מוצגים הסוגים העיקריים של אי-השוויון, כולל אי-שוויון ברנולי, קאוצ'י - בוניקובסקי, מינקובסקי, צ'בישב. מאפיינים של אי-שוויון ופעולות עליהם נחשבים. ניתנות השיטות הבסיסיות לפתרון אי שוויון.

נוסחאות לאי שוויון בסיסיים

נוסחאות לאי שוויון אוניברסליים

אי שוויון אוניברסלי מסופק עבור כל ערכים של הכמויות הכלולים בהם. הסוגים העיקריים של אי-שוויון אוניברסלי מפורטים להלן.

1) | א ב | ≤ |a| + |ב| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |א| + |ב| ≥ | א - ב | ≥ | |א| - |ב| |

3)
שוויון מתרחש רק כאשר a 1 = a 2 = ... = a n.

4) אי שוויון של קאוצ'י-בוניאקובסקי

השוויון מתקיים אם ורק אם α a k = β b k עבור כל k = 1, 2, ..., n וכמה α, β, |α| + |β| > 0 .

5) אי השוויון של מינקובסקי, עבור p ≥ 1

נוסחאות של אי-שוויון בר-סיפוק

אי-שוויון בר-סיפוק מתקיים עבור ערכים מסוימים של הכמויות הנכללות בהם.

1) אי השוויון של ברנולי:
.
בעוד השקפה כללית:
,
שבו , מספרים של אותו סימן וגדול מ -1 : .
הלמה של ברנולי:
.
ראה "הוכחות לאי-שוויון ולמה של ברנולי".

2)
עבור a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) אי השוויון של צ'בישב
בְּ- 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ו 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
בְּ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ו b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) אי-שוויון כללי של צ'בישב
בְּ- 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ו 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ו-k טבעי
.
בְּ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ו b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

תכונות של אי שוויון

מאפיינים של אי-שוויון הם קבוצה של כללים שמתקיימים כאשר משנים אותם. להלן המאפיינים של אי השוויון. ההנחה היא שהאי-שוויון המקורי מתקיים עבור ערכים של x i (i = 1, 2, 3, 4) השייכים לאיזשהו מרווח שנקבע מראש.

1) כאשר סדר הצלעות משתנה, סימן אי השוויון משתנה להפך.
אם x 1< x 2 , то x 2 >x 1.
אם x 1 ≤ x 2, אז x 2 ≥ x 1.
אם x 1 ≥ x 2, אז x 2 ≤ x 1.
אם x 1 > x 2 אז x 2< x 1 .

2) שוויון אחד שווה ערך לשני אי שוויונים חלשים סימן שונה.
אם x 1 = x 2, אז x 1 ≤ x 2 ו-x 1 ≥ x 2.
אם x 1 ≤ x 2 ו-x 1 ≥ x 2, אז x 1 = x 2.

3) רכוש טרנזיטיבי
אם x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
אם x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
אם x 1 ≤ x 2 ו-x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
אם x 1 ≤ x 2 ו-x 2 ≤ x 3, אז x 1 ≤ x 3.

4) ניתן להוסיף (להפחית) את אותו מספר לשני הצדדים של אי השוויון.
אם x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
אם x 1 ≤ x 2, אז x 1 + A ≤ x 2 + A.
אם x 1 ≥ x 2, אז x 1 + A ≥ x 2 + A.
אם x 1 > x 2, אז x 1 + A > x 2 + A.

5) אם יש שני אי שוויון או יותר עם הסימן של אותו כיוון, אז ניתן להוסיף את הצדדים השמאלי והימני שלהם.
אם x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
אם x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
אם x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
אם x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, אז x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
ביטויים דומים חלים על הסימנים ≥, >.
אם האי-שוויון המקורי מכיל סימנים של אי-שוויון לא קפדני ולפחות אי-שוויון קפדני אחד (אך לכל הסימנים יש אותו כיוון), אז התוספת מביאה לאי-שוויון קפדני.

6) ניתן להכפיל (לחלק) את שני הצדדים של אי השוויון במספר חיובי.
אם x 1< x 2 и A >0, ואז A x 1< A · x 2 .
אם x 1 ≤ x 2 ו-A > 0, אז A x 1 ≤ A x 2.
אם x 1 ≥ x 2 ו-A > 0, אז A x 1 ≥ A x 2.
אם x 1 > x 2 ו-A > 0, אז A · x 1 > A · x 2.

7) ניתן להכפיל (לחלק) את שני הצדדים של אי השוויון מספר שלילי. במקרה זה, סימן אי השוויון ישתנה להיפך.
אם x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
אם x 1 ≤ x 2 ו-A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
אם x 1 ≥ x 2 ו-A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
אם x 1 > x 2 ו-A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) אם יש שני אי-שוויון או יותר עם מונחים חיוביים, עם סימן של אותו כיוון, אז ניתן להכפיל את הצד השמאלי והימני שלהם זה בזה.
אם x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ואז x 1 x 3< x 2 · x 4 .
אם x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ואז x 1 x 3< x 2 · x 4 .
אם x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ואז x 1 x 3< x 2 · x 4 .
אם x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 אז x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
ביטויים דומים חלים על הסימנים ≥, >.
אם האי-שוויון המקורי מכיל סימנים של אי-שוויון לא קפדני ולפחות אי-שוויון קפדני אחד (אך לכל הסימנים יש אותו כיוון), הרי שכפל מביא לאי-שוויון קפדני.

9) תן f(x) להיות פונקציה הגדלה מונוטונית. כלומר, עבור כל x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). אז ניתן להחיל את הפונקציה הזו על שני הצדדים של אי השוויון, מה שלא ישנה את סימן אי השוויון.
אם x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
אם x 1 ≤ x 2 אז f(x 1) ≤ f(x 2) .
אם x 1 ≥ x 2 אז f(x 1) ≥ f(x 2) .
אם x 1 > x 2, אז f(x 1) > f(x 2).

10) תן f(x) להיות פונקציה מונוטונית פוחתת, כלומר, עבור כל x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
אם x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
אם x 1 ≤ x 2 אז f(x 1) ≥ f(x 2) .
אם x 1 ≥ x 2 אז f(x 1) ≤ f(x 2) .
אם x 1 > x 2 אז f(x 1)< f(x 2) .

שיטות לפתרון אי שוויון

פתרון אי שוויון בשיטת המרווחים

שיטת המרווחים ישימה אם אי השוויון כולל משתנה אחד, אותו אנו מציינים כ-x, ויש לו את הצורה:
f(x) > 0
כאשר f(x) - תפקוד רציף, בעל מספר סופי של נקודות אי המשכיות. סימן אי השוויון יכול להיות כל דבר: >, ≥,<, ≤ .

שיטת המרווחים היא כדלקמן.

1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) וסמן אותו במרווחים על ציר המספרים.

2) מצא את נקודות האי-רציפות של הפונקציה f(x). לדוגמה, אם זה שבר, אז נמצא את הנקודות שבהן המכנה הופך לאפס. אנו מסמנים את הנקודות הללו על ציר המספרים.

3) פתרו את המשוואה
f(x) = 0 .
אנו מסמנים את השורשים של משוואה זו על ציר המספרים.

4) כתוצאה מכך, ציר המספרים יחולק למרווחים (קטעים) לפי נקודות. בתוך כל מרווח הנכלל בתחום ההגדרה, אנו בוחרים כל נקודה ובנקודה זו אנו מחשבים את ערך הפונקציה. אם ערך זה גדול מאפס, נציב סימן "+" מעל הקטע (מרווח). אם ערך זה קטן מאפס, אנו שמים סימן "-" מעל הקטע (מרווח).

5) אם לאי השוויון יש את הצורה: f(x) > 0, אז בחר מרווחים עם הסימן "+". הפתרון לאי השוויון הוא שילוב המרווחים הללו, שאינם כוללים את גבולותיהם.
אם לאי השוויון יש את הצורה: f(x) ≥ 0, אז לפתרון נוסיף נקודות שבהן f(x) = 0. כלומר, לחלק מהמרווחים עשויים להיות גבולות סגורים (הגבול שייך למרווח). לחלק השני עשויים להיות גבולות פתוחים (הגבול אינו שייך למרווח).
באופן דומה, אם לאי השוויון יש את הצורה: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
אם לאי השוויון יש את הצורה: f(x) ≤ 0, אז לפתרון נוסיף נקודות שבהן f(x) = 0.

פתרון אי שוויון באמצעות תכונותיהם

שיטה זו חלה על אי שוויון בכל מורכבות. זה מורכב מיישום המאפיינים (שהוצגו לעיל) כדי לצמצם את אי השוויון לצורה פשוטה יותר ולקבל פתרון. בהחלט ייתכן שהדבר יביא לא רק אחד, אלא מערכת של אי-שוויון. זוהי שיטה אוניברסלית. זה חל על כל אי שוויון.

הפניות:
I.N. ברונשטיין, ק.א. Semendyaev, מדריך למתמטיקה למהנדסים וסטודנטים, "לאן", 2009.

אחד הנושאים הדורשים תשומת לב והתמדה מרבית מהתלמידים הוא פתרון אי שוויון. כל כך דומה למשוואות ובו בזמן מאוד שונה מהן. כי לפתור אותם דורש גישה מיוחדת.

מאפיינים שיידרשו כדי למצוא את התשובה

כולם משמשים להחלפת ערך קיים בערך שווה ערך. רובם דומים למה שהיה במשוואות. אבל יש גם הבדלים.

• ניתן להוסיף פונקציה המוגדרת ב-ODZ, או כל מספר, לשני הצדדים של אי השוויון המקורי.
• כמו כן, הכפל אפשרי, אך רק בפונקציה או מספר חיוביים.
• אם פעולה זו מבוצעת עם פונקציה או מספר שליליים, אזי יש להחליף את סימן אי השוויון בסמל ההפוך.
• ניתן להעלות פונקציות שאינן שליליות לעוצמה חיובית.

לפעמים פתרון אי השוויון מלווה בפעולות הנותנות תשובות זר. צריך להוציא אותם מהשוואה אזור ODZופתרונות רבים.

שימוש בשיטת האינטרוול

המהות שלו היא לצמצם את אי השוויון למשוואה שבה יש אפס בצד ימין.

1. קבע את השטח שבו נמצאים הערכים המותרים של המשתנים, כלומר ה-ODZ.
2. הפוך את אי השוויון באמצעות פעולות מתמטיות כך שלצד ימין יהיה אפס.
3. החלף את סימן אי השוויון ב-"=" ופתור את המשוואה המתאימה.
4. על הציר המספרי, סמן את כל התשובות שהתקבלו במהלך הפתרון, וכן את מרווחי ה-OD. במקרה של אי שוויון קפדני, יש לצייר את הנקודות כנקב. אם יש סימן שוויון, אז יש לצבוע אותם מעל.
5. קבע את הסימן של הפונקציה המקורית בכל מרווח המתקבל מנקודות ה-ODZ והתשובות המחלקות אותו. אם הסימן של הפונקציה אינו משתנה בעת מעבר דרך נקודה, אז הוא נכלל בתשובה. אחרת, זה לא נכלל.
6. יש לבדוק עוד את נקודות הגבול של ODZ ורק אז לכלול או לא לכלול בתשובה.
7. את התשובה המתקבלת יש לכתוב בצורה של סטים משולבים.

קצת על אי שוויון כפול

הם משתמשים בשני סימני אי שוויון בו זמנית. כלומר, פונקציה מסוימת מוגבלת על ידי תנאים פעמיים בבת אחת. אי-שוויון כזה נפתר כמערכת של שניים, כאשר המקור מחולק לחלקים. ובשיטת המרווחים מצוינות התשובות מפתרון שתי המשוואות.

כדי לפתור אותם, מותר גם להשתמש במאפיינים המצוינים לעיל. בעזרתם נוח לצמצם את אי השוויון לאפס.

מה לגבי אי-שוויון שיש להם מודולוס?

במקרה זה, הפתרון לאי-השוויון משתמש במאפיינים הבאים, והם תקפים לערך חיובי של "a".

אם "x" לוקח ביטוי אלגברי, אז ההחלפות הבאות תקפות:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > א עד x< -a или х >א.

אם אי השוויון אינם נוקשים, אז גם הנוסחאות נכונות, רק בהן, בנוסף לסימן הגדול או הקטן, מופיע "=".

כיצד פותרים מערכת אי-שוויון?

ידע זה יידרש במקרים בהם ניתנת משימה כזו או שיש רישום של אי שוויון כפול או מודול מופיע ברשומה. במצב כזה, הפתרון יהיה ערכי המשתנים שיספקו את כל אי השוויון ברשומה. אם אין מספרים כאלה, אז למערכת אין פתרונות.

התוכנית לפיה מתבצע פתרון מערכת אי השוויון:

• לפתור כל אחד מהם בנפרד;
• לתאר את כל המרווחים על ציר המספרים ולקבוע את הצמתים שלהם;
• רשום את תגובת המערכת, שתהיה שילוב של מה שקרה בפסקה השנייה.

מה לעשות עם אי שוויון חלקי?

מכיוון שפתרונם עשוי לדרוש שינוי סימן אי השוויון, עליך לעקוב בזהירות ובזהירות אחר כל נקודות התוכנית. אחרת, אתה עשוי לקבל תשובה הפוכה.

פתרון אי שוויון שבר משתמש גם בשיטת המרווחים. ותוכנית הפעולה תהיה כזו:

• בעזרת המאפיינים המתוארים, תן לשבר צורה כזו שרק אפס נשאר מימין לסימן.
• החלף את אי השוויון ב-"=" וקבע את הנקודות שבהן הפונקציה תהיה שווה לאפס.
• סמן אותם על ציר הקואורדינטות. במקרה זה, המספרים המתקבלים כתוצאה מחישובים במכנה תמיד יימחקו. כל השאר מבוססים על התנאי של אי שוויון.
• קבע את מרווחי הקביעות של הסימן.
• בתגובה, רשום את האיחוד של אותם מרווחים שהסימן שלהם מתאים לזה באי השוויון המקורי.

מצבים שבהם חוסר היגיון מופיע באי שוויון

במילים אחרות, יש שורש מתמטי בסימון. מאז בקורס אלגברה בבית הספר רובההקצאות מיועדות לשורש הריבועי, אז זה מה שייחשב.

הפתרון לאי-שוויון לא רציונלי מסתכם בקבלת מערכת של שניים או שלושה שתהיה שוות ערך לזו המקורית.

אי שוויון מקורי	מַצָב	מערכת מקבילה
√ n(x)< m(х)	m(x) קטן מ-0 או שווה ל-0	אין פתרונות
	m(x) גדול מ-0	n(x) גדול או שווה ל-0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) גדול או שווה ל-0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) גדול או שווה ל-0 m(x) פחות מ-0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) פחות מ-0	אין פתרונות
	m(x) גדול או שווה ל-0	n(x) גדול או שווה ל-0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) גדול או שווה ל-0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) גדול או שווה ל-0 m(x) פחות מ-0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) גדול או שווה ל-0 n(x) פחות מ-m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) גדול מ-0 m(x) פחות מ-0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) גדול מ-0 m(x) גדול מ-0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) גדול מ-0
		n(x) שווה ל-0 m(x) - כל
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) גדול מ-0
		n(x) שווה ל-0 m(x) - כל

דוגמאות לפתרון סוגים שונים של אי שוויון

על מנת להוסיף בהירות לתיאוריה על פתרון אי שוויון, דוגמאות מובאות להלן.

דוגמה ראשונה. 2x - 4 > 1 + x

פתרון: כדי לקבוע את ה-ADI, כל שעליכם לעשות הוא להסתכל מקרוב על אי השוויון. הוא נוצר מ פונקציות ליניאריות, לפיכך מוגדר עבור כל הערכים של המשתנה.

כעת עליך להחסיר (1 + x) משני הצדדים של אי השוויון. מסתבר: 2x - 4 - (1 + x) > 0. לאחר פתיחת הסוגריים וניתן מונחים דומים, אי השוויון יקבל את הצורה הבאה: x - 5 > 0.

משווה אותו לאפס, קל למצוא את הפתרון שלו: x = 5.

כעת יש לסמן את הנקודה הזו עם המספר 5 על קרן הקואורדינטות. לאחר מכן בדוק את הסימנים של הפונקציה המקורית. במרווח הראשון ממינוס אינסוף ל-5, אתה יכול לקחת את המספר 0 ולהחליף אותו באי השוויון שהתקבל לאחר ההמרה. לאחר חישובים מתברר -7 >0. מתחת לקשת המרווח אתה צריך לחתום על סימן מינוס.

במרווח הבא מ-5 עד אינסוף, אתה יכול לבחור את המספר 6. ואז מתברר ש-1 > 0. יש סימן "+" מתחת לקשת. מרווח שני זה יהיה התשובה לאי השוויון.

תשובה: x נמצא במרווח (5; ∞).

דוגמה שנייה. נדרש לפתור מערכת של שתי משוואות: 3x + 3 ≤ 2x + 1 ו-3x - 2 ≤ 4x + 2.

פִּתָרוֹן. ה-VA של אי-השוויון נמצא גם באזור של מספרים כלשהם, שכן ניתנות פונקציות ליניאריות.

אי השוויון השני יקבל את הצורה של המשוואה הבאה: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. לאחר טרנספורמציה: -x - 4 =0. זה מייצר ערך עבור המשתנה השווה ל-4.

שני המספרים האלה צריכים להיות מסומנים על הציר, המתארים מרווחים. מכיוון שהאי-שוויון אינו קפדני, כל הנקודות צריכות להיות מוצללות. המרווח הראשון הוא ממינוס אינסוף ל-4. תנו למספר -5 להיבחר. אי השוויון הראשון ייתן את הערך -3, והשני 1. זה אומר שהמרווח הזה לא נכלל בתשובה.

המרווח השני הוא מ-4 עד -2. אתה יכול לבחור את המספר -3 ולהחליף אותו בשני אי השוויון. בראשון ובשני, הערך הוא -1. זה אומר שמתחת לקשת "-".

במרווח האחרון מ-2 עד אינסוף, המספר הטוב ביותר הוא אפס. אתה צריך להחליף אותו ולמצוא את הערכים של אי השוויון. הראשון שבהם מייצר מספר חיובי, והשני - אפס. גם את הפער הזה יש להוציא מהתשובה.

מבין שלושת המרווחים, רק אחד הוא פתרון לאי השוויון.

תשובה: x שייך ל-[-4; -2].

דוגמה שלישית. |1 - x| > 2 |x - 1|.

פִּתָרוֹן. הצעד הראשון הוא לקבוע את הנקודות שבהן הפונקציות נעלמות. עבור השמאלי מספר זה יהיה 2, עבור הימני - 1. הם צריכים להיות מסומנים על הקורה ולקבוע את מרווחי הקביעות של הסימן.

במרווח הראשון, ממינוס אינסוף ל-1, הפונקציה בצד שמאל של אי השוויון מקבלת ערכים חיוביים, והפונקציה בצד ימין מקבלת ערכים שליליים. מתחת לקשת אתה צריך לכתוב שני סימנים "+" ו-"-" זה לצד זה.

המרווח הבא הוא מ-1 עד 2. על זה, שתי הפונקציות לוקחות ערכים חיוביים. זה אומר שיש שני פלוסים מתחת לקשת.

המרווח השלישי מ-2 עד אינסוף ייתן את התוצאה הבאה: פונקציה שמאלית- שלילי, נכון - חיובי.

בהתחשב בסימנים המתקבלים, עליך לחשב את ערכי אי השוויון עבור כל המרווחים.

הראשון מייצר את אי השוויון הבא: 2 - x > - 2 (x - 1). המינוס לפני השניים באי השוויון השני נובע מכך שהפונקציה הזו שלילית.

לאחר הטרנספורמציה, אי השוויון נראה כך: x > 0. הוא נותן מיד את ערכי המשתנה. כלומר, מהמרווח הזה רק המרווח מ-0 עד 1 יענה.

בשני: 2 - x > 2 (x - 1). הטרנספורמציות יתנו את אי השוויון הבא: -3x + 4 גדול מאפס. האפס שלו יהיה x = 4/3. אם לוקחים בחשבון את סימן אי השוויון, מסתבר ש-x חייב להיות קטן ממספר זה. המשמעות היא שמרווח זה מצטמצם למרווח מ-1 ל-4/3.

האחרון נותן את אי השוויון הבא: - (2 - x) > 2 (x - 1). הטרנספורמציה שלו מובילה לדברים הבאים: -x > 0. כלומר, המשוואה נכונה כאשר x קטן מאפס. המשמעות היא שבמרווח הנדרש אי השוויון לא נותן פתרונות.

בשני המרווחים הראשונים, התברר שמספר המגבלה הוא 1. יש לבדוק זאת בנפרד. כלומר, החליפו אותו באי השוויון המקורי. מסתבר: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. ספירה מראה ש-1 גדול מ-0. זוהי אמירה אמיתית, ולכן אחד נכלל בתשובה.

תשובה: x נמצא במרווח (0; 4/3).

היה צורך להשוות בין כמויות וכמויות בעת פתרון בעיות מעשיות מאז ימי קדם. במקביל, הופיעו מילים כמו יותר ופחות, גבוה יותר ונמוך יותר, קל וכבד יותר, שקט וקולני יותר, זול ויקר וכו', המציינים את התוצאות של השוואת כמויות הומוגניות.

המושגים של יותר ופחות עלו בקשר לספירת חפצים, מדידה והשוואת כמויות. לדוגמה, מתמטיקאים של יוון העתיקה ידעו שהצלע של כל משולש קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות ושהצלע הגדולה יותר נמצאת מול הזווית הגדולה יותר במשולש. ארכימדס, תוך כדי חישוב ההיקף, קבע שההיקף של כל עיגול שווה לשלושה מהקוטר עם עודף שהוא פחות משביעית מהקוטר, אך יותר מפי עשרה שבעים מהקוטר.

כתוב באופן סמלי קשרים בין מספרים וכמויות באמצעות הסימנים > ו-b. רשומות שבהן שני מספרים מחוברים באחד מהסימנים: > (גדול מ), נתקלת גם באי-שוויון מספרי ב כיתות צעירות. אתה יודע שאי-שוויון יכול להיות נכון, או שהם יכולים להיות שקריים. לדוגמה, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) הוא אי שוויון מספרי נכון, 0.23 > 0.235 הוא אי שוויון מספרי שגוי.

אי שוויון המערב לא ידועים עשויים להיות נכונים עבור ערכים מסוימים של הלא ידועים ושקריים עבור אחרים. לדוגמה, אי השוויון 2x+1>5 נכון עבור x = 3, אך לא נכון עבור x = -3. עבור אי שוויון עם אחד לא ידוע, אתה יכול להגדיר את המשימה: לפתור את אי השוויון. בעיות של פתרון אי-שוויון בפועל מועלות ונפתרות לא פחות מבעיות של פתרון משוואות. לדוגמא, בעיות כלכליות רבות מסתכמות בלימוד ופתרון של מערכות אי שוויון ליניארי. בענפים רבים של מתמטיקה, אי-שוויון שכיחים יותר ממשוואות.

כמה אי-שוויון משמשים כיחידה עזר, המאפשר לך להוכיח או להפריך את קיומו של אובייקט מסוים, למשל, שורש משוואה.

אי שוויון מספרי

האם אתה יכול להשוות מספרים שלמים? עשרונים. האם אתה מכיר את כללי ההשוואה? שברים רגיליםעם אותם מכנים אבל מונים שונים; עם אותם מונים, אבל מכנים שונים. כאן תלמד כיצד להשוות בין שני מספרים על ידי מציאת סימן ההבדל ביניהם.

השוואת מספרים נמצאת בשימוש נרחב בפועל. לדוגמה, כלכלן משווה אינדיקטורים מתוכננים לאלו בפועל, רופא משווה את הטמפרטורה של מטופל עם נורמלי, טרנר משווה את הממדים של חלק מעובד עם תקן. בכל המקרים האלה, כמה מספרים מושווים. כתוצאה מהשוואת מספרים נוצרים אי שוויון מספרי.

הַגדָרָה.מספר א מספר נוסףב, אם הבדל א-בחִיוּבִי. מספר א פחות מספרב, אם ההפרש a-b שלילי.

אם a גדול מ-b, אז הם כותבים: a > b; אם a קטן מ-b, אז הם כותבים: a כך, אי השוויון a > b אומר שההפרש a - b חיובי, כלומר. a - b > 0. אי שוויון a עבור כל שני מספרים a ו-b, משלושת היחסים הבאים a > b, a = b, a להשוות את המספרים a ו- b פירושו לגלות איזה מהסימנים >, = או מִשׁפָּט.אם a > b ו-b > c, אז a > c.

מִשׁפָּט.אם תוסיף אותו מספר לשני הצדדים של אי השוויון, סימן אי השוויון לא ישתנה.
תוֹצָאָה.ניתן להעביר כל מונח מחלק אחד של אי השוויון לאחר על ידי שינוי הסימן של מונח זה להפך.

מִשׁפָּט.אם שני הצדדים של אי השוויון מוכפלים באותו מספר חיובי, אז הסימן של אי השוויון לא משתנה. אם שני הצדדים של אי השוויון מוכפלים באותו מספר שלילי, סימן אי השוויון ישתנה להיפך.
תוֹצָאָה.אם שני הצדדים של אי השוויון מחולקים באותו מספר חיובי, סימן אי השוויון לא ישתנה. אם שני הצדדים של אי השוויון מחולקים באותו מספר שלילי, סימן אי השוויון ישתנה להיפך.

אתה יודע שאפשר להוסיף שוויון מספרי ולהכפיל מונח אחר מונח. לאחר מכן, תלמד כיצד לבצע פעולות דומות עם אי שוויון. היכולת להוסיף ולהכפיל אי-שוויון מונח אחר מונח משמשת לעתים קרובות בפועל. פעולות אלו עוזרות לפתור בעיות של הערכה והשוואה של משמעויות של ביטויים.

בעת פתרון בעיות שונות, לעתים קרובות יש צורך להוסיף או להכפיל את הצד השמאלי והימני של אי-השוויון מונח אחר מונח. יחד עם זאת, לפעמים אומרים שאי-השוויון מצטבר או מתרבה. לדוגמה, אם תייר הלך יותר מ-20 ק"מ ביום הראשון, ויותר מ-25 ק"מ ביום השני, אז נוכל לומר שבתוך יומיים הוא הלך יותר מ-45 ק"מ. באופן דומה, אם אורכו של מלבן קטן מ-13 ס"מ והרוחב קטן מ-5 ס"מ, אז נוכל לומר ששטחו של מלבן זה קטן מ-65 ס"מ2.

כאשר בוחנים דוגמאות אלה, נעשה שימוש בדברים הבאים: משפטים על חיבור וכפל אי-שוויון:

מִשׁפָּט.כשמוסיפים אי-שוויון של אותו סימן, מתקבל אי-שוויון של אותו סימן: אם a > b ו-c > d, אז a + c > b + d.

מִשׁפָּט.כשמכפילים אי-שוויון של אותו סימן, שצד שמאל וימין שלו חיוביים, מתקבל אי-שוויון של אותו סימן: אם a > b, c > d ו- a, b, c, d הם מספרים חיוביים, אז ac > bd.

אי-שוויון עם הסימן > (גדול מ) ו-1/2, 3/4 b, c יחד עם הסימנים של אי-שוויון קפדני > ובאותו אופן, אי-השוויון \(a \geq b \) אומר שהמספר a הוא גדול או שווה ל-b, כלומר .ולא פחות ב.

אי שוויון המכילים את הסימן \(\geq \) או את הסימן \(\leq \) נקראים לא קפדניים. לדוגמה, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) אינם אי-שוויון קפדניים.

כל המאפיינים של אי שוויון קפדניים תקפים גם לאי שוויון לא קפדניים. יתרה מכך, אם עבור אי שוויון קפדני הסימנים > נחשבו הפוכים ואתה יודע שכדי לפתור מספר בעיות יישומיות יש ליצור מודל מתמטי בצורה של משוואה או מערכת משוואות. בהמשך תגלו את זה מודלים מתמטייםלפתרון בעיות רבות יש אי שוויון עם לא ידועים. יוצג הרעיון של פתרון אי שוויון ויוצג כיצד לבדוק אם מספר נתון הוא פתרון לאי שוויון מסוים.

אי שוויון של הצורה
\(ax > b, \quad ax שבו a ו-b נתונים מספרים, ו-x הוא לא ידוע, נקראים אי שוויון ליניארי עם אחד לא ידוע.

הַגדָרָה.הפתרון לאי שוויון עם אחד לא ידוע הוא הערך של הלא נודע שבו אי שוויון זה הופך לאי שוויון מספרי אמיתי. פתרון אי שוויון פירושו למצוא את כל הפתרונות שלו או לקבוע שאין כאלה.

פתרת את המשוואות על ידי הפחתתן למשוואות הפשוטות ביותר. באופן דומה, כאשר פותרים אי-שוויון, מנסים לצמצם אותם, באמצעות תכונות, לצורה של אי-שוויון פשוט.

פתרון אי שוויון מדרגה שנייה עם משתנה אחד

אי שוויון של הצורה
\(ax^2+bx+c >0 \) ו-\(ax^2+bx+c כאשר x הוא משתנה, a, b ו-c הם כמה מספרים ו-\(a \neq 0 \), נקראים אי שוויון מדרגה שנייה עם משתנה אחד.

פתרון לאי שוויון
\(ax^2+bx+c >0 \) או \(ax^2+bx+c יכולים להיחשב כמציאת מרווחים שבהם הפונקציה \(y= ax^2+bx+c \) לוקחת חיובי או שלילי ערכים לשם כך, די לנתח כיצד גרף הפונקציה \(y= ax^2+bx+c\) ממוקם במישור הקואורדינטות: לאן מכוונים הענפים של הפרבולה - למעלה או למטה, בין אם הפרבולה חותכת את ציר ה-x ואם כן, אז באילו נקודות.

אלגוריתם לפתרון אי שוויון מדרגה שנייה עם משתנה אחד:
1) מצא את המבחין של הטרינום הריבועי \(ax^2+bx+c\) וגלה אם לטרינום יש שורשים;
2) אם לטרינום יש שורשים, אז סמן אותם על ציר ה-x ובאמצעות הנקודות המסומנות צייר פרבולה סכמטית, שענפיה מכוונים כלפי מעלה עבור > 0 או מטה עבור 0 או למטה עבור 3) מצא מרווחים על ציר ה-x שעבורם פרבולות הנקודות ממוקמות מעל ציר ה-x (אם הן פותרות את אי השוויון \(ax^2+bx+c >0\)) או מתחת לציר ה-x (אם הן פותרות את אי שיוויון
\(ax^2+bx+c פתרון אי שוויון בשיטת המרווחים

שקול את הפונקציה
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

התחום של פונקציה זו הוא קבוצת כל המספרים. האפסים של הפונקציה הם המספרים -2, 3, 5. הם מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה למרווחים \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) ו-\( (5; +\infty)\)

הבה נגלה מה הם הסימנים של פונקציה זו בכל אחד מהמרווחים המצוינים.

הביטוי (x + 2)(x - 3)(x - 5) הוא מכפלה של שלושה גורמים. הסימן של כל אחד מהגורמים הללו במרווחים הנידונים מצוין בטבלה:

באופן כללי, תנו לפונקציה להינתן על ידי הנוסחה
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
כאשר x הוא משתנה, ו-x 1, x 2, ..., x n הם מספרים שאינם שווים זה לזה. המספרים x 1 , x 2 , ..., x n הם האפסים של הפונקציה. בכל אחד מהמרווחים שאליהם מחלקים את תחום ההגדרה באפסים של הפונקציה, נשמר סימן הפונקציה, ובעת מעבר באפס הסימן שלו משתנה.

תכונה זו משמשת לפתרון אי-שוויון של הצורה
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) כאשר x 1, x 2, ..., x n הם מספרים שאינם שווים זה לזה

שיטה נחשבת פתרון אי-שוויון נקרא שיטת המרווחים.

תנו דוגמאות לפתרון אי-שוויון בשיטת המרווחים.

לפתור אי שוויון:

\(x(0.5-x)(x+4) ברור שהאפסים של הפונקציה f(x) = x(0.5-x)(x+4) הם הנקודות \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

נשרטט את אפסי הפונקציה על ציר המספרים ונחשב את הסימן בכל מרווח:

אנו בוחרים את המרווחים שבהם הפונקציה קטנה או שווה לאפס ורשום את התשובה.

תשובה:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

מה אתה צריך לדעת על אייקוני אי שוויון? אי שוויון עם אייקון יותר (> ), או פָּחוֹת (< ) נקראים קַפְּדָנִי.עם אייקונים יותר או שווה (≥ ), פחות או שווה (≤ ) נקראים לא קפדנית.סמל לא שווה (≠ ) עומד בנפרד, אבל אתה גם צריך לפתור דוגמאות עם הסמל הזה כל הזמן. ואנחנו נחליט.)

לאייקון עצמו אין השפעה רבה על תהליך הפתרון. אבל בסוף ההחלטה, בבחירת התשובה הסופית, משמעות האייקון מופיעה במלוא עוצמתה! זה מה שנראה להלן בדוגמאות. יש שם כמה בדיחות...

אי שוויון, כמו שוויון, קיימים נאמן ולא נאמן.הכל פשוט כאן, בלי טריקים. נניח 5 > 2 זה אי שוויון אמיתי. 5 < 2 - לא נכון.

הכנה זו פועלת למען אי שוויון כל סוגופשוט עד אימה.) אתה רק צריך לבצע נכון שתי (רק שתיים!) פעולות יסודיות. פעולות אלו מוכרות לכולם. אבל, באופן אופייני, טעויות בפעולות אלו הן הטעות העיקרית בפתרון אי שוויון, כן... לכן יש לחזור על פעולות אלו. פעולות אלו נקראות כך:

טרנספורמציות זהות של אי שוויון.

טרנספורמציות זהות של אי-שוויון דומות מאוד לטרנספורמציות זהות של משוואות. למעשה, זו הבעיה העיקרית. ההבדלים עוברים לך על הראש ו...הנה אתה.) לכן, אדגיש במיוחד את ההבדלים הללו. אז, השינוי הזהה הראשון של אי-שוויון:

1. ניתן להוסיף (להפחית) את אותו מספר או ביטוי לשני הצדדים של אי השוויון. כל. זה לא ישנה את סימן אי השוויון.

בפועל, כלל זה משמש כהעברת מונחים מהצד השמאלי של אי השוויון לימין (ולהיפך) עם שינוי סימן. עם שינוי בסימן המונח, לא באי השוויון! הכלל של אחד לאחד זהה לכלל המשוואות. אבל התמורות הזהות הבאות באי-שוויון שונות באופן משמעותי מאלה שבמשוואות. אז אני מדגיש אותם באדום:

2. ניתן להכפיל (לחלק) את שני הצדדים של אי השוויון באותו דברחִיוּבִימספר. לכלחִיוּבִי לא ישתנה.

3. ניתן להכפיל (לחלק) את שני הצדדים של אי השוויון באותו דברשלילימספר. לכלשלילימספר. סימן אי השוויון מזהישתנה להיפך.

אתה זוכר (אני מקווה...) שאפשר להכפיל/לחלק את המשוואה בכל דבר. ולכל מספר, ולביטוי עם X. אם רק זה לא היה אפס. זה הופך אותו, למשוואה, לא חם ולא קר.) זה לא משתנה. אבל אי-שוויון רגיש יותר לכפל/חילוק.

דוגמה ברורה לזיכרון ארוך. בוא נכתוב את אי השוויון מְפוּקפָּק:

5 > 2

תכפיל את שני הצדדים ב +3, אנחנו מקבלים:

15 > 6

יש התנגדויות? אין התנגדויות.) ואם נכפיל את שני הצדדים של אי השוויון המקורי ב -3, אנחנו מקבלים:

15 > -6

וזה שקר גמור.) שקר גמור! הונאה של העם! אבל ברגע שאתה מחליף את סימן אי השוויון להפך, הכל נכנס למקומו:

15 < -6

אני לא רק מקלל על שקרים והונאה.) "שכחתי לשנות את סימן השוויון..."- זה ביתטעות בפתרון אי שוויון. הכלל הטריוויאלי והפשוט הזה פגע בכל כך הרבה אנשים! מה שהם שכחו...) אז אני נשבע. אולי אני אזכור...)

אנשים קשובים במיוחד ישימו לב שלא ניתן להכפיל את אי השוויון בביטוי עם X. כבוד לקשובים!) למה לא? התשובה פשוטה. אנחנו לא יודעים את הסימן של הביטוי הזה עם X. זה יכול להיות חיובי, שלילי... לכן, אנחנו לא יודעים איזה סימן אי שוויון לשים לאחר הכפל. האם עלי לשנות את זה או לא? לא ידוע. כמובן שניתן לעקוף את ההגבלה הזו (האיסור להכפיל/לחלק אי שוויון בביטוי עם x). אם אתה באמת צריך את זה. אבל זה נושא לשיעורים אחרים.

זה כל התמורות הזהות של אי-שוויון. תן לי להזכיר לך שוב שהם עובדים עבור כלאי שוויון עכשיו אתה יכול לעבור לסוגים ספציפיים.

אי שוויון ליניארי. פתרון, דוגמאות.

אי-שוויון ליניארי הם אי-שוויון שבהם x הוא בחזקת ראשון ואין חלוקה ב-x. סוּג:

x+3 > 5x-5

איך פותרים אי שוויון כאלה? קל מאוד לפתור אותם! כלומר: בעזרת אנו מצמצמים את אי השוויון הליניארי המבלבל ביותר ישר לתשובה.זה הפתרון. אדגיש את עיקרי ההחלטה. כדי למנוע טעויות מטופשות.)

בואו נפתור את אי השוויון הזה:

x+3 > 5x-5

אנחנו פותרים אותו בדיוק באותו אופן כמו משוואה לינארית. עם ההבדל היחיד:

אנו עוקבים בקפידה אחר סימן אי השוויון!

הצעד הראשון הוא הנפוץ ביותר. עם X's - לשמאל, ללא X's - לימין... זהו השינוי הזהה הראשון, פשוט וללא תקלות.) רק אל תשכח לשנות את הסימנים של המונחים המועברים.

סימן אי השוויון נשאר:

x-5x > -5-3

הנה דומים.

סימן אי השוויון נשאר:

4x > -8

נותר ליישם את השינוי הזהה האחרון: מחלקים את שני הצדדים ב-4.

מחולק ב שלילימספר.

סימן אי השוויון ישתנה להיפך:

איקס < 2

זו התשובה.

כך נפתרים כל אי השוויון הליניארי.

תשומת הלב! נקודה 2 מצוירת בלבן, כלומר. לא צבוע. ריק בפנים. זה אומר שהיא לא כלולה בתשובה! ציירתי אותה כל כך בריאה בכוונה. נקודה כזו (ריקה, לא בריאה!)) במתמטיקה נקראת נקודה מנוקבת.

ניתן לסמן את שאר המספרים על הציר, אך אין צורך. מספרים זרים שאינם קשורים לאי השוויון שלנו יכולים לבלבל, כן... צריך רק לזכור שהמספרים עולים בכיוון החץ, כלומר. מספרים 3, 4, 5 וכו'. הם לימיןהם שניים, ומספרים הם 1, 0, -1 וכו'. - לשמאל.

אי שוויון x < 2 - קפדנית. X הוא בהחלט פחות משניים. אם יש ספק, הבדיקה פשוטה. אנחנו מחליפים את המספר המפוקפק באי-שוויון וחושבים: "שניים זה פחות משניים? לא, כמובן!" בְּדִיוּק. אי שוויון 2 < 2 לֹא נָכוֹן.שני בתמורה לא מתאים.

אחד בסדר? בְּהֶחלֵט. פחות... ואפס זה טוב, ו-17, ו-0.34... כן, כל המספרים שהם פחות משניים טובים! ואפילו 1.9999.... לפחות קצת, אבל פחות!

אז בואו נסמן את כל המספרים האלה על ציר המספרים. אֵיך? יש כאן אפשרויות. אפשרות ראשונה היא הצללה. אנו מזיזים את העכבר מעל התמונה (או נוגעים בתמונה בטאבלט) ורואים שהאזור של כל ה-x העומדים בתנאי x מוצלל < 2 . זה הכל.

בואו נסתכל על האפשרות השנייה באמצעות הדוגמה השנייה:

איקס ≥ -0,5

צייר ציר וסמן את המספר -0.5. ככה:

שימו לב להבדל?) ובכן, כן, קשה שלא לשים לב... הנקודה הזו שחורה! נצבע מעל. זה אומר -0.5 נכלל בתשובה.כאן, אגב, האימות עלול לבלבל מישהו. בואו נחליף:

-0,5 ≥ -0,5

איך זה? -0.5 הוא לא יותר מ -0.5! ויש עוד אייקון...

זה בסדר. באי שוויון חלש, כל מה שמתאים לאייקון מתאים. ו שוויםטוב ו יותרטוֹב. לכן, -0.5 נכלל בתגובה.

אז, סימנו -0.5 על הציר; נותר לסמן את כל המספרים שגדולים מ-0.5. הפעם אני מסמן את השטח של ערכי x מתאימים קשת(מהמילה קֶשֶׁת), במקום הצללה. אנו מרחפים את הסמן מעל הציור ורואים את הקשת הזו.

אין הבדל מיוחד בין ההצללה לזרועות. תעשה מה שהמורה אומר. אם אין מורה, צייר קשתות. במשימות מורכבות יותר, הצללה פחות ברורה. אתה יכול להתבלבל.

כך מציירים אי-שוויון ליניארי על ציר. הבה נעבור למאפיין הבא של אי השוויון.

כתיבת התשובה לאי שוויון.

המשוואות היו טובות.) מצאנו את x ורשמנו את התשובה, למשל: x=3. ישנן שתי צורות של כתיבת תשובות באי שוויון. האחד הוא בצורה של אי שוויון סופי. טוב למקרים פשוטים. לדוגמה:

איקס< 2.

זוהי תשובה מלאה.

לפעמים צריך לרשום את אותו הדבר, אבל בצורה אחרת, במרווחים מספריים. ואז ההקלטה מתחילה להיראות מאוד מדעית):

x ∈ (-∞; 2)

מתחת לסמל ∈ המילה נסתרת "שייך".

הערך כתוב כך: x שייך למרווח ממינוס אינסוף לשניים לא כלול. די הגיוני. X יכול להיות כל מספר מכל המספרים האפשריים ממינוס אינסוף עד שניים. לא יכול להיות X כפול, וזה מה שהמילה אומרת לנו "לא כלול".

ואיפה בתשובה ברור ש "לא כלול"? עובדה זו מצוינת בתשובה עִגוּלסוגריים מיד לאחר השניים. אם השניים היו כלולים, הסוגר יהיה כיכר.כמו זה: ]. הדוגמה הבאה משתמשת בסוגריים כאלה.

נרשום את התשובה: x ≥ -0,5 במרווחים:

x ∈ [-0.5; +∞)

קורא: x שייך למרווח ממינוס 0.5, לְרַבּוֹת,עד פלוס אינסוף.

לעולם לא ניתן להפעיל את האינסוף. זה לא מספר, זה סמל. לכן, בסימונים כאלה, אינסוף תמיד צמוד לסוגריים.

צורת הקלטה זו נוחה לתשובות מורכבות המורכבות ממספר חללים. אבל - רק לתשובות סופיות. בתוצאות ביניים, שבהן צפוי פתרון נוסף, עדיף להשתמש בצורה הרגילה, בטופס אי שוויון פשוט. נעסוק בכך בנושאים הרלוונטיים.

משימות פופולריות עם אי שוויון.

אי השוויון הליניארי עצמם פשוטים. לכן, משימות הופכות לרוב לקשות יותר. אז היה צריך לחשוב. זה, אם אתה לא רגיל לזה, לא מאוד נעים.) אבל זה שימושי. אראה דוגמאות למשימות כאלה. לא בשבילך ללמוד אותם, זה מיותר. וכדי לא לפחד כשפוגשים דוגמאות כאלה. רק תחשוב קצת - וזה פשוט!)

1. מצא שני פתרונות כלשהם לאי השוויון 3x - 3< 0

אם לא מאוד ברור מה לעשות, זכור את הכלל העיקרי של המתמטיקה:

אם אתה לא יודע מה אתה צריך, עשה מה שאתה יכול!)

איקס < 1

ומה? שום דבר מיוחד. מה הם שואלים אותנו? אנו מתבקשים למצוא שני מספרים ספציפיים שהם הפתרון לאי שוויון. הָהֵן. מתאים לתשובה. שתיים כלמספרים. למעשה, זה מבלבל.) כמה 0 ו-0.5 מתאימים. זוג -3 ו -8. יש אינסוף זוגות כאלה! איזו תשובה נכונה?!

אני עונה: הכל! כל זוג מספרים, שכל אחד מהם קטן מאחד, תהיה התשובה הנכונה.כתוב איזה מהם אתה רוצה. בוא נמשיך הלאה.

2. לפתור את אי השוויון:

4x - 3 ≠ 0

משימות בצורה זו נדירות. אבל, בתור אי-שוויון עזר, כשמוצאים ODZ, למשל, או כשמוצאים את תחום ההגדרה של פונקציה, הם מתרחשים כל הזמן. אי שוויון ליניארי כזה ניתן לפתור כמשוואה ליניארית רגילה. רק בכל מקום חוץ מהסימן "=" ( שווים) שימו שלט " ≠ " (לא שווה). כך ניגשים לתשובה, עם סימן אי שוויון:

איקס ≠ 0,75

בעוד דוגמאות מורכבות, עדיף לעשות דברים אחרת. לעשות אי שוויון משוויון. ככה:

4x - 3 = 0

פתרו אותה בשלווה כפי שלימדו ותקבלו את התשובה:

x = 0.75

העיקר הוא שבסוף, כשכותבים את התשובה הסופית, אל תשכח שמצאנו את x, שנותן שוויון.ואנחנו צריכים - אי שיוויון.לכן, אנחנו לא באמת צריכים את ה-X הזה.) ואנחנו צריכים לרשום אותו עם הסמל הנכון:

איקס ≠ 0,75

גישה זו מביאה לפחות שגיאות. אלה שפותרים משוואות באופן אוטומטי. ולמי שלא פותר משוואות, אי-שוויון, למעשה, לא מועיל...) דוגמה נוספת למשימה פופולרית:

3. מצא את הפתרון השלם הקטן ביותר לאי השוויון:

3(x - 1) < 5x + 9

ראשית אנחנו פשוט פותרים את אי השוויון. אנחנו פותחים את הסוגריים, מזיזים אותם, מביאים דומים... אנחנו מקבלים:

איקס > - 6

זה לא הסתדר ככה!? עקבת אחר השילוט!? ומאחורי סימני החברים, ומאחורי סימן אי השוויון...

בואו נחשוב שוב. עלינו למצוא מספר מסוים שתואם הן את התשובה והן את התנאי "המספר השלם הקטן ביותר".אם זה לא עולה לך מיד, אתה יכול פשוט לקחת כל מספר ולהבין אותו. שניים מעל מינוס שש? בְּהֶחלֵט! האם יש מספר מתאים יותר קטן? כמובן. לדוגמה, אפס גדול מ-6. ואפילו פחות? אנחנו צריכים את הדבר הכי קטן שאפשר! מינוס שלוש זה יותר ממינוס שש! אתה כבר יכול לתפוס את הדפוס ולהפסיק לעבור בטיפשות על המספרים, נכון?)

בואו ניקח מספר קרוב יותר ל-6. לדוגמה, -5. התשובה מתגשמה, -5 > - 6. האם ניתן למצוא מספר אחר קטן מ-5 אך גדול מ-6? אתה יכול, למשל, -5.5... עצור! נאמר לנו כֹּלפִּתָרוֹן! לא מתגלגל -5.5! מה עם מינוס שש? אה-אה! אי השוויון הוא קפדני, מינוס 6 הוא לא פחות ממינוס 6!

לכן, התשובה הנכונה היא -5.

בתקווה עם מבחר ערכים מ פתרון כלליהכל ברור. דוגמה אחרת:

4. לפתור אי שוויון:

7 < 3x+1 < 13

וואו! ביטוי זה נקרא אי שוויון משולש.למהדרין, זוהי צורה מקוצרת של מערכת אי-שוויון. אבל אי-שוויון משולש שכזה עדיין צריך להיפתר בכמה משימות... אפשר לפתור בלי שום מערכות. לפי אותם טרנספורמציות זהות.

אנחנו צריכים לפשט, להביא את אי השוויון הזה ל-X טהור. אבל... מה צריך להזיז לאן?! זה המקום שבו הגיע הזמן לזכור כי נעים ימינה ושמאלה צורה קצרהשינוי זהות ראשון.

א טופס מלאנשמע כך: ניתן להוסיף/לגרוע כל מספר או ביטוי לשני הצדדים של המשוואה (אי-שוויון).

יש כאן שלושה חלקים. אז נחיל טרנספורמציות זהות על כל שלושת החלקים!

אז בואו ניפטר מהחלק האמצעי של אי השוויון. בוא נחסר אחד מכל החלק האמצעי. כדי שהאי-שוויון לא ישתנה, נחסר אחד משני החלקים הנותרים. ככה:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

זה עדיף, נכון?) כל שנותר הוא לחלק את שלושת החלקים לשלושה:

2 < איקס < 4

זה הכל. זו התשובה. X יכול להיות כל מספר משני (לא כולל) עד ​​ארבע (לא כולל). גם תשובה זו נכתבת במרווחים; ערכים כאלה יהיו באי-שוויון ריבועי. שם הם הדבר הנפוץ ביותר.

בסוף השיעור אחזור על הדבר החשוב ביותר. הצלחה בפתרון אי שוויון ליניארי תלויה ביכולת להפוך ולפשט משוואות ליניאריות. אם במקביל שימו לב לסימן אי השוויון,לא יהיו בעיות. זה מה שאני מאחל לך. אין בעיות.)

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

הרעיון של אי שוויון מתמטי עלה בימי קדם. זה קרה כאשר האדם הפרימיטיבי החל להזדקק להשוות בין הכמות והגודל שלהם בעת ספירה וטיפול בחפצים שונים. מאז ימי קדם, ארכימדס, אוקלידס ומדענים מפורסמים אחרים: מתמטיקאים, אסטרונומים, מעצבים ופילוסופים השתמשו באי-שוויון בהנמקתם.

אבל הם, ככלל, השתמשו בטרמינולוגיה מילולית ביצירותיהם. בפעם הראשונה, שלטים מודרניים לציון המושגים של "יותר" ו"פחות" בצורה שבה כל תלמיד מכיר אותם היום הומצאו ויושמו באנגליה. המתמטיקאי תומס הריוט סיפק שירות כזה לצאצאיו. וזה קרה לפני כארבע מאות שנה.

ידועים סוגים רבים של אי שוויון. ביניהם פשוטים, המכילים משתנה אחד, שניים או יותר, יחס ריבועי, שבר, מורכב, ואפילו כאלה המיוצגים על ידי מערכת ביטויים. הדרך הטובה ביותר להבין כיצד לפתור אי שוויון היא להשתמש בדוגמאות שונות.

אל תחמיצו את הרכבת

ראשית, נדמיין שתושב אזור כפרי ממהר לתחנת הרכבת, שנמצאת 20 ק"מ מהכפר שלו. כדי לא לפספס את הרכבת שיוצאת בשעה 11, עליו לצאת מהבית בזמן. באיזו שעה יש לעשות זאת אם המהירות שלו היא 5 קמ"ש? הפתרון לזה בעיה מעשיתמסתכם במילוי תנאי הביטוי: 5 (11 - X) ≥ 20, כאשר X הוא זמן היציאה.

זה מובן, כי המרחק שכפרי צריך לעבור לתחנה שווה למהירות התנועה כפול מספר השעות בכביש. אדם יכול להגיע מוקדם, אבל הוא לא יכול לאחר. לדעת איך לפתור אי שוויון וליישם את הכישורים שלך בפועל, בסופו של דבר תקבל X ≤ 7, וזו התשובה. זה אומר שכפרי צריך ללכת לתחנת הרכבת בשבע בבוקר או קצת קודם.

מרווחים מספריים על קו קואורדינטות

עכשיו בואו נגלה כיצד למפות את היחסים המתוארים על האי השוויון שהתקבל לעיל אינו קפדני. זה אומר שהמשתנה יכול לקבל ערכים פחות מ-7, או שהוא יכול להיות שווה למספר הזה. בוא ניתן דוגמאות אחרות. לשם כך, שקול היטב את ארבעת הדמויות המוצגות להלן.

על הראשון אתה יכול לראות תמונה גרפיתפער [-7; 7]. הוא מורכב מקבוצה של מספרים הממוקמים על קו קואורדינטות וממוקמים בין -7 ל-7, כולל הגבולות. במקרה זה, הנקודות בגרף מתוארות כמעגלים מלאים, והמרווח מתועד באמצעות

הדמות השנייה היא ייצוג גרפי של אי השוויון הקפדני. במקרה זה, המספרים הגבוליים -7 ו-7, המוצגים על ידי נקודות מנוקבות (לא ממולאות), אינם כלולים בקבוצה שצוינה. והמרווח עצמו כתוב בסוגריים כדלקמן: (-7; 7).

כלומר, לאחר שמצאנו כיצד לפתור אי-שוויון מסוג זה וקיבלנו תשובה דומה, אנו יכולים להסיק שהיא מורכבת ממספרים שנמצאים בין הגבולות המדוברים, מלבד -7 ו-7. יש להעריך את שני המקרים הבאים ב- דרך דומה. האיור השלישי מציג תמונות של המרווחים (-∞; -7] U)