוֹן: בואו נפתור את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

, כלומר למערכת יש פתרון ייחודי.

תשובה: .

למעשה, שוב אין שום דבר מיוחד להגיב עליו, בשל העובדה שהפתרון עוקב אחר נוסחאות מוכנות. אבל יש כמה הערות.

קורה שכתוצאה מחישובים מתקבלים שברים "רעים" בלתי ניתנים לצמצום, למשל:.
אני ממליץ על אלגוריתם ה"טיפול" הבא. אם אין לך מחשב בהישג יד, עשה זאת:

1) ייתכן שיש טעות בחישובים. ברגע שאתה נתקל בשבר "רע", אתה צריך מיד לבדוק האם התנאי משוכתב נכון?. אם התנאי נכתב מחדש ללא שגיאות, עליך לחשב מחדש את הקובעים באמצעות הרחבה בשורה אחרת (עמודה).

2) אם לא זוהו שגיאות כתוצאה מבדיקה, סביר להניח שהייתה שגיאת הקלדה בתנאי המשימה. במקרה זה, בצע את המשימה בשלווה ובזהירות עד הסוף, ולאחר מכן הקפד לבדוקואנחנו משרטטים את זה על דף נקי לאחר ההחלטה. כמובן שבדיקת תשובה חלקית היא משימה לא נעימה, אבל זה יהיה טיעון מנטרל עבור המורה, שבאמת אוהב לתת מינוס על כל שטות כמו . אופן הטיפול בשברים מתואר בפירוט בתשובה לדוגמא 8.

אם יש לך מחשב בהישג יד, השתמש בתוכנית אוטומטית כדי לבדוק אותה, אותה ניתן להוריד בחינם ממש בתחילת השיעור. אגב, הכי משתלם להשתמש בתוכנית מיד (אפילו לפני התחלת הפתרון); מיד תראה את שלב הביניים שבו טעית! אותו מחשבון מחשב אוטומטית את פתרון המערכת בשיטת המטריצה.

הערה שניה. מעת לעת יש מערכות במשוואות שלהן חסרים כמה משתנים, למשל:

כאן במשוואה הראשונה אין משתנה , בשנייה אין משתנה . במקרים כאלה, חשוב מאוד לרשום בצורה נכונה ובזהירות את הקובע העיקרי:
- אפסים ממוקמים במקום משתנים חסרים.
אגב, זה רציונלי לפתוח דטרמיננטים עם אפסים לפי השורה (העמודה) שבה נמצא האפס, שכן יש פחות חישובים באופן ניכר.

דוגמה 10

פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי (דוגמה של העיצוב הסופי והתשובה בסוף השיעור).

במקרה של מערכת של 4 משוואות עם 4 לא ידועים, הנוסחאות של קריימר נכתבות על פי עקרונות דומים. ניתן לראות דוגמה חיה בשיעור מאפיינים של דטרמיננטים. הפחתת הסדר של הקובע - חמישה דטרמיננטים מסדר רביעי ניתנים לפתרון. למרות שהמשימה כבר מזכירה מאוד נעל של פרופסור על החזה של סטודנט בר מזל.

פתרון המערכת באמצעות מטריצה ​​הפוכה

שיטת המטריצה ​​ההפוכה היא בעצם מקרה מיוחד משוואת מטריצה(ראה דוגמה מס' 3 לשיעור שצוין).

כדי ללמוד חלק זה, עליך להיות מסוגל להרחיב את הקובעים, למצוא את היפוך של מטריצה ​​ולבצע כפל מטריצה. קישורים רלוונטיים יסופקו עם התקדמות ההסברים.

דוגמה 11

פתרו את המערכת בשיטת המטריצה

פִּתָרוֹן: בוא נכתוב את המערכת בצורה מטריצה:
, איפה

נא להסתכל על מערכת המשוואות והמטריצות. אני חושב שכולם מבינים את העיקרון שלפיו אנו כותבים אלמנטים למטריצות. ההערה היחידה: אם כמה משתנים היו חסרים במשוואות, אז היה צריך למקם אפסים במקומות המתאימים במטריצה.

אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות הנוסחה:
, היכן היא המטריצה ​​המוטרפת של משלים אלגבריים של האלמנטים המתאימים של המטריצה.

ראשית, בואו נסתכל על הקובע:

כאן מורחב הקובע בשורה הראשונה.

תשומת הלב! אם , אז המטריצה ​​ההפוכה לא קיימת, ואי אפשר לפתור את המערכת בשיטת המטריצה. במקרה זה, המערכת נפתרת בשיטה של ​​ביטול לא ידועים (שיטת גאוס).

כעת עלינו לחשב 9 קטינים ולכתוב אותם למטריצת הקטינים

התייחסות:כדאי לדעת את המשמעות של כתוביות כפולות באלגברה לינארית. הספרה הראשונה היא מספר הקו שבו נמצא האלמנט. הספרה השנייה היא מספר העמודה שבה נמצא האלמנט:

כלומר, מנוי כפול מציין שהאלמנט נמצא בשורה הראשונה, בעמודה השלישית, ולדוגמה, האלמנט נמצא ב-3 שורות, 2 עמודות

במהלך הפתרון עדיף לתאר בפירוט את החישוב של קטינים, אם כי עם קצת ניסיון אפשר להתרגל לחישובם עם שגיאות בעל פה.